12.2三角形全等的判定 第3课时 “角边角”、“角角边”
浮山县一中八年级数学上册 第十二章 全等三角形12.2 三角形全等的判定第3课时 角边角 角角边教学
旧知回顾
1.什么是全等三角形 ？
2.判定两个三角形全等要具备什么
条件? 边边边 :
三边対应相等的两个三角形全等。
边角边 :
有两边和它们夹角対应相等的两个三角形全等。
一张教学用的三角形硬纸板不小心 被撕坏了 , 如下图 , 你能制作一张与原来 同样大小的新教具 ？能恢复原来三角形 的原貌吗 ？
8．在△ABC中 , AB＝n2＋1 , AC＝2n , BC＝n2－1(n>1) , 那么这个三角
形是( C )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
9．如下图 , 在△ABC中 , AB＝13 , AC＝5 , BC＝12.点O为∠ABC与∠CAB 的平分线的交点 , 那么点O到边AB的距离OP为______．2
解得 x＝1270 ，则 AC＝70－x＝3770 ，
答：该点将绳子分成长度分别为1720 cm 和3770 cm 的两段
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油!奥利给~
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
课堂小结
〔1〕学习了角边角、角角边 〔2〕注意角角边、角边角中两角与边的区别。 〔3〕会根据已知两角画三角形 〔4〕进一步学会用推理证明。
作业 这节课我们学习到这里 , 再见 !
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
10．(泰州中考)如下图 , 在长方形ABCD中 , AB＝8 , BC＝6 , P为AD上一 点 , 将△ABP沿BP翻折至△EBP, PE与CD相交于点O , 且OE＝OD , 那么 AP的长为4_.8_____．
八年级数学上册 12.2三角形全等的判定第3课时角边角角角边课件6-10
D
C
C′
A
B
A′
B′
作法：
（1）画A'B'=AB;
（2）在A'B'的同旁画∠DA'B '=∠A，∠EB'A '=∠B，A'D，B'E相交于
点C'.
想一想：从中你能发现什么规律？
知识要点
“角边角”判定方法
◆文字语言：有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成
“角边角”或“ASA”）.
A
◆几何语言：
在△ABC和△A′ B′ C′中，
∠A=∠A′ （已知）， AB=A′ B′ （已知），BCA′
∠B=∠B′ （已知），
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （ASA）.
B′
C′
典例精析
例1 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，
求证：△ABC≌△DCB．
证明： 在△ABC和△DCB中，
A
A
证明：在△ACD和△ABE中，
∠A=∠A（公共角 ），
AC=AB（已知），
∠C=∠B （已知 ）， ∴ △ACD≌△ABE（ASA)，
∴AD=AE.
D
E
B
C
二 用“角角边”判定三角形全等
合作探究
问题：若三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边为 3cm，你能画出这个三角形吗?
60° 45 °
即时通讯
D
∠ABC＝∠DCB(已知），
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知）， B
C
∴△ABC≌△DCB（ASA ）.
判定方法：两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等．
`122 三角形全等的判定(第3课时)(人教版八年级上)
D O B
E
C
∴BD=CE
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ，BC=EF，
△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？ A C B D
E
F
有两角和其中一个角所对的边对应相等的两个
三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”）.
有几种填法?
B
1.如图，应填什么就有 △AOC≌ △BOD C ∠A=∠B（已知） AC=BD （已知） _______ ∠C=∠D（已知） ∴△AOC≌△BOD（ ASA ）
=∠C(即使两角和它们的夹边对应相等).
(3)把你画好的Δ A′B′C′放到刚才同桌的Δ ABC上重叠 （对应角对齐，对应边对齐）.你发现了什么？ (4)所画得三角形和同桌画的三角形都能相互（ 重合）.
三角形全等判定三
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 (可以简写成“角边角”或“ASA”）.
O D
A
B
如图，应填什么就有△AOC≌△BOD∠A源自∠B（已知）C O
）
CO=DO ________ （已知）
∠C=∠D （已知）
∴△AOC≌△BOD（ AAS
D
A
B
如图，应填什么就有△AOC≌△BOD ∠A=∠B（已知）
C O D
AO=BO （已知） _______
∠C=∠D （已知） ∴△AOC≌△BOD（ AAS ）
A
4 2
1
E
3
F
D
B
C
G
【解析】 （1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD.
2 1 在△ABE和△DAF中, AB DA 4 3
∴△ABE≌△DAF（ASA）.
“角边角”、“角角边” PPT课件
D′ C′
∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形对应角相等）.
因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'.
在△ABD和△A'B'D'中，
∠ADB=∠A'D'B'（已证）， ∠ABD=∠A'B'D'（已证），
全等三角形对应边上 的高也相等.
AB=AB（已证），
所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'.
A
D
∠ABC＝∠DCB(已知），
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知 B
C
∴△ABC≌△DCB（ASA ）.
判定方法：两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等．
例2 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC,
∠B=∠C,求证：AD=AE.
分析：证明△ACD≌△ABE,就可以得出AD=AE.
3. 如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB， 判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由.
A
不全等，因为BC虽然是
公共边，但不是对应边.
