中点弦问题(基础知识)
中点弦公式点差法
中点弦公式点差法
中点弦公式是指通过连接曲线上两点中点的弦来近似曲线的斜率。
点差法是指对于曲线上的两个点，通过用极限的思想来逼近它们之间的点差（即横坐标之差），从而计算斜率。
中点弦公式的具体步骤为：
1. 选取曲线上两个不同的点，标记其坐标为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$。
2. 计算这两个点的中点坐标
$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
3. 计算连接这两个点的弦的斜率，即$\frac{y_2-y_1}{x_2-
x_1}$。
点差法的具体步骤为：
1. 选取曲线上两个不同的点，标记其坐标为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$。
2. 计算这两个点之间的点差（即横坐标之差），即$\Delta
x=x_2-x_1$。
3. 通过极限思想，将点差逐渐缩小为0，即$\Delta x\rightarrow 0$。
4. 计算这两个点之间的斜率的极限值，即$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{y_2-y_1}{\Delta x}$。
这个极限值即为这两点之间的切线斜率。
需要注意的是，中点弦公式是一种近似计算方法，只有在两点之间的曲线变化不太剧烈时才适用；而点差法则是一种精确计算方法，可以得到任何两点之间的切线斜率。
2022届高考数学精品微专题：中点弦问题
2022届高考数学精品微专题：中点弦问题一、常用结论1.椭圆中点弦问题结论（以焦点在x 轴的椭圆方程)0(12222>>=+b a by a x 为例）（1）如图，在椭圆C 中，E 为弦AB 的中点，则22b k k AB OE −=⋅;（证明：用点差法）（2）注意：若焦点在y 轴上的椭圆)(12222>=+ba ay b x 2b ABOE2.双曲线中点弦结论（以焦点在x 轴的双曲线方程12222=−by a x 为例）图1 图2（1）如图1或图2，E 为弦AB 的中点，则22ab k k ABOE =⋅; （2）注意：若焦点在y 轴上的双曲线12222=−b x a y ，则22ba k k AB OE =⋅3.抛物线中点弦结论（1）在抛物线)0(22≠=p px y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则p y k MN =⋅0. 即：0y p k =（2）同理可证，在抛物线)0(22≠=p py x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN=⋅01.即：px k 0=、典例【选填解答题】1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（） A ．2 B ．2− C ．12−D ．12【答案】C【分析】先根据已知得到22，再利用点差法求出直线的斜率.【详解】由题得222222242,4()2,2c c a a b a a b a =∴=∴−=∴=.设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b += += ，两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +−++−=，所以2()2a ()0所以221212()240()y y b b x x −+=−，所以1120,2k k +=∴=−.2.【2014年江西卷（理15）】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为【解析】由椭圆中点弦性质可得1222−=−=⋅e a b k k AB OM ，则 <<−=×−1011212e e ，故e =3.【2013全国卷1理科】已知椭圆E ：(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．B ．C ．D ． 【解析】22a b k k AB MF −=⋅，得22)1(13)1(0a b −=−×−−−，∴=，又9==，解得=9，=18， ∴椭圆方程为，故选D ．(1,1)M 12−C 22221(0)x y a b a b +=>>,A B M AB C 2222=1x y a b+22=14536x y +22=13627x y +22=12718x y +22=1189x y +22b a 122c 22a b −2b 2a 221189x y +=（全国卷Ⅲ第一问）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：143+=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m (0)m >．证明：12k <−． 【答案】证明见解析．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211143x y +=，2222143x y +=，上述两式相减，则32b kk 由题设知1212x x +=，122y y m +=，故43−=⋅m k ，于是34k m =−． 由<+>134102m m 得302m <<，故12k <−．5.（2020年湖北高二期末）如图，已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞，斜率为﹣1的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为13，则椭圆的离心率为ABCD ．23【答案】B【解析】方法1：设直线AB 方程为y x n =−+，设1122(,),(,)A x y B x y ， 由22221x y a b y x n +==−+得：22222222()20a b x a nx a n a b +−+−=， ∴212222a n x x a b+=+，12122()y y n x x +=−+，设(,)M x y ， ∵OAMB 是平行四边形，∴OM OA OB =+，∴1212,x x x y y y =+=+， ∴12121212122()21OM y y n x x y n k x x x x x x x +−+====−+++22222113a b b a a +=−==，223aa，∴3ea ．故选B ．方法2：（秒杀解） <<−=−⇒−=−=⋅1031112222e e e a b k k OMAB ，得36=e ． 故选B ．6.【2019一中月考】直线与椭圆：相交于两点，设线段的中点为，则动点的轨迹方程为（ ）D7．