第3讲.解析几何之中点弦题型
2022届高考数学精品微专题：中点弦问题
2022届高考数学精品微专题：中点弦问题一、常用结论1.椭圆中点弦问题结论（以焦点在x 轴的椭圆方程)0(12222>>=+b a by a x 为例）（1）如图，在椭圆C 中，E 为弦AB 的中点，则22b k k AB OE −=⋅;（证明：用点差法）（2）注意：若焦点在y 轴上的椭圆)(12222>=+ba ay b x 2b ABOE2.双曲线中点弦结论（以焦点在x 轴的双曲线方程12222=−by a x 为例）图1 图2（1）如图1或图2，E 为弦AB 的中点，则22ab k k ABOE =⋅; （2）注意：若焦点在y 轴上的双曲线12222=−b x a y ，则22ba k k AB OE =⋅3.抛物线中点弦结论（1）在抛物线)0(22≠=p px y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则p y k MN =⋅0. 即：0y p k =（2）同理可证，在抛物线)0(22≠=p py x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN=⋅01.即：px k 0=、典例【选填解答题】1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（） A ．2 B ．2− C ．12−D ．12【答案】C【分析】先根据已知得到22，再利用点差法求出直线的斜率.【详解】由题得222222242,4()2,2c c a a b a a b a =∴=∴−=∴=.设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b += += ，两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +−++−=，所以2()2a ()0所以221212()240()y y b b x x −+=−，所以1120,2k k +=∴=−.2.【2014年江西卷（理15）】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为【解析】由椭圆中点弦性质可得1222−=−=⋅e a b k k AB OM ，则 <<−=×−1011212e e ，故e =3.【2013全国卷1理科】已知椭圆E ：(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．B ．C ．D ． 【解析】22a b k k AB MF −=⋅，得22)1(13)1(0a b −=−×−−−，∴=，又9==，解得=9，=18， ∴椭圆方程为，故选D ．(1,1)M 12−C 22221(0)x y a b a b +=>>,A B M AB C 2222=1x y a b+22=14536x y +22=13627x y +22=12718x y +22=1189x y +22b a 122c 22a b −2b 2a 221189x y +=（全国卷Ⅲ第一问）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：143+=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m (0)m >．证明：12k <−． 【答案】证明见解析．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211143x y +=，2222143x y +=，上述两式相减，则32b kk 由题设知1212x x +=，122y y m +=，故43−=⋅m k ，于是34k m =−． 由<+>134102m m 得302m <<，故12k <−．5.（2020年湖北高二期末）如图，已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞，斜率为﹣1的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为13，则椭圆的离心率为ABCD ．23【答案】B【解析】方法1：设直线AB 方程为y x n =−+，设1122(,),(,)A x y B x y ， 由22221x y a b y x n +==−+得：22222222()20a b x a nx a n a b +−+−=， ∴212222a n x x a b+=+，12122()y y n x x +=−+，设(,)M x y ， ∵OAMB 是平行四边形，∴OM OA OB =+，∴1212,x x x y y y =+=+， ∴12121212122()21OM y y n x x y n k x x x x x x x +−+====−+++22222113a b b a a +=−==，223aa，∴3ea ．故选B ．方法2：（秒杀解） <<−=−⇒−=−=⋅1031112222e e e a b k k OMAB ，得36=e ． 故选B ．6.【2019一中月考】直线与椭圆：相交于两点，设线段的中点为，则动点的轨迹方程为（ ）D7．已知椭圆2217525+=y x 的一条弦的斜率为3，它与直线12x =的交点恰为这条弦的中点M ，则M 的坐标为（） A ．11,2B ．11,22C ．11,22−D ．11,22−【答案】C 【分析】由题意知：斜率为3的弦中点01(,)2M y ，设弦所在直线方程3y x b =+，结合椭圆方程可得122b x x +=−即可求b ，进而求M 的坐标. 【详解】由题意，设椭圆与弦的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，:3AB y x b =+， 则将3y x b =+代入椭圆方程，整理得：22126750x bx b ++−=，∴22123648(75)02b b bx x ∆=−−> +=−，而121x x =+，故2b =−， ∴:32AB y x =−，又01(,)2M y 在AB 上，则012y =−， 故选：C)(4R m m x y∈+C 1232=+y B A ,AB M M 16.+−=x y A 6.xy B −=)33(16.<<−+−=x x y C )26526(6.<<−−=x x y D22a b 圆于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为（1，1−），则G 的方程为（）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆的标准方程，两式作差可得ABk 22b a =，由22b a =12，9=2c =22a b −，【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b +=，①2222221x y a b +=，②①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +−+−+=，∴AB k =1212y y x x −−=212212()()b x x a y y +−+=22b a ，又ABk =0131+−=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b −，解得2b =9，2a =18，∴1899．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中）已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（） A ．43−B ．43C ．34−D ．