圆锥曲线中点弦问题
浅谈圆锥曲线的中点弦问题
浅谈圆锥曲线的中点弦问题在普通高中课程标准试验教科书数学选修2-1课本上，P62页有一道题，考察圆锥曲线与直线的综合问题。
题目是：已知双曲线x2-=1，过点P（1,1）能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？这道题方法很多，主要的解法有设而不求法、参数法、待定系数法等等。
对于圆锥曲线中的中点问题，学生更多的是尝试用点差法。
下面我们也尝试下：设点A（x1，y1）、B（x2，y2）在双曲线上，则A、B都满足曲线方程，即：x12-=1（1）；x22-=1（2）。
这两个表达式相减得到＝，由这个式子很容易得到等式的右边是直线，斜率k==2。
另一种解法：设点A（x1，y1）B（x2，y2）在双曲线上，且线段AB的中点为M（x，y），设经过点P的直线L的方程为y-1=k（x=1），即y=kx+1-k，把y=kx+1-k带入双曲线的方程x2-=1，得到（2-k2）x2-2k（1-k）x-（1-k）2=0（2-k2≠0）。
所以，x==。
由题意得=1，解得k=2。
而当k=2时，方程变为2x2-4x+3=0，与双曲线交于A、B二点，且点P是线段AB的中点。
根的判断式△=16-24=-8＜0，所以方程没有实数解，所以不能作一条直线。
这两种解法是相反的，显然第二种解法是正确的。
那么我们现在思考：什么时候可以用点差法？这个点P在什么位置或区域时就不能用点差法得到直线的方程？即如图所示，如果点落在在双曲线和渐近线之间的阴影部分，则不能用点差法得到直线方程。
我们先用点差法看能得到什么结论：不妨我们先假设过点P可以做一条直线与双曲线相交，并且此时点P是中点。
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在双曲线上，且线段AB的中点为P（x，y），用点差法可以得到什么呢？把点A、点B坐标带入曲线方程，得到－=1，－=1（2），把这两个表达式相减得到=，化简后得到=，整理得到关系式KABKOB=（1）。
为了方便研究，我们先研究点在落在阴影部分的第一象限时。
中点弦问题(基础知识)
圆锥曲线的中点弦问题一：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。
注意：因为Δ＞0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验Δ＞0！1、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
例2、已知双曲线1222=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
2、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
例4、已知椭圆1257522=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
3、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。
∴所求椭圆的方程是1257522=+x y 4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆13422=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
五、注意的问题（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。
利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。
解答圆锥曲线中点弦问题的三种途径
丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹与圆锥曲线的弦及其中点有关的问题称之为圆锥曲线中点弦问题.中点弦问题在解析几何试题中比较常见，侧重于考查圆锥曲线与直线的位置关系、弦长公式、中点坐标公式、直线的斜率以及韦达定理.下面谈一谈解答圆锥曲线中点弦问题的三种途径.一、利用韦达定理若一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个根分别为x 1、x 2，则x 1+x 2=-b 2a，x 1x 2=c a ，这个定理即是韦达定理.运用韦达定理求解圆锥曲线中点弦问题，需先将圆锥曲线方程与弦所在的直线的方程联立，通过消元，构造一元二次方程；再利用韦达定理，建立关于弦端点的坐标的关系式，最后结合中点坐标公式进行求解.例1.过点A (2,1)的直线与椭圆x 216+y29=1相交于P ,Q 两点，若点A 恰是线段PQ 的中点，求直线PQ 的方程.