空间向量与立体几何.板块五.用空间向量解柱体问题(2).学生版
空间向量解决立体几何问题
n
a
b
A
B
例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.
z
x
y
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
∴异面直线AC1与BD间的距离
04
∵ ,
03
解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,,则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1), 设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由 ,得
利用空间向量解决立体几何问题，是利用平面向量解决平面几何问题的发展。主要变化是维数增加了，讨论的对象由二维图形变为三维图形。
为了用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来。
直线的方向向量和法向量
把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量。如图，在空间直角坐标系中，由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是：
3
∴cos< ， >=.
4
(2)直线与与平面所成的角 若n是平面α的法向量, a是直线L的方向向量,则L与α所成的角θ= -<a,n>或θ= <a,n>- (下图) . n a a 于是, 因此
∵ = c (a – b)= c·a –c·b
= |c|·|a|cosθ–|c|·|b| cosθ=0
∴C C1⊥BD
(2)直线与平面的位置关系 直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,且L α. ①若a∥n,即a =λn,则 L⊥ α ②若a⊥n,即a·n = 0,则a ∥ α.
n
A
B
用空间向量研究直线、平面的位置关系4种常见考法归类(80题)(学生版)25学年高二数学(人教A选修一
专题1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系4种常见考法归类（80题）题型一 求直线的方向向量题型二 求平面的法向量题型三 用空间向量证明平行问题（一）判断直线、平面的位置关系（二）已知直线、平面的平行关系求参数（三）证明直线、平面的平行问题（1）利用向量方法证明线线平行（2）利用向量方法证明线面平行（3）利用向量方法证明面面平行（4）与平行有关的探索性问题题型四 利用空间向量证明垂直问题（一）判断直线、平面的位置关系（二）已知直线、平面的垂直关系求参数（三）证明直线、平面的垂直问题（1）利用向量方法证明线线垂直（2）利用向量方法证明线面垂直（3）利用向量方法证明面面垂直（4）与垂直有关的探索性问题在空间中,我们取一定点O 作为基点,那么空间中任意一点P 就可以用向量OP 表示.我们把向量OP称为点P 的位置向量.如图.注：线段中点的向量表达式：对于AP → ＝tAB →，当t ＝12时，我们就得到线段中点的向量表达式．设点M 是线段AB 的中点，则OM → ＝12(OA → ＋OB →)，这就是线段AB 中点的向量表达式．2、直线的方向向量如图①,a 是直线l 的方向向量,在直线l 上取AB a =,设P 是直线l上的任意一点,则点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使得AP ta = ，即AP t AB=3、空间直线的向量表示式如图②,取定空间中的任意一点O ,可以得到点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使OP OA ta =+ ①或OP OA t AB =+ ②①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.4、用向量表示空间平面的位置根据平面向量基本定理，存在唯一实数对(,)x y ，使得AP xa yb =+，如图；取定空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ，y ，使OP OA xAB y AC =++ .5.直线的方向向量若A 、B 是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量．【注意】①在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量；②在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算．6.平面的法向量定义：AB l ABl直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，我们称向量a 为平面α的法向量.给定一个点A 和一个向量a ，那么过点A ，且以向量a.注：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量.7.平面法向量的性质（1）平面a 的一个法向量垂直于平面a 内的所有向量；（2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．8.平面的法向量的求法求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:设向量：设平面a 的法向量为(,,)n x y z =选向量：选取两不共线向量,AB AC列方程组：由00n AB n AC ì×=ïí×=ïî列出方程组解方程组：解方程组00n AB n AC ì×=ïí×=ïî赋非零值：取其中一个为非零值（常取±1)得结论：得到平面的一个法向量.题型一 求直线的方向向量解题策略：1、理解直线方向向量的概念(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．(2)直线的方向向量不唯一．（空间中一条直线的方向向量有无数个）．2.求直线的方向向量，首先是找到直线上两点，然后用坐标表示以这两点为起点和终点的向量，该向量就是直线的一个方向向量．1.（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知一直线经过点()()2,3,2,1,0,1A B --，下列向量中是该直线的方向向量的为（ ）A ．()1,1,1a =-B ．()1,1,1a =-C ．()1,1,1a =-D ．()1,1,1a =2．【多选】（2024·湖北十堰·高二校联考阶段练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC上不与1C ，C 重合的任意一点，则能作为直线1AA 的方向向量的是（ ）A ．1AAB ．1C EC ．ABD ．1A A3．（2024·高二课时练习）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD的中点，AB ＝AP ＝1，AD PC 的一个方向向量．4．（2024·高二课时练习）已知直线1l 的一个方向向量为()5,3,2-，另一个方向向量为(),,8x y ，则x =________，y = ________.5．（2024·江苏常州·高二校联考期中）已知直线l 的一个方向向量()2,1,3m =-，且直线l 过A (0，y ，3)和B (－1，2，z )两点，则y －z 等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36.（23-24高二上·江西赣州·期中）已知直线1l 的方向向量是()2,2,a x =-，直线2l 的方向向量是()2,,2b y =-，若3a = ，且12l l ^，则x y -的值是（ ）A ．-4或0B ．4或1C ．-4D ．07.（23-24高二上·湖北武汉·期中）两条不同直线1l ，2l 的方向向量分别为()1,1,2m =-，()2,2,1n =- ，则这两条直线（ ）A ．相交或异面B ．相交C ．异面D ．平行题型二 求平面的法向量解题策略:1.求平面法向量的方法①设出平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )；②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)；③依据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组00{=×=×b n a n ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．注：利用待定系数法求平面的法向量，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标．2.求平面法向量的三个注意点（1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量（2）取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量（3）注意0：提前假定法向量n ＝(x ，y ，z )的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为08.【多选】（23-24高二上·浙江绍兴·期中）直线l 的方向向量是(1,2,0)a =，若l a ^，则平面a 的法向量可以是（ ）A ．()1,2,0n = B ．()2,4,0n =--C ．()2,1,0n =-D ．()2,1,2n =-9.（2024·江苏淮安·高二校考阶段练习）空间直角坐标系O xyz -中，已知点()2,0,2A ，()2,1,0B ，()0,2,0C ，则平面ABC 的一个法向量可以是（ ）．A ．()2,1,2B ．()1,2,1-C ．()2,4,2D ．()2,1,2-10．（2024·高二课时练习）已知()()()1,1,0,1,0,1,0,1,1A B C ，则平面ABC 的一个单位法向量是（ ）A ．()1,1,1B ．C ．111(,,)333D ．11.（2023秋·湖北荆州·高二沙市中学校考期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为 1， 以D 为原点， {}1,,DA DC DD为单位正交基底， 建立空间直角坐标系， 则平面1AB C 的一个法向量是（ ）A ．(1,1,1)B ．(1,1,1)-C ．(1,1,1)-D ．(1,1,1)-12．（2024·高二课时练习）在如图所示的坐标系中，1111ABCD A B C D -为正方体，给出下列结论：①直线1DD 的一个方向向量为(0,0,1)；②直线1BC 的一个方向向量为(0,1,1)；③平面11ABB A 的一个法向量为(0,1,0)；④平面1B CD 的一个法向量为(1,1,1).其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13.（2023春·高二课时练习）已知四边形ABCD 是直角梯形，90ABC ∠= ，SA ^平面ABCD ，1SA AB BC ===，12A D =，求平面SCD 的一个法向量．14．（2024·高二课时练习）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1111,A D A B 的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面11BDD B 的一个法向量；(2)平面BDEF 的一个法向量.15．（2024·福建龙岩·高二校联考期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A BCD -中，AB ^平面BCD ，=90BDC ∠°，BD AB CD ==.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面ACD 的一个法向量为（ ）A ．()0,1,0B ．()0,1,1C ．()1,1,1D ．()1,1,016．（2024·全国·高三专题练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD 中，H 是底面中心，DH ^平面ABC ，写出：平面BHD 的一个法向量___________；17.（2023春·高二课时练习）如图的空间直角坐标系中，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，2,AB PB =与平面xDy 的所成角为4p，E 为PB 中点，则平面ABE 的单位法向量0n =______．（用坐标表示）18．【多选】（2024·福建宁德·高二校联考期中）已知空间中三个向量()2,1,0AB =，()1,2,1AC =- ，()3,1,1BC =-，则下列说法正确的是（ ）A ．AB与AC 是共线向量B ．与AB同向的单位向量是ö÷÷øC ．BC 在AB方向上的投影向量是()2,1,0--D ．平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-19．（2024·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）已知()2,0,2a =，()3,0,0= b 分别是平面a ，b 的法向量，则平面a ，b 交线的方向向量可以是（ ）A ．()1,0,0B ．()0,1,0C ．()0,0,1D ．()1,1,120．（2024·湖北·高二校联考阶段练习）已知点()2,6,2A -在平面a 内，()3,1,2=n 是平面a 的一个法向量，则下列点P 中，在平面a 内的是（ ）A ．()1,1,1P -B ．31,3,2P æöç÷èøC ．31,3,2P æö-ç÷èøD ．31,3,4P æö---ç÷èø(1)线线平行的向量表示：设u 1，u 2分别是直线l 1，l 2的方向向量，则l 1∥l 2⇔u 1∥u 2⇔∃λ∈R ，使得u 1＝λu 2.(2)线面平行的向量表示：设u 是直线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量，l ⊄α，则l ∥α⇔u ⊥n ⇔u ·n ＝0.注：（1）在平面a 内取一个非零向量a ，若存在实数x ，使得u xa =，且l a Ë，则//l a ．（2）在平面a 内取两个不共线向量,a b ，若存在实数,x y ，使得u xa yb =+，且l a Ë，则//l a ．(3)面面平行的向量表示：设n 1 ，n 2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔∃λ∈R ，使得n 1＝λn 2 .2．利用向量证明线线平行的思路：证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可．3．证明线面平行问题的方法：(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．4．证明面面平行问题的方法：(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．