34【答案】C【分析】设出椭圆方程，设出A B C ，，的坐标，通过点差法转化求解斜率，然后推出结果即可．【详解】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=，两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y −+−+=−，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +−=−+−，134OD ABk k =−，同理可得1313,44OF OE AC BC k k k k =−=−，所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=−++=−，10．（2020·广东广州市·执信中学）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，ABC ∆的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，且三条边所在直线的斜率分别1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0．O 为坐标原点，则（）A ．22:1:2a b =C ．直线BC 与直线OE 的斜率之积为12−D ．若直线OD ，OE ，OF 的斜率之和为1，则123111k k k ++的值为2− 【答案】CD【分析】由题意可得：222a b =．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．利用点差法即可得出11·2OD k k =−，2·2OE k k =−，3·2OF k k =−，即可判断．【详解】椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，∴222112b e a =−=，222a b ∴=，故A 错；设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．2211221x y a b+=22221x y ，两式相减可得：21212212121·2y y y y b x x x x a +−=−=−+−．11·2OD k k ∴=−，同理21·2OE k k =−，31·2OF k k =−，故B 错，C 正确． 又1231112()2OD OE OF k k k k k k ++=−++=−，11．（2020·广东广州市·执信中学）已知直线L 与双曲线22221()00a x y a bb >−=>，相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，若直线L 的斜率为1k ，OM 的斜率为2k ，且122k k =，则双曲线渐近线的斜率等于（） A．±B ．2±C．D ．12±【答案】C【详解】设()()1122,,,,(,)A x y B x y M x y ，则12122,2x x x y y y +=+=，2222222211a b x y ab −= ，两式相减可得：()()()()222221221212222211110,220x x y y x x x a a y y y b b−−−=−×−−×=，∵直线L 的斜率为()110k k ≠，直线OM 的斜率为2k ，212211222y y y b k x x a k x −=⋅==−∴，则b a=12．（2020·四川成都市·成都七中）过点(1,4)P 作直线l 交双曲线2214x y −=于A ，B 两点，而P 恰为弦AB的中点，则直线l 的斜率为（）. A ．116− B ．-1 C ．116D ．1【答案】C【分析】根据P 为AB 的中点，利用点差法，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221122221414x y x y −=−= ，两式相减求解. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，因为P 为AB 的中点，则12121242x x y y + = + = ，所以121228x x y y += += ，将A 、B 代入双曲线2214xy −=得，221122221414x y x y −=−= ，两式相减得：()()22221212104y y x x −−−=， 整理得：1212121214y y x x x x y y −+=⋅−+，所以12121214816ABy y k x x −==×=−.13．（2021·全国高二）已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221x y a b−=(0a >，0b >)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为3(1)M ，.则C 的离心率为（） A ．2 BC ．3 D【答案】A【详解】设()()1122,,,B x y D x y ，2222222211a b x y a b −= ，两式做差得()()()()12121212220x x x x y y y y a b −+−+−=整理得()()()()2121221212y y y y b a x x x x −+=−+，而12121BD y y k x x −−==，122x x +=，126y y +=，代入有223b a =，即2223c a a−=，可得2c e a ==．14．（2020·广州市天河中学）已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(M −，则E 的方程为（） A ．22145x y −=B ．22163x y −=C ．2254x y −=22x y 【答案】B【详解】设双曲线E 的标准方程为22221x y a b−=，由题意知：3c =，即229a b +=①，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为(M −，124x x ∴+=−，12y y +，又A ，B 在双曲线上，则22112222222211x y a b x y ab −= −= ， 两式作差得：22221212220x x y y a b−−−=，即()()()()1212121222x x x x y y y y a b −+−+=， 即()()2121221212ABb x x y y k x x a y y +−====−+，又M F ABM F y y k x x −===−即解得：222a b =②，由①②解得：26a =，23b =，∴双曲线的标准方程为：22163x y −=.15．（2019·陕西高考模拟）双曲线221369x y −=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（） A.20x y −−=B.2100x y +−=C.20x y −=D.280x y +−=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y −=，22221369x y −=，369即121212129()98136()3642y y x x kx x y y −+×===−+×， ∴弦所在的直线方程12(4)2y x −=−，即20x y −=． 故选：C28y 上有三个点A ，B ，C 且AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，用字母k 表示斜率，若8OD OE OF k k k ++=−（点O 为坐标原点，且OD k ，OE k ，OF k 均不为零），则111AB BC ACk k k ++=________. 