C
B
D
4.如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一
个条件
，才能使△ABC≌△DEF
（写出一个即可）. AB=DE可以吗？×
B
A AB∥DE
C F
12.2三角形全等的判定
第3课时 “角边角”、“角角边”
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
情境引入
1．探索并正确理解三角形全等的判定方法角边角
麻江县第二中学八年级数学上册第十二单元全等三角形12.2全等三角形的判定第3课时“角边角”“角角边”
第十二章 全等三角形12.2 全等三角形的判定第3课时 “角边角”和“角角边” 学习目标“角边角”和“角角边”的条件2.应用“角边角”和“角角边”证明两个三角形全等，进而证线段或角相等.重点：已知两角一边的三角形全等探究.难点：理解，掌握三角形全等的条件：“ASA ”“AAS ”.一、知识链接1.能够 的两个三角形叫做全等三角形.2.判定两个三角形全等方法有哪些?边边边： 对应相等的两个三角形全等.边角边： 和它们的 对应相等的两个三角形全等. 二、新知预习1. 在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探 究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？三角形中已知两角一边又分成哪两 种呢？2.现实情境一张教学用的三角板硬纸不小心被撕坏了， 如图：你能制作一张与原来同样大小的新道具吗？ 能恢复原来三角形的原貌吗？ （1） 以①为模板，画一画，能还原吗？ （2） 以②为模板，画一画，能还原吗？ （3） 以③为模板，画一画，能还原吗？（4） 第③块中，三角形的边角六个元素中，固定不变的元素是_____________. 猜想：两角及夹边对应相等的两个三角形_______.三、我的疑惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________________自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分ABCFED一、要点探究探究点1：三角形全等的判定定理3--“角边角”活动：先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？你能得出什么结论？要点归纳：相等的两个三角形全等(简称“角边角”或“ASA ”). 几何语言：如图，在△ABC 和△DEF 中，∴△ABC ≌△DEF. 典例精析例1：如图，已知：∠ABC ＝∠DCB ，∠ACB ＝ ∠DBC ，求证：△ABC ≌△DCB ．例2：如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB=AC, ∠B=∠C,求证：AD=AE.方法总结：证明线段或角度相等，可先证两个三角形全等，利用对应边或对应角相等来解决. 针对训练如图，AD ∥BC ，BE ∥DF ，AE ＝CF ，求证：△ADF ≌△CBE .课堂探究教学备注 配套PPT 讲授1.情景引入 （见幻灯片3）2.探究点1新知讲授（见幻灯片4-9）A B CA BCFED探究点2：三角形全等的判定定理3的推论--“角角边”做一做：已知一个三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边的边长为3cm ，你能画出这个三角形吗?追问：这里的条件与“角边角”中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为“角边角”中的条件吗？要点归纳： 相等的两个三角形全等(简称“角角边”或“AAS ”).几何语言：如图，在△ABC 和△DEF 中，∴△ABC ≌△DEF.典例精析例3：在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝ ∠E ，BC=EF. 求证：△ABC ≌△DEF ．例4：如图，已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E .求证：(1)△BDA ≌△AEC ；(2)DE ＝BD ＋CE .方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化． 针对训练如图，已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC 全等的图形是( )教学备注3.探究点2新知讲授（见幻灯片10-15）二、课堂小结全等三角形判定定理3简称图示符号语言有两角及夹边（或一角的对边）对应相等的两个三角形全等“角边角”（ASA）或“角角边”(AAS)∴△ABC≌△A1B1C1(ASA)．推论：“角角边”是利用三角形内角和定理转化成“角边角”来证明两个三角形全等.1.△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，要使△ABC≌△DEF，则下列补充的条件中错误的是（）A．AC＝DF B．BC＝EF C．∠A＝∠D D．∠C＝∠F2. 在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69° ，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那么这两个三角形（）A．一定不全等 B．一定全等C．不一定全等 D．以上都不对3.如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由.4.如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一个条件，才能使△ABC≌△DEF （写出一个即可），并说明理由.5.已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2, 求证：AB=AD.拓展提升6.已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD、A′ D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′的高.试说明AD＝A′D′ ，并用一句话说出你的发现.当堂检测教学备注配套PPT讲授4.课堂小结5.当堂检测（见幻灯片16-22）⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,1111BBBAABAA第十一章三角形能力提升卷班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________（考试时间：60分钟试卷满分：120分）一．选择题(每题3分,共计30分)1.至少有两边相等的三角形是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．锐角三角形【答案】B【解析】本题中三角形的分类是：．故选：B．2．（2020 •宜兴市期中）在如图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D，纵观各图形，A、B、D都不符合高线的定义，C符合高线的定义．故选：C．3．（2019•浉河区月考）如图已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，则△ABC的周长为（）A．40 B．46 C．50 D．56【答案】A【解析】∵△ABC的周长为24，∴AE+EC+AC＝24，∵EB＝EC，∴AE+EB+AC＝AB+AC＝24，∵BD＝CD ＝8，∴BC＝16，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝24+16＝40，故选：A．4．（2020•洛龙区月考）已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是（）A．2b﹣2c B．﹣2b C．2a+2b D．