已知椭圆2217525+=y x 的一条弦的斜率为3，它与直线12x =的交点恰为这条弦的中点M ，则M 的坐标为（） A ．11,2B ．11,22C ．11,22−D ．11,22−【答案】C 【分析】由题意知：斜率为3的弦中点01(,)2M y ，设弦所在直线方程3y x b =+，结合椭圆方程可得122b x x +=−即可求b ，进而求M 的坐标. 【详解】由题意，设椭圆与弦的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，:3AB y x b =+， 则将3y x b =+代入椭圆方程，整理得：22126750x bx b ++−=，∴22123648(75)02b b bx x ∆=−−> +=−，而121x x =+，故2b =−， ∴:32AB y x =−，又01(,)2M y 在AB 上，则012y =−， 故选：C)(4R m m x y∈+C 1232=+y B A ,AB M M 16.+−=x y A 6.xy B −=)33(16.<<−+−=x x y C )26526(6.<<−−=x x y D22a b 圆于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为（1，1−），则G 的方程为（）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆的标准方程，两式作差可得ABk 22b a =，由22b a =12，9=2c =22a b −，【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b +=，①2222221x y a b +=，②①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +−+−+=，∴AB k =1212y y x x −−=212212()()b x x a y y +−+=22b a ，又ABk =0131+−=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b −，解得2b =9，2a =18，∴1899．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中）已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（） A ．43−B ．43C ．34−D ．34【答案】C【分析】设出椭圆方程，设出A B C ，，的坐标，通过点差法转化求解斜率，然后推出结果即可．【详解】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=，两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y −+−+=−，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +−=−+−，134OD ABk k =−，同理可得1313,44OF OE AC BC k k k k =−=−，所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=−++=−，10．（2020·广东广州市·执信中学）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，ABC ∆的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，且三条边所在直线的斜率分别1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0．O 为坐标原点，则（）A ．22:1:2a b =C ．直线BC 与直线OE 的斜率之积为12−D ．若直线OD ，OE ，OF 的斜率之和为1，则123111k k k ++的值为2− 【答案】CD【分析】由题意可得：222a b =．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．利用点差法即可得出11·2OD k k =−，2·2OE k k =−，3·2OF k k =−，即可判断．【详解】椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，∴222112b e a =−=，222a b ∴=，故A 错；设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．2211221x y a b+=22221x y ，两式相减可得：21212212121·2y y y y b x x x x a +−=−=−+−．11·2OD k k ∴=−，同理21·2OE k k =−，31·2OF k k =−，故B 错，C 正确． 又1231112()2OD OE OF k k k k k k ++=−++=−，11．（2020·广东广州市·执信中学）已知直线L 与双曲线22221()00a x y a bb >−=>，相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，若直线L 的斜率为1k ，OM 的斜率为2k ，且122k k =，则双曲线渐近线的斜率等于（） A．±B ．2±C．D ．12±【答案】C【详解】设()()1122,,,,(,)A x y B x y M x y ，则12122,2x x x y y y +=+=，2222222211a b x y ab −= ，两式相减可得：()()()()222221221212222211110,220x x y y x x x a a y y y b b−−−=−×−−×=，∵直线L 的斜率为()110k k ≠，直线OM 的斜率为2k ，212211222y y y b k x x a k x −=⋅==−∴，则b a=12．（2020·四川成都市·成都七中）过点(1,4)P 作直线l 交双曲线2214x y −=于A ，B 两点，而P 恰为弦AB的中点，则直线l 的斜率为（）. A ．116− B ．-1 C ．116D ．1【答案】C【分析】根据P 为AB 的中点，利用点差法，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221122221414x y x y −=−= ，两式相减求解. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，因为P 为AB 的中点，则12121242x x y y + = + = ，所以121228x x y y += += ，将A 、B 代入双曲线2214xy −=得，221122221414x y x y −=−= ，两式相减得：()()22221212104y y x x −−−=， 整理得：1212121214y y x x x x y y −+=⋅−+，所以12121214816ABy y k x x −==×=−.13．