【答案】-1【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=，21118y x −=，22218y x −=, 两式相减得()()()()121212128y y y y x x x x +−−+=，整理可得0121208y x x y y x −=−，即18OD ABk k =，同理得18OE BCk k =，18OF AC k k =.因为8OD OE OF k k k ++=−，所以1111AB BC AC k k k ++=−.17．（2020·全国高二课时练习）双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的右焦点分别为F ，圆M 的方程为()22252x y b −+=.若直线l 与圆M 相切于点()4,1P ，与双曲线C 交于A ，B 两点，点P 恰好为AB 的中点，则双曲线C 的方程为________.【答案】2214x y −=【详解】设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的斜率为k ，则10145k −⋅=−−，所以1k =，()22224512b =−+=，即21b =，则2211221x y a b−=，2222221x y a b −=.两式相减，得()()()()1212121222x x x x y y y y a b −+−+= 则()()222121222212128412b x x y y b b k x x a y y a a +−=====−+，即24a =，所以双曲线C 的方程为2214x y −=.相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23−，则此双曲线的方程是 A.22134x y −= B.22143x y −= C.22152x y −= D.22125x y −= 【答案】D【解析】设双曲线的方程为221(0,0)x ya b a b−=>>，由题意可得227a b +=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则MN 的中点为25,33 −− ，由2211221x y a b −=且2222221x y a b −=，得()()12122x x x x a +−=()()12122y y y y b +−，2223a ×−=（）2523b ×−（），即2225a b=，联立227a b +=22125x y −=．故选D ．19.已知双曲线的左焦点为，过点F 且斜率为1的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点，则双曲线C 的离心率为（ ） A.B.C.D. 2【答案】D 【解析】 【分析】设线段AB 的中点坐标为，根据 求出线段的中点坐标，用点差法求出关系，即可求解【详解】设线段AB 的中点坐标为，则有， 设，代入双曲线方程有，两式相减得， 2222:1x y C a b−=(0,0)a b >>(,0)F c −(2,0)P c ()00,M x y 11,1,MF MP k k ==−AB M ,a c ()00,x y 000112y x c y x c= +=− − 0,2c x ⇒=032y c =1122(,),(,)A x y B x y 2222112222221,1x y x y a b a b−=−=可得，即， .故选:D.20．直线l 过点(1,1)P 与抛物线4y x =交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（） A ．2B ．2−C ．12D ．12− 【答案】A【分析】 利用点差法，21122244y x y x = = 两式相减，利用中点坐标求直线的斜率. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，21122244y x y x = = ，两式相减得()2212124y y x x −−， 即()()()1212124y y y y x x +−=−，当12x x ≠时，()1212124y y y y x x −+=−， 因为点()1,1P 是AB 的中点，所以122y y +=，24k =， 解得：2k =故选：A21．（2019秋•湖北月考）斜率为k 的直线l 过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，点P （x 0，y 0）为AB 中点，则ky 0为（ ）A ．定值B ．定值pC ．定值2pD ．与k 有关的值【分析】设直线方程与抛物线联立得纵坐标之和，进而的中点的纵坐标，直接求出ky 0的值为定值．【解答】解：显然直线的斜率不为零，抛物线的焦点（，0），22a b 002210x y a b−⋅=2213,a b =223b a =2,c a ∴=2e =直线与抛物线联立得：y 2﹣2pmy ﹣p 2＝0，y +y '＝2pm ，所以由题意得：y 0＝＝pm ，所以ky 0＝•pm ＝p ，故选：B ．22．过点)1,4(Q 作抛物线x y 82=的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，则AB 所在的直线方程为_______. 解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m . 由m y k=得：4=k ∴AB 所在的直线方程为)4(41−=−x y ，即0154=−−y x .23．设1P 2P 为抛物线y x =2的弦，如果这条弦的垂直平分线l 的方程为3+−=x y ，求弦1P 2P 所在的直线方程.解：y x =2，my x 22=，∴21=m . 弦1P 2P 所在直线的斜率为1. 设弦1P 2P 的中点坐标为),(00y x .由m x k P P =⋅0211得：210=x . 弦1P 2P 的中点也在直线3+−=x y 上，∴253210=+−=y .弦1P 2P 的中点坐标为)25,21(. ∴弦1P 2P 所在的直线方程为)21(125−⋅=−x y ，即02=+−y x .24． ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)， ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 边所在直线的方程为________．【答案】4x ＋4y ＋5＝0【分析】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，先求出点M 的坐标，再求出直线BC 的斜率，即得解.【详解】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知1(,0)2G ， 则12122132203x x y y ++ = ++ =从而12012012412x x x y y y + ==− + ==− ，即1(,1)4M −−， 又2211222,2y x y x ==， 两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率1212002BC x x y y y y −+故直线BC 的方程为y －(－1)＝1()4x −+，即4x ＋4y ＋5＝0.故答案为：4x ＋4y ＋5＝025．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点()1,1Q 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且恰好为线段MN 的中点，求线段MN 长度.