题型三 用空间向量证明平行问题（一）判断直线、平面的位置关系21．（2024·湖北黄石·高二校考阶段练习）若直线l 的一个方向向量为()257，，a =，平面α的一个法向量为()111，，u ®=-，则（ ）A ．l ∥α或l ⊂αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交22．（2024·高二单元测试）若平面a 与b 的法向量分别是()1,0,2a =- ，()1,0,2b =-r，则平面a 与b 的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．无法判断23．（2024·山东菏泽·高二统考期末）已知平面a 与平面ABC 是不重合的两个平面，若平面α的法向量为(2,1,4)m =-，且(2,0,1)AB =- ，(1,6,1)AC = ，则平面a 与平面ABC 的位置关系是________.24．（2024·陕西宝鸡·高二统考期末）在长方体ABCD A B C D -¢¢¢¢中，222AA AB AD ¢===，以点D 为坐标原点，以,,DA DC DD ¢分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设对角面ACD ¢所在法向量为(,,)x y z ，则::x y z =__________．25．【多选】（2024·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（ ）A ．若两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =- ，()2,3,1b =--，则12//l l B ．若直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面a 的法向量是()0,5,0m =-，则l //a C ．若两个不同平面a ，b 的法向量分别为()12,1,0n =- ，()24,2,0n =-，则//a bD ．若平面a 经过三点()1,0,1A -，()0,1,0B ，()1,2,0C -，向量()11,,n u t =是平面a 的法向量，则1u t +=（二）已知直线、平面的平行关系求参数26.（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知直线l 的方向向量为1,2,4)m (-=，平面a 的法向量为,1,2)n x =(-，若直线l 与平面a 平行，则实数x 的值为（ ）A ．12B ．12-C ．10D ．10-27．（2024·广东广州·高二广州市第九十七中学校考阶段练习）直线l 的方向向量是()1,1,1s =-，平面a 的法向量()222,,n x x x =+- ，若直线//l 平面a ，则x =______．28．（2024·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）已知直线l 的一个方向向量为(1,2,1)d =-，平面a 的一个法向量(,4,2)n x =-，若//l a ，则实数x =_______．29．（2024·天津蓟州·高二校考期中）直线l 的方向向量是()1,1,1s ®=，平面a 的法向量()21,,n x x x ®=--，若直线l a ∥，则x =___________.30.（2023·全国·高三专题练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，E 是1BB 的中点，111B F B D l =，且//EF 平面1ACD ，则实数l 的值为（ ）A ．15B ．14C ．13D ．1231.【多选】（2023春·高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 中点，若直线//EF 平面11A BC ，则点F 的位置可能是（ ）A ．线段1CC 中点B ．线段BC 中点C ．线段CD 中点D ．线段11C D 中点32．（2024·上海·高二校联考阶段练习）已知平面a 的一个法向量为()11,2,3n =-，平面b 的一个法向量为()22,4,n k =--，若//a b ，则k 的值为______（三）证明直线、平面的平行问题（1）利用向量方法证明线线平行解题策略：向量法证明两条直线平行的方法：两直线的方向向量共线时，两直线平行或共线，否则两直线相交或异面．33.（2023·江苏·高二专题练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1A D 上，点Q 在线段AC 上，线段PQ 与直线1A D 和AC 都垂直，求证：1PQ BD .34.（2023·江苏·高二专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，13AA =，点S 、P 在棱1CC 、1AA 上，且112CS SC =，12AP PA =，点R 、Q 分别为AB 、11D C 的中点．求证：直线PQ ∥直线RS ．35.（2023·江苏·高二专题练习）已知在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =,12AA =，点E 为1CC 的中点，点F 为1BD 的中点．(1)求证：1EF BD ^ 且1EF CC ^ ；(2)求证：EF AC ∥．（2）利用向量方法证明线面平行解题策略：1.利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则、平行四边形法则和空间向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系．(2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．2.利用向量法证明线面平行的三种思路（1）与法向量垂直：设直线l 的方向向量是a ,平面α的法向量是u , 则要证明l //α,只需证明u a ^,即0=×u a .（2）与平面内一个向量平行：在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.（3）用平面内两个不共线向量线性表示：证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.注：证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量共线，再说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量的运算．36．（2022春·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校联考期末）如图，三棱柱11ABC AB C -中侧棱与底面垂直，且AB ＝AC ＝2，AA 1＝4，AB ⊥AC ，M ，N ，P ，D 分别为CC 1，BC ，AB ，11B C 的中点．求证：PN ∥面ACC 1A 1；37．（2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ^平面ABC ，D ，E 分别为棱AB ，11B C 的中点，2BC =，AB =114A C =.证明：//DE 平面11ACC A ；38.（2023春·高二课时练习）如图，在四面体A BCD -中，AD ^平面BCD ，BC CD ^，2AD =，BD =．M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =．证明：PQ 平面BCD ；39.（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中//AD BC .,3,2,AD AB AD AB BC PA ^===^平面ABCD ，且3PA =，点M 在棱PD 上，点N 为BC 中点.若2DM MP =，证明：直线//MN 平面PAB .40．（2024·天津和平·耀华中学校考二模）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形，线段AD 的中点为O 且PO ^底面ABCD ，112AB BC AD ===，π2BAD ABC ∠==∠，E 是PD 的中点．证明：CE ∥平面PAB ；41．（2024·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ^底面ABC ，90BAC ∠=°．点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，2PA AC ==，1AB =．求证：//MN 平面BDE ；42．（2024·天津南开·南开中学校考模拟预测）在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，且2PA =，四边形ABCD 是直角梯形，且AB AD ^，//BC AD ，2AD AB ==，4BC =，M 为PC 中点，E 在线段BC 上，且1BE =.求证：//DM 平面PAB ；43.（2024·高二课时练习）如图所示，在直角梯形ABCP 中，AP BC ∥，AP AB ^，122AB BC AP ===，D 是AP 的中点，,,E F G 分别为,,PC PD CB 的中点，将PCD V 沿CD 折起，使得PD ^平面ABCD ，试用向量方法证明AP 平面EFG .（3）利用向量方法证明面面平行解题策略：(1)由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为证明相应的线面平行、线线平行即可；(2)若能求出平面b a ，的法向量υm ，,则要证明b a //,只需证明υm //.值得注意的是，虽然空间向量的坐标运算比线性运 算更为简单，但法向量的求解有时比较烦琐，有时在 平面内找与直线平行的向量也不直观，因此求解时，需要灵活选择解题方法.44．（2024·高二课时练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别在棱1A A ，11A B ，11A D 上，1111A E A F A G ===；点P ，Q ，R 分别在棱1CC ，CD ，CB 上，1CP CQ CR ===．求证：平面//EFG 平面PQR ．45．（2024·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）如图所示，正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长1，侧棱长4，AA 1中点为E ，CC 1中点为F ．求证：平面BDE ∥平面B 1D 1F ；46.（2023春·高二课时练习）如图所示，平面PAD ^平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PAD ∆是直角三角形，且2PA AD ==，E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点，求证：平面EFG 平面PBC ．47.（23-24高二上·新疆·期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，M ，N ，E ，F 分别是棱11A D ，11A B ，11D C ，11B C 的中点．求证：平面//AMN 平面BDEF ．（4）与平行有关的探索性问题解题策略：平行关系中的探究性问题探究点的位置时，可先设出对应点的坐标，然后根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线，建立与所求点的坐标有关的方程，通过解方程可得点的坐标．48.（2023秋·高二课时练习）如图，已知空间几何体P ABCD -的底面ABCD 是一个直角梯形，其中90BAD ∠=,//AD BC ,BA BC a ==,2AD a =，且PA ^底面ABCD ，PD 与底面成30 角．(1)若8BC PD ×= ，求该几何体的体积；(2)若AE 垂直PD 于E ，证明：BE PD ^；(3)在（2）的条件下，PB 上是否存在点F ，使得//EF BD ，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．49.（2023·全国·高三专题练习）如图，在斜三棱柱111ABC A B C - 中，已知ABC ∆为正三角形，四边形11ACC A 是菱形，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，平面11ACC A ⊥平面ABC .(1)求证：1A C ^平面BDE ；(2)若160C CA ∠= ，在线段1DB 上是否存在点M ，使得//AM 平面BDE ？若存在，求1DM DB 的值，若不存在，请说明理由．50.（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =.(1)求证：1AC BC ^；(2)在AB 上是否存在点D ，使得1//AC 平面1CDB ，若存在，确定D 点位置并说明理由，若不存在，说明理由．51.（2022·高二课时练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，P 是1DD 的中点．在棱1CC 上是否存在一点Q ，使得平面1//D BQ 平面PAO ？若存在，指出点Q 的位置；若不存在，请说明理由．(1)线线垂直的向量表示：设 u 1，u 2 分别是直线 l 1 , l 2 的方向向量，则l 1⊥l 2⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.(2)线面垂直的向量表示：设u 是直线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量， l ⊄α，则l ⊥α⇔u ∥n ⇔∃λ∈R ，使得u ＝λn .注：在平面a 内取两个不共线向量,a b ，若0a u b u ×=×= .则l a ^．(3)面面垂直的向量表示：设n 1，n 2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0.2.利用向量法证明空间中的平行、垂直可以通过建立空间直角坐标系，把要证的空间中的平行与垂直问题转化为证明空间向量之间的平行和垂直问题．破解此类题的关键点如下：①合理建系，抓住空间几何体的结构特征，充分利用图形中的垂直关系(或在图形中构造垂直关系)建立空间直角坐标系．②确定坐标，利用题设条件写出相关点的坐标，进而获得相关向量的坐标．③准确运算，验证两向量平行或垂直的条件成立．④得出结论，由运算结果说明原问题得证．题型四 利用空间向量证明垂直问题（一）判断直线、平面的位置关系52．（2021秋·北京·高二校考期中）直线12,l l 的方向向量分别为(1,3,1),(8,2,2)a b =--= ，则（ ）A ．12l l ^B ．1l ∥2lC ．1l 与2l 相交不平行D ．1l 与2l 重合53．（2024·北京·高二校考阶段练习）若直线l 的方向向量为e (2,3,1)=- ，平面a 的法向量为311,,22n æö=--ç÷èø ，则直线l 和平面a 位置关系是（ ）A ．l a ^B ．//l a C ．l a ÌD ．不确定54．