（2021·全国高二）已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221x y a b−=(0a >，0b >)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为3(1)M ，.则C 的离心率为（） A ．2 BC ．3 D【答案】A【详解】设()()1122,,,B x y D x y ，2222222211a b x y a b −= ，两式做差得()()()()12121212220x x x x y y y y a b −+−+−=整理得()()()()2121221212y y y y b a x x x x −+=−+，而12121BD y y k x x −−==，122x x +=，126y y +=，代入有223b a =，即2223c a a−=，可得2c e a ==．14．（2020·广州市天河中学）已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(M −，则E 的方程为（） A ．22145x y −=B ．22163x y −=C ．2254x y −=22x y 【答案】B【详解】设双曲线E 的标准方程为22221x y a b−=，由题意知：3c =，即229a b +=①，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为(M −，124x x ∴+=−，12y y +，又A ，B 在双曲线上，则22112222222211x y a b x y ab −= −= ， 两式作差得：22221212220x x y y a b−−−=，即()()()()1212121222x x x x y y y y a b −+−+=， 即()()2121221212ABb x x y y k x x a y y +−====−+，又M F ABM F y y k x x −===−即解得：222a b =②，由①②解得：26a =，23b =，∴双曲线的标准方程为：22163x y −=.15．（2019·陕西高考模拟）双曲线221369x y −=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（） A.20x y −−=B.2100x y +−=C.20x y −=D.280x y +−=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y −=，22221369x y −=，369即121212129()98136()3642y y x x kx x y y −+×===−+×， ∴弦所在的直线方程12(4)2y x −=−，即20x y −=． 故选：C28y 上有三个点A ，B ，C 且AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，用字母k 表示斜率，若8OD OE OF k k k ++=−（点O 为坐标原点，且OD k ，OE k ，OF k 均不为零），则111AB BC ACk k k ++=________. 【答案】-1【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=，21118y x −=，22218y x −=, 两式相减得()()()()121212128y y y y x x x x +−−+=，整理可得0121208y x x y y x −=−，即18OD ABk k =，同理得18OE BCk k =，18OF AC k k =.因为8OD OE OF k k k ++=−，所以1111AB BC AC k k k ++=−.17．（2020·全国高二课时练习）双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的右焦点分别为F ，圆M 的方程为()22252x y b −+=.若直线l 与圆M 相切于点()4,1P ，与双曲线C 交于A ，B 两点，点P 恰好为AB 的中点，则双曲线C 的方程为________.【答案】2214x y −=【详解】设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的斜率为k ，则10145k −⋅=−−，所以1k =，()22224512b =−+=，即21b =，则2211221x y a b−=，2222221x y a b −=.两式相减，得()()()()1212121222x x x x y y y y a b −+−+= 则()()222121222212128412b x x y y b b k x x a y y a a +−=====−+，即24a =，所以双曲线C 的方程为2214x y −=.相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23−，则此双曲线的方程是 A.22134x y −= B.22143x y −= C.22152x y −= D.22125x y −= 【答案】D【解析】设双曲线的方程为221(0,0)x ya b a b−=>>，由题意可得227a b +=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则MN 的中点为25,33 −− ，由2211221x y a b −=且2222221x y a b −=，得()()12122x x x x a +−=()()12122y y y y b +−，2223a ×−=（）2523b ×−（），即2225a b=，联立227a b +=22125x y −=．故选D ．19.已知双曲线的左焦点为，过点F 且斜率为1的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点，则双曲线C 的离心率为（ ） A.B.C.D. 2【答案】D 【解析】 【分析】设线段AB 的中点坐标为，根据 求出线段的中点坐标，用点差法求出关系，即可求解【详解】设线段AB 的中点坐标为，则有， 设，代入双曲线方程有，两式相减得， 2222:1x y C a b−=(0,0)a b >>(,0)F c −(2,0)P c ()00,M x y 11,1,MF MP k k ==−AB M ,a c ()00,x y 000112y x c y x c= +=− − 0,2c x ⇒=032y c =1122(,),(,)A x y B x y 2222112222221,1x y x y a b a b−=−=可得，即， .