【答案】（1）2212y x −=；（2. 【分析】（1）根据双曲线的定义c =，a =，即可求出双曲线的方程；（2）先根据点差法求直线l 的方程，再根据弦长公式即可求出【详解】（1）双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为，则a =，c =，而222321b c a =−=−=， ∴双曲线C 的标准方程2212y x −=； （2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，点()1,1Q 恰好为线段MN 的中点，即有122x x +=，122y y +=， 又221122221212y x y x −= −= ，两式相减可得121212121()()()()2y y y y x x x x −+=−+， ∴12122y y x x −−=， ∴直线l 的斜率为2k =，其方程为12(1)y x −=−，即21y x =−，由222122y x y x =− −=，即22410x x −−=，可得1212x x =−，则MN ===26．已知直线l 与抛物线2:5C y x =交于,A B 两点．（2）若弦AB 的中点为()6,1−，求l 的方程．【答案】（1；（2）52280x y +−=. 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式即可求解； （2）利用点差法求出直线斜率，即可求出直线方程. 设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ．（1）联立25,21,y x y x = =− 得24910,0x x −+=∆>， 因此121291,44x x x x +==，故||AB （2）因为,A B 两点在C 上，所以2112225,5,y x y x = = 两式相减，得()2221215y y x x −=−， 因为12122y y +=−×=−，所以212112552ABy y k x x y y −===−−+， 因此l 的方程为5(1)(6)2y x −−=−−，即52280x y +−=．。
点差法与中点弦问题洋葱数学
点差法与中点弦问题洋葱数学摘要：一、引言二、点差法的概念与应用1.中点弦问题的背景2.点差法的基本原理3.点差法在解决中点弦问题中的应用三、中点弦问题的解法1.联立直线与圆锥曲线的方程2.借助一元二次方程的根的判别式3.根与系数的关系4.中点坐标公式及参数法求解四、点差法的优缺点及适用范围五、结论正文：一、引言在数学中，中点弦问题是一个常见的几何问题。
所谓中点弦，是指连接圆锥曲线上两点的中垂线。
在中点弦问题中，我们需要求解连接两点的直线方程，以及该直线与圆锥曲线的交点。
解决这类问题的一种有效方法是点差法。
本文将从点差法的概念与应用出发，详细探讨如何利用点差法解决中点弦问题。
二、点差法的概念与应用1.中点弦问题的背景在解析几何中，中点弦问题是一个基本的问题。
给定圆锥曲线上的两个点A(x1, y1) 和B(x2, y2)，求连接这两个点的直线方程。
这个问题可以追溯到古代希腊数学家所研究的几何问题。
2.点差法的基本原理点差法是一种数学方法，它通过比较两个量的差值来研究问题的规律。
在解决中点弦问题时，我们可以利用点差法将圆锥曲线上的两个点A(x1, y1) 和B(x2, y2) 的坐标差值与直线的斜率建立联系。
3.点差法在解决中点弦问题中的应用利用点差法解决中点弦问题的步骤如下：（1）设直线AB 的斜率为k，写出直线AB 的方程y - y1 = k(x -x1)。
（2）将直线AB 的方程代入圆锥曲线的方程，得到一个关于x 的一元二次方程。
（3）根据一元二次方程的根的判别式，判断直线与圆锥曲线的交点个数。
（4）利用根与系数的关系，求出直线与圆锥曲线的交点坐标。
（5）根据中点坐标公式，求出连接两个交点的中点坐标。
三、中点弦问题的解法1.联立直线与圆锥曲线的方程首先，我们需要联立直线AB 的方程和圆锥曲线的方程。
假设圆锥曲线的方程为F(x, y) = 0，则直线AB 的方程为y - y1 = k(x - x1)。
中点弦问题(基础知识)
圆锥曲线的中点弦问题一：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。
注意：因为Δ＞0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验Δ＞0！1、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
例2、已知双曲线1222=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
2、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
例4、已知椭圆1257522=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
3、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。
∴所求椭圆的方程是1257522=+x y 4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆13422=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
五、注意的问题（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。
利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。
圆锥曲线中点弦典型例题及解析
01
总结词
这类问题主要考察了圆锥曲线与切线相关的性质和定理，需要利用切线
性质和圆锥曲线的定义来解决。
02
详细描述
在解决与切线相关的问题时，我们需要利用圆锥曲线的切线性质和定义，
结合题目给出的条件，推导出与中点弦相关的方程或不等式，进而求解。
03
示例
已知抛物线C的方程为y^2 = 2px (p > 0)，过其焦点F作直线与C交于A、
数形结合
将代数问题与几何图形相结合 ，利用几何意义求解。
THANKS
感谢观看
特殊情况
当点$P$为圆锥曲线的焦点时， 中点弦称为焦点弦。
中点弦的性质
垂直性质
角度性质
中点弦所在的直线与过点$P$的切线 垂直。
中点弦与切线之间的夹角等于该弦所 对的圆周角。
长度性质
中点弦的长度与过点$P$的切线长度 成反比。
中点弦的几何意义
中点弦是连接圆锥曲 线上的两个对称点的 线段。
中点弦的长度等于圆 锥曲线上的两个对称 点到点$P$的距离之 和的一半。
详细描述
在解决椭圆的中点弦问题时，需要注意中点 弦的特殊性质。例如，当直线过椭圆中心时， 中点弦即为椭圆本身；当直线的斜率为0或 无穷大时，中点弦的长度为椭圆的长轴或短 轴的长度。这些特殊性质可以帮助我们快速 判断中点弦的性质和范围。
双曲线的中点弦问题
总结词
双曲线的性质和方程
详细描述
双曲线的中点弦问题主要考察了双曲线的性质和方程。解决这类问题需要利用双曲线的 性质，如对称性、开口方向等，以及双曲线的方程，如标准方程、参数方程等。通过联 立直线和双曲线的方程，消元化简，可以得到关于中点弦的方程，进一步求解得到中点
解析几何系列小专题2- 中点弦【解析版】
y2 b2
1(a
b
0) 的短轴长为
2，倾斜角为
的直线 l 与椭圆
4
C 相交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，且点 M 与坐标原点 O 连线的斜率为 1 ，求 2
椭圆 C 的标准方程；
（3）已知椭圆 C ： x2 y2 1 上的两点.