【多选】（2024·广东珠海·高二珠海市斗门区第一中学校考期末）已知v 为直线l 的方向向量,12,n n 分别为平面a ,b 的法向量（a ,b 不重合）,那么下列说法中正确的有（ ）．A ．12n n a bÛ∥∥ B ．12n n a b ^Û^ C ．1v n l Û a ∥∥D ．1v n l ^Û^ a55.（23-24高二上·浙江·期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，不能互相垂直的两条直线是（ ）A ．1AB 和1AC B ．1A B 和1CD C ．1C D 和1B C D ．1A B 和11B C 56．（2024·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（ ）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()()2,3,1,2,3,1a b =-=-- ，则12l l ∥B ．直线l 的方向向量()112a ,,=- ，平面a 的法向量是()6,4,1u =- ，则l a^C ．两个不同的平面,a b 的法向量分别是()()2,2,1,3,4,2u v =-=- ，则a b^D ．直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面a 的法向量是()0,5,0u =- ，则l a∥57．【多选】（2024·高二课时练习）下列命题是真命题的有( )A ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面B ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =- ，直线m 的方向向量12,1,2b æö=-ç÷èør 为，则l 与m 垂直C ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =- ，平面α的法向量为10,1,2n æö=ç÷èø ，则l ⊥αD ．平面α经过三点()()()1,0,1,0,1,0,1,2,0A B C --，()1,,=r n u t 是平面α的法向量，则u +t ＝1（二）已知直线、平面的垂直关系求参数58.（2023·全国·高三专题练习）设直线12,l l 的方向向量分别为(1,2,2),(2,3,)a b m =-=- ，若12l l ^，则实数m等于（）A ．1B ．2C ．3D ．459．（2024·北京海淀·高二中央民族大学附属中学校考开学考试）已知平面a 的法向量为()1,2,0n = ，直线l的方向向量为v ，则下列选项中使得l a ^的是（ ）A ．()2,1,0v =- B ．()2,1,0v = C ．()2,4,0v = D ．()1,2,0v =- 60．（江苏省扬州市2023-2024学年高二下学期6月期末数学试题）已知直线l 的方向向量为()2,1,2e =- ，平面a 的法向量为()()2,,,n a b a b a b =--+ÎR .若l a ^，则3a b +的值为（ ）A ．5-B ．2-C ．1D ．461．（2024·高二课时练习）已知()()3,,,R u a b a b a b =-+Î 是直线l 的方向向量，()1,2,4n =r 是平面a 的法向量．若l a ^，则ab =______．62．（2024·广东珠海·高二珠海市实验中学校考阶段练习）若直线l 方向向量为()2,1,m ，平面a 的法向量为11,,22æöç÷èø，且l a ^，则m 为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．54-63.（2023秋·北京石景山·高二统考期末）已知(2,,)(,)=-+-Î m a b a b a b R 是直线l 的方向向量，(2,1,2)=- n 是平面a 的法向量．若l a ^，则下列选项正确的是（ ）A ．340a b --=B ．350a b --=C ．13,22a b =-=D ．13,22a b ==-64．（2024·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）如图，在正三棱锥D -ABC 中，AB =2DA =，O 为底面ABC 的中心，点P 在线段DO 上，且PO DO l =uuu r uuu r ，若PA ^平面PBC ，则实数l =（ ）A ．12B ．13-C D 65.（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11B C ，1BB 的中点，G 为面对角线1A D 上的一点，且1(01)DG DA l l =££ ,若1A C ^平面EFG ，则l =（ ）A ．14B ．13C D ．1266.（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ADE ^平面ABCD ，O ，M 分别为AD ，DE 的中点，四边形BCDO 是边长为1的正方形，AE DE =，AE DE ^．点N 在直线AD 上，若平面BMN ^平面ABE ，则线段AN 的长为_________．（三）证明直线、平面的垂直问题（1）利用向量方法证明线线垂直解题策略：利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤(1)基向量法：①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．67.【多选】（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）点P 在正方体1111ABCD A B C D -的侧面11CDD C 及其边界上运动，并保持1BP A C ^，若正方体边长为，则1A P 的可能取值是（ ）A B C D 68.（2023秋·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1DD BD 、的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：1EF B C ^．69.（2023·江苏·高二专题练习）如图，在直棱柱111ABC A B C -中，12AA AB AC ===，π2BAC ∠=，,,D E F 分别是11A B ，1CC ，BC 的中点．求证：AE DF ^；70.（2023·四川雅安·统考模拟预测）已知下面给出的四个图都是各棱长均相等的直三棱柱，A 为一个顶点，D ，E ，F 分别是所在棱的中点．则满足直线AD EF ^的图形个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（2）利用向量方法证明线面垂直解题策略：向量法证明线面垂直的两种思路(1)根据线面垂直的判定定理证明：求出直线的方向向量，在平面内找两条相交直线，并分别求出表示它们的方向向量，计算两组向量的数量积为0，得到该直线与平面内的两条相交直线都垂直．(2)法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，用向量法判断直线的方向向量与平面的法向量平行．71．（2024·高二课时练习）如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3，试证明AM ⊥平面BMC .72.（2023春·高二课时练习）如图所示，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 的中点．求证：1AB ^平面1A BD .73．（2024·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC V 是等腰三角形，且π,26ACB AB AC ∠===，又侧棱1BB =面对角线116A C A B ==，点,D F 分别是棱11,A B CB 的中点，11344AE AC AC =+ .证明：1B E ^平面AEF ；74．（2024·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，平面11ADD A ^平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2AD =，11111DD D A A A ===.求证：1AD ^平面11CDD C .（3）利用向量方法证明面面垂直解题策略：证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．75．（2024秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期末）已知：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ^平面ABCD ，点M 为PD 中点，1PA AD ==．求证：平面MAC ^平面PCD ；76．（2024·高二课时练习）如图所示，△ABC 是一个正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD .求证：平面DEA ⊥平面ECA .77．（2024·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^平面ABCD ，底面ABCD 是梯形，点E 在BC 上，,,22248AD BC AB AD BC AB AD AP BE ^=====∥．求证：平面PDE ^平面PAC ；（4）与垂直有关的探索性问题解题策略：解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理．(2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x ，y ，z )；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy 面上的点为(x ，y,0)；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z 轴上的点为(0,0，z )；④直线(线段)AB 上的点P ，可设为AP → ＝λAB →，表示出点P 的坐标，或直接利用向量运算．78．（2024·江苏连云港·高二统考期中）如图，在多面体ABCDE 中，ABC V ，BCD △，CDE V 都是边长为2的等边三角形，平面ABC ^平面BCD ，平面CDE ^平面BCD ．(1)判断A ，B ，D ，E 四点是否共面，并说明理由；(2)在ABC V 中，试在边BC 的中线上确定一点Q ，使得DQ ^平面BCE ．79.（2023春·广东汕尾·高二陆丰市龙山中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，E 是PA 的中点．(1)求证：//PC 平面BDE ．(2)若2PA =，线段PC 上是否存在一点F ，使AF ^平面BDE ？若存在，求出PF 的长度；若不存在，请说明理由．80.（2023春·高二课时练习）如图1，在边长为2的菱形ABCD 中，60,BAD DE AB ∠=^ 于点E ，将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A D BE ^，如图2．(1)求证：1A E ^平面BCDE ；(2)在线段BD 上是否存在点P ，使平面1A EP ^平面1A BD ？若存在，求BP BD 的值；若不存在，说明理由．。
课件高二数学_人教版选修利用空间向量解决立体几何问题PPT课件_优秀版
设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x, y, z) （I）求证：AO⊥平面BCD；
C
取x=1,则y=-1,z=1,所以
2x2y 0 当E,F在公垂线同一侧时取负号
F （II）求异面直线AB与CD所成角的余弦值； n E F ， n E G 于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值.
A A E A ,A A A F < EA, AF >=π—θ（或θ）， l 2 E A 2 A A 2 A F 2 2 E A A F
m 2 d 2 n 2 2 m n c o s
当E,F在公垂线同一侧时取负号 当d等于0是即为“余弦定理”
dl2m 2n 22m ncos
练习
C
教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用；
取x=1,则y=-1,z=1,所以 n (1,1,1) 当此E题,F用在找公公垂垂线线同的一方侧法时比取较负难号下手，用向量代数的方法则简捷，高效，显示了向量代数方法在解决A立体几何问题的优越性 B
在C两E与直A线B1上的各距取离点d C|,nA|•,nC|AC |A2(13,30,.0).
教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用；
| nBE| 2 11 例4、正方体AC1棱长为1，求平面AD1C与平面A1BC1的距离 d . （II）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
n 11 平行平面间的距离可转化为直线到平面的距离或再转化为点到平面的距离
取x=1,则y=-1,z=1,所以
③求向量AB在n上的射影d，则异面直线a、b间的距离为 利用空间向量解决立体几何问题
z
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
空间向量与立体几何PPT教学课件
3）射影
已知向量 AB＝a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量。
作点A在l上的射影A1 , 作点B在l上的射影B1，
则 A1B1叫做向量 AB在轴l上的或在e方向上的正射影，
简称射影。 A1B1 AB cosa, e a e
B
e
A1
B1
l
A
注意：AB 是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数， 它的符号代表向量 AB 与l的方向的相对关系，大小代
第二章 《空间向量与立体几何》
一.空间向量的运算
b
OaA
B
b
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
类比思想 数形结合思想
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
具有大小和方向的量
| b |2 b b b12 b22 b32
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式
终点坐标减 在空间直角坐标系中，已知 A起(x1点, y坐1 ,标z1)、
B(x2 , y2 , z2 ) ，则 AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
PA n d
n
N D1 F
C1
A1
E M B1
D
Cy
A
B
x
立体几何中的向量方法——坐标法
问题1：已知：△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC,
且EC,DB在平面ABC同侧，CE=CA=2BD.求证：
平面ADE⊥平面ACE.
