第7节 用点差法解中点弦问题
中点弦公式点差法
中点弦公式点差法假设我们需要计算函数f(x)在区间[a,b]上的平均变化率，其中a<b。
我们将区间[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的长度为h，即h=(b-a)/n。
将区间[a,b]划分为n个小区间后，我们使用中点弦公式计算每个小区间上的平均变化率，然后将这些平均变化率相加并除以n，即可得到整个区间上的平均变化率。
具体来说，对于第i个小区间，我们选择该区间的中点 xi = a + (i - 0.5) * h，其中 i = 1, 2, ..., n。
然后，我们计算函数在xi和xi+1处的函数值，即 f(xi) 和 f(xi+1)。
使用这两个函数值来计算小区间上的平均变化率，即：平均变化率 = (f(xi+1) - f(xi)) / h然后，我们将每个小区间上的平均变化率相加，并除以n，即：整个区间上的平均变化率≈(平均变化率1+平均变化率2+...+平均变化率n)/n这样就得到了函数f(x)在区间[a,b]上的平均变化率的近似值。
中点弦公式的点差法是一种通过逐渐减小小区间的长度来提高计算精度的方法。
当我们增加小区间的数量n时，每个小区间的长度h也会减小，从而使得近似值更加接近真实值。
通常情况下，增加小区间的数量n可以提高计算精度，但同时也会增加计算的复杂度。
需要注意的是，中点弦公式是一种数值近似方法，所以得到的结果只是函数在给定区间上的平均变化率的近似值，并不是精确的值。
在实际应用中，我们需要根据具体情况来选择合适的区间和小区间的数量，以及适当考虑计算精度和计算复杂度的平衡。
总结起来，中点弦公式点差法是一种通过计算函数在区间上的平均变化率的数值计算方法。
它通过将区间等分为多个小区间，并使用中点弦公式来计算每个小区间上的平均变化率，从而得到整个区间上的平均变化率的近似值。
通过增加小区间的数量n可以提高计算精度，但同时也会增加计算的复杂度。
在实际应用中，我们需要根据具体情况来选择合适的参数，并进行合理的计算精度和计算复杂度的平衡。
中点弦公式点差法
中点弦公式点差法f(x+h) = f(x) + hf'(x) + \frac{h^2}{2!}f''(x) +\frac{h^3}{3!}f'''(x) + ...其中f'(x)、f''(x)、f'''(x)等是函数在点x上的导数。
如果我们令h等于一个小的值，那么只保留前面几项，我们可以得到近似的公式。
首先，我们考虑计算函数f(x)在点x的导数。
使用中点差分公式，我们可以近似计算出f'(x)的值。
我们选择两个点x和x+h（h是一个非常小的正数），并使用这两个点上的函数值来计算导数。
根据泰勒展开式，我们有：f(x+h) = f(x) + hf'(x) + \frac{h^2}{2!}f''(x) +\frac{h^3}{3!}f'''(x) + ...将x+h代入上式，我们得到：f(x+h) = f(x) + hf'(x) + \frac{h^2}{2!}f''(x) +\frac{h^3}{3!}f'''(x) + ...我们想要计算f'(x)，因此，我们需要将上式重新排列，以便得到f'(x)的表达式。
我们将上式两边都减去f(x)，并除以h，我们可以得到：f'(x) ≈ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}这就是中点差分公式的具体表达式。
它利用了两个点的函数值来计算一个给定点的导数近似值。
同样地，中点弦公式也可以用于计算一个函数在两个点之间的积分。
我们考虑计算函数f(x)在区间[a,b]上的积分值。
我们选择两个点a和b，并使用这两个点上的函数值来计算积分。
根据泰勒展开式，我们有：f(x+h) = f(x) + hf'(x) + \frac{h^2}{2!}f''(x) +\frac{h^3}{3!}f'''(x) + ...我们想要计算在区间[a,b]上的积分值，因此，我们需要将上式重新排列，以便得到积分值的表达式。
点差法求解中点弦问题
点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。
求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。
用点差法时计算量较少，解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用到判别式加以检验。
【定理1】在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN-=⋅. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x )2()1(-，得.02222122221=-+-byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN=⋅. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x)2()1(-，得.02222122221=---by y a x x .2212121212a b x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .2200a b x y k MN =⋅∴ 【定理3】 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k M N=⋅0.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==)2(.2)1(,2222121 m x y m x y)2()1(-，得).(2212221x x m y y -=-.2)(121212m y y x x y y =+⋅--∴又01212122,y y y x x y y k MN =+--=.m y k MN =⋅∴0.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在.一、椭圆1、过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (2,1)作一条直线交椭圆于A 、B 两点，使线段AB 被P 点平分，求此直线的方程．【解】 法一：如图，设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0， (*)又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1、x 2是(*)方程的两个根，∴x 1＋x 2＝k 2－k4k 2＋1. ∵P 为弦AB 的中点，∴2＝x 1＋x 22＝k 2－k 4k 2＋1.