F百鸡问题-不定方程
二元一次不定方程的解法及其应用
一次不定方程#
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定理 $&$ 设 A!g4Bi%有一组整数解 !i!% "BiB% "且
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依次求出 D) "C) "D( "C( "3"D? "C? "即可得到'(( 式# )&( 降低系数法 逐步取整法
当方程的系 数 较 大 时" 以 较 小 的 系 数 作 除 数 辗 转 相
除"根据不定方 程 的 解 是 整 数 这 一 条 件" 把 所 求 不 定 方 程
则 A!g4Bi%与方程 A !g 4 Bi % 即 A !g4Bi ( A"4) ( A"4) ( A"4) 8 8
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A
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程中未 知 数 !和 B的 系 数 是 互 质 的" 所 以 只 需 求 出 A$ ! g4$ Bi$ 的一组整数解为 !i!% "BiB% "则 !i%$ !% "Bi%$ B% 为 方程 A$ !g4$ Bi%$ 的一组整数解"也即为 A!g4Bi%的一组 整数解#
不定方程
求助编辑百科名片所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。
目录定义历史概述常见类型一次不定方程多元一次不定方程二次不定方程高次不定方程多元高次不定方程特殊求解方法简单例题不定方程与代数几何进展与学科联系不定方程——相关趣闻定义历史概述常见类型一次不定方程多元一次不定方程二次不定方程高次不定方程多元高次不定方程特殊求解方法简单例题不定方程与代数几何进展与学科联系不定方程——相关趣闻展开编辑本段定义不定方程浅说indeterminate equation不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。
所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。
1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。
编辑本段历史概述丢番图不定方程是数论中最古老的分支之一。
古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。
Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。
今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。
他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组(变量的个数大于方程的个数)或不定方程式(两个变数以上)。
丢番图只考虑正有理数解，而数书九章——大衍类不定方程通常有无穷多解的。
研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。
②有解时决定解的个数。
③求出所有的解。
中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。
二元一次不定方程整数解的两种常用解法
GAOJIAO 解的两种常用解法
◎迟文焕 （ 长春建筑学院，吉林 长春 130000）
【摘要】不定方程整数解问题由来已久． 公元 5 世纪，我 国数学家张丘 建 在《算 经 》中 记 载 的“百 鸡 问 题 ”就 是 不 定 方程整数解问题． 在本文中，我们介绍了二元一次不定方程 的三种解法———观察法和同余法，并给出相应例题，以便加 深对解题方法的理解．
解 取 模 4 可 得 原 方 程 等 价 于 同 余 式 7x ≡3x ≡0
（ mod4） ，此同余式的解为 x≡0 （ mod4） ，即 x = － 4t（ t = 0，
± 1，± 2，…） ，把 x = － 4t 代入原方程得 y = 25 + 7t（ t = 0，
± 1，± 2，…） ．
由题意可知
原方程有整数解．
又因为 4 | 100，所以可得到方程的一组特解 x0 = 0，y0 = 25，并且 a1 = 7 / （ 7，4） ，b1 = 4 / （ 7，4） ，由定理 1． 2 知原方程 的一切整数解可以表示为
x = － 4t，y = 25 + 7t，t = （ 0，± 1，± 2，…） ．
用同余法求解不定方程可以避免复杂的求特解过程．
【参考文献】 ［1］ Schmidt W M Diophantine Approximation and Diophantine Equations［M］． Berlin： Springer － Verlag，1991． ［2］乐茂华． Gelfond － Baker 方法在丢番图方程中的应 用［M］． 北京： 科学出版社，1998． ［3］柯召，孙琦． 数论讲义（ 下册） ： 第 2 版［M］． 北京： 高 等教育出版社，2003． ［4］Burn Ｒ P． A Pathway into Number Theory ［M］． Cambridge： Cambridge University Press，1982． ［5］曹珍富． 不定方程及应用［M］． 上海： 上海交通大学 出版社，2000．
不定方程
不定方程：定义indeterminate equation不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。
所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。
历史概述数论中最古老的分支之一。
古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。
研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。
②有解时决定解的个数。
③求出所有的解。
中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。
秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。