故选:D.20．直线l 过点(1,1)P 与抛物线4y x =交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（） A ．2B ．2−C ．12D ．12− 【答案】A【分析】 利用点差法，21122244y x y x = = 两式相减，利用中点坐标求直线的斜率. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，21122244y x y x = = ，两式相减得()2212124y y x x −−， 即()()()1212124y y y y x x +−=−，当12x x ≠时，()1212124y y y y x x −+=−， 因为点()1,1P 是AB 的中点，所以122y y +=，24k =， 解得：2k =故选：A21．（2019秋•湖北月考）斜率为k 的直线l 过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，点P （x 0，y 0）为AB 中点，则ky 0为（ ）A ．定值B ．定值pC ．定值2pD ．与k 有关的值【分析】设直线方程与抛物线联立得纵坐标之和，进而的中点的纵坐标，直接求出ky 0的值为定值．【解答】解：显然直线的斜率不为零，抛物线的焦点（，0），22a b 002210x y a b−⋅=2213,a b =223b a =2,c a ∴=2e =直线与抛物线联立得：y 2﹣2pmy ﹣p 2＝0，y +y '＝2pm ，所以由题意得：y 0＝＝pm ，所以ky 0＝•pm ＝p ，故选：B ．22．过点)1,4(Q 作抛物线x y 82=的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，则AB 所在的直线方程为_______. 解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m . 由m y k=得：4=k ∴AB 所在的直线方程为)4(41−=−x y ，即0154=−−y x .23．设1P 2P 为抛物线y x =2的弦，如果这条弦的垂直平分线l 的方程为3+−=x y ，求弦1P 2P 所在的直线方程.解：y x =2，my x 22=，∴21=m . 弦1P 2P 所在直线的斜率为1. 设弦1P 2P 的中点坐标为),(00y x .由m x k P P =⋅0211得：210=x . 弦1P 2P 的中点也在直线3+−=x y 上，∴253210=+−=y .弦1P 2P 的中点坐标为)25,21(. ∴弦1P 2P 所在的直线方程为)21(125−⋅=−x y ，即02=+−y x .24． ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)， ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 边所在直线的方程为________．【答案】4x ＋4y ＋5＝0【分析】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，先求出点M 的坐标，再求出直线BC 的斜率，即得解.【详解】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知1(,0)2G ， 则12122132203x x y y ++ = ++ =从而12012012412x x x y y y + ==− + ==− ，即1(,1)4M −−， 又2211222,2y x y x ==， 两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率1212002BC x x y y y y −+故直线BC 的方程为y －(－1)＝1()4x −+，即4x ＋4y ＋5＝0.故答案为：4x ＋4y ＋5＝025．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点()1,1Q 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且恰好为线段MN 的中点，求线段MN 长度.【答案】（1）2212y x −=；（2. 【分析】（1）根据双曲线的定义c =，a =，即可求出双曲线的方程；（2）先根据点差法求直线l 的方程，再根据弦长公式即可求出【详解】（1）双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为，则a =，c =，而222321b c a =−=−=， ∴双曲线C 的标准方程2212y x −=； （2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，点()1,1Q 恰好为线段MN 的中点，即有122x x +=，122y y +=， 又221122221212y x y x −= −= ，两式相减可得121212121()()()()2y y y y x x x x −+=−+， ∴12122y y x x −−=， ∴直线l 的斜率为2k =，其方程为12(1)y x −=−，即21y x =−，由222122y x y x =− −=，即22410x x −−=，可得1212x x =−，则MN ===26．已知直线l 与抛物线2:5C y x =交于,A B 两点．（2）若弦AB 的中点为()6,1−，求l 的方程．【答案】（1；（2）52280x y +−=. 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式即可求解； （2）利用点差法求出直线斜率，即可求出直线方程. 设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ．（1）联立25,21,y x y x = =− 得24910,0x x −+=∆>， 因此121291,44x x x x +==，故||AB （2）因为,A B 两点在C 上，所以2112225,5,y x y x = = 两式相减，得()2221215y y x x −=−， 因为12122y y +=−×=−，所以212112552ABy y k x x y y −===−−+， 因此l 的方程为5(1)(6)2y x −−=−−，即52280x y +−=．。
每日精选072：圆的中点弦问题
每日精选072：圆的中点弦问题
题目：直线与圆相交于两个不同点、,当取不同实数值时，求中点的轨迹方程.