z
E
⑴怎样建立适当的空间直角坐标系？
(完整版)高中数学用空间向量解立体几何问题方法归纳(2),推荐文档
平行垂直问题基础知识用空间向量解立体几何题型与方法直线 l 的方向向量为 a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面 α，β 的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)， v ＝(a 4，b 4，c 4)(1)线面平行：l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2) 线 面 垂 直 ： l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ⇔a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc3(3)面面平行： α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc4(4)面面垂直：α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0例 1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥 P -ABCD 中，PA ⊥底面 ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2. (1)求证：EF ∥平面 PAB ；(2)求证：平面 PAD ⊥平面 PDC .[证明] 以 A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 如图所示，则 A(0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，所以 1 1 1 1 ( ，1， ) (0，1， ) (－ ，0，0) E2 2 ，F 2 ， E F ＝ 2 ， PB ＝(1,0，－1)， PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)， AD ＝(0,2,0)， DC ＝(1,0,0)， AB ＝(1,0,0)．(1) 因为1 2EF ＝－ AB ，所以 EF ∥ AB ，即 EF ∥AB .又 AB ⊂平面 PAB ，EF ⊄平面 PAB ，所以 EF ∥平面 PAB .(2)因为 AP · D C ＝ ( 0 ,0,1) ·( 1 , 0,0)＝0， AD ·DC ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以 AP ⊥ DC ， AD ⊥ DC ，即 AP ⊥DC ，AD ⊥DC .又 AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面 PAD ，AD ⊂平面 PAD ，所以 DC ⊥平面 PAD .因为 DC ⊂ 平面 PDC ，所以平面 PAD ⊥平面 PDC .使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定， 也可以证明两个平面的法向量垂直.例 2、在直三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点 E 在线段 BB 1 上，a 且 EB 1＝1，D ，F ，G 分别为 CC 1，C 1B 1，C 1A 1 的中点．求证：(1) B 1D ⊥平面 ABD ；(2) 平面 EGF ∥平面 ABD .证明：(1)以 B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间 直角坐标系 ， 如图所示，则 B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设 BA ＝a ，则 A (a,0,0)，所以BA ＝(a,0,0)， BD ＝(0,2,2)， B 1D ＝(0,2，－2)， B 1 D · BA ＝0， B 1 D · BD ＝0＋4－4＝0，即 B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .又 BA ∩BD ＝B ，因此 B 1D ⊥平面 ABD .(1) E (0,0,3) G 2 ( ，1，4 (2))由 a ，1，12知， ， ，F (0,1,4)， 则 EG ＝( )， EF ＝(0,1,1)，B 1 D · EG ＝0＋2－2＝0， B 1 D · EF ＝0＋2－2＝0，即 B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .又 EG ∩EF ＝E ，因此 B 1D ⊥平面 EGF . 结合(1)可知平面 EGF ∥平面 ABD . 利用空间向量求空间角基础知识(1) 向量法求异面直线所成的角：若异面直线 a ，b 的方向向量分别为 a ，b ，异面直线所|a ·b |成的角为 θ，则 cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b |.(2) 向量法求线面所成的角：求出平面的法向量 n ，直线的方向向量 a ，设线面所成的角为|n ·a |θ，则 sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝|n ||a |.(3) 向量法求二面角：求出二面角 α－l －β 的两个半平面 α 与 β 的法向量 n 1，n 2，|n 1·n 2|若二面角 α－l －β 所成的角 θ 为锐角，则 cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1||n 2|；若二面角 α－l －β 所成的角 θ 为钝角，则 cos θ＝－|cos 〈n 1，n 2〉|＝－ |n 1·n 2||n 1||n 2|.例 1、如图，在直三棱柱 A 1B 1C 1-ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点 D 是 BC 的中点．(1) 求异面直线 A 1B 与 C 1D 所成角的余弦值； (2) 求平面 ADC 1 与平面 ABA 1 所成二面角的正弦值．[解] (1)以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A -xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0，0,4)，C 1(0,2,4)，所以1820 × 183 109 | |A 1B ＝(2,0，－4)，C 1D ＝(1，－1，－4)．因为 cos 〈 · 3 10 | ||| 10A 1B ，C 1D 〉＝ ＝ ＝ ，所以异面直线 A 1B 与 C 1D 所成角的余弦值为 10 .(2)设平面 ADC 1 的法向量为 n 1＝(x ，y ，z )，因为 ＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，所以n 1·＝0，n 1·AD AC 1＝0，即 x ＋y ＝0 且 y ＋2z ＝0，取 z ＝1，得 x ＝2，y ＝－2，所以，AD AC 1n 1＝(2，－2,1)是平面 ADC 1 的一个法向量．取平面 ABA 1 的一个法向量为 n 2＝(0,1,0)．设平面 ADC 1 与平面 ABA 1 所成二面角的大小为 θ.n 1·n 222 由|cos θ|＝|n 1||n 2| ＝×1＝3， 得 sin θ＝ 3 .因此，平面 ADC 1 与平面 ABA 1 所成二面角的正弦值为 3 .例 2、如图，三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 中， CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. (1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面 ABC ⊥平面 AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线 A 1C与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．[解] (1)证明：取 AB 的中点 O ，连接 OC ，OA 1，A 1B . 因为 CA ＝CB ，所以 OC ⊥AB .由于 AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以 OA 1⊥AB . 因为 OC ∩OA 1＝O ，所以 AB ⊥平面 OA 1C . 又 A 1C ⊂平面 OA 1C ，故 AB ⊥A 1C .(2)由(1)知 OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面 ABC ⊥平面 AA 1B 1B ，交线为AB ，所以 OC ⊥平面 AA 1B 1B ，故 OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以 O 为坐标原点， OA 的方向为 x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 O -xyz . 由题设知 A (1,0,0)，A 1(0，B (－1,0 ,0 )．3，0)，C (0,0， 3)， 则BC ＝(1,0，3) ， BB1 ＝ AA 1 ＝(－1，3，0)， A 1C ＝(0，－设 n ＝(x ，y ，z )是平面 BB 1C 1C 的法向量，则Error!即Error! 可取 n ＝( 3，1，－1)．553， 3)．3 3，0)， CB ＝(2，－2 3，0)， CS ＝(0，－2，1)．故 cos n ，A 1Cn ·＝|n |||＝－ 5 .所以 A 1C 与平面 BB 1C 1C 所成角的正弦值为 5 .(1) 运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．(2) 求空间角应注意：①两条异面直线所成的角 α 不一定是直线的方向向量的夹角 β，即 cos α＝|cos β|. ②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所 求．例 3、如图，在四棱锥 S -ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3，平面 SAD ⊥平面 ABCD ，E 是线段 AD 上一点，AE ＝ED ＝(1) 证明：平面 SBE ⊥平面 SEC ；(2) 若 SE ＝1，求直线 CE 与平面 SBC 所成角的正弦值．3，SE ⊥AD . 解：(1)证明：∵平面 SAD ⊥平面 ABCD ，平面 SAD ∩平面 ABCD ＝AD ，SE ⊂平面SAD ，SE ⊥AD ，∴SE ⊥平面 ABCD .∵BE ⊂平面 ABCD ，∴SE ⊥BE .∵AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3，AE ＝ED ＝∴∠BEC ＝90°，3，∴∠AEB ＝30°，∠CED ＝60°.即 BE ⊥CE .又 SE ∩CE ＝E ，∴BE ⊥平面 SEC . ∵BE ⊂平面 SBE ，∴平面 SBE ⊥平面 SEC .(2)由(1)知，直线 ES ，EB ，EC 两两垂直．如图，以 E 为原点，EB 为 x 轴，EC 为 y 轴，E S 为所以 CE z 轴，建立空间直角坐标系．则 E (0,0,0)，C (0,2 3，0)，S (0,0,1)，B (2,0,0)， 设平面 SBC 的法向量为 n ＝(x ，y ，z )，则Error!即Error!令 y ＝1，得 x ＝ 3，z ＝2 3，则平面 SBC 的一个法向量为 n ＝( 3，1,2 3)．n · 1设直线 CE 与平面 SBC 所成角的大小为 θ，则 sin θ＝||n |·|||＝4， 1010＝(0，－23 1 ()1故直线 CE 与平面 SBC 所成角的正弦值为4.例 4、如图是多面体 ABC -A 1B 1C 1 和它的三视图．(1) 线段 CC 1 上是否存在一点 E ，使 BE ⊥平面 A 1CC 1？若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；(2) 求平面 C 1A 1C 与平面 A 1CA 夹角的余弦值．解：(1)由题意知 AA 1，AB ，AC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，A 1(0,0,2)，B (－2,0,0)，C (0，－2,0)，C 1(－1，－1,2)，则 CC ＝(－1,1,2)，A 1C 1 ＝(－1，－1,0)， A 1C ＝(0，－2，－2)．设 E (x ，y ，z )，则CE ＝(x ，y ＋2，z )，EC 1 ＝(－1－x ，－1－y,2－z )．设CE ＝λ EC 1 (λ>0)，－λ －2－λ 2λ则Error!则 E (1＋λ ，， 1＋λ 1＋)λ ，2＋λ ＝ 1＋ ， －2－λ 1＋ ，2λ 1＋λ .BEλ λ 由Error!得Error!解得 λ＝2， 所以线段 CC 1 上存在一点 E ，＝2，使 BE ⊥平面 A 1CC 1. CE EC 1(2)设平面 C 1A 1C 的法向量为 m ＝(x ，y ，z )，则由Error!得Error!取 x ＝1，则 y ＝－1，z ＝1.故 m ＝(1，－1,1)，而平面 A 1CA 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，m ·n 则 cos 〈m ，n 〉＝|m ||n |＝3 为 3 .利用空间向量解决探索性问题13＝ 3 ，故平面 C 1A 1C 与平面 A 1CA 夹角的余弦值 例 1、如图 1，正△ABC 的边长为 4，CD 是 AB 边上的高，E ，F 分别是 AC 和 BC 边的中点，现将△ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A -DC -B (如图 2)．