高中数学例谈导数法求解中点弦问题学法指导

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2022届高考数学精品微专题：中点弦问题

2022届高考数学精品微专题：中点弦问题一、常用结论1.椭圆中点弦问题结论（以焦点在x 轴的椭圆方程)0(12222>>=+b a by a x 为例）（1）如图，在椭圆C 中，E 为弦AB 的中点，则22b k k AB OE −=⋅;（证明：用点差法）（2）注意：若焦点在y 轴上的椭圆)(12222>=+ba ay b x 2b ABOE2.双曲线中点弦结论（以焦点在x 轴的双曲线方程12222=−by a x 为例）图1 图2（1）如图1或图2，E 为弦AB 的中点，则22ab k k ABOE =⋅; （2）注意：若焦点在y 轴上的双曲线12222=−b x a y ，则22ba k k AB OE =⋅3.抛物线中点弦结论（1）在抛物线)0(22≠=p px y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则p y k MN =⋅0. 即：0y p k =（2）同理可证，在抛物线)0(22≠=p py x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN=⋅01.即：px k 0=、典例【选填解答题】1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（） A ．2 B ．2− C ．12−D ．12【答案】C【分析】先根据已知得到22，再利用点差法求出直线的斜率.【详解】由题得222222242,4()2,2c c a a b a a b a =∴=∴−=∴=.设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b += += ，两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +−++−=，所以2()2a ()0所以221212()240()y y b b x x −+=−，所以1120,2k k +=∴=−.2.【2014年江西卷（理15）】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为【解析】由椭圆中点弦性质可得1222−=−=⋅e a b k k AB OM ，则 <<−=×−1011212e e ，故e =3.【2013全国卷1理科】已知椭圆E ：(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．B ．C ．D ．【解析】22a b k k AB MF −=⋅，得22)1(13)1(0a b −=−×−−−，∴=，又9==，解得=9，=18， ∴椭圆方程为，故选D ．(1,1)M 12−C 22221(0)x y a b a b +=>>,A B M AB C 2222=1x y a b+22=14536x y +22=13627x y +22=12718x y +22=1189x y +22b a 122c 22a b −2b 2a 221189x y +=（全国卷Ⅲ第一问）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：143+=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m (0)m >．证明：12k <−．【答案】证明见解析．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211143x y +=，2222143x y +=，上述两式相减，则32b kk 由题设知1212x x +=，122y y m +=，故43−=⋅m k ，于是34k m =−．由<+>134102m m 得302m <<，故12k <−．5.（2020年湖北高二期末）如图，已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞，斜率为﹣1的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为13，则椭圆的离心率为ABCD ．23【答案】B【解析】方法1：设直线AB 方程为y x n =−+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由22221x y a b y x n +==−+得：22222222()20a b x a nx a n a b +−+−=， ∴212222a n x x a b+=+，12122()y y n x x +=−+，设(,)M x y ， ∵OAMB 是平行四边形，∴OM OA OB =+，∴1212,x x x y y y =+=+， ∴12121212122()21OM y y n x x y n k x x x x x x x +−+====−+++22222113a b b a a +=−==，223aa，∴3ea ．故选B ．方法2：（秒杀解） <<−=−⇒−=−=⋅1031112222e e e a b k k OMAB ，得36=e ．故选B ．6.【2019一中月考】直线与椭圆：相交于两点，设线段的中点为，则动点的轨迹方程为（）D7．已知椭圆2217525+=y x 的一条弦的斜率为3，它与直线12x =的交点恰为这条弦的中点M ，则M 的坐标为（） A ．11,2B ．11,22C ．11,22−D ．11,22−【答案】C 【分析】由题意知：斜率为3的弦中点01(,)2M y ，设弦所在直线方程3y x b =+，结合椭圆方程可得122b x x +=−即可求b ，进而求M 的坐标. 【详解】由题意，设椭圆与弦的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，:3AB y x b =+，则将3y x b =+代入椭圆方程，整理得：22126750x bx b ++−=，∴22123648(75)02b b bx x ∆=−−> +=−，而121x x =+，故2b =−， ∴:32AB y x =−，又01(,)2M y 在AB 上，则012y =−，故选：C)(4R m m x y∈+C 1232=+y B A ,AB M M 16.+−=x y A 6.xy B −=)33(16.<<−+−=x x y C )26526(6.<<−−=x x y D22a b 圆于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为（1，1−），则G 的方程为（）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆的标准方程，两式作差可得ABk 22b a =，由22b a =12，9=2c =22a b −，【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b +=，①2222221x y a b +=，②①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +−+−+=，∴AB k =1212y y x x −−=212212()()b x x a y y +−+=22b a ，又ABk =0131+−=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b −，解得2b =9，2a =18，∴1899．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中）已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（） A ．43−B ．43C ．34−D ．34【答案】C【分析】设出椭圆方程，设出A B C ，，的坐标，通过点差法转化求解斜率，然后推出结果即可．【详解】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=，两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y −+−+=−，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +−=−+−，134OD ABk k =−，同理可得1313,44OF OE AC BC k k k k =−=−，所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=−++=−，10．