解：设直线PQ 的斜率为k ，则直线PQ 的方程为y -1=k (x -2)，将其与椭圆的方程x 216+y 29=1联立，并消去y 得，(16k 2+9)x 2+(-64k 2+32k )x +(64k 2-64k -128)=0，由韦达定理得x 1+x 2=-(-64k 2+32k )16k 2+9.又A (2,1)，所以x 1+x 2=-(-64k 2+32k )16k 2+9=4，可得k =-98，所以直线的方程为y -1=-98(x -2)，即9x +8y -26=0.当遇到中点弦问题时，应很快联想到韦达定理，将圆锥曲线的方程和直线的方程联立起来，构造一元二次方程，建立方程两根之间的关系式，这是解题的关键.二、采用点差法点差法是解答中点弦问题的常用方法.运用点差法解题，要先设出或明确圆锥曲线的方程、弦的两个端点的坐标、弦的中点坐标；然后将弦的两个端点的坐标代入圆锥曲线的方程中，并将两式作差；再根据中点坐标公式和直线的斜率公式进行求解.例2.已知椭圆C ：x 24+y 23=1，过点P (1,1)的直线l交椭圆C 交于A ,B 两点，求AB 中点M 的轨迹方程.解：设点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，将其分别代入椭圆C ：x 24+y 23=1中，可得ìíîïïïïx 124+y 123=1,x 224+y 223=1,将两式相减可得3()x 1-x 2（x 1+x 2）+4()y 1-y 2（y 1+y 2）=0，即3x +4y ∙y 1-y 2x 1-x 2=0.因为AB 所在直线的斜率与MP 的斜率相等，所以3x +4y ∙y -1x -1=0，化简得3x ()x -1+4y ()y -1=0，即为点M 的轨迹方程.运用点差法解题，可以达到设而不求的效果，大大减少计算量.但点差法的适用范围比较窄，只有在已知直线的方程、圆锥曲线的方程、弦中点的坐标三者中的两者时，才可运用此方法求解.三、运用导数法借助导数法来求解圆锥曲线中点弦问题，需要先对圆锥曲线的方程进行求导，得到曲线在某点处的切线的斜率，就能将其看作中点弦的斜率，再根据中点坐标公式求解.例3.过椭圆C ：x 216+y 24=1内一点M （2,1）作直线l ，交椭圆于A ,B 两点，使M 点恰好是弦AB 的中点，求该直线的方程.解：对x 216+y 24求导，得2x 16+2y 4y ′，把M （2,1）代入2x 16+2y 4y ′=0，得y ′=-12，所以直线AB 的方程为y =-12x +2.本题运用导数法求解十分简单、便捷，但需明确曲线的切线的斜率与曲线在某点处的导数之间的关系，据此建立关系式，即可快速解题.总之，在求解圆锥曲线中点弦问题时，同学们要注意将中点与韦达定理、中点坐标公式、直线的斜率公式相关联起来，从中寻找到解题的突破口，灵活运用上述三种方法解题，这样才能有效提升解题的效率.（作者单位：江苏省阜宁县实验高级中学）45。
圆锥曲线中点弦典型例题及解析
01
总结词
这类问题主要考察了圆锥曲线与切线相关的性质和定理，需要利用切线
性质和圆锥曲线的定义来解决。
02
详细描述
在解决与切线相关的问题时，我们需要利用圆锥曲线的切线性质和定义，
结合题目给出的条件，推导出与中点弦相关的方程或不等式，进而求解。
03
示例
已知抛物线C的方程为y^2 = 2px (p > 0)，过其焦点F作直线与C交于A、
数形结合
将代数问题与几何图形相结合 ，利用几何意义求解。
THANKS
感谢观看
特殊情况
当点$P$为圆锥曲线的焦点时， 中点弦称为焦点弦。
中点弦的性质
垂直性质
角度性质
中点弦所在的直线与过点$P$的切线 垂直。
中点弦与切线之间的夹角等于该弦所 对的圆周角。
长度性质
中点弦的长度与过点$P$的切线长度 成反比。
中点弦的几何意义
中点弦是连接圆锥曲 线上的两个对称点的 线段。
中点弦的长度等于圆 锥曲线上的两个对称 点到点$P$的距离之 和的一半。
详细描述
在解决椭圆的中点弦问题时，需要注意中点 弦的特殊性质。例如，当直线过椭圆中心时， 中点弦即为椭圆本身；当直线的斜率为0或 无穷大时，中点弦的长度为椭圆的长轴或短 轴的长度。这些特殊性质可以帮助我们快速 判断中点弦的性质和范围。
双曲线的中点弦问题
总结词
双曲线的性质和方程
详细描述
双曲线的中点弦问题主要考察了双曲线的性质和方程。解决这类问题需要利用双曲线的 性质，如对称性、开口方向等，以及双曲线的方程，如标准方程、参数方程等。通过联 立直线和双曲线的方程，消元化简，可以得到关于中点弦的方程，进一步求解得到中点
圆锥曲线中的中点弦问题
圆锥曲线中的中点弦问题（泌阳第二高级中学河南泌阳463700）直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是高考的一个热点问题，也是解析几何的主要内容之一。
在近几年的高考试题中时有出现。
