高中数学必备考试技能之二级结论提高速度(2020版)专题12 圆锥曲线的中点弦问题(解析版)
高中数学圆锥曲线最常用二级结论总结
圆锥曲线的常用二级结论一、椭圆的常用二级结论1.（1）与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++.（2）与椭圆22221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为2222x y a b λ+=,()2222,0x y b aλλ+=>.2.椭圆的两焦点分别为12,F F ,P 是椭圆上任意一点,则有以下结论成立:(1)122PF PF a +=;(2)1a c PF a c -≤≤+;(3)2212b PF PF a ≤⋅≤;（4）焦半径公式10||PF a ex =+,20||PF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).3.椭圆的方程为22221x y a b +=（a ＞b ＞0）,左、右焦点分别为12,F F ,()00,P x y 是椭圆上任意一点,则有:(1)()()22222222000022,b a y a x x b y a b =-=-;(2)参数方程()00cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数;4.设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)焦点三角形的面积：122||=tan2PF F P S c y b θ∆=.(3)当P 点位于短轴顶点处时,θ最大,此时12PF F S ∆也最大;(4).21cos 2e -≥θ(5)点M 是21F PF ∆内心，PM 交21F F 于点N ，则caMN PM =||||.5.有关22b a-的经典结论（椭圆中的垂径定理）(1).AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.(2).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PBb K K a=-(3).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，F 1,F 2点是椭圆上两焦点，则有四边形AF 1BF 2至少为平行四边6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则（1）以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y =-；（2）过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=.7.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过000(,)P x y 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.8.椭圆的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.9.过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.10.若P 为椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1,F 2是焦点,12PF F α∠=,21PF F β∠=，则()sin sin sin c e a αβαβ+==+.11.P 为椭圆上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.12.O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.13.已知A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则22220a b a b x a a ---<<.14.过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为ab 2215.从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.16.若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设(1).过1F 的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有①2211,cos cos b b AF BF a c a c αα==-+；②2cos ab AB a c α=-２２２２(2).若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设过F ２的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有：①22,cos cos b b AF BF a c a c αα==２２＋－；②22cos ab AB a c α=-２２２结论：椭圆过焦点弦长公式：()()222cos 2sin ab x a c AB ab y a c αα⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪-⎩２２２２２２焦点在轴上焦点在轴上17.若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,则2112amnb+=18、过圆锥曲线的焦点F 作直线交圆锥曲线于A 、B 两点，若λ=BFAF ，则有下列结论：1、椭圆、双曲线（直线与双曲线两个交点在一支上）、抛物线（离心率e=1）（焦比公式）①焦点在x 轴上时：11cos +-=λλθe ，1112+-+=λλk e ；②焦点在y 轴上时：11sin +-=λλθe ，11112+-+=λλk e 。
高中数学常用二级结论(精编)
高中数学常用二级结论一、基础常用结论1.立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²-ab+b²);立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²).2. 任意的简单n 面体内切球半径为(V 是简单n 面体的体积， S表是简单n 面体的表面积).3. 在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c, 则△ABC的内切圆半径为4.斜二测画法直观图面积为原图形面积的倍.5. 平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和6. 函数ʃ{(x)具有对称轴x=a,x=b(a≠b),则ʃ(x)为周期函数且一个正周期为2 |a-b|.7. 导数题常用放缩e²≥x+1,e*>ex(x>1).8. 点(x,y) 关于直线Ax+By+C=0 的对称点坐标二、圆锥曲线相关结论10.若圆的直径端点A(x,yi),B(x₂,y₂), 则圆的方程为(x-x₁)(x-x₂)+(y-yi)(y-y₂)=0.11. 椭圆的面积S 为S=πab.12. 过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点.13.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导.推论：①过圆(x-a)²+(y-b)²=r²上任意一点P(xo,yo) 的切线方程为(x o-a)(x-a)+(vo-b)(y-b)=r²;②过椭圆上任意一点P(x₀,y₀)的切线方程为;③过双曲：上任意一点P(xo,yo)的切线方程为 1.14.任意满足ax”+by”=r的二元方程，过曲线上一点(x₁,yi)的切线方程为ax,x'-+by₁y°+=r.15. 切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两 切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程. ①过圆x²+y²+Dx+Ey+F=0 外一点P(x ₀,y ₀) 的 切点弦方程②过椭圆外 一 点P(x ₀,yo) 的切点弦方程为;③过双曲线)外一点P(x,yo) 的切点弦方程为;④过抛物线y²=2px(p>0) 外一点P(x ₀,y ₀) 弦方程为yoy=p(x ₀+x);⑤二次曲线Ax²+Bry+Cy²+Dx+Ey+F=0点 P(x ₀,y ₀) 的 切 点 弦 方 程 为16.①椭圆与直线Ax+By+C=0(AB≠0) 相切的条件是A²a²+B²b²=C²;②双曲线与直线的切点外17.若A、B、C、D是圆锥曲线(二次曲线)上顺次的四点，则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是：直线AC、BD的斜率存在且不等于零，并有kac+kaD=0 (k₄c,k₈p 分别表示AC和BD的斜率).18.已知椭圆方程为),两焦点分别为F,F2, 设焦点三角形PFF₂中∠PEF₂=θ,则cosθ≥1-2e²(cosθmm=1-2e²).19.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为x₀的点P 的距离)公式₁₂=a±ex₀.20.已知k,k₂,k₃为过原点的直线l,l₂,I₃的斜率，其中l₂是l₁和l₃的角平分线，则k,k₂,k₃满足下述转化关系：,21. 椭圆绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积22. 过双曲线上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为23.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值。
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结
0！
2．了解下列结论
（1）双曲线 x 2 y 2 1的渐近线方程为 x 2 y 2 0 ；
a2 b2
a2 b2
（2）以 y b x 为渐近线（即与双曲线 x 2 y 2 1共渐近线）的双曲线方程为 x 2 y 2 ( 为参数， ≠0）。
a
a2 b2
a2 b2
（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx2 ny2 1；
故 C2 的方程为 x2 y2 1. （II）将 y kx 2代入 x 2 y 2 1得(1 4k 2 )x 2 8 2kx 4 0.
3
4
由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得
1 (8 2)2 k 2 16(1 4k 2 ) 16(4k 2 1) 0, 即
k2 1. 4
（10） 在平行四边形 ABCD 中，给出| AB AD || AB AD | ，等于已知 ABCD 是矩形;
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①
将y kx 2代入 x 2 y 2 1得(1 3k 2 )x 2 6 2kx 9 0 .由直线 l 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A，B 3
得
1 2
3k 2 (6
0, 2k )2
36(1 3k 2 )
36(1
k2)
即k 2 0.
1 且k 2 3
1.