2a【答案】A【解析】∵△ABC的三边长分别是a、b、c，∴a+b＞c，b﹣a＜c，∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＝a+b﹣c﹣（﹣b+a+c）＝a+b﹣c+b﹣a﹣c＝2（b﹣c）；故选：A．5．（2020•郑州二模）将一副直角三角板ABC和EDF如图放置（其中∠A＝60°，∠F＝45°），使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠AEF的度数为（）A．145°B．155°C．165°D．170°【答案】C【解析】∵∠A＝60°，∠F＝45°，∴∠1＝90°﹣60°＝30°，∠DEF＝90°﹣45°＝45°，∵ED∥BC，∴∠2＝∠1＝30°，∴∠CEF＝∠DEF﹣∠2＝45°﹣30°＝15°．∴∠AEF＝180°﹣∠CEF＝165°，故选：C．6．（2019 •内乡县期末）如图，顺次连结同一平面内A，B，C，D四点，已知∠A＝40°，∠C＝20°，∠ADC＝120°，若∠ABC的平分线BE经过点D，则∠ABE的度数（）A．20°B．30°C．40°D．60°【答案】B【解析】∵∠ADE＝∠ABD+∠A，∠EDC＝∠DBC+∠C，∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠A+∠C+∠ABC，∴120°＝40°+20°+∠ABC，∴∠ABC＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE∠ABC＝30°，故选：B．7．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为（）A．140°B．160°C．170°D．150°【答案】B【解析】∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD＝20°，∴∠COA＝90°﹣20°＝70°，∴∠BOC＝90°+70°＝160°．故选：B．8．（2020•广饶县一模）如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．90°B．135°C．270°D．315°【答案】C【解析】∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．故选：C．9．（2019 •淅川县期末）△ABC的两边是方程组的解，第三边长为奇数．符合条件的三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】方程组的解为：，∵△ABC的两边是方程组的解，第三边长为奇数，∴2＜第三边长＜6，1∴第三边长可以为：3，5．∴这样的三角形有2个．故选：B．10.（2020•新密市期末）已知，如图，在△ABC中，∠C＝150°，点E是边AB上点，∠DEF＝65°，则∠ADE+∠BFE＝（）A．180°B．215°C．205°D．185°【答案】B【解析】在四边形CDEF中，∵∠C+∠CDE+∠CFE+∠DEF＝360°，又∵∠C＝150°，∠DEF＝65°，∴∠CDE+∠CFE＝360°°﹣65°﹣150°＝145°，∴∠ADE+∠EFB＝360°﹣（∠CDE+∠CFE）＝215°，故选：B．二．填空题(每题3分,共计15分)11．（2019•双柏县一模）已知三角形两边的长分别为5、2，第三边长为奇数，则第三边的长为．【答案】5【解析】第三边x的范围是：3＜x＜7．∵第三边长是奇数，∴第三边是5cm．故答案为：5．12．（2020•广东二模）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1＝．【答案】105°【解析】给图中角标上序号，如图所示．∵∠2+∠3+45°＝180°，∠2＝30°，∴∠3＝180°﹣30°﹣45°＝105°，∴∠1＝∠3＝105°．故答案为：105°．13．（2020•老城区月考）如图中，若BD、CD为角平分线，且∠A＝50°，∠E＝130°，∠则∠D＝度．【答案】90【解析】连接BC，∵∠E＝130°，∠A＝50°，∴∠EBC+∠ECB＝180°﹣130°＝50°，∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∴∠ABE+∠ACE＝130°﹣50°＝80°，∵BD、CD为角平分线，∴∠DBE∠DCE∠ACE，∴∠DBE+∠DCE（∠ABE+∠ACE）＝40°，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（∠DBE+∠DCE）﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣（40°+50°）＝90°，故答案为：90．14．（2019 •宛城区期末）如图所示，∠1＝130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．【答案】260°【解析】如图：∠1＝∠B+∠C，∠DME＝∠A+∠E，∠ANF＝∠F+∠D，∵∠1＝∠DME+∠ANF＝130°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2×130°＝260°．故答案为：260°．15．（2019 •宛城区期末）如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°，点M，N分别是BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B'落在AC上．若△MB'C为直角三角形，则∠MNB'的度数为．【答案】55°或85°【解析】∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，∠A＝70°，∠B＝50°，∴∠C＝180°﹣70°﹣50°＝60°，当∠CB′M＝90°，∴∠CMB′＝90°﹣60°＝30°，由折叠的性质可知：∠NMB′∠BMB′＝75°，∴∠MNB′＝180°﹣75°﹣50°＝55°，当∠CMB′＝90°时，∠NMB＝∠NMB′＝45°，∠MNB′＝180°﹣50°﹣45°＝85°，故答案为55°或85°．三．解答题（共75分）16．(8分)（2020•殷都区期中）如果一个多边形的每个外角都相等，且比内角小36°，求这个多边形的边数和内角和．【解析】设多边形的一个外角为x度，则一个内角为（x+36）度，依题意得x+x+36＝180，解得x＝72．360°÷72°＝5．（5﹣2）×180°＝540°故这个多边形的边数为5，内角和是540°．17. (9分)（2019 •内乡县期末）如图，在△BCD中，BC＝1.5，BD＝2.5，（1）若设CD的长为偶数，则CD的取值是．（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．【解析】（1）∵在△BCD中，BC＝1.5，BD＝2.5，∴1＜CD＜4，∵CD的长为偶数，∴CD的取值是2．故答案为2；（2）∵AE∥BD，∠BDE＝125°，∴∠AEC＝55°，又∵∠A＝55°，∴∠C＝70°．18．(9分)已知n边形的内角和θ＝（n﹣2）×180°．（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．【解析】（1）∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3…90°，∴甲的说法对，乙的说法不对，360°÷180°+2＝2+2＝4．答：甲同学说的边数n是4；（2）依题意有（n+x﹣2）×180°﹣（n﹣2）×180°＝360°，解得x＝2．故x的值是2．19．(9分)（2019 •内乡县期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF 平分∠CDA．（1）求证：BE∥DF；（2）若∠ABC＝56°，求∠ADF的大小．【解析】（1）证明：∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠1＝∠2∠ABC，∠3＝∠4∠ADC，∴∠1+∠3（∠ABC+∠ADC）180°＝90°，又∠1+∠AEB＝90°，∴∠3＝∠AEB，∴BE∥DF；（2）解：∵∠ABC＝56°，∴∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC＝124°，∵DF平分∠CDA，∴∠ADF∠ADC＝62°．