(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；(2)求二面角E-DF-C 的余弦值；BP(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出BC的值；如果不存在，请说明理由．[解] (1)在△ABC 中，由E，F 分别是AC，BC 中点，得EF∥AB.又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴AB∥平面DEF.(2)以点D 为坐标原点，以直线DB，DC，DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2 3，0)，E(0，3，1)，F(1，3，0)，DF ＝(1，3，0)，DE ＝(0，3，1)，DA ＝(0,0,2)．平面CDF 的法向量为DA则Error!即Error!取n＝(3，－＝(0,0,2)．设平面EDF 的法向量为n＝(x，y，z)，3，3)，·n 21 21cos〈DA ，n〉＝| ||n| 7 7＝，所以二面 角 E -D F -C 的余弦值为.(3)存在．设P(s，t,0)，有2 3＝(s，t，－2)，则AP·＝3t－2＝0，∴t＝AP DE3 ，又BP ＝(s－2，t,0)，PC ＝(－s,2＝－st，3－t,0)，∵ BP ∥ PC ，∴(s－2)(2∴ 3s＋t＝2 3. 把t＝2 334代入上式得s＝3，∴＝31，BP BCBP 1∴在线段BC 上存在点P，使AP⊥DE. 此时，BC＝3.1空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.2解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法.3－t)2例 2、.如图所示，在直三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 中，∠ACB ＝90°，AA 1＝BC ＝2AC ＝2.(1)若 D 为 AA 1 中点，求证：平面 B 1CD ⊥平面 B 1C 1D ；(2)在 AA 1 上是否存在一点 D ，使得二面角 B 1-CD -C 1 的大小为 60°？解：(1)证明：如图所示，以点 C 为原点，CA ，CB ，CC 1 所在直线分别为 x ，y ，z 轴建 立空间直角坐标系．则 C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)，D (1,0,1)， 即C 1 B 1 ＝(0,2,0)， DC 1 ＝(－1,0,1)， CD ＝(1,0,1)．由C 1 B 1 ·CD ＝(0,2,0)·(1,0,1)＝0＋0＋0＝0，得C 1B 1 ⊥ CD ，即 C 1B 1⊥CD . 由DC 1 · CD ＝(－1,0,1)·(1,0,1)＝－1＋0＋1＝0，得 DC 1 ⊥ CD ，即 DC 1⊥CD .又 DC 1∩C 1B 1＝C 1，∴CD ⊥平面 B 1C 1D .又 CD ⊂平面B 1CD ，∴平面 B 1CD ⊥平面 B 1C 1D .(2)存在．当 AD ＝ 2 2AA 1 时，二面角 B 1 -CD -C 1 的大小为 60°.理由如下：设 AD ＝a ，则 D 点坐标为(1,0，a C)D ， ＝(1,0，a )，＝(0,2,2)，设平面 B 1CD 的法向量为 m ＝(x ，y ，z )，则Er ro r! ⇒Error!令 z ＝－1，得 m ＝(a,1，－1)．CB 1又∵ CB ＝(0,2,0)为平面 C 1CD 的一个法向量，则 cos 60°|m ·| 11＝|m |·||＝ 解得 a ＝ 2(负值舍去)，故 AD ＝ 2＝ 2AA 1.∴在 AA 1 上存在一点 D 满足题意．空间直角坐标系建立的创新问题空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量解决立体几何问题．解决的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，因而建立空间直角坐标系问题成为近几年试题新的命题点．一、经典例题领悟好例1、如图，四棱锥 P -ABCD 中，PA ⊥底面 ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4， π∠ACB ＝∠ACD ＝3，F 为 PC 的中点，AF ⊥PB . (1)求PA 的长；(2)求二面角 B -AF -D 的正弦值．(1) 学审题——审条件之审视图形a 2＋2＝2，3建系――→由条件知AC⊥BD DB，AC 分别为x，y 轴―→写出A，B，C，D 坐标PA ⊥ 面ABCD PF＝C AF ⊥ PB――――――――→F――→――→设P 坐标可得F 坐标AF ·PB ＝0―→得P 坐标并求PA 长．(2)学审题由(1)―→ AD，AF，A的B坐标向量n1，n2分别为平面FAD、平面FAB的法向量 ―――――――――――――――――――→ n ·AD ＝0 且n ·AF ＝0―→求得1 1n1·n2―→求得夹角余弦．[解] (1)如图，连接BD 交AC 于O，因为B C ＝ CD ， 即 △B C D 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD，故AC⊥BD.以O 为坐标原点，，，的方向分别为x 轴，yOB OC AP轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，则OC＝CD cosππ3＝1.而AC＝4，得AO＝AC－OC＝3. 又OD＝CD sin3＝3，故A(0，－3,0)，B( 3，0,0)，C(0,1,0)，D(－3，0,0)．(0，－1，z)因PA⊥底面ABCD，可设P(0，－3，z)．由F 为PC 边中点，知F 2 .又z(0，2，AF ＝z2)2 ，PB ＝( 3，3，－z)，AF⊥PB，故AF ·PB ＝0，即6－2 ＝0， z ＝ 2 3(舍去－2 3)，所以| PA |＝ 2 .(2)由(1)知AD ＝(－3，3,0)，AB ＝( 3，3,0)，AF ＝(0,2，3).设平面FAD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，由n1A·Dn1＝(3 ，由n2·n2＝(3，－＝0，n1AF·＝0，n2·＝0，得Error!因此可取＝0，得Error!故可取3，－2)．3，2)．AB AFn1·n2 1 从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝|n1|·|n2|＝8.3 7故二面角B-AF-D 的正弦值为8 .建立空间直角坐标系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系本题利用AC⊥BD ，3 若图中存在交于一点的三条直线两两垂直，则以该点为原点建立空间直角坐标系.在没有明显的垂直关系时，要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系，注意建立的空间直角坐标系是右手系，正确确定坐标轴的名称.例 2、如图，在空间几何体中，平面 ACD ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝DA ＝DC ＝BE ＝2.BE 与平面 ABC 所成的角为 60°，且点 E 在平面ABC 内的射影落在∠ABC 的平分线上．(1) 求证：DE ∥平面 ABC ； (2) 求二面角 E -BC -A 的余弦值．解：证明：(1)易知△ABC ，△ACD 都是边长为 2 的等边三角形，取 AC 的中点 O ，连接 BO ，DO ，则 BO ⊥AC ，DO ⊥AC . ∵平面 ACD ⊥平面 ABC ， ∴DO ⊥平面 ABC . 作 EF ⊥平面 ABC ，则 EF ∥DO . 根据题意，点 F 落在 BO 上，∴∠EBF ＝60°，易求得 EF ＝DO ＝ 3，∴四边形 DEFO 是平行四边形，DE ∥OF .∵DE ⊄平面 ABC ，OF ⊂平面 ABC ，∴DE ∥平面 ABC .(2) 建立如图所示的空间直角坐标系 O -xyz ，可求得平面 ABC 的一个法向量为n 1＝(0,0,1)．3，0)，E (0， 3－1，3，0)，可得 C (－1,0,0)，B (0，BE ＝(0，－1，3)．)， 则 CB ＝(1，设平面 BCE 的法向量为 n 2＝(x ，y ，z )，则可得 n 2CB ·＝0，n 2BE · ＝0， 即(x ，y ，z )·(1，3，0)＝0，(x ，y ，z )·(0，－1， 3)＝0，可取n 2＝(－3，3，1)． n 1·n 113 故 cos 〈n 1，n 2〉＝|n 1|·|n 2|＝ 13 . 又由图知，所求二面角的平面角是锐角，13故二面角 E -BC -A 的余弦值为 13 .专题训练1. 如图所示，在多面体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，上、下两个底面A 1B 1C 1D 1 和 ABCD互相平行，且都是正方形，DD 1⊥底面ABCD ，AB ∥A 1B 1，AB ＝2A 1B 1＝2DD 1＝2a . (1)求异面直线 AB 1与 DD 1 所成角的余弦值；(2)已知 F 是 AD 的中点，求证：FB 1⊥平面 BCC 1B 1.解：以 D 为原点，DA ，DC ，DD 1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示3||·|| 的空间直角坐标系，则 A (2a,0,0)，B (2a,2a,0)，C (0,2a,0)，D 1(0,0，a )，F (a,0,0)， B 1(a ，a ，a )， C 1(0，a ，a )．(1)∵·AB 1 ＝(－a ，a ，a )， DD 1 ＝(0,0，a )，∴cos 〈 AB 1 ， DD 1 〉＝＝3 3 ，所以异面直 线AB 1 与 DD 1 所成角的余弦值为 3 . (2) 证明：∵BB 1 ＝(－a ，－a ，a )， BC ＝(－2a,0,0)， FB 1 ＝(0，a ，a )， ∴Error!∴FB 1⊥BB 1，FB 1⊥BC .∵BB 1∩BC ＝B ，∴FB 1⊥平面 BCC 1B 1.2. 如图，在三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 中，AA 1C 1C 是边长为 4 的正方形，平面 ABC ⊥平面 AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1) 求证：AA 1⊥平面 ABC ；(2) 求二面角 A 1-BC 1-B 1 的余弦值；BD(3) 证明：在线段 BC 1 上存在点 D ，使得 AD ⊥A 1B ，并求BC 1的值．解：(1)证明：因为四边形 AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面 ABC ⊥平面 AA 1C 1C ，且 AA 1 垂直于这两个平面的交线 AC ，所以 AA 1⊥平面 ABC .(2)由(1)知 AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题知 AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以 AB ⊥AC .如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系 A -xyz ，则 B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)，A 1B ＝(0,3，－4)， A 1C 1 ＝(4,0,0)．设平面 A 1BC 1 的法向量为 n ＝(x ，y ，z )，则Error!即Error!令 z ＝3，则 x ＝0，y ＝4，所以 n ＝(0,4,3)． 同理可得，平面 B 1BC 1 的一个法向量为 m ＝(3,4,0)．所以 cos 〈n ，m 〉n ·m 16 ＝|n ||m |＝25.16由题知二面角 A 1-BC 1-B 1 为锐角，所以二面角 A 1-BC 1-B 1 的余弦值为 25. (3) 证明：设 D (x ，y ，z )是直线 BC 1 上一点，且 ＝λ .BD BC 112＋ 2－2 × 1 × cos 60° ( )112 23 1 11 9 1所以(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)．解得 x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ.所以25 AD ＝(4λ，3－3λ，4λ)．由 AD · A 1B ＝0，即 9－25λ＝0，解得 λ＝.9因为25∈[0,1]，所以在线段 BC 1 上存在点 D ，使得 AD ⊥A 1B .BD 9此时，BC 1＝λ＝25.3. 如图(1)，四边形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，DB ＝2，DC ＝1，BC ＝5，AB ＝AD ＝ 2. 将图(1)沿直线 BD 折起，使得二面角A-B D -C 为 60°，如图(2)．(1) 求证：AE ⊥平面 BDC ；(2) 求直线 AC 与平面 ABD 所成角的余弦值．1解：(1)证明：取 BD 的中点 F ，连接 EF ，AF ，则 AF ＝1，EF ＝2，∠AFE ＝60°. 3 由余弦定理知 AE ＝＝ 2 .∵AE 2＋EF 2＝AF 2，∴AE ⊥EF .∵AB ＝AD ，F 为 BD 中点．∴BD ⊥AF .又BD ＝2，DC ＝1，BC ＝ 5，∴BD 2＋DC 2＝BC 2，即 BD ⊥CD .又 E 为 BC 中点，EF ∥CD ，∴BD ⊥EF .又 EF ∩AF ＝F ， ∴BD ⊥平面 AEF .又 BD ⊥AE ，∵BD ∩EF ＝F ，∴AE ⊥平面 BDC .(2) 以 E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 A30，0，2 ，(－1， ，0) (1，－ ，0) C 2 ，B 2 ，(－1，－ ，0)(1， ，1 3) (－1) ， ，－ D2， DB ＝(2,0,0)， DA ＝22 ， AC ＝2 2.设平面 ABD 的法向量为 n ＝(x ，y ，z )，)(5.由Error!得Error!取 z ＝ 3， 则 y ＝－3， 又 ∵n ＝(0，－3， 3)．