设A(xA, yA ), B(xB , uuur uuur
2
2
2
2
（2）在 ABC 中，给出 OA OB OC ，等于已知 O 是 ABC 的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外
2020高考数学等比数列必备考试技能之二级结论提高速度(2页)
(9)三个数成等比数列,通常设为 ,x,xq;四个数成等比数列,通常设为 , ,xq,xq3.
解
读
对于等比数列中的这些结论要做到熟悉，有的需要记忆，有的需要了解推导过程。当用到这些结论时要会根据等差数列前n项和公式、通项公式推导。例如第（1）中的
A．1B．3C．6D．9
5．在 四个数中，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求x,y的值.
典
例
一个等比数列的前 项和为45，前 项和为60，则前 项和为（）
A． B． C． D．
解
析
反
思
熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混．
(4)公比q≠-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列(n∈N*).
(5)若等比数列的项数为2n(n∈N*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则 =q.
(6){an},{bn}是等比数列,则{λan}, ,{anbn}, 也是等比数列(λ≠0,n∈N*).xk-*/w
(7)通项公式an=a1qn-1= ·qn.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.
针对训练举一反三
1．一个等比数列 的前 项和为48，前 项和为60，则前 项和为（）
A．63B．108C．75D．83
2．设等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （）
A．255B．375C．250D．200
利用二级结论优解椭网小题——2023年高考数学甲卷理科第12题解法探究
利用二级结论 优解椭圆小题——2023年高考数学甲卷理科第12题解法探究ʏ甘肃省张掖市实验中学 王新宏圆锥曲线试题是高考数学的必考试题,是重点也是难点㊂大部分同学对其有畏惧心理,找不到解决的突破口㊂2023年高考数学甲卷理科第12题是一道椭圆压轴小题,它以椭圆焦点三角形为背景,考查椭圆的定义㊁余弦定理㊁焦点三角形等知识,题干简洁,设问直接,内涵丰富㊂本题入手比较容易,方法比较多,考查同学们理性思维与数学探究能力,体现了逻辑推理㊁直观想象㊁数学运算等核心素养㊂解决本题的关键在于数形结合,即可考虑用余弦定理,也可考虑焦半径公式㊁焦点三角形面积公式㊁中线的向量公式㊁中线定理㊁极化恒等式等相关二级结论迅速求解㊂试题凝聚了命题专家的心血与智慧,简约而不简单,为不同能力水平的同学提供了相应的思考空间,是一道独具匠心的好题㊂1.试题呈现2023年高考数学甲卷理科第12题:图1如图1所示,设O 为坐标原点,F 1,F 2为椭圆C :x 29+y26=1的两个焦点,点P 在椭圆C上,c o s øF 1P F 2=35,则|O P |=( )㊂A.135 B .302 C .145 D .3522.解法探究解法1:(挖出两角互补这个隐含条件)由椭圆方程知a 2=9,b 2=6㊂因为c 2=a 2-b 2,所以a =3,c =3,e =c a =33㊂在әP F 1F 2中,由余弦定理得:c o s øF 1P F 2=|P F 1|2+|P F 2|2-|F 1F 2|22|P F 1|㊃|P F 2|㊂则35=|P F 1|2+|P F 2|2-(23)22|P F 1|㊃|P F 2|=(|P F 1|+|P F 2|)2-122|P F 1|㊃|P F 2|-1㊂所以85=36-122|P F 1|㊃|P F 2|=12|P F 1|㊃|P F 2|,解得|P F 1|㊃|P F 2|=152㊂在әP O F 1和әP O F 2中,øP O F 1+øP O F 2=π,由余弦定理得:|P O |2+|O F 1|2-|P F 1|22|P O |㊃|O F 1|=-|P O |2+|O F 2|2-|P F 2|22|P O |㊃|O F 2|㊂解得|P O |2=152,所以|O P |=302㊂点评:解题的关键是发现øP O F 1+øP O F 2=π,c o s øP O F 1=-c o s øP O F 2这样的隐含条件,它往往能帮助整个题目的顺利求解㊂解法2:(借焦半径之力)同解法1,可得|P F 1|㊃|P F 2|=152㊂设P (x P ,y P ),则由焦半径公式得|P F 1|=a +e x P =3+33x P ,|P F 2|=a -e x P =3-33x P ,所以9-13x 2P =152,得x 2P =92㊂将P (x P ,y P )的坐标代入椭圆方程得y 2P =3,所以|O P |=x 2P +y 2P =92+3=302,选B ㊂点评:二级结论之焦半径公式:椭圆x2a2+63 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2024年3月y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),其上一点P (x 0,y 0),则|P F 1|=a +e x 0,|P F 2|=a -e x 0㊂证明过程:|P F 1|=(x 0+c )2+y 20=(x 0+c )2+b 2-b 2x 2a 2=c 2x 20a2+2c x 0+a2=c x 0a+a2=c x 0a+a =e x 0+a ㊂同理可证|P F 2|=a -e x 0㊂焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式为|P F 1|=a +e y 0,|P F 2|=a -e y 0㊂解法3:(与焦点三角形面积公式结合)设øF 1P F 2=2θ,0<θ<π2,所以S әP F 1F 2=b 2t a nøF 1P F 22=b 2t a n θ㊂由c o s øF 1P F 2=c o s 2θ=c o s 2θ-s i n 2θc o s 2θ+s i n 2θ=1-t a n 2θ1+t a n 2θ=35,解得t a n θ=12或-12(舍去)㊂由椭圆方程可知,a 2=9,b 2=6,c 2=a 2-b 2=3㊂所以,S әP F1F2=12ˑ|F 1F 2|ˑ|y P |=12ˑ23ˑ|y P |=6ˑ12,解得y 2P =3㊂则x 2P =9ˑ1-36=92㊂因此,|O P |=x 2P +y 2P =3+92=302,故选B ㊂点评:二级结论之椭圆焦点三角形面积公式:椭圆x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),其上异于左右顶点的一点P (x 0,y 0)(x 0ʂʃa ),则әP F 1F 2的面积S =b 2t a n α2(α=øF 1P F 2)㊂证明过程:如图2所示,设P (x ,y ),由余弦定理得|F 1F 2|2=|P F 1|2+|P F 2|2-2|P F 1|㊃|P F 2|c o s α㊂①由椭圆的定义得:图2|P F 1|+|P F 2|=2a ㊂②则②2-①得:|P F 1|㊃|P F 2|=2b21+c o s α㊂故S әP F 1F 2=12|P F 1|㊃|P F 2|s i n α=12㊃2b 21+c o s αs i n α=b 2t a n α2㊂解法4:(与中线的向量公式结合)由题意知|P F 1|2+|P F 2|2-2|P F 1|㊃|P F 2|c o s øF 1P F 2=|F 1F 2|2,即|P F 1|2+|P F 2|2-65|P F 1||P F 2|=12㊂①并且|P F 1|+|P F 2|=6㊂②解得|P F 1||P F 2|=152,|P F 1|2+|P F 2|2=21㊂而P O ң=12P F 1ң+P F 2ң ,所以|O P |=|P O ң|=12|P F 1ң+P F 2ң|㊂则|P O ң|=12|P F 1ң+P F 2ң|=12|P F 1ң|2+2P F 1ң㊃P F 2ң+|P F 2ң|2=1221+2ˑ35ˑ152=302,故选B ㊂图3点评:如图3所示,若A D 为әA B C 边B C 的中线,则A D ң=12(A B ң+A C ң),中线的向量公式在高考中也备受青睐㊂解法5:(与中线定理结合)由题意知|P F 1|+|P F 2|=2a =6㊂①|P F 1|2+|P F 2|2-2|P F 1||P F 2|㊃c o s øF 1P F 2=|F 1F 2|2,即|P F 1|2+|P F 2|2-65|P F 1||P F 2|=12㊂②联立①②,解得|P F 1|2+|P F 2|2=21㊂73解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2024年3月由中线定理可知,|O P |2=2(|P F 1|2+|P F 2|2)-|F 1F 2|24㊂易知|F 1F 2|=23,解得|O P |=302㊂故选B ㊂点评:(1)二级结论之中线定理:如图4所示,若平行四边形A B C D 的对角线交于点O ,则|A O ң|2=2(|A B