关于利用“点差法”求解中点弦所在直线斜率问题的教学案例(曹文红)
点差法求解中点弦问题
点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。
求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。
用点差法时计算量较少，解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用到判别式加以检验。
【定理1】在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN-=⋅. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x )2()1(-，得.02222122221=-+-byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN=⋅. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x)2()1(-，得.02222122221=---by y a x x .2212121212a b x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .2200a b x y k MN =⋅∴ 【定理3】 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k M N=⋅0.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==)2(.2)1(,2222121 m x y m x y)2()1(-，得).(2212221x x m y y -=-.2)(121212m y y x x y y =+⋅--∴又01212122,y y y x x y y k MN =+--=.m y k MN =⋅∴0.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在.一、椭圆1、过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (2,1)作一条直线交椭圆于A 、B 两点，使线段AB 被P 点平分，求此直线的方程．【解】 法一：如图，设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0， (*)又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1、x 2是(*)方程的两个根，∴x 1＋x 2＝k 2－k4k 2＋1. ∵P 为弦AB 的中点，∴2＝x 1＋x 22＝k 2－k 4k 2＋1.解得k ＝－12，∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又∵A 、B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0， 即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24y 1＋y 2＝－12， 即k AB ＝－12.∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.2、已知椭圆+=1，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程．【解答】解：设P （x ，y ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ．则+=1，①+=1，②②﹣①得，=﹣．∴﹣=3，整理得：x+y=0．由，解得x=所求轨迹方程为：x+y=0．（﹣＜x ＜）∴点P 的轨迹方程为：x+y=0（﹣＜x ＜）；3、（2013秋•启东市校级月考）中心在原点，焦点坐标为（0，±5）的椭圆被直线3x ﹣y ﹣2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为=1 ．【解答】解：设椭圆=1（a ＞b ＞0），则a 2﹣b 2=50①又设直线3x ﹣y ﹣2=0与椭圆交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦AB 中点（x 0，y 0） ∵x 0=，∴代入直线方程得y 0=﹣2=﹣，由，得，∴AB 的斜率k==﹣•=﹣•=3∵=﹣1，∴a 2=3b 2②联解①②，可得a 2=75，b 2=25，∴椭圆的方程为：=1故答案为：=1．4、例1（09年四川）已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22=e ，右准线方程为2=x .(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3262||22=+N F M F ，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.2,222c a x a c e ∴1,1,2===c b a .∴所求的椭圆方程为1222=+y x . （Ⅱ）椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点为),(y x P .由平行四边形法则知：P F N F M F 2222=+.由3262||22=+N F M F 得：326||2=F .∴.926)1(22=+-y x ① 若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点P 与)0,1(1-F 重合，4|2|||1222==+F F F F ，与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在.由22ab x y k MN-=⋅得：.211-=⋅+x y x y ∴).(2122x x y +-=② ②代入①，得.926)(21)1(22=+--x x x 整理，得：0174592=--x x . 解之得：317=x ，或32-=x .由②可知，317=x 不合题意. ∴32-=x ，从而31±=y .∴.11±=+=x yk ∴所求的直线l 方程为1+=x y ，或1--=x y .6、（2009秋•工农区校级期末）已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点M ，则点M 的坐标为．【解答】解：设直线与椭圆的交点分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则，两式相减，得=0，（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=﹣3（x 1﹣x 2）（x 1+x 2），=﹣3×，因为直线斜率为3，∴=3，∵两交点中点在直线x=，x 1+x 2=1，∴3=﹣3×1÷（y 1+y 2），∴=﹣．所以中点M 坐标为（，﹣）．故答案为：（，﹣）．7、如图，在DEF R t ∆中，25||,2||,90=+=︒=∠DEF ，椭圆C ：12222=+by a x ，以E 、F为焦点且过点D ，点O 为坐标原点。
圆锥曲线专题解析5：点差法分析中点及斜率（附参考答案）