2
①过
P1，1 2
的直线
l
与椭圆的弦被
P
平分，求直线
=
1；（2）设
M(x1,y1)N(x2,y2)，根据直线与圆锥曲线
的位置关系可得x1
+
x2
=−
3m，可得
2
M,N
的中点坐标
Q(
−
3m 4
,
m 4
)，又|AM|
=
|AN|知
AQ
⊥
MN，
因此kAQ =− 1= m−4+34m1，解得 m = 2，经检验Δ = 0 不合题意，故不存在．
试题解析：
（1）因为焦点在
请说明存在实数 k ，使得以 F1、F2 为直径的圆经过 N 点，（不要求求出实数 k ）．
【答案】（1）
x2 4
y2 3
1 （2）存在实数 k
，使得以 F1F2 为直径的圆过
N
点
【解析】
试题分析：（1）由椭圆经过点 (0, 3) ，离心率为 1 ，列出方程组，可得 a, c, b 的值，则椭 2
x2 a2
y2 b2
1a＞b＞0 的焦点和上顶点分
别为 F1、F2、B，我们称 F1BF2 为椭圆 C 的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是
相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相
第3讲.解析几何之中点弦题型
第三讲 .解析几何之中点弦题型【教学目标】1.掌握两点的中点坐标公式；2.掌握韦达定理在解析几何中的应用；3.会求解解析几何中相关的中点弦问题。
【知识、方法梳理】1.若 A(x 1, y 1 ) ， B(x 2 , y 2 ) ，则 AB 的中点坐标是 (x 1x 2 , y 1y 2 )22b x 1 x 22.一元二次方程 ax2bx c 0 ，则有ax 1x 2c a3.解析几何中遇到中点弦问题，基本解题思路是联立方程，利用韦达定理（注意判别式 ）【典例精讲】例 1. 直线 l : yx 1与椭圆x 2y 2 1交于 A, B 两点，求 A, B 的中点坐标。
42【解析】：将直线代入椭圆，得3x 24x 2 0设 A( x 1 , y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ，中点 ( x 0 , y 0 )则 x 1 x 24 x 1 x 22 13 ， x 03， y 0 x 0 123所以中点2 1( , )3 3【点评】：看到中点，想到韦达定理例 2. 设直线 l 交椭圆x 2y 21 于 A, B 两点，且 A, B 的中点为 M (1,1) ，求直线 l 的方程。
22 【解析】：直线 l 斜率不存在的情况显然不可能，所以设直线l : y 1k (x 1)2代入椭圆方程，整理得(k21 )x2 2k(k 1) x k 2 k 32242k (k1)1设A( x 1 , y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ，则 x 1x 22 ，又因为M (1,)k 2122所以 x 1 x 2k( k1 )2 1，解得 k 1 ，经检验此时2k 212所以 l : yx32【点评】：联立方程利用韦达定理是解决中点问题的基本方法例 3. 已知双曲线 x2y 2 1与点 P(1,2) ，过 P 点作直线 l 与双曲线交于 A 、B 两点，若 P 为 AB 中点 .2（ 1）求直线 AB 的方程；（ 2）若 Q (1,1) ，证明不存在以 Q 为中点的弦 .【解析】：（1）解：设过 P(1,2) 点的直线 AB 方程为 y2 k( x 1) ，代入双曲线方程得(2 k 2 )x 2 (2 k 2 4k) x (k 2 4k 6)设 A( x 1 , y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ，则有 xx2k 24k122 k 2由已知x 1x2x p 122k 24k 2k1.∴解得2k 2.又 k 1时，16 0 ，从而直线 AB 方程为 x y 10 .（ 2）证明：按同样方法求得k 2 ，而当 k 2 时，0 ，所以这样的直线不存在 .【点评】：注意检验的重要性，上题中中点在椭圆内部，检验只是形式而已，而双曲线的情况较为复例 4. 若抛物线 yax 2 1 上总存在关于直线 xy 0 对称的两点，求 a 的范围【解析】：设对称的两点分别为A( x 1 , y 1), B( x 2 , y 2 ) ，中点 M ( x 0 , y 0 ) ，考虑到直线AB 应与 x y0垂直，设直线 AB : yx b ，联立方程得， ax 2x b 10 ，所以 x x1 ， xx 1 x 2 1 ，12a2 2a点 M 也在 xy0上，所以 y 0x 01 ，即M(1, 1 )12a 2a 2a代入直线 AB ，得 by 0 x 0a所以方程化简为ax 2 x11 03 a 考虑到0 ，解得 a4例 5. 已知椭圆x 2y 2 1 上有不同两点A, B 关于 y x b 对称，求 b 的取值范围；2【解析】：设 A( x 1, y 1), B(x 2 , y 2 ) ， A, B 中点 M ( x 0 , y 0 ) ，依题意 AB 被直线 y x b 垂直平分，所以 k AB1，设 AB : y x m ，代入椭圆，整理得3x 2 4mx 2m 22 0则 x x4m ， xx 1x 2 2m ， yx0 m m1230 233由于 M ( x 0 , y 0 ) 也在 yxb 上，所以 y 0 x 0 b ， by 0 x 0m 3考虑到有两个交点0 ，解得 m (3, 3)所以 b(3 , 3 )33【点评】：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A(x 1, y 1 ), B( x 2, y 2 ) ，但不是真的求出x 1 , y 1, x 2 , y 2 ，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由 OA ⊥ OB 得 x 1 x 2 y 1 y 20 是解决本题的关键 .例 6. 