ң|2+|A C ң|2)-|C B ң|24㊂图4证明过程:A B ң+A C ң=2A O ң,①A B ң-A Cң=C B ң㊂②①2+②2得2(|A B ң|2+|A C ң|2)=(2|A O ң|)2+|C B ң|2,则|A Oң|2=2(|A B ң|2+|A C ң|2)-|C B ң|24,得证㊂中线定理在计算有关中线长度与相邻两边长度关系时,化繁为简,从而事半功倍㊂(2)中线定理的一个有用推论:平行四边形对角线的平方和等于其相邻两边平方和的两倍,即在图4中,|B D ң|2+|A C ң|2=2(|A B ң|2+|A D ң|2)㊂解法6:(与极化恒等式结合)由题意知|P F 1|+|P F 2|=2a =6㊂①|P F 1|2+|P F 2|2-2|P F 1||P F 2|㊃c o s øF 1P F 2=|F 1F 2|2,即|P F 1|2+|P F 2|2-65|P F 1||P F 2|=12㊂②联立①②,解得|P F 1||P F 2|=152,|P F 1|2+|P F 2|2=21㊂由极化恒等式得P F 1ң㊃P F 2ң=|P F 1ң|㊃|P F 2ң|c o s øF 1P F 2=|O P ң|2-|O F 1ң|2=92,解得|O P |=302㊂故选B ㊂点评:二级结论之极化恒等式:如图4所示,若平行四边形A B C D 的对角线交于点O ,则A B ң㊃A D ң=|A O ң|2-|B O ң|2㊂证明过程:A B ң+A C ң=2A O ң,①A B ң-A D ң=D B ң㊂②①2-②2,得A B ң㊃A C ң=14[(2|A O ң|)2-(2|B O ң|)2]=|A O ң|2-|B O ң|2,得证㊂极化恒等式在处理与中线有关的数量积时,往往会出奇制胜,事半功倍㊂3.巩固练习(1)(2019年高考浙江卷理科第15题)已知椭圆x 29+y25=1的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方,若线段P F 的中点在以原点O 为圆心,|O F |为半径的圆上,则直线P F 的斜率是㊂(2)(2019年全国Ⅰ卷文科第12题)已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与椭圆C 交于A ,B 两点,如果|A F 2|=2|F 2B |,|A B |=|B F 1|,则椭圆C 的方程为( )㊂A.x 22+y 2=1 B .x 23+y 22=1C .x 24+y 23=1 D .x 25+y24=1答案:(1)15 (2)B 4.小结与启示从以上内容可以看出,对于解析几何小题,一般不直接考虑设点的坐标运算,而是先画草图,接着充分考虑图形的几何性质特征与圆锥曲线定义,以及相关的二级结论,这样往往更能帮助同学们看清图形元素间内在的联系,挖掘问题本质,简化解题过程,减少运算量,提高解题的效率,快速准确解题㊂对高考真题进行适当的研究,不但可以明确高考重难点,把握高考方向,避免学习的随意性㊁盲目性,而且可以有效训练同学们的思维能力,培养创新意识,提高学习数学的兴趣㊂(责任编辑 徐利杰)83 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2024年3月。
高中数学重要二级结论及典型例题
高中数学16个---------------二级结论结论一 奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在集合D 上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D 上有最值,则f(x)max +f(x)min =0,且若0∈D,则f(0)=0.例1 设函数22(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值为M,最小值为m,则M+m= .跟踪集训1.(1)已知函数2()ln(193)1f x x x =++,则1(lg 2)(lg )2f f + =( ) A.-1B.0C.1D.2(2)对于函数f(x)=asin x+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c 的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是．．．．．．( )A.4和6 B.3和1C.2和4D.1和2结论二 函数周期性问题已知定义在R 上的函数f(x),若对任意的x∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T 为其一个周期.常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(2)如果f(x+a)=1()f x (a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a. 例2 已知定义在R 上的函数f(x)满足f 3()2x + =-f(x),且f(-2)=f(-1)=-1, f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 014)+f(2 015)=( )A.-2B.-1C.0D.1跟踪集训2.(1)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=( )A.-2B.-1C.0D.1(2)定义在R 上的函数f(x)满足f(x)= 2log (1),0,(1)(2),0,x x f x f x x -≤⎧⎨--->⎩则f(2 014)=( )A.-1B.0C.1D.2结论三 函数的对称性已知函数f(x)是定义在R 上的函数.(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x= 2a b+对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a 对称.(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点(,)22a b c+中心对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b 恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称.例3 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且在[1,+∞)上是增函数,不等式f(ax+2)≤f(x -1)对任意的x∈1[,1]2恒成立,则实数a 的取值范围是( )A.[-3,-1] B.[-2,0] C.[-5,-1]D.[-2,1]跟踪集训3.(1)若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)= .(2)函数y=f(x)对任意x∈R 都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为 . 结论四 反函数的图象与性质若函数y=f(x)是定义在非空数集D 上的单调函数,则存在反函数y=f -1(x).特别地,y=a x与y=log a x(a>0且a≠1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x 对称,即(x 0, f(x 0))与(f(x 0),x 0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f -1(x)的图象上.例4 设点P 在曲线y=12e x上,点Q 在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为( ) A.1-ln 2B.2(1-ln 2)C.1+ln 2D.2(1+ln 2)跟踪集训4.若x 1满足2x+2x=5,x 2满足2x+2log 2(x-1)=5,则x 1+x 2=( )A.52 B.3 C. 72D.4 结论五 两个对数、指数经典不等式 1.对数形式:1-11x +≤ln(x+1)≤x(x>-1),当且仅当x=0时,等号成立. 2.指数形式:e x≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时,等号成立.例5 设函数f(x)=1-e -x.证明:当x>-1时, f(x)≥1x x +. 跟踪集训5.(1)已知函数f(x)=1ln(1)x x+-,则y=f(x)的图象大致为( )(2)已知函数f(x)=e x,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=12x 2+x+1有唯一公共点.结论六 三点共线的充要条件设平面上三点O,A,B 不共线,则平面上任意一点P 与A,B 共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得OP OA OB λμ=+,且1λμ+=.特别地,当P 为线段AB 的中点时, 1122OP OA OB =+.例6 已知A,B,C 是直线l 上不同的三个点,点O 不在直线l 上,则使等式20x OA xOB BC ++=成立的实数x 的取值集合为( )A.{-1} B. ∅ C.{0} D.{0,-1}跟踪集训6.