（2020·广东广州市·执信中学）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，ABC ∆的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，且三条边所在直线的斜率分别1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0．O 为坐标原点，则（）A ．22:1:2a b =C ．直线BC 与直线OE 的斜率之积为12−D ．若直线OD ，OE ，OF 的斜率之和为1，则123111k k k ++的值为2− 【答案】CD【分析】由题意可得：222a b =．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．利用点差法即可得出11·2OD k k =−，2·2OE k k =−，3·2OF k k =−，即可判断．【详解】椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，∴222112b e a =−=，222a b ∴=，故A 错；设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．2211221x y a b+=22221x y ，两式相减可得：21212212121·2y y y y b x x x x a +−=−=−+−．11·2OD k k ∴=−，同理21·2OE k k =−，31·2OF k k =−，故B 错，C 正确．又1231112()2OD OE OF k k k k k k ++=−++=−，11．（2020·广东广州市·执信中学）已知直线L 与双曲线22221()00a x y a bb >−=>，相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，若直线L 的斜率为1k ，OM 的斜率为2k ，且122k k =，则双曲线渐近线的斜率等于（） A．±B ．2±C．D ．12±【答案】C【详解】设()()1122,,,,(,)A x y B x y M x y ，则12122,2x x x y y y +=+=，2222222211a b x y ab −= ，两式相减可得：()()()()222221221212222211110,220x x y y x x x a a y y y b b−−−=−×−−×=，∵直线L 的斜率为()110k k ≠，直线OM 的斜率为2k ，212211222y y y b k x x a k x −=⋅==−∴，则b a=12．（2020·四川成都市·成都七中）过点(1,4)P 作直线l 交双曲线2214x y −=于A ，B 两点，而P 恰为弦AB的中点，则直线l 的斜率为（）. A ．116− B ．-1 C ．116D ．1【答案】C【分析】根据P 为AB 的中点，利用点差法，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221122221414x y x y −=−= ，两式相减求解. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，因为P 为AB 的中点，则12121242x x y y + = + = ，所以121228x x y y += += ，将A 、B 代入双曲线2214xy −=得，221122221414x y x y −=−= ，两式相减得：()()22221212104y y x x −−−=，整理得：1212121214y y x x x x y y −+=⋅−+，所以12121214816ABy y k x x −==×=−.13．（2021·全国高二）已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221x y a b−=(0a >，0b >)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为3(1)M ，.则C 的离心率为（） A ．2 BC ．3 D【答案】A【详解】设()()1122,,,B x y D x y ，2222222211a b x y a b −= ，两式做差得()()()()12121212220x x x x y y y y a b −+−+−=整理得()()()()2121221212y y y y b a x x x x −+=−+，而12121BD y y k x x −−==，122x x +=，126y y +=，代入有223b a =，即2223c a a−=，可得2c e a ==．14．（2020·广州市天河中学）已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(M −，则E 的方程为（） A ．22145x y −=B ．22163x y −=C ．2254x y −=22x y 【答案】B【详解】设双曲线E 的标准方程为22221x y a b−=，由题意知：3c =，即229a b +=①，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为(M −，124x x ∴+=−，12y y +，又A ，B 在双曲线上，则22112222222211x y a b x y ab −= −= ，两式作差得：22221212220x x y y a b−−−=，即()()()()1212121222x x x x y y y y a b −+−+=，即()()2121221212ABb x x y y k x x a y y +−====−+，又M F ABM F y y k x x −===−即解得：222a b =②，由①②解得：26a =，23b =，∴双曲线的标准方程为：22163x y −=.15．（2019·陕西高考模拟）双曲线221369x y −=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（） A.20x y −−=B.2100x y +−=C.20x y −=D.280x y +−=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y −=，22221369x y −=，369即121212129()98136()3642y y x x kx x y y −+×===−+×， ∴弦所在的直线方程12(4)2y x −=−，即20x y −=．故选：C28y 上有三个点A ，B ，C 且AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，用字母k 表示斜率，若8OD OE OF k k k ++=−（点O 为坐标原点，且OD k ，OE k ，OF k 均不为零），则111AB BC ACk k k ++=________. 【答案】-1【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=，21118y x −=，22218y x −=, 两式相减得()()()()121212128y y y y x x x x +−−+=，整理可得0121208y x x y y x −=−，即18OD ABk k =，同理得18OE BCk k =，18OF AC k k =.因为8OD OE OF k k k ++=−，所以1111AB BC AC k k k ++=−.17．（2020·全国高二课时练习）双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的右焦点分别为F ，圆M 的方程为()22252x y b −+=.若直线l 与圆M 相切于点()4,1P ，与双曲线C 交于A ，B 两点，点P 恰好为AB 的中点，则双曲线C 的方程为________.【答案】2214x y −=【详解】设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的斜率为k ，则10145k −⋅=−−，所以1k =，()22224512b =−+=，即21b =，则2211221x y a b−=，2222221x y a b −=.