圆锥曲线专题解析5：点差法分析中点及斜率（附参考答案）点差法分析中点及斜率（圆锥曲线）Ø方法导读我们在解答圆锥曲线题目时,经常会碰到一些中点弦的问题,比如根据弦的斜率求中点坐标,根据中点坐标求弦的斜率,或者其它一些跟中点弦相关的计算和证明等等.按照常规思路,我们会联立直线和圆锥曲线方程,消去或,然后通过韦达定理来处理中点弦的问题,这样能得到我们所要求的结果,但计算量会比较大,一不小心就会算错,造成失分.今天来介绍下圆锥曲线中的点差法,专门针对中点弦的问题进行简化运算,快速得到答案.Ø高考真题【2018年高考Ⅲ卷理20】已知斜率为的直线与椭圆交于,两点.线段的中点为.(1)证明:;(2)设为的右焦点,为上一点,且.证明:,,成等差数列,并求该数列的公差.Ø解题策略【过程分析】我们来分析下第一问,第二问不在本专题研究范围之内,学生可自行总结.题目中出现了弦的中点坐标条件,证明的结论是弦的斜率范围.根据正常思路,先设出直线方程为,代入中点坐标可得,联立直线和椭圆,消去y得,然后将代入得到不等式,再结合中点的条件及的范围得到的范围,又或者先求出的表达式,然后结合的范围分析求解. 解题思路上不算太复杂,套路也是常用的处理方式,但计算量大,非常容易算错,费事费力,一不小心就会造成选择不对,努力白费的局面,所以这个时候选择一个好方法就显得尤为重要,点差法就是专门处理这类中点弦的问题的快捷方法,通过将点的坐标代入曲线方程,然后作差能快速得到斜率和中点的关系,从而大大简化运算,轻松得分.Ø解题过程(1)设,,则,,两式相减,并由得.由题设知,,,于是.①又数形结合可知,故;(2)由题意得,设,则,由(1)及题设得,.又点在上,所以,从而,. ∴. 同理,所以,故,即,,成等差数列.设该数列的公差为,则.②将代入①得.所以的方程为,代入的方程,并整理得.故,,代入②解得.所以该数列的公差为或.Ø解题分析从解析第一问中可以看出,我们用点差法来处理中点弦的问题是极为方便的,计算量小,思路也很简单.设出弦与曲线的交点坐标,,因为点在曲线上,故代入曲线方程可得,,然后作差,作差是点差法的精髓所在,作差之后我们可以得到,平方差公式展开得,然后根据两点间的斜率公式和中点坐标公式,代入就可以得到,表达式中中点坐标和弦的斜率关系一目了然,简明扼要,然后在根据的范围得到的范围. 所以点差法用在弦的中点和斜率关系的求解上绝对可以起到事半功倍的效果,没有了冗长的计算,学生学起来不但轻松了,而且学习兴趣也会大大提高,增强学习数学的自信心.Ø拓展推广点差法:设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为,,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点坐标和斜率有关的式子,我们称这种代点作差的方法为“点差法”.结论:结论1:斜率为的直线与椭圆交于,两点,中点为,则.结论2:斜率为的直线与双曲线交于,两点,中点为,则.结论3:斜率为的直线与抛物线交于,两点,中点为,则.若圆锥曲线的焦点在y轴上,结论如何,请同学们结合点差法自己动手推理试试.点差法应用题型:1.以定点为中点的弦所在的直线方程2.过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹3.圆锥曲线上两点关于某直线对称问题4.求与中点弦有关的圆锥曲线的方程或离心率等5.与中点弦有关的证明定值,求参数范围,存在性问题等等注意事项:利用点差法时,有时要验证求出的结果是否满足直线与曲线相交的要求,可用判别式分析.举例说明:已知双曲线的方程,问是否存在被点平分的弦,如果存在,求出弦所在的直线方程,如果不存在,请说明理由.按照常规的解法:设直线的方程为,与双曲线方程联立,由得,且,但是由“点差法”仍然可得到一条直线的斜率,显然不符合题意,由此可见“点差法”是有局限性的.事实上,(1)若中点在圆锥曲线(包括圆)内部,则满足条件的直线必定存在;(2)若中点在圆锥曲线(包括圆)上,则满足条件的直线必不存在;(3)若中点在圆锥曲线(除双曲线外)外部,则满足条件的直线必不存在.特别地,对于点在双曲线的外部时,满足时直线必定存在,否则一定不存在(当点在坐标轴上时属于特殊情况,应当特殊考虑). 拓展:定比点差法圆锥曲线中涉及“中点、中点弦”等问题可以考虑使用“点差法”. 有时问题中不出现“中点”,而是“定比分点”,这时可以考虑使用“定比点差法”. 定比点差法与点差法类似,都是根据某两点在圆锥曲线上,则这两点满足曲线方程,然后作差. 定比点差法代点后一个等式不变,另一个等式两边同乘以,再相减.设,在二次曲线上,则,两式作差得,即①,若,则,即②,将②代入①得③,然后根据条件进行相应分析即可.变式训练1已知直线与抛物线交于,两点,则线段中点坐标是__________.变式训练2已知双曲线,经过点能否作一条直线,使与双曲线交于、两点,且点是线段的中点.若存在这样的直线,求出它的方程,若不存在,请说明理由.变式训练3已知椭圆,(1)求斜率为的平行弦的中点轨迹方程;(2)过的直线的椭圆相交,求被椭圆截得的弦的中点轨迹方程;(3)求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 变式训练4已知过点的直线与椭圆且相交于,两点,中点坐标为且(为坐标原点).(1)求直线的方程;(2)证明:为定值. 变式训练5 如图,在中,,,,椭圆以,为焦点且过点,点为坐标原点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若点满足,问是否存在不平行的直线与椭圆交于不同的两点,且,若存在,求出直线的斜率的取值范围,若不存在,说明理由. 答案变式训练1设中点坐标为,则①又由点差法知,即②由①②知:,故所求为.变式训练2见解析设存在被点平分的弦,且,,则,.∵点在曲线上,∴,, 两式相减,得,∴,故直线.由消去y,得,,方程无解,故不存在这样的直线. 变式训练3见解析(1)设这些平行弦的方程为,弦的中点为.联立直线方程和椭圆方程:,消去y得,因此,,∴,的横纵坐标是,,,消去得平行弦的中点轨迹方程为:,.(2)设弦的端点为,,弦的中点为.∴,∴,∵,因此,化简得.(包含在椭圆内部的部分) (3)由(2)可得弦所在直线的斜率为,因此所求直线方程是:,化简得:.变式训练4 见解析(1)设,,∴,①-②得,∵中点坐标为,∴.∴直线的方程为。
点差法求解中点弦问题
点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。
求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。
用点差法时计算量较少，解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用到判别式加以检验。
【定理1】在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=-+-byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN =⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---b y y a x x .2212121212ab x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .2200a b x y k MN =⋅∴ 【定理3】 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN=⋅0.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==)2(.2)1(,2222121 mx y mx y)2()1(-，得).(2212221x x m y y -=-.2)(121212m y y x x y y =+⋅--∴又01212122,y y y x x y y k MN =+--=.m y k MN =⋅∴0.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在.一、椭圆1、过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (2,1)作一条直线交椭圆于A 、B 两点，使线段AB 被P 点平分，求此直线的方程．【解】 法一：如图，设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0， (*)又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1、x 2是(*)方程的两个根，∴x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.