在梯形ABCD 中,已知AB∥CD,AB=2CD,M、N 分别为CD 、BC 的中点.若AB AM AN λμ=+,则λμ+= .结论七 三角形“四心”的向量形式设O 为△ABC 所在平面上一点,角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c,则 (1)O 为△ABC 的外心⇔ ||||||2sin aOA OB OC A===.(2)O 为△ABC 的重心⇔ 0OA OB OC ++=.(3)O 为△ABC 的垂心⇔ OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅.(4)O 为△ABC 的内心⇔ 0aOA bOB cOC ++=. 例7 已知A,B,C 是平面上不共线的三点,动点P 满足1[(1)(1)(12)],3OP OA OB OC R λλλλ=-+-++∈,则点P 的轨迹一定经过( ) A.△ABC 的内心B.△ABC 的垂心C.△ABC 的重心D.AB 边的中点跟踪集训7.(1)P 是△ABC 所在平面内一点,若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅,则P 是△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心(2)O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足,(0,)2OB OCOP AP λλ+=+∈+∞,则P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 (3)O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足(),[0,)||||AB ACOP OA AB AC λλ=++∈+∞,则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心 B.内心 C.重心D.垂心结论八 等差数列1.若S m ,S 2m ,S 3m 分别为等差数列{a n }的前m 项,前2m 项,前3m 项的和,则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等差数列.2.若等差数列{a n }的项数为2m,公差为d,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为S 偶,则所有项之和S 2m =m(a m +a m+1),S 偶-S 奇=md,1m m S a S a +=奇偶. 3.若等差数列{a n }的项数为2m-1,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为S 偶,则所有项之和S 2m-1=(2m-1)a m ,S 奇=ma m ,S 偶=(m-1)a m ,S 奇-S 偶=a m ,1S mS m =-奇偶. 例8 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则m=( ) A.3 B.4 C.5D.6(2)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a m-1+a m+1- 2m a =0,S 2m-1=38,则m 等于 . 跟踪集训8.(1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 10=20,S 20=50,则S 30= .(2)一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则数列的公差d= .结论九 等比数列已知等比数列{a n },其公比为q,前n 项和为S n .(1)数列1{}n a 也为等比数列,其公比为1q. (2)若q=1,则S n =na 1,且{a n }同时为等差数列.(3)若q≠1,则S n =11111(1)()11111n n n n a a q a q a a aq q q q q q qλλλ--==-=-=-----. (4)S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…仍为等比数列(q≠-1或q=-1且n 为奇数),其公比为q n.(5)S n ,2n n S S , 32nnS S ,…仍为等比数列,公比为2n q .例9 (1)已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列1{}na 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若63S S =3,则96SS =( )A.2 B.73C.83D.3跟踪集训9.在等比数列{a n }中,公比为q,其前n 项和为S n .已知S 5=3116,a 3= 14,则1234511111a a a a a ++++= . 结论十 多面体的外接球和内切球1.长方体的体对角线长d 与共点三条棱长a,b,c 之间的关系为d 2=a 2+b 2+c 2;若长方体外接球的半径为R,则有(2R)2=a 2+b 2+c 2.2.棱长为a 的正四面体内切球半径r=612a ,外接球半径R= 64a . 例10 已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计),现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,若注入的水的体积是该三棱锥体积的78时,小球与该三棱锥的各侧面均相切(与水面也相切),则小球的表面积等于( )A. 76π B. 43π C. 23π D. 2π跟踪集训10.(1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形,直角边长是1,且其外接球的表面积是16π,则该三棱柱的侧棱长为( )A. 14 B. 23 C. 46D.3(2)已知正三角形ABC 的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O 到平面ABC 的距离为1,点E 是线段AB 的中点,过点E 作球O 的截面,则截面面积的最小值是( )A.74π B.2π C. 94πD.3π 结论十一 焦点三角形的面积公式1.在椭圆22221x y a b+= (a>b>0),F 1,F 2分别为左、右焦点,P 为椭圆上一点,则△PF 1F 2的面积122tan2PF F Sb θ=,其中θ=∠F 1PF 2.2.在双曲线22221x y a b -=1(a>0,b>0)中,F 1,F 2分别为左、右焦点,P 为双曲线上一点,则△PF 1F 2的面积122tan2PF F b Sθ=,其中θ=∠F 1PF 2.例11 已知F 1,F 2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F 1PF 2=3π,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433 B. 233C.3D.2跟踪集训11.(1)如图,F 1,F 2是椭圆C 1: 2214x y +=与双曲线C 2的公共焦点,A,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D. 62(2)已知F 1,F 2是椭圆C: 22221x y a b+= (a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 一上点,且12PF PF ⊥.若△PF 1F 2的面积为9,则b= . 结论十二 圆锥曲线的切线问题1.过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R 2上一点P(x 0,y 0)的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=R 2.2.过椭圆22221x y a b +=上一点P(x 0,y 0)的切线方程为00221x x y y a b+=.3.已知点M(x 0,y 0),抛物线C:y 2=2px(p≠0)和直线l:y 0y=p(x+x 0).(1)当点M 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线.(2)当点M在抛物线C外时,直线l与抛物线C相交,其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线,即直线l为切点弦所在的直线.(3)当点M在抛物线C内时,直线l与抛物线C相离.例12 已知抛物线C:x2=4y,直线l:x-y-2=0,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程.跟踪集训12.(1)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( ) A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0(2)设椭圆C:22143x y+=,点P3(1,)2,则椭圆C在点P处的切线方程为.结论十三圆锥曲线的中点弦问题1.