您的位置：360文档中心› 高中数学圆锥曲线试题(含答案)

高中数学圆锥曲线试题(含答案)

合集下载

(易错题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(含答案解析)(4)

(易错题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(含答案解析)(4)

一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ） A ．13B ．32C ．12D ．12．若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（ ） A ．33-B ．33C ．13-D ．133．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的右焦点为(c,0)F ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c=上存在一点P 满足FP AP FA AP ⋅=-⋅，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．1[,1)2B ．2[,1)2C ．51[,1)2-D ． 20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦4．如图，已知1F 、2F 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，A 、B 为双曲线上关于原点对称的两点，且满足11AF BF ⊥，112ABF π∠=，则双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C 6D 4235．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为1的直线l 过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的面积是π，若椭圆C 离心率的取值范围为[42，，则线段AB 的长度的取值范围是（ ） A．B ．[1 , 2]C ．[4 8]，D．6．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线2219x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光线所在直线方程为2y =，若入射光线FP 的斜率为43，则抛物线方程为 （ ） A ．28y x =B ．26y x =C ．24y x =D ．22y x =8．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（ ） A．B ．2CD9．已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆：22143x y +=上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（ ） A ．43-B ．3-C ．1813-D ．32-10．设P 为椭圆22:1169x y C +=上的点，12,F F 分别是椭圆C 的左，右焦点，125PF PF ⋅=，则12PF F △的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22182x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．77y x =±B ．7y x =±C ．55y x =±D ．5y x =±12．双曲线2214x y -=的离心率为（ ）A ．5B ．3C ．52D ．32二、填空题13．直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点到y 轴的距离是2，则AB =______.14．已知双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，若∠260AF B =︒，则2AF B 的内切圆半径为______.15．过椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左焦点F 作斜率为12的直线l 与C 交于A ，B 两点，若||||OF OA =，则椭圆C 的离心率为________.16．如图，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜α角（母线与竖直方向所成角）后，液面呈椭圆形，当30α=︒时，该椭圆的离心率为____________.17．已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为1F ，过点F 和1F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线3y x =-垂直，当3a b +取最大值时，双曲线C 的方程为________.18．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的标准方程为__________.19．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，右焦点为()1,0F ，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、F ，且三条边所在直线的斜率分别为()123123,,0k k k k k k ≠.若直线OD 、OE 、OF 的斜率之和为-1（O 为坐标原点），则123111k k k ++=______. 20．设点P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若点B 的坐标为()4,2，则PB PF +的最小值为________．三、解答题21．已知A ，B 分别为椭圆()222:11x C y a a +=>的左､右顶点，P 为C 的上顶点，8AP PB ⋅=.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()6,0作关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 分别交椭圆于()11,M x y 与()22,N x y ，且12x x ≠，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.22．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). （1）求椭圆的方程；（2）若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足||||AB CD =，求直线l 的方程. 23．已知直线1:1l y x =+与抛物线2:2(0)C y px p =>相切于点P . （1）求抛物线C 的方程及点P 的坐标； （2）设直线2l 过点11,22Q ⎛⎫--⎪⎝⎭，且与抛物线C 交于（异于点P)两个不同的点A 、B ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，那么是否存在实数λ，使得12k k λ+=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.24．已知抛物线26y x =焦点为F ，一条直线过焦点与抛物线相交于A ，B 两点，直线的倾斜角为60.（1）求线段AB 的长度.（2）过点()3,0Q 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，点P 为直线3x =-上的任意一点，设直线PM ，PQ ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且满足132k k k μ+=，μ能否为定值？若为定值，求出μ的值；若不为定值，请说明理由. 25．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-． （1）求抛物线C 的方程；（2）设点(1,2)P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点A ，B ，直线PA ，PB 分别交x 轴于M ，N 两点，求MF NF ⋅的值．26．已知P 是椭圆22:18x C y +=上的动点.（1）若A 是C 上一点，且线段PA 的中点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求直线PA 的斜率； （2）若Q 是圆221:(1)49D x y ++=上的动点，求PQ 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率． 【详解】解：由c e a ==2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+， ∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯． ∴直线l 的斜率为12． 故选：C ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．2．C解析：C 【详解】因为圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2， 所以，该曲线是双曲线，2222111y x my x m+=⇒-=-, 所以11()1213m m +-=⇒=-， 故选C.3．C解析：C 【分析】取AP 中点Q ，可转化()0FP FA AP +⋅=为20FQ AP ⋅=，即||||FA FP =，可求得||FA a =，2||a FP c c≥-，求解即得.【详解】取AP 中点Q ，由FP AP FA AP ⋅=-⋅得()0FP FA AP +⋅=， 故20FQ AP FQ AP ⋅=∴⊥，故三角形AFP 为等腰三角形，即||||FA FP =， 且22||FA b c a =+=，所以||FP a =，由于P 在直线2a x c =上，故2||a FP c c ≥-即2222110a a a a c e e c c c≥-∴≥-∴+-≥，解得：512e ≥或512e -≤，又01e << 511e -≤<， 故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了学生综合分析、转化划归、数学运算的能力，属于中档题.4．A解析：A 【分析】连接22,AF BF ，得矩形12AF BF ，在直角12BF F △中用c 表示出1BF ，2BF ，然后由双曲线的定义列式后求得离心率e ． 【详解】连接22,AF BF ，由11AF BF ⊥及双曲线的对称性知12AF BF 是矩形，由12AF BF =，1112BFO ABF π∠=∠=，122F F c =，则22sin12BF c π=，12cos12BF c π=，∴122cos2sin21212BF BF c c a ππ-=-=，∴离心率为111222cos sin 2cos 2cos sin 12123212212c e a πππππ=====⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故选：A ．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，列出关于,a b 关系式是䚟题关键．本题利用双曲线的对称性构造矩形12AF BF ，然后结合双曲线定义得出关系式，求得离心率．5．C解析：C 【分析】 由题可求得2121222ABF AF F BF F cSSS=+=，2222ABF EABEBF EAF S SSSa =++=，即可得出2aAB c=，再根据离心率范围即可求出. 【详解】设2ABF 的内切圆的圆心为E ，半径为r ，则2r ππ=，解得1r =，21212112121121211sin sin 22ABF AF F BF F SSSAF F F AF F BF F F BF F =+=⋅⋅⋅∠+⋅⋅⋅∠ 111122sin 452sin135222cAF c BF c AB =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=， 又22222111222ABF EAB EBF EAF S S S S AB r BF r AF r =++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()22114222AB BF AF a a =++=⨯=, 222c AB a∴=，22a AB c ∴=⋅， 2242c e a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，2,22a c ⎡⎤∴∈⎣⎦，则[]224,8ac⋅∈，即线段AB 的长度的取值范围是[]4,8. 故选：C.【点睛】本题考查根据离心率范围求弦长范围，解题的关键是通过两种不同方式求出2ABF 的面积，得出2aAB c=可求解. 6．C解析：C 【分析】根据中位线性质得到22111()22OH BF PF PF a ==-=得到答案. 【详解】如图所示：延长1F H 交2PF 于B12F PF ∠的平分线为PA ，1F B PA H ⊥⇒为1F B 中点，1PF BP =，在12F F B △中，O 是12F F 中点，H 为1F B 中点，⇒22111()322OH BF PF PF a ==-==故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了双曲线的性质，利用中位线性质将212OH BF =是解题的关键. 7．D解析：D 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，设出P 点坐标，由性质求出P 点坐标，表示出FP 的斜率，解出p ，即可得抛物线方程. 【详解】,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()00,P x y 由题意有02y =将02y =代入()220y px p =>得02x p=2,2P p ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，且FP 的斜率为43，有204232p p -=-解得：1p =故抛物线方程为：22y x = 故选：D 【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．8．B解析：B 【分析】首先利用DF DA =，求点D 的坐标，再利用DF 与渐近线垂直，构造关于,a c 的齐次方程，求离心率. 【详解】由条件可知(),0F c -，(),0A a ，由对称性可设条件中的渐近线方程是by x a=，线段FA 的中垂线方程是2a c x -=，与渐近线方程by x a =联立方程，解得()2b a c y a-=，DF DA =，即(),22b a c a c D a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为DF 与渐近线b y x a =垂直，则()()22b ac a a a c b c -=----，化简为2232222b c ab a a c b c ac a c -=+⇔=+， 即22b ac a =+，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ， 得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.9．A解析：A 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()11,D s t ，()22,E s t ，()33,M s t ，利用A ，B 在椭圆上，代入椭圆方程，两式相减得：111413t k s =-，同理可得：222413t k s =-，333413t k s =-，再利用已知条件即可得出结果. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()11,D s t ，()22,E s t ，()33,M s t ， 因为A ，B 在椭圆上，所以2211143x y +=，2222143x y +=， 两式相减得：121211121213344y y x x sk x x y y t -+==-⨯=-⨯-+， 即111413t k s =-， 同理可得222413t k s =-，333413t k s =-， 所以31212312311143t t t k k k s s s ⎛⎫++=-++ ⎪⎝⎭因为直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1，所以12311144133k k k ++=-⨯=-， 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题主要考查椭圆的简单性质的应用.利用平方差法转化求解斜率是解决本题的关键.10．D解析：D 【分析】先根据椭圆的方程求得c ，进而求得12F F ，设出12,PF m PF n ==，利用余弦定理可求得mn 的值，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】由椭圆方程有4,3a b ==，则c .设12,PF m PF n ==，由椭圆的定义有：28m n a +==.设12F PF θ∠=， 由125PF PF ⋅=，得cos 5mn θ=，由余弦定理得： 222cos 28m n mn θ+-= 解得：513,cos 13mn θ==，12sin 13θ∴=． 所以12PF F △的面积为1112sin 1362213S mn θ==⨯⨯=．故选：D【点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的定义的应用，椭圆中求三角形的面积问题，是中档题．11．C解析：C【分析】求出椭圆焦点坐标，得双曲线的焦点坐标，再由焦点到渐近线的距离可求得,a b，得渐近线方程．【详解】由题意已知椭圆的焦点坐标为(，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中c=渐近线方程为by xa=±，其中一条为0bx ay-=，1==，1b=，∴a=∴渐近线方程为y x=．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，关键是求出,a b．解题时要注意椭圆中222a b c=+，双曲线中222+=a b c．两者不能混淆．12．C解析：C【解析】双曲线2214xy-=中，222224,1,5,a b c a b e==∴=+=∴==本题选择C选项.二、填空题13．【分析】设再表达出的坐标再利用抛物线的弦长公式求解即可【详解】设则利用中点坐标公式知又点M到y轴的距离为2故即又故利用过抛物线焦点的弦长公式故答案为：8【点睛】方法点睛：本题主要考查了过抛物线焦点的解析：【分析】设()()1122,,,A x yB x y，再表达出M的坐标，再利用抛物线的弦长公式求解即可.【详解】设()()1122,,,A x yB x y，则利用中点坐标公式知1212,22x x y yM++⎛⎫⎪⎝⎭，又点M 到y 轴的距离为2，故1222x x +=,即124x x +=, 又28,4p p ==，故利用过抛物线焦点的弦长公式12448AB x x p =++=+=. 故答案为：8 【点睛】方法点睛：本题主要考查了过抛物线焦点的弦长公式，有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式，考查学生的运算能力与转化思想，属于一般题.14．【分析】设内切圆的圆心设三边与内切圆的切点连接切点与圆心的线段由内切圆的性质可得再由双曲线定义可知：可得重合再由可得内切圆的半径的值【详解】设内切圆的圆心为设圆与三角形的边分别切于如图所示连接由内切【分析】设内切圆的圆心M ，设2AF B 三边与内切圆的切点，连接切点与圆心M 的线段，由内切圆的性质可得22AF AQ BF BQ -=-，再由双曲线定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，可得Q ，1F 重合，再由260AF B ∠=︒可得内切圆的半径的值. 【详解】设内切圆的圆心为(),M x y ，设圆M 与三角形的边分别切于T ，Q ，S ，如图所示 连接MS ，MT ，MQ ，由内切圆的性质可得：22F T F S =，AT AQ =，BS BQ =，所以222AF AQ AF AT F T -=-=，222BF BQ BF BS F S -=-=， 所以22AF AQ BF BQ -=-，由双曲线的定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，所以可得Q ，1F 重合， 所以224TF a ==，所以圆的半径为22tan 2AF B r MT TF ∠===.【点睛】本题主要考查双曲线定义的应用，熟记双曲线的定义即可，属于常考题型.15．【分析】作出示意图记右焦点根据长度和位置关系计算出的长度再根据的形状列出对应的等式即可求解出离心率的值【详解】如图所示的中点为右焦点为连接所以因为所以所以又因为所以且所以又因为所以所以所以故答案为： 解析：53【分析】作出示意图，记右焦点2F ，根据长度和位置关系计算出2,AF AF 的长度，再根据2AFF 的形状列出对应的等式，即可求解出离心率e 的值. 【详解】如图所示，AF 的中点为M ，右焦点为2F ，连接2,MO AF ，所以2//MO AF ， 因为OA OF=，所以OM AF ⊥，所以2AFAF ⊥，又因为12AF k =，所以212AF AF =且22AF AF a +=，所以242,33a aAF AF ==，又因为22222AF AF FF +=，所以222164499a a c +=，所以2259c a =，所以53e =. 故答案为：53.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难度一般.(1)涉及到利用图形求解椭圆的离心率时，注意借助几何图形的性质完成求解；(2)已知,,a b c 任意两个量之间的倍数关系即可求解出椭圆的离心率.16．【分析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为的直角三角形由此可求得椭圆离心率【详解】设圆柱形杯子的底面半径为画示意图如图所示：则是椭圆的长半轴长是椭圆的短半轴长则又则故答案 解析：12【分析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径，椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为30的直角三角形，由此可求得椭圆离心率. 【详解】设圆柱形杯子的底面半径为b ，画示意图如图所示：则OC 是椭圆的长半轴长，OB 是椭圆的短半轴长，则22BC a b c =-=，又30COB α∠==︒，则1sin 2c e a α===. 故答案为：12【点睛】本题考查了圆柱的截面为椭圆的问题，根据椭圆的性质求出椭圆的离心率，考查了学生的分析能力，空间想象能力，属于中档题.17．【分析】设点的坐标为则利用导数的几何意义结合已知条件求得点的坐标可求得直线的方程并求得点的坐标可得出利用三角换元思想求得的最大值及其对应的的值由此可求得双曲线的标准方程【详解】设点的坐标为则对于二次解析：2213944x y -= 【分析】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，利用导数的几何意义结合已知条件求得点M 的坐标，可求得直线l 的方程，并求得点1F 的坐标，可得出223a b +=，利用三角换元思想求得3a b 的最大值及其对应的a 、b 的值，由此可求得双曲线的标准方程. 【详解】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，对于二次函数24x y =，求导得2x y '=，由于抛物线24x y =在点M处的切线与直线y =垂直，则(012x ⨯=-，解得0x =，则200143x y ==，所以，点M的坐标为13⎫⎪⎪⎝⎭， 抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，直线MF的斜率为11MFk -==所以，直线l的方程为1y x =+，该直线交x轴于点)1F ，223a b ∴+=，可设a θ=，b θ=，其中02θπ≤<，3sin 6a πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，02θπ≤<，13666πππθ∴≤+<， 当62ππθ+=时，即当3πθ=时，a取得最大值此时，32a π==，332b π==， 因此，双曲线的标准方程为2213944x y -=. 故答案为：2213944x y -=. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了利用导数求解二次函数的切线方程，以及利用三角换元思想求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】由已知可得而由可求出点的坐标再将点的坐标代入椭圆方程中再结合可求出的值【详解】解：由题意设椭圆的标准方程为因为为椭圆的左焦点所以因为所以设点的坐标为则解得则所以点的坐标为因为为椭圆上一点所以解析：2213616x y +=【分析】由已知可得c =||||OP OF ==，||4PF =，可求出点P 的坐标，再将点P 的坐标代入椭圆方程中，再结合222a b c =+，可求出22a b ，的值.【详解】解：由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为(F -为椭圆C的左焦点，所以c =， 因为||||OP OF =，所以||||OP OF ==， 设点P 的坐标为(,)P m n，则11422OF n ⋅=⨯解得n =m =， 所以点P的坐标为⎛ ⎝， 因为P 为椭圆C 上一点， 所以223664155a b += 因为22220a b c -==，所以解得2236,16a b ==，所以椭圆的标准方程为2213616x y +=，故答案为：2213616x y +=【点睛】此题考查的是椭圆的简单的几何性质，考查了运算能力，属于中档题.19．2【分析】求出椭圆的方程利用点差法求得直线的斜率同理即可求得【详解】由题意可得所以所以椭圆的标准方程为设由两式作差可得则而故即同理可得所以故答案为：2【点睛】本题考查三条直线的斜率的倒数和的求法考查解析：2 【分析】求出椭圆的方程，利用“点差法”求得直线AB 的斜率，同理即可求得123111k k k ++ 【详解】 由题意可得1c =，2c a =，所以a =1b =， 所以椭圆的标准方程为2212x y +=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，1212,22x x y y D ++⎛⎫⎪⎝⎭，由221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ， 两式作差可得()()()()212121212x x x x y y y y -+=--+，则()212121212y y x x y y x x -+=-+-， 而1212OD y y k x x +=+，故1122AB ODk k k =-=-，即112OD k k =-， 同理可得212OE k k =-，312OF k k =-， 所以()12311122OD OE OF k k k k k k ++=-++=. 故答案为：2 【点睛】本题考查三条直线的斜率的倒数和的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.20．【分析】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求的最小值进而可推断出当三点共线时最小则答案可得【详解】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知所以要求取得最小值即求取得最小当三 解析：5【分析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，进而把问题转化为求PB PD +的最小值，进而可推断出当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小，则答案可得. 【详解】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，所以，要求PB PF +取得最小值，即求PB PD +取得最小， 当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小为()415--=． 故答案为：5． 【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 三、解答题21．（1）2219x y +=；（2）证明见解析，定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据向量数量积坐标运算公式求解即可得结果；（2）设直线MN 方程并联立椭圆方程，结合韦达定理求得12,y y +12y y ，又因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，所以1212066y y x x +=--，通过计算化简即可求得定点. 【详解】解：（1）由题意得(),0A a -，(),0B a ，()0,1P ，则(),1AP a =，(),1PB a =-.由8AP PB ⋅=，得218a -=，即3a =所以椭圆C 的方程为2219x y +=（2）由题易知：直线MN 的斜率存在，且斜率不为零，设直线MN 方程为x my n =+，()0m ≠，联立22990x my nx y =+⎧⎨+-=⎩，得()2229290m y mny n +++-=，由0>得2290m n -+>，∴12229mn y y m -+=+，212299n y y m -=+，因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，∴1212066y y x x +=--，整理得()()1212260my y n y y +-+=， 即()()2222926099m n mn n m m ---=++，解得：32n =直线MN 方程为：32x my =+，所以直线MN 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】求定点问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．22．（1）22143x y +=；（2）12y x =-或12y x =-- 【分析】（1）根据题设条件列方程解得,a b 可得椭圆方程；（2）利用几何方法求出弦长||CD ，利用弦长公式求出弦长||AB，再根据||||AB CD =可求出m ，代入直线l ：y ＝－12x ＋m ，可求得结果. 【详解】（1）由题设知22212b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得a ＝2，bc ＝1，∴椭圆的方程为22143x y +=.（2）由（1）知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l ：220x y m +-=的距离d =，由d ＜1，得||m <||CD ∴===设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由221,21,43y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 并整理得x 2－mx ＋m 2－3＝0， 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3.||AB =∴==由||||AB CD =1，解得m =，满足(*). ∴直线l的方程为12y x =-+或12y x =-. 【点睛】关键点点睛：掌握几何方法求弦长和弦长公式求弦长是解题关键.23．(1)24y x =，(1,2)；(2)83. 【分析】(1)将直线1l 的方程与抛物线C 的方程联立消去y ，根据直线与抛物线相切，由0∆=即可求出p 及点P 的坐标；(2)根据题意可设直线2l 的方程为11()22x m y =+-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，将直线2l 与抛物线方程联立消去x ，由根与系数的关系求出12y y +和12y y ，求直线PA ，PB 的斜率，可求出斜率之和为定值，即存在实数λ使得斜率之和为定值.【详解】(1)由212y x y px=+⎧⎨=⎩，得2(22)10x p x +-+=， 因为直线1l 与抛物线C 相切，所以2(22)40p ∆=--=，解得2p =，故抛物线C 的方程为24y x =.将2p =代入2(22)10x p x +-+=，得2210x x -+=，解得1x =，所以2y =, 所以P 的坐标为(1,2).(2)由题意可设直线2l 的方程为11()22x m y =+-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由211()224x m y y x ⎧=+-⎪⎨⎪=⎩，得24220y my m --+=，22164(22)16880m m m m ∆=--+=+->，解得1m <-或12m >， 所以124y y m +=，1222y y m =-+， 又1111111222(2)11123()122y y y k x my m m y ---===-+-+--，同理可得2222(2)23y k my m -=+-， 所以[]12121222121212243(1)()4(3)2(2)2(2)232342(3)()(3)my y m y y m y y my m my m m y y m m y y m -++----=+=+-+-+-++-λ =[]222224(22)3(1)44(3)8(523)84(22)2(3)4(3)3(523)3m m m m m m m m m m m m m m m --+----+==-+-+---+， 故存在实数83λ=满足条件. 【点睛】思路点睛：直线与抛物线交点问题的解题思路：(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组；(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系解决．24．（1）8；（2）是，定值为2.【分析】（1）联立直线与抛物线得出韦达定理，即可求出弦长；（2）设出直线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示出13k k +，即可得出定值.【详解】（1）可得3,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线的倾斜角为60则直线方程为32y x ⎫=-⎪⎭， 设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与抛物线2326y x y x ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩可得242090x x -+=， 则121295,4x x x x +==， 123538AB x x =++=+=；（2）可知直线l 的斜率不为0，则设直线l 的方程为3x my =+，m R ∈，设()3,P t -，()11,M x y ，()22,N x y ，把3x my =+代入26y x =得26180y my --=∴126y y m +=，1218y y =-， ∴12121312123366y t y t y t y t k k x x my my ----+=+=+++++ ()()()()()()1221126666y t my y t my my my -++-+=++ ()()()1212212122612636my y tm y y t m y y m y y +-+-=+++ ()()()221866121866363m tm m t t m m m ⨯-+-⋅-==-⨯-+⋅+，26t k =-，132k k k μ+=， 36t t μ⎛⎫∴-=⨯- ⎪⎝⎭，P 为3x =-上的任意一点，t ∴不恒为0， 2μ∴=，即μ为定值2.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.25．（1）24y x =；（2）2.【分析】（1）根据抛物线的准线求出p ，即可得出抛物线方程；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，与抛物线联立可得24480ky y k -+-=，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解MF NF ⋅的值．【详解】（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-，所以12p =，则2p =， 因此抛物线C 的方程为24y x =；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，由()2412y x y k x ⎧=⎪⎨=+-⎪⎩得24480ky y k -+-=， 则124y y k+=，1284y y k =-. 因为点A ，B 在抛物线C 上，所以2114y x =，2224y x =， 则1121112241214PA y y k y x y --===-+-，2222412PB y k x y -==-+. 因为PF x ⊥轴， 所以()()122244PA PB PA PB y y PFPF MF NF k k k k ++⋅=⋅==⋅ ()1212884424244y y y y k k -+++++===， 所以MF NF ⋅的值为2.【点睛】思路点睛：求解抛物线中的定值问题时，一般需要联立直线与抛物线方程，结合题中条件，以及韦达定理来求解；求解时，一般用韦达定理设而不求来处理. 26．（1）14-；（2）17. 【分析】（1）设A ，P 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，代入椭圆方程，利用点差法即可求得直线PA 的斜率；（2）设(,)(P x y x -≤≤，圆心(1,0)D -，可得PD 的表达式，利用二次函数性质，即可求得PD 的最小值，进而可得答案.【详解】（1）设A ，P 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 因为A ，P 两点都在C 上，所以221122221818x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得()()()()2121212180x x x x y y y y -++-+=，因为21122x x +=⨯=，211212y y +=⨯=， 所以212114PA y y k x x -==--. （2）设(,)(P x y x -≤≤，则2218x y +=，圆心(1,0)D -， 则222222786||(1)(1)18877x PD x y x x ⎛⎫=++=++-=++ ⎪⎝⎭， 当87x 时，PD7=. 因为圆D17=. 所以PD的最小值为11777-=. 【点睛】 解题的关键是熟练掌握点差法的步骤，点差法常见的结论有，设以00(,)P x y 为中点的弦所在斜率为k ，则（1）椭圆22221x y a b +=中，2020y b k x a ⋅=-；（2）双曲线22221x y a b -=中，2020y b k x a⋅=；（3）抛物线22y px =中0p k y =，熟记结论可简化计算，提高正确率，属中档题.。

(常考题)人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》测试(包含答案解析)

(常考题)人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》测试(包含答案解析)