∵P 为弦AB 的中点，∴2＝x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1.解得k ＝－12，∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又∵A 、B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12.∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.2、已知椭圆+=1，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程．【解答】解：设P （x ，y ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ．则+=1，①+=1，②②﹣①得，=﹣．∴﹣=3，整理得：x+y=0．由，解得x=所求轨迹方程为：x+y=0．（﹣＜x ＜）∴点P 的轨迹方程为：x+y=0（﹣＜x ＜）；3、（2013秋•启东市校级月考）中心在原点，焦点坐标为（0，±5）的椭圆被直线3x ﹣y ﹣2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为=1 ．【解答】解：设椭圆=1（a ＞b ＞0），则a 2﹣b 2=50①又设直线3x ﹣y ﹣2=0与椭圆交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦AB 中点（x 0，y 0） ∵x 0=，∴代入直线方程得y 0=﹣2=﹣，由 ，得，∴AB 的斜率k==﹣•=﹣•=3∵=﹣1，∴a 2=3b 2②联解①②，可得a 2=75，b 2=25，∴椭圆的方程为：=1故答案为：=1．4、例1（09年四川）已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22=e ，右准线方程为2=x .(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3262||22=+N F M F ，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.2,222c a x a c e ∴1,1,2===c b a .∴所求的椭圆方程为1222=+y x . （Ⅱ）椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点为),(y x P .由平行四边形法则知：P F N F M F 2222=+.由3262||22=+N F M F 得：326||2=P F .∴.926)1(22=+-y x ①y D若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点P 与)0,1(1-F 重合，4|2|||1222==+F F N F M F ，与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在.由22a b x y k MN -=⋅得：.211-=⋅+x y x y ∴).(2122x x y +-=② ②代入①，得.926)(21)1(22=+--x x x 整理，得：0174592=--x x . 解之得：317=x ，或32-=x .由②可知，317=x 不合题意. ∴32-=x ，从而31±=y .∴.11±=+=x yk∴所求的直线l 方程为1+=x y ，或1--=x y .6、（2009秋•工农区校级期末）已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点M ，则点M 的坐标为．【解答】解：设直线与椭圆的交点分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则，两式相减，得=0，（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=﹣3（x 1﹣x 2）（x 1+x 2），=﹣3×，因为直线斜率为3，∴=3，∵两交点中点在直线x=，x 1+x 2=1，∴3=﹣3×1÷（y 1+y 2），∴=﹣．所以中点M 坐标为（，﹣）．故答案为：（，﹣）．7、如图，在DEF R t ∆中，25||,2||,90=+=︒=∠ED EF EF DEF ，椭圆C ：12222=+by a x ，以E 、F为焦点且过点D ，点O 为坐标原点。
点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用doc
点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。
它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。
本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。
定理 在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN =⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,00021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.2200ab x y k MN=⋅∴ 同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN =⋅.典题妙解例1 已知双曲线13:22=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点.（1）求弦AB 的中点M 的轨迹；（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程. 解：（1）,3,122==b a 焦点在y 轴上.设点M 的坐标为),(y x ，由22b a x y k AB =⋅得：3121=⋅--x y x y ，整理得：.032322=+--y x y x∴所求的轨迹方程为.032322=+--y x y x（2） P 恰为弦AB 的中点，∴由2200ba x y k AB =⋅得：,3121=⋅AB k 即.32=AB k∴直线l 的方程为)2(321-=-x y ，即.0132=--y x 例2 已知双曲线22:22=-y x C 与点).2,1(P（1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围； （2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ？ （3）试判断以)1,1(Q 为中点的弦是否存在.解：（1）直线l 的方程为)1(2-=-x k y ，即.2k kx y -+=由⎩⎨⎧=--+=.22,222y x k kx y 得.064)2(2)2(2222=+-+---k k x k k x k直线l 与C 有两个公共点，∴得⎪⎩⎪⎨⎧+----=∆≠-.0)64)(2(4)2(4,0222222 k k k k k k解之得：k ＜23且.2±≠k ∴k 的取值范围是).23,2()2,2()2,( ---∞（2）双曲线的标准方程为.2,1,122222==∴=-b a y x 设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，则由2200ab x y k AB =⋅得：.1,22=∴=⋅k k由（1）可知，1=k 时，直线l 与C 有两个公共点，∴存在这样的弦.这时直线l 的方程为.1+=x y（3）设以)1,1(Q 为中点的弦存在，则由2200ab x y k AB =⋅得：.2,21=∴=⋅k k由（1）可知，2=k 时，直线l 与C 没有两个公共点，∴设以)1,1(Q 为中点的弦不存在.