在椭圆E:22221x ya b+= (a>b>0)中:(1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l',有l∥l',设其斜率为k0,则k0·k=22ba -.(2)如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=22ba -.(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0·k=22ba -.[提醒]该结论常变形为:以椭圆22221x y a b +=内任意一点(x 0,y 0)为中点的弦AB 的斜率k=2020x b a y -⋅.2.在双曲线E: 22221x y a b -= (a>0,b>0)中,类比上述结论有:(1)k 0·k=22b a .(2)k 1·k 2=22b a .(3)k 0·k=22b a. 例13 已知椭圆E: 22221x y a b+= (a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E 的方程为( )A.2214536x y += B.2213627x y += C. 2212718x y += D.221189x y += 跟踪集训13.(1)椭圆C: 22143x y +=的左,右顶点分别为A 1,A 2,点P 在椭圆上且直线PA 2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA 1的斜率的取值范围是 .(2)如图,在平面直角坐标系xOy 中,过坐标原点的直线交椭圆22142x y +=于P,A 两点,其中P 在第一象限,过P 作x 轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA 的斜率为k.对任意k>0,求证:PA⊥PB.结论十四圆锥曲线中的一类定值问题在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线PA 与PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB的斜率为定值.图示条件结论已知椭圆22221x ya b+= (a>b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在椭圆上,A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为k PA,k PB,且满足k PA+k PB=0 直线AB的斜率k AB为定值22b xa y已知双曲线22221x ya b-= (a,b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在双曲线上,A,B是双曲线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为k PA,k PB,且满足k PA+k PB=0 直线AB的斜率k AB为定值22b xa y-已知抛物线y2=2px(p>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在抛物线上,A,B是抛物线上两个动点,直线PA,PB的斜率分别为k PA,k PB,且满足k PA+k PB=0 直线AB的斜率k AB为定值py-例14 已知抛物线C:y2=2x,定点P(8,4)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为k PA,k PB,且满足k PA+k PB=0.证明:直线AB的斜率k AB为定值,并求出该定值.跟踪集训14.已知椭圆C:22143x y+=,A为椭圆上的定点且坐标为31,2（）,E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数.证明:直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.结论十五圆锥曲线中的一类定点问题若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.(1)对于椭圆22221x ya b+= (a>b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线l AB过定点2222(,0)a baa b-⋅+.同理,当以AB为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线l AB过定点2222(,0)a baa b--⋅+.(2)对于双曲线22221x ya b-= (a>0,b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线l AB过定点2222(,0)a baa b+⋅-.同理,对于左顶点(-a,0),则定点为2222(,0)a baa b+-⋅-.(3)对于抛物线y 2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若0OA OB ⋅=,则弦AB 所在直线过点(2p,0).同理,抛物线x 2=2py(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若OA OB ⊥,则直线AB 过定点(0,2p).例15 已知抛物线y 2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B 满足以AB 为直径的圆过顶点.求证:AB 所在的直线过定点,并求出该定点的坐标.跟踪集训15.已知椭圆22143x y +=,直线l:y=kx+m 与椭圆交于A,B 两点(A,B 不是左、右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l 过定点,并求该定点的坐标.结论十六 抛物线中的三类直线与圆相切问题AB 是过抛物线y 2=2px(p>0)焦点F 的弦(焦点弦),过A,B 分别作准线l:2p-的垂线,垂足分别为A 1,B 1,E 为A 1B 1的中点.(1)如图①所示,以AB 为直径的圆与准线l 相切于点E.(2)如图②所示,以A 1B 1为直径的圆与弦AB 相切于点F,且|EF|2=|A 1A|·|BB 1|.(3)如图③所示,以AF 为直径的圆与y 轴相切.例16 过抛物线y 2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于M,N 两点,自M,N 向直线l:x=-a 作垂线,垂足分别为M 1,N 1.当a=2p时,求证:AM 1⊥AN 1.跟踪集训16.已知抛物线C:y 2=8x 与点M(-2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点,若0MA MB ⋅=,则k= .答案全解全析结论一 奇函数的最值性质跟踪集训1.(1)D 令g(x)=ln(-3x),x∈R,则g(-x)=ln(+3x),因为g(x)+g(-x)=ln(-3x)+ln(+3x)=ln(1+9x 2-9x 2)=ln 1=0,所以g(x)是定义在R 上的奇函数.又lg =-lg 2,所以g(lg2)+g=0,所以f(lg 2)+f=g(lg 2)+1+g+1=2.故选D.(2)D 令g(x)=f(x)-c=asin x+bx, 易证g(x)是奇函数.又g(-1)+g(1)=f(-1)-c+f(1)-c=f(-1)+f(1)-2c, 而g(-1)+g(1)=0,c 为整数, ∴f(-1)+f(1)=2c 为偶数. 1+2=3是奇数,故不可能,选D.结论二 函数周期性问题跟踪集训2.(1)D 由f(x+2)是偶函数可得f(-x+2)=f(x+2),又由f(x)是奇函数得f(-x+2)=-f(x-2),所以f(x+2)=-f(x-2), f(x+4)=-f(x), f(x+8)=f(x),故f(x)是以8为周期的周期函数,所以f(9)=f(8+1)=f(1)=1,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(8)=f(0)=0,故f(8)+f(9)=1,故选D.(2)C 当x>0时,有f(x)=f(x-1)-f(x-2),①同理有f(x+1)=f(x)-f(x-1),②①+②得f(x+1)=-f(x+2),即f(x+3)=-f(x).所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),T=6.故f(2 014)=f(4)=-f(1)=f(-1)-f(0)=log22-0=1,故选C.结论三函数的对称性跟踪集训3.(1)答案 3解析因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x),又f(-x)=f(x),所以f(x)=f(4+x),则f(-1)=f(4-1)=f(3)=3.(2)答案 4解析因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x)是R上的奇函数. f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.