分析
解决与中点弦的有关问题时，有下列三种常见方法：(1)利用根与系数的关系求出中点坐标；
(2)设出弦的两个端点坐标，代入圆的方程得两式，将两式相减，此即为点差法；
(3)利用圆本身的几何性质，即圆心与弦中点的连线与弦垂直.
解法一：消去y，
得 ,
设此方程的两实数根为 , 的中点为 ,
由根与系数的关系和中点坐标公式得
,①
∵点在直线上，∴ ,即.②
将②代入①得 ,
整理得 ,
∴轨迹是圆位于圆内的部分弧.
解法二：∵直线过原点，圆的圆心为 ,如图所示.
设的中点为 ,则 ,
∴点在以为直径的圆周上，
此圆的圆心为 ,半径为，
其方程为 ,
即 .
又∵点在圆的内部，
∴轨迹是圆位于圆内的部分弧.
总结
解法一是一种通法，解法二充分运用圆的几何性质，即圆心与弦中点的连线和弦垂直.圆的几何性质是简化运算的有力工具.
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中点弦_精品文档
中点弦介绍中点弦是导入数学中用于数值计算的一种方法。
该方法可以用来计算函数在给定区间上的数值近似解。
中点弦方法基于割线法的思想，通过在函数上选择两个点，构造出一条经过这两个点的割线，并求取该割线与横轴的交点的纵坐标，作为函数在该区间上的近似解。
算法步骤中点弦方法的算法步骤如下：1.选择一个初始区间[a, b]，确保函数在该区间上有一个单根（一个连续且单调递增/递减的区间）。
2.选择初始点x0和x1作为割线的两个点，计算相应的函数值f(x0)和f(x1)。
3.通过线性插值的方法，在割线上选择一个新的点x2，使得x2满足以下条件：–x2 = x1 - (f(x1)*(x1-x0))/(f(x1)-f(x0))4.通过计算函数在点x2处的函数值f(x2)，判断是否符合终止准则。
如果满足终止准则，将x2作为函数在该区间上的近似解。
否则，继续进行下一步。
5.根据新的割线位置，更新x0和x1的值，并重复步骤3-5，直至满足终止准则为止。
终止准则中点弦方法的终止准则通常有以下两种选择：1.当函数在割线上的两个点之间的距离小于给定的阈值时，认为已找到了函数的近似解。
2.当函数在割线上的某一点的函数值小于给定的阈值时，认为该点即为函数的近似解。
算法特点中点弦方法具有以下特点：•相比于二分法，中点弦方法对函数的导数变化不敏感，因此适用于计算非线性函数的数值解。
•中点弦方法具有较快的收敛速度，尤其适用于具有分段线性特点的函数。
•由于中点弦方法采用割线插值的方式，每次迭代都可以接近函数的近似解，因此可以在较少的迭代次数下达到较高的精度。
示例下面通过一个具体的示例来说明中点弦方法的使用。
假设我们要求解函数f(x) = x^3 - 2x - 5 = 0在区间[1, 3]上的一个近似解。
首先，选择初始点x0 = 1和x1 = 3。
计算函数在这两个点上的函数值：f(x0) = (1)^3 - 2(1) - 5 = -6f(x1) = (3)^3 - 2(3) - 5 = 14根据割线公式，我们可以计算出新的割线点x2：x2 = x1 - (f(x1)(x1-x0))/(f(x1)-f(x0)) = 3 - (14(3-1))/(14-(-6)) = 3 - (28/20) = 2.6 接着，我们计算函数在x2处的函数值：f(x2) = (2.6)^3 - 2(2.6) - 5 = -0.664由于终止准则并没有满足，我们继续迭代。
圆锥曲线中点弦典型例题及解析
01
总结词
这类问题主要考察了圆锥曲线与切线相关的性质和定理，需要利用切线
性质和圆锥曲线的定义来解决。
02
详细描述
在解决与切线相关的问题时，我们需要利用圆锥曲线的切线性质和定义，
结合题目给出的条件，推导出与中点弦相关的方程或不等式，进而求解。
03
示例
已知抛物线C的方程为y^2 = 2px (p > 0)，过其焦点F作直线与C交于A、
数形结合
将代数问题与几何图形相结合 ，利用几何意义求解。
THANKS
感谢观看
特殊情况
当点$P$为圆锥曲线的焦点时， 中点弦称为焦点弦。
中点弦的性质
垂直性质
角度性质
中点弦所在的直线与过点$P$的切线 垂直。
中点弦与切线之间的夹角等于该弦所 对的圆周角。
长度性质
中点弦的长度与过点$P$的切线长度 成反比。
中点弦的几何意义
中点弦是连接圆锥曲 线上的两个对称点的 线段。
中点弦的长度等于圆 锥曲线上的两个对称 点到点$P$的距离之 和的一半。
详细描述
在解决椭圆的中点弦问题时，需要注意中点 弦的特殊性质。例如，当直线过椭圆中心时， 中点弦即为椭圆本身；当直线的斜率为0或 无穷大时，中点弦的长度为椭圆的长轴或短 轴的长度。这些特殊性质可以帮助我们快速 判断中点弦的性质和范围。
双曲线的中点弦问题
总结词
双曲线的性质和方程
详细描述
双曲线的中点弦问题主要考察了双曲线的性质和方程。解决这类问题需要利用双曲线的 性质，如对称性、开口方向等，以及双曲线的方程，如标准方程、参数方程等。通过联 立直线和双曲线的方程，消元化简，可以得到关于中点弦的方程，进一步求解得到中点
解析几何系列小专题2- 中点弦【解析版】
y2 b2
1(a
b
0) 的短轴长为
2，倾斜角为
的直线 l 与椭圆
4
C 相交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，且点 M 与坐标原点 O 连线的斜率为 1 ，求 2
椭圆 C 的标准方程；
（3）已知椭圆 C ： x2 y2 1 上的两点.
2
①过
P1，1 2
的直线
l
