平行四边形

知识点39：平行四边形的性质和判定，两点之间距离，点到直线距离，两平行线的距离，平行四边形有关的计算和证明（1）（2008泰州市）在平面上，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，且满足AB=CD．有下列四个条件：（1）OB=OC；（2）AD∥BC；（3）；（4）∠OAD=∠OBC．若只增加其中的一个条件，就一定能使∠BAC=∠CDB成立，这样的条件可以是（D）A．（2）、（4） B．（2） C．（3）、（4） D．（4）（2）（2008四川达州市）如图，一个四边形花坛，被两条线段分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是，若，，则有（ C ）A．B．C．D．都不对（3）（2008山东东营）只用下列图形不能镶嵌的是（ C ）A．三角形B．四边形 C．正五边形D．正六边形（4）（2008佳木斯）如图，将沿折叠，使点与边的中点重合，下列结论中：①且；②；③；④，正确的个数是（ B ）A．1 B．2 C．3 D．4（5）（2008年陕西省）如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ D ）A．B． C．D．（6）（2008 江西南昌）如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确．．．的是（ A ）A． B．C．四边形AECD是等腰梯形 D．（7）（2008江苏南京）如图，将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形，这个新的图形可以是下列图形中的（B）A.三角形B.平行四边形C.矩形D.正方形（8）（2008 四川凉山州）下列四个图形中大于的是（ B ）（9）(2008黑龙江哈尔滨)某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形。

若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ B ）（A）4种（B）3种（C）2种（D）1种（10）（2008贵州贵阳）如图，在平行四边形中，是延长线上的一点，若，则的度数为（ B ）A．B．C．D．（10）（2008年•南宁市）以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有：（C）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个（11）（2008山东潍坊）在平行四边形ABCD中，点A1、A2、A3、A4和C1、C2、C3、C4分别AB和CD的五等分点,点B1、B2和D1、D2分别是BC和DA的三等分点,已知四边形A4 B2 C4 D2的积为1,则平行四边形ABCD面积为（ C ）A.2B.C.D.15（12）（2008四川自贡）下面几组条件中，能判断一个四边形是平行四边形的是（ B ）A．一组对边相等 B．两条对角线互相平分C．一组对边平行 D．两条对角线互相垂直（13）(2008 湖南怀化)如图6，在平行四边形ABCD中，DB=DC、，CE BD于E，则 25°．（14）(2008 重庆)如图，在□ABCD中，AB=5cm，BC=4cm，则□ABCD的周长为 18 cm.（15）（2008湖南郴州）已知四边形ABCD中，，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是： AB=BC或者BC=CD或者CD=DA或者DA=AB（16）（2008湖南郴州）如图，D是AB边上的中点，将沿过D的直线折叠，使点A 落在BC上F处，若，则 ___80__度（17）（2008山东济南）如图，在△ABC中，EF为△ABC的中位线，D为BC边上一点（不与B、C重合），AD与EF交于点O，连接DE、DF，要使四边形AEDF为平行四边形，需要添加条件_BD=CD，OE=OF，DE∥AC_.（只添加一个条件）（18）(2008福建龙岩)□ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A=115°，则∠BCE= 25°.（2008赤峰）如图，已知平分，，，则 3 ．（19）（20）（2008资阳市）如图4，□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，请你写出其中的一对全等三角形：ΔAOB≌ΔCOD、ΔAOD≌ΔCOB、ΔADB≌ΔCBD、ΔABC≌ΔCDA（答案不唯一）（21）（2008兰州）如图，平行四边形中，，，．对角线相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于点．（1）证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段与总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数．（1）证明：当时，，又，四边形为平行四边形．（2）证明：四边形为平行四边形，．．（3）四边形可以是菱形．理由：如图，连接，由（2）知，得，与互相平分．当时，四边形为菱形．在中，，，又，，，绕点顺时针旋转时，四边形为菱形．（22）（2008山西省）如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。