以下三个结论在解决相关问题时能有效简化解题过程，节省做题时间。
我们通过练习体会一下。
1. 三个结论结论1：在椭圆x2m+y2n=1（m>0，n>0，m≠n）中，弦AB以点M（x0，y0 ）为中点，则弦AB所在直线的斜率与直线OM的斜率之积kAB ·kOM=-nm结论2：在双曲线x2m-y2n=1 （m>0，n>0）中，弦AB以点M（x0，y0）为中点，则弦AB所在直线的斜率与直线OM的斜率之积kAB ·kOM=nm结论3：在抛物线y2=2px（p >0）中，弦AB以点M（x0，y0）为中点，则弦AB所在直线的斜率是kAB =py02. 说明（1）上述结论均只考虑直线斜率存在的情形，做解答题时仍需分类讨论，关注斜率不存在的情形.（2）上述结论均可利用点差法进行证明，（3）.利用结论2求弦所在的直线方程时，应注意验证。
3. 结论的应用类型1：求与中点有关的圆锥曲线的标准方程问题例1（2013年高考数学全国新课标卷I理科第10题）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点F（3，0），过F的直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点坐标是M（1，-1），则椭圆方程是（）A.x245+y236=1B.x227+y218=1C.x236+y227=1D.x218+y29=1析：由结论1可知：kAB·kOM=kMF·kOM=12·-11=-12=-b2a2∴a2=2b2，又a2-b2=9，解得b2=9，a2=18故选D练习.1.（2010年高考数学课标全国卷理科第12题）已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A、B两点，且AB的中点为N（-12，-15），则E的方程是（）A.x23-y26=1B.x24-y25=1C.x26-y23=1D.x25-y24=1析：由结论2知：kAB·kON=b2a2=3-（-12）0-（-15）·-15-12=54，4b2=5a2又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B2.（2012郑州三模，16）已知双曲线x2-y23=1上存在两点M、N关于直线y=x+m 对称，且线段MN 中点P在抛物线y2=18x上，则实数m的值为_________析：由结论2可知：kOP ·kMN=kOP ·（-1）=b2a2=3，∴kOP=-3，设P（x0，y0），则y0x0=-3推出y0=-3x0，代入y2=18x 得9x02=18x0，解得x0=2y0=-6，x0=0y0=0，再代入方程y=x+m ，得m=-8或m=0类型2：求以某点为中点的弦所在直线方程问题例2.（北师大版选修1——1第48页A组第8题）已知椭圆x216+y24=1 ，求以点P（2，-1）为中点的弦所在的直线方程。
“点差法”解决圆锥曲线的中点弦问题
‘ ‘ 点茬法 ” 禳决圆锥曲线韵中 点弦 问题
韩 晓 刚 （ 山十 六 中 ， 北 唐 河
摘 要 ： 圆 锥 曲 线 的 弦 的 中点 有 关 的 问 题 。 们 称 之 为 与 我 圆锥 曲线 的 中 点 弦 问 题 涉 及 至 解 决 圆锥 曲 线 中 点 弦 的 问 ４ 题 ． 采 用 “ 差 法 ” 求 解 “ 差 法 ” 利 用 直 线 和 圆 锥 曲 常 点 来 点 是 线 的 两个 交 点 。把 交 点 代 入 圆 锥 曲 线 的 方 程 ．得 到 两 个 等 式 ． 式 相 减 ． 以得 到 一 个 与 弦 的 斜 率 及 中 点 相 关 的 式 子 两 可 （ 称 中点 和 斜 率 结 合 公 式 ） 再 结 合 已 知 条 件 ， 用 学 过 的 也 。 运 知 识 使 问题 得 到 解 决 。 当 题 目涉 及 弦 的 中 点 、 率 时 ． 般 斜 一 都 可 以 用 点 差 法 来 解 与 韦 达 定 理 法 纷 繁 冗 长 的 计 算 相 比 。 点 差 法 可 以 大 大 减 少 运 算 量 ． 化 解 题 过 程 ． 到 “ 而 不 优 达 设 求 ” 目的 本 文将 从 求 弦 的 斜 率 与 弦 的 中 点 问 题 、 弦 中 的 求 点 轨 迹 、 弦 的 垂 直 平 分 线 问 题 和 求 曲 线 的 方 程 四 个 方 面 举