一、填空题1．ABC 的三个顶点都在抛物线E ：232y x =上，其中A (2，8)，ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 所在直线的方程为_________．2．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为F ，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若||3||PF QF =，且120PFQ ∠=，则椭圆E 的离心率为__.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b -=>的右焦点为F ，定点111,(0)bx P x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭和动点222,(0)bx Q x x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭满足：2POF QOF ∠=∠，且POF 是底边长为C 的标准方程为__________.4．设1F ､2F 分别是椭圆2214xy +=的左､右焦点，若椭圆上存在一点P ，使2()OP OF +⋅20PF =(O 为坐标原点)，则△12F PF 的面积是___________5．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:,C x y b +=若在椭圆1C 上存在点P ，过P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B 使得,3BPA π∠=则椭圆1C 的离心率的取值范围是_____.6．椭圆2214x y +=的右焦点为F ，以点F 为焦点的抛物线的标准方程是___________.7．已知O 为坐标原点，点(1,2)P 在抛物线C ：24y x =上，过点P 作两直线分别交抛物线C 于点A ，B ，若0PA PB k k +=，则AB OP k k ⋅的值为______.8．设椭圆22162x y += 与双曲线2213x y -= 有公共焦点1F ，2F ，P 是两条曲线的一个公共点，则12cos F PF ∠ 等于__________．9．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，且离心率为35，ABC 的三个顶点都在椭圆C 上，设ABC 三条边AB BC AC 、、的中点分别为D E M 、、，且三条边所在直线的斜率分别为123k k k 、、，且123k k k 、、均不为0．O 为坐标原点，若直线OD OE OM 、、的斜率之和为1.则123111k k k ++=________. 10．已知直线y kx m =+与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线交于A B 、两点，与1yx k交于点N ，若N 为AB 的中点，则双曲线的离心率等于____. 11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>离心率为2，则其渐近线与圆()22214x a y a -+=的位置关系是________. 12．已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，当123F PF π∠=时，则12PF F △的面积为________．13．已知抛物线方程为24y x =-，直线l 的方程为240x y +-=，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，点A 到直线l 的距离为n ，则m n +的最小值为______.二、解答题14．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（III ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值. 15．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦距为23()0,2P 关于直线y x =-的对称点在椭圆E 上.（1）求椭圆E 的方程.（2）如图，过点P 的直线l 与椭圆E 交于两个不同的点C ，D （点C 在点D 的上方），试求COD △面积的最大值.16．已知抛物线2:y 2)3(0C px p <<=，其焦点为F ，点3(),2Q m 在抛物线C 上，且|QF |=4，过点(4,0)的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，连结OA ，OB ． （1）求抛物线C 的方程； （2）证明：OA OB ⊥．17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，其左，右焦点分别是12,F F ，椭圆上的4个点,,,A B M N 满足：直线AB 过左焦点1F ，直线AM 过坐标原点O ，直线AN 的斜率为32-，且2ABF 的周长为8 （1）求椭圆C 的方程． （2）求AMN 面积的最大值18．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点为(0,1)A ，离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点A 作圆()222:1M x y r ++=的两条切线，记切点分别为,S T ，令1,r =求此时两切点连线ST 的方程；（3）若过点A 作圆()222:1M x y r ++=的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D （不同于点A ）.当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.19．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，过右焦点2F 且斜率为1的直线l 与圆()()222221x y -+-=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）1F 为椭圆的左焦点，P 为椭圆上的一点，若12120PF F ∠=︒，求12PF F △的面积.20．已知2m >，p ：方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆；q ：方程2214x y m t m t+=--表示双曲线.若p 是q 的充分不必要条件，求实数t 的取值范围. 21．已知椭圆的2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的焦距为(2,1)A .（1）求椭圆C 的方程；（2）若不经过点A 的直线:l y kx m =+与C 交于,P Q 两点，且直线AP 与直线AQ 的斜率之和为0，求k 的值. 22．已知P 为抛物线y =14x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，求|PA |+|PM |的最小值23．已知点P 是双曲线22148x y -=上的一点，点1F 和2F 为左、右焦点，若1260F PF ∠=．（1）求12F PF △的面积； （2）求点P 的坐标．24．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，点2P ⎭在C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设1F ，2F 分别是椭圆C 的左，右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，求1F AB 面积的最大值.25．已知命题p ：()()22210t a t a a t --+-<∈R ，命题q ：方程()22113x y t t t+=∈+-R 表示焦点在x 轴上的椭圆. （1）若10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，命题p 为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.26．已知椭圆222:1(1)x E y a a +=>.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:0l x y m -+=与椭圆交于E F 、两点，且线段EF 的中点在圆22+1x y =，求m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】根据重心坐标公式可得由此得到BC 的中点坐标再根据点差法得到BC 的斜率然后点斜式写出直线方程【详解】设由重心坐标公式又所以所以中点坐标为因为两式相减得所以直线的斜率为所以BC 所在直线的方程为即解析：4400+-=x y【分析】根据重心坐标公式可得1222x x +=，128y y +=-，由此得到BC 的中点坐标，再根据点差法得到BC 的斜率，然后点斜式写出直线方程. 【详解】设()11B x y ， ，()22C x y ，，由重心坐标公式，12122833x x y y G ++++⎛⎫⎪⎝⎭，，又()80G ，， 所以1222x x +=，128y y +=-，所以BC 中点坐标为()11,4-，因为21132y x =，22232y x =，两式相减得12124y y x x -=--， 所以直线BC 的斜率为4-，所以BC 所在直线的方程为()4411y x +=--，即4400+-=x y . 故答案为：4400+-=x y 【点睛】方法总结：涉及中点弦或者斜率问题时考虑使用点差法，即设点作差.2．【分析】取椭圆的右焦点由直线过原点及椭圆的对称性可得四边形为平行四边形由及椭圆的性质可得余弦定理可得离心率的值【详解】取椭圆的右焦点连接由椭圆的对称性可得四边形为平行四边形则而所以所以在中解得：故答【分析】取椭圆的右焦点F '，由直线l 过原点及椭圆的对称性可得四边形PFQF '为平行四边形，由||3||PF QF =及椭圆的性质可得2a PF '=，32a PF =，120PFQ ∠=︒余弦定理可得离心率 的值.【详解】取椭圆的右焦点F '，连接QF '，PF '，由椭圆的对称性，可得四边形PFQF '为平行四边形，则PF QF '=，180********FPF PFQ ∠='=-∠-=，||3||PF QF =3||PF '=，而||||2PF PF a '+=，所以2a PF '=，所以32a PF =， 在PFF '中，2222222914||||58144cos 32332222a a c PF PF FF FPF e a PF PF a +-+-∠===-''''=⨯⨯，解得：74e =， 7. 【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中,由椭圆的对称性以及椭圆的定义得到2a PF '=，所以32a PF =，然后在PFF '中，根据余弦定理得到所要求的等量关系.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．3．【分析】根据题意可以判断点在渐近线点在渐近线根据渐近线关于坐标轴对称可得由是底边长为的等腰三角形可得在中由正弦定理可得：结合即可求出和的值进而求得双曲线的标准方程【详解】由题意知：双曲线的渐近线方程解析：221412x y -= 【分析】根据题意可以判断点111,(0)bx P x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭在渐近线2:bl y x a =-，点222,(0)bx Q x x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭在渐近线1:bl y x a =，根据渐近线关于坐标轴对称可得3QOF π∠=，3b a=POF是底边长为43的等腰三角形，可得6OFP OPF π∠=∠=，43PF =，在POF 中，由正弦定理可得：4c =，结合222c a b =+，即可求出a 和b 的值，进而求得双曲线C 的标准方程. 【详解】由题意知：双曲线的渐近线方程为：by x a=±， 所以点111,(0)bx P x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭在渐近线2:bl y x a =-，点222,(0)bx Q x x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭在渐近线1:bl y x a =，设1:b l y x a =的倾斜角为α，则2:bl y x a=-的倾斜角为2α， 所以1l 平分∠POF ，且2ααπ+=，解得3πα=，即直线1l 的斜率是：tan 33b a π==23POF π∠=，因为POF 是底边长为3 所以6OFP OPF π∠=∠=，43PF =，在POF 中，由正弦定理可得：2sinsin 63OFPF ππ=，即43132c =，解得：4c =， 由22234ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得223a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ，所以双曲线C 的标准方程为221412x y -=，故答案为：221412x y -=【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是能判断P 和Q 两点在双曲线的渐近线上，求出3QOF π∠=，3b a =，23POF π∠=，判断出43PF =，在POF 中可以求出4OF c ==，即可得出a 和b 的值.4．1【分析】记的中点为根据向量数量积为得到与的位置关系再结合三角形中位线以及直角三角形中的勾股定理求解出的值则面积可求【详解】如图所示：记的中点为因为所以所以因为为的中点所以所以所以所以所以故答案为：解析：1 【分析】记2PF 的中点为M ，根据向量数量积为0得到OM 与2PF 的位置关系，再结合三角形中位线以及直角三角形中的勾股定理求解出12PF PF ⋅的值，则12F PF △面积可求. 【详解】 如图所示：记2PF 的中点为M ，因为22()0OP OF PF +⋅=，所以220OM PF ⋅=，所以2OM PF ⊥，因为,O M 为122,F F PF 的中点，所以1//OM PF ，所以12PF PF ⊥，所以2221212121224PF PF F F PF PF a ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，所以()()22212121222PF PF PF PF PF PF +-+⋅==，所以121212F PF PF PF S==， 故答案为：1. 【点睛】关键点点睛：圆锥曲线中的向量平行或垂直问题，一方面可以转化为线段或直线的位置关系，另一方面还可以通过坐标形式表示出对应的位置关系.5．【分析】根据得到得到根据得结合可解得结果【详解】因为所以（为坐标原点）所以因为所以所以又所以即所以又所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率的取值范围解题关键是找到关于的不等关系本题解析：12e ≤< 【分析】 根据,3BPA π∠=得到6BPO π∠=得到||2OP b =，根据||b OP a <≤得2b a ≤，结合222b a c =-可解得结果. 【详解】因为3BPA π∠=，所以6BPO π∠=（O 为坐标原点），所以||2||2OP OB b ==，因为||b OP a <≤，所以2b a ≤，所以2240a b -≥，又222b a c =-，所以222430a a c -+≥，即2234a c ≤，所以c e a =≥，又01e <<，1e ≤<.故答案为：12e ≤< 【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率的取值范围，解题关键是找到关于,,a b c 的不等关系．本题中根据圆的切线的夹角求出||2||2OP OB b ==，根据||b OP a <≤得到所要求的不等关系.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．6．【分析】根据椭圆的方程求得焦点的坐标得到抛物线的焦点坐标求得的值即可求得抛物线的标准方程【详解】由题意椭圆可得则所以椭圆的右焦点为即抛物线的焦点坐标为设抛物线的标准方程为可得即所以抛物线的标准方程为解析：2y =【分析】根据椭圆的方程求得焦点F 的坐标，得到抛物线的焦点坐标，求得p 的值，即可求得抛物线的标准方程. 【详解】由题意，椭圆2214x y +=，可得224,1a b ==，则c ==所以椭圆的右焦点为F，即抛物线的焦点坐标为F ， 设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，可得2p=，即p =所以抛物线的标准方程为2y =.故答案为：2y =. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及几何性质的应用，以及抛物线的标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，以及抛物线的标准方程的形式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.7．－2【分析】可先设由斜率的定义表示出结合抛物线方程进行坐标代换全部代换成关于纵坐标的表达式通过即可求解【详解】设则同理∵∴得∴又∴故答案为－2【点睛】本题考查抛物线的几何性质设而不求方法的具体应用运解析：－2 【分析】可先设()11,A x y ，()22,B x y ，由斜率的定义表示出AB k ，PA k ，PB k ，结合抛物线方程进行坐标代换，全部代换成关于纵坐标的表达式，通过0PA PB k k +=即可求解 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则212122212112444AB y y y y k y y x x y y --===-+-.1121112241214PA y y k y x y --===-+-，同理242PBk y =+. ∵0PA PB k k +=，∴1244022y y +=++，得124y y +=-. ∴414AB k ==--.又221OPk ==，∴122AB OPk k⋅=-⨯=-.故答案为－2【点睛】本题考查抛物线的几何性质，设而不求方法的具体应用，运算能力，属于中档题8．【解析】试题分析：则考点：1椭圆定义；2双曲线定义；3余弦定理；解析：13【解析】试题分析：，，，则，，考点：1.椭圆定义；2.双曲线定义；3.余弦定理；9．【分析】求出椭圆标准方程设用点差法求出同理有利用直线的斜率之和为1可得结论【详解】由得∴椭圆标准方程为设在椭圆上椭圆方程为则两式相减得∴即同理已知∴故答案为：【点睛】本题考查求椭圆标准方程考查圆锥曲解析：2516-【分析】求出椭圆标准方程，设112233(,),(,),(,)A x yB x yC x y，112233(,),(,),(,)D s tE s t M s t，用点差法求出116125ODkk=-⋅，同理有23,k k，利用直线OD OE OM、、的斜率之和为1可得结论．【详解】3c=，由35ca=得5a=，∴4b=，椭圆标准方程为2212516x y+=，设112233(,),(,),(,)A x yB x yC x y，112233(,),(,),(,)D s tE s t M s t，,A B在椭圆上，椭圆方程为221625400x y+=．则22111625400x y+=，22221625400x y+=，两式相减得，121212121625y y x xx x y y-+=-⋅-+，∴1212111212116162525y y x x skx x y y t-+==-⋅=-⋅-+，即111125251616ODtkk s=-⋅=-，同理212516OE k k =-，312516OM k k =-， 已知1OD OE OM k k k ++=，∴1231112516k k k ++=-． 故答案为：2516-． 【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查圆锥曲线中的点差法，利用点差法可圆锥曲线弦所在直线斜率与弦中点坐标建立关系．10．【分析】由题意联立方程组可得由中点的性质可得化简后利用即可得解【详解】由题意双曲线的两条渐近线为则同理联立为的中点即整理得故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解考查了直线交点的问题和【分析】由题意联立方程组可得A am x ka b -=+、B amx b ka=-、21N km x k =-，由中点的性质可得2A B N x x x +=，化简后利用e =即可得解. 【详解】由题意双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线为b y x a=±，则A y kx mam x b ka b y x a =+⎧-⎪⇒=⎨+=-⎪⎩，同理B am x b ka =-， 联立211N y kx mkm x k y x k =+⎧⎪⇒=⎨-=⎪⎩， N 为AB 的中点，∴2A B N x x x +=，即221am am mkb ka b ka k -+=+--， 整理得221b a =，∴e ==. 【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了直线交点的问题和运算能力，属于中档题.11．相离【分析】由双曲线的离心率可得出然后计算出圆心到双曲线的渐近线的距离并与圆的半径作大小比较由此可得出结论【详解】双曲线的离心率为可得所以双曲线的渐近线方程为圆的圆心坐标为半径为圆心到直线的距离为因解析：相离 【分析】由双曲线的离心率可得出b a =，然后计算出圆心到双曲线的渐近线的距离，并与圆的半径作大小比较，由此可得出结论. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为2222212c a b b e a a a+===+=，可得b a =，所以，双曲线的渐近线方程为0x y ±=，圆()22214x a y a -+=的圆心坐标为(),0a ，半径为2ar =， 圆心到直线0x y ±=的距离为21222a d r a ==>=， 因此，双曲线的渐近线与圆()22214x a y a -+=相离. 故答案为：相离. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，涉及双曲线的离心率以及渐近线方程的应用，求出b 与a 的等量关系是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.12．【分析】由题意画出图形利用椭圆定义及余弦定理求得的值代入三角形面积公式得答案【详解】解：如图由椭圆得则由余弦定理可得：即的面积故答案为：【点睛】本题考查椭圆的简单性质考查椭圆定义的应用是中档题 解析：3 【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义及余弦定理求得12PF PF 的值，代入三角形面积公式得答案． 【详解】 解：如图，由椭圆2214x y +=，得2a =，1b =，则24a =，c ==1224PF PF a ∴+==，由余弦定理可得：2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-︒，()22121243c PF PF PF PF ∴=+-，即1243PF PF =．12F PF ∴的面积12114sin 60223S PF PF =︒=⨯=．． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义的应用，是中档题，13．【分析】过点作直线的垂线垂足为过点作准线的垂线垂足为交轴于点根据抛物线的定义可知所以过点作直线的垂线垂足为当点在与抛物线的交点时最小从而可求出答案【详解】如图焦点为抛物线的准线方程为过点作直线的垂线1 【分析】过点A 作直线l 的垂线，垂足为H ，过点A 作准线的垂线，垂足为C ，交y 轴于点B ，根据抛物线的定义可知，1AF AC m ==+，所以1m n AF AH +=+-，过点F 作直线l 的垂线，垂足为1H ，当点A 在1FH 与抛物线的交点时，AF AH +最小，从而可求出答案. 【详解】如图，焦点为()1,0F -，抛物线的准线方程为1x =， 过点A 作直线l 的垂线，垂足为H ，则AH n =，过点A 作准线的垂线，垂足为C ，交y 轴于点B ，则AB m =，1AC m =+， 根据抛物线的定义可知，1AF AC m ==+， 所以1m n AF AH +=+-，过点F 作直线l 的垂线，垂足为1H ，则1FH ==,当点A 在1FH 与抛物线的交点时，AF AH +最小，为15FH =，此时，m n +取得最小值6515-. 故答案为：651-.【点睛】本题考查抛物线的性质，考查点到直线距离公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.二、解答题14．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）存在，3(,0)2-；（III ）22【分析】（Ⅰ）根据离心率和顶点求出,a c ，再求出b 即可得出方程；（Ⅱ）联立直线与椭圆方程求出点D 坐标，进而得出点P 坐标，再利用1OP EQ k k ⋅=-即可求出定点；（III ）设OM 的方程为y kx =，与椭圆联立，得出M 横坐标，利用D AE AMx x x x AD AE OM x -+-+=表示出，即可求出最值.【详解】解：（Ⅰ）因为椭圆C ：22221x y a b+=0a b >>（）的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -， 所以2a =，又12e =，所以1c =，可得2223b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；(Ⅱ)直线l 的方程为(2)y k x =+，由22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,可得：22(2)(43)860x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以12x =-，2228643k x k -+=+，当 228643k x k -+=+时，2228612(2)4343k ky k k k -+=+=++， 所以2228612(,)4343k kD k k -+++， 因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为22286(,)4343k kk k -++，则3(0)4OP k k k-=≠， 直线l 的方程为(2)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,2)k ， 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥，则1OP EQ k k ⋅=-，即3214n kk m-⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭恒成立， 所以(46)30m k n +-=，所以46030m n +=⎧⎨-=⎩，即320m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以定点Q 的坐标为3(,0)2-.（III ）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，和22143x y +=联立可得M点的横坐标为x =， 由//OM l可得：22D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+===≥，即2k =±时取等号，所以当2k =±时，AD AE OM +的最小值为.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.15．（1）2214x y +=；（2）1.【分析】（1）根据椭圆的焦距为c =()0,2P 关于直线y x =-的对称点在椭圆E 上，得到()2,0-在椭圆E 上，进而得到a 即可.（2）设过点()0,2P 的直线方程为2y mx =+，与椭圆方程联立，求得弦长CD 以及点O 到直线CD 的距离，代入面积公式求解. 【详解】（1）因为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的焦距为2c ∴=c =()0,2P 关于直线y x =-的对称点在椭圆E 上，()2,0∴-在椭圆E 上，2a ∴=， 2221b a c ∴=-=，2214x y ∴+=. （2）设过点()0,2P 的直线方程为2y mx =+，联立方程组可得22214y mx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消y 可得()221416120mxmx +++=，2430m =->△，设(),C C C x y ，(),y D D D x ，21614C D m x x m ∴+=-+，21214C Dx x m =+，214CD m∴==+， ∴点O 到直线CD 的距离d =214214CODS CD d m∴=⋅=⨯+△， 设214m t +=，则4t >，CODS ∴===△ 当8t =时，取得最大值，即为1. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的三角形最值问题的求法：一般由直线与曲线联立求得弦长及相应点的直线的距离，得到含参数的△OMN 的面积的表达式，再应用基本不等式或函数法求最值．16．（1）24y x =；（2）证明见解析. 【分析】（1）由点在抛物线上，焦半径的长|QF |=4，列方程求p ，写出抛物线方程；（2）讨论直线l 斜率的存在性，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，结合向量数量积的坐标表示有0OA OB ⋅=，则OA OB ⊥即得证.【详解】解：（1）由(,Q m 在抛物线C 上可得，212pm =， 由4QF =可得，42pm +=， ∵03p <<， ∴2p =，3m =． 抛物线的方程为24y x =．（2）当直线l 的斜率不存在时，方程为4x =，易求得()4,4A -，()4,4B(4,4)OA =-，(4,4)OB =，16160OA OB ⋅=-=,此时OA OB ⊥成立．当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()4y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由24(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得24160ky y k --=，216640k ∆=+>，124y y k +=，1216y y =-，2121212121()1616016OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+=-=此时OA OB ⊥成立， 综上可得，OA OB ⊥．【点睛】关键点点睛：由抛物线过点，已知焦半径长并结合抛物线定义列方程组求参数，写出抛物线方程；利用向量垂直的坐标表示12120OA OB x x y y ⋅=+=即可证OA OB ⊥.17．（1）22143x y +=；（2）23．【分析】（1）根据2ABF 的周长为8，解得2a =，再由离心率为12求解. ()2设直线3:2AN y x t =-+，与椭圆方程联立，由弦长公式求得AN ，点O 到直线AN 的距离，然后根据直线AM 过坐标原点，由2AMNAONSS=求解.【详解】()1由椭圆的定义知48,2a a ==，12c a =， 1c ∴=，从而2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.()2如图所示：设直线3:2AN y x t =-+， 代入椭圆方程223412x y +=， 化简得：223330x tx t -+-=， 设()()1122,,,A x y N x y ， 由()23120t ∆=->，得212t <，且AN = 而点O 到直线AN的距离d =，且直线AM 过坐标原点，21AMNAONSS∴==+，()2212t t +-=≤=当且仅当2212tt =- ， 即26t =时取等号，AMN ∴面积的最大值为【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y1)，B (x 2，y 2)，弦长公式为；AB ==k 为直线斜率)．18．（1）2212x y +=；（2）0x y +=；（3）过定点(0,3)-，理由见解析.【分析】（1）利用待定系数法求椭圆方程；（2）方法一，由数形结合，直接看出切线方程，求切点，再求切线方程，方法二，设圆上切点11(,)S x y ，写出过该切点的圆的切线方程，同理得到过()22,T x y 的切线方程，切线过点()0,1，利用两点确定一条直线，求切线方程，方法三，点,S T 也在以AM 为直径的圆上，利用两圆相减就是直线ST 的方程；（3）方法一，设切线方程为1y kx =+，与椭圆方程联立，求点,B D 的坐标，并表示直线BD 的斜率，并求直线BD 的方程，表示定点；方法二，可设BD 的直线方程为y mx t =+，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并表示121k k =，得到t 的值. 【详解】（1）由已知可得，222211122b b b a a=⎧⎧=⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩，所求椭圆的方程为2212x y += （2）法一，数形结合易知，切线AS 的方程为1,y =切线AT 的方程为0x =，故切点(1,1),(0,0)S T -，所以切点ST 连线的方程为,y x =-即0x y +=法二设圆上切点11(,)S x y ，过该切点的圆的切线方程为11(1)(1)1x x y y +⋅++⋅=，又因为过点(0,1)A 所以有11(1)(01)10x y +⋅++⋅=，即111x y +=同理设另一个切点22(),T x y ，由同构可知220x y +=，经过不同两点有且只有一条直线，所以ST 的直线方程为0x y +=法三 ,S T 在AM 为直径的圆：22111()()222x y ++-=上，由两圆相减得ST 的方程为0x y +=（3）法一设切线方程为1y kx =+r =，即222(1)210r k k r --+-=，由0∆>得(01)r r <<≠设两切线,AB AD 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根， 所以 121k k ⋅=； 联立 22122y kx x y =+⎧⎨+=⎩ 可得2212k )40x kx ++=（，设1122(:),(:)B x y D x y 则由韦达定理得124,12k x k -=+2121212k y k -=+； 由121k k ⋅=得224,2k x k -=+ 22222k y k -=+， 直线BD 的斜率221211y y k x x k-+=-- ∴直线BD 的方程为22222114()2112k k ky x k k k-++=-+++ 整理得213k y x k+=--，故直线BD 过定点(0,3).-法二设切线方程为1y kx =+r =，即222(1)210r k k y --+-=，设两切线,AB AD 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根， 所以121k k ⋅=；可设BD 的直线方程为y mx t =+2222y mx t x y =+⎧⎨+=⎩ 可得22212m )4220x tmx t +++-=（，设1122(:),(:)B x y D x y ，由韦达定理得122412tm x x m ∴+=-+，21222t 212m x x -=+， 121212111y y k k x x --=⨯= 代入1212111mx t mx t x x +-+-⨯= 2212121)(1)()(1)0m x x m t x x t -+-++-=（将韦达定理代入得2222221)41)(1)(1)01212t tm m m t t m m---+-+-=++（（ 化简得 3t =-或1t =(舍去)故直线BD 的直线方程为3y mx =-，直线BD 经过定点(0,3)-. 【点睛】关键点点睛：本题第三问求直线过定点问题，关键一点时利用切线方程1y kx =+与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求出121k k =，围绕着这个条件，利用坐标表示，得到直线所过的定点.19．（1）2212x y +=；（2【分析】（1）运用椭圆的离心率和a ，b ，c 的关系，设出直线l 的方程，由直线和圆相切的条件，解方程可得c ，即可得到椭圆方程； （2）在12PF F 中，运用余弦定理和椭圆的定义，解方程可得1||PF ，运用三角形的面积公式，计算可得所求值．【详解】 解：（1）2c a =，可得a =，所以2222b a c c =-=， 所以椭圆C 的方程可化为222212x y c c+=.过椭圆的右焦点且斜率为1的直线方程为y x c =-， 此直线与圆()()222221x y -+-=相切，2=，解得1c =， 所求椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）在12PF F △中，设1||PF m =，2||PF n =，m n +=，12||2F F ，由余弦定理得，22422cos120n m m =+-⨯︒，2242n m m =++， 因为22n m =-代入上式解得221m =+，所以12PF F △面积12113263sin12022227221S m F F -=︒=⨯⨯⨯=+ 故12PF F △的面积为263-. 【点睛】方法点睛：对于椭圆和双曲线的问题，看到焦半径要马上联想到椭圆双曲线的定义，利用其定义解题，必要时需借助正弦余弦定理求解.20．12t ≤≤【分析】根据椭圆的焦点在y 轴上，算出命题p 对应的m 的范围，根据双曲线定义分类讨论算出命题q 对应的m 的范围，再由p 是q 的充分不必要条件，利用集合的思想求出t 的取值范围. 【详解】由2m >，p ：方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，可得24m <<，设{}|24A m m =<<q ：方程2214x y m t m t+=--表示双曲线，可得()()40m t m t --<若0t =，方程为22x y m +=表示圆，不符合； 若0t <，可得4t m t <<，与2m >矛盾，不符合； 若0t >，可得4t m t <<，设{}|4B t t m t =<<又p 是q 的充分不必要条件，可得A 是B 的真子集，利用数轴表示集合可得244t t ≤⎧⎨≥⎩，即12t ≤≤ 所以实数t 的取值范围是：12t ≤≤ 【点睛】关键点睛：本题考查椭圆与双曲线的标准方程，利用充分不必要条件求参数，解题的关键是先利用椭圆与双曲线的标准方程求出参数m 的范围，再利用充分必要性结合集合关系求出t 的取值范围，属于一般题.21．（1）22182x y +=；（2）12k =【分析】（1）利用椭圆的定义122a AF AF =+，求a ，再利用222b a c =-求解；（2）直线与曲线方程联立，利用根与系数的关系，表示0AP AQ k k +=，化简变形求解k 的值. 【详解】（1）由条件可知2c c ==x轴，所以()1F，)2F ，则122a AF AF =+====28a ∴=，2222b a c =-=，所以椭圆C 的方程22182x y +=；（2）设()11,P x y ，()22,Q x y联立方程22182y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，()222148480k x kmx m +++-=，()()222264414480k m k m ∆=-+-> 即2228m k <+，122814km x x k +=-+，21224814m x x k -=+，121211022AP AQ y y k k x x --+=+=--， 即()()()()()()2112122121022x y x y x x --+--=-- ()()()()211221210x kx m x kx m -+-+-+-=， ()()()1212221410kx x k m x x m --++--=即()()()2222488214101414k m km k m m k k--++--=++， 整理得()()21210k m k -+-=，所以12k =或12m k =-，若12m k =-，则直线l 过点()2,1A ，不合题意， 所以直线PQ 的斜率为定值，该定值是12. 【点睛】关键点点睛：解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出1212,x x x x +，得121211022AP AQ y y k k x x --+=+=--，得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．22．51-【分析】根据抛物线标准方程有焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-，根据抛物线定义||||||||1PA PM PA PF +=+-，结合三角形三边的性质即可求||||PA PM +最小值.【详解】抛物线标准形式为24x y =，则焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-，延长PM 交准线于N ，连PF ，由抛物线定义知：||||||||1||||1PA PM PA PN PA PF +=+-=+-，而在△PFA 中，||||||PA PF AF +>，∴仅当F 、P 、A 共线时，||||||5PA PF AF +==为最小值， ∴此时||||51PA PM +=为最小值. 【点睛】关键点点睛：由抛物线的定义将问题转化为求||||||||1PA PM PA PF +=+-最小值，由三角形三边的性质知：三点共线时||||PA PF +有最小值.23．（1）832）()23,4或()23,4-或()23,4-或()23,4--. 【分析】（1）利用双曲线定义以及余弦定理，可求解出12PF PF ⋅的值，然后根据三角形的面积公式求解出12F PF △的面积；（2）根据121212F PF P SF F y =⋅⋅，结合（1）的结果，可求解出P 点的纵坐标，然后将纵坐标代入双曲线方程，则横坐标可求，则P 点坐标可求. 【详解】（1）由双曲线方程可知：2,23a c ==因为1224PF PF a -==，且222121212121cos 22PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅， 所以()2121212248PF PF PF PF PF PF -+⋅-=⋅，所以12481632PF PF ⋅=-=，所以121211sin 603222F PF SPF PF =⋅⋅︒=⨯= （2）因为121212F PF P SF F y =⋅⋅=42p y c ===， 所以22148p p x y -=，所以21641128p x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以p x =± 所以P点坐标为：()或()4-或()-或()4--. 【点睛】结论点睛：椭圆或双曲线的焦点三角形的顶点为P ，焦点为12,F F ，且12F PF θ∠=，则有：（1）椭圆的焦点三角形的面积为：2tan2b θ（b 为短轴长度一半）；（2）双曲线的焦点三角形的面积为：2tan2b θ（b 为虚轴长度一半）. 24．（1）22143x y +=；（2）最大值为3.【分析】（1）根据离心率为12以及过定点P ⎭，列方程即可得解； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，根据题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+和22143x y +=联立可得()2234690m y my ++-=，结合韦达定理带入面积公式，即可得解. 【详解】（1）依题意有22222123314c a a b c a b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，根据题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2234690m y my ++-= ()()22636340m m ∆=++>，m ∈R ，由韦达定理得122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， ∴112212112F ABS F F y y y y =-=-==△， 令t =，则1t ≥，∴121241313F AB t S t t t==++△.令()13f t t t=+，则当1t ≥时，()f t 单调递增， ∴()()413f t f ≥=，13F AB S ≤△，即当1t =，0m =时，1F ABS 的最大值为3.【点睛】本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了椭圆中面积的最值问题，考查了韦达定理的应用，有一定的计算量，属于中档题. 本题的关键有：（1）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量之间关系的桥梁，是解决直线和圆锥曲线问题的最重要的方法；（2）计算能力和计算技巧，计算能力和计算技巧是解决解析几何问题的基础. 25．（1）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）[]2,3 【分析】（1）首先求命题p 为真命题时，求t 的取值范围，再根据题意转化为()10,1,2a a ⎛⎫⊆- ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围；（2）求命题q 为真命题时t 的取值范围，再转化为真命题时求a 的取值范围.【详解】（1）()()()2221010t a t a a t a t a --+-<⇔---<⎡⎤⎣⎦，解得：1a t a -<< ，即不等式的解集是()1,a a -，。