解得k ＝－12，∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又∵A 、B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0， 即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24y 1＋y 2＝－12， 即k AB ＝－12.∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.2、已知椭圆+=1，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程．【解答】解：设P （x ，y ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ．则+=1，①+=1，②②﹣①得，=﹣．∴﹣=3，整理得：x+y=0．由，解得x=所求轨迹方程为：x+y=0．（﹣＜x ＜）∴点P 的轨迹方程为：x+y=0（﹣＜x ＜）；3、（2013秋•启东市校级月考）中心在原点，焦点坐标为（0，±5）的椭圆被直线3x ﹣y ﹣2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为=1 ．【解答】解：设椭圆=1（a ＞b ＞0），则a 2﹣b 2=50①又设直线3x ﹣y ﹣2=0与椭圆交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦AB 中点（x 0，y 0） ∵x 0=，∴代入直线方程得y 0=﹣2=﹣，由，得，∴AB 的斜率k==﹣•=﹣•=3∵=﹣1，∴a 2=3b 2②联解①②，可得a 2=75，b 2=25，∴椭圆的方程为：=1故答案为：=1．4、例1（09年四川）已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22=e ，右准线方程为2=x .(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3262||22=+N F M F ，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.2,222c a x a c e ∴1,1,2===c b a .∴所求的椭圆方程为1222=+y x . （Ⅱ）椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点为),(y x P .由平行四边形法则知：P F N F M F 2222=+.由3262||22=+N F M F 得：326||2=F .∴.926)1(22=+-y x ① 若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点P 与)0,1(1-F 重合，4|2|||1222==+F F F F ，与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在.由22ab x y k MN-=⋅得：.211-=⋅+x y x y ∴).(2122x x y +-=② ②代入①，得.926)(21)1(22=+--x x x 整理，得：0174592=--x x . 解之得：317=x ，或32-=x .由②可知，317=x 不合题意. ∴32-=x ，从而31±=y .∴.11±=+=x yk ∴所求的直线l 方程为1+=x y ，或1--=x y .6、（2009秋•工农区校级期末）已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点M ，则点M 的坐标为．【解答】解：设直线与椭圆的交点分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则，两式相减，得=0，（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=﹣3（x 1﹣x 2）（x 1+x 2），=﹣3×，因为直线斜率为3，∴=3，∵两交点中点在直线x=，x 1+x 2=1，∴3=﹣3×1÷（y 1+y 2），∴=﹣．所以中点M 坐标为（，﹣）．故答案为：（，﹣）．7、如图，在DEF R t ∆中，25||,2||,90=+=︒=∠DEF ，椭圆C ：12222=+by a x ，以E 、F为焦点且过点D ，点O 为坐标原点。
微专题07-利用点差法求解有关中点弦的问题
微专题07 利用点差法求解有关中点弦的问题例1.求在椭圆22194x y +=中,被点(2,1)P 平分的弦所在的直线的方程.变式训练1.求在双曲线22194x y -=中,被点(2,1)P 平分的弦所在的直线的方程为( ) A. 8970x y --= B. 89250x y +-= C. 49160x y --= D. 不存在练习1.已知椭圆1257522=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程．例2.已知ABC ∆是椭圆1162022=+y x 的一个内接三角形，且)4,0(A ，若A B C ∆的重心恰为椭圆的右焦点，求BC 边所在直线的斜率．练习 2.是否存在实数a ，使抛物线C ：)0(12≠-=a ax y 上存在关于直线0:=+y x l 对称的两点．例3.（椭圆垂径定理）已知不过原点O 的直线与椭圆22221x y a b+=交于A 、B 两点，M为弦AB 的中点，求证：直线AB 与直线OM 的斜率之积22AB OMb k k a⋅=-.变式3-1.（浙江2018-17题）已知点(0,1)P ，椭圆22(1)4x y m m +=>上两点A ，B 满足2AP PB =，则当m =________时，点B 横坐标的绝对值最大..例4.（2012浙江）如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P．．．．O 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求PAB ∆面积取最大值时直线l 的方程.例5.（2015浙江）已知椭圆2212x y +=上有两个不同的点A ，B 关于直线12y mx =+对称. （Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）例6.（2016浙江）已知椭圆222:1(1)xC y aa+=>（Ⅰ）求直线被椭圆截得的弦长（用a，k表示）；（Ⅱ）若任意以点(0,1)A为圆心的圆与椭圆C至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.归纳总结。