两式相减，得()()()()1212121222x x x x y y y y a b −+−+= 则()()222121222212128412b x x y y b b k x x a y y a a +−=====−+，即24a =，所以双曲线C 的方程为2214x y −=.相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23−，则此双曲线的方程是 A.22134x y −= B.22143x y −= C.22152x y −= D.22125x y −= 【答案】D【解析】设双曲线的方程为221(0,0)x ya b a b−=>>，由题意可得227a b +=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则MN 的中点为25,33 −− ，由2211221x y a b −=且2222221x y a b −=，得()()12122x x x x a +−=()()12122y y y y b +−，2223a ×−=（）2523b ×−（），即2225a b=，联立227a b +=22125x y −=．故选D ．19.已知双曲线的左焦点为，过点F 且斜率为1的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点，则双曲线C 的离心率为（） A.B.C.D. 2【答案】D 【解析】【分析】设线段AB 的中点坐标为，根据求出线段的中点坐标，用点差法求出关系，即可求解【详解】设线段AB 的中点坐标为，则有，设，代入双曲线方程有，两式相减得， 2222:1x y C a b−=(0,0)a b >>(,0)F c −(2,0)P c ()00,M x y 11,1,MF MP k k ==−AB M ,a c ()00,x y 000112y x c y x c= +=− − 0,2c x ⇒=032y c =1122(,),(,)A x y B x y 2222112222221,1x y x y a b a b−=−=可得，即， .故选:D.20．直线l 过点(1,1)P 与抛物线4y x =交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（） A ．2B ．2−C ．12D ．12− 【答案】A【分析】利用点差法，21122244y x y x = = 两式相减，利用中点坐标求直线的斜率. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，21122244y x y x = = ，两式相减得()2212124y y x x −−，即()()()1212124y y y y x x +−=−，当12x x ≠时，()1212124y y y y x x −+=−，因为点()1,1P 是AB 的中点，所以122y y +=，24k =，解得：2k =故选：A21．（2019秋•湖北月考）斜率为k 的直线l 过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，点P （x 0，y 0）为AB 中点，则ky 0为（）A ．定值B ．定值pC ．定值2pD ．与k 有关的值【分析】设直线方程与抛物线联立得纵坐标之和，进而的中点的纵坐标，直接求出ky 0的值为定值．【解答】解：显然直线的斜率不为零，抛物线的焦点（，0），22a b 002210x y a b−⋅=2213,a b =223b a =2,c a ∴=2e =直线与抛物线联立得：y 2﹣2pmy ﹣p 2＝0，y +y '＝2pm ，所以由题意得：y 0＝＝pm ，所以ky 0＝•pm ＝p ，故选：B ．22．过点)1,4(Q 作抛物线x y 82=的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，则AB 所在的直线方程为_______. 解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m . 由m y k=得：4=k ∴AB 所在的直线方程为)4(41−=−x y ，即0154=−−y x .23．设1P 2P 为抛物线y x =2的弦，如果这条弦的垂直平分线l 的方程为3+−=x y ，求弦1P 2P 所在的直线方程.解：y x =2，my x 22=，∴21=m . 弦1P 2P 所在直线的斜率为1. 设弦1P 2P 的中点坐标为),(00y x .由m x k P P =⋅0211得：210=x . 弦1P 2P 的中点也在直线3+−=x y 上，∴253210=+−=y .弦1P 2P 的中点坐标为)25,21(. ∴弦1P 2P 所在的直线方程为)21(125−⋅=−x y ，即02=+−y x .24． ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)， ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 边所在直线的方程为________．【答案】4x ＋4y ＋5＝0【分析】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，先求出点M 的坐标，再求出直线BC 的斜率，即得解.【详解】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知1(,0)2G ，则12122132203x x y y ++ = ++ =从而12012012412x x x y y y + ==− + ==− ，即1(,1)4M −−，又2211222,2y x y x ==，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率1212002BC x x y y y y −+故直线BC 的方程为y －(－1)＝1()4x −+，即4x ＋4y ＋5＝0.故答案为：4x ＋4y ＋5＝025．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点()1,1Q 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且恰好为线段MN 的中点，求线段MN 长度.【答案】（1）2212y x −=；（2. 【分析】（1）根据双曲线的定义c =，a =，即可求出双曲线的方程；（2）先根据点差法求直线l 的方程，再根据弦长公式即可求出【详解】（1）双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为，则a =，c =，而222321b c a =−=−=， ∴双曲线C 的标准方程2212y x −=；（2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，点()1,1Q 恰好为线段MN 的中点，即有122x x +=，122y y +=，又221122221212y x y x −= −= ，两式相减可得121212121()()()()2y y y y x x x x −+=−+， ∴12122y y x x −−=， ∴直线l 的斜率为2k =，其方程为12(1)y x −=−，即21y x =−，由222122y x y x =− −=，即22410x x −−=，可得1212x x =−，则MN ===26．已知直线l 与抛物线2:5C y x =交于,A B 两点．（2）若弦AB 的中点为()6,1−，求l 的方程．【答案】（1；（2）52280x y +−=. 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式即可求解；（2）利用点差法求出直线斜率，即可求出直线方程. 设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ．（1）联立25,21,y x y x = =− 得24910,0x x −+=∆>，因此121291,44x x x x +==，故||AB （2）因为,A B 两点在C 上，所以2112225,5,y x y x = = 两式相减，得()2221215y y x x −=−，因为12122y y +=−×=−，所以212112552ABy y k x x y y −===−−+，因此l 的方程为5(1)(6)2y x −−=−−，即52280x y +−=．。