20．(9分)（2019 •东阿县期末）如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F，且交AC于E，∠A＝30°，∠D＝55°（1）求∠ACD的度数；（2）求∠FEC的度数．【解析】（1）∵DF⊥AB，∴∠BFD＝90°，∴∠B＝90°﹣∠D＝35°，∵∠ACD＝∠B+∠A，∠A＝30°，∴∠ACD＝65°．（2）∵∠FEC＝∠ECD+∠D，∠ECD＝65°，∠D＝55°，∴∠FEC＝55°+65°＝120°．21．(10分)（2019 •上蔡县期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．【解析】∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，又∵AD是高，∴∠ADC ＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．22．(10分)（2019 •卫辉市期末）如图，已知∠MON＝90°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，∠OAB的平分线与∠OBA的外角平分线交于点C．（1）当OA＝OB时，∠ACB＝45°．（2）请你猜想：随着A、B两点的移动，∠ACB的度数大小是否变化？请说明理由．【解析】（1）∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，∴∠OBD＝135°，∵∠OAB的平分线与∠OBA的外角平分线交于点C，∴∠OBC＝67.5°，∠CAB＝22.5°∴∠ACB＝180°﹣67.5°﹣45°﹣22.5°＝45°故答案为45°．（2）随着A、B两点的移动，∠ACB的度数大小不会变化．理由如下：∵AC平分∠OAB∴∠BAC＝∠OAC∠OAB，∵BC平分∠OBA的外角∠OBD∴∠CBD＝∠OBC∠OBD，∵∠OBD是△AOB的一个外角∴∠OBD＝∠MON+∠OAB＝90°+∠OAB∴∠CBD∠OBD（90°+∠OAB）＝45°∠OAB∵∠CBD是△ABC的一个外角∴∠CBD＝∠ACB+∠BAC∴∠ACB＝∠CBD﹣∠BAC＝45°∠OAB∠OAB＝45°．23．(11分)问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板PMN的两条直角边PM，PN上，点A与点P在直线BC的同侧，若点P在△ABC内部，试问∠ABP，∠ACP与∠A的大小是否满足某种确定的数量关系？（1）特殊探究：若∠A＝55°，则∠ABC+∠ACB＝125 度，∠PBC+∠PCB＝90 度，∠ABP+∠ACP＝35 度；（2）类比探索：请猜想∠ABP+∠ACP与∠A的关系，并说明理由；（3）类比延伸：改变点A的位置，使点P在△ABC外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠ABP，∠ACP与∠A满足的数量关系式．【解析】（1）由题意：∠ABC+∠ACB＝125度，∠PBC+∠PCB＝90度，∠ABP+∠ACP＝35度．故答案为125，90，35．（2）猜想：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．理由：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠ABC＝∠ABP+∠PBC，∠ACB＝∠ACP+∠PCB，∴（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）＝180°﹣∠A，∴（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣∠A，又∵在Rt△PBC中，∠P＝90°，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∴（∠ABP+∠ACP）+90°＝180°﹣∠A，∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．（3）判断：（2）中的结论不成立．①如图3﹣1中，结论：∠A+∠ACP﹣∠ABP＝90°．理由：设AB交PN于O．∵∠AOC＝∠BOP，∴∠A+∠ACP＝90°+∠ABP，∴∠A+∠ACP﹣∠ABP＝90°．②如图3﹣2中，结论：∠A+∠ABP﹣∠ACP＝90°．证明方法类似①③如图3﹣3中，结论：∠A﹣∠ABP﹣∠ACP＝90°．理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠P+∠ABP+∠ACP+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝∠P+∠ABP+∠ACP，∴∠A﹣∠ABP﹣∠ACP＝90°．勾股定理及逆定理一、学习导航1.有一个角是900的三角形是直角三角形;2。
12.2三角形全等的判定(三)教学设计
“12.2三角形全等的判定（第3课时）”教学设计一、教材内容分析全等三角形是初中数学空间与图形中的重要内容，是后续研究轴对称、旋转等全等变换的基础。
全等三角形在日常生活中也有着广泛的应用，因此，研究全等三角形具有重要的意义．本课学习内容是《义务教育教科书·数学》八年级上册“12.2三角形全等的判定”第三课时.主要探究“角边角”和“角角边”两种判定方法及其简单应用，是“全等三角形”知识体系的重要组成部分。
学生将通过画图、实验、推理论证等方法完成对定理的探究，在此过程中引导学生注重分析、学会思考、学会清楚的表达思维过程。
探究过程中用到的类比、转化等数学思想注意让学生体会并提炼出来对于学生的后续学习起着非常重要的作用。
二、教学问题诊断分析本节课是学生在已经掌握了“边边边”和“边角边”判定之后，继续探索三角形全等的条件.他们已经了解了一些探究的思路，也经历过一些探究的过程，如动手实践、观察猜想、归纳总结、巩固应用等．因此，本节课的学习，可以引导学生类比前面的研究方法．但是由于学生学习几何的时间较短，所以在研究几何图形的方法和合情推理方面还存在欠缺。
另外，由于本节课所探究的两种方法，其图形中的位置关系不易辨别，所以学生如何分析图形之间的内在联系，如何清晰地表达数学思考的过程，是本课教学中教师要特别关注的问题。
三、教法特点及预期效果分析根据本节课内容的特点和学生的学习实际，主要采用启发诱导、实例探究、小组合作等教学方法。
为了更直观、形象的突出重点、突破难点，提高课堂效率，采用以观察发现为主，多媒体演示为辅的教学组织方式，在教学过程中，通过设置一系列例题变式，创设问题情境，启发学生思考，利用计算机和《几何画板》软件，结合操作测量，让学生亲身体验知识的产生、发展和形成的过程。
在学生推理能力培养方面，本节课首先通过几个证明线段长度相等的例习题，体会转化的思想方法，让学生学会思考问题. 通过问题的解决，体会合情推理的作用. 接着通过图形的轴对称和旋转变换，让学生理解各图形之间的联系，从而在遇到问题时能快速找出有效的解法，提高解决问题的能力，并为今后的学习奠定基础. 最后通过开放题的练习，培养学生思维的灵活性和发散性，提高其分析问题和解决问题的能力.四、教学目标分析知识与技能：理解并掌握三角形全等的条件：“角边角”“角角边”。
12-2《三角形全等的判定》(共4课时)教案