n ·∴cos 〈n ， A 〉C＝|n |||＝－ 4 .故直线 AC 与平面 ABD 所成角的余弦值为 4 .4. 如图所示，在矩形 ABCD 中，AB ＝3 5，AD ＝6，BD 是对角线，过点 A 作AE ⊥BD ，垂足为 O ，交 CD 于 E ，以 AE 为折痕将△ADE 向上折起，使点 D 到点 P 的位置，且 PB ＝ 41.(1)求证：PO ⊥平面 ABCE ； (2)求二面角 E -AP -B 的余弦值． 解：(1)证5，AD ＝6，∴BD ＝9.在矩形 ABCD 中，明：由已知得 AB ＝3 ∵AE ⊥BD ，DO AD∴Rt △AOD ∽Rt △BAD ，∴AD ＝BD ，∴DO ＝4，∴BO ＝5.在△POB 中，PB ＝ 41，PO ＝4，BO ＝5，∴PO 2＋BO 2＝PB 2，∴PO ⊥OB .又 PO ⊥AE ，AE ∩OB ＝O ，∴PO ⊥平面 ABCE .(2)∵BO ＝5，∴AO ＝ AB 2－OB 2＝2以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 P (0,0,4)，A (2B (0,5,0)，5，0,0)，PA ＝(2 5，0，－4)， PB ＝(0,5，－4)．设 n 1＝(x ，y ，z )为平面 APB 的法向量．则Error!即Error!取 x ＝2 5得n 1＝(25，4,5)．又 n 2＝(0,1,0)为平面 AEP 的一个法向量， n 1·n 24 4 61 ∴cos 〈n 1 ，n 2〉＝|n 1|·|n 2|＝ 4 6161 × 1＝ 61 ，故二面角 E -AP -B 的余弦值为 61 .5. 如图，在四棱锥 P -ABCD 中，侧面 PAD ⊥底面 ABCD ，侧棱PA ＝PD ＝ 2，PA ⊥PD ，底面 ABCD 为直角梯形，其中1066 BC ∥AD ，AB⊥AD ，AB ＝BC ＝1，O 为AD 中点． (1)求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值； (2)求 B 点到平面 PCD 的距离；(3)线段 PD 上是否存在一点 Q ，使得二面角 Q -AC -D 的余弦值为PQ3 ？若存在，求出QD 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)在△PAD 中，PA ＝PD ，O 为 AD 中点，所以 PO ⊥AD .又侧面 PAD ⊥底面ABCD ，平面 PAD ∩平面 ABCD ＝AD ，PO ⊂平面 PAD ，所以 PO ⊥平面 ABCD .又在直角梯形 ABCD 中，连接 OC ，易得 OC ⊥AD ，所以以 O 为坐标原点， OC ，OD ，OP 所在直线分别为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则 P (0,0,1)， A (0，－1,0)，B (1，－1,0)，C (1,0,0)，D ( 0 ,1 ,0)，∴PB ＝(1，－1，－1)，易证 OA ⊥平面 POC ，∴ OA ＝(0，－1,0)是平面 POC 的法向量，cos 〈| |||·P B， OA 〉＝ ＝. ∴直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值为.(2)PD ＝(0,1，－1)， CP ＝(－1,0,1)．设平面 PDC 的一个法向量为 u ＝(x ，y ，z )，|·u | 3 则Error!取 z ＝1，得 u ＝(1, 1 ,1 )．∴B 点 到 平面 PCD 的 距 离 为 d ＝|u |＝ 3 .(3) 假设存在一点 Q ，则设 ＝λ (0<λ<1)．∵PQ PD＝(0,1，－1)， PD ∴PQ ＝(0，λ，－λ)＝ OQ － OP ，∴ OQ ＝(0，λ，1－λ)，∴Q (0，λ，1－λ)．设平面 CAQ 的一个法向量为 m ＝(x ，y ，z )，又 A ＝C (1,1,0)，AQ ＝(0，λ＋1,1－λ)， 则Error!取 z ＝λ＋1，得 m ＝(1－λ，λ－1，λ＋1)，又平面 CAD 的一个法向量为 n ＝(0,0,1)，二面角 Q -AC -D 的余弦值为 3 ，|m ·n | 6 1所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m ||n |＝ 3 ，得 3λ2－10λ＋3＝0，解得 λ＝3或 λ＝3(舍)，PQ 1所以存在点 Q ，且QD ＝2.6. 如图，在四棱锥 S -ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，侧棱 SA ⊥底面6333610 2－12 ＋5( ) 1 1 x ( )x 35 66 | | || | | 1ABCD ，AB 垂直于 AD 和 BC ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1.M 是棱 SB 的中点．(1) 求证：AM ∥平面 SCD ；(2) 求平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角的余弦值；(3) 设点 N 是直线 CD 上的动点，MN 与平面 SAB 所成的角为 θ，求 sin θ 的最大值． 解： (1) 以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (2,2,0)，D (1,0,0)， S (0,0,2)，M (0,1,1)．所以 ＝(0,1,1)， ＝(1,0，－2)，＝(－1，－2,0)．AMSD CD设平面 SCD 的法向量是 n ＝(x ，y ，z )，则Error!即Error!令 z ＝ 1 ， 则 x ＝2，y ＝ － 1 ， 于是 n ＝(2，－1,1)．∵ ·n ＝0，∴ ⊥n .又 AM ⊄平面 SCD ，AMAM∴AM ∥平面 SCD .(2) 易知平面 SAB 的一个法向量为 n 1＝(1,0,0)．设平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角为 φ，则 |cos φ|＝6n 1·n 1，0，0 · 2，－1，12|n 1|·|n | ＝ 1·＝1· ＝ 3 ，即 cos φ＝ 3 .6∴平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角的余弦值为 3 .(3)设 N (x,2x －2,0)(x ∈[1,2])，则 MN ＝(x,2x －3，－1)．又平面 SAB 的一个法向量为 n 1＝(1,0,0)，∴sinθ＝ |x ，2x －3，－1· 1，0，0| |x||1 1|x 2＋ 2x －3 2＋ －12·1 ＝ 5x 2－12x ＋10 ＝5－12 ·x ＋10·x 2 1110 (1－ 3)＋ 7＝ ＝1 3 52 x 5 5 . 当x ＝5，即 x ＝3时，(sin θ)max ＝ 7 .7、如图，四边形 ABEF 和四边形 ABCD 均是直角梯形，∠FAB ＝∠DAB ＝90°，AF ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1，FA ⊥CD .66 t(1) 证明：在平面 BCE 上，一定存在过点 C 的直线 l 与直线 DF 平行； (2) 求二面角 F -CD -A 的余弦值．解：(1)证明：由已知得，BE ∥AF ，BC ∥AD ，BE ∩BC ＝B ，AD ∩AF ＝A ， ∴平面 BCE ∥平面 ADF .设平面 DFC ∩平面 BCE ＝l ，则 l 过点 C .∵平面 BCE ∥平面 ADF ，平面 DFC ∩平面 BCE ＝l ， 平面 DFC ∩平面 ADF ＝DF .∴DF ∥l ，即在平面 BCE 上一定存在过点 C 的直线 l ，使得 DF ∥l . (2)∵FA ⊥AB ，FA ⊥CD ，AB 与 CD 相交，∴FA ⊥平面 ABCD .故以 A 为原点，AD ，AB ，AF 分别为 x 轴， y 轴 ，z 轴建立空 间 直 角坐标系，如 图．由已知得，D (1,0,0)，C (2,2,0)，F (0,0,2)，∴ ＝(－1,0,2)， ＝(1,2,0)．设平面 DFC 的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z )， 则Error!⇒Error!不妨设 z ＝1.DF DC则 n ＝(2，－1,1)，不妨设平面 ABCD 的一个法向量为 m ＝(0,0,1)． m ·n ∴cos 〈m ，n 〉＝|m ||n |＝16＝ 6 ，由于二面角 F -CD -A 为锐角，6∴二面角 F -CD -A 的余弦值为 6 .8、.如图，在四棱锥 P -ABCD 中，PD ⊥平面 ABCD ，四边形 ABCD 是菱形， AC ＝2，BD ＝2 3，E 是 PB 上任意一点．(1) 求证：AC ⊥DE ；(2) 已知二面角 A -PB -D 的余弦值为 正弦值．5 ，若 E 为 PB 的中点，求 EC 与平面 PAB 所成角的解：(1)证明：∵PD ⊥平面 ABCD ，AC ⊂平面 ABCD ，∴PD ⊥AC ，∵四边形 ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，又 BD ∩PD ＝D ，∴AC ⊥平面 PBD ， ∵DE ⊂平面 PBD ，∴AC ⊥DE .(2)在△PDB 中，EO ∥PD ，∴EO ⊥平面 ABCD ，分别以 OA ，OB ，OE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设 PD ＝t ，则 A (1,0,0)，B (0，3，0)，(0，0， )C (－1,0,0)，EAP ＝(－1，－2 ，P (0，－ 3，t )， AB ＝(－1， 3，0)，3，t )．由(1)知，平面 PBD 的一个法向量为 n 1＝(1,0,0)，设平面 PAB 的法向量为15( )2 3n ＝(x ，y ，z )，则根据Error!得Error!令y ＝1，得n ＝3，1， 22t.1515 ∵二面角 A -PB -D 的余弦值为 5 3 ，则|cos 〈n 1，n 2〉 5 ， 即|＝4＋12 15 t 2 ＝5 ， 解 得 t ＝23或 t ＝－2 3(舍去)，∴P (0，－ 3，2 3)．设 EC 与平面 PAB 所成的角为 θ，∵EC ＝(－1,0，－n 2＝(3，1,1)，则 sin θ＝|cos 〈 15为 5 .E ，Cn 2〉|＝ 2 32 × 5＝ 15 5，∴EC 与平面 PAB 所成角的正弦值9、如图 1，A ，D 分别是矩形 A 1BCD 1 上的点， AB ＝2AA 1＝2AD ＝2，DC ＝2DD 1，把四边形 A 1ADD 1 沿 AD 折叠，使其与平面 ABCD 垂直，如图 2 所示，连接 A 1B ，D 1C 得几何体 ABA 1-DCD 1.(1) 当点 E 在棱 AB 上移动时，证明：D 1E ⊥A 1D ；π(2)在棱 AB 上是否存在点 E ，使二面角 D 1-EC -D 的平面角为6？若存在，求出 AE的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明，如图，以点 D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 D -xyz ，则 D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,2,0)，A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)．设 E (1，t,0)， 则D 1E ＝(1，t ，－1)， A 1 D ＝(－1,0，－1)，∴ D 1 E · A 1 D ＝1×(－1)＋t ×0＋(－1) ×(－1)＝0， ∴D 1E ⊥A 1D .(2)假设存在符合条件的点 E .设平面 D 1EC 的法向量为 n ＝(x ，y ，z )，由(1)知3)，( 1－ t 2＋ ＋ 1 2 )14 11 1EC ＝(－1,2－t,0)，11则Error!得Error!令 y ＝2，则 x ＝1－2t ，z ＝1，(1－ t ， ，1)∴n ＝ 2 2 是平面 D 1EC 的一个法向量，显然平面 ECD 的一个法向量为 DD 1 ＝(0,0,1)，1|n ·| π 3 则 cos 〈n ， DD 1 〉＝|n |||＝＝cos 6，解得 t ＝2－ 3 π(0≤t ≤2)．故存在点 E ，当 AE ＝2－3 时，二面角 D 1-EC -D 的平面角为6.3“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
空间向量证明立体几何问题[ppt课件]
![空间向量证明立体几何问题[ppt课件]](https://img.taocdn.com/s3/m/fcf3b0f768dc5022aaea998fcc22bcd126ff4201.png)
向量的模表示向量的大小，计算公 式为$sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$， 其中x、y、z分别为向量在三个坐 标轴上的分量。
向量的加法与数乘
向量的加法
两个向量相加，对应坐标相加即可，例如： $overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)$。
04
空间向量的向量积
向量的向量积的定义与性质
总结词
了解向量积的定义和性质是解决空间几何问题的关键。
详细描述
向量积是两个向量通过一个角生成的第三个向量，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积，方 向由右手定则确定。向量积具有反交换律、分配律等性质，这些性质在解决空间几何问题时非常重要 。
向量的向量积的运算律
向量的数量积的运算律
总结词
掌握向量的数量积的运算律，包括分 配律、结合律和交换律。
详细描述
向量的数量积满足分配律、结合律和 交换律，这些运算律有助于简化复杂 的向量运算。
向量的数量积的应用
总结词
了解向量的数量积在解决实际问题中的应用，包括力的合成与分解、速度和加速度的研究等。
详细描述
通过向量的数量积可以方便地解决力的合成与分解问题，以及研究速度和加速度等问题，为解决实际问题提供了 有效的数学工具。
性质
数乘运算满足结合律、交换律和分配律。
向量的共线与共面
定义