百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。
百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。
设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。
一次不定方程二元一次不定方程的一般形式为ax＋by＝c。
其中a，b，c 是整数，ab ≠ 0。
此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除c。
若a、b互质，即它们的最大公约数为1，(x0，y0)是所给方程的一个解，则此方程的解可表为｛(x=x0-bt，y=y0+at）｜t为任意整数｝。
S（≥2）元一次不定方程的一般形式为a1x1＋a2x2＋…＋asxs＝n0a 1，…，as，n为整数，且a1…as≠0。
此方程有整数解的充分必要条件是a 1，…，as的最大公约数整除n。
埃拉托塞尼筛法产生的素数普遍公式是一次不定方程公元前300年，古希腊数学家欧几里得就发现了数论的本质是素数，他自己证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法：（一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。
後来人们（二）将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1<d≤√N”。
小学数学不定方程与不定方程组的解法
不定方程与不定方程组知识框架一、知识点说明历史概括不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元 3 世纪就开始研究不定方程，所以常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元 5 世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标记着中国对不定方程理论有了系统研究．宋朝数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各种比赛考试中，不定方程常常以应用题的形式出现，除此之外，不定方程还常常作为解题的重要方法贯串内行程问题、数论问题等压轴大题之中．在此后初高中数学的进一步学习中，不定方程也相同有侧重要的地位，所以本讲的侧重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在此后的学习中使用这个工具解题。
二、不定方程基本定义（ 1）定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
（2）不定方程的解：使不定方程等号两头相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不独一。
（3）研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确立解的个数；③求出全部的解三、不定方程的试值技巧（1）奇偶性（2）整除的特色（能被 2、 3、 5 等数字整除的特征）（3）余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）重难点（1） b 利用整除及奇偶性解不定方程（2）不定方程的试值技巧（ 3）学会解不定方程的经典例题例题精讲一、利用整除性质解不定方程【例 1 】求方程2x－ 3y＝ 8 的整数解【考点】不定方程【分析】方法一：由原方程，易得2x＝8＋ 3y，x＝ 4＋3y，所以，对 y 的随意一个值，都有一个x 与之对2应，而且，此时x 与 y 的值必然知足原方程，故这样的x 与 y 是原方程的一组解，即原方程的解x 4 3 k，此中 k 为随意数．说明可表为： 2 由 y 取值的随意性，可知上述不定方程有无量多y k组解．方法二：依据奇偶性知道2x 是偶数， 8 为偶数，所以若想 2x－3y＝ 8 建立， y 必为偶数，当 y＝ 0， x＝4；当 y＝ 2，x＝ 7；当 y＝4， x＝ 10，本题有无量多个解。
二元一次不定方程
注：该方法对一次项系数较小的方程比较实用。
例2、求321x 111y 75的一切整数解.
解： (321,111) 3 75, 方程有解，且同解于方程 107x 37 y 25
而方程107x 37 y 1的一解是： x (1) 2 9 9, y (1)3 26 26, 故原方程的一组整数解为：x 9 25, y 26 25,
(a, b) a,
(a, b) b,
(a, b) ax0 by0 c.
（充分条件）若(a, b) c, 设c c1 (a, b), c1 Z , 而对a, b Z , 且a 0，b 0，则存在s, t Z , 使得 as bt (a, b) (2)
在（2）式两端同乘以c1得 asc1 btc1 (a, b)c1 c 令x0 =sc1 , y0 =tc1，即得 ax0 by0 c， 故（ 1 ）式有一组整数解x0，y0 .
由例2方程107x 37 y 25的一解是： x 9 25, y 26 25,
故方程37x 107 y 25的一解是： y x 9 25, x y 26 25,
则原方程111x 321y 75的一切整数解是： x 26 25+107t, y 9 25 37t (t 0, 1, 2, )
(6)
25 37 y 25 4 y 同理 x y 33 33
（6）
25 4 y 令 x ， 33 1 x 则y=6 8 x 4
(7)
(8)
1 x 再令 y ，最后得到x 4 y 1 4 则x 1 4t , y t (t 0, 1, 2, )
高考数学一轮总复习 第十一章 11.1 算法与程序框图
盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，
至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增一
十二里；驽马初日行九十七里，日减二里.”为了计算每
天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如图所示.若输
出的S的值为350，则判断框中可填
A.i>6?
√B.i>7?
C.i>8?