12-2三角形全等的判定(4课时)第1课时“边边边”判定三角形全等1．掌握“边边边”条件的内容．2．能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等．3．会作一个角等于已知角．重点“边边边”条件．难点探索三角形全等的条件．一、复习导入多媒体展示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形的对应边相等，对应角相等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等．思考：三角形的六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等吗？二、探究新知根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢？如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢？出示探究1：先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个或两个．你画出的△A′B′C′与△ABC一定全等吗？(1)三角形的两个角分别是30°，50°.(2)三角形的两条边分别是4 cm，6 cm.(3)三角形的一个角为30°，一条边为3 cm.学生剪下按不同要求画出的三角形，比较三角形能否和原三角形重合．引导学生按条件画三角形，再通过画一画，剪一剪，比一比的方式得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．出示探究2：先任意画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？让学生充分交流后，教师明确已知三边画三角形的方法，并作出△A′B′C′，通过比较得出结论：三边分别相等的两个三角形全等．强调在应用时的简写方法：“边边边”或“SSS”．实物演示：由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的．明确：三角形的稳定性．三、举例分析例1 如右图，△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．求证：△ABD≌△ACD.引导学生应用条件分析结论，寻找两个三角形的已有条件，学会观察隐含条件．让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程．教师引导学生作图．已知∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.讨论尺规作图法，作一个角等于已知角的理论依据是什么？教师归纳：(1)什么是尺规作图；(2)作一个角等于已知角的依据是“边边边”．四、巩固练习教材第37页练习第1，2题．学生板演．教师巡视，给出个别指导．五、小结与作业回顾反思本节课对知识的研究探索过程，小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律．进一步明确：三边分别相等的两个三角形全等．布置作业：教材习题12.2第1，9题．本节课的重点是探索三角形全等的“边边边”的条件；运用三角形全等的“边边边”的条件判别两个三角形是否全等．在课堂上让学生参与到探索的活动中，通过动手操作、实验、合作交流等过程，学会分析问题的方法．通过三角形稳定性的实例，让学生产生学数学的兴趣，学会用数学的眼光去观察、分析周围的事物，为下一节内容的学习打下基础．第2课时“边角边”判定三角形全等1．掌握“边角边”条件的内容．2．能初步应用“边角边”条件判定两个三角形全等．重点“边角边”条件的理解和应用．难点指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件．一、复习引入1．什么是全等三角形？2．全等三角形有哪些性质？3．“SSS”具体内容是什么？二、新知探究已知△ABC，画一个三角形△A′B′C′，使AB＝A′B′∠B＝∠B′，BC＝B′C′.教师画一个三角形△ABC.先让学生按要求讨论画法，再给出正确的画法． 操作：(1)把画好的三角形剪下和原三角形重叠，观察能重合在一起吗？ (2)上面的探究说明什么规律？ 总结：判定两个三角形全等的方法：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”．三、举例分析多媒体出示教材例2.例2 如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B.连接AC 并延长到点D ，使CD ＝CA.连接BC 并延长到点E ，使CE ＝CB.连接DE ，那么量出DE 的长就是A ，B 的距离，为什么？分析：如果证明△ABC ≌△DEC ，就可以得出AB ＝DE. 证明：在△ABC 和△DEC 中，⎩⎨⎧CA ＝CD ，∠1＝∠2，CB ＝CE ，∴△ABC ≌△DEC(SAS )． ∴AB ＝DE.归纳解决实际问题的一般方法是：分析实际问题，按要求画出图形，根据图形及已知条件选择对应的方法．四、课堂练习如图，已知AB ＝AC ，点D ，E 分别是AB 和AC 上的点，且DB ＝EC.求证：∠B ＝∠C.学生先独立思考，然后讨论交流，用规范的书写完成证明过程． 五、小结与作业 1．师生小结：(1)“边角边”判定两个三角形全等的方法．(2)在判定两个三角形全等时，要注意使用公共边和公共角． 2．布置作业：教材习题12.2第3，4题．本节课的重点是让学生认识掌握运用“边角边”判定两个三角形全等的方法，让学生自己动手操作，合作交流，通过学生之间的质疑讨论，发现此定理中角必为夹角，从而得出“边角边”的判定方法．不仅学习了知识，也训练了思维能力，对三角形全等的判定(SAS)掌握的也好，但要强调书写的格式的规范，同时让学生感受到在证明分别属于两个三角形的线段或角相等的问题时，通常通过证明这两个三角形全等来解决．第3课时“角边角”和“角角边”判定三角形全等1．掌握“角边角”及“角角边”条件的内容．2．能初步应用“角边角”及“角角边”条件判定两个三角形全等．重点“角边角”条件及“角角边”条件．难点分析问题，寻找判定两个三角形全等的条件．一、复习导入1．复习旧知：(1)三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？三个角、三个边、两边一角、两角一边．(2)到目前为止，可以作为判定两三角形全等的方法有几种？各是什么？2．[师]在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，我们接着探究已知两角一边是否可以判定两三角形全等．二、探究新知1．[师]三角形中已知两角一边有几种可能？[生](1)两角和它们的夹边；(2)两角和其中一角的对边．做一做：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4 cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？学生活动：自己动手操作，然后与同伴交流，发现规律．教师活动：检查指导，帮助有困难的同学．活动结果展示：以小组为单位将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．提炼规律：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．(可以简写成“角边角”或“ASA”)[师]我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个△ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AB＝A′B′呢？[生]能．学生口述画法，教师进行多媒体课件演示，使学生加深对“ASA”的理解．[生](1)先用量角器量出∠A 与∠B 的度数，再用直尺量出AB 的边长； (2)画线段A ′B ′，使A ′B ′＝AB ；(3)分别以A ′，B ′为顶点，A ′B ′为一边作∠DA ′B ′，∠EB ′A ′，使∠DA ′B ′＝∠CAB ，∠EB ′A ′＝∠CBA ；(4)射线A ′D 与B ′E 交于一点，记为C ′. 即可得到△A ′B ′C ′.将△A ′B ′C ′与△ABC 重叠，发现两三角形全等． [师]于是我们发现规律：两角和它们的夹边分别相等的两三角形全等．(可以简写成“角边角”或“ASA ”)这又是一个判定两个三角形全等的条件． 2．出示探究问题：如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，△ABC 与△DEF 全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？