高中数学：用导数法求解中点弦问题

高中数学：用导数法求解中点弦问题利用导数解决解析几何中的切线、中点弦问题，是高中数学繁难问题的一种通用解题方法。

1. 利用导数求解切线方程利用导数的几何意义，把二次曲线方程看作：是x的函数，利用复合函数求导法则，可轻松求出切线的斜率。

如对圆，两边对x求导，则有，所以在切点（m，n）处的切线斜率－。

从而求出切线方程是。

类似地可轻松求出过椭圆、双曲线、抛物线等曲线上的点的切线方程。

2. 利用求导法求解中点弦问题如果以圆、椭圆等图形的中心为中心，按比例缩小图形，则一定存在同类的圆、椭圆等与弦AB中点M相切（如图1）。

此时缩小的曲线方程如，两边对x求导，可发现并不改变原方程求导的结果。

因此，利用导数法求中点弦的斜率，就是在中点处的值。

图1应用1. 求中点弦方程例1. 已知双曲线方程，求以A（2，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程；（2）过点B（1，1），能否作直线，使与所给双曲线交于P、Q两点，且点B是弦PQ的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。

解：对两边求导，得（1）以A（2，1）为中点的弦的斜率，所以所求中点弦所在直线方程为（2）以B（1，1）为中点的弦的斜率，所以所求中点弦所在直线方程为即。

但与双曲线方程联立消去y得，无实根。

因此直线与双曲线无交点，所以满足条件的直线不存在。

说明：（1）求出的方程只是满足了必要性，还必须验证其充分性，即所求直线与双曲线确实有两个交点。

2. 证明与中点弦有关的不等式例2. 已知椭圆，A、B是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，求证：。