D.i>9?
6.《九章算术》中有如下问题“今有卖牛二、羊五，
2.三种基本逻辑结构
名称 内容
顺序结构
条件结构
定义
算法的流程根据给定
由若干个_依__次__执__行_
从某处
的_条__件__是否成立有
的步骤组成，这是
的条件
不同的流向，条件结
任何一个算法都离
骤的结
不开的_基__本__结__构__
构就是处理这种过程 步骤称
的结构
程序 框图
3.算法语句 (1)输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能
C.n＝n＋1，i>16?
B.n＝n＋2，i≥16? D.n＝n＋1，i≥16?
解析 式子 1＋13＋15＋…＋311中所有项的分母构成首项为 1
公差为 2 的等差数列.
由31＝1＋(k－1)×2，得k＝16，即数列共有16项.
3 课时作业
PART THREE
基础保分练
1.(2018·河北省衡水中学模拟)古代著名数学典籍《九章算术
(2)条件语句 ①程序框图中的_条__件__结__构__与条件语句相对应. ②条件语句的格式 a.IF—THEN格式
IF 条件 THEN 语句体
END IF
b.IF—THEN—ELSE格式
IF 条件 THEN 语句体1
数学的有趣问题
数学的有趣问题（百鸡问题）中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5 文钱，母鸡每只值3 文钱，而3 只小鸡值1 文钱。
现在用100 文钱买100 只鸡，问：这100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。
解法如下：设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：①……x＋y＋z ＝100②……5x＋3y＋(1/3)z ＝100有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
令②×3－①得：7x＋4y＝100；所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4令x/4=t, （t为整数）所以x=4t把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t易得z=-75-3t所以：x=4ty=25-7tz=75+3t因为x,y,z大于等于0所以4t大于等于025-7t大于等于075+3t大于等于0解得t大于等于0小于等于25/7 又因为t为整数所以t=0,1,2,3（这里不要忘记t有等于0得可能）当t=0时x=0,y=25,z=75当t=1时x ＝4；y ＝18；z ＝78当t=2时x ＝8；y ＝11；z ＝81当t=3时x ＝12；y ＝4；z ＝84（过河问题）一个人带了一只羊、一只狼和一筐菜要过河，由于船很小，人每次只能带一样东西过河，但人一走，狼会吃羊，羊也会吃菜，问应如何安排，才能用最少的次数安全渡过河去？此题的关键是——狼不吃菜。
先把羊带过去，此时狼和菜在一起，安全。
空着手回来。
下面就很简单了。
把狼带过去，到对岸时把狼留那儿，把羊带回来，再把菜带过去，再空着手回来把羊带回去就可以了。
当然，第二次带菜也可以，一样的。
（验血问题）某次大战前夕，10万大军将在三天后出征。
军医发现军中有一位士兵带入了一种传染病菌。
三天后发作将快速传染全军，使10万大军丧失战斗力，只有验血才能判断谁是患者。
小学数学六年级(上)第07讲 不定方程(含答案)
一般地，如果 是 的一组解，那么 （当 时）也是 的一组解．这是因为 ．另外， （当 时）也是 的一组解，理由相同．
这条性质有什么用呢？我们以求 的自然数解为例，我们容易看出它有一组自然数解 ．应用上面的规律， 每次增加3， 每次减少2（只要 还是自然数），所得结果仍然是 的一组解，所以 、 、 、 、 都是 的自然数解．另外 每次减少3（只要 还是自然数）， 每次增加2，所得结果也是 的自然数解，所以 、 、 也都是 的自然数解．而且这样就已经求出了 的所有自然数解，它们是：
例5．我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？这个问题是说：每只公鸡价值5文钱，每只母鸡价值3文钱，每3只小鸡价值1文钱．要想用100文钱恰好买100只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？
「分析」题中有几个未知量？由这些未知量你能列出几个方程？
《张丘建算经》
张丘建，北魏清河（今山东邢台市清河县）人，中国古代数学家，著有《张丘建算经》．该书的体例为问答式，条理精密、文辞古雅，是中国古代数学史上少有的杰作．
《张丘建算经》现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算，各种等差数列问题的解决，某些不定方程问题的求解．百鸡问题就是其中一个著名的不定方程问题．
练习3、天气炎热，高思学校购置了大、小空调若干．每台大空调每天耗电38度，每台小空调每天耗电13度．已知所有大空调日耗电量之和恰好比所有小空调日耗电量之和少1度．请问：单位里最少购进了多少台空调？