上海市高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(包含答案解析)

上海市高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（ ）A ．BC ．13-D ．132．已知曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(][),10,1-∞-B ．(]1,1-C ．[)1,1-D ．[]()1,01,-+∞3．已知离心率为2的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，设A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且124d d +=，则双曲线的方程为（ ）A ．223144x y -=B ．224134x y -=C ．221124x y -=D ．221412x y -=4．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为A BC D 5．已知点F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点，点P 是椭圆C 上的任意一点且点P 不在x 轴上，点M 是线段PF 的中点，点O 为坐标原点.连接OM 并延长交圆222x y a +=于点N ，则PFN 的形状是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由点P 位置决定6．圆22: ()4M x m y -+=与双曲线2222:1(0,0 ) y x C a b a b-=>>的两条渐近线相切于AB 、两点，若||1AB =，则C 的离心率为（ ）A ．4B ．15C ．14D ．47．已知双曲线2222:1(0,0),,x y C a b A B a b-=>>是双曲线C 上关于原点对称的两点，P是双曲线C 上异于,A B 的一点，若直线PA 与直线PB 的斜率都存在且两直线的斜率之积为定值2，则双曲线的离心率是（ ）A B C ．2D8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，AOB 的面积为3，则p =（ ） A ．1B ．32C ．2D ．39．如图，已知点()00,P x y 是双曲线221:143x y C -=上的点，过点P 作椭圆222:143x y C +=的两条切线，切点为A 、B ，直线AB 交1C 的两渐近线于点E 、F ，O是坐标原点，则OE OF ⋅的值为（ ）A ．34B ．1C ．43D ．91610．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，满足6AB =，则线段AB 的中点的横坐标为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．611．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =.则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C 2D 312．已知双曲线C 的两个焦点12,F F 都在x 3M 在C 上，且12MF MF ⊥，M 3C 的方程为（ ）A ．22148x y -=B ．22148y x -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=二、填空题13．已知A 、B 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右顶点，M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，始终满足()()12fk f k =，其中()ln 2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则C 的离心率为______ ．14．设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 作直线交抛物线C 于A B 、两点，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为__________．15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与圆222x y b +=在第二、四象限分别相交于两点A 、C ，点F 是该双曲线的右焦点，且2AF CF =，则该双曲线的离心率为______.16．已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为1F ，过点F 和1F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直，当a 取最大值时，双曲线C 的方程为________.17．双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交曲线C 右支于P 、Q 两点，且1PQ PF ⊥，若3PQ ＝14PF ，则C 的离心率等于________．18．双曲线221916x y -=的左焦点到渐近线的距离为________．19．一个动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.20．设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，过2F 的直线交椭圆于两点P ，Q ，若160F PQ ∠=︒，1PF PQ =，则椭圆的离心率为______.三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为B ，右焦点为F ，原点O 到直线BF 的距离为1||2OF . （1）求椭圆C 的离心率；（2）设直线l 与圆222x y b +=相切，且与C 交于M ，N 两点，若||MN 的最大值为2，求椭圆C 的方程.22．已知椭圆2222:1(0)x y D a b a b +=>>的离心率为2e =，点1)-在椭圆D 上.（1）求椭圆D 的标准方程；（2）设点(2,0)M -，(2,0)N ，过点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点(A 点在x 轴上方)，设直线MA ，NB (O 为坐标原点)的斜率分别为k 1，k 2，求证：12k k 为定值. 23．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，()1,M t 是抛物线上一点，且32MF. （1）求抛物线C 的方程；（2）已知斜率存在的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若直线AF ，BF 的倾斜角互补，则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由. 24．已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为()0,1，离心率255e =，过椭圆的右焦点F 的直线l 与坐标轴不垂直，且交椭圆于A ，B 两点 （1）求椭圆的标准方程 （2）当直线l 的斜率为12时，求弦长AB 的值. 25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点相同，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，M 为C 上任意一点，12MF F S的最大值为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）不过点F 2的直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点. ①若k 2=12,且S △AOB 2m 的值； ②若x 轴上任意一点到直线AF 2与BF 2距离相等，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.26．已知：椭圆221164x y +=，求：（1）以()2,1P -为中点的弦所在直线的方程； （2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除1．C 解析：C 【详解】因为圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2， 所以，该曲线是双曲线，2222111y x my x m+=⇒-=-,123m =⇒=-， 故选C.2．C解析：C 【分析】利用绝对值的几何意义，由3y x =+，可得0y ≥时，3yx ，0y <时，3y x =--，则可得曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=必交于点(0,3)，再无其它交点，把3y x代入方程229ax y +=，得2(1)6990a y ay a +-+-=，分类讨论，可得结论 【详解】解：由3y x =+，可得0y ≥时，3yx，0y <时，3y x =--，所以曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=必交于点(0,3)，为了使曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则将3y x代入方程229ax y +=，得2(1)6990a y ay a +-+-=，当1a =-时，3y =满足题意，因为曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点， 所以>0∆，且3是方程的根， 所以9(1)01a a-<+，即11a -<<时，方程两根异号，满足题意， 综上，a 的取值范围为[)1,1-， 故选：C 【点睛】此题考查曲线的交点问题，考查分析问题的能力，考查分类思想，属于中档题3．A【分析】先将A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离之和转化成焦点到渐近线的距离，得到b 值，再根据离心率，即求出a ，得到双曲线方程. 【详解】设右焦点0F c （，），依题意F 是AB 的中点，渐近线为0bx ay ±=，F bcb c== ， 因为A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，F 是AB 的中点，所以122d d b +=，所以24b =，故2b =，得224c a -= ，又因为离心率2c e a ==，得243a =， 故双曲线的方程为223144x y -=.故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的方程，属于中档题.4．D解析：D 【解析】由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-b ax, ∴-2=-b a×4, ∴a=2b.设b=k,则∴e=c a =2k . 5．B解析：B 【分析】根据定义可得12PF PF a +=，进而得出OM PM a +=，根据MN ON OM =-求出MN PM MF ==，得出90PNF ∠=，即可判断. 【详解】设F 是右焦点，左焦点为1F ，12PF PF a ∴+=，在1PFF 中，,O M 分别是1,FF PF 中点，12,2PF OM PF PM ∴==，1222PF PF OM PM a ∴+=+=，即OM PM a +=，()MN ON OM a a PM PM ∴=-=--=，MN PM MF ∴==，∴N 在以线段PF 为直径的圆上，90PNF ∴∠=,故PFN 的形状是直角三角形. 故选：B.【点睛】本题考查椭圆定义的应用，解题的关键是应用椭圆的定义得出MN PM MF ==，从而判断90PNF ∠=.6．B解析：B 【分析】由曲线的对称性，以及数形结合分析得15b a =. 【详解】如图所示，1AB =，2MA MB ==，根据对称性可知,A B 关于x 轴对称，所以112sin 24AMO ∠==，因为OA AM ⊥，所以1cos 4AOM ∠=，渐近线OA 的斜率tan 15ak AOM b =∠==，所以15b a =所以22411515c b e a a ==+=， 故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线离心率，求双曲线离心率是常考题型，涉及的方法包含： 1.根据,,a b c 直接求.2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解.3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.7．B解析：B 【分析】设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，PA PB k k 求得，利用点,P A 在双曲线上，及已知定值2可求得22b a，从而可得离心率c e a =．【详解】根据题意，设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，则222222221,1m n k ta b a b-=-=，,PA PB t n t nk k k m k m-+==-+， 所以2222PA PB t n t n t nk k k m k m k m-+-⋅=⋅==-+-22222222222(1)(1)t n b t n aa ab b-==+-+，所以双曲线的离心率2213c b e a a==+= 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,,a b c 的等式．解题方法是设出,,P A B 坐标，代入双曲线方程，然后把等式2PA PB k k =用坐标表示出来后，可者所要的关系式，从而求得离心率．8．C解析：C 【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线22(0)y px p =>的准线方程，进而求出A ，B 两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB p 的值． 【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线方程是b y x a=±，又抛物线22(0)y px p =>的准线方程是2px =-， 故A ，B 两点的纵坐标分别是2pb y a=±，又由双曲线的离心率为2，所以2c a =2=，则b a =A ，B 两点的纵坐标分别是=y又AOB=，得2p =， 故选：C ． 【点睛】本题解题的关键是求出双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，解出A ，B 两点的坐标，考查离心率公式和三角形的面积公式．9．B解析：B 【分析】设点()00,P x y ，求出直线AB 的方程为003412x x y y +=，联立直线AB 与双曲线两渐近线方程，求出点E 、F 的坐标，由此可计算得出OE OF ⋅的值. 【详解】先证明结论：椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.由于点()00,M x y 在椭圆2C 上，则22003412x y +=，联立002234123412x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 得()()22220000342448160x y x x x y +-+-=， 即22001224120x x x x -+=，即()200x x -=， 所以，直线003412x x y y +=与椭圆2C 相切.所以，椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.本题中，设点()00,P x y ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线PA 的方程为113412x x y y +=，直线PB 的方程为223412x x y y +=，由于点()00,P x y 在直线PA 、PB 上，可得1010202034123412x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，所以点()11,A x y 、()22,B x y 满足方程003412x x y y +=， 所以，直线AB 的方程为003412x x y y +=.联立0034122x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得点E ⎫，同理F ⎫.因此，()()()()2222220000048361213422OE OF x y y y ⋅=-==---. 故选：B. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，在应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.10．A解析：A 【分析】根据抛物线的定义和抛物线的方程可以直接求出点的坐标. 【详解】由抛物线方程可知(1,0)F ，假设,A B 横坐标分别为12,x x ，由抛物线的准线的性质可知1212||264AB x x x x =++=⇒+=，AB 中点的横坐标为121()22x x +=.故选;A 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了数学运算能力.属于基础题.11．D解析：D 【分析】本题首先可以通过题意画出图象并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果. 【详解】根据题意可画出以上图象，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ， 因为123MF MF =，M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，122MF MF a -=，即2232MF MF a -=，2MF a =， 因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =， 因为OM b =，2MF a =，2OF c =，222+=a b c ， 所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，因为2MHOF ，所以22OF MH OM MF ⨯=⨯，abMH c=，即M 点纵坐标为ab c， 将M 点纵坐标带入圆的方程中可得22222a b x b c +=，解得2b x c =，2,b ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将M 点坐标带入双曲线中可得422221b a a c c-=，化简得4422b aa c ，222422ca a a c ，223c a =，3==ce a， 故选：D . 【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了圆与双曲线的相关性质及其综合应用，体现了了数形结合思想，提高了学生的逻辑思维能力，是难题.12．C解析：C【解析】12,MF MF ⊥∴由直角三角形的性质可得1MO FO c ==，又3,c a =21,312a b ∴==-=，C ∴的方程为2212y x -=，故选C. 二、填空题13．【分析】设出的坐标利用直线的斜率的乘积结合已知条件推出斜率乘积转化求解双曲线的离心率即可【详解】设由M 是双曲线上异于AB 的动点若直线MAMB 的斜率分别为则又则由得因为所以可得显然不成立；则所以所以故【分析】设出,,M A B 的坐标，利用直线的斜率的乘积，结合已知条件，推出斜率乘积，转化求解双曲线的离心率即可. 【详解】设()()(),,,0,,0M m n A a B a -，由M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，则21222n n n k k m a m a m a ⋅=⋅=+--， 又22221m n a b -=，则2212222n b k k m a a ==⋅-， 由()ln 2x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭， 得()()1212ln ,ln 22k k f k f k ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()12fk f k =，所以21ln ln 22k k ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2122k k=显然不成立； 则2211ln ln ln 02222k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以21211224k k k k ⋅⇒==，所以c e a ===【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的值的常用方法：由,a b 或,a c 的值，得e === 列出含有,,a b c 的齐次方程，借助222b c a =-消去b ，然后转化为关于e 的方程求解；14．【解析】抛物线焦点为当直线的斜率不存在时即和轴垂直时面积最小将代入解得故故答案为点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质直线与抛物线的位置关系该题最大的难点在于确定当直线在何位置时三角形的面积最大属于中解析：98【解析】 抛物线焦点为3,04⎛⎫⎪⎝⎭，当直线的斜率不存在时，即和x 轴垂直时，面积最小， 将34x =代入23y x =，解得32y =±，故133922428OABS =⨯⨯⨯=，故答案为98. 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，该题最大的难点在于确定当直线在何位置时，三角形的面积最大，属于中档题；将AOB ∆面积分为用x 轴将其分开，即可得1212OABOFB OFA SSS OF y y =+=-，故可得当直线的斜率不存在时， 即和x 轴垂直时，12y y -的值最大，即面积最大.15．【分析】画出图形结合双曲线的性质判断四边形的形状结合双曲线的定义求出三角形的边长通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可【详解】解：双曲线的右焦点为左焦点为根据对称性可知是平行四边形所以又点在双曲线上【分析】画出图形，结合双曲线的性质判断四边形的形状，结合双曲线的定义求出三角形的边长，通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可． 【详解】解：双曲线的右焦点为F ，左焦点为E ，根据对称性可知AFCE 是平行四边形，所以 ||2||2||AF CF AE ==，又点A 在双曲线上，所以||||2AF AE a -=，因为||2||AF CF =，所以||||2||||2AF AE CF CF a -=-=，所以||2CF a =，在三角形OFC 中，||2FC a =，||OC b =，||OF c =，||4AF a =，可得222162cos a b c bc AOF =+-∠， 22242cos a b c bc COF =+-∠，可得22222202242a b c c a =+=-， 即：22112a c =，所以双曲线的离心率为：222e =． 故答案为：222．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于中档题．16．【分析】设点的坐标为则利用导数的几何意义结合已知条件求得点的坐标可求得直线的方程并求得点的坐标可得出利用三角换元思想求得的最大值及其对应的的值由此可求得双曲线的标准方程【详解】设点的坐标为则对于二次解析：2213944x y -= 【分析】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，利用导数的几何意义结合已知条件求得点M 的坐标，可求得直线l 的方程，并求得点1F 的坐标，可得出223a b +=，利用三角换元思想求得3a b 的最大值及其对应的a 、b 的值，由此可求得双曲线的标准方程. 【详解】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，对于二次函数24x y =，求导得2x y '=，由于抛物线24x y =在点M 处的切线与直线3y x =-垂直，则(0312x ⨯=-， 解得023x =，则200143x y ==，所以，点M 的坐标为3133⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，直线MF的斜率为11MFk -==所以，直线l的方程为13y x =-+，该直线交x轴于点)1F ，223a b ∴+=，可设a θ=，b θ=，其中02θπ≤<，3sin 6a πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，02θπ≤<，13666πππθ∴≤+<， 当62ππθ+=时，即当3πθ=时，a取得最大值此时，32a π==，332b π==，因此，双曲线的标准方程为2213944x y -=. 故答案为：2213944x y -=. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了利用导数求解二次函数的切线方程，以及利用三角换元思想求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】设则再利用双曲线的定义可得分别在中利用勾股定理即可获解【详解】如图设由＝可得由双曲线定义有所以又所以因为所以即①②由②解得代入①得即所以故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法解题关键【分析】设||4(0)PQ t t =>，则13PF t =，再利用双曲线的定义可得232PF t a =-，1||4QF t a =+，分别在12PF F △，1PFQ 中利用勾股定理即可获解. 【详解】如图，设||4(0)PQ t t =>，由3PQ ＝14PF 可得13PF t =， 由双曲线定义，有12||||2PF PF a -=，所以232PF t a =-，21||||2QF PQ PF t a =-=+，又12||||2QF QF a -=，所以1||4QF t a =+，因为1PQ PF ⊥，所以22212||||4PF PF c +=，22211||||||PF PQ QF +=， 即222(3)(32)4t t a c +-=①，222(3)(4)(4)t t t a +=+②，由②解得t a =，代入①，得222(3)(32)4a a a c +-=，即22104a c =， 所以101042c e a ===. 故答案为：102【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，解题关键是建立关于,,a b c 的方程，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.18．4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程求出其左焦点坐标和渐近线方程之后利用点到直线的距离公式求得结果【详解】根据题意双曲线的方程为其中所以所以其左焦点的坐标为渐近线方程为即则左焦点到其渐近线的距离为解析：4 【分析】首先根据题中所给的双曲线方程，求出其左焦点坐标和渐近线方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】根据题意，双曲线的方程为221916x y -=，其中3,4a b ==，所以5c =，所以其左焦点的坐标为(5,0)-， 渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=，则左焦点到其渐近线的距离为2045d ===， 故答案为：4. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程求其焦点坐标以及渐近线方程，点到直线的距离公式，属于简单题目.19．【分析】设动圆的圆心为半径为R 根据动圆与圆外切与圆内切得到两式相加得到再根据椭圆的定义求解【详解】设动圆的圆心为半径为R 因为动圆与圆外切与圆内切所以所以所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆所以所以动圆解析：2212516x y +=【分析】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，根据动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，得到121,9QQ R QQ R =+=-，两式相加得到1212106QQ QQ QQ +=>=，再根据椭圆的定义求解.【详解】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，因为动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切， 所以121,9QQ R QQ R =+=-， 所以1212106QQ QQ QQ +=>=， 所以动圆圆心的轨迹为以12,Q Q 为焦点的椭圆， 所以2210,5,3,16a a c b ====，所以动圆圆心的轨迹方程为2212516x y +=， 故答案为：2212516x y += 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．【分析】由几何关系得出为正三角形结合椭圆的定义得出轴利用椭圆方程得出结合直角三角形的边角关系得出再解方程即可得出答案【详解】为正三角形则由椭圆的定义可知则即轴设点由解得即在中即解得故答案为：【点睛】【分析】由几何关系得出1PFQ 为正三角形，结合椭圆的定义，得出PQ x ⊥轴，利用椭圆方程得出22b PF a=，结合直角三角形的边角关系得出22332a c ac -=，再解方程23230e e +-=，即可得出答案.【详解】1160,||F PQ PF PQ ︒∠==1PFQ 为正三角形，则11||PFPQ FQ == 由椭圆的定义可知，2112||2,2PF PF a QF QF a +=+= 则1212PF PF PF QF +=+，即22PF QF =PQ x ∴⊥轴设点()00,,0P c y y >，由220222221y c a ba b c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得20b y a =，即22b PF a = 在12F PF ∆中，222211tan 23F F F PF c PF ab∠==⋅= 即232b ac =，22332a c ac -=23230e e ∴+-=，解得33e =故答案为：33【点睛】本题主要考查了求椭圆的离心率，考查数形结合思想及运算能力，属于中档题.三、解答题21．(1) 32; (2) 2214x y +=【分析】（1）根据条件在OBF 中，由等面积法可得点O 到直线BF 的距离，从而建立方程求出,a b 关系，得出离心率.(2) 设:l x my n =+，与椭圆方程联立写出韦达定理，由弦长公式得到弦长，求出其最值，根据条件得到答案. 【详解】（1）由条件可得()0,B b ，(),0F c ，设点O 到直线BF 的距离为d 在OBF中，有BF a ==，则d BF ON OF ⨯=⨯,即bc d a= 所以12bc d c a ==，所以12b a =所以2e ====(2)由直线l 与圆222x y b +=相切，且与C 交于M ，N 两点,所以直线l 的斜率不为0. 设:l x my n =+，所以b =，所以()2221n b m =+由（1）可得224a b =，则椭圆方程化为：22244x y b +=设()()1122,,,M x y N x y ，由22244x my nx y b =+⎧⎨+=⎩，得()22224240m y mny n b +++-=所以2212122224,44mn n b y y y y m m --+==++ 所以AB ===1t =≥，则221m t =-所以2AB b t t=≤+，当且仅当t=m =时取得等号. 由||MN 的最大值为2，则22b =，所以1b =所以当||MN 的最大值为2时，椭圆方程为：2214xy +=【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的离心率和根据弦长的最值求椭圆方程，解答本题的关键是先由弦长公式得出弦长AB =1t =≥，利用换元利用均值不等式求出其最值，属于中档题.22．（1）22142x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知得到关于,a b 的方程组，解方程组即得解；（2）设直线l的方程为x my =理化简12k k 即得解. 【详解】（1）椭圆D的离心率e ==a ∴=，又点1)-在椭圆D 上，22211a b∴+=，得2a =，b = ∴椭圆D 的标准方程22142x y +=.（2）由题意得，直线l的方程为x my =由22142x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元可得()22220m y ++-=， 设())()1122,,,A x y B x y ，则1222y y m+=-+，12222y y m =-+， ()()1212121212222()4(2(4x x x x x x my my my my ++=+++=++++221212(2()2)m y y m y y =+++2222(222)m m m ⎛⎛⎫=-++= ⎪ +⎝⎭⎝⎭()()()2112122121222212121212222223222422x k y x y y x y y y y k x y x y x x x x ----∴=⋅=⋅=⋅==-+++-++定值). 【点睛】方法点睛：定值问题在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明；（2）直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数.23．（1）22y x =；（2）过定点，定点为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】(1)根据抛物线的定义可知3122p MF =+=,求出p 后可得抛物线方程.(2) 设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由条件可得0AF BF k k +=，化简即得()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理代入可得2k m =，从而得出答案. 【详解】（1）根据抛物线的定义，31122p MF p =+=⇒=， 抛物线的方程为22y x =，（2）设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 与抛物线的方程联立得()22222202y kx mk x km x m y x=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 12222km x x k -+=，2122m x x k =,则122y y k +=，122m y y k =， 又0AF BF k k +=，即121201122y y x x --+=--， ()122112102x y x y y y +-+=，()()1212121202kx x m x x y y ++-+=， 即22222120m km k m k k k-⋅+⋅-=，整理得：2k m =，所以直线的方程为()21y m x =+，即直线经过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：本题考查求抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，解答本题的关键是由0AF BF k k +=，得到()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，然后由方程联立韦达定理代入，属于中档题.24．（1）2215x y +=（2）9【分析】（1）根据顶点坐标得到1b =，根据离心率5c e a ==，结合222a b c =+得到25a =，则可得椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆，利用弦长公式可求得结果.【详解】（1）依题意设椭圆的标准方程为22221x y a b+=(0)a b >>，则1b =，c a =，所以22221a b c ⎫=+=+⎪⎪⎝⎭，解得25a =， 所以椭圆的标准方程为2215x y +=.（2）由（1）知(2,0)F ，则直线:l 1(2)2y x =-， 联立221(2)215y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得22009x x -=，设1122(,),(,)A x y B x y ， 则12209x x +=，120x x =，所以||AB ==209==. 【点睛】结论点睛：斜率为k 的直线l 与圆锥曲线交于11(,)A x y 、22(,)B x y两点，则弦长||AB =25．（1）2212x y +=；（2）①1m =±；②直线l 恒过定点(2,0).【分析】（1）根据题意，可求得1c =，1b =，进而求得a ，由此得到椭圆方程；（2）①联立方程，得到k 与m 的不等关系，及两根的关系，表示出弦长AB 及点O 到直线AB 的距离，由此建立等式解出即可；②依题意，120k k +=，由此可得到k 与m 的等量关系，进而求得定点． 【详解】（1）由抛物线的方程24y x =得其焦点为(1,0)，则1c =， 当点M为椭圆的短轴端点时，12MF F 面积最大，此时1212S c b =⨯⨯=，则1b =，∴a =2212x y +=；（2）联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，222(12)4220k x kmx m +++-=，∆222222164(21)(22)8(21)0k m k m k m =-+-=-+>，得2212(*)k m +>，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2121222422,1212km m x x x x k k-+=-=++， ①0m ≠且212k =，代入(*)得，202m <<，12|||AB x x -，设点O 到直线AB 的距离为d，则d ==∴12||||)23AOBm SAB d ==， 21(0,2)m ∴=∈，则1m =±；②1122121122,1111y kx m y kx mk k x x x x ++====----，由题意，120k k +=， ∴1212011kx m kx m x x +++=--，即12122()()20kx x m k x x m +-+-=， ∴2222242()()201212m km k m k m k k -+---=++，解得2m k =-，∴直线l 的方程为(2)y k x =-，故直线l 恒过定点，该定点坐标为(2,0)．【点睛】方法点睛：证明曲线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数R λ∈，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式2123(,)(,)(,)0f x y f x y f x y λλ++=，（一般地，(,)(1,2,3)i f x y i =为关于,x y 的二元一次关系式）由上述原理可得方程组123(,)0{(,)0(,)0f x y f xy f x y ===，从而求得该定点.26．（1）240x y --=；（2）18y x x ⎛=-<< ⎝⎭. 【分析】（1）设弦的端点()11,A x y ，()22,B x y ，可得：22111164x y +=，22221164x y +=，相减化简再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出；（2）设直线方程为：2y x m =+，弦的端点坐标及中点(),M x y ，与椭圆方程联立化为：2217164160x mx m ++-=，由0>，化为：268m <，再利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出.【详解】（1）设弦的端点()11,A x y ，()22,B x y ，可得：22111164x y +=， 22221164x y +=，相减可得：12121212()()()()0164x x x x y y y y +-+-+=，把1222x x +=，1212y y +=-， 1212y y k x x -=-代入可得： 12k =．∴以()2,1P -为中点的弦所在直线的方程为：()1122y x +=-，化为： 240x y --=． （2）设直线方程为：2y x m =+，弦的端点()11,A x y ， ()22,B x y ，中点(),M x y ．联立2221164y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为 2217164160x mx m ++-=，()22256684160m m =-->，化为： 268m <，∴1216227m x x x +=-=，化为： 882171717m m m x y m ⎛⎫=-=⨯-+= ⎪⎝⎭，．得x <<，∴18y x x ⎛=-<< ⎝⎭【点睛】 关键点点睛：（1）涉及直线与圆锥曲线相交中点弦问题时，利用点差法； （2）由直线与椭圆的位置关系得出m 的范围.。

(易错题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(包含答案解析)(1)

(易错题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(包含答案解析)(1)