椭圆 C :x 2y 21(a b 0) 的左、右焦点分别是F 1 ( c,0) ， F 2 (c,0) ，过 F 1 斜率为 1 的直线 l 与a 2b 2椭圆 C 相交于A ，B 两点，且 AF 2 ， AB ，BF 2 成等差数列．（ 1）求证： b c ； （ 2）设点 P(0, 1) 在线段 AB 的垂直平分线上，求椭圆 C 的方程．由椭圆定义 ABAF 2BF 2 4a ，所以， AB4a ．3设 A( x 1 , y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) ， F 1 ( c,0) ， l ： x y c ，代入椭圆 C 的方程，整理得(a 2b 2 ) y 22b 2cy b 4 0 ，（ * ）则 AB 2(x 1 x 2 )2( y 1 y 2 ) 2 2( y 1 y 2 ) 22[( y 1y 2 ) 24 y 1 y 2 ]2b 2 c 2 4b428b422 4b 4c 2a2 b22 2a 22 b 2a 2b 2(a 2b 2)(a 22 )，ab于是有 4a4b 2 a ，3a 2b 2化简，得 a2b ，故， b c ． 3222（ 2）由（ 1）有 b c ，方程（ *）可化为 ybby设 AB 中点为 M ( x 0 , y 0 ) ，则 y 01( y 1 y 2 ) b ，2 3又 Ml ，于是 x 0 y 0c2b 3．由 PAPB 知 PM 为 AB 的中垂线， k PM1 ，b 1由 P(0, 1)3，解得 b3， a 2，得12b18 ，故，椭圆 C 的方程为 x23y 21 ．189例 7. 已知抛物线 y 22 px( p 0) ,过动点 M ( a,0) 且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点A,B ，且 AB 2 p 。
解析几何题型及解题方法
解析几何题型及解题方法
解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究空间中点、线、面等几何对象在坐标系中的表示和性质。
以下是一些常见的解析几何题型及其解题方法：
1. 求轨迹方程：给定一些条件，求动点的轨迹方程。
解题方法包括直接法、参数法、代入法等。
2. 判断位置关系：判断两条直线、两个圆、两条圆锥曲线等是否相交、相切、相离。
解题方法包括联立方程组消元法、判别式法、一元二次方程根的判别式法等。
3. 求弦长、面积、体积等：给定一个几何对象，求其长度、面积、体积等。
解题方法包括公式法、参数法、极坐标法等。
4. 求最值：给定一个几何对象，求其长度的最大值、最小值等。
解题方法包括导数法、不等式法、极坐标法等。
5. 证明不等式：通过几何图形证明不等式。
解题方法包括构造法、极坐标法、数形结合法等。
6. 探索性问题：通过观察、猜想、证明等方式探索几何对象的性质。
解题方法包括归纳法、反证法、构造法等。
以上是一些常见的解析几何题型及其解题方法，掌握这些方法可以帮助我们更好地解决解析几何问题。
同时，需要注意题目中的条件和限制，以及图形的位置和形状，以便更准确地解决问题。
“中点弦”问题的解法探索
一
一
丢
【 —
，
２
√ 一＋（ ） ２ ６１ ． １ ２４ ２ ：
因此 ， Ａ 弦 Ｂ所在 的直 线方 程为 ＋ ）一 ０ ２， ４＝ ． 注 ： 法一 是 解 决 “ 解 中弦 点 ” 题 的 常规 解 法 ， 问
所求 的轨迹 方程 为（ 一 ｘ ） １ ６ｘ ）＝ ． ｙ ４ （ ＋ ４ ４
得 ＋＝ 一 ：
Ａ（ ，１ ， （ ２Ｙ ） １Ｙ ） Ｂ ，２ ．
＝ ２ 一． ２ ＝号 ×
点 的轨迹 方程． 结论 （ ） （ ２ 的运 用 ）
解： 设点 ｍ（ ， ） Ａ ＋ｍ， ｘｙ ， （ Ｙ＋凡 ， ｘ— ｒ Ｙ一 ） Ｂ（ ｒ， ｔ ，
忍． ）
因此 ， Ａ 弦 所 在 的直线 方程 为 ＋ ｙ一 ０ ２ ４＝ ． 解 法二 ： 点 差法 ） Ａ， 两 点 的坐标 为 （ 设
解 法三 ： Ａ ２＋ １ ） Ｂ（ 设 （ ｍ， ＋ ， ２一ｍ， 一ｎ ， １ ）
分， 弦 Ａ 求 所 在 的直 线 方程 分 析 ： 题 的 关 键 是 求 出 弦 Ａ 所 在 直 线 的 本 Ｂ
斜 率．
解法一： 设直线的斜率为 显然 ｋ存在 目 （ ． 不等于０ ， ） ｒ Ｙ一１： 一 ） （ ２ ，
《 数学之友＞
２ １ 年第 ８ ００ 期
“ 中点弦＂ 问题的解法探 索
解 题 探 索
纪 伟
（ 江苏省泰兴市第 四高级 中学 ，２ ４ １ ２５１ ）
“ 中点弦” 问题是圆锥曲线上两点的中点 （ 已知 或待求） 一类问题的统称 ， 在平面解析几何中与“ 中 点弦” 有关 的 问 题 是 一 类 很 典 型 且 很 重 要 的 问题 ．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三讲.解析几何之中点弦题型【教学目标】1.掌握两点的中点坐标公式；2.掌握韦达定理在解析几何中的应用；3.会求解解析几何中相关的中点弦问题。
【知识、方法梳理】1.若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB 的中点坐标是1212(,)22x x y y ++ 2.一元二次方程20ax bx c ++=，则有1212b x x a cx x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3.解析几何中遇到中点弦问题，基本解题思路是联立方程，利用韦达定理（注意判别式∆）【典例精讲】例1.直线:1l y x =+与椭圆22142x y +=交于,A B 两点，求,A B 的中点坐标。
【解析】：将直线代入椭圆，得23420x x +-=设1122(,),(,)A x y B x y ，中点00(,)x y 则1243x x +=-，120223x x x +==-，00113y x =+= 所以中点21(,)33-【点评】：看到中点，想到韦达定理例2.设直线l 交椭圆2212x y +=于,A B 两点，且,A B 的中点为1(1,)2M ，求直线l 的方程。