所以f(2 017)=f(504×4+1)=f(1)=4,所以f(2 016)+f(2 018)=-f(2 014)+f(2 014+4)=-f(2 014)+f (2 014)=0,所以f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.结论四反函数的图象与性质跟踪集训4.C 因为2x+2x=5,所以x+2x-1=,同理x+log2(x-1)=,令t=x-1,则x=t+1,即t1是t+2t=的解,t2是t+log2t=的解,且t1=x1-1,t2=x2-1.如图所示,t1为函数y=2t与y=-t的图象交点P的横坐标,t2为函数y=log2t与y=-t的图象交点Q的横坐标,所以P(t1,),Q(t2,log2t2),所以P,Q为对称点,且t1+t2=t1+=t1+=.所以x1+x2=t1+1+t2+1= +2=.故选C.结论五两个对数、指数经典不等式跟踪集训5.(1)B 由题意得f(x)的定义域为{x|x>-1且x≠0},所以排除选项D.令g(x)=ln(x+1)-x,则由经典不等式ln(x+1)≤x知,g(x)≤0恒成立,故f(x)=<0恒成立,所以排除A,C,故选B.(2)证明令g(x)=f(x)-=e x-x2-x-1,x∈R.g'(x)=e x-x-1,由经典不等式e x≥x+1恒成立可知,g'(x)≥0恒成立,所以g(x)在R上为单调递增函数,且g(0)=0,所以函数g(x)有唯一零点,即两曲线有唯一公共点.结论六三点共线的充要条件跟踪集训6.答案解析解法一:由=λ+μ及题意得=λ·(+)+μ·(+),则++ =0,得++=0,得λ+μ-1+=0.又因为,不共线,所以由平面向量基本定理得解得所以λ+μ=.解法二:如图,连接MN并延长交AB的延长线于T.由已知易得AB=AT,∴==λ+μ.∴=λ+μ,∵T、M、N三点共线,∴λ+μ=1,则λ+μ=.结论七三角形“四心”的向量形式跟踪集训7.(1)D 由·=·,可得·(-)=0,即·=0,∴⊥,同理可证⊥,⊥,∴P是△ABC的垂心.(2)C 设BC的中点为M,则=,则有=+λ,即=λ,∴P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的重心.(3)B 解法一:为上的单位向量,为上的单位向量,则+的方向为∠BAC的平分线的方向.又λ∈[0,+∞),∴λ的方向与+的方向相同.=+λ,∴点P在上移动.∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.故选B.解法二:由于P点轨迹通过△ABC内一定点且该定点与O点位置和△ABC的形状无关,故取O点与A点重合,由平行四边形法则很容易看出P点在∠BAC的平分线上,故选B.结论八等差数列跟踪集训8.(1)答案90解析(S20-S10)-S10=(S30-S20)-(S20-S10),S30=3S20-3S10=3×50-3×20=90.(2)答案 5解析设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,由已知条件,得解得又S偶-S奇=6d,所以d==5.结论九等比数列跟踪集训9.答案31解析由等比数列的性质知,a1a5=a2a4=,则++++=++====31.结论十多面体的外接球和内切球跟踪集训10.(1)A 因为该三棱柱外接球的表面积是16π,所以外接球的半径R=2.又直三棱柱底面是等腰直角三角形,直角边长是1,故该三棱柱的侧棱长是=,故选A.(2)C 由题意知,正三角形ABC的外接圆半径为=,则AB=3,过点E的截面面积最小时,截面是以AB为直径的圆面,截面面积S=π×=.结论十一焦点三角形的面积公式跟踪集训11.(1)D 设双曲线C2的方程为-=1,则有+===4-1=3.又四边形AF1BF2为矩形,所以焦点三角形AF1F2的面积为tan 45°=,即==1.所以=-=3-1=2.故双曲线的离心率e==== .故选D.(2)答案 3解析在焦点三角形PF1F2中,⊥,故=|PF1||PF2|,又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,|PF1|+|PF2|=2a,则(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=|F1F2|2,4a2-2|PF1|·|PF2|=4c2,所以|PF1||PF2|=2b2,则=b2=9,故b=3.结论十二圆锥曲线的切线问题跟踪集训12.(1)A 如图,圆心坐标为C(1,0),易知A(1,1).又k AB·k PC=-1,且k PC==,∴k AB=-2.故直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,故选A.(2)答案x+2y-4=0解析由于点P在椭圆+=1上,故所求的切线方程为+=1,即x+2y-4=0.结论十三圆锥曲线的中点弦问题跟踪集训13.(1)答案解析设PA2的斜率为k2,PA1的斜率为k1,则k1·k2=-=-,又k2∈[-2,-1],所以k1∈.(2)证明设P(x0,y0),则A(-x0,-y0),C(x0,0),k AC==,又k PA==k,所以k AC=,由k BA·k BP =-知,k BP·k BA=k BP·k AC=·k PB=-,所以k PB·k=-1,即PA⊥PB.结论十四圆锥曲线中的一类定值问题跟踪集训14.解析设直线AE的方程为y=k(x-1)+,联立得消去y,整理得(4k2+3)x2+(12k-8k2)x+4-12=0,则x E==.①同理,可得x F=.②所以k EF===,将①②代入上式,化简得k EF=.所以直线EF的斜率为定值,这个定值为.结论十五圆锥曲线中的一类定点问题跟踪集训15.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得消y,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,则有Δ=(8km)2-4(4k2+3)·(4m2-12)>0,即m2<4k2+3,即m2<4k2+3,①因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),所以(x1-2,y1)·(x2-2,y2)=0,即x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0, 即x1x2-2(x1+x2)+4+(kx1+m)(kx2+m)=0.把①代入化简得7m2+16km+4k2=0,得m=-2k或m=-.当m=-2k时,直线l:y=kx-2k过右顶点(2,0),与题意不符,故舍去;当m=-时,直线l:y=kx-过定点,且满足m2<4k2+3,符合题意.所以l:y=kx+m过定点.结论十六抛物线中的三类直线与圆相切问题跟踪集训16.答案 2解析如图所示,因为·=0,所以MA⊥MB,故点M在以AB为直径的圆上,又准线为x=-2,直线AB经过焦点F(2,0),所以有MF⊥AB,又k MF==-,所以k AB=2.。
数学-圆锥曲线常考的93个二级结论
圆锥曲线常考的93 个二级结论一、椭圆1.是椭圆上的任意一点，是椭圆的一个焦点，则的取值范围是.2.是椭圆上的任意一点，、是椭圆的左右焦点，则的取值范围是.3.是椭圆上的任意一点，、是椭圆的左右焦点，则的取值范围是.4.为椭圆上一点，其中是椭圆的左右焦点，，则..5.为椭圆上一点，其中是椭圆的左右焦点，则为短轴端点时最大.6.为椭圆上一点，其中是椭圆的左右顶点，则为短轴端点时最大.7.已知椭圆，若点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭P 12222=+by a x 1F 1PF [,]a c a c -+P 12222=+by a x 1F 2F 12PF PF ⋅22[,]b a P 12222=+by a x 1F 2F 12PF PF ⋅u u u r u u u r2222[,]b c a c --P ()012222>>=+b a by a x 21,F F θ=∠21PF F 122tan2F PF S b θ∆=1222F PF C a c ∆=+P ()012222>>=+b a by a x 21,F F P 12F PF ∠P ()012222>>=+b a by a x 12,A A P 12A PA ∠12222=+by a x ()0>>b a B A ,M圆上异于的一点.若的斜率分别为，则.8.若是椭圆的不垂直于对称轴的弦，为的中点，则. 9.若是椭圆不垂直于对称轴的切线，为切点，则.10.过圆上任意点作椭圆（）的两条切线，则两条切线垂直.11.过椭圆（）上任意不同两点作椭圆的切线，如果切线垂直且相交于，则动点的轨迹为圆. 12.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相离.13.以焦半径为直径的圆与以长轴为直径的圆内切.14.设为椭圆的左、右顶点，则在边（或）上的旁切圆，必与所在的直线切于（或）.15.椭圆的两个顶点为,，与轴平行的直线交椭圆于时与交点的轨迹方程是.16.