例4．将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分最少是多少厘米？
不定方程及不定方程组
第二十七讲 不定方程、方程组不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组)，其特点是解往往有无穷多个，不能惟一确定．对于不定方程(组)，我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定． 二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有：设d c b a 、、、为整数，则不定方程c by ax =+有如下两个重要命题：(1)若(a ，b)=d ，且d 卜c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；(2)若00y x ，是方程c by ax =+且(a ，b)=1的一组整数解(称特解)，则为整数）t aty y bt x x (00⎩⎨⎧-=+=是方程的全部整数解(称通解)．解不定方程(组)，没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程(组)的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法；奇数偶数，整数的整除性、分离整系数、因数分解。
配方利用非负数性质、穷举，乘法公式，不等式分析等．举例【例1】 正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6，则m 的最大值为 ．(新加坡数学竞赛题)思路点拔 把m 用含n 的代数式表示，并分离其整数部分(简称分离整系数法)．再结合整除的知识，求出m 的最大值．注：求整系数不定方程c by ax =+的整数解。
通常有以下几个步骤：（1）判断有无整数解；(2)求一个特解；(3)写出通解；(4)由整数t 同时要满足的条件(不等式组)，代入(2)中的表达式，写出不定方程的正整数解．分离整系数法解题的关键是把其中一个未知数用另一个未知数的代数敷式表示，结合整除的知识讨论．【例2】 如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( )．A ．32千米B ．37千米C ．55千米D ．90千米(河南省竞赛题)思路点拨 设置限速标志、照相标志千米数分别表示为3+4x 、10十9y(x ，y 为自然数)，问题转化为求不定方程3+4x=0+9y 的正整数解．【例3】 (1)求方程15x+52y=6的所有整数解．(2)求方程x+y ＝x 2一xy+y 2的整数解．(莫斯科数学奥林匹克试题)(3)求方程65111=++z y x 的正整数解． (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 对于(1)通过观察或辗转相除法，先求出特解．对于(2)易想到完全平方公式，从配方人手，对于(2)易知x 、y 、z 都大于1，不妨设l<x ≤y ≤z ，则zy x 111≥≥，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出其结果．注：方程和不等式的相关性质，寻求井缩小某个字母的取值范围，通过验算获得全部解答．【例4】 一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终粒盒内都剩1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子（2002年重庆市竞赛题）思路点拨 无论怎么取，盒子里的棋子数不变，恰当设未知数，把问题转化为求不定方程的正整数解．【例5】中国百鸡问题：一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何(出自中国数学家张丘建的著作《算经》)思路点拨 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为z y x 、、，则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++100335100z y x z y x 通过消元，将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解．【例6】 甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个，问三个小组共有多少名同学(2001年海峡两岸友谊赛试题)思路点拨 设甲组学生a 人，乙组学生b 人，丙组学生c 人，由题意得28a+30b+31c=365，怎样解三元一次不定方程运用放缩法，从求出a+b+c 的取值范围入手．注： 解不定方程组基本方法有：(1)视某个未知数为常数，将其他未知数用这个未知数的代数式表示；(2)通过消元，将问题转化为不定方程求解；(3)运用整体思想方法求解．