与椭圆的弦被
P
平分，求直线
=
1；（2）设
M(x1,y1)N(x2,y2)，根据直线与圆锥曲线
的位置关系可得x1
+
x2
=−
3m，可得
2
M,N
的中点坐标
Q(
−
3m 4
,
m 4
)，又|AM|
=
|AN|知
AQ
⊥
MN，
因此kAQ =− 1= m−4+34m1，解得 m = 2，经检验Δ = 0 不合题意，故不存在．
试题解析：
（1）因为焦点在
请说明存在实数 k ，使得以 F1、F2 为直径的圆经过 N 点，（不要求求出实数 k ）．
【答案】（1）
x2 4
y2 3
1 （2）存在实数 k
，使得以 F1F2 为直径的圆过
N
点
【解析】
试题分析：（1）由椭圆经过点 (0, 3) ，离心率为 1 ，列出方程组，可得 a, c, b 的值，则椭 2
x2 a2
y2 b2
1a＞b＞0 的焦点和上顶点分
别为 F1、F2、B，我们称 F1BF2 为椭圆 C 的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是
相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相
[椭圆中点弦]中点弦问题
![[椭圆中点弦]中点弦问题](https://img.taocdn.com/s3/m/1c5b98d227fff705cc1755270722192e4536582d.png)
[椭圆中点弦]中点弦问题中点弦问题(一)：定义对于给定点P和给定的圆锥曲线C，若C上的某条弦AB过P点且被P点平分，则称该弦AB为圆锥曲线C上过P点的中点弦。
其中圆锥曲线弦为连接圆锥曲线C上不同两点A、B的线段AB称为圆锥曲线C的弦。
中点弦问题(二)：圆锥曲线中点弦公式抛物线中点弦公式抛物线C：x^2(这里x^2表示x的平方，下同)=2py上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：py-αx=pβ-α^2。
中点弦存在的条件：2pβα^2(点P在抛物线开口内)。
椭圆中点弦公式椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：αx/a^2+βy/b^2=α^2/a^2+β^2/b^2。
中点弦存在的条件：α^2/a^2+β^2/b^21(点P在椭圆内)。
双曲线中点弦公式双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：αx/a^2-βy/b^2=α^2/a^2-β^2/b^2。
中点弦存在的条件：(α^2/a^2-β^2/b^2)(α^2/a^2-β^2/b^2-1)0(点P不在双曲线、渐近线上以及它们所围成的区域内)。
中点弦问题(三)：二次曲线中点弦性质与蝴蝶定理蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理，它充分体现了蝴蝶生态美与“数学美”的一致性.不少中数专著或杂志至今还频繁讨论.本文揭示了它与中点弦性质的紧密联系，并给出统一而简明的证明，指出了一种有用的特殊情形和一种推广形式.引理：设两条不同的二次曲线S：F(x，y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0有A、B、C、D 四个公共点，其中无三点共线，则过A、B、C、D四点的任意一条二次曲线S2必可唯一地表示成：(证明略)定理1 设三条不同的二次曲线(S、S1、S2)有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线;又直线L0被S、S1、S2各截得一弦.若其中两弦中点重合，则第三弦中点亦重合.证设S、S1的方程为(1)、(2)，则S2方程可表为(3).因直线L0(设斜率为k)关于二次曲线S、S1、S2的共轭直径分别为：L：(a11x+a12y+a13)+k(a12x+a22y+a23)=f(x，y)=0因L、L1都通过L0被S与S1所截得的弦PQ与EF的共同中点O，显然L2也必通过点O，故O也是L0被S2所截得的弦GH 的中点.注两直线AB和CD或AD和CB或AC和BD都可看做二次曲线S1的特殊情形，甚至E和F重合于O.故本定理包括了蝴蝶定理众多情形.定理2 设AB∥CD，S和S1是过A、B、C、D四点的任意两条二次曲线.若平行于AB的任意直线与S、S1各有两个交点，则夹在两曲线之间的两线段相等.证设AB、CD的中点分别为M、N，又AB∥CD，故直线MN就是AB关于S和S1的共轭直径，故若平行于AB的任意直线被S、S1所截的弦PQ、EF有共同中点O，故有PE=QF，命题得证.注由于PQ可为AB与CD之间任意平行弦，皆有PE=QF，故夹在S和S1之间的两曲边区域△1和△2面积相等.它酷似蝴蝶两翼，不过并非轴对称，而是沿AB方向共轭.如果世上真有这样的蝴蝶，飞行亦能平衡自如.定理1还可推广得到更一般的结论.定理3 若三条不同的二次曲线S、S1、S2有无三点共线的四个公共点，沿某一确定方向的任意直线L0被S、S1、S2各截得一弦PQ、EF、GH，则三弦中点O、O1、O2之间有向线段之比为常数.证不妨取坐标系使确定方向为x轴.