【解析】：直线l 斜率不存在的情况显然不可能，所以设直线1:(1)2l y k x -=- 代入椭圆方程，整理得222113()2()0224k x k k x k k +--+--= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12212()212k k x x k -+=+，又因为1(1,)2M 所以1221()21122k k x x k -+==+，解得1k =-，经检验此时0∆> 所以3:2l y x =-+ 【点评】：联立方程利用韦达定理是解决中点问题的基本方法例3.已知双曲线2212y x -=与点(1,2)P ，过P 点作直线l 与双曲线交于A B 、两点，若P 为AB 中点. （1）求直线AB 的方程；（2）若(1,1)Q ，证明不存在以Q 为中点的弦.【解析】：（1）解：设过(1,2)P 点的直线AB 方程为2(1)y k x -=-，代入双曲线方程得2222(2)(24)(46)0k x k k x k k -+---+=设1122(,),(,)A x y B x y ， 则有2122242k k x x k-+=-- 由已知1212p x x x +== ∴222422k k k-=-.解得1k =. 又1k =时，160∆=>，从而直线AB 方程为10x y -+=.（2）证明：按同样方法求得2k =，而当2k =时，0∆<，所以这样的直线不存在.【点评】：注意检验∆的重要性，上题中中点在椭圆内部，检验∆只是形式而已，而双曲线的情况较为复杂，检验的步骤必不可少，具体的情况我们以后会做分析。
例4.若抛物线21y ax =-上总存在关于直线0x y +=对称的两点，求a 的范围 【解析】：设对称的两点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，中点00(,)M x y ，考虑到直线AB 应与0x y +=垂直，设直线:AB y x b =+，联立方程得，210ax x b ---=，所以121x x a +=，120122x x x a+==， 点M 也在0x y +=上，所以0012y x a =-=-，即11(,)22M a a- 代入直线AB ，得001b y x a=-=- 所以方程化简为2110ax x a-+-= 考虑到0∆>，解得34a > 例5.已知椭圆2212x y +=上有不同两点B A ,关于y x b =+对称，求b 的取值范围； 【解析】：设1122(,),(,)A x y B x y ，B A ,中点00(,)M x y ，依题意AB 被直线y x b =+垂直平分，所以1AB k =-，设:AB y x m =-+，代入椭圆，整理得2234220x mx m -+-= 则1243x x m +=，120223x x x m +==，003m y x m =-+= 由于00(,)M x y 也在y x b =+上，所以00y x b =+，003m b y x =-=-考虑到有两个交点0∆>，解得(3,3)m ∈- 所以33(,)33b ∈- 【点评】：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出1122(,),(,)A x y B x y ，但不是真的求出1122,,,x y x y ，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA ⊥OB 得12120x x y y +=是解决本题的关键.例6.椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别是)0,(1c F -，)0,(2c F ，过1F 斜率为1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列．（1）求证：c b =；（2）设点)1,0(-P 在线段AB 的垂直平分线上，求椭圆C 的方程．【解析】：（1）由题设，得AB 22AF =2BF +，由椭圆定义AB 2AF +a BF 42=+， 所以，a AB 34=． 设),(11y x A ，),(22y x B ，)0,(1c F -，l ：c y x -=，代入椭圆C 的方程，整理得02)(42222=--+b cy b y b a ， （*） 则]4)[(2)(2)()(212212212212212y y y y y y y y x x AB -+=-=-+-= []22224222422222422222)(84)(2422a b a b b a c b b a b a b b a c b ⋅+=+++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=， 于是有a ba b a ⋅+=222434， 化简，得b a 2=，故，c b =．（2）由（1）有c b =，方程（*）可化为02322=--b by y设AB 中点为),(00y x M ，则3)(21210b y y y =+=， 又l M ∈，于是3200b c y x -=-=． 由=PA PB 知PM 为AB 的中垂线，1-=PM k ， 由)1,0(-P ，得32131b b -+=-，解得3=b ，182=a ， 故，椭圆C 的方程为191822=+y x ．例7.已知抛物线22(0)y px p =>,过动点(,0)M a 且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点,A B ，且2AB p ≤。
(1)求a 的取值范围(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求NAB △面积的最大值 【解析】：(1)设直线l 的方程为：y x a =-，代入抛物线方程得2()2x a px -=，即222()0x a p x a -++=2224()42AB a p a p ∴≤⋅+-≤，2242ap p p ∴+≤即24ap p ≤- 又0p >，4p a ≤-。