一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ） A ．13B ．32C ．12D ．12．如图，过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且6AF =，则此抛物线方程为（ ）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x =D ．23y x =3．已知曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(][),10,1-∞-B ．(]1,1-C ．[)1,1-D ．[]()1,01,-+∞4．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB =，则双曲线的离心率为（ ） A 23B 3C 2D ．25．设O 为坐标原点，直线y b =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,A B 两点，若OAB 的面积为2，则双曲线C 的焦距的最小值是（ ）A ．16B ．8C ．4D ．26．设1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是的一个公共点，且12PF PF <，线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e ，2e ，则1211e e +的值为（ ） A ．2B ．3C ．32D ．527．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，左、右焦点分别为1F 、2F ，A 在C 的左支上，1AF x ⊥轴，A 、B 关于原点对称，四边形12AF BF 的面积为48，则12F F =（ ）A ．8B ．4C ．83D ．438．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM 的周长为（ ） A ．910+B ．926+C ．712612+ D ．832612+ 9．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点H ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，如图所示，则①以线段AB 为直径的圆与准线l 相切； ②以11A B 为直径的圆经过焦点F ；③A ，O ，1B （其中点O 为坐标原点）三点共线；④若已知点A 的横坐标为0x ，且已知点()0,0T x -，则直线TA 与该抛物线相切； 则以上说法中正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，满足6AB =，则线段AB 的中点的横坐标为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．611．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，过原点的直线与双曲线分别相交于A ，B 两点.已知20AB =，16AF =，且3cos 5ABF ∠=，则双曲线的离心率为（ ） A ．5B ．3C ．2D12．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，过点()4,0的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB 中点坐标为()2,1-，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12B．2C ．13D二、填空题13．F 是抛物线2:4C y x =的焦点，P 是C 上且位于第一象限内的点，点P 在C 的准线上的射影为Q ，且2PQ =，则PQF △外接圆的方程为_____.14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>）的左，右焦点分别是1F ，2F，直线:(l y k x =过点2F ，且与双曲线C 在第一象限交于点P .若（22()0OP OF PF +⋅=（O 为坐标原点），且()121PF a PF +=，则双曲线C 的离心率为__________.15．设12,F F 为椭圆22:14x C y +=的两个焦点，P 为椭圆C 在第一象限内的一点且点P的横坐标为1，则12PF F △的内切圆的半径为__________.16．一个动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.17．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，()2,0C p ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，AF 与BC 相交于点E .若2AF CF =，且ACE △的面积为p 的值为______.18．已知双曲线的方程为221916x y -=，点12,F F 是其左右焦点，A 是圆22(6)4x y +-=上的一点，点M 在双曲线的右支上，则1||||MF MA +的最小值是__________.19．已知点1F ，2F 为椭圆22122:1x y C a b +=（0a b >>）和双曲线22222:1x y C a b -=''（0a '>，0b '>）的公共焦点，点P 为两曲线的一个交点，且满足01290F PF ∠=，设椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则221211e e +=___________． 20．抛物线24y x =的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，与准线l 交于点B ，且AK l ⊥于K ，如果AF BF =，那么AKF ∆的面积是______.三、解答题21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B 且左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上的动点，在点P 的运动过程中，有且只有6个位置使得12PF F 为直角三角形，且12PF F 的内切圆半径的最大值为22-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点B 作两条互相垂直的直线交椭圆C 于M ，N 两点，记MN 的中点为Q ，求点A 到直线BQ 的距离的最大值.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点B ，离心率为32，且直线AB 与圆224:5O x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）设p 椭圆C 上位于第三象限内的动点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，试问四边形ABNM 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.23．已知圆M 的方程为222260x y x y +---=，以坐标原点为圆心的圆N 与圆M 相切．（1）求圆N 的方程；（2）圆N 与x 轴交于E F ，两点，圆N 内的动点D 使得,DE DO DF ，成等比数列，求DF DE →→⋅的取值范围；（3）过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A B ，两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行，并说明理由．24．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点与抛物线2:43C x y =的焦点重合，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且离心率12e =，过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆交于M 、N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若2OM ON ⋅=-. 求直线l 的方程；25．已知离心率22e =的椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为()1,0-.（1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率为1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且423AB =，求直线l 的方程. 26．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点(1,0)A -和(1,0)B 的距离分别为1d 和2d ，2AMB θ∠=，且212cos 1d d θ=.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）是否存在直线l 过点B 与轨迹E 交于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆过原点O ？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率． 【详解】解：由32c e a ==，得2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+，∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯． ∴直线l 的斜率为12． 故选：C ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．2．B解析：B 【分析】分别过A ，B 作准线的垂线，交准线于E ，D ，设|BF |=a ，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p ，可得所求抛物线的方程． 【详解】如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设BF a =， 则由已知得2BC a =，由抛物线定义得BD a =，故30BCD ∠=︒.在Rt ACE 中，因为6AE AF ==，63AC a =+，2AE AC =， 所以6312a +=，得2a =，36FC a ==，所以132p FG FC ===， 因此抛物线方程为26y x =. 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及直角三角形的性质，考查方程思想和数形结合思想，属于中档题．3．C解析：C 【分析】利用绝对值的几何意义，由3y x =+，可得0y ≥时，3yx ，0y <时，3y x =--，则可得曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=必交于点(0,3)，再无其它交点，把3y x代入方程229ax y +=，得2(1)6990a y ay a +-+-=，分类讨论，可得结论 【详解】解：由3y x =+，可得0y ≥时，3y x，0y <时，3y x =--，所以曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=必交于点(0,3)，为了使曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则将3y x代入方程229ax y +=，得2(1)6990a y ay a +-+-=，当1a =-时，3y =满足题意，因为曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点， 所以>0∆，且3是方程的根， 所以9(1)01a a-<+，即11a -<<时，方程两根异号，满足题意， 综上，a 的取值范围为[)1,1-， 故选：C 【点睛】此题考查曲线的交点问题，考查分析问题的能力，考查分类思想，属于中档题4．B解析：B 【分析】设直线l 的方程为()by x c a=--，求得点A 的坐标，由2BF AB =，可得出23FB FA =，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标，将点B 的坐标代入双曲线的标准方程，可得出a 、c 齐次等式，由此可解得该双曲线的离心率. 【详解】 如下图所示：设直线l 的方程为()b y x c a=--，则直线OA 的方程为by x a =，联立()b y x a b y x c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点,22c bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设点(),B m n ，由2BF AB =可得出23FB FA =， 即()2,,,32233c bc c bc m c n a a ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33c m c bc n a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得233c m bc n a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点2,33c bc B a ⎛⎫⎪⎝⎭， 将点B 的坐标代入双曲线的标准方程得222222241993c b c e a a b -==，解得e =故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.5．C解析：C 【分析】由双曲线的渐近线方程可知2AB a =，又OAB 的面积为2得2ab =，而双曲线C 的焦距2c =. 【详解】由题意，渐近线方程为by x a=±， ∴,A B 两点的坐标分别为(,),(,)a b a b -，故2AB a =， ∴1222OABSa b =⋅⋅=，即2ab =，∴24c ==当且仅当22a =时等号成立. 故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方6．A解析：A 【分析】设双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，根据题意，得到2122PF F F c ==，又由双曲线的定义，求得所以122PF c a =-，根据椭圆的定义，求得长半轴2a c a '=-，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】设双曲线2C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，焦点()2,0F c ，因为线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，可得2122PF F F c ==， 又由12PF PF <，根据双曲线的定义可得21122PF PF c PF a -=-=， 所以122PF c a =-， 设椭圆的长轴长为2a '，根据椭圆的定义，可得212222PF PF c c a a '+=+-=，解得2a c a '=-，所以121122a a c a ae e c c c c'-+=+=+=. 故选：A. 【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的解题策略：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.7．A解析：A 【分析】设122F F c =，求出1AF，由题意可知四边形12AF BF 为平行四边形，根据四边形12AF BF 的面积为48可得出关于a 的等式，由此可求得12F F .【详解】设122F F c =，由于双曲线的离心率为2ce a==，2c a ∴=，则b =， 所以，双曲线C 的方程为222213x y a a-=，即22233x y a -=，将x c =-即2x a =-代入双曲线C 的方程可得3y a =±，13AF a ∴=，由于A 、B 关于原点对称，1F 、2F 关于原点对称，则四边形12AF BF 是平行四边形，四边形12AF BF 的面积2341248S a a a =⨯==，解得2a =，12248F F c a ∴===.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线几何性质的应用，利用四边形的面积求双曲线的焦距，解题的关键就是利用双曲线的离心率将双曲线的方程转化为只含a 的方程，在求解相应点的坐标时，可简化运算.8．B解析：B 【分析】根据题中光学性质作出图示，先求解出A 点坐标以及直线AB 的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出B 点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出ABM 的三边长度，从而周长可求. 【详解】如下图所示：因为()3,1M ，所以1A My y ==，所以2144A A y x ==，所以1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又因为()1,0F ，所以()10:01114AB l y x --=--，即()4:13AB l y x =--， 又()24134y x y x⎧=--⎪⎨⎪=⎩，所以2340y y +-=，所以1y =或4y =-，所以4B y =-，所以244BB y x ==，所以()4,4B -，又因为1254244A B AB AF BF x x p =+=++=++=，111344M A AM x x =-=-=，()()22434126BM =-+--=，所以ABM 的周长为：25112692644AB AM BM ++=++=+， 故选：B.【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+； （2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+； （3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+； （4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 9．D解析：D 【分析】由抛物线的性质可判断①；连接11,A F B F ，结合抛物线的性质可得1190A FB ∠=，即可判断②；设直线:2pAB x my =+，与抛物线方程联立，结合韦达定理、向量共线可判断③；求出直线TA 的方程，联立方程组即可判断④. 【详解】对于①，设,AF a BF b ==，则11,AA a BB b ，所以线段AB 的中点到准线的距离为22ABa b， 所以以线段AB 为直径的圆与准线l 相切，故①正确； 对于②，连接11,A F B F ，如图，因为11,AA AF BB BF ==，11180BAA ABB ，所以1118021802180AFA BFB ，所以()112180AFA BFB ∠+∠=，所以1190AFA BFB 即1190A FB ∠=，所以以11A B 为直径的圆经过焦点F ，故②正确； 对于③，设直线:2pAB x my =+，()()1122,,,A x y B x y ， 将直线方程代入抛物线方程化简得2220y pmy p --=，0∆>，则212y y p =-， 又2111112,,,,22y pOAx y y OB y p ， 因为2211222y y p pp ，221112121222y y y y y y p y p p p ，所以2112y OAOB p，所以A ，O ，1B 三点共线，故③正确； 对于④，不妨设(002A x px ，则002AT px k =，则直线002:x AT x x p =-，代入抛物线方程化简得0202220x px py p +=-， 则0020228x p ppx ⎛∆=- -=⎝，所以直线TA 与该抛物线相切，故④正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：①将点在圆上转化为垂直关系，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离，将点共线转化为向量共线；②设直线方程，联立方程组解决直线与抛物线交点的问题.10．A解析：A 【分析】根据抛物线的定义和抛物线的方程可以直接求出点的坐标. 【详解】由抛物线方程可知(1,0)F ，假设,A B 横坐标分别为12,x x ，由抛物线的准线的性质可知1212||264AB x x x x =++=⇒+=，AB 中点的横坐标为121()22x x +=.故选;A 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了数学运算能力.属于基础题.11．A解析：A 【分析】在AFB ∆中，由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠，即可得到|BF |，设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．即可得到a ，c ，进而求得离心率． 【详解】在AFB ∆中，||20AB =，||16AF =，且3cos 5ABF ∠=， 由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠， 从而可得2(||12)0BF -=，解得||12BF =．设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．||16BF ∴'=，||10FF '=．2|1612|a ∴=-，220c =，解得2a =，10c =． 5ce a∴==． 故选：A.【点睛】本题考查余弦定理、双曲线的定义、对称性、离心率、矩形的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.12．B解析：B 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，利用点差法得到22221212220x x y y a b--+=，然后根据AB 中点坐标为()2,1-，求出斜率代入上式，得到a ，b 的关系求解. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=，因为AB 中点坐标为()2,1-， 所以12124,2x x y y +=+=-，所以()()2212122212122x x b y y b x x y y a a +-=-=-+， 又1212011422AB y y k x x -+===--， 所以22212b a =，即2a b =，所以231c b e a a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭， 故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】由题可判断为直角三角形即外接圆的圆心为中点求出圆心和半径即可写出圆的方程【详解】由抛物线方程可知焦点准线方程为即则即为直角三角形外接圆的圆心为中点即圆心为半径为外接圆的方程为故答案为：【点睛 解析：()2212x y +-=【分析】由题可判断FPQ △为直角三角形，即PQF △外接圆的圆心为FQ 中点，求出圆心和半径即可写出圆的方程. 【详解】由抛物线方程可知焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，2PQ =，∴12P x +=，即1P x =，则2P y =， ()()1,2,1,2P Q ∴-，FP PQ ∴⊥，即FPQ △为直角三角形，∴PQF △外接圆的圆心为FQ 中点，即圆心为()0,1，半径为122FQ = ∴PQF △外接圆的方程为()2212x y +-=.故答案为：()2212x y +-=.【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查圆的方程的求解，属于基础题.14．【分析】取的中点则根据得则设根据结合双曲线的定义得到然后在中利用勾股定理求解即可【详解】如图取的中点则因为所以即因为是的中位线所以由题意可得设则由双曲线的定义可知则即故在中由勾股定理得即整理得解得故解析：102【分析】取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=，根据22()0OP OF PF +⋅=，得2OH PF ⊥，则12PF PF ⊥，设2PF m =，根据()121PF a PF +=结合双曲线的定义得到2||2PF =，122PF a =+，然后在12Rt PF F 中，利用勾股定理求解即可.【详解】 如图，取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=， 因为22()0OP OF PF +⋅=，所以20OH PF ⋅=，即2OH PF ⊥.因为OH 是12PF F △的中位线，所以12PF PF ⊥.由题意可得10c =，设2PF m =，则()11PF a m =+， 由双曲线的定义可知12||2PF PF a -=，则2am a =，即2m =， 故2||2PF =，122PF a =+.在12Rt PF F 中，由勾股定理得2221122||||PF PF F F +=， 即()242240a ++=，整理得2280a a +-=， 解得2a =.故双曲线C 的离心率为10c a =. 10【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和定义的应用以及平面几何的知识，平面向量垂直问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．【分析】由点的横坐标为1代入得出点的纵坐标继而求得的面积S 再设的内切圆的半径为由可得答案【详解】因为点的横坐标为1所以点的纵坐标为所以的面积设的内切圆的半径为所以即所以故答案为：【点睛】本题考查椭圆解析：3【分析】由点P 的横坐标为1，代入得出点P 的纵坐标，继而求得12PF F △的面积S ，再设12PF F △的内切圆的半径为r ，由()(1212122S F F PF PF r r =++⨯=+，可得答案. 【详解】因为点P 的横坐标为1，所以点P 的纵坐标为P y =12PF F △的面积121322P F F y S ⋅==，设12PF F △的内切圆的半径为r ，所以()(1212122S F F PF PF r r =++⨯=+，即(322r +=，所以32r =-.故答案为：32-. 【点睛】本题考查椭圆的方程和椭圆的定义，以及焦点三角形的相关性质，属于中档题.16．【分析】设动圆的圆心为半径为R 根据动圆与圆外切与圆内切得到两式相加得到再根据椭圆的定义求解【详解】设动圆的圆心为半径为R 因为动圆与圆外切与圆内切所以所以所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆所以所以动圆解析：2212516x y +=【分析】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，根据动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，得到121,9QQ R QQ R =+=-，两式相加得到1212106QQ QQ QQ +=>=，再根据椭圆的定义求解.【详解】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，因为动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切， 所以121,9QQ R QQ R =+=-， 所以1212106QQ QQ QQ +=>=， 所以动圆圆心的轨迹为以12,Q Q 为焦点的椭圆， 所以2210,5,3,16a a c b ====，所以动圆圆心的轨迹方程为2212516x y +=，故答案为：2212516x y += 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17．【分析】由题意知可求的坐标由于轴可得利用抛物线的定义可得代入可取再利用即可得出的值【详解】解：如图所示与轴平行解得代入可取解得故答案为:【点睛】本题考查了抛物线的定义及其性质平行线的性质三角形面积计 解析：6【分析】由题意知可求F 的坐标．由于//AB x 轴，||2||AF CF =，||||AB AF =，可得13||||22CF AB p ==，1||||2CE BE =．利用抛物线的定义可得A x ，代入可取A y ，再利用13ACE ABC S S ∆∆=，即可得出p 的值.【详解】 解：如图所示，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3||2CF p =，||||AB AF =.AB 与x 轴平行，||2||AF CF =，13||||22CF AB p ∴==，1||||2CE BE =．32A p x p ∴+=，解得52A x p =，代入可取5A y p =，1113535332ACE ABC S S p p ∆∆∴===，解得6p =．故答案为:6．【点睛】本题考查了抛物线的定义及其性质、平行线的性质、三角形面积计算公式.本题的关键在于求出A 的坐标后，如何根据已知面积列出方程.18．【分析】设点的坐标为利用双曲线的定义可得于是转化求解即可【详解】解：由题意可得即则的坐标分别为由双曲线的定义得又是圆上的点圆的圆心为半径为2由图可知则的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的 解析：4+61【分析】设点C 的坐标为(0,6)，利用双曲线的定义，可得12||||26MF MF a -==，于是1||||MF MA +=2||||2||MF CM a CA ++-2||62CF ≥+-，转化求解即可．【详解】解：由题意可得，291625c =+=，即5c =，则1F ，2F 的坐标分别为(5,0)-，(5,0)，由双曲线的定义，得12||||26MF MF a -==，又A 是圆22(6)4x y +-=上的点，圆的圆心为(0,6)C ，半径为2， 由图可知，22||||||CM MF CF +≥，12||||||||2||MF MA MF CM a CA +=++-2||62461CF ≥+-=则1||||MF MA +的最小值为4+61 故答案为：4+61 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的性质及其圆外一点到圆上一点距离的最小值是解题的关键，属于中档题．19．2【分析】先结合椭圆及双曲线的定义可得再结合离心率公式求解即可【详解】解：设P 为双曲线右支上的任意一点点分别为左右交点由椭圆定义有由双曲线定义有则即又则即所以即2故答案为：2【点睛】本题考查了椭圆及解析：2 【分析】先结合椭圆及双曲线的定义可得2'2a a +22c =，再结合离心率公式求解即可. 【详解】解：设P 为双曲线右支上的任意一点，点1F ，2F 分别为左、右交点， 由椭圆定义有122PF PF a +=，由双曲线定义有'122PFPF a -=，则212()PF PF +212()PF PF +-=22122()PF PF +2'24()a a =+，即2212PF PF +2'22()a a =+，又01290F PF ∠=，则222124PF PF c +=，即2'2a a +22c =，所以2'2222a a c c +=，即221211e e +=2， 故答案为：2. 【点睛】本题考查了椭圆及双曲线的定义，重点考查了离心率的求法，属中档题.20．【分析】计算得到故为正三角形计算面积得到答案【详解】抛物线的焦点准线为l ：由抛物线的定义可得由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可得即有为正三角形由F 到l 的距离为则的面积是故答案为：【点睛】本题解析：【分析】计算得到AF AK =，FK AF =，故AKF ∆为正三角形，4AK =，计算面积得到答案. 【详解】抛物线24y x =的焦点()1,0F ，准线为l ：1x =-，由抛物线的定义可得AF AK =， 由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得FK AF =， 即有AKF ∆为正三角形，由F 到l 的距离为2d =，则4AK =，AKF ∆16=.故答案为：【点睛】本题考查了抛物线中的面积问题，确定AKF ∆为正三角形是解题的关键.三、解答题21．(1) 22142x y += (2) 47【分析】（1）由条件得出当点P 位于椭圆C 的上下顶点处时，12PF F △为直角三角形，则b c =，当点P 位于椭圆C 的上下顶点处时，12PF F △的的内切圆半径的最大值，则22cbR a c==-+22222c a b a c =-=-，可求出椭圆方程. （2）由条件()2,0B ，设()()1122,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为x my n =+ ,与椭圆方程联立得出韦达定理，由1212122BM BN y yk k x x ⋅=⋅=---，结合韦达定理可得n 的值，从而得出点Q 的坐标，进而求出直线BQ 的方程，由点到直线的距离公式可得出答案 【详解】点P 为椭圆C 上的动点，当1PF x ⊥或2PF x ⊥时，12PF F △为直角三角形. 此时满足条件的点P 有4个，根据满足条件的点P 有6个. 则满足条件的点P 的另2个位置位于椭圆C 的上下顶点处.当点P 位于椭圆C 的上下顶点处时，12PF F △为等腰直角三角形，即b c =12PF F △的内切圆半径我为R ，则()12121211222PF F P Sc y F F PF PF R ==++ 即()P c y a c R =+，所以Pc y R a c=+ 当点P 位于椭圆C 的上下顶点处时，12PF F △的的内切圆半径的最大值.所以2cb R a c ==+，即22c a c=+22222c a b a c =-=-，即a =解得2,a b =，所以椭圆C 的标准方程为：22142x y +=（2）由条件()2,0B ，设()()1122,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为x my n =+由22142x my nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222240m y mny n +++-=所以212122224,,22mn n y y y y m m --+=⋅=++据条件直线BM ，BN 的斜率存在，由条件可得1212122BM BN y yk k x x ⋅=⋅=--- 即1212122y y my n my n ⋅=-+-+-，即()()()2212121222y y m y y m n y y n -=+-++-所以()()()()2212121220m y y m n y y n ++-++-=则()()()2222242122022n mn m m n n m m --++-+-=++化简可得()()2320n n --=，即23n =或2n = 当2n =时，直线MN 过点B ，不满足条件.所以 23n =，则()12222243232m m y y m m -⨯-+==++ 由MN 的中点为Q ，则()2232Q my m -=+所以()()2222433232Q m x m m m -=⨯+=++所以()()222232434232BQm m m k m m -+==+-+所以直线BQ 的方程为()2234m y x m =-+，即()23420m y mx m +-+= 所以点()2,0A -到直线BQ 的距离为d ==47=≤=当且仅当22169mm=,即243m=时取等号.所以点()2,0A-到直线BQ的距离的最大值为47【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的几何性质和椭圆中的定点问题以及点到直线的距离的最值问题，解答本题的关键是由1212122BM BNy yk kx x⋅=⋅=---结合韦达定理得出n的值，进一步得出点Q的坐标()2232Qmym-=+，234BQmkm=+，得出直线BQ的方程为()2234my xm=-+，属于难题.22．（1）2214xy+=；（2）是定值，定值为2.【分析】（1）由题意可得==,a b的值，进而可得椭圆的方程；（2）设()()0000,0,0,P x y x y<<从而可表示出直线PA的方程，然后求出点M的坐标，得到BM的值，同理可得到AN的值，进而可求得四边形ABNM的面积，得到结论【详解】（1）解：由题意知直线:AB bx ay ab+=，所以⎧=⎪=2a=，1b=，所以椭圆C的方程为2214xy+=，（2）证明：设()()22000000,0,0,44P x y x y x y<<+=.因为()()2,0,0,1A B，所以直线PA的方程为()22yy xx=--，令x=，得022M y y x =--， 从而002112M y BM y x =-=+-. 直线PB 的方程为0011y y x x -=+令0y =，得001N xx y =--，从而00221N x AN x y =-=+-. 所以四边形ABNM 的面积0000211212212x y s AN BM y x ⎛⎫⎛⎫==+⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭‖ ()22000000000000000000444842244222222x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++--+--+===--+--+.所以四边形ABNM 的面积为定值2. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是由题意将BM ，AN 表示出来，从而可得四边形ABNM 的面积.23．（1）222x y +=；（2）[)10-，；（3）平行，理由见解析． 【分析】(1)根据圆心距与圆M 半径的大小，判断两圆的位置关系为内切，进而根据MN R r =-求得圆N 的半径，最后写出圆N 的方程；(2)设动点()D x y ，，根据,DE DO DF ，成等比数列求得动点D 的轨迹方程，又结合动点是在圆内的，求出D 点纵坐标y 的取值范围，再将DF DE →→⋅表示为221y -，最后求得DF DE →→⋅的取值范围.(3) 因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，则直线MB 的斜率为k -．接着联立直线MA 方程和圆的方程得到A 点的横坐标，同理得到B 点的横坐标，最后求得直线AB 和MN 的斜率相等，所以直线MN 和AB 是平行的. 【详解】解：1（）圆M 的方程可化为()()22118x y -+-=， 故圆心()11M ，，半径R = 圆N 的圆心坐标为()00，，因为MN =<所以点N 在圆M 内，故圆N 只能内切于圆M ，设其半径为r ，因为圆N 内切于圆M ，所以有MN R r =-r =，解得r =所以圆N 的方程为222x y +=；2（）由题意可知：()E，)F ，设()D x y ，，由,DE DO DF ，成等比数列，得2DO DE DF =⋅，22x y =+，整理得221x y -=，而())DE DF x y x y →→⋅=-⋅-，，())()2222x x y x y =⋅+-=+-()2221221y y y =++-=-，由于点D 在圆N 内，故有222221x y x y ⎧+<⎨-=⎩， 由此得2102y ≤<， 所以[)10DE DF →→⋅∈-，；3（）因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补， 故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数， 设直线MA 的斜率为k ，则直线MB 的斜率为k -． 故直线MA 的方程为()11y k x -=-， 直线MB 的方程为()11y k x -=--， 由()22112y k x x y ⎧-=-⎨+=⎩，得()()()222121120k x k k x k ++-+--=，因为点M 在圆N 上，故其横坐标1x =一定是该方程的解，222211A k kx k -∴+=+ 可得22211A k k x k --=+， 同理可得：22211B k k x k +-=+， 所以B AAB B Ay y k x x -=-()()3232222222222421111114212111B A MNB Ak k k k k k kk k x k x k k k k k k k k k x x k k --+-++++----+++=====+--++-++， 所以直线AB 和MN 一定平行． 【点睛】直线与圆，圆与圆的位置关系是圆锥曲线中比较常考的内容之一，需要注意一下几点： (1)圆与圆的位置关系的判断就是根据圆心距和半径和差之间的大小关系进行判断； (2)求动点的轨迹方程通常采用“建设限代化”五步骤来求动点的轨迹，切记求出方程之后，看有没有不满足题意的解，需要排除掉；(3)一般联立方程组之后，方程的两个解是直线与曲线交点的横坐标或者纵坐标，在已知一个坐标的情况下，另一个坐标可以通过韦达定理求得.24．（1）22143x y +=；（2）1)y x -或1)y x =-.【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，可得b =.（2）先验证直线斜率不存在时的可求，然后当直线斜率存在时，设出方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，由12122OM ON x x y y ⋅=+=-，将韦达定理代入可得答案. 【详解】解：（1）由题意得，抛物线2:C x =的焦点为 ∴椭圆的一个顶点为，∴b =又∵12c e a ==, 222231114b e a a =-=-=， 所以2a =∴椭圆的标准方程为22143x y +=.（2）由题意可知，直线l 与椭圆必相交，①当直线斜率不存在时，直线l 的方程为：1x =，则331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则9124OM ON ⋅=-≠-，所以不合题意， ②当直线斜率存在时，设直线l 为(1)y k x =-且1122(,),(,)M x y N x y .由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=， ∴221222228412,3434k k x x x x k k-+=⋅=++. ∴[]21212121212()1OM ON x x y y x x kx x x x ⋅=+=+-++2222222224124128512(1)234343434k k k k k k k k k----=+-+==-++++. ∴22k =∴k =0∆>∴直线l的方程为1)y x =-或1)y x =-. 【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的方程和椭圆与直线的位置关系，解得本题的关键是联立直线方程与椭圆方程结合韦达定理得到221222228412,3434k k x x x x k k -+=⋅=++，由[]21212121212()1OM ON x x y y x x k x x x x ⋅=+=+-++，然后将韦达定理代入，属于中档题.25．（1）2212x y +=；（2）1y x =+或1y x =-.【分析】（1）由离心率求出a ，再求出b ，可得椭圆方程；（2）设直线l 的方程为y x m =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，然后代入弦长公式12AB x =-可求得参数m 值得直线方程．【详解】（1）由题意知，1c =，c e a ==，∴a = 1b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设直线l 的方程为y x m =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组2212x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 化简，得2234220x mx m ++-=.由已知得，()2221612228240m m m ∆=--=-+>，即23m <，∴m <<1243m x x +=-，212223m x x -=.∴213AB x =-==， 解得1m =±，符合题意，∴直线l 的方程为1y x =+或1y x =-. 【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆相交弦长问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设交。