证明：∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝∠D ＋∠E ＋∠F ＝180°， ∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ， ∴∠A ＋∠B ＝∠D ＋∠E. ∴∠C ＝∠F.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∠C ＝∠F ，∴△ABC ≌△DEF(ASA )． 于是得规律：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等．(可以简写成“角角边”或“AAS ”)例 如下图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB ＝AC ，∠B ＝∠C.求证：AD ＝AE.[师生共析]AD 和AE 分别在△ADC 和△AEB 中，所以要证AD ＝AE ，只需证明△ADC ≌△AEB 即可．学生写出证明过程．证明：在△ADC 和△AEB 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠A ，AC ＝AB ，∠C ＝∠B ，∴△ADC ≌△AEB(ASA )． ∴AD ＝AE. [师]到此为止，在三角形中已知三个条件探索两个三角形全等问题已全部结束．请同学们把两个三角形全等的判定方法作一个小结．学生活动：自我回忆总结，然后小组讨论交流、补充． 三、随堂练习1．教材第41页练习第1，2题． 学生板演． 2．补充练习图中的两个三角形全等吗？请说明理由．四、课堂小结有五种判定两个三角形全等的方法： 1．全等三角形的定义 2．边边边(SSS ) 3．边角边(SAS ) 4．角边角(ASA ) 5．角角边(AAS )推证两个三角形全等，要学会联系思考其条件，找它们对应相等的元素，这样有利于获得解题途径．五、课后作业教材习题12.2第5，6，11题．在前面研究“边边边”和“边角边”两个判定方法的前提下，本节研究“角边角”和“角角边”对于学生并不困难，让学生通过直观感知、操作确认的方式体验数学结论的发现过程，在这节课的教学中，学生也了解了分类思想和类比思想．第4课时 “斜边、直角边”判定三角形全等1．探索和了解直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”．2．会运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等．重点探究直角三角形全等的条件．难点灵活运用直角三角形全等的条件进行证明．一、情境引入(显示图片)舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？方法一：测量斜边和一个对应的锐角(AAS)；方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA或AAS)．工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”．你相信他的结论吗？二、探究新知多媒体出示教材探究5.任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC 上，它们全等吗？画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.想一想，怎么样画呢？按照下面的步骤作一作：(1)作∠MC′N＝90°；(2)在射线C′M上截取线段B′C′＝BC；(3)以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′；(4)连接A′B′.△A′B′C′就是所求作的三角形吗？学生把画好的△A′B′C′剪下放在△ABC上，观察这两个三角形是否全等．由探究5可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简写成“斜边、直角边”或“HL”．多媒体出示教材例5如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD.求证：BC＝AD.证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ， ∴∠C 与∠D 都是直角． 在Rt △ABC 和Rt △BAD 中， ⎩⎨⎧AB ＝BA ，AC ＝BD ，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD(HL )． ∴BC ＝AD. 想一想：你能够用几种方法判定两个直角三角形全等？ 直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法：SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，还有直角三角形特殊的判定全等的方法——“HL ”．三、巩固练习如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由．学生独立思考完成．教师点评． 四、小结与作业1．判定两个直角三角形全等的方法：斜边、直角边． 2．直角三角形全等的所有判定方法： 定义，SSS ，SAS ，ASA ，AAS ，HL .思考：两个直角三角形只要知道几个条件就可以判定其全等？ 3．作业：教材习题12.2第7题．本节课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解．在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力．。
专题12.2 三角形全等的判定(解析版)
专题12.2 三角形全等的判定全等三角形的判定定理（1）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.（2）边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（3）角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.（4）角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（5）斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （只适用两个直角三角形）【例题1】如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD【答案】D．【解析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．∵AB=AC，∠A为公共角，A．如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；B．如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；C．如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；D．如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．【点拨】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．【例题2】如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．【答案】见解析。
【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，在△ADF和△BCE中，，∴△ADF≌△BCE（SAS），∴AF＝CE．【点拨】由SAS证明△ADF≌△BCE，即可得出AF＝CE．【例题3】如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．【答案】见解析。
12.2 三角形全等的判定(解析版)
12.2 三角形全等的判定1.理解和掌握边边边、边角边的方法判断三角形全等；2.理解和掌握角边角和角角边的方法判断三角形全等；3.理解和掌握直角三角形的判定方法。