例3 过点)0,2(-M 作直线l 交双曲线1:22=-y x C 于A 、B 两点，已知OB OA OP +=（O为坐标原点），求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：在双曲线1:22=-y x C 中，122==b a ，焦点在x 轴上.设弦AB 的中点为Q .,OB OA OP +=由平行四边形法则知：OQ OP 2=，即Q 是线段OP 的中点. 设点P 的坐标为),(y x ，则点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,2y x . 由2222a bx y k AB =⋅得：14222=⋅+=⋅+x y x y x y x y，整理得：.0422=+-x y x配方得：144)2(22=-+y x . ∴点P 的轨迹方程是144)2(22=-+y x ，它是中心为)0,2(-，对称轴分别为x 轴和直线02=+x 的双曲线.例 4. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由2234y x =-得)32(322-=x y ，∴3=p ，抛物线的顶点是)0,32(，准线是3213223=+-=x . ∴在双曲线C 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.321,322ca c . ∴.1,3122==b a∴双曲线C 的方程为1322=-y x .（Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=.13,1222y x x y 得：0242=++x x . 设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x .∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=⨯--+=-++=x x x x k AB .（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线. 因而k a 1-=，从而41:'+-=x ky l . 设线段AB 的中点为),(00y x P . 由2200ab x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由4100+⋅-=x ky 得：k x ky 400+-=.…………………………………………………② 由①、②得：3,00==y k x .由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .又由⎩⎨⎧+==-.1,1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x k直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(8422--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k .∴符合题意的k 的值存在，2±=k .金指点睛1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程为（ ）A.14322=-y xB. 13422=-y xC. 12522=-y xD. 15222=-y x 2.（02江苏）设A 、B 是双曲线1222=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点. （1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？3. 已知双曲线1322=-y x ，过点)23,21(--P 作直线l 交双曲线于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹;（2）若点P 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程和弦AB 的长.4、双曲线C 的中心在原点，并以椭圆1132522=+y x 的焦点为焦点，以抛物线x y 322-=的准线为右准线.（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线)0(3:≠+=k kx y l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(6:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.参考答案1. 解：在直线1-=x y 中，1=k ，32-=x 时，35-=y . 由2200a b x y k MN =⋅得222532351a b ==--⋅. 又由⎪⎩⎪⎨⎧==+=72522222c b a a b 得5,222==b a . 故答案选D.2. 解：（1）2,122==b a ，焦点在x 上. 由2200ab x y k AB =⋅得：22=⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线AB 方程为)1(12-⋅=-x y ，即01=+-y x .（2）设直线CD 的方程为0=++m y x ，点)2,1(N 在直线CD 上， ∴021=++m ，3-=m .∴直线CD 的方程为03=-+y x .又设弦CD 的中点为),(y x M ，由22a b x y k CD=⋅得：21=⋅-xy，即x y 2-=. 由⎩⎨⎧-==-+.2,03x y y x 得6,3=-=y x .∴点M 的坐标为)6,3(-.又由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.12,0122y x y x 得)4,3(),0,1(B A -. 由两点间的距离公式可知：102||||||||====MD MC MB MA . 故A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 3. 解：（1）3,122==b a ，焦点在x 上. 设点M 的坐标为),(y x .若直线l 的的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时直线l 与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l 的的斜率存在.由22ab x y k AB =⋅得：32123=⋅++x y x y ， 整理，得：0332622=-+-y x y x .∴点M 的轨迹方程为0332622=-+-y x y x .（2）由2200abx y k AB =⋅得：32123=--⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线l 方程为)21(123+⋅=+x y ，即1-=x y .由⎪⎩⎪⎨⎧-==-.1,1322x y y x 得022=-+x x ， 解之得：1,221=-=x x . ∴.2332||1||122=⋅=-+=x x k AB4. 解：（1）在椭圆1132522=+y x 中，32,13,522=-===b a c b a ，∴焦点为)0,32(),0,32(21F F -.在抛物线x y 322-=中，3=p ，∴准线为23=x . ∴在双曲线中，232=c a . 从而.3,3==b a ∴所求双曲线C 的方程为19322=-y x . （2）直线'l 是弦AB 的垂直平分线，∴k m 1-=，从而61:'+⋅-=x ky l . 设弦AB 的中点为),(00y x P .由2200a b x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由6100+⋅-=x ky 得：k x ky 600+-=.…………………………………………………② 由①、②得：29,2300==y k x又 300+=kx y ，∴32329+⋅=kk ，即12=k . ∴1±=k . 由⎪⎩⎪⎨⎧+==-.3,19322kx y y x 得.0186)3(22=++-kx x k 直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(723622--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴1±=k 符合题意.故k 的值为1±.。