(2)设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点(,)C x y ,由(1)知，11y x a =-，22y x a =-，1222x x a p +=+则有1212122,222x x y y x x a x a p y p +++-==+=== ∴线段AB 的垂直平分线的方程为()y p x a p -=---,从而N 点坐标为(2,0)a p +点N 到AB 的距离为|2|22a p a p +-= 从而222124()42222NAB S a p a p p ap p =⋅⋅+-⋅=+△ 当a 有最大值4p -时，S 有最大值为22p 。
【双基训练】1.若直线20x y --=与抛物线24y x =交于,A B 两点，则线段AB 的中点坐标是_________ 2.设直线l 交椭圆22132x y +=于,A B 两点，且,A B 的中点为(1,1)M ，求直线l 的方程。
3.已知双曲线2212y x -=与点(2,1)P ，问能否过P 点作直线l 与双曲线交于A B 、两点，使得P 为AB 中点？若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由。
4.已知椭圆13422=+y x 上有不同两点B A ,关于m x y +=4对称，求m 的取值范围；【纵向应用】5.已知直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 点。
（1）求a 的取值范围；（2）是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线x y 21=对称？若存在， 请求出a 的值；若不存在，说明理由。
【横向拓展】6.定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。
如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。
已知椭圆221:14x C y +=。
（1） 若椭圆222:1164x y C +=，判断2C 与1C 是否相似？如果相似，求出2C 与1C 的相似比；如果不相似，请说明理由；（2） 写出与椭圆1C 相似且短半轴长为b 的椭圆b C 的方程；若在椭圆b C 上存在两点M 、N 关于直线1y x =+对称，求实数b 的取值范围？（3） 如图：直线l 与两个“相似椭圆”22221x y a b+=和22222(0,01)x y a b a bλλ+=>><<分别交于点,A B 和点,C D ，证明：AC BD =【练习题答案】1.(4,2)2.2533y x =-+ 3.能，23y x =- 4.213213,1313m ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭5.【解析】：（1）由⎩⎨⎧=-+=13122y x ax y 消去y ，得022)3(22=---ax x a 依题意⎩⎨⎧>∆≠-0032a 即66<<-a 且3±≠a （2）如果存在的话，必须满足AB 被x y 21=垂直平分，所以2a =- 代入（1）中方程得2420x x -+=设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)M x y ， 则12022x x x +==，00213y x =-+=-，即(2,3)M - 但(2,3)M -不在12y x =上，所以不存在这样的a 。
6.【解析】：（1）椭圆2C 与1C 相似。
因为椭圆2C 的特征三角形是腰长为4，底边长为43的等腰三角形，而椭圆1C 的特征三角形是腰长为2，底边长为23的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为2:1（2）椭圆b C 的方程为：22221(0)4x y b b b+=>- 设:MN l y x t =-+，点1122(,),(,)M x y N x y ，MN 中点为00(,)x y ， 则222214y x t x y b b=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以222584()0x tx t b -+-= 则12004,255x x t t x y +=== 因为中点在直线1y x =+上，所以有4155t t =+，53t =-即直线MN l 的方程为：5:3MN l y x =--， 由题意可知，直线MN l 与椭圆b C 有两个不同的交点， 即方程2225558()4[()]033x x b --+--=有两个不同的实数解， 所以224025()454()039b ∆=-⨯⨯⨯->，即53b > （3）证明：①直线l 与x 轴垂直时，易得线段AB 与CD 的中点重合，所以AC BD =； ②直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为：y kx n =+，1122(,),(,)A x y B x y ， 线段AB 的中点00(,)x y ，2222222222222()2()01y kx n b a k x a knx a n a b x y ab =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩ 20122222002221()2a kn x x x b a k nby kx n b a k ⎧=+=-⎪⎪+⇒⎨⎪=+=⎪+⎩⇒线段AB 的中点为22222222(,)a kn nb b a k b a k -++ 同理可得线段CD 的中点为22222222(,)a kn nb b a k b a k -++， 即线段AB 与CD 的中点重合，所以AC BD =。