ｍ则 肿 ＝ 。 ‘弦 中点 轨 迹 在 已 知 椭 圆 内 ， ｘ ｙ＋ ｙ ｋ ２， ０ ． ‘ 所 求 弦 中 点 的轨 迹 方 程 为 （ 已知 椭 圆 内 ） 在 变 式 １ 直 线 Ｚ似 一 一 ｏ ５ ： ０是 参 数 ） 抛 物 线 ｙ ： ： （＋ ） ０（ 与 ＝ （＋ ） 的 相 交 弦 是 Ａ 则 弦 Ａ 的 中 点 轨 迹 方 程 是 １２ Ｂ． Ｂ 。 过定 点弦 的中点轨迹 方程 ） 分 析 ： 线 Ｚａ － 一 ｎ ５ ＝ 方 程 中带 有 参 数 ０ 即 直 线 直 ：ｘ ｙ （＋ ）０， 。 是 过 定 点 的 直 线 还 要 注 意 弦 中点 轨 迹 在 已知 抛 物 线 内 ． 最 后 要 注 明 所 求 弦 中点 的 轨 迹 方 程 为 ｙ ２ ２７ 在 已 知 抛 物 线 ＝ ｘ— （ 内 ） 。 变 式 ２ 已 知 定 长 为 ０ ０ ） 线 段 ＡＢ 的 两 端 点 在 抛 ： （ ≥１ 的 物线 ｙ 上 移动 ， 动 弦 ＡＢ的 中点 Ⅳ 的轨 迹方程 。 （ 长 求 弦 为定 值的 弦的中点轨 迹方 程 ） 解 ： 两 端 点 坐 标 为 Ａ（ ， 曰（。Ｙ） 设 Ｙ ） ，２ ， 的 中 点 为 （ｏｙ） 则 ｌ ２２０ 因 两 端 点 在 抛 物 线 上 ， 以 ｙ １ Ｙ： Ｘ ｏ ， ＝ ｘ， 所 ｌ ２ ２ ，
有关圆锥曲线的中点弦问题
有关圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
中点弦问题是高中解析几何模块中的一类重要题型，也是高考的一个热点问题之一。
身为高中数学教师，研究好其解法及常见类型很有必要。
1.中点弦问题的主要解法解法一：解方程组法例1过点A(2,1)的直线与椭圆x216+y29=1相交于P,Q两点，若点A恰好是线段PQ的中点，求直线PQ的方程。
解：设P（x1,y1 ）, Q( x2,y2),设直线PQ的斜率为k,则直线PQ的方程为：y-1 = k(x-2) ,解方程组y=k(x－2)+1x216+y29=1 ，将直线方程代入椭圆方程，消去y并整理得（16k2+9）x2+(-64 k2+32k)x+(64k2-64k-128)=0因为直线与椭圆有两个交点，所以△＞0，由根与系数的关系，有x1+x2=64k2－32k16k2+9，∵点A恰好是线段PQ的中点，由中点坐标公式，有x1+x22=2∴64k2－32k16k2+9=4解之得，k=-98,将k=-98代入直线方程y-1 = k(x-2)得所求直线方程为9x+ 8y-26=0解法二：点差法例2过点A(2,1)的直线与椭圆x216+y29=1相交于P,Q两点，若点A恰好是线段PQ的中点，求直线PQ的方程。
解：设P（x1, y1）, Q(x2,y2),因为直线PQ与椭圆x216+y29=1相交于P,Q两点，所以P,Q两点在椭圆上，所以有x21 16 + y21 9=1x22 16 + y22 9=1两式相减得：(x1－x2)(x1+x2)16+(y1－y2)(y1+y2)9=0∴(x1－x2)(x1+x2)16=-(y1－y2)(y1+y2)9∴y2－y1x2－x1=－9(x1+x2)16(y1+y2)又∵k =y2－y1x2－x1, x1+x22=2,y1+y22=1∴k=-98由点斜式，得直线PQ的方程为：y-1=-98(x-2)即9x+8y-26=0解法三：中点转移法例3过点A(2,1)的直线与椭圆x216+y29=1相交于P,Q两点，若点A恰好是线段PQ的中点，求直线PQ的方程。
圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线解题技巧和方法综合
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。
如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有0220=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；（2）求|||PF PF 1323+的最值。
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。
这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。
其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。
一、求中点弦所在直线方程问题例1 过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。
解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是14)2(82221+-=+k k k x x ， 又M 为AB 的中点，所以214)2(422221=+-=+k k k x x ， 解得21-=k ，故所求直线方程为042=-+y x 。
解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），M （2，1）为AB 的中点， 所以421=+x x ，221=+y y ，又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x ， 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ，所以21)(421212121-=++-=--y y x x x x y y ，即21-=AB k ，故所求直线方程为042=-+y x 。
