1. 中点弦问题(点差法)

圆锥曲线常规题型方法归纳与总结

①中点弦问题;②焦点三角形;③直线与圆锥位置关系问题;④圆锥曲线的相关最值（范围）问题;⑤求曲线的方程问题;⑥存在两点关于直线对称问题;⑦两线段垂直问题

圆锥曲线的中点弦问题------点差法

与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。

解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

解题策略：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。

如：（1）)0(122

22>>=+b a b

y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 02

020=+k b y a x 。（2）)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 02020=-k b

y a x （3）y 2

=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.

一、求以定点为中点的弦所在直线的方程

例1、过椭圆14

162

2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。

解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B

)1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y

又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x

两式相减得0)(4)(2

2212221=-+-y y x x

于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴2

1244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2

11--=-x y ，即042=-+y x 。例2、已知双曲线12

2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。

策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设

的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。

解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B

则221=+x x ，221=+y y

122121=-y x ，122

222=-y x 两式相减，得

0))((2

1))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121

=--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由??

???=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=??--=?

这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线

l 。

评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。

二. 求弦的中点坐标、弦中点轨迹

例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2

1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。

解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则2

10=x

12021==+x x x ， 0212y y y =+

又 125752121

=+x y ，125752

=+x

两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y

即0)(3)(221210=-+-x x y y y ∴0

212

123y x x y y -=--

3212

1=--=x x y y k ∴ 3230=-y ，即2

0-=y

∴点M 的坐标为)21

,21(-。

例4、已知椭圆125752

2=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。

解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(y x M ，则

x x x 221=+， y y y 221=+

又 1257521

=+x y ，125752

=+x y

两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y

即0)(3)(2121=-+-x x x y y y ，即y

x x x y y 3212

1-=--

32121=--=x x y y k ∴33

=-y

x ，即0=+y x

由?????=+=+125

75022x y y x ，得)235,235(-P )235,235(-Q 点M 在椭圆内

∴它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为)2

35235(0<<-

=+x y x 三.求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为2

1，求椭圆的方程。解：设椭圆的方程为122

22=+b

x a y ，则5022=-b a ┅┅① 设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则

210=

x ，212300-=-=x y ∴12021==+x x x ，12021-==+y y y 又1221221

=+b x a y ，1222222

=+b

x a y 两式相减得0))(())((21212

21212=-++-+x x x x a y y y y b

即0)()(212212=-+--x x a y y b ∴ 22

2121b

a x x y y =-- ∴ 322=

b a ┅┅② 联立①②解得752=a ，252

=b ∴所求椭圆的方程是125

752

2=+x y 四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

例6、已知椭圆13

2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。

解：设),(111y x P ，),(222y x P 为椭圆上关于直线m x y +=4的对称两点，)

,(y x P

为弦21P P 的中点，则12432121=+y x ，12432

222=+y x

两式相减得，0)(4)(322212221=-+-y y x x

即0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x x x x 221=+，y y y 221=+，4

12121-=--x x y y ∴x y 3= 这就是弦21P P 中点P 轨迹方程。

它与直线m x y +=4的交点必须在椭圆内

联立???+==m x y x y 43，得???-=-=m

y m x 3 则必须满足22433x y -<，即224

33)3(m m -<，解得1313213132<<-m 五、注意的问题

（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。

1.直线1y x =+与椭圆2

193x y +=相交于A 、B 两点，则AB 中点坐标

2.已知，椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，一条准线的方程是x=b ，倾斜角为4π的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，且线段AB 的中点为11(,)24-

，求椭圆C 的方程.

3. 已知双曲线2

212y x -=，经过点(1,1)M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、

B 两点，且M 是线段AB 的中点，若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由？

4.已知又曲线线C 的渐近线方程3y x =±，其一个焦点为1(F .

（1）求双曲线的方程；（2）是否经过1(0,3)B 的直线l ，使得直线l 与双曲线线C 交于

A 、

B 两点，且以AB 为直径的圆经过2(0,3)B -？若存在，请求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.