点差法求解中点弦问题
点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。
求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。
用点差法时计算量较少，解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用到判别式加以检验。
【定理1】在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=-+-byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN =⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---b y y a x x .2212121212ab x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .2200a b x y k MN =⋅∴ 【定理3】 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN=⋅0.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==)2(.2)1(,2222121 mx y mx y)2()1(-，得).(2212221x x m y y -=-.2)(121212m y y x x y y =+⋅--∴又01212122,y y y x x y y k MN =+--=.m y k MN =⋅∴0.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在.一、椭圆1、过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (2,1)作一条直线交椭圆于A 、B 两点，使线段AB 被P 点平分，求此直线的方程．【解】 法一：如图，设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0， (*)又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1、x 2是(*)方程的两个根，∴x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.∵P 为弦AB 的中点，∴2＝x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1.解得k ＝－12，∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又∵A 、B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12.∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.2、已知椭圆+=1，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程．【解答】解：设P （x ，y ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ．则+=1，①+=1，②②﹣①得，=﹣．∴﹣=3，整理得：x+y=0．由，解得x=所求轨迹方程为：x+y=0．（﹣＜x ＜）∴点P 的轨迹方程为：x+y=0（﹣＜x ＜）；3、（2013秋•启东市校级月考）中心在原点，焦点坐标为（0，±5）的椭圆被直线3x ﹣y ﹣2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为=1 ．【解答】解：设椭圆=1（a ＞b ＞0），则a 2﹣b 2=50①又设直线3x ﹣y ﹣2=0与椭圆交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦AB 中点（x 0，y 0） ∵x 0=，∴代入直线方程得y 0=﹣2=﹣，由 ，得，∴AB 的斜率k==﹣•=﹣•=3∵=﹣1，∴a 2=3b 2②联解①②，可得a 2=75，b 2=25，∴椭圆的方程为：=1故答案为：=1．4、例1（09年四川）已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22=e ，右准线方程为2=x .(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3262||22=+N F M F ，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.2,222c a x a c e ∴1,1,2===c b a .∴所求的椭圆方程为1222=+y x . （Ⅱ）椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点为),(y x P .由平行四边形法则知：P F N F M F 2222=+.由3262||22=+N F M F 得：326||2=P F .∴.926)1(22=+-y x ①y D若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点P 与)0,1(1-F 重合，4|2|||1222==+F F N F M F ，与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在.由22a b x y k MN -=⋅得：.211-=⋅+x y x y ∴).(2122x x y +-=② ②代入①，得.926)(21)1(22=+--x x x 整理，得：0174592=--x x . 解之得：317=x ，或32-=x .由②可知，317=x 不合题意. ∴32-=x ，从而31±=y .∴.11±=+=x yk∴所求的直线l 方程为1+=x y ，或1--=x y .6、（2009秋•工农区校级期末）已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点M ，则点M 的坐标为．【解答】解：设直线与椭圆的交点分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则，两式相减，得=0，（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=﹣3（x 1﹣x 2）（x 1+x 2），=﹣3×，因为直线斜率为3，∴=3，∵两交点中点在直线x=，x 1+x 2=1，∴3=﹣3×1÷（y 1+y 2），∴=﹣．所以中点M 坐标为（，﹣）．故答案为：（，﹣）．7、如图，在DEF R t ∆中，25||,2||,90=+=︒=∠ED EF EF DEF ，椭圆C ：12222=+by a x ，以E 、F为焦点且过点D ，点O 为坐标原点。