湖北仙桃中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)

湖北仙桃中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)

一、选择题1．已知抛物线24x y =上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点M 的纵坐标是（ ） A ．0B ．12C ．1D ．22．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为A BC D 3．直线l 与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，点P 是y 轴左侧一点，若线段PA ，PB 的中点都在抛物线上，则（ ） A ．PM 与y 轴垂直 B ．PM 的中点在抛物线上 C ．PM 必过原点D ．PA 与PB 垂直4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ︒∠=，且12F PF △，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．0,2⎛ ⎝⎦B ．110,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．11212⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,112⎛⎫⎪⎝⎭5．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（ ）A ．B ．2C D6．设(,)P x y 8=，则点P 的轨迹方程为（ ）A ．22+1164x y =B ．22+1416x y =C ．22148x y -=D ．22184x y -=7．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率为（ ）．A ．12B ．622+ C ．31+ D ．62+8．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（ ）A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．2210y x y ---=D ．24250y x y +-+=9．如图，已知点()00,P x y 是双曲线221:143x y C -=上的点，过点P 作椭圆222:143x y C +=的两条切线，切点为A 、B ，直线AB 交1C 的两渐近线于点E 、F ，O是坐标原点，则OE OF ⋅的值为（ ）A ．34B ．1C ．43D ．91610．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ） A ．45π B ．34πC ．(65)π-D ．54π11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =.则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C 2D 312．已知椭圆r ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设它的三条边AB ､BC ､AC 的中点分别为D ､E ､M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k ､2k ､3k ，且1k ､2k ､3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（ ） A ．43-B ．-3C ．1813-D ．32-二、填空题13．已知A 、B 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右顶点，M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，始终满足()()12fk f k =，其中()ln 2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则C 的离心率为______ ．14．设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 作直线交抛物线C 于A B 、两点，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为__________．15．直线l 经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于__________.16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，直线:36l y x =+过点1F ，且与双曲线C 在第二象限交于点P ，若点P 在以12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为_____________． 17．曲线412x x y y -=上的点到直线y =的距离的最大值是________．18．中心在原点的椭圆1C 与双曲线2C 具有相同的焦点()1,0F c -、()()2,00F c c >，P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =且25PF =，若双曲线2C 的离心率()22,3e ∈，则椭圆1C 的离心率1e 的范围是__________.19．在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y x =与椭圆()222210x y a b a b+=>>在第一象限内交于点P ，且以OP 为直径的圆恰好经过右焦点F ，则椭圆的离心率是______. 20．已知椭圆1C 和双曲线2C 的中心均在原点，且焦点均在x 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：则2C 的虚轴长为______.三、解答题21．已知两点(2,0),(2,0)A B -，过动点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，且满足2||PA PB PH λ⋅=⋅，其中0λ≥．（1）求动点(,)P x y 的轨迹C 的方程，并讨论C 的轨迹形状；（2）过点(2,0)A -且斜率为1的直线交曲线C 于,M N 两点，若MN 中点横坐标为23-，求实数λ的值. 22．抛物线Γ的方程为22y px =（0p >）， ()1,2A 是Γ上的一点． （1）求p 的值，并求A 点处的切线方程；（2）不过点A 且斜率为1-的直线交抛物线Γ于P 、Q 两点．证明：直线PA 、 QA 的倾斜角互补．23．如图，设圆2212x y +=与抛物线24x y =相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点.（1）若过点F 且斜率为1的直线l 与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为1P ，2P ，3P ，4P ，求1234PP P P +的值；（2）若直线m 与抛物线相交于M ，N 两点，且与圆相切，切点D 在劣弧AB 上，求MF NF +的取值范围.24．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，过点(03，，且BMN ∆是椭圆C 的内接三角形.（1）若点B 为椭圆C 的上顶点，且原点O 为BMN ∆的垂心，求线段MN 的长； （2）若点B 为椭圆C 上的一动点，且原点O 为BMN ∆的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值.25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴为2，椭圆上的点到焦点的最短距离为23.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的右顶点和上顶点分别为,M N ，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于P Q 、两点，求证：直线MP 与NQ 的斜率之和为定值；（3）过右焦点2F 作相互垂直的弦,AB CD ，求||||AB CD +的最小值.26．已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点. （1）将||AB 表示为t 的函数；（2）若||AB =AFB △的周长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p 到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出y p +1=2，求得y p ． 解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1， 根据抛物线定义， ∴y p +1=2， 解得y p =1． 故选C ．考点：抛物线的简单性质．2．D解析：D 【解析】由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-b ax, ∴-2=-b a×4, ∴a=2b.设b=k,则∴e=c a .3．A解析：A 【分析】设()22120012,,,,,22y y P x y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得出线段PA ，PB 的中点坐标，代入抛物线方程，得到1202y y y +=，从而得到答案. 【详解】设()22120012,,,,,22y y P x y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则线段PA ，PB 的中点坐标分别为221200010222,,,2222y y x x y y y y p p ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线段PA ，PB 的中点都在抛物线22(0)y px p =>上.则21200122200222222222y x y y p p y x y y pp ⎧+⎪+⎛⎫⎪=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪+⎪+⎛⎫=⨯⎪ ⎪⎝⎭⎩，即22101002220200240240y y y px y y y y px y ⎧-+-=⎨-+-=⎩ 所以12,y y 是方程22000240y y y px y -+-=的两个实数根所以1202y y y +=，所以0M y y =,即PM 与y 轴垂直 故选：A 【点睛】关键点睛：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线，解答本题的关键是由线段PA ，PB 的中点都在抛物线22(0)y px p =>上得到22101002220200240240y y y px y y y y px y ⎧-+-=⎨-+-=⎩，所以12,y y 是方程22000240y y y px y -+-=的两个实数根，即1202y y y +=，属于中档题.4．C解析：C 【分析】根据椭圆定义以及余弦定理可得212||||4PF PF b =，然后使用等面积法可得内切圆半径)r a c =-，然后根据12r a >，化简即可. 【详解】设12||2=F F c ，12F PF △内切圆的半径为r ． 因为12||+||2PF PF a =，所以()22212121212||||||2||||(1cos1204|||)|F F PF PF PF PF a PF PF ︒=+-+=-，则212||||4PF PF b =．由等面积法可得)22211(22)4sin12022a c rb ac ︒+=⨯⨯=-，整理得)r a c =-，又r > 故1112c a <．又12120F PF ︒∠=，所以16900F PO ︒∠≤≤则2c a ≥，从而11212e ≤<．故选：C 5．B解析：B 【分析】首先利用DF DA =，求点D 的坐标，再利用DF 与渐近线垂直，构造关于,a c 的齐次方程，求离心率. 【详解】由条件可知(),0F c -，(),0A a ，由对称性可设条件中的渐近线方程是by x a=，线段FA 的中垂线方程是2a c x -=，与渐近线方程by x a =联立方程，解得()2b a c y a-=，DF DA =，即(),22b a c a c D a -⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为DF 与渐近线b y x a =垂直，则()()22b ac a a a c b c -=----，化简为2232222b c ab a a c b c ac a c -=+⇔=+， 即22b ac a =+，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ， 得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：c e a === 3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程. 6．B解析：B 【分析】由椭圆的定义可得出点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，其中28a =，c =，由此可得出椭圆的标准方程. 【详解】由题意可知，点(,)P x y到点1F的距离与到点2(0,F -的距离之和为定值8，并且128F F >=，所以点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，所以28,4a a ==，因为c =，所以22216124b a c =-=-=， 所以点P 的轨迹方程为22+=1416x y .故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于熟悉、灵活运用椭圆的定义，求出椭圆的焦点的位置，椭圆中的,,a b c .7．C解析：C 【分析】由数量积为0推导出2OP OF =，在12Rt PF F 中求得1230PF F ∠=，由双曲线定义把2PF 用a 表示，在12Rt PF F 用正弦的定义可得离心率．【详解】 ∵22()0OP OF F P +⋅=，∴22()()0OP OF OP OF +⋅-=，即2220OP OF -=，21OP OF c OF ===，∴12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中12||3||PF PF =，∴1230PF F ∠=，又212PF PF a -=，∴2PF =2121sin 302PF F F ====∴21)a c =，1==ce a， 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，关键是找到关于,,a b c 的齐次式，本题中利用向量的数量积得出12PF PF ⊥，然后由两直角边比值求得一个锐角，利用双曲线的定义用a 表示出直角边，然后用直角三角形中三角函数的定义或勾股定理可得,a c 的齐次式，从而求得离心率．8．D解析：D 【分析】首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程. 【详解】由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-，()()2222222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，所以2111a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -设(),P x y ，由条件可知PC x =x =，两边平方后，整理为24250y x y +-+=. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.9．B解析：B 【分析】设点()00,P x y ，求出直线AB 的方程为003412x x y y +=，联立直线AB 与双曲线两渐近线方程，求出点E 、F 的坐标，由此可计算得出OE OF ⋅的值. 【详解】先证明结论：椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.由于点()00,M x y 在椭圆2C 上，则22003412x y +=，联立002234123412x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 得()()22220000342448160x y x x x y +-+-=， 即22001224120x x x x -+=，即()200x x -=，所以，直线003412x x y y +=与椭圆2C 相切.所以，椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.本题中，设点()00,P x y ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线PA 的方程为113412x x y y +=，直线PB 的方程为223412x x y y +=，由于点()00,P x y 在直线PA 、PB 上，可得1010202034123412x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，所以点()11,A x y 、()22,B x y 满足方程003412x x y y +=， 所以，直线AB 的方程为003412x x y y +=.联立003412x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得点E ⎫，同理F ⎫.因此，()()()()2222220000048361213422OE OF x y y y ⋅=-==---. 故选：B. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，在应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.10．A解析：A 【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C的半径最小值为11225O l d -==，圆C面积的最小值为245ππ=⎝⎭．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义.11．D解析：D 【分析】本题首先可以通过题意画出图象并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果. 【详解】根据题意可画出以上图象，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ， 因为123MF MF =，M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，122MF MF a -=，即2232MF MF a -=，2MF a =， 因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =， 因为OM b =，2MF a =，2OF c =，222+=a b c ， 所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，因为2MHOF ，所以22OF MH OM MF ⨯=⨯，abMH c=，即M 点纵坐标为ab c， 将M 点纵坐标带入圆的方程中可得22222a b x b c +=，解得2b x c =，2,b ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将M 点坐标带入双曲线中可得422221b a a c c-=，化简得4422b aa c ，222422ca a a c ，223c a =，3==ce a， 故选：D . 【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了圆与双曲线的相关性质及其综合应用，体现了了数形结合思想，提高了学生的逻辑思维能力，是难题.12．A解析：A【分析】根据椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，求出椭圆方程，由三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，利用点差法求解. 【详解】因为椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12， 所以11,2c c a ==，解得 22,3a b ==， 所以椭圆方程为：22143x y +=，设 ()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则222212121,14343y x y x +=+=， 两式相减得：()()1212121243+-=--+y y x x y y x x ， 即143OD AB k k =-， 同理1414,33OM OE AC BC k k k k =-=-， 又直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1， 所以()1231114433OD OM OE k k k k k k ++=-++=-， 故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和中点弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】设出的坐标利用直线的斜率的乘积结合已知条件推出斜率乘积转化求解双曲线的离心率即可【详解】设由M 是双曲线上异于AB 的动点若直线MAMB 的斜率分别为则又则由得因为所以可得显然不成立；则所以所以故【分析】设出,,M A B 的坐标，利用直线的斜率的乘积，结合已知条件，推出斜率乘积，转化求解双曲线的离心率即可. 【详解】设()()(),,,0,,0M m n A a B a -，由M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，则21222n n n k k m a m a m a ⋅=⋅=+--， 又22221m n a b -=，则2212222n b k k m a a ==⋅-， 由()ln 2x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭， 得()()1212ln ,ln 22k k f k f k ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()12fk f k =，所以21ln ln 22k k ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2122k k=显然不成立； 则2211ln ln ln 02222k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21211224k k k k ⋅⇒==，所以c e a ===.【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的值的常用方法：由,a b 或,a c 的值，得e === 列出含有,,a b c 的齐次方程，借助222b c a =-消去b ，然后转化为关于e 的方程求解；14．【解析】抛物线焦点为当直线的斜率不存在时即和轴垂直时面积最小将代入解得故故答案为点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质直线与抛物线的位置关系该题最大的难点在于确定当直线在何位置时三角形的面积最大属于中解析：98【解析】抛物线焦点为3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，当直线的斜率不存在时，即和x 轴垂直时，面积最小，将34x =代入23y x =，解得32y =±，故133922428OABS =⨯⨯⨯=，故答案为98. 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，该题最大的难点在于确定当直线在何位置时，三角形的面积最大，属于中档题；将AOB ∆面积分为用x 轴将其分开，即可得1212OABOFBOFA SSS OF y y =+=-，故可得当直线的斜率不存在时， 即和x 轴垂直时，12y y -的值最大，即面积最大.15．或【分析】设设直线方程为利用焦点弦长公式可求得参数【详解】由题意抛物线的焦点为则的斜率存在设设直线方程为由得所以所以所以直线的倾斜角为或故答案为：或【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题解题方法是设而解析：3π或23π 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，利用焦点弦长公式12AB x x p =++可求得参数k ．【详解】 由题意6p，抛物线的焦点为(3,0)F ， 16AB =，则AB 的斜率存在，设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，由2(3)12y k x y x =-⎧⎨=⎩得22226(2)90k x k x k -++=，所以21226(2)k x x k ++=，所以12616AB x x =++=，21226(2)10k x x k++==，k =， 所以直线AB 的倾斜角为3π或23π．故答案为：3π或23π． 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求思想方法，解题关键是掌握焦点弦长公式．16．【分析】利用直线l 的斜率和点P 在以为直径的圆周上在直角三角形中求出和用定义求出代入离心率公式求解即可【详解】由题意可得则因为直线l 的斜率是3则因为点P 在以为直径的圆周上所以所以则故双曲线C 的离心率为【分析】利用直线l 的斜率和点P 在以12F F 为直径的圆周上，在直角三角形12PF F 中，求出1PF 和2PF ，用定义求出a ，代入离心率公式求解即可．【详解】由题意可得2c =，则2124F F c ==． 因为直线l 的斜率是3，则12sin PF F ∠=，12cos PF F ∠=． 因为点P 在以12F F 为直径的圆周上，所以1290F PF ∠=︒，所以11212cos PF F F PF F =∠=，21212sin PF F F PF F =∠=，则2125PF PF a -==，故双曲线C的离心率为2c a =．【点睛】本题考查双曲线的性质，考查双曲线定义的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．17．【分析】先根据绝对值的正负判断曲线方程的种类再画出图象数形结合分析即可【详解】解：曲线表示的方程等价于以下方程画出图象有：故是双曲线与渐近线方程所以曲线上的点到直线的距离的最大值为椭圆上的点到直线的【分析】 先根据绝对值的正负判断曲线方程的种类，再画出图象，数形结合分析即可. 【详解】 解：曲线412x x y y -=表示的方程等价于以下方程，()()()22222210,02410,02410,042x y x y xy x y y x x y ⎧-=≥≥⎪⎪⎪+=≥<⎨⎪⎪-=<<⎪⎩ ，画出图象有：故2y x =是双曲线()2210,024x y x y -=≥≥与()2210,042y x x y -=<<渐近线方程，所以曲线412x x y y -=上的点到直线2y x =的距离的最大值为椭圆()2210,024x y x y +=≥<上的点到直线2y x =的距离. 设直线()20y x m m =+<与曲线()2210,024x y x y +=≥<相切，联立方程组，化简得：2242240x mx m ++-=，令()22=81640m m ∆--=，解得22m =-所以切线为：22y x =- 故两平行线22y x =-2y x =之间的距离为0222633d +==. 所以曲线412x x y y -=上的点到直线2y x =26. 26. 【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，曲线上的点到直线的距离问题，是中档题.18．【分析】由于P 为与在第一象限的交点分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案【详解】设椭圆：与双曲线：因为P 为与在第一象限的交点所以焦点三解析：32,53⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由于P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到2a c m =-，再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案. 【详解】设椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与双曲线2C ：()222210,0x y m n m n-=>>，因为P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，所以焦点三角形12PF F 是以2PF 为底边的等腰三角形， 即在椭圆中有1221122222PF PF a PF a c PF F F c ⎧+=⎪⇒=-⎨==⎪⎩①；同理，在双曲线中有222PF c m =-②，由①②可知，2a c m =-，因为()221112,3,,32c e m e ⎛⎫=∈∈ ⎪⎝⎭，且12111222c c e m a c m c e ====---， 由不等式的性质可知，132,53e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：32,53⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查椭圆与双曲线共焦点问题中求椭圆的离心率范围问题，属于中档题.19．【分析】由题意可得轴求得的坐标由在直线上结合离心率公式解方程可得所求值【详解】解：以为直径的圆恰好经过右焦点可得轴令可得不妨设由在直线上可得即为由可得解得（负的舍去）故答案为:【点睛】本题考查椭圆的1. 【分析】由题意可得PF x ⊥轴，求得P 的坐标，由P 在直线2y x =上，结合离心率公式，解方程可得所求值． 【详解】解：以OP 为直径的圆恰好经过右焦点(c,0)F ，可得PF x ⊥轴，令x c =，可得2b y a =±=±，不妨设2(,)b P c a ，由2(,)b P c a 在直线2y x =上，可得22b c a=，即为2222a c b ac -==，由ce a=可得2210e e +-=，解得1e =（负的舍去）. 故答案为1. 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查了圆的性质.本题的关键是由圆过焦点得出P 点的坐标.求离心率的做题思路是，根据题意求出,a c 或者列出一个关于,,a b c 的方程，由椭圆或双曲线的,,a b c 的关系，进而求解离心率.20．【分析】由焦点均在轴上可得点在椭圆上则点和点在双曲线上代入中求解即可【详解】由焦点均在轴上可得点在椭圆上则点和点在双曲线上设双曲线为则解得即所以双曲线的虚轴长为故答案为:4【点睛】本题考查双曲线的方 解析：4【分析】由焦点均在x轴上可得点(0,在椭圆上,则点()4,2-和点(-在双曲线上,代入22221x y a b -=中求解即可. 【详解】由焦点均在x轴上可得点(0,在椭圆上, 则点()4,2-和点(-在双曲线上,设双曲线为22221x y a b-=,则222216412481a ba b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得24b =,即2b =, 所以双曲线2C 的虚轴长为24b =, 故答案为:4 【点睛】本题考查双曲线的方程与焦点的位置的关系,考查双曲线的几何性质.三、解答题21．（1）答案见解析；（2）12λ=. 【分析】（1）由向量坐标公式化简可得轨迹方程，并讨论即可；（2）将直线与曲线联立结合韦达定理求得中点横坐标，再用判别式判断即可. 【详解】解：（1）()2,PA x y =---，()2,PB x y =--又22PHy =所以由2||PA PB PH λ⋅=⋅得()()22,2,x y x y y λ---⋅--= 则22(1)4x y λ+-=当1λ=时，C 是两条平行直线； 当0λ=时，C 是圆；当01λ<<时，C 是椭圆； 当1λ>时，C 是双曲线 .（2）2222(2)4(1)40(1)4y x x x x y λλλλ=+⎧⇒-+--=⎨+-=⎩ 设1122(,),(,)M x y N x y ，则122004(1)41(0)232x x λλλλ⎧⎪-≠⎪∆>⎨⎪-⎪+==-⇒=∆>-⎩【点睛】(1)解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．（1）2p =，1y x =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）将()1,2A 代入可求得p ，设出切线方程，联立切线与抛物线方程，利用0∆=可求；（2）设直线PQ 方程为y x m =-+，与抛物线方程联立，根据0PA QA k k +=可证明. 【详解】解：（1）将()1,2A 代入22y px =，可得2p =，由题意知，所求切线斜率显然存在，且不为0， 设切线方程为()21y k x -=-，与24y x =联立得()2204k y y k -+-=（0k ≠）， 由()120k k ∆=--=得1k =． 所以，所求切线方程为1y x =+．（2）设直线PQ 方程为y x m =-+，代入24y x =得：240y y m +-=．由16160m ∆=+>，得1m >-．又∵直线PQ 不过点A ，∴3m ≠，∴1m >-，且3m ≠． 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则124y y +=-，124y y m =-，()()()()22122112121211121222441111PA QA y y y y y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=+=----()()()121441684201m m x x +-++==-， 所以，直线PA 、PQ 的斜率角互补． 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.23．（1）1234PP P P +=2）2,22⎡⎤⎣⎦. 【分析】（1）由题意可得直线l 的方程为1y x =+,设()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y ，()444,P x y，则可得()()12342413PP P P x x x x +=+-+⎤⎦，然后分别联立直线与圆的方程，直线与抛物线的方程，得到两个方程组，消元后利用根与系数的关系，可得结果； （2）将圆的方程和抛物线方程联立方程组可求出A ，B 两点的坐标，设()00,D x y ，则切线00:12m x x y y +=，直线方程式与抛物线方程式联立方程组，消元后，再由根与系数的关系可得22000022200004244842448244M N x y y y y y y y y y +-++===+-，而02y ≤≤而可求出M N y y +的范围，进而可得MF NF +的取值范围. 【详解】解：由题意，()0,1F ，直线l 的方程为1y x =+设()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y ，()444,P x y，则)1221PP x x -，)3443P P x x =-，∴)()()123424132413PP P P x x x x x x x x +=+--=+-+⎤⎦故分别联立直线与圆的方程，直线与抛物线的方程，得到两个方程组：22112y x x y =+⎧⎨+=⎩；214y x x y=+⎧⎨=⎩，分别消去y ，整理得：222110x x +-=；2440x x --= ∴131x x +=-，244x x +=，∴1234PP P P +=（2）由222124x y x y⎧+=⎨=⎩解得：()2A -，()2B ，设()00,D x y ，则220012x y +=；切线00:12m x x y y +=，其中02y ≤≤；设(),M M M x y ，(),N N N x y ，则002124x x y y x y +=⎧⎨=⎩，消去x ，整理得： ()2220004241440y y x y y -++=，∴22000022200004244842448244M N x y y y y y y y y y +-++===+-∵02y ≤≤∴M N y y ⎡⎤+∈⎣⎦∵2M N MF NF y y +=++，∴MF NF +的取值范围为2,22⎡⎤⎣⎦【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，考查直线与抛物线的位置关系，第2问解题的关键是将切线方程与抛物线方程联立方程组002124x x y y x y +=⎧⎨=⎩，进而利用根与系数的关系可得22000022200004244842448244M N x y y y y y y y y y +-++===+-，再利用抛物线的定义可求得MF NF +的取值范围，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题 24．（12【分析】（1）根据题意，先求出椭圆的方程，由原点O 为BMN △的垂心可得BO MN ⊥，//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，根据·=0BM ON 求出线段MN 的长；（2）设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，由斜率存在时根据()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，即1212346x x y y +=-，由方程联立得出22443m k =+，再由点到直线的距离求出最值. 【详解】解：（1）设焦距为2c，由题意知：22212b b ac c a ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆C 的方程为：22143x y +=；由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，2227·403BM ON x y y =-+-=-=，解得：y =7-， B ，M不重合，故y =213249x =，故2MN x ==（2）设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，当MN 斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时点B 在长轴的端点处由2OB =,则1OD =，则O 到直线MN 的距离为1；当MN 斜率存在时，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ， 则1212,22x x y y D ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1212,A x x y y ++，所以()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，即1212346x x y y +=- 也即()()1212346x x kx m kx m +++=-()()221212434460kx x mk x x m +++++=223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-= ()2248430k m∆=+->，x =则：122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，代入式子得： 22223286043m k m k --=+，22443m k =+设O 到直线MN 的距离为d，则d ===0k =时，min 32d =； 综上，原点O 到直线MN 距离的最小值为32.【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的内接三角形的相关性质的应用，解答本题的关键是设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，根据点,,M N A 均在椭圆上，得出1212346x x y y +=-，由方程联立韦达定理得到22443m k =+，属于中档题.25．（1）2214x y +=；（2）证明见解析；（3）3.【分析】（1）由题知1b =，23a c -=-222a b c =+即可得椭圆的标准方程为2214x y +=； （2）由题意得(2,0),(0,1)M N ，设112211,,,22P x x m Q x x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线l 为12y x m =+，直线与椭圆联立化简得212122,22x x m x x m +=-=-，进而0MP NQ k k =+；（3）当直线AB 斜率不存在时，22||||23b AB CD a a+=+=，当直线AB 斜率存在时，设直线AB 为3y kx k =-，直线CD 为13y x k =-，进而得2245||||54174AB CD k k+=-++，再结合基本不等式即可得答案. 【详解】（1）因为短轴为2，所以22,1b b ==，又因为椭圆上的点到焦点的最短距离为a c -，所以23a c -=-，又因为222a b c =+，解得2,1,a b c ===所以椭圆的标准方程为2214x y +=；（2）由题意得(2,0),(0,1)M N ，设直线l 为12y x m =+，与2214x y +=联立得：222220x mx m ++-=设112211,,,22P x x m Q x x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则212122,22x x m x x m +=-=- 所以()12121212122111(1)222222MP NQx m x m x x m x x m k k x x x x x ++-+-+-++=+=--22222(1)(2)220222m m x m m m x -+---+==--，所以MP 与NQ 的斜率之和为定值0；（3）当直线AB 斜率不存在时，2225b AB CD a a+=+=当直线AB 斜率存在时，设直线AB为y kx =-，直线CD为1y x k k=-+， 得()2222411240k x x k +-+-=，所以223434221244141,k x x x x k k -+==++，所以()224141AB k k +==+，同理()2241||4k CD k +=+，所以()()2222224141445||||5414417k AB CD k k k kk +++=+=-++++因为22448k k +≥=，所以1635AB CD +≥>，当且仅当1k =±时取等号， 所以AB CD +的最小值为3. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆中的最值问题，考查运算能力与化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于巧设点的坐标，结合韦达定理，设而不求，达到求解目标，化简运算；同时还要注意再设直线方程时，需要考虑斜率存在与否，做到周密解答.26．（1）||AB =12t；（2）7+ 【分析】（1）设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，化简计算即可得到所求函数；（2）运用抛物线的定义和（1）的结论，结合12||||2AF BF x x +=++，进而得到AFB △的周长． 【详解】（1）224y x ty x=+⎧⎨=⎩， 整理得()224410x t x t +-+=， 则2212212163216161632044144t t t t t x x t t x x ⎧⎪∆=-+-=->⎪-⎪+==-⎨⎪⎪=⎪⎩， AB===，其中12t；（2）由||AB ==4t =-， 经检验，此时16320t ∆=->， 所以1215x x t +=-=， 由抛物线的定义，有1212||||()()52722p pAF BF x x x x p +=+++=++=+=，又||AB =，所以AFB△的周长为7+ 【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x =-；（2）利用12l y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.。

(必考题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测(答案解析)(5)

(必考题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测(答案解析)(5)