一、判定方法一：边边边（SSS ）1.边边边：三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边“或“SSS “)。
2.书写格式①先写出所要判定的两个三角形。
②列出条件：用大括号将两个三角形中相等的边分别写出。
③得出结论：两个三角形全等。
如下图，在△ABC 和 △A ′B ′C ′中，∵AB =A ′B ′,BC =B ′C ′,AC =A ′C ′,∴△ABC≅△A ′B ′C ′(SSS ).书写判定两个三角形全等的条件：在书写全等的过程中，等号左边表示同一个三角形的量，等号右边表示另一个三角形的量。
如上图，等号左边表示△ABC 的量，等号右边表示 △A ′B ′C ′的量。
3.作一个角等于已知角已知：∠AOB 。
求作： ∠A ′O ′B ′,使 ∠A ′O ′B ′=∠AOB .作法：如上图所示，①以点O 为圆心、任意长为半径画弧，分别交 OA ，OB 于点 C ，D 。
②画一条射线( O ′A ′,以点 O ′为圆心、OC 长为半径画弧，交( O ′A ′于点 C ′.③以点C ′为圆心、CD 长为半径画弧，与上一步中所画的弧交于点 D ′.④过点。
D ′画射线 O ′B ′,则 ∠A ′O ′B ′=∠AOB .题型一 利用SSS 直接证明三角形全等如图，已知AC DB =，要用“SSS ”判定ABC DCB @V V ，则只需添加一个适当的条件是_____．【答案】AB DC=【分析】根据全等三角形的判定：三边对应相等的两个三角形全等，即可．【详解】∵全等三角形的判定“SSS ”：三边对应相等的两个三角形全等，∴当ABC V 和DCB △中，AC DB BC BC AB DC =ìï=íï=î，∴()SSS ABC DCB @V V ，故答案为：AB DC =．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定()SSS ：三边对应相等的两个三角形全等．1．如图，已知AC DB =，要使得ABC DCB @V V ，根据“SSS ”的判定方法，需要再添加的一个条件是_______．【答案】AB DC=【分析】要使ABC DCB @V V ，由于BC 是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS 判定其全等．【详解】解：添加AB DC =．在ABC V 和DCB △中AB DC BC CB AC BD =ìï=íï=î，∴()ABC DCB SSS @△△，故答案为：AB DC =．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．2．如图，AB DC =，若要用“SSS ”证明ABC DCB △△≌，需要补充一个条件，这个条件是__________．【答案】AC BD=【分析】由图形可知BC 为公共边，则可再加一组边相等，可求得答案．【详解】解：∵AB DC =，BC CB =，∴可补充AC DB =，在ABC V 和DCB V 中，AB DC BC CB AC DB =ìï=íï=î，∴ABC V ≌()SSS DCB V ；故答案为：AC DB =．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．题型二 全等三角形的性质与SSS 综合如图，点E 、点F 在BD 上，且AB CD =，BF DE =，AE CF =，求证：AB CD ∥．【分析】根据全等三角形的判定得出ABE CDF △≌△，推出B D Ð=Ð，利用平行线的判定解答即可．【详解】证明：∵BF DE =，∴BE DF =，在ABE V 和CDF V 中，AB DC AE CF BE DF =ìï=íï=î，∴()SSS ABE CDF V V ≌，∴B D Ð=Ð，∴AB CD ∥．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用全等三角形解决问题，属于中考常考题型．1．已知：如图，RPQ D 中，RP RQ =，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分PRQ Ð．【分析】先根据M 为PQ 的中点得出PM QM =，再由SSS 定理得出PRM QRM V V ≌，由全等三角形的性质即可得出结论．【详解】证明：M Q 为PQ 的中点（已知），PM QM \=，在RPM △和RQM V 中，RP RQ PM QM RM RM =ìï=íï=î，(SSS)RPM RQM \V V ≌，PRM QRM \Ð=Ð（两三角形全等，对应角相等）即RM 平分PRQ Ð．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．2．已知如图，四边形ABCD 中，AB BC =，AD CD =，求证：A C Ð=Ð．【分析】连接BD ，已知两边对应相等，加之一个公共边BD ，则可利用SSS 判定ABD CBD ≌△△，根据全等三角形的对应角相等即可证得．【详解】证明：连接BD ，AB CB =Q ，BD BD =，AD CD =，SSS ABD CBD \≌（）V V ．A C \Ð=Ð．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS ，SAS ，ASA ，HL 等．题型三 作一个角等于已知角如图：(1)在A Ð的内部利用尺规作CED A Ð=Ð（不写作法，保留作图痕迹）(2)判断直线DE AB 与的位置关系【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法在；A Ð的内部作CED A Ð=Ð，即可求解．（2）根据图形及平行线的判定定理可直接得到答案．【详解】（1）解：如图所示，在A Ð的内部作CED A Ð=Ð， 则CED Ð即为所求；（2）∵CED A ÐÐ＝，∴DE AB ∥．故答案为：DE AB ∥．【点睛】本题主要考查角的尺规作图及平行线的判定，熟练掌握基本作图以及平行线的判定定理是解题的关键．1．如图，已知Ðb 和线段a ，求作ABC V ，使B b Ð=Ð，2,AB a BC a==【分析】先画射线BP ，以B 为圆心，a 为半径画弧，与射线BP 交于点D ，再画DA a =，再以b 的顶点为圆心，a 为半径画弧，交b 的两边分别为E ，F ，再以D 为圆心，EF 为半径画弧，交前弧于C ，再连接AC ，从而可得答案．【详解】解：如图，ABC V 即为所求；【点睛】本题考查的是作三角形，作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，熟练掌握基本作图是解本题的关键．2．已知a Ð．求作CAB a Ð=Ð．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】按照作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可．【详解】解：如图，CAB Ð为所作．【点睛】本题主要考查了作与已知角相等的角的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键．二、判定方法二：边角边（SAS ）1.边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边“或“SAS “)。
12-2第3课时利用“角边角”“角角边”判定三角形全等-2021年初中八年级《数学》(福建专版)-配
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快乐预习感知
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1.如图,已知△ABC的六个元素,则在甲、乙、丙三个三角形中,和
△ABC全等的图形是(
)
关闭
甲图中只有两个已知元素,不能确定与△ABC是否全等;乙图与△ABC满
A.甲、乙
B.乙、丙
C.只有乙
D.只有丙
足“SAS”的条件,所以两个图形全等;丙图与△ABC满足“AAS”的条件,所
∴△AED≌△BFC.