解-点差法公式在抛物线中点弦问题中的妙用教案资料
“点差法”公式在抛物线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。
它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。
本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。
定理 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==)2(.2)1(,2222121ΛΛΛΛmx y mx y)2()1(-，得).(2212221x x m y y -=-.2)(121212m y y x x y y =+⋅--∴又01212122,y y y x x y y k MN =+--=Θ.m y k MN =⋅∴0.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在. 同理可证，在抛物线)0(22≠=m my x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN=⋅01.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零.例1．抛物线x y 42=的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（ ） A. 12-=x y B. )1(22-=x y C. 212-=x y D. 122-=x y 解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上. 设弦的中点M 的坐标为),(y x . 由m y k MN =⋅得：21=⋅-y x y， 整理得：)1(22-=x y .∴所求的轨迹方程为)1(22-=x y .故选B.例2．抛物线22x y =上一组斜率为2的平行弦中点的轨迹方程是（ ）A. 21=x （y ＞21）B. 21=y （x ＞21） C. x y 2=（x ＞1） D. 12+=x y 解：由22x y =得y x 212=，41=∴m ，焦点在y 轴上. 设平行弦的中点M 的坐标为),(y x .由m x k MN=⋅1得：4121=⋅x ，21=∴x . 在22x y =中，当21=x 时，21=y . ∴点M 的轨迹方程为21=x （y ＞21）.故答案选A.例3．（03上海）直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得的线段的中点坐标是___________.解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上. 设弦MN 的中点P 的坐标为),(y x ，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则.1=MN k 由m y k MN =⋅0得：20=y ，.120-=∴x 从而30=x .∴所求的中点坐标是)2,3(.例4．抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，它和直线1-=x y 相交，所得的弦的中点在522=+y x 上，求抛物线的方程.解：设抛物线的方程为)0(22≠=m mx y ，直线与抛物线的两个交点为M 、N ，弦MN 的中点P 的坐标为),(00y x .由m y k MN =⋅0得：m y =0，.1100+=+=∴m y x又Θ点),1(m m P +在圆522=+y x 上，.5)1(22=++∴m m解之得：,2-=m 或.1=m由⎩⎨⎧=-=.2,12mx y x y 得：.01)1(22=++-x m x Θ直线与抛物线有两个不同的交点，4)1(42-+=∆∴m ＞0. ∴m ＜2-，或m ＞0..1=∴m故所求的抛物线方程为.22x y =例5．已知抛物线x y 122=上永远有关于直线m x y l +=4:对称的相异两点，求实数m 的取值范围.解：设抛物线上A 、B 两点关于直线l 对称，且弦AB 的中点为),(00y x P . 根据题意，点P 在直线l 上，l AB ⊥，∴41-=AB k . 又x y 122=，mx y 22=，∴6=m .由m y k AB =⋅0，得：6410=⋅-y ，∴240-=y . 又由m x y +=004，得：4240+-=m x .点),(00y x P 在抛物线的开口内，∴2)24(-＜)424(12+-⨯m . 解之得：m ＜216-.故实数m 的取值范围)216,(--∞.例6. （05全国Ⅲ文22）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线. （Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）y x 212=Θ，∴)81,0(,41F p =. 设线段AB 的中点为),(00y x P ，直线l 的斜率为k ，则0212x x x =+.若直线l 的斜率不存在，当且仅当021=+x x 时，AB 的垂直平分线l 为y 轴，经过抛物线的焦点F. 若直线l 的斜率存在，则其方程为00)(y x x k y +-=，kk AB 1-=.由p x k AB=⋅01得：410=-kx ，∴kx 410-=. 若直线l 经过焦点F ，则得：0004181y y kx +=+-=，410-=y ，与00≥y 相矛盾. ∴当直线l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述，当且仅当021=+x x 时，直线l 经过抛物线的焦点F. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，.102,12),18,3(),2,1(210210=+=-=+=-y y y x x x B A 由p x k AB=⋅01得：41=k . ∴所求的直线l 的方程为10)1(41++=x y ，即.0414=+-y x 例7．已知直线02=--y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是________. 解：x y 42=，mx y 22=，∴2=m . 直线的斜率为1. 由m y k MN =⋅0得：20=y . 代入0200=--y x 求得40=x .∴线段AB 的中点坐标是)2,4(.例8．直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标是2，则||PQ =____.解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m .在2-=kx y 中，20=x 时，220-=k y ，∴若PQ 中点的纵坐标是220-=k y .由m y k AB =⋅0得：4)22(=-k k ，即022=--k k .解之得：2=k 或1-=k . 由⎩⎨⎧=-=.8,22x y kx y 得：04)2(422=++-x k x k .Θ直线与抛物线交于不同的两点，∴⎪⎩⎪⎨⎧-+=∆≠.016)2(16,0222φk k k解之得：k ＞1-且0≠k . ∴2=k .