证明：设AB的中点是P（m，n），则中点P在椭圆内，所以①对椭圆两边求导有，得故中点弦AB的斜率，所以线段AB的垂直平分线斜率满足：，得。

代入①式得。

3. 求与中点弦有关的轨迹问题例3. 已知定点A（0，2），椭圆，过A任意引直线与椭圆交于两点P、Q，求线段PQ中点的轨迹方程。

解：设线段PQ的中点为M（x，y）。

(最新整理)1.中点弦问题(点差法)

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圆锥曲线常规题型方法归纳与总结①中点弦问题;②焦点三角形；③直线与圆锥位置关系问题；④圆锥曲线的相关最值（范围）问题；⑤求曲线的方程问题；⑥存在两点关于直线对称问题;⑦两线段垂直问题圆锥曲线的中点弦问题--—-—-点差法与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题.解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.解题策略：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ,将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。

如：(1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 02020=+k by a x . (2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0）则有 02020=-k by a x （3)y 2=2px(p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M （x 0，y 0),则有2y 0k=2p ，即y 0k=p.一、求以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦,使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。

高考数学导数中的零点问题解决方法

导数中的零点问题解决方法解决零点问题，需要采用数形结合思想，根据函数的图像或者趋势图像找出符合题意的条件即可，因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。

一、能直接分离参数的零点题目此类问题较为简单，分离之后函数无参数，则可作出函数的准确图像，然后上下移动参数的值，看直线与函数交点个数即可。

例1.已知函数(),()ln a f x x g x x x =+=，若关于x 的方程2()()2g x f x e x =-只有一个实数根，求a 的值。

解析：22()ln ()22g x x f x e a x ex x x =-⇒=-+，令2ln ()2x h x x ex x=-+，'21ln ()22x h x x e x-=-+，令'()0h x =，则x e = 当0x e <<时，'()0h x >，()h x 单调递增；当x e >时，'()0h x <，()h x 单调递减，2max 1()()h x h e e e ==+ —注意这里()h x 的单调性不是硬解出来的，因为你会发现'()h x 的式子很复杂，但是如果把()h x 当成两个函数的和，即2ln (),()2x m x n x x ex x==-+，此时(),()m x n x 的单调性和极值点均相同，因此可以整体判断出()h x 的单调性和极值点。

所以21a e e=+（注意：有一个根转化为图像只有一个交点即可）二、不能直接分离参数的零点问题（包括零点个数问题）这里需要注意几个转化，以三次函数为例，若三次函数有三个不同的零点，则函数必定有两个极值点，且极大值和极小值之积为负数，例如()f x 在区间(0,1)上有零点，此时并不能确定零点的个数，只能说明至少有一个零点，若函数在区间上单调，只需要用零点存在性定理即可，但是若函数在区间上不单调，则意味着()f x 在区间(0,1)上存在极值点。

导数在函数单调性与极值求解中的应用

导数在函数单调性与极值求解中的应用导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间。

所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。

解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。

本文仅以历年高考试为例谈谈导数在函数单调性与极值求解中的应用问题问题，供鉴赏。

一、导数在单调性中的应用：函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的，其思维方法有：一、利用增（减）函数的定义判断单调性；二、导数法。

利用在(,)a b 内可导的函数()f x 在(,)a b 上递增（或递减）的充要条件是()0f x '≥（或()0f x '≤），(,)x ab∈恒成立（但()f x '在(,)a b 的任意子区间内都不恒等于0）。