∴DE=CF.
答案
以两个图形也全等.
B
关闭
解析
答案
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2.在下列叙述中,两个三角形一定全等的是(
).
A.各有一个角是45°的两个等腰三角形
B.两个等边三角形
C.各有一个角是45°,腰长都是3 cm的两个等腰三角形
D.腰和底角对应相等的两个等腰三角形
关闭
D
答案
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答案
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4.如图,点A,C,D,B四点共线,且AC=BD,∠E=∠F,∠ADE=∠BCF,求
证:DE=CF.
关闭
证明 ∵AC=BD,
∴AC+CD=BD+CD,
∴AD=BC.
在△AED 与△BFC 中,
∠ = ∠,
∠ = ∠,
= ,
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3.如图,要判定△ACF≌△BDE,根据给定的条件和指明的依据,将应
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B
E C C′
D
A
B
A′
B′
作法： （1）画A'B'=AB; （2）在A'B'的同旁画∠DA'B '=∠A，∠EB'A '=∠B，A'D， B'E相交于点C'.
问：通过实验可以发现什么事实？
文字语言：
两角和它们的夹边分别相等的两个三角
形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.
几何语言：
A 在△ABC和△A′ B′ C′中， ∠A=∠A′ （已知），
12.2三角形全等的判定
第3课时 “角边角”“角角边”
主备人：郭素霞
学习目标
1．探索并正确理解三角形全等的判定方法
“ASA”和“AAS”．（重点）
2．会用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”
证明两个三角形全等．（重点、难点）
导入新课
如图,小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块,他
是否只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来 一样的三角形模具？如果可以,带哪块去合适? 你能说明其中理由吗?
学以致用
如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为三块,他是否 可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一 样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合适?你能说明
其中理由吗?
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能力提升
已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD、A′ D′ 分别 是△ABC 和△A′B′C′的高.试说明AD＝ A′D′ ，并用一句 话说出你的发现.
注意“角角边”、“角边角” 中两角与边的区别
课堂练习，反馈检测： 课本P41练习 ：1、2题
作业：
1、课本P44: 4、 5、 6、 11、12 2、选做课时练P32: 3、5、6已知点B,F,C,E在一条直线上， ∠A=∠D,AC=DF,且AC∥DF. A 求证：∠B=∠E
B F C E
D
例题变式二 如图，已知点B,F,C,E在一条直线上， ∠A=∠D,AC=DF,且AC∥DF. A 求证：AB∥DE
B F C E
D
例题变式三 如图，已知点B,F,C,E在一条直线上， ∠A=∠D,AC=DF,且AC∥DF. A 求证：BF=CE
必须是两 角夹边
B
AB=A′ B′ （已知），
∠B=∠B′ （已知）， ∴ △ABC≌△ A′ B′ C（ASA）.
C A′
B′
C′
二、“角边角”判定方法的应用
例1、 如图，点D 在AB上，点E 在AC上，AB=AC, ∠B=∠C, 求证：AD=AE.
A
D B
E C
例2、如图，已知点B,F,C,E在一条直线上， ∠A=∠D,AC=DF,且AC∥DF. 求证：△ABC ≌△DEF A
B F C E
D
三、探索 三角形全等的判定方法4
“角角边”或“AAS”
例3.已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2,
求证：AB=AD.
A
1 2
B C
D
想一想：由此可以得到什么结论？
三角形全等的判定方法4
两角分别相等且其中一组等角的对边相 等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或 “AAS”）.
A
A′
B
D C
全等三角形对应边上的高也相等.
B ′
D′ C′
课堂小结
内 容
1、两角和它们的夹边分别相等的两个
三角形全等（简写成 “ASA”)
2、两角分别相等且其中一组等角的对 边相等的两个三角形全等（可以简写 成“角边角”或“AAS”）.
边角边 角 角 边
应 用
为证明线段和角相等提供了新的证法
注 意
1
2
3
一、探索三角形全等的判定方法3
“角边角”（ASA）
探究 1
先任意画出一个△ABC，再画一个△A ′ B ′ C ′ ， 使A ′ B ′
=AB， ∠A ′ =∠A， ∠B ′ =∠B (即使两角和它们的夹边对应相 等).把画好的△A ′ B ′ C ′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
C
A