于是该方向(k=0)关于S、S1、S2的共轭直径分别为(参见定理1)：L：a11x+a12y+a13=0L1：b11x+b12y+b13=0L2：(a11x+a12y+a13)+λ(b11x+b12y+b13)=0设直线L0方程为y=y0，PQ、EF、GH的中点为O(x0，y0)，O1(x1，y0)，O2(x2，y0)，于是由直径方程知：a11x0+a12y0+a13=0，b11x1+b12y0+b13=0(a11x2+a12y0+a13)+λ(b11x2+b12y0+b13 )=0故a11(x2__0)=λb11(x2__1) (4)即OO2/O2O1=α (a11≠0时) (5)其中α=-λb11/a11是与y0无关的常数(由S、S1、S2三曲线确定.当a11=0时，L∥L0可知L0与S无两个交点，故不在本命题讨论之列).(5)式意即：在指定顺序O、O2、O1之下，两有向线段之比不因L0平行移动而变化.推论在定理3条件下，对任意直线L0所截的三弦中点中，任意两点总在第三点同侧或异侧.当O、O1、O2中有两点重合时，第三点也重合.“蝴蝶定理”虽然如自然界的蝴蝶种类一样千变万化，然而万变不离其宗，核心在于中点弦性质.。
圆锥曲线中点弦问题
关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。
这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。
其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。
一、求中点弦所在直线方程问题例1 过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。
解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是14)2(82221+-=+k k k x x ，又M 为AB 的中点，所以214)2(422221=+-=+k k k x x ， 解得21-=k ，故所求直线方程为042=-+y x 。
解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），M （2，1）为AB 的中点， 所以421=+x x ，221=+y y ，又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x ，两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ，所以21)(421212121-=++-=--y y x x x x y y ，即21-=AB k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。
解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(y x ,)，由于中点为M （2，1）， 则另一个交点为B(4-y x -2,)，因为A 、B 两点在椭圆上，所以有⎩⎨⎧=-+-=+16)2(4)4(1642222y x y x ， 两式相减得042=-+y x ，由于过A 、B 的直线只有一条，故所求直线方程为042=-+y x 。
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圆锥曲线的中点弦问题
一：圆锥曲线的中点弦问题：
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；
②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；
③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。
注意：因为Δ＞0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验Δ＞0！
1、以定点为中点的弦所在直线的方程
例1、过椭圆14
162
2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
例2、已知双曲线12
2
2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
2、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2
1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
例4、已知椭圆125
752
2=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
3、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为
2
1，求椭圆的方程。
∴所求椭圆的方程是125
752
2=+x y 4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
例6、已知椭圆13
42
2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
五、注意的问题
（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。
利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。
答案：1.解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B