方法一化简较为繁琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.，特别是对于具体函数更加适用。

1. 利用导数求单调区间：例1.函数y =x ln x 在区间(0，1)上是 A. 单调增函数 B. 单调减函数C.在(0，e1)上是减函数，在(e1,1)上是增函数D.在(0，e1)上是增函数，在(e1,1)上是减函数分析：本题主要考查利用求导方法判定函数在给定区间上的单调性. 解：y ′=ln x +1,当y ′>0时，解得x >e 1.又x ∈(0,1),∴e1<x <1时，函数y =x ln x 为单调增函数.同理，由y ′<0且x ∈(0,1)得0<x <e1,此时函数y =x ln x 为单调减函数.故应选C.答案：C例2.函数y =sin 2x 的单调递减区间是__________. 分析：本题考查导数在三角问题上的应用.解：y ′=2sin x cos x =sin2x . 令y ′<0,即sin2x <0， ∴2k π－π<2x <2k π,k ∈Z . ∴k π－2π<x <k π,k ∈Z .∴函数y =sin 2x 的单调递减区间是(k π－2π,k π),k ∈Z .2. 利用导数和单调性的关系，选择导函数与原函数的图像问题：例3.设f ′(x )是函数f (x )的导函数,y =f ′(x )的图象如下图所示,则y =f (x )的图象最有可能是（AC BD分析:本题主要考查函数的导数与图象结合处理问题.要求对导数的含义有深刻理解、应用的能力.解:函数的增减性由导数的符号反映出来.由导函数的图象可大略知道函数的图象.由导函数图象知:函数在(－∞,0)上递增,在(0,2)上递减,在(2,+∞)上递增;函数f (x )在x =0处取得极大值,在x =2处取得极小值.答案:C例4．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中 ()y f x =的图象大致是( ）解析：由()y xf x '=图象可知：)(/x f y =在]1,1[-上小于等于零，故原函数在]1,1[-上为减函数，故选C ．评注：函数()y xf x '=图象提供了很多信息，但要抓住关键特点，如导数为零的点、导数为正值或负值的区间等．3. 利用导数和单调性的关系判断方程解的个数：例5、方程3269100x x x -+-=的实根的个数是（）A 、3B 、2C 、1D 、0分析：此题是一个三次方程，不易猜根。

高中数学_3.3.2 利用导数研究函数的极值教学设计学情分析教材分析课后反思

效果分析我经常在思考：长期以来，我们的学生为什么对数学不感兴趣，甚至害怕数学，其中的一个重要因素就是数学离学生的生活实际太远了。

事实上，数学学习应该与学生的生活融合起来，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，让他们在生活中去发现数学、探究数学、认识并掌握数学。

1. 教材由山峰、山谷的实例，引入极大值、极小值、极值、极值点等概念，非常直观，贴近生活。

2. 我在这里借助一个函数图像，把生活和数学联系起来，培养学生应用数形结合方法的习惯。

本节课在教师的积极引导下，学生能主动回答问题，提出问题，学生与学生之间，教师与学生之间有效的互动使课堂气氛和谐活跃，学生参与面广，能照顾到各个层次的学生。

课标分析本节课的重点是利用导数知识求导数的极值。

教材给出极大值、极小值、极值、极值点的定义后，借助函数图象介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法；利用函数的导数求极值时，首先要确定函数的定义区间；其次，为了清楚起见，可用导数为0的点，将函数的定义区间分成若干小区间，并列表格，判断导数在各小区间的符号；求函数的最值，需要先确定函数的极大值和极小值，因此函数的极值的求法是关键。

学情分析学生前面学习了《利用导数研究函数单调性》，为学习本节奠定了基础，但还不够深入，因此在学习上还有一定的困难，本节课能进一步提高学生利用导数研究函数的能力。

在教学中要特别重视学法的指导。

随着《基础教育课程改革纲要（试行）》的颁布实施，课程改革形成由点到面，逐步铺开的良好态势。

倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力”。

数学作为基础教育的核心课程之一，转变学生数学学习方式，不仅有利于提高学生的数学素养，而且有利于促进学生整体学习方式的转变。

我以建构主义理论为指导，辅以多媒体手段，采用着重于学生探索研究的启发式教学方法，结合师生共同讨论、归纳。

在课堂结构上，我根据学生的认知水平，我设计了①创设情境——引入概念；观察归纳——形成概念②讨论研究——深化概念③寻找充要条件④即时训练—巩固新知⑤深入探讨——提高认识⑥任务后延——自主探究六个层次的学法，它们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标。

高中数学圆锥曲线中，如何解决中点弦的问题？

高中数学圆锥曲线中，如何解决中点弦的问题？
答：
一·中点弦问题
1.中点弦问题是圆锥曲线中一类典型的问题，是高考命题的热点。

2.中点弦问题即可以考查小题，也可以作为大题出现，常常涉及求直线方程、求直线斜率、求曲线方程、求曲线离心率等知识点。

3.下面以椭圆为例，处理中点弦问题常常有以下三种方法：韦达定理、点差法和椭圆的垂径定理。

二·典例剖析
三·失误提醒
1.值得说明的是，以上各种方法皆体现了“设而不求”的数学思想。

另外，法3其实是法2的结论的变形。

2.在选择、填空题中，三种方法皆可，不过采用椭圆的垂径定理更为快捷。

但是在解答题中，最好使用韦达定理或者点差法，避免因过程不严密而失分。

以上。

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高中数学例谈导数法求解中点弦问题
梁金国
导数进入中学数学，丰富了中学数学知识和解法，给许多繁难问题提供了一种通用的解题方法，也给许多常规问题的解法提供了新的视角。