【例7】 不定方程4x+7y=2001有 组正整数解．思路点拨 49十7y=3×667 易知⎩⎨⎧=-=667667y x 是其一组特解，∴其通解为⎩⎨⎧-=+-=t y t x 46677667，z t ∈，∵⎩⎨⎧≥-≥+-1466717667t t ，解之得96≤t ≤166∴ t 可取整数值共71个．∴ 4x+7y=2001有71组正整数解．学力训练1．已知z y x 、、满足x+y=5及z 2=xy+y —9，则x+2y+3z= ．(2002年山东省竞赛题)2．已知4x 一3y 一6z=0，x+2y 一7c=0(xyz ≠0)，那么22222275632zy x z y x ++++的值为 ． 3．用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张，每种邮票至少买一张，共有 种不同的买法．4．购买5种数学用品A 1、A 2、A 3、A 4、A 5的件数和用钱总数列成下表：品名A1A2A3A4A5总钱数件数第一次购件数l34561992(元)第二次购件数1579112984(元)则5种数学用品各买一件共需元．(北京市竞赛题)5．希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个，其总价值为330元，这三种球的价格分别是足球每个60元，篮球每个30元，排球每个10元，那么其中排球有个．(温州市中考题)6．方程(x+1)2+(y-2)2＝1的整数解有( )．A．1组B．2组C．4组D．无数组7．二元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有( )．A．个B．个C．2001000个D．2001999个( “希望杯”邀请赛试题)8．以下是一个六位数乘上一个—位数的竖式，各代表一个数(不一定相同)，则a+b+c+d+e+f=( )．A．27 B．24 C．30 D．无法确定(“五羊杯”邀请赛试题)9．求下列方程的整数解：(1)1lx+5y=7；(2)4x+y=3xy．10．在车站开始检票时，有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等侯检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口(广州市中考题)11．下面是同学们玩过的“锤子、剪子、布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用伸出手掌表示“布”，两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤子”，“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布”．现在我们约定：“布”赢“锤子”得9分，“锤子”赢“剪子”得5分，“剪子”赢“布”得2分．(1)小明和某同学玩此游戏过程中，小明赢了21次，得108分，其中“剪子”赢“布”7次．聪明的同学，请你用所学的数学知识求出小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各多少次(2)如果小明与某同学玩了若干次，得了30分，请你探究一下小明各种可能的赢法，并选择其中的三种赢法填人下表．“布”赢“锤子”“锤子”赢“剪子”“剪子”赢“布”赢的次数．．“布”赢“锤子”“锤子”赢“剪子”“剪子”赢“布”12．满足19982十m 2＝19972+n 2(0<rn<n<1998)的整数对(m ，n)共有 对．13．有理数x ，y ，z 满足⎩⎨⎧=+-+-=0223362z xy y x yx ，则22y+z 的值为 ．14．1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是 岁．15．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用2台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么，至少需要抽水机 台．16．有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元，若购甲4件、乙l0件、丙l 件共需33元，则此人购甲、乙、丙各1件共需 元．17．一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等于21，则小明摸出的球中红球的个数最多不超过 个．18．(1)求满足y 4+2x 4+1=4x 2y 的所有整数对(x ，y)；(2)求出所有满足5(xy+yz+zx)＝4xyz 的正整数解．(新加坡奥林匹克试题)19．兄弟二人养了一群羊，当每只羊的价钱(以元为单位)的数值恰等于这群羊的只数时，将这群羊全部卖出，兄弟二人平分卖羊得来的钱：哥哥先取l0元，弟弟再取10元；这样依次反复进行，最后，哥哥先取10元，弟弟再取不足10元，这时哥哥将自己的一顶草帽给了弟弟，兄弟二人所得的钱数相等．