)1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y
又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642
222=+y x
两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x
于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴
2
1244)(421212121-=⨯-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2
11--=-x y ，即042=-+y x 。
2.解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B
则221=+x x ，221=+y y 122121=-y x ，122
222=-y x 两式相减，得
0))((2
1))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121
=--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由⎪⎩
⎪⎨⎧=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=⨯⨯--=∆
这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。
评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。
由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。
（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2） 若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。
3.解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则2
10=x 12021==+x x x ， 0212y y y =+
又 125752121=+x y ，125
752
222=+x y 两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y
即0)(3)(221210=-+-x x y y y ∴0212123y x x y y -=-- 32121=--=
x x y y k ∴ 3230=-y ，即2
10-=y ∴点M 的坐标为)2
1,21(-。
4.解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(y x M ，则
x x x 221=+， y y y 221=+ 又 125752121=+x y ，125
752
222=+x y 两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y
即0)(3)(2121=-+-x x x y y y ，即y
x x x y y 32121-=-- 32121=--=x x y y k ∴33=-y
x ，即0=+y x 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+125
75022x y y x ，得)235,235(-P )235,235(-Q 点M 在椭圆内
∴它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为)2
35235(0<<-=+x y x 5.解：设椭圆的方程为122
22=+b
x a y ，则5022=-b a ┅┅① 设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则
210=x ，2
12300-=-=x y ∴12021==+x x x ，12021-==+y y y 又1221221=+b x a y ，1222222=+b
x a y 两式相减得0))(())((2121221212=-++-+x x x x a y y y y b
即0)()(212
212=-+--x x a y y b ∴ 22
2121b
a x x y y =-- ∴ 322=
b a ┅┅② 联立①②解得752=a ，252
=b
6.解：设),(111y x P ，),(222y x P 为椭圆上关于直线m x y +=4的对称两点，),(y x P 为弦21P P 的中
点，则12432121=+y x ，12432222=+y x
两式相减得，0)(4)(322212221=-+-y y x x
即0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x x x x 221=+，y y y 221=+，4
12121-=--x x y y ∴x y 3= 这就是弦21P P 中点P 轨迹方程。
它与直线m x y +=4的交点必须在椭圆内
联立⎩⎨⎧+==m x y x y 43，得⎩⎨⎧-=-=m
y m x 3 则必须满足22433x y -<， 即224
33)3(m m -<，解得1313213132<<-m。