如果存在一个非零实数$k$，使得向量$vec{a}$可 以表示为向量$vec{b}$的$k$倍，则称向量 $vec{a}$与向量$vec{b}$共线。
利用空间向量解立体几何(完整版)精编版
向量法解立体几何引言立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。
教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。
一、基本工具1.数量积：a b = a b cos&2. 射影公式：向量a在b上的射影为a bl b3. 直线Ax By ^0的法向量为A,B，方向向量为-B,A4. 平面的法向量（略）二、用向量法解空间位置关系1. 平行关系线线平行=两线的方向向量平行线面平行=线的方向向量与面的法向量垂直面面平行二两面的法向量平行2. 垂直关系线线垂直（共面与异面）=两线的方向向量垂直线面垂直二线与面的法向量平行面面垂直二两面的法向量垂直三、用向量法解空间距离1•点点距离点P与Q Xzyz的距离为PQ - （X2 - xj2厲-y i）2-亿-乙）22•点线距离求点P X o, y o到直线I : Ax By C = 0的距离：方法：在直线上取一点Q x, y ，则向量PQ在法向量n二A,B上的射影即为点P到I的距离.3. 点面距离求点P x o，y o到平面:的距离：方法：在平面［上去一点Q x,y，得向量PQ计算平面-的法向量n，计算PQ在厘上的射影，即为点P到面。
的距离.四、用向量法解空间角1. 线线夹角（共面与异面）线线夹角二两线的方向向量的夹角或夹角的补角2. 线面夹角求线面夹角的步骤:=Ax o By o C J A2匚B2① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角， 若为锐角角即可，若 为钝角，则取其补角； ② 再求其余角，即是线面的夹角. 3. 面面夹角（二面角）若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法 向量同进同出，贝匸面角等于法向量的夹角的补角 .实例分析一、运用法向量求空间角向量法求空间两条异面直线a, b 所成角B,只要在两条异面直线2、运用法向量求二面角设二面角的两个面的法向量为；,；，则<；,：>或n -<；,：>是所求a, b 上各任取一个向量 AA 和 BB'，贝卩角 <AA',BB'>=0 或 n - 0, 因为 B 是锐角，所以 1、运用法向量求直线和平面所成角设平面a 的法向量为n = （x, y, 1），则直 线AB 和平面a 所成的角0的正弦值为兀 T 4sin 0 = cos （丁 0） = |cos< AB , n >| 二COS0 'BB' AA' BB'不需要用法向量AAB • n角。
高考数学讲义空间向量与立体几何.板块五.用空间向量解柱体问题(2).教师版
【例1】 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，13AE EB =．B 1A 1C 1E D CB A⑴证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线；⑵设异面直线1AB 与CD 的夹角为45︒，求二面角111A AC B --的大小．【考点】利用空间向量解柱体问题 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，全国高考 【解析】解法一K HG FAB CD E C 1A 1B 1⑴连结1A B ，记1A B 与1AB 的交点为F ．因为面11AA B B 为正方形．故11A B AB ⊥，且1AF FB =，又13AE EB =，所以1FE EB =，又D 为1BB 的中点，故DE BF ∥，1DE AB ⊥．典例分析板块五.用空间向量解柱体问题(2)作CG AB ⊥，G 为垂足，由AC BC =知，G 为AB 中点． 又由底面ABC ⊥面11AA B B ，得CG ⊥面11AA B B ．连结DG ，则1DG AB ∥．故DE DG ⊥，由三垂线定理，得DE CD ⊥． 所以DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线．⑵因为1DG AB ∥，故CDG ∠为异面直线1AB 与CD 的夹角，45CDG ∠=︒， 设2AB =．得122AB =，2DG =，2CG =，3AC =作111B H AC ⊥，H 为垂足，因为底面111A B C ⊥面11AA C C ，故1B H ⊥面11AA C C ．又作1KH AC ⊥，K 为垂足．连结1B K ，由三垂线定理，得11B K AC ⊥， 因此1B KH ∠为二面角111A AC B --的平面角． 2211111111112223A B A C A B B H A C ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==22111133HC B C B H =-=2212(3)7AC =+=，1112337AA HC HK AC ⨯==11tan 14B HB KH HK∠== 所以二面角111A AC B --的大小为arctan 14 解法二：⑴以B 为坐标原点，射线BA 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，yxz A B CD E C 1A 1B 1设2AB =，则(200)A ，，，1(020)B ，，，(010)D ，，，13022E ⎛⎫⎪⎝⎭，，，又设(10)C c ，，，则11022DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，，，1(220)B A =-u u u r，，，(11)DC c =-u u u r ，，于是10DE B A ⋅=u u u r u u u r ，0DE DC ⋅=u u u r u u u r，故1DE B A ⊥，DE DC ⊥，所以DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线．⑵因为（1B A uuu r ，DC u u u r）等于异面直线1B A uuu r 与CD 的夹角． 故11||||cos 45B A DC B A DC ⋅=⋅︒u u u r u u u r u u u r u u u r即2222242c ⨯+⨯= 解得2c =，故()102AC =-u u u r，， 又11(020)AA BB ==u u u r u u u r，，，所以()11122AC AC AA =+=-u u u u r u u u r u u u r，，设平面11AA C 的法向量为()m x y z =u r，， 则10m AC ⋅=u r u u u u r ，10m AA ⋅=u r u u u r．即220x y z -++=且20y =令2x =，则1z =，0y =，故()201m =u r，，设平面11AB C 的法向量为()n p q r =r，， 则10n AC ⋅=r u u u u r ，10n B A ⋅=r u u u r即220p q r -++=，220p q -= 令2p =，则2q =，1r =-，故()221n =-r，．所以1cos ,||||5m n m n m n ⋅==u r ru r r u r r 由于m n u r r，等于二面角111A AC B --的平面角 所以二面角111A AC B --的大小为15arccos15【答案】⑴连结1A B ，记1A B 与1AB 的交点为F ．因为面11AA B B 为正方形．故11A B AB ⊥，且1AF FB =，又13AE EB =，所以1FE EB =，又D 为1BB 的中点，故DE BF ∥，1DE AB ⊥．作CG AB ⊥，G 为垂足，由AC BC =知，G 为AB 中点． 又由底面ABC ⊥面11AA B B ，得CG ⊥面11AA B B ．连结DG ，则1DG AB ∥．故DE DG ⊥，由三垂线定理，得DE CD ⊥． 所以DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线． ⑵arctan 14【例2】 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，112AA AC AC ===，AB BC =，且AB BC⊥，O为AC中点．⑴证明：1A O⊥平面ABC；⑵求直线1A C与平面1A AB所成角的正弦值；⑶在1BC上是否存在一点E，使得//OE平面1A AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．【考点】利用空间向量解柱体问题【难度】4星【题型】解答【关键字】2010年，海淀一模【解析】⑴证明：因为11A A AC=，且O为AC的中点，所以1AO AC⊥．又由题意可知，平面11AAC C⊥平面ABC，交线为AC，且1A O⊂平面11AA C C，所以1A O⊥平面ABC．⑵如图，以O为原点，1,,OB OC OA所在直线分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系．由题意可知，112A A AC AC===，又,AB BC AB BC=⊥∴1,12OB AC==．所以得：()0,0,0O，()0,1,0A-，()10,0,3A，()0,1,0C，()10,2,3C，()1,0,0B，则有：()10,1,3AC=-u u u u r，()10,1,3AA=u u u r，(1,1,0)AB=u u u r．设平面1AA B的一个法向量为(),,x y z=n，则有1030AA y zx yAB⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇔⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩u u u ru u u rnn，令1y=，得1x=-，33z=-所以31,1,3⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭n ． 11121cos ,7|||A C A C A C ⋅<>==u u u u ru u u u r u u u u r n n |n ．因为直线1A C 与平面1A AB 所成角θ和向量n 与1A C uuu u r所成锐角互余，所以21sin 7θ=． ⑶设()000,,E x y z =，1BE BC λ=u u u r u u u u r即()()0001,,1,2,3x y z λ-=-，得000123x y z λλλ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩．所以()1,2,3E λλλ=-，得()1,2,3OE λλλ=-u u u r令//OE 平面1A AB ，得=0OE ⋅u u u r n ，即120λλλ-++-=，得12λ=，即存在这样的点E ，E 为1BC 的中点．【答案】⑴证明：因为11A A AC =，且O 为AC 的中点，所以1AO AC ⊥． 又由题意可知，平面11AAC C ⊥平面ABC ，交线为AC ，且1A O ⊂平面11AA C C ， 所以1A O ⊥平面ABC ． ⑵21sin 7θ=． ⑶存在这样的点E ，E 为1BC 的中点．【例3】 如图，已知直三棱柱111ABC A B C -，90ACB ∠=︒，E 是棱1CC 上动点，F 是AB中点 ，2AC BC ==，14AA =．⑴求证：CF ⊥平面1ABB ；⑵当E 是棱1CC 中点时，求证：CF ∥平面1AEB ；⑶在棱1CC 上是否存在点E ，使得二面角1A EB B --的大小是45︒，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由．C 1B 1A 1FECBA【考点】利用空间向量解柱体问题 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，石景山一模【解析】⑴证明：⑴∵三棱柱111ABC A B C -是直棱柱，∴1BB ⊥平面ABC ．又∵CF ⊂平面ABC ， ∴CF 1BB ⊥ ．∵90ACB ∠=o ，2AC BC ==，F 是AB 中点， ∴CF AB ⊥． ∵1BB AB B =I ， ∴CF ⊥平面1ABB ．⑵证明：取1AB 的中点G ，联结EG ，FG ．GC 1B 1A 1FECBA∵F 、G 分别是棱AB 、1AB 中点， ∴1FG BB ∥，12FG =1BB ． 又∵1EC BB ∥，112EC BB =，∴FG EC ∥，FG EC =． ∴四边形FGEC 是平行四边形， ∴CF ∥EG ．又∵CF ⊄平面1AEB ，EG ⊂平面1AEB ， ∴CF ∥平面1AEB ．⑶以C 为坐标原点，射线1,,CA CB CC 为,,x y z 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，z yxC 1B 1A 1FECB A则(0,0,0)C ，(2,0,0)A ，1(0,2,4)B ．设(0,0,)E m ，平面1AEB 的法向量(,,)n x y z =r， 则1(2,2,4)AB =-u u u u r ，(2,0,)AE m =-u u u r． 且1AB n ⊥u u u u r r ，AE n ⊥u u u r r ．于是12240,200.AB n x y z AE n x y mz ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩u u u u r r u u u r r所以,24.2mz x mz z y ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩取2z =，则(,4,2)n m m =-r∵三棱柱111ABC A B C -是直棱柱， ∴1BB ⊥平面ABC ． 又∵AC ⊂平面ABC ， ∴AC 1BB ⊥ ． ∵90ACB ∠=o ， ∴AC BC ⊥． ∵1BB BC B =I ，∴AC ⊥平面1ECBB ．∴CA u u u r是平面1EBB 的法向量，(2,0,0)CA =u u u r ． 二面角1A EB B --的大小是45︒，则22222cos4522(4)2CA n m CA n m m ⋅︒===⨯+-+u u u r r u u u r r ． 