问这顶草帽值多少钱(北京市竞赛题)20．某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970，求此人家的电话号码．(武汉市选拔赛试题)所卖呢料米数看不清楚了，但记得是卖了整数米；金额项目只看到后面3个数码7．28，但前面的3个数码看不清楚了，请你帮助查清这笔账．(上海市”金桥杯”数学知识应用竞赛试题)22．一支科学考察队前往某条河流上的上游去考察一个生态区．他们出发后以每天17km 的速度前进，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km 的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了24km 后回到出发点，试问：科学考察队在生态区考察了多少天 (四川省竞赛题)参考答案。
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百鸡问题——不定方程
中国古代数学名著《张邱建算经》中曾记载一道闻名世界的百鸡问题，
题曰：“公鸡一只值钱5，母鸡一只值钱3，小鸡三只值钱1，今有钱一
百，买鸡一百只，问公鸡、母鸡、小鸡各几何？”这是一道不定方程的问
题，它可以在许多不定方程的书中找到，百鸡问题既很实际又很有趣，在
其流传的一千多年中，人们为它的来源编织了好多美妙的传说，下面的故
事就是其中的一例：公元前五世纪，有位姓张的贫苦人家的少年，他们全
家只靠少年的父亲张老头卖鸡来维持生活。这位少年聪明好学，又特别喜
爱数学，他在十二三岁时，就已攻读了《九章算术》等数学名著，当地人
称他为“张神童”，“张神童”的名字传开后，引起了一些人的兴趣。一
天，一位官员拿来一百文钱，要求按当时的鸡价：公鸡每只五文，母鸡每
只三文，小鸡每三只一文，购买恰好一百只鸡。“张神童”为一愁莫展的
父亲解决了难题，他给来人送上4只公鸡，18只母鸡和78只小鸡，共百
鸡，值钱百文。第二天此人又带来一百文钱，还要买一百只鸡，但不能与
上次重复。这次“张神童”让父亲拿出18只公鸡，11只母鸡和81只小
鸡，显而易见鸡值百钱，满足了来人的要求。第三天，这个人带着一百文
钱再次来到张家，还要求百钱买百鸡，且不能与上两次重复，“张神童”
又一次为父亲解了围，他让父亲给来人12只公鸡，4只母鸡和84只小鸡，
又凑成了百鸡值百钱，三次的考验使这位官员对“张神童”的神机妙算赞
叹不已，从此“张神童”的名气更大了，这位“张神童”据说就是我国著
名的数学家张邱建。
百鸡问题实际上是不定方程问题，用现在的解法比较容易。我们不妨
设公鸡、母鸡、小鸡各为x、y、z，则根据题意得：
求此方程的正整数解。
将（2）×3-（1）得7x+4y=100„„（3）由此得出x是4的倍数，
且x＜14，于是x只能是4，8，12代入（3）可得y的三个对应解是8，
11，4，所以此问题有三组正整数解：
这就是张神童的三组答案。
张邱建与百鸡问题
在1 000多年前，有一个卖鸡的张老伯，他的儿子从小勤奋学习，到十二三岁时就读了不少
书，尤其是古代的《九章算术》《孔子算经》等数学书，他特别爱读．邻居遇到疑难问题或
者在银钱上发生纠纷时，都要找他解决，因此大家都称他张神童．
这件事传到当朝宰相耳中，他为了试探一下事情的真假，就把张老伯叫来，当时的鸡价
是公鸡每只5文钱，母鸡每只3文钱，小鸡每3只1文钱，宰相就给张老伯100文钱，叫他
明天带100只鸡，不准多，也不准少．
晚上张神童见父亲愁眉苦脸，等他了解了事情的经过后，就劝父亲不要发愁．
第二天清早他就要父亲带去4只公鸡、18只母鸡、78只小鸡，宰相一看，正巧100文
钱买100只鸡；他又给张老伯100文钱，叫他再送100只鸡来，结果张神童叫父亲将8只公
鸡、11只母鸡、81只小鸡送给宰相．
这时宰相赞叹不已，他又给了张老伯100文钱，叫他明天按要求送鸡．这下张老伯可发
愁了，回去与儿子再次商量，未料张神童立即告诉父亲按12只公鸡、4只母鸡、84只小鸡
配数，马上送给宰相，宰相把鸡数与鸡价一算，正好百鸡百钱．
这事使宰相佩服得不得了，把张神童请去，加以培养，几年以后，张神童研究数学问题，
取得了不少成果，并且写了很多文章．而“百鸡百题”就是他所写的《张邱建算经》中的一
个不定方程问题．
下面，我们来看看张邱建是怎样利用不等方程来解答这个问题的：
设张老伯带去公鸡x只，母鸡y只，则小鸡为（100－x－y）只，依题意有
5x＋3y＋31（100－x－y）＝100 ①
化简后得7x＋4y＝100 ②
由于方程②有2个未知数，方程有无数组解，但x、y是鸡的只数，因此，x、y都是正
整数，将方程②变形为y＝25－2x＋4x
由于y是正整数，则4x也是正整数
设4x＝t，则x＝4t（t是正整数）
∴ tytx7254－＝＝（t是整数）
又∵ y＞O，即25－7t＞0，∴t＜374
当t＝1时，则x＝4，y＝18，100－x－y＝78
当t＝2时，则x＝8，y＝11，100－x－y＝81
当t＝3时，则x＝12，y＝4，100－x－y＝84
∴ 这三组解，恰好是张老伯每次所带各种鸡的分配数
所谓“百鸡问题”，实际上是求二元一次方程的正整数解的问题．