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.,A B MB MA ,21,k k 2122b k k a⋅=-AB 22221x y a b +=M AB 22OM ABb k k a⋅=-l 22221x y a b +=M 22l OM b k k a ⋅=-2222x y a b +=+P 22221x y a b+=0a b >>22221x y a b+=0a b >>,A B P P 2222x y a b +=+1PF 12,A A 12F PF ∆2PF 1PF 12A A 2A 1A 22221x y a b +=()0>>b a 1(,0)A a -2(,0)A a y 12,P P 11A P 22A P 22221x y a b-=00(,)P x y 22221x y a b +=P 00221x x y ya b+=17.若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是. 18.若点在椭圆（）内，过点作椭圆的弦（不过椭圆中心），分别过作椭圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线. 19.若在椭圆内，则被所平分的中点弦的方程是. 20.若在椭圆内，则过的弦中点的轨迹方程是. 21.若是椭圆上对中心张直角的弦，则. 22.过椭圆焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值.23.过椭圆焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值.24.过椭圆焦点互相垂直的直线与椭圆相交构成四边形面积的取值范围是00(,)P x y 22221x y a b+=P 12,P P 12PP 00221x x y ya b+=()00,M x y 22221x y a b+=0a b >>M AB ,A B P 00221x x y ya b+=00(,)P x y 22221x y a b +=P 2200002222x x y y x y a b a b+=+00(,)P x y 22221x y a b +=P 22002222x x y yx y a b a b+=+PQ 22221x y a b+=()0>>b a 22221111||||OP OQ a b+=+22ab2222a b ab +.25.过椭圆焦点互相垂直的直线被椭圆截得弦长之和的取值范围是.26.设为椭圆上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点.27.若是过椭圆（）的焦点的一条弦（非通径），弦的中垂线交轴于，则. 28. 若是椭圆（）的左右顶点，点是直线（）上的一个动点（不在椭圆上），直线及分别与椭圆相交于，则直线必与轴相交于定点.29.过椭圆（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与轴相交于，若，，则为定值，且.30.过椭圆（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与相应准线相交于，若，，则为定值，且.2422228[,2](+)a b b a b 2222282(+)[,]+ab a b a b a()000,y x P ()012222>>=+b a by a x 21P P 21P P 21P P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+-022*******,y b a b a x b a b a M AB 22221x y a b+=0a b >>F AB x N 2AB NF e=,A B 22221x y a b+=0a b >>P x t =,0t a t ≠≠P PA PB ,M N MNx 2,0a Q t ⎛⎫⎪⎝⎭22221x y a b+=0a b >>F ,M N y P PM MF λ= PN NF λ= λμ+222a bλμ+=-22221x y a b+=0a b >>F ,M N P PM MF λ= PN NF μ=λμ+0λμ+=31.若是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线分别交轴于，若，，则为定值，且.32.若是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线分别交轴于，为长轴顶点，若，，则为定值，且.33.若是椭圆（）上任意两点，点关于轴对称点为，若直线与轴分别相交于点，则为定值，且.34.若是椭圆（）上关于轴对称的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交椭圆于另一点，则直线恒过轴上的定点，且定点为.35.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线必过相应的焦点，且垂直切点弦.36.为椭圆的焦点弦，则过的切线的交点必在相应的准线上.注：本文以焦点在轴上的椭圆为例，焦点在轴时上述结论未必完全一致，请慎用.MN 22221x y a b+=0a b >>P ,MP NP x ,E F PE EM λ= PF FN μ=λμ+0λμ+=MN 22221x y a b+=0a b >>P ,MP NP x ,E F A OE EA λ= OF FA μ=λμ+1λμ+=-,M P 2222:1x y C a b+=0a b >>M x N ,PM PN x ()(),0,,0A m B n mn 2mn a =,A B 2222:1x y C a b +=0a b >>x (),0P m x PB C E AE x 2,0a Q m ⎛⎫⎪⎝⎭M ,A B AB F MF AB AB ,A B M x y二、双曲线1.为双曲线左上一点，若是左焦点，则的取值范围是，若是右焦点，则的取值范围是.2.是双曲线上的任意一点，、是双曲线的左右焦点，则的取值范围是.3.是双曲线上的任意一点，、是双曲线的左右焦点，则的取值范围是.4.为双曲线上一点，其中是双曲线的左右焦点，，则.5.已知双曲线，若点是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点.若的斜率分别为，则.6.是双曲线的不平行于对称轴的弦，为的中点，则.7.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交.P )0,0(12222>>=-b a b y a x F PF [,)c a -+∞F PF [,)c a ++∞P )0,0(12222>>=-b a by a x 1F 2F 12PF PF ⋅2[,)b +∞P )0,0(12222>>=-b a by a x 1F 2F 12PF PF ⋅2[,)b -+∞P )0,0(12222>>=-b a by a x 21,F F θ=∠21PF F 122tan2FP F b S θ∆=)0,0(12222>>=-b a b y a x B A ,M B A ,MB MA ,21,k k 2122b k k a⋅=AB 22221x y a b -=M AB 22OM AB b k k a⋅=8.以焦半径为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.9.设为双曲线上一点，则的内切圆必切于与在同侧的顶点.10.双曲线的两个顶点为,，与轴平行的直线交双曲线于时与交点的轨迹方程是.11.若在双曲线上，则过的双曲线的切线方程是. 12.若在双曲线外 ，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是. 13.若在双曲线内，则被所平分的中点弦的方程是. 14.若在双曲线内，则过的弦中点的轨迹方程是. 15.设为双曲线上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点.PF P 12F PF ∆P )0,0(12222>>=-b a b y a x 1(,0)A a -2(,0)A a y 12,P P 11A P 22A P 22221x y a b+=00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a b y a x P 00221x x y ya b-=00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a by a x P 12,P P 12PP 00221x x y ya b-=00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a b y a x P 2200002222x x y y x y a b a b-=-00(,)P x y )0,0(12222>>=-b a b y a x P 22002222x x y yx y a b a b-=-()000,y x P ()012222>>=-b a by a x 21P P 21P P 21P P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--+022*******,y b a b a x b a b a M16.为双曲线上一点，若是一个焦点，以为直径的圆与圆的位置关系是外切或内切.17.过双曲线焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值. 18.过双曲线焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值.19.