解得52m =． ∴在棱1CC 上存在点E ，使得二面角1A EB B --的大小是45o ， 此时52CE =． 【答案】⑴证明：⑴∵三棱柱111ABC A B C -是直棱柱，∴1BB ⊥平面ABC ．又∵CF ⊂平面ABC ， ∴CF 1BB ⊥ ．∵90ACB ∠=o ，2AC BC ==，F 是AB 中点， ∴CF AB ⊥． ∵1BB AB B =I ， ∴CF ⊥平面1ABB ．⑵证明：取1AB 的中点G ，联结EG ，FG ．GC 1B 1A 1FECBA∵F 、G 分别是棱AB 、1AB 中点， ∴1FG BB ∥，12FG =1BB ． 又∵1EC BB ∥，112EC BB =， ∴FG EC ∥，FG EC =． ∴四边形FGEC 是平行四边形， ∴CF ∥EG ．又∵CF ⊄平面1AEB ，EG ⊂平面1AEB ， ∴CF ∥平面1AEB ．⑶在棱1CC 上存在点E ，使得二面角1A EB B --的大小是45o ， 此时52CE =．【例4】 三棱柱111C B A ABC -中，侧棱与底面垂直，ο90=∠ABC ，12AB BC BB ===，,M N 分别是AB ，1A C 的中点．⑴求证：MN ∥平面11B BCC ； ⑵求证：⊥MN 平面C B A 11； ⑶求二面角11A C B M --的余弦值．C 1B 1A 1NCBM A【考点】利用空间向量解柱体问题 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，崇文一模【解析】⑴连结1BC ，1AC ．在1ABC ∆中，∵,M N 是AB ，1A C 的中点，∴MN ∥1BC ． 又∵MN ⊄平面11BCC B ，∴MN ∥平面11BCC B ． --------------------4分 ⑵如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系1B xyz -．zyxC 1B 1A 1NCBM A则1(0,0,0)B ，(0,2,2)C ，1(2,0,0)A -，(1,0,2)M -，(1,1,1)N -1B C =u u u u r(0,2,2)，11(2,0,0)A B =u u u u r ，(0,1,1)NM =-u u u u r ． 设平面11A B C 的法向量为(,,)x y z =n ．111000B C x y z A B ⎧⋅==⎧⎪⇒⎨⎨=-⋅=⎩⎪⎩u u u u r u u u u r n n 令1z =，则0,1x y ==-，∴ (0,1,1)=-n ．∴NM u u u u rn =．∴MN ⊥平面11A B C ． --------------------9分⑶设平面1MB C 的法向量为000(,,)x y z =m ,1(1,0,2)B M =-u u u u r．00101200x z B C y z B M ⎧=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨=-⋅=⎩⎪⎩u u u u r u u u u r m m 令01z =，则002,1x y ==- ∴(2,1,1)=-m ． ∴23cos ,||||326⋅<>===⋅⨯n m n m n m ．所求二面角11M B C A --的余弦值为33． 【答案】⑴连结1BC ，1AC ．在1ABC ∆中，∵,M N 是AB ，1A C 的中点，∴MN ∥1BC ． 又∵MN ⊄平面11BCC B ，∴MN ∥平面11BCC B ． --------------------4分 ⑵二面角11M B C A --的余弦值为33．【例5】 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点．⑴求证：CD ⊥平面1A EB ； ⑵求证：1AB ⊥平面1A EB ；⑶求直线1B E 与平面11AA C C 所成角的正弦值．E C 1B 1A 1DCBA【考点】利用空间向量解柱体问题 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，朝阳一模【解析】⑴设1AB 和1A B 的交点为O ，连接EO ，连接OD ，OCC 1EA 1B 1A DB因为O 为1AB 的中点，D 为AB 的中点， 所以1OD BB ∥，且112OD BB = 又E 是1CC 中点， 则1EC BB ∥ 且112EC BB =， 所以EC OD ∥且EC OD =． 所以四边形ECDO 为平行四边形， 所以EO CD ∥．又CD ⊄平面1A BE ，EO ⊂平面1A BE ， 则CD ∥平面1A BE ……………………5分 ⑵因为三棱柱各侧面都是正方形，所以11,BB AB BB BC ⊥⊥，所以1BB ⊥平面ABC ．因为CD ⊂平面ABC ，所以1BB CD ⊥． 由已知得AB BC AC ==， 所以CD AB ⊥． 所以CD ⊥平面11A ABB 由⑴可知EO CD ∥， 所以EO ⊥平面11A ABB ． 所以1EO AB ⊥．因为侧面是正方形，所以11AB A B ⊥． 又1,EO A B O EO =⊂I 平面1A EB ， 1A B ⊂平面1A EB ．所以1AB ⊥平面1A BE ．⑶取11A C 中点F ，连接1,B F EF ．FA BCDA 1B 1C 1E在三棱柱111ABC A B C -中， 因为1BB ⊥平面ABC所以侧面11ACC A ⊥底面111A B C ．因为底面111A B C 是正三角形，且F 是11A C 中点， 所以111B F AC ⊥，所以1B F ⊥侧面11ACC A ． 所以EF 是1B E 在平面11ACC A 上的射影， 所以1FEB ∠是1B E 与平面11AA C C 所成角． 11115sin 5B F BE F B E ∠==． ………………14分 解法二：如图所示，建立空间直角坐标系．z y xOCC 1EA 1B 1A DB设边长为2，可求得11(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,2)A C C A ， 13131(3,1,0),(3,1,2),(0,2,1),,,0,,,12222B B E D O ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ⑴易知，33,,022CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ， 33(,,0)22FO =-u u u r ，所以CD EO =u u u r u u u r ，所以EO CD ∥．又11,CD A BE EO A BE ⊄⊂平面平面，则CD ∥平面1A BE …………5分 ⑵易得，111(3,1,2),(3,1,2),(0,2,1)AB A B A E ==-=-u u u u r u u u r u u u u r所以11110,0AB A B AB A E ⋅=⋅=u u u u r u u u r u u u u r u u u u r． 所以1111,AB A B AB A E ⊥⊥．又因为11111,,A B A E A A B A E =⊂I 平面1A BE ． 所以1AB ⊥平面1A BE ．………………10分 ⑶设侧面11AA C C 的法向量为(,,)n x y z =．因为11(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,2)A C C A ．所以1(0,2,0),(0,2,2),(3,1,1)AC AC B E ===--u u u r u u u r u u u u r．由10,0n AC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u r 得0,0.y y z =⎧⎨+=⎩解得0,0.y z =⎧⎨=⎩． 不妨令(1,0,0)n =，设直线1B E 与平面11AA C C 所成角为α，所以111||315sin |cos ,|5||||5n B E n B E n B E α⋅====⋅u u u u ru u u u r u u u u r ．所以直线1B E 与平面11AA C C 所成角的正弦值为155． 【答案】⑴设1AB 和1A B 的交点为O ，连接EO ，连接OD ，OCC 1EA 1B 1A DB因为O 为1AB 的中点，D 为AB 的中点， 所以1OD BB ∥，且112OD BB = 又E 是1CC 中点， 则1EC BB ∥ 且112EC BB =， 所以EC OD ∥且EC OD =． 所以四边形ECDO 为平行四边形， 所以EO CD ∥．又CD ⊄平面1A BE ，EO ⊂平面1A BE ， 则CD ∥平面1A BE⑵因为三棱柱各侧面都是正方形， 所以11,BB AB BB BC ⊥⊥， 所以1BB ⊥平面ABC ．因为CD ⊂平面ABC ，所以1BB CD ⊥． 由已知得AB BC AC ==， 所以CD AB ⊥． 所以CD ⊥平面11A ABB 由⑴可知EO CD ∥， 所以EO ⊥平面11A ABB ． 所以1EO AB ⊥．因为侧面是正方形，所以11AB A B ⊥． 又1,EO A B O EO =⊂I 平面1A EB ， 1A B ⊂平面1A EB ．所以1AB ⊥平面1A BE ． ⑶155．。
空间向量法解决立体几何问题PPT优秀课件
a
P
B
A
l
P
a
b
Oa
A
因为方向向量与法向量可以确 定直线和平面向量，所以我们可以 利用直线的方向向量和平面的法向 量表示空间直线、平面间的平行、 垂直、夹角等位置关系。
知识点
设直线 l , m 的方向向量为分别为 a , b ，平面 , 的法向量分别为 u , v
1 . l // m a // b a b l // a u a u 0 // u // v u v
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
习题讲解
2、设 u , v 分别是平面 , 的法向量，根据下列条件 判断平面 , 的位置关系。
( 1 ) u ( 2 ,2 ,5 ) ,v ( 6 , 4 ,4 ) ( 2 ) u ( 1 ,2 , 2 ) ,v ( 2 , 4 ,4 )
( 3 ) u ( 2 , 3 ,5 ) ,v ( 3 , 1 , 4 )
n
a α
b
习题讲解
1、已知A（1，0，1），B（0，1，1），C （1，1，0），求平面ABC的一个法向量。
解：设平面ABC的一个法向量 n(x,y,z)， 依题意得：A B ( 1 ,2 ,0 ) ,B C ( 1 ,0 , 1 )
2019-2020年高中数学 空间向量与立体几何 板块六 用空间向量解锥体问题(2)完整讲义(学生版)
【例1】如图，在四面体中，，，，且
．
⑴设为的中点．证明：在上存在一点，使，并计算的值；
⑵求二面角的平面角的余弦值．
【例2】如图，四棱锥中，平面，
，，，
⑴求证：；
⑵求点到平面的距离．
【例3】已知三棱锥中，平面，，，为上一点，，，分别为，的中点．
⑴求证：；
⑵求二面角的余弦值；
⑶若四棱锥的体积为，求的长．
⑴证明：；
⑵求与平面所成角的大小．
【例4】如图，四棱锥中，底面，，，
，，为棱上的一点，平面平面．
⑴证明：；
⑵求二面角的大小．
【例5】如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，垂足为，是四棱锥的高，为中点．
⑴证明：
⑵若，求直线与平面所成角的正弦值．
【例6】如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，，分别是，的中点．
⑴证明：面；
⑵求平面与平面夹角的大小．
【例7】如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．
【例8】如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点．
⑴求直线与平面的距离；
⑵若，求二面角的平面角的余弦值．
【例9】如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点，是中点，为上一点．
⑴求证：；
⑵确定点在线段上的位置，使//平面，并说明理由．
⑶当二面角的大小为时，求与底面所成角的正切值．
【例10】在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形，，=90°，，．
⑴求证：平面；
⑵求证：平面；
⑶设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角为45°．
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【例1】 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点，E 为1
AB 上的一点，13AE EB =．
⑵设异面直线1AB 与C D 的夹角为45︒，求二面角111A AC B --的大小．
【例2】 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，112AA A C AC ===，
A B B C
=，
且AB BC ⊥，O 为A C 中点． ⑴证明：1A O ⊥平面
ABC ；
⑵求直线1A C 与平面1A AB 所成角的正弦值；
⑶在1BC 上是否存在一点E ，使得//O E 平面1A AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定点E 的位置．
典例分析
板块五.用空间向量解柱体问
题(2)
【例3】 如图，已知直三棱柱111ABC A B C -，90AC B ∠=︒，E 是棱1CC 上动点，F 是AB
【例4】 三棱柱111C B A ABC -
中，侧棱与底面垂直， 90=∠ABC ，12AB BC BB ===，
,M N 分别是AB ，1A C 的中点．
⑴求证：M N ∥平面11B BCC ； ⑵求证：⊥MN 平面C B A 11； ⑶求二面角11A C B M --的余弦值．
【例5】 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，
E
为侧棱1CC 的中点．
⑴求证：C D ⊥平面1A EB ；
⑵求证：1AB 平面1A EB ；
⑶求直线1B E 与平面11AA C C 所成角的正弦值．。