由⎩⎨⎧=-=.8,222x y x y 得：041642=+-x x . 即0142=+-x x . 设),(),,(2211y x Q y x P ，则1,42121==+x x x x .∴[]152)416(54)()1(||212212=-=-++=x x x x k PQ .例9．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线14:+-=x y l 被抛物线C 所截得的弦AB 的中点M 的纵坐标为2-，则抛物线C 的方程为____________.解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m .由m y k AB =⋅0得：4=AB k .∴AB 所在的直线方程为)4(41-=-x y ，即0154=--y x .例10．设1P 2P 为抛物线y x =2的弦，如果这条弦的垂直平分线l 的方程为3+-=x y ，求弦1P 2P 所在的直线方程.解：设抛物线的方程为mx y 22=（m ＞0）. 在14+-=x y 中，斜率为4-，2-=y 时，43=x . ∴弦AB 的中点M 的坐标为)2,43(--. 由m y k AB =⋅0得：m =-⨯-)2(4，∴8=m .∴所求的抛物线的方程为x y 162=.例11．过点)1,4(Q 作抛物线x y 82=的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，则AB 所在的直线方程为_______.解：y x =2，my x 22=，∴21=m . 弦1P 2P 所在直线的斜率为 1. 设弦1P 2P 的中点坐标为),(00y x .由m x k P P =⋅0211得：210=x . 弦1P 2P 的中点也在直线3+-=x y 上，∴253210=+-=y .弦1P 2P 的中点坐标为)25,21(. ∴弦1P 2P 所在的直线方程为)21(125-⋅=-x y ，即02=+-y x . 例12．已知抛物线22x y =上有不同的两点A 、B 关于直线m x y l +=:对称，求实数m 的取值范围. 解：设弦AB 的中点为),(00y x P .根据题意，l AB ⊥，∴1-=AB k . 又y x 212=，my x 22=，∴41=m . 由m x k AB=⋅01，得：4110=⋅-x ，∴410-=x . 又由m x y +=00，得：m y +-=410. 点),(00y x P 在抛物线的开口内，∴2)41(-＜)41(21m +-⨯.解之得：m ＞83.故实数m 的取值范围),83(+∞.例13．（05全国Ⅲ理21）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线. （Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论. （Ⅱ）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上的截距的取值范围. 解：（Ⅰ）y x 212=Θ，∴)81,0(,41F p m ==. 设线段AB 的中点为),(00y x P ，直线l 的斜率为k ，则0212x x x =+.若直线l 的斜率不存在，当且仅当021=+x x 时，AB 的垂直平分线l 为y 轴，经过抛物线的焦点F. 若直线l 的斜率存在，则其方程为00)(y x x k y +-=，kk AB 1-=. 由m x k AB=⋅01得：410=-kx ，∴kx 410-=. 若直线l 经过焦点F ，则得：0004181y y kx +=+-=，410-=y ，与00≥y 相矛盾. ∴当直线l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述，当且仅当021=+x x 时，直线l 经过抛物线的焦点F.（Ⅱ）当2=k 时，由（Ⅰ）知，810-=x ，直线l 的方程为4120++=y x y ， ∴它在y 轴上的截距410+=y b ，410-=b y . 直线AB 的方程为00)(21y x x y +--=，即16521-+-=b x y .代入22x y =并整理得：085242=+-+b x x . Θ直线AB 与抛物线有两个不同交点，∴)852(161+--=∆b ＞0，即932-b ＞0.∴b ＞329.故l 在y 轴上的截距的取值范围是),329(+∞.例14．(08陕西文理20) 已知抛物线22x y C =：，直线2+=kx y 交C 于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N.（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0=⋅NB NA ，若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由. 证明：（Ⅰ）41,212===p m y x ，设点M 的坐标为),(00y x . 当0=k 时，点M 在y 轴上，点N 与原点O 重合，抛物线C 在点N 处的切线为x 轴，与AB 平行. 当0≠k 时，由p x k AB=⋅01得：40k x =. ∴8222k x y N ==. 得点N 的坐标为)8,4(2k k . 设抛物线C 在点N 处的切线方程为)4(82k x m k y -=-，即8)4(2k k x m y +-=. 代入22x y =，得：8)4(222k k x m x +-=，整理得：084222=-+-k km mx x . 0)(2)84(822222=-=+-=--=∆k m k km m k km m ，∴k m =，即抛物线C 在点N 处的切线的斜率等于直线AB 的斜率.故抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行.（Ⅱ）解：若0=⋅NB NA ，则NB NA ⊥，即︒=∠90ANB .∴||2||2||2||MN BM AM AB ===.482200+=+=k kx y ，∴816848||2220+=-+=-=k k k y y MN N . 由⎩⎨⎧=+=.2,22x y kx y 得0222=--kx x .设),(),,(2211y x B y x A ，则1,22121-==+x x kx x . ∴)16)(1(21)44)(1(]4))[(1(||2222212212++=++=-++=k k k k x x x x k AB .∴8162)16)(1(21222+⨯=++k k k . 即4)16()16)(1(2222+=++k k k . 化简，得：416122+=+k k ，即42=k .∴2±=k .故存在实数2±=k ，使0=⋅.。
椭圆中点弦问题点差法(微教案)
1. 知识与技能：让学生掌握椭圆中点弦问题的解法——点差法，能运用点差法解决相关问题。
2. 过程与方法：通过引导学生发现中点弦的性质，培养学生观察、分析、解决问题的能力。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：椭圆中点弦问题的解法——点差法。
2. 教学难点：如何灵活运用点差法解决实际问题。
三、教学方法1. 引导发现法：引导学生发现中点弦的性质，自主探究解法。
2. 案例分析法：通过分析具体案例，让学生学会点差法的应用。
3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的团队合作精神。
四、教学过程1. 导入新课：回顾椭圆的基本性质，引导学生关注椭圆的中点弦问题。
2. 自主探究：让学生尝试解决椭圆中点弦问题，发现解题规律。
3. 讲解点差法：根据学生的探究结果，讲解点差法的原理和步骤。
4. 案例分析：分析具体案例，让学生学会点差法的应用。
5. 巩固练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
6. 拓展提高：引导学生思考如何将点差法应用于其他几何问题。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。