（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明。

（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。

（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积。

证明：（1）（选证一）（选证二）证明：（选证三）证明：（2）四边形ABDF是平行四边形。

由（1）知，、、都是等边三角形。

（3）由（2）知，）四边形ABDF是平行四边形。

（23）（2008佛山23）如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.(1) 当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；(2) 当AB = AC时，顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.解：(1) ∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB = BE = AE，BC = CF = FB，∠ABE = ∠CBF = 60°.∴∠FBE = ∠CBA.∴△FBE ≌△CBA.∴EF = AC.又∵△ADC为等边三角形，∴CD = AD = AC.∴EF = AD.同理可得AE = DF.∴四边形AEFD是平行四边形.(2) 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段.当图形为菱形时，∠ BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）（若写出图形为平行四边形时，不给分）当图形为线段时，∠BAC = 60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）（24）（2008年云南省双柏县）如图，是平行四边形的对角线上的点，．请你猜想：与有怎样的位置．．关系？并对你的猜想加．．关系和数量以证明．猜想：证明：猜想：，证明：证法一：如图19－1四边形是平行四边形．又证法二：如图19－2连结，交于点，连结，．四边形是平行四边形，又四边形是平行四边形（25）(2008 湖北恩施)如图，在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交CD于点E,∠ADC的平分线交AB于点F.试判断AF与CE是否相等，并说明理由.解:AF = CE∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=CB, ∠A=∠C, ∠ADC=∠ABC又∵∠ADF=∠ADC, ∠CBE=∠ABC∴∠ADF=∠CBE∴∆ADF≌∆CBE∴AF = CE（26）（2008湖南郴州）如图，ΔABC为等腰三角形，把它沿底边BC翻折后，得到ΔDBC．请你判断四边形ABDC的形状，并说出你的理由．答：四边形ABCD为菱形理由是：由翻折得△ABC≌△DBC．所以因为△ABC为等腰三角形，所以所以AC＝CD＝AB＝BD，故四边形ABCD为菱形（2008 青海西宁）如图，已知：□ABCD中，的平分线交边于，（27）的平分线交于，交于．求证：．证明：四边形是平行四边形（已知），，（平行四边形的对边平行，对边相等），（两直线平行，内错角相等）又平分，平分（已知），，（角平分线定义），．，（在同一个三角形中，等角对等边），即（28）（2008山东潍坊）如图，ABCD为平行四边形，AD=a,BE∥AC,DE交AC的延长线于F点，交BE于E点.（1）求证：DF=FE;（2）若AC=2CF,∠ADC=60 o, AC⊥DC,求BE的长;（3）在（2）的条件下，求四边形ABED的面积.(1)证明：延长DC交BE于点M，∵BE∥AC，AB∥DC,∴四边形ABMC是平行四边形，∴CM=AB=DC,C为DM的中点，BE∥AC，DF=FE;（2）由（2）得CF是△DME的中位线，故ME=2CF,又∵AC=2CF，四边形ABMC是平行四边形，∴BE=2BM=2ME=2AC,又∵AC⊥DC,∴在Rt△ADC中利用勾股定理得AC=∴=.(3)可将四边形ABED的面积分为两部分，梯形ABMD和三角形DME,在Rt△ADC中利用勾股定理得DC=,由CF是△DME的中位线得CM=DC=,四边形ABMC是平行四边形得AM=MC=,BM=AC=,∴梯形ABMD面积为：;由AC ⊥DC和BE∥AC可证得三角形DME是直角三角形，其面积为：,∴四边形ABED的面积为+（29）（2008安徽芜湖）如图，在梯形中，，，，于点E，F是CD的中点，DG是梯形的高．（1）求证:四边形AEFD是平行四边形;（2）设，四边形DEGF的面积为y，求y关于x的函数关系式．（1）证明：∵，∴梯形ABCD为等腰梯形．∵∠C=60°，∴，又∵，∴．∴．∴．由已知，∴AE∥DC．又∵AE为等腰三角形ABD的高，∴E是BD的中点，∵F是DC的中点，∴EF∥BC．∴EF∥AD．∴四边形AEFD是平行四边形．（2）解：在Rt△AED中，，∵，∴．在Rt△DGC中∠C=60°，并且，∴．由（1）知：在平行四边形AEFD中，又∵，∴，∴四边形DEGF的面积，∴．。