一、选择题1．已知抛物线24x y =上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点M 的纵坐标是（ ） A ．0B ．12C ．1D ．22．若点)0到双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的离心率为（ ）A B C D 3．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、B 两点，若双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(B ．(1,1C ．)+∞D ．()1++∞4．已知点F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点，点P 是椭圆C 上的任意一点且点P 不在x 轴上，点M 是线段PF 的中点，点O 为坐标原点.连接OM 并延长交圆222x y a +=于点N ，则PFN 的形状是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由点P 位置决定5．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，M 为E 上一点.若126MF F π∠=，21212F F F M F F +=，则E 的离心率为（ ）A ．12 B ．12C 1D 16．已知双曲线221(0,0)x y m n m n-=>>和椭圆22174x y +=有相同的焦点，则11m n +的最小值为（ ）A ．12B ．32C ．43D ．97．已知抛物线22y px =（0p >）的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =，则点A 到y 轴的距离为（ ） A ．5B ．4C ．3D ．28．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（ ）A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．2210y x y ---=D ．24250y x y +-+=9．已知椭圆22:12x C y +=，直线l 过椭圆C 的左焦点F 且交椭圆于A ，B 两点，AB 的中垂线交x 轴于M 点，则2||||FM AB 的取值范围为（ ） A ．11,164⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,162⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,82⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A 、B 的距离之比为λ（0λ>，1λ≠），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O ：221x y +=和点1,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，点()4,2B ，M 为圆O 上的动点，则2MA MB +的最小值为（ ）A ．B ．C D 11．在平面直角坐标系xOy 中，设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线左支上一点，M 是1PF 的中点，且1OM PF ⊥，122PF PF =，则双曲线的离心率为A B ．2C D 12．双曲线2214x y -=的离心率为（ ）A B C D ．2二、填空题13．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于A ，B 两点，且3FB AF =，则该双曲线的离心率为_______．14．如图，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜α角（母线与竖直方向所成角）后，液面呈椭圆形，当30α=︒时，该椭圆的离心率为____________.15．已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为1F ，过点F 和1F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线3y x =-垂直，当3a b 取最大值时，双曲线C 的方程为________.16．动点P 在曲线221y x =+上运动，则点P 与定点(0,1)M -连线的中点N 的轨迹方程为_______．17．一个动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.18．已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线2212x y -=相交于A ，B 两点.若ABF ∆为直角三角形，则抛物线的准线方程为________.19．已知1F 、2F 是椭圆22143x y +=的两个焦点，M 为椭圆上一点，若12MF F ∆为直角三角形，则12MF F S ∆=________．20．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，第一象限的点P 在渐近线上，满足12F PF 2π∠=，直线1PF 交双曲线左支于点Q ，若点Q 是线段1PF 的中点，则该双曲线的离心率为_____.三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点与椭圆：2212x y +=的右焦点重合． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）记(4,0)P ，若抛物线C 上存在两点B ，D ，使PBD △为以P 为顶点的等腰三角形，求直线BD 的斜率的取值范围．22．椭圆2212x y +=的左、右焦点为1F 、2F ，经过1F 作倾斜角为60的直线l 与椭圆相交于A B ，两点． 求（1）线段AB 的长； （2）2ABF 的面积．23．如图所示，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，222:O x y b +=，点A 是椭圆C的左顶点，直线AB 与O 相切于点()1,1B -．（1）求椭圆C 的方程；（2）若O 的切线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，求OMN 面积的取值范围．24．已知椭圆222:1(1)x C y m m+=>，点P 是C 上的动点，M 是右顶点，定点A 的坐标为(2,0)．（1）若3m =，求PA 的最大值与最小值；（2）已知直线:5l y x =-，如果P 到直线l 的最小值为2，求m 的值． 25．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-． （1）求抛物线C 的方程；（2）设点(1,2)P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点A ，B ，直线PA ，PB 分别交x 轴于M ，N 两点，求MF NF ⋅的值．26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左､右顶点，22AB =，离心率22e =.F 是右焦点，过F 点任作直线l 交椭圆于M ，N 两点.（1）求椭圆的方程；（2）试探究直线AM 与直线BN 的交点P 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点p 到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出y p +1=2，求得y p ． 解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1， 根据抛物线定义， ∴y p +1=2， 解得y p =1． 故选C ．考点：抛物线的简单性质．2．A解析：A 【分析】先求得双曲线C 的其中一条渐近线方程0bx ay -=，根据点)0到双曲线C 的渐近线223c a =，即可求得双曲线的离心率. 【详解】由题意，双曲线C :22221x y a b-=的其中一条渐近线方程为b y x a =，即0bx ay -=，因为点)0到双曲线C==2232b c =，即222332c a c -=，即223c a =，所以==ce a故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及几何性质，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．3．D解析：D 【分析】由题将x c =代入双曲线，可求出圆半径，再根据题意可得22bc a<，即可由此求出离心率.【详解】由题可得AB x ⊥轴，将x c =代入双曲线可得2by a=±，∴以AB 为直径的圆的半径为2b AF a=，双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，22b c a∴<，即22b ac >，即222c a ac ->，两边除以2a 可得2210e e -->，解得1e <1e >故双曲线离心率的取值范围是()1+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围的求解，解题的关键是求出圆半径，根据题意得出22b c a <.4．B解析：B 【分析】根据定义可得12PF PF a +=，进而得出OM PM a +=，根据MN ON OM =-求出MN PM MF ==，得出90PNF ∠=，即可判断. 【详解】设F 是右焦点，左焦点为1F ，12PF PF a ∴+=，在1PFF 中，,O M 分别是1,FF PF 中点，12,2PF OM PF PM ∴==，1222PF PF OM PM a ∴+=+=，即OM PM a +=，()MN ON OM a a PM PM ∴=-=--=，MN PM MF ∴==，∴N 在以线段PF 为直径的圆上，90PNF ∴∠=,故PFN 的形状是直角三角形. 故选：B.【点睛】本题考查椭圆定义的应用，解题的关键是应用椭圆的定义得出MN PM MF ==，从而判断90PNF ∠=.5．B解析：B 【分析】先取线段1F M 中点P ，连接2PF ，得到2c P F =，结合正弦定理证明12F PF ∠是直角，求出12,F M MF ，再根据定义122FM MF a +=得到,a c 之间关系，即求得离心率. 【详解】如图椭圆中，取线段1F M 中点P ，连接2PF ，则21222F F F M F P+=，因为21212F F F M F F +=，所以21222F F F P c ==，则2c P F =，12F F P 中，1212122sin sin F F M P F F F P F F =∠∠，即122sin sin6c P F F c π=∠，解得12in 1s P F F =∠，又()120,F PF π∠∈，12F PF ∠=2π，故13F P c =，2PF 是线段1F M 的中垂线，故121223,2FM c MF F F c ===，结合椭圆定义122FM MF a +=，故22c a +=，即)1c a =，故离心率12c e a ===. 故选：B. 【点睛】求椭圆离心率（或取值范围）的常见方法： （1）直接法：由a ，c 直接计算离心率ce a=； （2）构建齐次式：利用已知条件和椭圆的几何关系构建关于a ，b ，c 的方程和不等式，利用222b a c =-和ce a=转化成关于e 的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.6．C解析：C 【分析】本题首先可根据双曲线和椭圆有相同的焦点得出3m n +=，然后将11m n+转化为123m n n m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，最后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】因为双曲线221x y m n-=和椭圆22174x y +=有相同的焦点，所以743m n ，则()111111233m n m n m n n m n m ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 142233m n n m，当且仅当m n =时取等号， 故11m n+的最小值为43，故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线与椭圆焦点的相关性质的应用，双曲线有222+=a b c ，椭圆有222a b c =+，考查利用基本不等式求最值，是中档题.7．C解析：C 【分析】可设出直线方程与抛物线方程联立，得出12x x ，再由焦半径公式表示出3AF FB =，得到1232x x =+，结合这两个关系式可求解13x =【详解】已知焦点F 到准线的距离为2，得2p =， 可得24y x =设()()1122,,,A x y B x y ，:1AB x my =+ 与抛物线方程24y x =联立可得：2440y my --=124y y ∴=-，()21212116y y x x ∴==①又3AF FB =，()12131x x ∴+=+，1232x x ∴=+② 根据①②解得13x = 点A 到y 轴的距离为3 故选：C 【点睛】抛物线中焦半径公式如下：抛物线()220y px p =>的焦点为F ，()11,A x y 为抛物线上的一点，则12pAF x =+，解题时可灵活运用，减少计算难度.8．D解析：D 【分析】首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程. 【详解】由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-，()()2222222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，所以2111a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -设(),P x y ，由条件可知PC x =x =，两边平方后，整理为24250y x y +-+=. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.9．B解析：B 【分析】 当l ：0y =时，2||1||8FM AB =，设():10l x my m =-≠与椭圆联立可得：()222210my my +--=， 然后求得AB 的中垂线方程，令0y = ，得21,02M m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式求得||MF ，2||AB ，建立2||||FM AB 求解. 【详解】椭圆22:12x C y +=的左焦点为()1,0F -,当l ：0y =时，())(),,0,0A B M，1,FM AB ==所以2||1||8FM AB =， 设():10l x my m =-≠与椭圆联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得： ()222210my my +--=，由韦达定理得：1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，取AB 中点为222,22m D m m -⎛⎫⎪++⎝⎭， 所以AB 的中垂线方程为：2212:22DM m l x y m m m ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭， 令0y = ，得21,02M m ⎛⎫-⎪+⎝⎭， 所以221||2m MF m +=+，又()()2222281||2m AB m +==+，所以2222||121111=1(,)||818184FM m AB m m ⎛⎫+⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 综上所述2||11,||84FM AB ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 故选：B. 【点睛】思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 2、设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则弦长为AB ===k 为直线斜率)． 注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．10．B解析：B 【分析】令2MA MC =，则12MA MC=，所以12MAMC==，整理22222421333m n m n x y x y ++-+++=，得2m =-，0n =，点M 位于图中1M 、2M 的位置时，2MA MB MC MB +=+的值最小可得答案.【详解】设(),M x y ，令2MA MC =，则12MA MC=， 由题知圆221x y +=是关于点A 、C 的阿波罗尼斯圆，且12λ=， 设点(),C m n，则12MAMC==，整理得：22222421333m n m n x y x y ++-+++=，比较两方程可得：2403m +=，203n =，22113m n +-=， 即2m =-，0n =，点()2,0C -， 当点M 位于图中1M 、2M 的位置时，2MA MB MC MB +=+的值最小，最小为210.故选：B.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，圆上动点问题，考查两点间线段最短.11．C解析：C 【分析】运用双曲线的定义和△PF 1F 2为直角三角形，则|PF 2|2+|PF 1|2 =|F 1F 2|2，由离心率公式，计算即可得到离心率的范围． 【详解】因为M 是1PF 的中点，O 为12F F 的中点，所以OM 为三角形F 1PF 2的中位线. 因为1OM PF ⊥，所以21PF PF ⊥.又因为212PF PF a -=，122PF PF =，122F F c =， 所以122,4PF a PF a ==.在△F 1PF 2中，21PF PF ⊥，所以2221212PF PF F F +=，代入得()()()222242a a c +=，所以225c a =，即5e =故选C. 【点睛】本题考查了平面几何知识在圆锥曲线中的基本应用，根据边长关系求得离心率，属于基础题.根据各个边长关系，判断出21PF PF ⊥，再根据勾股定理求出离心率.12．C解析：C【解析】双曲线2214x y -=中，222224,1,5,a b c a b e ==∴=+=∴== 本题选择C 选项.二、填空题13．【分析】由题意得解方程即可求解【详解】由题意得由题得∴整理得即∴即故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法考查了直线与双曲线的简单几何性质属于中档题【分析】由题意得FA b =，3FB b =，OA a =，tan tan b BOF AOF a∠=∠=，4tan tan 2bBOA BOF a∠=∠=，解方程即可求解. 【详解】由题意得FA b =，3FB b =，OA a =， 由题得tan tan b BOF AOF a∠=∠=， ∴24tan tan 21()b b ba a BOA BOFb a a+∠==∠=-， 整理得222a b =，即2222()a c a =-， ∴2232a c =，232e =，即e =．【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法，考查了直线与双曲线的简单几何性质，属于中档题.14．【分析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为的直角三角形由此可求得椭圆离心率【详解】设圆柱形杯子的底面半径为画示意图如图所示：则是椭圆的长半轴长是椭圆的短半轴长则又则故答案 解析：12【分析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径，椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为30的直角三角形，由此可求得椭圆离心率. 【详解】设圆柱形杯子的底面半径为b ，画示意图如图所示：则OC 是椭圆的长半轴长，OB 是椭圆的短半轴长，则22BC a b c =-=，又30COB α∠==︒，则1sin 2c e a α===. 故答案为：12【点睛】本题考查了圆柱的截面为椭圆的问题，根据椭圆的性质求出椭圆的离心率，考查了学生的分析能力，空间想象能力，属于中档题.15．【分析】设点的坐标为则利用导数的几何意义结合已知条件求得点的坐标可求得直线的方程并求得点的坐标可得出利用三角换元思想求得的最大值及其对应的的值由此可求得双曲线的标准方程【详解】设点的坐标为则对于二次解析：2213944x y -= 【分析】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，利用导数的几何意义结合已知条件求得点M 的坐标，可求得直线l 的方程，并求得点1F 的坐标，可得出223a b +=，利用三角换元思想求得3a b 的最大值及其对应的a 、b 的值，由此可求得双曲线的标准方程. 【详解】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，对于二次函数24x y =，求导得2x y '=，由于抛物线24x y =在点M 处的切线与直线3y x =-垂直，则(0312x ⨯=-， 解得023x =，则200143x y ==，所以，点M 的坐标为2313⎫⎪⎪⎝⎭，抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，直线MF的斜率为11MFk -==所以，直线l的方程为13y x =-+，该直线交x轴于点)1F ，223a b ∴+=，可设a θ=，b θ=，其中02θπ≤<，3sin 6a πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，02θπ≤<，13666πππθ∴≤+<， 当62ππθ+=时，即当3πθ=时，a取得最大值此时，32a π==，332b π==，因此，双曲线的标准方程为2213944x y -=. 故答案为：2213944x y -=. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了利用导数求解二次函数的切线方程，以及利用三角换元思想求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】设得到代入曲线整理得到答案【详解】设则即代入曲线得到即故答案为：【点睛】本题考查了轨迹方程意在考查学生的计算能力和转化能力确定坐标的关系是解题的关键 解析：24y x =【分析】设(),N x y ，()00,P x y ，得到00221x xy y =⎧⎨=+⎩，代入曲线整理得到答案.【详解】设(),N x y ，()00,P x y ，则00212x x y y ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，即00221x x y y =⎧⎨=+⎩，代入曲线得到()221221y x +=⋅+，即24y x =.故答案为：24y x =. 【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定,N P 坐标的关系是解题的关键.17．【分析】设动圆的圆心为半径为R 根据动圆与圆外切与圆内切得到两式相加得到再根据椭圆的定义求解【详解】设动圆的圆心为半径为R 因为动圆与圆外切与圆内切所以所以所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆所以所以动圆解析：2212516x y +=【分析】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，根据动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，得到121,9QQ R QQ R =+=-，两式相加得到1212106QQ QQ QQ +=>=，再根据椭圆的定义求解.【详解】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，因为动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切， 所以121,9QQ R QQ R =+=-， 所以1212106QQ QQ QQ +=>=， 所以动圆圆心的轨迹为以12,Q Q 为焦点的椭圆， 所以2210,5,3,16a a c b ====，所以动圆圆心的轨迹方程为2212516x y +=， 故答案为：2212516x y += 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．【分析】先求出准线方程为代入双曲线方程可得AB 的坐标再由为直角三角形设中点为则即进而求解【详解】由题可知准线方程为因为与双曲线相交于AB 则为为因为为直角三角形由双曲线的对称性可得设中点为则即解得即所 解析：1y =-【分析】先求出准线方程为2py =-,代入双曲线方程可得A ,B 的坐标,再由ABF ∆为直角三角形,设AB 中点为C ,则CE AC =,即p =进而求解.【详解】由题可知准线方程为2p y =-, 因为与双曲线2212x y -=相交于A ,B ,则A为2p ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,B为2p ⎫-⎪⎪⎭, 因为ABF ∆为直角三角形,由双曲线的对称性可得90AFB ∠=︒,设AB 中点为C ,则CE AC =,即p =解得24p =,即2p =, 所以准线方程为1y =-, 故答案为:1y =- 【点睛】本题考查抛物线的几何性质,考查双曲线的方程的应用,考查运算能力.19．【分析】对各内角为直角进行分类讨论利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组求得和利用三角形的面积公式可得出结果【详解】在椭圆中则（1）若为直角则该方程组无解不合乎题意；（2）若为直角则解得；（3）若为直角解析：32【分析】对12MF F ∆各内角为直角进行分类讨论，利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组，求得1MF 和2MF ，利用三角形的面积公式可得出结果.【详解】在椭圆22143x y +=中，2a =，b =1c =，则122FF =.（1）若12F MF ∠为直角，则()12222122424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意； （2）若12MF F ∠为直角，则()12222212424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨-==⎪⎩，解得123252MF MF ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 12121113322222MF F S F F MF ∆∴=⋅=⨯⨯=； （3）若12MF F ∠为直角，同理可求得1232MF F S ∆=. 综上所述，1232MF F S ∆=.故答案为：32. 【点睛】本题考查椭圆中焦点三角形面积的计算，涉及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】由题意结合渐近线的性质可得则把点坐标代入双曲线方程可得化简即可得解【详解】点在第一象限且在双曲线渐近线上又直线的斜率为又点是线段的中点又在双曲线上化简得因为故解得故答案为：【点睛】本题考查了1【分析】由题意结合渐近线的性质可得(,)P a b ，则,22a c b Q -⎛⎫⎪⎝⎭，把Q 点坐标代入双曲线方程可得222222()44a cb b a a b -⋅-⋅=，化简即可得解. 【详解】12F PF 2π∠=，点P 在第一象限且在双曲线渐近线上，∴121||2OP F F c ==， 又直线OP 的斜率为ba，∴(,)P a b ， 又 1(,0)F c -，点Q 是线段1PF 的中点，∴,22a c b Q -⎛⎫⎪⎝⎭， 又 ,22a c b Q -⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上， ∴222222()44a cb b a a b -⋅-⋅=，化简得222222()5420b ac a b a ac c ⋅-=⇒--+=， ∴2240e e --=，因为1e >，故解得1e =1. 【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了计算能力，属于中档题.三、解答题21．（Ⅰ）方程为24y x =，准线为1x =-；（Ⅱ）2,,22⎛⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（Ⅰ）由椭圆方程可得其右焦点为()1,0，即可求出p ，得出抛物线方程和准线； （Ⅱ）设直线BD 的方程为y kx m =+，联立直线与抛物线方程，可得1km <，表示出BD 中点M ，由题可得PM BD ⊥，由1PM k k=-建立关系可求. 【详解】（Ⅰ）由椭圆方程可得其右焦点为()1,0， 抛物线与椭圆右焦点重合，12p∴=，即2p =， 故抛物线C 的方程为24y x =，准线为1x =-； （Ⅱ）设直线BD 的方程为y kx m =+， 联立直线与抛物线方程24y kx m y x=+⎧⎨=⎩，可得()222240k x km x m +-+=， 则()2222440km k m ∆=-->，可得1km <，设()()1122,,,B x y D x y ，212122242,km m x x x x k k-∴+==， 设BD 中点为()00,M x y ，则120222x x km x k +-==，002y kx m k=+=，PBD △为以P 为顶点的等腰三角形，则PM BD ⊥，则222212244PMk k k km km k k k -===-----，整理可得222km k =-， 1km <，则2221k -<，解得k <或k >，故直线BD的斜率的取值范围为2,,22⎛⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.22．（1）7；（2）7. 【分析】（1）求出椭圆的左焦点1(1,0)F -，根据点斜率式可得AB 的方程，直线方程与椭圆方程消去y ，利用根与系数的关系，根据弦长公式即可算出弦AB 的长；（2）利用点到直线的距离公式求出三角形的高，结合（1）的结论，再利用三角形面积公式可得答案. 【详解】椭圆方程为2212x y +=，∴焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，直线AB 过左焦点1F 倾斜角为60︒，∴直线AB 的方程为1)y x =+，将AB 方程与椭圆方程消去y ，得271240x x ++= 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可得12127x x +=-，1247x x =12||x x ∴-=因此，12||||AB x x =-=． (2）2F （1，0)到直线AB 的距离为：d ==212ABF SAB d == 【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x =-；（2）利用12l y y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.23．（1）22142x y +=；（2）(OMN S ∈△. 【分析】（1）由点()1,1B -在O 上可得22b =，然后由OB AB ⊥可求出a ；（2）分切线斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时利用弦长公式表示出MN 并求出其范围即可. 【详解】（1）由直线AB 与O 相切于点()1,1B -，可知点()1,1B -在O 上，则22b =， 又点(),0A a -，且OB AB ⊥，则10101101a--⨯=----+，解得2a =，故所求椭圆方程为22142x y +=．（2）若切线斜率存在，设切线为0kx y m -+=，其中0k ≠，切线l 与椭圆C 交点()11,M x y ，()22,N x y ，则圆心到直线l的距离d ==()2221m k ∴=+，联立方程220142kx y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()222214240k x kmx m +++-=，则122421km x x k -+=+，21222421-=+m x x k()0,2MN ====，当切线斜率不存在时，此时2MN =，故O 的切线l 与椭圆C 相交弦长取值范围为(]0,2，又12OMN S d MN =⋅⋅=△，可得(OMN S ∈△． 【点睛】关键点睛：在解决圆锥曲线中的面积问题时，要善于观察图形的特点，怎么表示出面积是解题的关键.24．（1）min ||2PA =；max ||5PA =；（2）m =. 【分析】（1）设(,)P x y ，利用两点间的距离公式，将问题转化为二次函数求最值.（2）根据图形可知，当直线l 平移与椭圆第一次相切时，切点P 到直线l 的距离最小，则问题转化为椭圆的切线问题，设与l 平行的直线方程为y x t =+，将直线与椭圆方程联立，则0∆=，可得t =，根据图形观察可知，当t =时，直线l 与其平行线距离最小，根据最小值即可求解. 【详解】解：（1）3m =，椭圆方程为2219x y +=，设(,)P x y ，则22222||(2)(2)19x PA x y x =-+=-+-2891(33)942x x ⎛⎫=-+-≤≤ ⎪⎝⎭， ∴94x =时min 22PA =； 3x =-时max 5PA =．（2）根据图形可知，当直线l 平移与椭圆第一次相切时， 切点P 到直线l 的距离最小，则问题转化为椭圆的切线问题． 设与l 平行的直线方程为y x t =+，显然5t ≥-． 联立方程y x t =+和22220x m y m +-= 得：()222222120mxm tx m t m +++-=，由()()4222224410m t mm tm ∆=-+-=，得：22222210m t t m t m -+-+=， 即221t m =+，所以21t m =±+． 根据图形观察可知，当21t m =-+时，直线l 与其平行线距离最小．25122m -++=5t ≥-． 215m +≤，所以2512m +=， 213m +=，因此28m =， 故22m =±22m =． 【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出21t m =±+5t ≥-，考查了计算求解能力.25．（1）24y x =；（2）2. 【分析】（1）根据抛物线的准线求出p ，即可得出抛物线方程；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，与抛物线联立可得24480ky y k -+-=，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解MF NF ⋅的值．【详解】（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-，所以12p=，则2p =， 因此抛物线C 的方程为24y x =；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --， 由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，由()2412y x y k x ⎧=⎪⎨=+-⎪⎩得24480ky y k -+-=， 则124y y k+=，1284y y k =-.因为点A ，B 在抛物线C 上，所以2114y x =，2224y x =，则1121112241214PA y y k y x y --===-+-，2222412PBy k x y -==-+. 因为PF x ⊥轴， 所以()()122244PAPBPA PB y y PF PF MF NF k k k k ++⋅=⋅==⋅()1212884424244y y y y k k-+++++===， 所以MF NF ⋅的值为2. 【点睛】 思路点睛：求解抛物线中的定值问题时，一般需要联立直线与抛物线方程，结合题中条件，以及韦达定理来求解；求解时，一般用韦达定理设而不求来处理.26．（1）2212x y +=；（2）直线AM 与直线BN 的交点P 落在定直线2x =上.【分析】（1）根据题中条件，求出,a b ，即可得出椭圆方程；（2）设直线MN 方程为1x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，得到12y y +，12y y ，表示出直线AM 和BN 的方程，联立两直线方程，计算为定值，即可得出结果. 【详解】 （1）2AB =2a ∴=a =设焦距为2c ，离心率e =2c a ∴=，1c ∴=， 2221b a c ∴=-=因此所求的椭圆方程为2212x y +=（2）设直线MN 方程为1x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，由22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222210m y my ++-=， 12222m y y m ∴+=-+，12212y y m =-+， 直线AM方程是y x =+，直线BN方程是y x =，由y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，212112211y x y my my y y ++++===212211212(1122221(12m m y m m m y m m m y m ⎛⎫⎛⎫-+--⎡⎤ ⎪ ⎪-++--+++⎝⎭⎝⎭==⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭21312mm y -+-++=((()(()()()21213121121m m y m m y ⎡⎤-+-+++⎣⎦=⎡⎤-+++⎣⎦((()(213121m m y ⎡⎤-+-+++=()221121m m y⎡⎤--++=(213==+3=+2x = 此直线AM 与直线BN 的交点P 落在定直线2x =上.【点睛】 关键点点睛：求解本题第二问的关键在于根据点P 为两直线交点，联立两直线方程，结合直线MN 与椭P 横坐标为定值，即可求解.。

(常考题)人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》测试(答案解析)(2)

(常考题)人教版高中数学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》测试(答案解析)(2)