解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(y x ,)，由于中点为M （2，1），则另一个交点为B(4-y x -2,)，因为A 、B 两点在椭圆上，所以有⎩⎨⎧=-+-=+16)2(4)4(1642222y x y x ， 两式相减得042=-+y x ，由于过A 、B 的直线只有一条，故所求直线方程为042=-+y x 。
二、求弦中点的轨迹方程问题例2 过椭圆1366422=+y x 上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。
解法一：设弦PQ 中点M （y x ,），弦端点P （11,y x ），Q （22,y x ），则有⎩⎨⎧=+=+57616957616922222121y x y x ，两式相减得0)(16)(922212221=-+-y y x x ， 又因为x x x 221=+，y y y 221=+，所以0)(216)(292121=-⋅+-⋅y y y x x x ， 所以y x x x y y 1692121=--，而)8(0---=x y k PQ ，故8169+=x y y x 。
化简可得01672922=++y x x （8-≠x ）。
解法二：设弦中点M （y x ,），Q （11,y x ），由281-=x x ，21yy =可得821+=x x ，y y 21=， 又因为Q 在椭圆上，所以136642121=+y x ，即136464)4(422=++y x ， 所以PQ 中点M 的轨迹方程为1916)4(22=++y x （8-≠x ）。
三、弦中点的坐标问题例3 求直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标。
解：解法一：设直线1-=x y 与抛物线x y 42=交于),(11y x A ， ),(22y x B ，其中点),(00y x P ，由题意得⎩⎨⎧=-=xy x y 412，消去y 得x x 4)1(2=-，即0162=+-x x ，所以32210=+=x x x ，2100=-=x y ，即中点坐标为)2,3(。
解法二：设直线1-=x y 与抛物线x y 42=交于),(11y x A ， ),(22y x B ，其中点),(00y x P ，由题意得⎩⎨⎧==22212144x y x y ，两式相减得)(4122122x x y y -=-，所以4))((121212=-+-x x y y y y ，所以421=+y y ，即20=y ，3100=+=y x ，即中点坐标为)2,3(。
上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。
下面我们看一个结论引理 设A 、B 是二次曲线C ：022=++++F Ey Dx Cy Ax 上的两点，P ),(00y x 为弦AB 的中点，则)02(22000≠+++-=E Cy E Cy DAx k AB 。
设A ),(11y x 、B ),(22y x 则0112121=++++F Ey Dx Cy Ax (1)0222222=++++F Ey Dx Cy Ax ……（2） )2()1(-得0)()())(())((212121212121=-+-+-++-+y y E x x D y y y y C x x x x A∴0)()()(2)(22121210210=-+-+-+-y y E x x D y y Cy x x Ax ∴0))(2())(2(210210=-++-+y y E Cy x x D Ax∵020≠+E Cy ∴21x x ≠ ∴E Cy D Ax x x y y ++-=--00212122即E Cy D Ax k AB ++-=0022。
（说明：当B A −→−时，上面的结论就是过二次曲线C 上的点P ),(00y x 的切线斜率公式，即E Cy DAx k ++-=0022）推论1 设圆022=++++F Ey Dx y x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y ，则E y D x k AB ++-=0022。
（假设点P 在圆上时，则过点P 的切线斜率为）推论2 设椭圆12222=+b y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y ，则0022y x a b k AB •-=。
（注：对a ≤b 也成立。