过双曲线（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与相应准线相交于，若，，则为定值，且.20.若是垂直双曲线（）实轴的动弦，是双曲线上异于顶点的动点，直线分别交轴于，若，，则为定值，且.21.若是垂直双曲线（）实轴的动弦，是双曲线上异于顶点的动点，直线分别交轴于，为长轴顶点，若，，则为定值，且.22.若是双曲线（）上任意两点，点关于轴对称点为，若直线与轴分别相交于点，则为定值，且.23.若是双曲线（）上关于轴对称的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交双曲线一点，则直线恒过轴上的定P )0,0(12222>>=-b a by a x F PF 222a y x =+22ab 2222a b ab +22221x y a b-=0,0a b >>F ,M N P PM MF λ= PN NF μ=λμ+0λμ+=MN 22221x y a b-=0,0a b >>P ,MP NP x ,E F PE EM λ= PF FN μ=λμ+0λμ+=MN 22221x y a b-=0,0a b >>P ,MP NP x ,E F A OE EA λ=OF FA μ=λμ+1λμ+=-,M P 2222:1x y C a b -=0,0a b >>M x N,PM PN x ()(),0,,0A m B n mn 2mn a =,A B 2222:1x y C a b-=0,0a b >>x (),0P m x PB C E AE x点，且定点为.24.从双曲线（）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：.25.双曲线上任一点处的切线交准线于，与相应的焦点的连线交双曲线于，则必与该双曲线相切，且.26.若是过双曲线（）的焦点的一条弦（非通径，且为单支弦），弦的中垂线交轴于，则2,0a Q m ⎛⎫⎪⎝⎭22221x y a b-=0,0a b >>222x y a +=P M P F Q MQ MF PQ ⊥AB 22221x y a b-=0,0a b >>F AB x M 2AB MF e=三、抛物线1.以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切．2.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切.3.以抛物线焦半径为直径的圆与轴相切.4.过抛物线焦点弦的抛物线上端点向y 轴作垂线，垂足为M ，则以OM 为直径的圆与焦半径相切.5.若线段为抛物线的一条焦点弦，则. 6.设抛物线方程为，过焦点的弦的倾斜角为，则焦点弦. 7.若是抛物线的焦点弦，且，，则，. 8.抛物线方程为，过的直线与之交于、两点，则.反之也成立.9.抛物线上一点处的切线方程为.10.过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在抛物线的准线上. 11.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点. 12.切线交点与弦中点连线平行于对称轴.y AB 2:2(0)C y px p =>112AF BF p+=)0(22>=p px y AB α222sin 2sin AOB p p AB S αα∆==，AB 22(0)y px p =>11(,)A x y 22(,)B x y 2124p xx =212y y p =-22(0)y px p =>(2,0)p A B OA OB ⊥22y px =00(,)x y 00()y y p x x =+13.过抛物线焦点且互相垂直的直线被抛物线截得弦长倒数之和是定值. 14.过抛物线焦点互相垂直的直线与抛物线相交构成四边形面积的取值范围是，15.过抛物线焦点互相垂直的直线与抛物线截得弦长之和的取值范围是.16.过直线（）上但在抛物线（）外（即抛物线准线所在区域）一点向抛物线引两条切线，切点分别为，则直线必过定点，且有. 17.过抛物线（）的对称轴上任意一点（）作抛物线的两条切线，切点分别为，则切点弦所在的直线必过点.18.若是垂直抛物线（）对称轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线分别交轴于，若，，则为定值，且.19.过抛物线（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与相应准线相交于，若，，则为定值，且.20.是垂直抛物线（）对称轴的动弦，是抛物线上异于顶点的动点，直线分别交轴于，为长轴顶点，若，，则为定值，且.12p2[8,)p +∞[8,)p +∞x m =0m ≠22y px =0p >M ,A B AB (),0N m -2AB MN p k k m=22y px =0p >(),0M m -0m >,A B AB (),0N m MN 22y px =0p >P ,MP NP x ,E F PE EM λ= PF FN μ= λμ+0λμ+=22y px =0p >F ,M N P PM MF λ= PN NF μ= λμ+0λμ+=MN 22y px =0p >P ,MP NP x ,E F A OE EA λ= OF FA μ= λμ+112λμ+=21.若是抛物线（）上关于轴对称的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交抛物线一点，则直线恒过轴上的定点，且定点为.22.抛物线的准线上任一点处的切点弦过其焦点，且.23.抛物线上任一点处的切线交准线于，与焦点的连线交抛物线于，则必与该抛物线相切，且.24.若是过抛物线（）的焦点的一条弦（非通径），弦的中垂线交轴于，则. 25.设为抛物线上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点.26.若是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若，过作，则动点的轨迹方程为（）.27.若是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若，则.28.过抛物线（）上任一点作两条弦，则（）的充要条件是直线过定点. 29.在抛物线（）的对称轴上存在一个定点，使得过该点的任,A B 2:2C y px =0p >x (),0P m x PB E AE x (),0Q m -M PQ F MF PQ ⊥P M P F Q MQ MF PQ ⊥AB 22y px =0p >F AB x M 2AB MF=()00,N x y px y 22=AB AB AB ()002,x p y +-,A B 22y px =0p >O OA OB ⊥O OM AB ⊥M 2220x y px +-=0x ≠,A B 22y px =0p >O OA OB ⊥()2min 4AOB S p ∆=22y px =0p >()00,M x y ,MA MB MA MB k k λ=0λ≠AB 002,p N x y λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭22y px =0p >(),0M p意弦恒有. 30.抛物线（）上两点、连线斜率若存在即为. 31.抛物线（）上一点处切线的斜率若存在即为. 注：本文以为例，其他情况上述结论未必完全一致，请慎用.AB 222111p MA MB +=22y px =0p >A B 2A Bp k y y =+22y px =0p >A A p k y =22y px =。
高中数学必备考试技能之二级结论提高速度(2020版)专题11 圆锥曲线的切线问题(解析版)
()3+-y()2∴-31则过M点的切线方程为整理得x-1/ 32/ 33 / 3222312484840,12p py p y y p y y p+--+=+==，解得1p =或2p =，选C.3．关于椭圆的切线由下列结论：若11(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，则过点P 的椭圆的切线方程为11221x x y y a b +=.已知椭圆22:143x y C +=.利用上述结论，求过椭圆C 上的点(1,)(0)P n n >的切线方程；【答案】（1）240x y +-=【解析】(1)由题意，将1x =代入椭圆方程22:143x y C +=，得32y =，所以3(1,)2P ，所以过椭圆C 上的点3(1,)2P 的切线方程为32143yx +=，即240x y +-=.4.已知抛物线C:x 2=4y,直线l:x-y-2=0,设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线PA,PB,其中A,B 为切点,当点P(x 0,y 0)为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程. 解析 联立方程得{x 2=4y ,x -y -2=0,消去y,整理得x 2-4x+8=0,Δ=(-4)2-4×8=-16<0,故直线l 与抛物线C 相离.由结论知,P 在抛物线外,故切点弦AB 所在的直线方程为x 0x=2(y+y 0),即y=12x 0x-y 0.5. 设椭圆C:x 24+y 23=1,点P (1,32),则椭圆C 在点P 处的切线方程为 .。