一、填空题1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于P ，Q 两点．若60PAQ ∠=︒，且3PO OQ =（其中O 为原点），则双曲线C 的离心率为_________．2．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e A B =、分别是椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上的一点，直线PA PB 、的倾斜角分别为αβ、，满足tan tan 1αβ+=，则直线PA 的斜率为__________.3．设1F ､2F 分别是椭圆2214xy +=的左､右焦点，若椭圆上存在一点P ，使2()OP OF +⋅20PF =(O 为坐标原点)，则△12F PF 的面积是___________4．设F 为椭圆2222:1x y C a b+=的左焦点，P 为C 上第一象限的一点.若6FPO π∠=，PF =，则椭圆C 的离心率为___________5．椭圆2212516x y +=的左、右焦点为F 1､F 2，点P 在椭圆上，若F 1PF 2为直角三角形，则点P 到x 轴的距离为_____.6．已知F 为双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，过F ，A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若3AB FA =，则此双曲线的离心率为________.7．已知1F ､2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，2POF ∆为正三角形，则C 的离心率为__________.8．设12,F F 分别是椭圆22=1169x y +的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y轴上，则12||||PF PF =______. 9．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在一点P使12PF e PF =，则该椭圆的离心率e 的取值范围是______.10．已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是______．11．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的过焦点且垂直于对称轴的弦的长为5； ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1） 能使抛物线方程为y 2＝10x 的条件是_____．12．已知抛物线方程为24y x =-，直线l 的方程为240x y +-=，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，点A 到直线l 的距离为n ，则m n +的最小值为______.13．已知点P 是椭圆221259x y +=上任意一点，则当点P 到直线45400x y -+=的距离达到最小值时，此时P 点的坐标为______．参考答案二、解答题14．已知抛物线2:2C y px =过点()1,2A ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求过点()3,2P -的直线与抛物线C 交于M 、N 两个不同的点(均与点A 不重合)．设直线AM 、AN 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅为定值．15．已知()()()22:3400,q :112x y p m a m a a m m--<>+=--．（1）若q 表示双曲线，求实数m 的取值范围；（2）若q 表示焦点在y 轴上的椭圆，且q ⌝是p ⌝中的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．16．已知椭圆()222210x y C a b a b ∴+=>>的离心率e =，左焦点为1F ，右焦点为2F ，且椭圆上一动点M 到2F 的最远距离为1，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 的斜率存在且不为0时，试问x 轴上是否存在一点P 使得OPA OPB ∠=∠，若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由.17．已知12,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 是双曲线上一点，满足12PF PF ⊥且128,6PF PF ==． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线l 交双曲线于A ，B 两点，若AB 的中点恰为点(2,6)M ，求直线l 的方程．18．（1）已知双曲线的渐近线方程为230x y ±=，且双曲线经过点()6,2P .求双曲线方程.（2）若直线2x y -=与抛物线24y x =交于A ，B 两点，求线段AB 的中点坐标；19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点231,E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1A ，2A 为椭圆的左右顶点，且直线1A E ，2A E 的斜率的乘积为23-.（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交直线l 于点P ，交直线2x =-于点Q ，求PQMN的最小值. 20．已知椭圆()222210y x a b a b +=>>的离心率22e =，且过点(0,2．（1）求椭圆方程；（2）已知1F 、2F 为椭圆的上、下两个焦点，AB 是过焦点1F 的一条动弦，求2ABF 面积的最大值．21．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1F 恰是2QF 的中点，若过A ，Q ，2F 三点的圆与直线:330l x y --=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 为椭圆C 的长轴两端点，直线m 过点()4,0P 交C 于不同两点G ，H ，证明：四边形MNHG 的对角线交点在定直线上，并求出定直线方程．22．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>6，且过点31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若不过点()0,1A 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且0AP AQ ⋅=，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标.23．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，短轴长为22（1）求椭圆的标准方程.（2）已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆2289x y +=上，直线AM 与椭圆交于另一点B ，且AOB 的面积是AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程.24．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）长轴长为短轴长的两倍，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，直线l 过点(,0)A a -，且与椭圆相交于另一点B ．（1）求椭圆的方程； （2）若线段AB 长为25，求直线l 的倾斜角． 25．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合.过F 且与x 轴重直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D 两点，且4||||3CD AB =. （1）求1C 的离心率；（2）若1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为6，求1C 与2C 的标准方程.26．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，且经过点(3.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若154AB =，求直线l 的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】设由已知得由双曲线的渐近线的斜率可求得ab 的关系从而求得双曲线的离心率【详解】取PQ 的中点为B 因为所以为正三角形设则所以故答案为：【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时将提供的双曲线的几解析：13【分析】设OQ m =，由已知得2,2BQ m PQ m ==，23,AB m OB m ==，由双曲线的渐近线的斜率可求得a ,b 的关系，从而求得双曲线的离心率. 【详解】取PQ 的中点为B ，因为060PAQ ∠=，3PO OQ =，所以PAQ △为正三角形，设OQ m =,则2,2BQ m PQ m ==，23,AB m OB m ==，所以23231313PQ m bk c a e a===⇒=⇒=. 故答案为：13.【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222b c a =-和ce a=转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．2．或【分析】设出点坐标求得的表达式求得代入直线的斜率公式可得答案【详解】依题意设则即化简得由于是椭圆的左右顶点所以所以所以所以或所以当时当时所以直线的斜率为或故答案为：或【点睛】本小题主要考查椭圆的几【分析】设出P 点坐标，求得tan +tan αβ的表达式，求得00x y ，，代入直线的斜率公式可得答案. 【详解】依题意1,22c b a b a a ====.设()()000,0P x y x ≠，则2200221x y a b +=，即22002214x y a a +=，化简得222004y x a -=-. 由于,A B 是椭圆的左右顶点，所以()(),0,,0A a B a -，所以tan +tan αβ0000+y y x a x a =+-0000022200022142x y x y xx ay y ===-=--，所以002x y =-，所以004x y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或004x y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以当0024x y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，tanα002y x a ===+，当0024x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时，00122y x a -===+，所以直线PA或12，故答案为：2或12. 【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，直线的斜率公式，关键在于求得点P 的坐标，属于中档题.3．1【分析】记的中点为根据向量数量积为得到与的位置关系再结合三角形中位线以及直角三角形中的勾股定理求解出的值则面积可求【详解】如图所示：记的中点为因为所以所以因为为的中点所以所以所以所以所以故答案为：解析：1 【分析】记2PF 的中点为M ，根据向量数量积为0得到OM 与2PF 的位置关系，再结合三角形中位线以及直角三角形中的勾股定理求解出12PF PF ⋅的值，则12F PF △面积可求. 【详解】 如图所示：记2PF 的中点为M ，因为22()0OP OF PF +⋅=，所以220OM PF ⋅=，所以2OM PF ⊥，因为,O M 为122,F F PF 的中点，所以1//OM PF ，所以12PF PF ⊥，所以2221212121224PF PF F F PF PF a ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，所以()()22212121222PFPF PF PF PF PF +-+⋅==，所以121212F PF PF PF S==， 故答案为：1. 【点睛】关键点点睛：圆锥曲线中的向量平行或垂直问题，一方面可以转化为线段或直线的位置关系，另一方面还可以通过坐标形式表示出对应的位置关系.4．【分析】连接由余弦定理结合平面几何的知识得再由椭圆的定义及离心率公式即可得解【详解】设椭圆的右焦点连接如图因为所以所以所以所以为等边三角形所以所以离心率故答案为：【点睛】解决本题的关键是利用余弦定理 31【分析】连接1PF ，由余弦定理结合平面几何的知识得11PF OF =，再由椭圆的定义及离心率公【详解】设(),0F c -，椭圆的右焦点()1,0F c ，连接1PF ，如图，因为6FPO π∠=，3PF =，所以2222223cos 2223PF OP OFOP OFFPO PF OPOP OF+-+∠===⋅⋅， 所以OP OF =，所以1OP OF =，13POF π∠=，所以1POF 为等边三角形，11PF OF =， 所以)113312PF PF OF OF c a +=+==，所以离心率31312ce a===+. 31. 【点睛】解决本题的关键是利用余弦定理及平面几何的知识转化条件为11PF OF =，再由椭圆的定义、离心率公式即可得解.5．【分析】设点P(xy)表示出点P 到x 轴的距离为由哪一个角是直角来分类讨论在第一类中直接令x=士3得结果在第二类中要列出方程组【详解】设点则到轴的距离为由于（1）若或令得即到轴的距离为（2）若则由可得 解析：165【分析】设点P (x ,y )，表示出点P 到x 轴的距离为||y ，由哪一个角是直角来分类讨论，在第一类中直接令x =士3得结果，在第二类中要列出方程组.设点(,)P x y ，则到x 轴的距离为||y 由于5a =，4b =，3c ∴=，（1）若1290PF F ∠=︒或2190PF F ∠=︒，令3x =±得2y =291616(1)2525-=，16||5y ∴=，即P 到x 轴的距离为165． （2）若1290F PF ∠=︒，则122221210||6PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 22121||||(106)322PF PF ∴=-=，由1210PF PF +=可得此情况不存在. 综上，P 到x 轴的距离为165. 故答案为：165． 【点睛】解决本题的关键是要注意分类讨论的思想，题目中的直角三角形，要分清楚那个角是直角，是解决问题的先决条件.6．【分析】首先根据题意得到直线的方程为与双曲线的渐近线联立得到再根据得到从而得到【详解】由得直线的方程为根据题意知直线与渐近线相交联立得消去得由得所以即整理得则故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的离解析：43【分析】首先根据题意得到直线AF 的方程为by x b c=+，与双曲线的渐近线联立得到=-B ac x c a ，再根据3AB FA =得到34c a =，从而得到43e =. 【详解】 由(),0F c -，()0,A b ，得直线AF 的方程为by x b c=+ 根据题意知，直线AF 与渐近线by x a=相交， 联立得b y x b cb y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去y 得，=-B ac x c a .由3AB FA =，得()(),3,-=B B x y b c b ， 所以3=B x c ，即3=-acc c a，整理得34c a =， 则43c e a ==. 故答案为：43【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，同时考查学生的计算能力，属于中档题.7．【分析】根据题意作出图示求解出的长度然后根据椭圆的定义得到之间的关系即可求解出离心率【详解】如图因为为正三角形所以所以是直角三角形因为所以所以所以因为所以即所以故答案为：【点睛】本题考查根据几何关系 解析：31-【分析】根据题意作出图示，求解出12,PF PF 的长度，然后根据椭圆的定义得到,a c 之间的关系即可求解出离心率. 【详解】如图，因为2POF 为正三角形，所以12||||||OF OP OF ==，所以12F PF ∆是直角三角形. 因为2160PF F ∠=，21||2F F c =，所以2||PF c =，所以22212122122cos60PF PF F F PF F F =+-⋅⋅︒，所以13PF c =， 因为21||||2PF PF a +=，所以32c c a +=， 即3131ca ，所以31e =-.故答案为：31-.【点睛】本题考查根据几何关系以及椭圆的定义求解椭圆的离心率，难度一般.求解离心率的问题，如果涉及到特殊几何图形，一定要注意借助图形本身的性质去求解问题.8．【分析】先设P 点中点再求焦点再根据线段的中点在轴上求出P 点坐标再利用焦半径公式即可得的长则可解【详解】设中点由题意得由线段的中点在轴上则有代入中得P 点坐标为或根据焦半径公式可得∴故答案为：【点睛】考 解析：239【分析】先设P 点，中点，再求焦点12,F F ,再根据线段1PF 的中点在y 轴上，求出P 点坐标，再利用焦半径公式即可得12||,||PF PF 的长,则12||||PF PF 可解. 【详解】设(,)p p P x y ，中点(0,)m n .由题意得12(F F ，4a =，e =由线段1PF 的中点在y 轴上，则有02p x +=，p x =22=1169x y +中得P 点坐标为9()4或9()4-根据焦半径公式可得，12239||,||44PF PF ==， ∴12||23||9PF PF =. 故答案为：239. 【点睛】考查椭圆的焦半径公式, 解题关键要求出P 点坐标.9．【分析】由椭圆的定义可得解得由椭圆的性质可得解不等式求得离心率的取值范围【详解】设点的横坐标为则由椭圆的定义可得由题意可得则该椭圆的离心率的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查椭圆的定义以及简单性质解析：)1,1【分析】由椭圆的定义可得22()()a a e x e e x c c +=⨯-，解得(1)c a x e e -=+，由椭圆的性质可得(1)c aaa e e --+，解不等式求得离心率e 的取值范围．【详解】设点P 的横坐标为x ，12PF e PF =，则由椭圆的定义可得22()()a a e x e e x c c+=⨯-，(1)c a x e e -∴=+，由题意可得(1)c aaa e e --+， 111(1)e e e -∴-+，∴2211e e e e e e ⎧--⎨-+⎩，∴211e -<， 则该椭圆的离心率e 的取值范围是[21-，1)， 故答案为：[21-，1)． 【点睛】本题考查椭圆的定义，以及简单性质的应用，由椭圆的定义可得22()()a a e x e e x c c+=⨯-，是解题的关键．10．【分析】由双曲线方程求得渐近线方程当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点利用数形结合可求出符合条件直线的斜率取值范围【详解】双曲线的渐近线方程当过焦点的直线与两条解析：33,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由双曲线方程求得渐近线方程33y x =±，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点，利用数形结合，可求出符合条件直线的斜率取值范围． 【详解】双曲线221124x y -=的渐近线方程33y x =±，当过焦点的直线与两条渐近线平行时， 直线与双曲线右支分别只有一个交点(因为双曲线正在与渐近线无限接近中)，由图可知，斜率不在33⎡⎢⎣⎦的所有直线与双曲线右支有两点交点（如图中直线2l ），斜率在⎡⎢⎣⎦的所有直线都与双曲线右支只有一个交点（如图中直线m ）．所以此直线的斜率的取值范围.⎡⎢⎣⎦故答案为.⎡⎢⎣⎦【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.11．②⑤【分析】设抛物线方程为根据抛物线的定义焦半径公式直线相互垂直与斜率之间的关系即可判断出结论【详解】设抛物线方程为②③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6可得解得抛物线方程为舍去；②④抛物线的解析：②⑤ 【分析】设抛物线方程为22y px =．根据抛物线的定义、焦半径公式、直线相互垂直与斜率之间的关系即可判断出结论． 【详解】设抛物线方程为22y px =．②③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6，可得162p+=，解得10p =，抛物线方程为220y x =，舍去；②④抛物线的过焦点且垂直于对称轴的弦的长为5，可得25()222pp =⨯，解得52p =，可得抛物线方程为25y x =．②⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)，可得：111222p ⨯=--，解得5p =，可得抛物线方程为210y x =，因此正确．能使抛物线方程为210y x =的条件是②⑤． 故答案为：②⑤． 【点睛】本题考查了抛物线的定义、焦半径公式、直线相互垂直与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．【分析】过点作直线的垂线垂足为过点作准线的垂线垂足为交轴于点根据抛物线的定义可知所以过点作直线的垂线垂足为当点在与抛物线的交点时最小从而可求出答案【详解】如图焦点为抛物线的准线方程为过点作直线的垂线1 【分析】过点A 作直线l 的垂线，垂足为H ，过点A 作准线的垂线，垂足为C ，交y 轴于点B ，根据抛物线的定义可知，1AF AC m ==+，所以1m n AF AH +=+-，过点F 作直线l 的垂线，垂足为1H ，当点A 在1FH 与抛物线的交点时，AF AH +最小，从而可求出答案. 【详解】如图，焦点为()1,0F -，抛物线的准线方程为1x =， 过点A 作直线l 的垂线，垂足为H ，则AH n =，过点A 作准线的垂线，垂足为C ，交y 轴于点B ，则AB m =，1AC m =+， 根据抛物线的定义可知，1AF AC m ==+， 所以1m n AF AH +=+-，过点F 作直线l 的垂线，垂足为1H ，则1FH ==,当点A 在1FH 与抛物线的交点时，AF AH +最小，为15FH =，此时，m n +取得最小值15-.1.【点睛】本题考查抛物线的性质，考查点到直线距离公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.13．【分析】首先求出与椭圆相切的直线的方程根据直线方程与椭圆方程联立求出点坐标即可【详解】设直线：当直线与椭圆相切时其中一个切点到直线的距离最小故联立整理得相切时易知当时点到直线的距离最小代入中解得代入解析：94,5⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】首先求出与椭圆相切的直线的方程，根据直线方程与椭圆方程联立求出P 点坐标即可. 【详解】设直线1l ：()450x y m m R -+=∈， 当直线1l 与椭圆相切时，其中一个切点到直线45400x y -+=的距离最小，故联立224501259x y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得222582250x mx m ++-=， 相切时24025b ac m ∆=-=⇒=±，易知当25m =时点到直线45400x y -+=的距离最小，25m =代入222582250x mx m ++-=中，解得4x =-，4x =-代入45250x y -+=中，解得95y =， 故P 点坐标为94,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：94,5⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，属于一般题.二、解答题14．（1）24y x =；（2）证明见解析. 【分析】（1）本题可将()1,2A 代入抛物线方程中求出p 的值，即可得出结果； （2）本题首先可设()11,M x y 、()22,N x y 以及直线MN 的方程23xt y ，然后通过联立直线MN 的方程与抛物线方程即可得出124y y t +=、12812y y t =--，最后通过1212122211y y k k x x 并化简即可得出结果.【详解】（1）因为抛物线2:2C y px =过点()1,2A ， 所以42p =，2p =，抛物线方程为24y x =.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为23xt y ，联立()2234x t y y x⎧=++⎨=⎩，整理得248120y ty t ---=，21632480t t ∆=++>，124y y t +=，12812y y t =--，则1212122212122222111144y y y y k k y y x x 1212161622481284y y y y t t ，故12k k ⋅为定值2-. 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线方程的求法以及抛物线与直线相交的相关问题的求解，通过联立直线的方程与抛物线方程以及韦达定理得出12y y +、12y y 的值是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.15．（1）()()–,12,∞+∞；（2）13,38⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据曲线方程，列式()()120m m --<，求m 的取值范围；（2）分别求两个命题为真命题时，m 的取值范围，根据命题的等价性转化为p 是q 的充分不必要条件，转化为真子集关系，求实数a 的取值范围. 【详解】（1）由()()120m m --<，得1m <或2m >，即()()–,12,m ∈∞⋃+∞（2）命题p ∶由()()()3400m a m a a --<>，得34a m a <<．命题q ∶22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆， 则102021m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得312m <<，因为q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件，则31342a a ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得1338a ≤≤，故实数a 的取值范围为：13,38⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．16．（1）2212x y +=；（2）存在，()2,0P .【分析】（1）由已知条件列出关于,,a b c 的方程组，解得,,a b c 即得椭圆方程；（2）假设存在，设(),0P m ，()11,A x y ，()22,B x y ，设直线方程为(1)y k x =-，代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +，然后计算由0AP BP k k +=是关于k 的恒等式可求得m 即得．【详解】（1）22221c e a a c a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，11a cb ⎧=⎪∴=⎨⎪=⎩，2212x y ∴+=.（2）假设存在(),0P m 满足题意，设()11,A x y ，()22,B x y ，():1AB l y k x =-，()22122y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，()2222124220k x k x k ∴+-+-=， 2122412k x x k ∴+=+，21222212k x x k -=+，11APy k x m =-，22BP y k x m =-， ()()()()1221120AP BP y x m y x m k k x m x m -+-+==--，()1221120y x y x m y y ∴+-+=，211212(1)(1)(2)0kx x kx x km x x -+--+-=，()()1212220kx x k mk x x km ∴-+++=，代入1212,x x x x +整理得24,2km k m ==，()2,0P ∴． 【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆标准方程，求直线与椭圆相交中的定点问题．求椭圆方程的关键是列出关于,,a b c 的方程组，解之即得，直线与椭圆相交问题采用“设而不求”的思想方法，即设交点为1122(,),(,)x y x y ，设直线方程(1)y k x =-，同时假设定点在在．设坐标为(,0)m ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +，并代入定点满足的条件0AP BP k k +=，由此求出参数m ，得定点坐标．17．（1）22124y x -=；（2）810y x .【分析】（1）由双曲线定义求a ，结合12PF PF ⊥求2b ，写出双曲线C 的标准方程；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，结合双曲线方程得1212121224y y y y x x x x -+⋅=-+，根据中点M 、直线斜率的坐标表示得324AB k ⋅=，即可写出直线方程. 【详解】（1）1222a PF PF =-=，得1a =，在△12PF F 中2221212100F F PF PF =+=，∴24100c =，22225c a b ==+，则224b =，故双曲线的标准方程为：22124y x -=（2）设()()1122,,,A x y B x y ，有221221221212222212424124y x y y x x y x ⎧-=⎪-⎪⇒-=⎨⎪-=⎪⎩，所以221212122112122224y y y y y y x x x x x x --+=⋅=--+，又1212AB y y k x x -=-，1212632y y x x +==+， ∴324AB k ⋅=，得8AB k =， ∴直线AB 方程为：810y x ，满足0∆>，符合题意 .【点睛】 关键点点睛：由双曲线定义：曲线上的点到两焦点距离差为定值m ，有2a m =，结合勾股定理求c .()()1122,,,A x y B x y ，利用中点1212(,)22x x y y ++、直线斜率1212y y k x x -=-，结合所得方程1212121224y y y y x x x x -+⋅=-+，求斜率并写出直线方程. 18．（1）2231143y x -=；（2）()4,2. 【分析】（1）由渐近线方程设双曲线方程为()22094x y λλ-=≠，代入点P 的坐标可得双曲线方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入双曲线方程，应用韦达定理和中点坐标公式可得． 【详解】（1）由双曲线的渐近线方程23y x =±，可设双曲线方程为()22094x y λλ-=≠.∵双曲线过点)P，∴6494λ-=，13λ=-，故所求双曲线方程为2231143y x -=.（2）由224x y y x-=⎧⎨=⎩得2840x x -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则128x x +=，121244y y x x +=+-=， 故线段AB 的中点坐标为()4,2. 【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线方程，考查弦中点坐标．已知双曲线的渐近线方程为0mx ny ±=，则双曲线方程可设为2222m x n y λ-=，代入其他条件求得λ即可得，这种方法不需要考虑双曲线的焦点所在轴．19．（1）22132x y +=；（2【分析】（1）由题可得221413a b+=，233113a a ⋅=-+-，解得,ab ，即可得椭圆C 的方程；（2）由题可设直线l ：1x my =+，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式计算出点P ，MN，计算得2PQMN =，令t =，采用换元法求解最小值. 【详解】 （1）依题意有，221413a b+=，233113a a ⋅=-+-， 解得23a =，22b =，椭圆的方程为22132x y +=；（2）由题意知直线l 的斜率不为0，设其方程为1x my =+， 设点()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程()2222123440321x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩， 得到122423m y y m -+=+，122423y y m -=+ 由弦长公式MN =整理得22123m MN m +=+，又1222223P y y m y m +-==+，2323Px m =+，2P PQ x =-=212PQMN =， 令t =，1t ≥，上式24554t t t t +⎫==+≥⎪⎝⎭，当254t =，即12m =±时，PQ MN【点睛】方法点睛：求解弦长问题通常应用弦长公式： 直线与圆锥曲线交于点()()1122,,,A x y B x y，则弦长1212AB x y =-=-（k 为直线的斜率）. 20．（1）2212y x +=；（2【分析】（1）根据离心率的值，可列出a c ，的关系式，再根据经过()0,-2点，可得出a 的值和c 的值，最后再结合222a b c =+，可算出b 的值，直接写出椭圆方程即可.（2）根据题意设出直线的方程和椭圆方程联立方程组，由根和系数的关系，再结合三角形面积公式，可把三角形面积表示成含有参数的关系式，最后根据不等式，可求得面积的最大值. 【详解】 （1）由题意，a =2c e a ==得1c =，所以1b =，所以椭圆方程是2212y x +=．（2）由于直线AB 经过上焦点()0,1，设直线AB 方程为1y kx =+，联立方程组22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩将1y kx =+代入椭圆方程2212y x +=，得()222210k x kx ++-=，则222A B k x x k +=-+，212A Bx x k ⋅=-+， ∴A Bx x -==21212ABF A B S F F x x =⋅-△，可知122F F=则21112ABF S ===≤△．=，即0k =时，2ABF S．【点睛】椭圆与直线相交时，三角形面积问题的关键点为：设直线方程、联立方程组、韦达定理、列出三角形面积的关系式，最后根据函数或不等式，可求出三角形面积的范围.21．（1）22143x y +=；（2）证明见解析， 1x =.【分析】（1）设椭圆C 的半焦距为()0c c >，由圆的定义可求得圆的半径，再由直线与圆的相切的条件可求得c ， 2a ，2b ，可求得椭圆方程．（2）设其方程为4x my =+，设()11,H x y ，()22,G x y ，直线与椭圆的方程联立整理得()223424360my my +++=，得出根与系数的关系，表示直线MH 的方程和直线GN 的方程。

天津市高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(包含答案解析)