利用导数解决解析几何中的切线、中点弦问题，正是其中一个方面。

一、方法介绍
1. 利用导数求解切线方程
利用导数的几何意义，把二次曲线方程看作：y 是x 的函数，利用复合函数求导法则，可轻松求出切线的斜率。

如对圆()()x a y b R -+-=222，两边对x 求导，则有220()()'x a y b y x -+-=，所以在切点（m ，n ）处的切线斜率k y x x m y n ===='|，－ m a n b
--。

从而求出切线方程是()()()()x a m a y b n b R --+--=2。

类似地可轻松求出过椭圆、双曲线、抛物线等曲线上的点的切线方程。

2. 利用求导法求解中点弦问题
如果以圆、椭圆等图形的中心为中心，按比例缩小图形，则一定存在同类的圆、椭圆等与弦AB 中点M 相切（如图1）。

此时缩小的曲线方程如()()()x a y b tR -+-=222， x ta y tb 222
21()()
±=，两边对x 求导，可发现并不改变原方程求导的结果。

因此，利用导数法求中点弦的斜率，就是y x '在中点处的值。

图1
二、应用举例
1. 求中点弦方程
例1. 已知双曲线方程22122
x y -=()，求以A （2，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程；（2）过点B （1，1），能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于P 、Q 两点，且点B 是弦PQ 的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。

解：对2222x y -=两边求导，得
420x yy x -='
（1）以A （2，1）为中点的弦的斜率k y x x y ===='|214，，所以所求中点弦所在直线方程为
y x -=-142()
（2）以B （1，1）为中点的弦的斜率k y x x y ===='|112，，所以所求中点弦所在直线方程为
y x -=-121()
即210x y --=。

但与双曲线方程2222x y -=联立消去y 得2430802x x -+==-<，∆，无实根。

因此直线l 与双曲线无交点，所以满足条件的直线l 不存在。

注意：（1）求出的方程只是满足了必要性，还必须验证其充分性，即所求直线与双曲线确实有两个交点。

2. 证明与中点弦有关的不等式
例2. 已知椭圆x a y b
a b 222
210+=>>()，A 、B 是椭圆上两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P ()x 00，，求证：--<<-a b a x a b a
22022。

证明：设AB 的中点是P （m ，n ），则中点P 在椭圆内，
所以-<<a m a ①
对椭圆x a y b
222
21+=两边求导有22022x a y b y x +='，得y xb ya
x '=-2
2 故中点弦AB 的斜率k y mb na x x m y n ==-=='|，2
2
，所以线段AB 的垂直平分线斜率满足： n m x na mb
--=002
2，得m x a a b =-0222。

代入①式得--<<-a b a x a b a
22022。

3. 求与中点弦有关的轨迹问题
例3. 已知定点A （0，2），椭圆12
122x y +=，过A 任意引直线与椭圆交于两点P 、Q ，求线段PQ 中点的轨迹方程。

解：设线段PQ 的中点为M （x ，y ）。

对椭圆
12
122x y +=两边求导，得 x yy x +=20'
所以PQ 的斜率为k x y
=-2。

又k k AM PQ =，所以y x x y
--=-212。

化简即得x y y 22240+-=（在椭圆12122x y +=内的部分）。

4. 求与中点弦有关的对称问题
例4. 求抛物线y x =2上不存在关于直线y m x =-()3对称的两点，求m 的取值范围。

解：（1）当m =0时，曲线上不存在关于直线对称的两点。

（2）当m ≠0时，假设存在关于直线对称的两点，设这两点的中点为A （a ，b ），则A
必在抛物线y x =2内，所以b a >2。

① 对y x =2两边求导，得y x x '=2，所以中点弦的斜率为k a m ==-21。

② 将点A （a ，b ）坐标代入y m x =-()3得 b m a =-()3 ③
由①②③得1221032m m ++< 即()()2162102m m m +-+< 又62102m m -+>恒成立，所以m <-1
2
故m m ≥-1
20()≠时满足题意。

综上（1）（2），m 取值范围是[)-+∞1
2，。