8. 作业布置：布置作业，巩固所学知识。
课后对本节课的教学进行反思，了解学生的掌握情况，针对性地调整教学方法和策略。
关注学生的个体差异，力求让每个学生都能在课堂上发挥潜能。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习兴趣和积极性。
2. 练习反馈：分析学生的练习作业，评估学生对点差法的掌握程度及应用能力。
3. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的合作精神和问题解决能力。
七、教学拓展1. 对比教学：对比椭圆与其他圆锥曲线的性质，探讨它们的中点弦问题解法。
2. 实际应用：引导学生关注椭圆中点弦问题在实际生活中的应用，如地球卫星轨道等。
八、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，辅助讲解和展示椭圆中点弦问题的解法。
2. 练习题库：准备一定数量的练习题，供学生巩固所学知识。
关于利用“点差法”求解中点弦所在直线斜率问题的教学案例(曹文红) (1)
关于利用“点差法”求解中点弦所在直线斜率问题的教学案例湖北省宜昌市夷陵中学 曹文红[问题背景]圆锥曲线的中点弦问题是解析几何中的一类常见问题。
对于求解以定点为中点的弦所在直线方程问题，许多同学习惯于利用“点差法”先求直线斜率：即首先设弦的两端点坐标为),(),,(2211y x B y x A ，代入圆锥曲线方程得到两方程后再相减，从而得到弦中点坐标与所在直线的斜率的关系，使问题得以解决。
此方法巧妙地将斜率公式和中点坐标公式结合起来，设而不求，代点作差，可以减少计算量，提高解题速度，优化解题过程，对解决此类问题确实具有很好的效果。
但在具体应用时，由于“点差法”所必须具备的前提条件是符合条件的直线确实存在，否则就会产生增根。
而学生由于认知方面的原因，对于此类问题往往只注意利用“点差法”先求直线斜率再求方程却常常忽略了检验符合条件的直线是否存在，从而走入“点差法”的误区，出现错误却无法察觉。
为此，我专门设计了一节利用“点差法”求直线斜率的习题课，通过师生互动、合作探究的方式，使教学过程生动活泼，一波三折，使学生加深了对求解以定点为中点的弦所在的直线方程问题的认识，认清了产生增根的根源，找到了简便易行的检验方法，收到了较好的教学效果。
[案例实录]1、 创设情景，提出问题师：前面，我们已经学习了椭圆、双曲线和直线的位置关系，知道了解决这类问题的主要方法。
下面请大家看问题1：已知点)2,4(M 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程。
问题提出后，犹如一石激起千层浪，学生的探究热情被激发起来，开始了对问题的探索。
2、 自主探索，暴露思维学生求解的同时，教师在行间巡视，发现生1很快得出了结果，于是请生1上台板书：生1：解：设直线l 与椭圆交点为),(),,(2211y x B y x A ，则有3642121=+y x ，3642222=+y x ，两式相减，得：()()()()0421212121=-++-+y y y y x x x x ，因为)2,4(M 为AB 中点，所以有： 4,82121=+=+y y x x ， 所以21)(4)(21212121-=++-=--=y y x x x x y y k AB ，故所求直线l 的方程为)4(212--=-x y ，即082=-+y x 。
中点弦点差法的应用
中点弦点差法的应用（1）在椭圆12222=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0202y a x b ；（2）在椭圆12222=+b x a y 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0202y b x a ；（3）在双曲线12222=-b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0202y a x b ；（4）在双曲线12222=-b x a y 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0202y b x a ；（5）在抛物线)0(22>=p px y 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0y p k =（6）在抛物线)0(22>-=p px y 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0y p k -=。
（7）在抛物线)0(22>=p py x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0x p k =（8）在抛物线)0(22>-=p py x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0x p k -=。
AB 为椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则直线AB的斜率0202y a x b k AB -=AB 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)弦中点M (x 0，y 0)，则直线AB的斜率0202y a x b k AB =AB 抛物线px y 22=的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则直线AB 的斜率0AB k y P=1 过椭圆141622=+y x 上一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。
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关于利用“点差法”求解中点弦所在直线斜率问题的教学案例湖北省宜昌市夷陵中学 曹文红[问题背景]圆锥曲线的中点弦问题是解析几何中的一类常见问题。
对于求解以定点为中点的弦所在直线方程问题，许多同学习惯于利用“点差法”先求直线斜率：即首先设弦的两端点坐标为),(),,(2211y x B y x A ，代入圆锥曲线方程得到两方程后再相减，从而得到弦中点坐标与所在直线的斜率的关系，使问题得以解决。
此方法巧妙地将斜率公式和中点坐标公式结合起来，设而不求，代点作差，可以减少计算量，提高解题速度，优化解题过程，对解决此类问题确实具有很好的效果。
但在具体应用时，由于“点差法”所必须具备的前提条件是符合条件的直线确实存在，否则就会产生增根。
而学生由于认知方面的原因，对于此类问题往往只注意利用“点差法”先求直线斜率再求方程却常常忽略了检验符合条件的直线是否存在，从而走入“点差法”的误区，出现错误却无法察觉。
为此，我专门设计了一节利用“点差法”求直线斜率的习题课，通过师生互动、合作探究的方式，使教学过程生动活泼，一波三折，使学生加深了对求解以定点为中点的弦所在的直线方程问题的认识，认清了产生增根的根源，找到了简便易行的检验方法，收到了较好的教学效果。
[案例实录]1、 创设情景，提出问题师：前面，我们已经学习了椭圆、双曲线和直线的位置关系，知道了解决这类问题的主要方法。
下面请大家看问题1：已知点)2,4(M 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程。
问题提出后，犹如一石激起千层浪，学生的探究热情被激发起来，开始了对问题的探索。
2、 自主探索，暴露思维学生求解的同时，教师在行间巡视，发现生1很快得出了结果，于是请生1上台板书：生1：解：设直线l 与椭圆交点为),(),,(2211y x B y x A ，则有3642121=+y x ，3642222=+y x ，两式相减，得：()()()()0421212121=-++-+y y y y x x x x ，因为)2,4(M 为AB 中点，所以有： 4,82121=+=+y y x x ， 所以21)(4)(21212121-=++-=--=y y x x x x y y k AB ，故所求直线l 的方程为)4(212--=-x y ，即082=-+y x 。