天津市高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．13B ．32C ．12D ．12．已知P 为抛物线24y x =上任意一点，抛物线的焦点为F ，点(2,1)A 是平面内一点，则||||PA PF +的最小值为（ ）A ．1BC ．2D ．33．设F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左.右支交于点P Q 、，若2,60PQ QF PQF =∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ）A ．1BC ．2D ．4+4．已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，经过点F 的直线交E 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作l 的垂线，垂足分别为C ，D 两点，直线AB 交l 于G 点，若3AF FB =，下述四个结论：①CF DF②直线AB 的倾斜角为π4或3π4 ③F 是AG 的中点④AFC △为等边三角形其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④5．(),0F c 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点，过原点作一条倾斜角为60︒的直线交椭圆于P 、Q 两点，若2PQ c =，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B 1CD 6．已知椭圆C 的方程为22221(0,0)x y a b a b+=>>，过右焦点F 且倾斜角为4π的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线2a x c=和AB 于点P 和M ，若3||4||AB PM =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．32B ．223C ．6D ．227．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C 的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（ ）A ．22B ．2C ．3D ．28．设1F ，2F 分别为双曲线22134x y -=的左，右焦点，点P 为双曲线上的一点.若12120F PF ∠=︒，则点P 到x 轴的距离为（ ）A ．21B ．221C ．421D ．219．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 点作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，若0OA OB ⋅=，则椭圆的离心率等于（ ）A ．15-+B ．13-+C ．12D ．3- 10．如图所示，12FF 分别为椭圆2222x y 1a b+=的左右焦点，点P 在椭圆上，2POF 的面积为3的正三角形，则2b 的值为( )A 3B ．23C ．33D ．4311．已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线28y x =的焦点与双曲线的一个焦点重合，点P 是两曲线的一个交点，12PF PF ⊥且121PF F S =△，则双曲线的离心率为（ ）A 3B 23C 43D ．212．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线经过点2,6，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2BC ．3D 二、填空题13．已知A 、B 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右顶点，M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，始终满足()()12f k f k =，其中()ln 2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则C 的离心率为______ ． 14．已知双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，若∠260AF B =︒，则2AF B 的内切圆半径为______.15．F 是抛物线2:4C y x =的焦点，P 是C 上且位于第一象限内的点，点P 在C 的准线上的射影为Q ，且2PQ =，则PQF △外接圆的方程为_____.16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>）的左，右焦点分别是1F ，2F ，直线:(l y k x =过点2F ，且与双曲线C 在第一象限交于点P .若（22()0OP OF PF +⋅=（O 为坐标原点），且()121PF a PF +=，则双曲线C 的离心率为__________.17．设12,F F 为椭圆22:14x C y +=的两个焦点，P 为椭圆C 在第一象限内的一点且点P 的横坐标为1，则12PF F △的内切圆的半径为__________.18．双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交曲线C 右支于P 、Q 两点，且1PQ PF ⊥，若3PQ ＝14PF ，则C 的离心率等于________． 19．已知抛物线21:8C y x =的焦点是F ，点M 是其准线l 上一点，线段MF 交抛物线C 于点N .当23MN MF →→=时，NOF 的面积是______ 20．双曲线221916x y -=的左焦点到渐近线的距离为________． 三、解答题21．已知双曲线22:145x y C 的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方）． （1）若3PF FQ =，求直线l 的方程；（2）设直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值． 22．已知()1,0F c -是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点，离心率5e =，2c a b =+.（1）求椭圆C 的方程；（2）求过点()1,1A 且被A 点平分的弦所在直线的方程.23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点B ，离心率为32，且直线AB 与圆224:5O x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）设p 椭圆C 上位于第三象限内的动点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，试问四边形ABNM 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.24．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别是(2,0)-，(2,0)，直线AQ ，BQ 相交于点Q ，且它们的斜率之积是34-. （1）求点Q 的轨迹C 的方程； （2）过点(4,0)P -的直线l 与轨迹C 相交于M ，N 两点，且4PAM PON S S =△△. ①求直线l 的方程；②求直线l 被轨迹C 截得的弦长.25．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线与直线1y x =+交于A 、B 两点，若||8AB =，求抛物线的方程．26．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点(1,0)A -和(1,0)B 的距离分别为1d 和2d ，2AMB θ∠=，且212cos 1d d θ=.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）是否存在直线l 过点B 与轨迹E 交于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆过原点O ？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率．【详解】 解：由3c e a ==，得2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+，∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯． ∴直线l 的斜率为12． 故选：C ．【点睛】 本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题． 2．D解析：D【解析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，∴要求PA PF +取得最小值，即求PA PD +取得最小，当,,D P A 三点共线时PA PD +最小，为213--=（），故选D.3．A解析：A【解析】∵|PQ |=2|QF |,∠PQF =60°,∴∠PFQ =90°，设双曲线的左焦点为F 1,连接F 1P ,F 1Q ，由对称性可知,F 1PFQ 为矩形,且|F 1F |=2|QF|,1QF =， 不妨设()1220F F m m =>，则1,QF QF m ==，故121212F F c e a QF QF ====-. 本题选择A 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．4．D解析：D【分析】由题意画出图形，由平面几何知识可得①正确；设出AB 的方程，与抛物线方程联立，可得A ，B 横坐标的积，结合已知向量等式求解A 的坐标，再求出AF 所在直线斜率，可得AB 的倾斜角，判断②错误，再结合选项可知D 正确．【详解】解：如图，由抛物线定义可知，AC AF =，BD BF =，则AFC ACF CFO ∠=∠=∠，BFD BDF DFO ∠=∠=∠， 则2AFC BFD CFO DFO CFD π∠+∠=∠+∠=∠=，CF DF ∴⊥，故①正确；设AB 所在直线方程为()2p y k x =-， 联立2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得22222(2)04k p k x k p p x -++=． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则2124p x x =，又3AF FB =，∴123()22p p x x +=+，即123x x p=+， 联立2121243p x x x x p ⎧=⎪⎨⎪=+⎩ ，解得12p x =-（舍)或132x p =， 则13y p =，即3(,3)2A p p ， 则3322FA P k p p ==-，可得直线AB 的倾斜角为3π，④正确 由对称性，若A 在x 轴下方，则直线AB 的倾斜角为23π，故②错误． 由3(,3)2A p p ，(,0)2p F ，G 点的横坐标为2p -，可得F 是AG 的中点，故③正确；故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查运算求解能力，是中档题．5．B解析：B【分析】设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PFPF ，由题 可得1PF PF ⊥且POF 是等边三角形，表示出1,PF PF ，利用勾股定理建立关系即可求出.【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PFPF ， 2PQ c =，则PO c =，则1PF PF ⊥，又60POF ∠=，则POF 是等边三角形，即PF c =，12PF PF a +=，12PF a c ∴=-，又22211PF PF F F +=，即()()22222a c c c -+=，整理可得22220c ac a +-=，即2220e e +-=，解得31e =-.故选：B.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6．B解析：B【分析】联立直线AB 与椭圆方程，表示出弦长AB ，求出中点M 的横坐标，即可表示出PM 的长，利用已知等量关系即可求出离心率.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，易得直线AB 的方程为y x c =-，联立直线与椭圆方程22221y x c x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()()222222220a b x a cx ac b +-+-=，则212222a c x x a b +=+，()2221222a cb x x a b -=+， ()222222222222224114a c b a c ab AB a b a b a b -⎛⎫∴=+-⋅= ⎪+++⎝⎭， 212222M x x a c x a b+==+，直线PM 的斜率为1-， ()()2222222211P M a b PM x x c a b ∴=+--=+， 3||4||AB PM =，即()222222242234ab a b a b c a b ⨯=⨯++，解得22c e a ==. 故选：B.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.7．B解析：B【分析】 首先利用DF DA =，求点D 的坐标，再利用DF 与渐近线垂直，构造关于,a c 的齐次方程，求离心率.【详解】由条件可知(),0F c -，(),0A a ，由对称性可设条件中的渐近线方程是b y x a=，线段FA 的中垂线方程是2a c x -=，与渐近线方程b y x a =联立方程，解得()2b a c y a-=，DF DA =，即(),22b a c a c D a -⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为DF 与渐近线b y x a =垂直，则()()22b ac a a a c b c -=----， 化简为2232222b c ab a a c b c ac a c -=+⇔=+，即22b ac a =+，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ，得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =.故选：B【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.8．C解析：C【分析】如图，设1=PF m ，2=PF n ，由双曲线定义知=23m n -，平方得：22212m n mn +-=，在12F PF △中利用余弦定理可得：2228m n mn ++=，即可得到163mn =，再利用等面积法即可求得PD 【详解】由题意，双曲线22134x y -=中，2223,4,7a b c === 如图，设1=PF m ，2=PF n ，由双曲线定义知=223m n a -=两边平方得：22212m n mn +-=在12F PF △中，由余弦定理可得：2222cos120428m n mn c +-==，即2228m n mn ++=两式相减得：316mn =，即163mn =利用等面积法可知：11sin120222mn c PD =⨯⨯，即163273PD ⨯=⨯ 解得421PD =故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的定义及焦点三角形的几何性质，解题的关键是熟悉焦点三角形的面积公式推导，也可以直接记住结论：（1）设1F ，2F 分别为椭圆22221x y a b+=的左，右焦点，点P 为椭圆上的一点，且12F PF θ∠=，则椭圆焦点三角形面积122tan 2F PF S b θ=（2）设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=的左，右焦点，点P 为双曲线上的一点，且12F PF θ∠=，则双曲线焦点三角形面积122tan 2F PF b S θ=解析：A 【分析】由0OA OB ⋅=可得OAB 是等腰直角三角形，结合椭圆的几何性质列出方程，可求解椭圆的离心率． 【详解】椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交椭圆C 于A ，B 两点，由2b xc y a=⇒=±，若0OA OB ⋅=，则OAB 是等腰直角三角形(O 为坐标原点），可得2b c a =，即22a c ac -=，可得210e e +-=且(0,1)e ∈，解得e =． 故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，考查了椭圆的几何性质，同时考查了垂直关系的向量表示，是基本知识的考查．10．B解析：B 【分析】由2POF 2=.c 把(P 代入椭圆方程可得：22131a b+=，与224a b =+联立解得即可得出． 【详解】解：2POF2= 解得2c =．(P ∴代入椭圆方程可得：22131a b+=，与224a b =+联立解得：2b = 故选B ． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解析：B 【分析】求出双曲线的半焦距，结合三角形的面积以及勾股定理，通过双曲线的定义求出a ，然后求解双曲线的离心率即可 【详解】由双曲线与抛物线有共同的焦点知2c =，因为12PF PF ⊥，且121PF F S =△，则122PF PF ⋅=，222212124PF PF F F c +==，点P 在双曲线上，则122PF PF a -=，故222121224PF PF PF PF a +-⋅=，则22444c a -=，所以a = 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，考查计算能力，属于中档题..12．A解析：A 【分析】求出双曲线的渐近线方程，将点代入即可得ba=得离心率. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为b y x a =过第一象限，所以点在渐近线b y x a =b a =，所以ba=所以2c e a ==． 故选：A 【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于中档题.二、填空题13．【分析】设出的坐标利用直线的斜率的乘积结合已知条件推出斜率乘积转化求解双曲线的离心率即可【详解】设由M 是双曲线上异于AB 的动点若直线MAMB 的斜率分别为则又则由得因为所以可得显然不成立；则所以所以故【分析】设出,,M A B 的坐标，利用直线的斜率的乘积，结合已知条件，推出斜率乘积，转化求解双曲线的离心率即可. 【详解】设()()(),,,0,,0M m n A a B a -，由M 是双曲线上异于A 、B 的动点，若直线MA 、MB 的斜率分别为12,k k ，则21222n n n k k m a m a m a ⋅=⋅=+--， 又22221m n a b -=，则2212222n b k k m a a==⋅-， 由()ln 2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 得()()1212ln ,ln 22k k fk f k ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()()12fk f k =，所以21ln ln 22k k ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 可得2122k k =显然不成立； 则2211ln ln ln 02222k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以21211224k k k k ⋅⇒==，所以c e a ===【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的值的常用方法：由,a b 或,a c 的值，得e === 列出含有,,a b c 的齐次方程，借助222b c a =-消去b ，然后转化为关于e 的方程求解；14．【分析】设内切圆的圆心设三边与内切圆的切点连接切点与圆心的线段由内切圆的性质可得再由双曲线定义可知：可得重合再由可得内切圆的半径的值【详解】设内切圆的圆心为设圆与三角形的边分别切于如图所示连接由内切解析：43【分析】设内切圆的圆心M ，设2AF B 三边与内切圆的切点，连接切点与圆心M 的线段，由内切圆的性质可得22AF AQ BF BQ -=-，再由双曲线定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，可得Q ，1F 重合，再由260AF B ∠=︒可得内切圆的半径的值. 【详解】设内切圆的圆心为(),M x y ，设圆M 与三角形的边分别切于T ，Q ，S ，如图所示 连接MS ，MT ，MQ ，由内切圆的性质可得：22F T F S =，AT AQ =，BS BQ =，所以222AF AQ AF AT F T -=-=，222BF BQ BF BS F S -=-=， 所以22AF AQ BF BQ -=-，由双曲线的定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，所以可得Q ，1F 重合， 所以224TF a ==，所以圆的半径为2243tan 2AF B r MT TF ∠===. 故答案为：43.【点睛】本题主要考查双曲线定义的应用，熟记双曲线的定义即可，属于常考题型.15．【分析】由题可判断为直角三角形即外接圆的圆心为中点求出圆心和半径即可写出圆的方程【详解】由抛物线方程可知焦点准线方程为即则即为直角三角形外接圆的圆心为中点即圆心为半径为外接圆的方程为故答案为：【点睛解析：()2212x y +-=【分析】由题可判断FPQ △为直角三角形，即PQF △外接圆的圆心为FQ 中点，求出圆心和半径即可写出圆的方程. 【详解】由抛物线方程可知焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，2PQ =，∴12P x +=，即1P x =，则2P y =， ()()1,2,1,2P Q ∴-，FP PQ ∴⊥，即FPQ △为直角三角形，∴PQF △外接圆的圆心为FQ 中点，即圆心为()0,1，半径为122FQ = ∴PQF △外接圆的方程为()2212x y +-=.故答案为：()2212x y +-=.【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查圆的方程的求解，属于基础题.16．【分析】取的中点则根据得则设根据结合双曲线的定义得到然后在中利用勾股定理求解即可【详解】如图取的中点则因为所以即因为是的中位线所以由题意可得设则由双曲线的定义可知则即故在中由勾股定理得即整理得解得故 解析：102【分析】取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=，根据22()0OP OF PF +⋅=，得2OH PF ⊥，则12PF PF ⊥，设2PF m =，根据()121PF a PF +=结合双曲线的定义得到2||2PF =，122PF a =+，然后在12Rt PF F 中，利用勾股定理求解即可.【详解】 如图，取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=， 因为22()0OP OF PF +⋅=，所以20OH PF ⋅=，即2OH PF ⊥.因为OH 是12PF F △的中位线，所以12PF PF ⊥.由题意可得10c =，设2PF m =，则()11PF a m =+， 由双曲线的定义可知12||2PF PF a -=，则2am a =，即2m =， 故2||2PF =，122PF a =+.在12Rt PF F 中，由勾股定理得2221122||||PF PF F F +=， 即()242240a ++=，整理得2280a a +-=， 解得2a =.故双曲线C 的离心率为10c a =. 10【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和定义的应用以及平面几何的知识，平面向量垂直问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.17．【分析】由点的横坐标为1代入得出点的纵坐标继而求得的面积S 再设的内切圆的半径为由可得答案【详解】因为点的横坐标为1所以点的纵坐标为所以的面积设的内切圆的半径为所以即所以故答案为：【点睛】本题考查椭圆 解析：3332-【分析】由点P 的横坐标为1，代入得出点P 的纵坐标，继而求得12PF F △的面积S ，再设12PF F △的内切圆的半径为r ，由()(12121232S F F PF PF r r =++⨯=+，可得答案. 【详解】因为点P 的横坐标为1，所以点P 的纵坐标为P y =12PF F △的面积121322P F F y S ⋅==，设12PF F △的内切圆的半径为r ，所以()(1212122S F F PF PF r r =++⨯=+，即(322r +=，所以32r =-.故答案为：32-. 【点睛】本题考查椭圆的方程和椭圆的定义，以及焦点三角形的相关性质，属于中档题.18．【分析】设则再利用双曲线的定义可得分别在中利用勾股定理即可获解【详解】如图设由＝可得由双曲线定义有所以又所以因为所以即①②由②解得代入①得即所以故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法解题关键【分析】设||4(0)PQ t t =>，则13PF t =，再利用双曲线的定义可得232PF t a =-，1||4QF t a =+，分别在12PF F △，1PFQ 中利用勾股定理即可获解. 【详解】如图，设||4(0)PQ t t =>，由3PQ ＝14PF 可得13PF t =， 由双曲线定义，有12||||2PF PF a -=，所以232PF t a =-，21||||2QF PQ PF t a =-=+，又12||||2QF QF a -=，所以1||4QF t a =+，因为1PQ PF ⊥，所以22212||||4PF PF c +=，22211||||||PF PQ QF +=， 即222(3)(32)4t t a c +-=①，222(3)(4)(4)t t t a +=+②，由②解得t a =，代入①，得222(3)(32)4a a a c +-=，即22104a c =，所以c e a ===【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，解题关键是建立关于,,a b c 的方程，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.19．【分析】由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程因为可得在之间设垂直于准线交于由抛物线的性质可得可得求出直线的方程代入抛物线的方程求出的横坐标进而求出的面积【详解】由题意抛物线的标准方程为：所以焦点准线 解析：433【分析】由抛物线的方程可得焦点F 坐标及准线方程，因为23MN MF →→=，可得N 在M ，F 之间，设NN '垂直于准线交于N '，由抛物线的性质可得NN NF '=，可得3tan FMN '∠=，求出直线MF 的方程，代入抛物线的方程求出N 的横坐标，进而求出NOF ∆的面积．【详解】由题意抛物线的标准方程为：28x y =，所以焦点(0,2)F ，准线方程为2y =-， 设NN '垂直于准线交于N '，如图，由抛物线的性质可得NN NF '=，因为23MN MF →→=，可得N 在M ，F 之间，所以22MN NF NN '==，所以1sin 2NN FMN MN ''∠==， 所以3tan FMN '∠=， 即直线MF 的斜率为33，所以直线MF 的方程为323y x =+，将直线MF 的方程代入抛物线的方程可得：283160x --=，解得3x =或43x（舍）， 所以114343||||222NOF N S OF x ∆=⋅=⨯ 43【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，抛物线的定义，三角形的面积公式，属于中档题．20．4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程求出其左焦点坐标和渐近线方程之后利用点到直线的距离公式求得结果【详解】根据题意双曲线的方程为其中所以所以其左焦点的坐标为渐近线方程为即则左焦点到其渐近线的距离为解析：4 【分析】首先根据题中所给的双曲线方程，求出其左焦点坐标和渐近线方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】根据题意，双曲线的方程为221916x y -=，其中3,4a b ==，所以5c =，所以其左焦点的坐标为(5,0)-，渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=，则左焦点到其渐近线的距离为2045d ===， 故答案为：4. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程求其焦点坐标以及渐近线方程，点到直线的距离公式，属于简单题目.三、解答题21．（1）0y --=；（2）证明见解析. 【分析】（1）设直线PQ 方程为3x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y，根据条件得出0m <<，分别求出P Q ，的纵坐标，由条件可得12PF yFQ y =可得答案. （2）由()221111221111545422444PAPBx y y y kk x x x x -⋅=⨯===+---，所以154APPBk k k == ,所以1225544PB PB PQ k k k k k k =⋅⋅=，要证12k k 为定值，只需证54PB BQ k k ⋅为定值，由()()121212122211BP BQ y y y y k k x x my my ⋅=⋅=--++，可得答案. 【详解】解：（1）设直线PQ 方程为3x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y222235(3)4205420x my my y x y =+⎧⇒+-=⎨-=⎩ ()225430250m y my ⇒-++=由过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，则()()22222540300542505430425540m m m m m m ⎧-≠⎪-⎪>⎪-⎪⎨⎪<-⎪⎪∆=-⨯⨯->⎪⎩，05m ⇒<<由点P 在x 轴上方，则()()22123020130201,m m m m y y --+-++==()()2222302013212332230201321PF m m m m m FQ m m m m --+++==-⇒=⇒==--++--+ ∴直线l 方程为23226204x y x y =+⇒--=（2）由方程可得()()2,0,2,0A B -，设()11,P x y ，()22,Q x y 则()221111221111545422444PAPBx y y y kk x x x x -⋅=⨯===+---， 所以154AP PBk k k ==,所以1225544PB PB PQ k k k k k k =⋅⋅= 要证12k k 为定值，只需证54PB BQ k k ⋅为定值由（1）可知1223054my y m -+-=，1222554y y m =- ()()121212122211BP BQ y y y y k k x x my my ⋅=⋅=--++ ()2222121222252554542530115454m m mm y y m y y m m m m --==-+++⋅+⋅+--22225252530544m m m ==--+-∴125414255k k ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭为定值． 【点睛】关键点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系求直线方程和考查定值问题，解答本题的关键是先得出()221111221111545422444PAPBx y y y kk x x x x -⋅=⨯===+---，所以154APPBk k k == ,所以1225544PB PB PQ k k k k k k =⋅⋅=，要证12k k 为定值，只需证54PB BQ k k ⋅为定值，属于中档题. 22．（1）22194x y +=；（2）49130.x y +-=【分析】（1）由已知建立关于,,a b c 的方程，解之可求得椭圆C 的方程；（2）设弦的端点为112212(,),(,)()P x y Q x y x x ≠，运用点差法求得直线的斜率，由直线的点斜式方程可求得所求的直线方程. 【详解】（1）因为222c a b a b =+=-，所以1a b -=，又3c e a ==，所以2259c a =，所以23b a =，解得3,2a b ==， 所以椭圆C 的方程为：22194x y +=；（2）设弦的端点为112212(,),(,)()P x y Q x y x x ≠，中点(1,1)A ，则12122,2,x y x y +=+=，由于点P 、Q 在椭圆上，所以221122221?941?94x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得211221214()49()9y y x x x x y y -+=-=--+，即49PQ k =-， 因此所求的直线方程为4()911y x --=-，即49130.x y +-= 【点睛】方法点睛：在解决直线与椭圆相交时的中点弦的问题时，常运用点差法求得直线的斜率，得以求出中点弦的直线方程.23．（1）2214x y +=；（2）是定值，定值为2.【分析】（1）由题意可得==,a b 的值，进而可得椭圆的方程；（2）设()()0000,0,0,P x y x y <<从而可表示出直线PA 的方程，然后求出点M 的坐标，得到BM 的值，同理可得到AN 的值，进而可求得四边形ABNM 的面积，得到结论 【详解】（1）解：由题意知直线:AB bx ay ab +=，所以⎧=⎪⎪=2a =，1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=，（2）证明：设()()22000000,0,0,44P x y x y x y <<+=.因为()()2,0,0,1A B ，所以直线PA 的方程为()0022y y x x =--，令0x =，得0022M y y x =--， 从而002112M y BM y x =-=+-. 直线PB 的方程为0011y y x x -=+令0y =，得001N xx y =--，从而00221N x AN x y =-=+-. 所以四边形ABNM 的面积0000211212212x y s AN BM y x ⎛⎫⎛⎫==+⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭‖ ()22000000000000000000444842244222222x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++--+--+===--+--+.所以四边形ABNM 的面积为定值2. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是由题意将BM ，AN 表示出来，从而可得四边形ABNM 的面积.24．（1）221(2)43x y x +=≠±；（2）①4)y x =+；②8. 【分析】（1）表示出直线AQ ，BQ 的斜率，然后计算即可.（2）①根据4PAM PON S S =△△可得12M N y y =，假设点,M N 坐标，然后代入椭圆方程，可得点,M N 坐标，进一步得到斜率，最后可得方程. ② 根据①利用弦长公式计算即可. 【详解】（1）设(,)(2)Q x y x ≠±，由题意，34AQ BQ k k ⋅=-所以3224y y x x ⋅=-+-，化简得22143x y +=， 所以点Q 的轨迹C 的方程是221(2)43x y x +=≠±.（2）①因为2OP AP =，且4PAM PON S S =△△，所以12M N y y =， 所以点M 为PN 的中点，设00(,)M x y ，则00(42,2)N x y +所以22002200143(24)(2)143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，所以0074x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则1(274M N ⎛ ⎝⎭-或1(,,274M N ⎛ ⎝⎭- 所以直线l的斜率为6k =±，所以直线l的方程为4)y x =+②002N M MN x x x =-=+-=【点睛】思路点睛：第（1）问在于计算出直线的斜率，然后直接计算；第（2）问关键在于得到12M N y y =，同时熟记弦长公式. 25．28y x =或24y x =-． 【分析】设出抛物线方程为22y ax ，交点1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入抛物线方程，应用韦达定理得1212,x x x x +，由弦长公式列方程求得a 后可得抛物线方程． 【详解】 设抛物线方程为22y ax ，1122(,),(,)A x y B x y ，由221y axy x⎧=⎨=+⎩，得2(22)10x a x+-+=，2(22)40a∆=-->，解得2a>或0a<．1222x x a+=-，121 =x x，128AB x x=-==，解得4a=或2a=-．所以抛物线方程为28y x=或24y x=-．【点睛】关键点点睛：本题考查求抛物线标准方程，解题方法是设交点坐标为1122(,),(,)x y x y，设抛物线方程为22y ax，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得弦长．26．（1）2212xy+=；（2）存在；1)y x=-.【分析】（1）由余弦定理可得12d d+=.（2）设P，Q两点的坐标依次为()11,x y，()22,x y，以线段PQ为直径的圆过原点得，0OP OQ⋅=，即12120x x y y+=，先假设存在直线l满足题设，设直线l的方程为(1)y k x=-，与椭圆方程联立，韦达定理代入求出k的值，再检验斜率不存在的情况.【详解】（1）当0θ≠时，在ABM中，由余弦定理得：22121242cos2d d d dθ=+-.又212cos1d dθ=，整理得，12d d+=所以点M的轨迹E是以(1,0)A-和(1,0)B为焦点，长轴长为个端点）又当点M为该椭圆的长轴的两个端点时，0θ=，也满足212cos1d dθ=.所以点M的轨迹E的方程是2212xy+=.（2）假设存在直线l满足题设，设直线l的方程为(1)y k x=-，由22(1)12y k xxy=-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222124220k x k x k+-+-=设P，Q两点的坐标依次为()11,x y，()22,x y，由韦达定理得，2122412kx xk+=+，21222212kx xk-=+.由题意以线段PQ为直径的圆过原点得，0OP OQ⋅=，即12120x x y y+=.又()()()212121212111y y k x k x k x x x x=--=-++⎡⎤⎣⎦，整理得：()212121210x k x x x x x =⎡-+⎤⎣⎦++.代入整理得：22222222222410121212k k k k k k k ⎛⎫--+-+= ⎪+++⎝⎭，即k =当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，此时P ⎛ ⎝⎭、1,Q ⎛ ⎝⎭，经验证0OP OQ ⋅≠不满足题意.综上所述，所求直线l 存在，其方程为1)y x =-. 【点睛】关键点睛：本题考查求轨迹方程和根据条件求直线方程，解答本题的关键是由以线段PQ 为直径的圆过原点，得0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=，转化为方程联立韦达定理代入求解，将条件转化为向量的数量积为0，进而转化为利用韦达定理求解的方法，属于中档题.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

学习必备 欢迎下载 理 数 圆锥曲线

1. (2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则学习必备 欢迎下载 cos∠AF2F1=( )

A. B. C. D. [答案] 1.A

[解析] 1.由题意得解得|F2A|=2a,|F1A|=4a, 又由已知可得=2,所以c=2a,即|F1F2

|=4a,

∴cos∠AF2F1===.故选A. 2. (2014大纲全国,6,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为( )

A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1 [答案] 2.A [解析] 2.由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,又==,∴c=1,∴b2=2,∴C的方程为+=1,选A.

3. (2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为( )

A. B. C. D.3 [答案] 3.B 学习必备 欢迎下载 [解析] 3.设|PF1|=m,|PF2|=n,依题意不妨设m>n>0,

于是 ∴m·n=··⇒m=3n. ∴a=n,b=n⇒c=n,∴e=,选B. 4. (2014广东,4,5分)若实数k满足0A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等 [答案] 4.A [解析] 4.∵00,25-k>0.

∴-=1与-=1均表示双曲线, 又25+(9-k)=34-k=(25-k)+9, ∴它们的焦距相等,故选A.

5. (2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是( ) A.5 B.+ C.7+ D.6 [答案] 5.D [解析] 5.设Q(cos θ,sin θ),圆心为M,由已知得M(0,6), 则|MQ|= 学习必备 欢迎下载 =

=

=≤5, 故|PQ|max

=5+=6.

6.(2014山东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1

与C2的离心率之积为,则C2

的渐近线方程为( )

A.x±y=0B.x±y=0 C.x±2y=0D.2x±y=0 [答案] 6.A

[解析] 6.设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2,则e1=,e2=.因为e1·e2=,所以=,即=,∴=.

故双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0. 7.(2014天津,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )

A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 学习必备 欢迎下载 [答案] 7.A

[解析] 7.由题意得=2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a2=5,b2=20,从而双曲线方程为-=1. 8.(2014山东青岛高三第一次模拟考试, 10) 如图，从点发出的光线，沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点，再经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，则等于（ ）

A． B． C． D． [答案] 8. B [解析] 8.由题意可得抛物线的轴为轴，，所以所在的直线方程为， 在抛物线方程中，令可得，即 从而可得，， 因为经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点， 所以直线的方程为， 故选B．

9.(2014安徽合肥高三第二次质量检测，4) 下列双曲线中，有一个焦点在抛物线准线上的是（ ）

A. B. C. D. [答案] 9. D 学习必备 欢迎下载 [解析] 9. 因为抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴且为满足条件. 故选D.

10. (2014江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于________.

[答案] 10. [解析] 10.设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1①, +=1②. ①、②两式相减并整理得=-·. 把已知条件代入上式得,-=-×, ∴=,故椭圆的离心率e==. 11. (2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则=________. [答案] 11.1+ [解析] 11.|OD|=,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b, 故C,F, 又抛物线y2=2px(p>0)经过C、F两点, 学习必备 欢迎下载 从而有即

∴b2=a2+2ab,∴-2·-1=0, 又>1, ∴=1+. 12.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为____________.

[答案] 12.x2+y2=1 [解析] 12.不妨设点A在第一象限,∵AF2⊥x轴,∴A(c,b2)(其中c2=1-b2,00). 又∵|AF1|=3|F1

B|,∴由=3得B,代入x2+=1得+=1,又

c2=1-b2,∴b2=.

故椭圆E的方程为x2+y2=1.

13.(2014浙江,16,4分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________.

[答案] 13. [解析] 13.由得A, 由得B, 则线段AB的中点为M. 由题意得PM⊥AB,∴kPM

=-3,得a2=4b2=4c2-4a2,故e2=,∴e=.

14. (2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，12) 抛物线+12y=0的准线方程是___________. 学习必备 欢迎下载 [答案] 14. y=3

[解析] 14. 抛物线的标准方程为：，由此可以判断焦点在y轴上，且开口向下，且p=6，所以其准线方程为y=3.

15. (2014大纲全国,21,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.

(Ⅰ)求C的方程; (Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.

[答案] 15.查看解析 [解析] 15.(Ⅰ)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=. 所以|PQ|=,|QF|=+x0

=+.

由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2. 所以C的方程为y2=4x.(5分) (Ⅱ)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0). 代入y2=4x得y2-4my-4=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2

=-4.

故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1). 又l'的斜率为-m,所以l'的方程为x=-y+2m2+3. 将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0. 设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4

=-4(2m2+3). 学习必备 欢迎下载 故MN的中点为E,|MN|=|y3-y4

|=.(10分)

由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,

即4(m2+1)2++=. 化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1. 所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分) 16. (2014四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程; (Ⅱ)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q. (i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点); (ii)当最小时,求点T的坐标. [答案] 16.查看解析 [解析] 16.(Ⅰ)由已知可得 解得a2=6,b2=2, 所以椭圆C的标准方程是+=1. (Ⅱ)(i)由(Ⅰ)可得,F的坐标是(-2,0),设T点的坐标为(-3,m). 则直线TF的斜率kTF

==-m.

当m≠0时,直线PQ的斜率kPQ

=,直线PQ的方程是x=my-2.

当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.

相关文档
最新文档