假设点P 在椭圆上，则过点P 的切线斜率为0022y x a b k •-=） 推论3 设双曲线12222=-b y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y 则0022y x a b k AB •=。
（假设点P 在双曲线上，则过P 点的切线斜率为0022y x a b k •=） 推论4 设抛物线px y 22=的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y 则0y p k AB =。
（假设点P在抛物线上，则过点P 的切线斜率为)0y p k =我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题，下面举例说明。
例1、求椭圆1162522=+y x 斜率为3的弦的中点轨迹方程。
解：设P （x ，y ）是所求轨迹上的任一点，则有y x •-=25163，故所示的轨迹方程为16x+75y=0 )2417524175(<<-x例2、已知椭圆),0(12222>>=+b a b y a x A 、B 是椭圆上两点，线段AB 的垂直平分线l 与x 轴E y Dx k ++-=0022相交于P )0,(0x ，求证：a b a x a b a 22022-<<--。
证明：设AB 的中点为T ),(11y x ，由题设可知AB 与x 轴不垂直，∴01≠y ，∴1122y x a b k AB •-= ∵l ⊥AB ∴1122x y b a k l •= ∴l 的方程为：)(111221x x x y b a y y -•=- 令y=0 得)(01011221x x x y b a y -•=-∴02221x b a a x •-= ∵a x <||1 ∴ax b a a <•-||0222∴a b a x a b a 22022-<<-- 例3、已知抛物线C ：x y =2，直线,1)1(:+-=x k y l 要使抛物线C 上存在关于l 对称的两点，k 的取值范围是什么？解：设C 上两点A 、B 两点关于l 对称，AB 的 中点为P),(00y x （)00≠y∴k y y p k AB 12100-=== ∴k y 210-=∵P ∈l ∴,1)1(00+-=x k y ∴,1)1(210+-=-x k k ∴k x 1210-= ∴)21,121(k k P -- ∵P 在抛物线内 ，∴k k 121412-< ∴,04423<+-k k k∴,04)22)(2(2<+-+k k k k ∴.02<<-k与抛物线有关的弦的中点的问题（1）中点弦问题：（上题麻烦了。
是圆不用中点法）例1 由点)0,2(-向抛物线x y 42=引弦，求弦的中点的轨迹方程。
分析：解决问题的关键是找到弦的端点A 、B 在直线上的性质和在抛物线上的性质的内在联系。
解法1：利用点差法。
设端点为A ),(11y x ，B ),(22y x ，则1214x y =，2224x y =， 两式相减得)(4122122x x y y -=-， ① ①式两边同时除以12x x -，得4)(121212=--⋅+x x y y y y ， ②设弦的中点坐标为),(y x ，则x x x 221=+，y y y 221=+， ③ 又点),(y x 和点)0,2(-在直线AB 上，所以有12122x x y y x y--=+。
④ 将③、④代入②得422=+⋅x yy ， 整理得)2(22+=x y 。
故得中点的轨迹方程是)2(22+=x y 在抛物线x y 42=内部的部分。
解法2：设弦AB 所在直线的方程为)2(+=x k y ，由方程组⎩⎨⎧=+=)2(4)1()2(2xy x k y 消去x 并整理得0842=+-k y ky ， （3）设A ),(11y x 、B ),(22y x 、中点),(y x ，对于方程（3），由根与系数的关系，有ky y 421=+， y y 221+2故得所求弦中点的轨迹方程是)2(22+=x y 在抛物线x y 42=内部的部分。
评注：（1）求点的轨迹方程即是求曲线上的点的横、纵坐标所满足的关系式，本题所给出的两种方法，都是找动点),(y x 与已知条件的内在联系，列关于x ，y 的关系式，进而求出轨迹的方程。
（2）弦中点轨迹问题设抛物线px y 22=（0>p ）的弦AB ，A ),(11y x ，B ),(22y x ，弦AB 的中点C ),(00y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==)2(2)1(2222121px y px y ，（1）－（2）得)(2212221x x p y y -=-， ∴2121212y y px x y y +=--，将0212y y y =+，2121x x y y k AB --=，代入上式，并整理得0y pk AB =，这就是弦的斜率与中点的关系，要学会推导，并能运用。