师：很好！先求直线斜率，过程非常简捷。
同学们还有没有其他的方法？ 生2：有，显然直线l 斜率存在，设其斜率为k ，则所求直线方程为)4(2-=-x k y ，联立椭圆方程消去y 并整理可得036)24(4)24(8)14(222=--+--+k x k k x k ，由韦达定理求得21-=k ，再求出直线l 的方程。
不过这种解法计算量比较大，过程比较麻烦。
师：以上两种解法就是求解以定点为中点的弦所在直线方程的常用方法，我们不妨称之为“点差法”和“联立法”。
其中联立直线与椭圆方程消去y （或x ）再由韦达定理求出k 虽然思路很清晰，但运算比较复杂，故一般情况下优先考虑“点差法”。
那么，使用“点差法”时要注意什么问题呢？我们再来看看问题2：已知双曲线的方程为1222=-y x ，问是否存在被点)1,1(M 平分的弦？若存在，求出弦所在直线方程；若不存在，说明理由。
（片刻后）生3：（上台板书）解：假设存在被点M 平分的弦AB ，设),(),,(2211y x B y x A ，则有 122121=-y x ，122222=-y x ，相减得：()()()()0221212121=+---+y y y y x x x x ， 因为()1,1M 为AB 的中点，所以有： 2,22121=+=+y y x x ， 所以22121=--=x x y y k AB ，故所求直线l 的方程为12-=x y 。
师：还是用“点差法”先求直线斜率，过程和问题1完全类似。
那么是否无论题目中是椭圆或者双曲线，对此类问题都是这样求解的呢？3、 辨析错误，归纳结论生4：老师，我通过画图，发现直线12-=x y 跟已知双曲线没有交点，是不是我画图不准确啊？不过我画了好几遍呢。
会不会是这样的直线根本就不存在呢？师：真的是画图不准确吗？大家再换个角度想想看，除了画图外，我们还有没有别的办法来判断直线12-=x y 是否为我们要求的直线呢？（片刻后）生5：可用“联立法”并结合∆来判断。
我的解法是：假设符合条件的直线存在，则它显然不与y 轴平行，故可设其方程为：()11-=-x k y ，代入双曲线方程化简整理得： ()()0322222222=-+--+-k k x k k x k ① 又设弦的两端点为),(),,(2211y x B y x A ，则21x x 、是方程①的两实根， 由韦达定理有22222221=--=+k k k x x ，可解得2=k ，但此时方程①中08<-=∆，说明直线与双曲线无交点，故被点)1,1(M 平分的弦不存在。
师：很好！刚才两位同学都很善于思考：一位同学通过画图发现了直线与双曲线无交点；另一位同学用代数方法验证了所求直线12-=x y 与双曲线确实没有公共点，即符合题意的直线不存在，这就启示我们以后在解决直线与圆锥曲线位置关系的相关问题时，要注意运用∆对所求得结果进行检验。
同学们再考虑一下，前面的问题1是否也需要验证0>∆？生6：需要。
经过验证，0>∆成立，说明所求直线082=-+y x 符合题意。
生7：可不需验证0>∆。
因为点)2,4(M 显然在椭圆193622=+y x 内部，故过点M 的直线082=-+y x 与椭圆必定有两个交点。
师：假如点M 在椭圆的外部呢？生7：这时点M 不可能是椭圆的弦的中点，这样的直线不存在。
师：问题2是否也可以不验证0>∆而只需通过点M 与双曲线的位置关系来判断呢？也就是说中点弦的存在是否只与中点（定点）的位置有关呢？（思考片刻后）生7：可以。
如果点M 在双曲线的内部，那么以该点为中点的弦一定存在，此时不需验证∆；如果点M 在双曲线的外部（如问题2），那么以该点为中点的弦可能存在也可能不存在，此时必须验证0>∆。
师：归纳得很好，操作性很强。
以后再求解此类问题时，我们可先用“点差法”求直线斜率再验证0>∆是否成立，也可通过定点与椭圆、双曲线的位置关系来判断以定点为中点的直线是否存在。
不过对于解答题，从考试得分的角度看，还是借助于判别式判断较为稳妥。
4、深入探究，正本清源生3：老师，我还是不明白，为什么在问题2中直线12-=x y 不符合题意，却又能够被我们用“点差法”求出来？师：问得好，我们在学习中就需要这种“打破砂锅问到底，不达目的不罢休”的精神。
下面请大家继续探究，一起来解决这个问题好吗？（学生分组进行讨论，教师给予适当指导，最后教师进行总结） 师：对于问题2，直线与双曲线的交点),(),,(2211y x B y x A 的坐标需要满足方程组（Ⅰ）；而使用“点差法”求斜率时，),(),,(2211y x B y x A 两点坐标只需满足方程组（Ⅱ）。
其中：方程组（Ⅰ）⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-12121212212122222121y y x x y x y x ； 方程组（Ⅱ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-+--+121202))(())((212121212121y y x x y y y y x x x x 显然方程组（Ⅰ）的解必然满足方程组（Ⅱ），而反之却不一定满足。
问题2中方程组（Ⅱ）有解但方程组（Ⅰ）却无解，也就是满足条件的点B A ,并不存在。
而在用“点差法”求解的过程中对坐标的要求降低（只需满足方程组（Ⅱ）即可），因此会出现增根的现象。
故“点差法”只是求中点弦的必要条件，必须还要验证是否符合题设条件。
5、留下问题，课后探究探究到这里，很快就要下课了。
为进一步激发学生的学习兴趣，鼓励他们积极思考，我又向学生提出了一个思考题，让学生带着问题走出课堂。
师：本节课，我们主要研究了利用“点差法”求解以定点为中点的弦所在的直线方程问题。
通过大家的努力，不仅掌握了用“点差法”求直线斜率的方法，而且了解到中点弦是否存在只与中点（定点）的位置有关，并对于所求结果是否为增根找到了两种检验方法。
希望同学们牢记“点差法”要诀：“设点作差，验证∆”。
另外，使用“点差法”，我们还可以证明与椭圆、双曲线的中点弦相关的一些有用的结论，如：若AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中不平行于坐标轴的弦，M 为弦AB 的中点，则22ab k k AB OM -=⋅；在双曲线中也有类似结论，建议同学们课后进一步探究。
[教后反思]利用“点差法”求解以定点为中点的弦所在的直线方程，是在学习完圆锥曲线的相关内容后的一节解析几何习题课。
本节课从常见的两道例题入手，从引导学生发现问题起，自然引出了椭圆、双曲线的中点弦是否存在的问题，并让学生直接参与探究过程。
通过对例题的讲评，纠错，教师恰当点拨引导，学生活动积极充分，使学生在亲身体验中不仅加深了对椭圆、双曲线知识的认识，而且能够进一步理解和掌握解析几何的基本思想方法，使学生在学习数学的过程中培养了思维能力。
特别是在探究的过程中突出了数形结合的思想方法，学生既有从形入手，观察图形，并大胆猜想得出规律的；也有从数入手，定性分析，用代数计算验证结论的，做到了既重几何直观又重代数推理，使之有机融合，条理化的呈现，探究逐步深入。
最后把对椭圆、双曲线中点弦问题的研究推向一般化，不仅实现了教学任务，而且所得结论对于学生系统掌握直线与圆锥曲线的中点弦问题具有一定的指导意义。
高中数学课程标准明确指出：数学探究是贯穿于整个高中数学课程的重要内容。
对教师来说，探究什么？如何探究？在探究过程中教师和学生分别扮演什么样的角色？……，等等问题，值得我们教师进行深层次的思考。
通过本次教学尝试，我深刻体会到对习惯于“照本宣科”、灌输式教学的我们来说，要充分相信学生的智慧和能力。
与其教师讲得口干舌燥，部分学生无动于衷；不如调动学生直接参与，让学生亲身体验探究学习的过程，从而激发学生的学习积极性和主动性，使学生在教学中由被动的知识接受者转变成为知识的共同建构者。
与此同时，注意充分发挥教师在探究学习中的支持与引导作用，做到教学相长。
二OO 八年十一月。