运用点差法解答与中点弦有关问题的步骤
与中点弦有关的问题是有关圆锥曲线中的弦以及弦的中点问题.解答此类问题，通常需运用点差法.运用点差法解答与中点弦有关问题的步骤为：1.设出弦的两个端点的坐标：A(x1，y1)、B(x2，y2)；2.将两点的坐标代入圆锥曲线方程中，并将两式相减，得出含有x1＋x2、y1＋y2的式子；3.联立直线与圆锥曲线的方程得到一元二次方程，由根与系数的关系求得x1＋x2、y1＋y2；4.根据直线的斜率公式k=y1-y2x1-x2以及中点的坐标公式，建立中点和直线的斜率之间的联系；5.建立有关x1＋x2、y1＋y2的关系式，求得问题的答案.解答简单的中点弦问题，有时可省略第三步.下面举例加以说明.例1.若抛物线C：y2=x上存在不同的两点关于直线l：y=m()x-3对称，求实数m的取值范围.解：当m=0时，满足题意；当m≠0时，设抛物线C上关于直线l:y=m()x-3对称的两点分别为P()x1,y1，Q()x2,y2，中点M()x0,y0，可得y21=x1，y22=x2，将上述两式作差得：k PQ=y1-y2x1-x2=12y，因为k PQ=-1m，可得y0=-m2，又中点M()x0，y0在直线l：y=m()x-3上，所以y0=m()x0-3，解得x0=52，因为中点M在抛物线y2=x的内部，所以y20<x0，即æèöø-m22<52，解得：m∈()-10，10.所以实数m的取值范围为m∈()-10，10.对于与中点弦有关的参数取值范围问题，通常需运用点差法求解.对于本题，先将弦两端点的坐标代入曲线方程中，将两式作差，建立有关x1+x2、y1+y2的关系，然后运用中点坐标公式、直线的斜率公式，根据中点在直线上求得中点的坐标，再根据中点M在抛物线y2=x的内部，建立关于m的不等式.例2.已知AB为椭圆x2a2+y2b2=1()a>b>0中的一条弦，该弦不垂直于x轴，AB的中点为P，O为椭圆的中心，证明：直线AB和直线OP的斜率之积是定值.证明：设A()x1,y1，B()x2,y2，且x1≠x2，可得x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1，将两式作差得：y1-y2x1-x2=-b2()x1+x2a2()y1+y2，得k AB=-b2()x1+x2a2()y1+y2，又k OP=y1+y2x1+x2，则k AB=-b2a2∙1k OP，得k AB∙k OP=-b2a2，该值为定值，即直线AB和直线OP的斜率之积是定值.解答本题主要运用了点差法.通过将两式作差，求得直线AB的斜率，并根据中点坐标公式和斜率公式求出直线OP的斜率，从而证明结论.例3.已知双曲线的方程为x2-12y2=1，过点B()1,1能否作直线l，使得l与双曲线分别交于P，Q两点，且PQ的中点为B.如果存在，请求出它的方程；若不存在，请说明理由.解：假设直线l存在，且P()x1，y1，Q()x2，y2，由中点公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，由题意可得x21-12y21=1，x22-12y22=1，将两式作差可得2()x1-x2-()y1-y2=0，则直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=2，因为P，Q，B三点在直线l上，所以直线l的方程为：y=2x-1，将y=2x-1与x2-12y2=1联立可得：2x2-4x+3=0，该方程没有实数根，因此不存在直线l.解答本题，需先通过作差求得直线PQ的斜率，然后根据P、Q、B三点在直线l上，求得直线l的方程，再根据直线与双曲线有交点，运用一元二次方程的根的判别式判断出是否存在直线l.虽然点差法是解答与中点弦有关问题的重要方法，但在运用时需注意两点：（1）运用根与系数的关系解题时易产生漏解；（2）有些直线的斜率不存在，需单独进行讨论.（作者单位：江苏省响水县第二中学）考点透视39。
用点差法巧解弦中点问题
用点差法巧解弦中点问题在解决直线被圆锥曲线所截得的弦中点有关问题时，通常有两种思路：一种是应用根与系数的关系.这种解法运算较繁,且不容易消去参数得到所求的方程.另一种就是我要重点介绍的“点差法”，点差法作为一种特殊的数学方法,在解决中点弦问题中能设而不求，用代点作差法,此法运算量小，能给人一种简洁明快，耳目一新的感觉. 例1.已知椭圆221164x y +=.⑴若它的一条弦AB 被M （1，1）平分，求AB 所在的直线方程； ⑵求过点M （1，1）的弦中点的轨迹方程.分析：用点差法设出交点，代入椭圆方程作差出现中点斜率. 解：⑴设点A ()11,x y ,B ()22,x y ,A 、B 在椭圆上，22111164x y ∴+=，①22221164x y +=.② ①-②得222212120164x x y y --+=，()()()()121212120164x x x x y y y y -+-+∴+=，化简得()()()1212121212124164x x y y x x x x y y y y -+-+==--++.∴M 是弦AB 的中点，由中点坐标公式知12122,2x x y y +=+=.又设AB 的斜率为k 21424k -∴==-⨯. ∴直线AB 的方程为450x y +-=.⑵设点A ()11,x y ,B ()22,x y ,又设所求动点为P (),x y ，因为P 是弦AB 的中点，由中点坐标公式得：12122,2x x x y y y +=+=.又 A 、B 在椭圆上，22111164x y ∴+=，①22221164x y +=.②①-②得222212120164x x y y --+=. 设AB 的斜率为k ,()()121212124164x x y y xk x x y y y-+-∴===--+.又M （1，1）在AB 上，∴MP 的斜率为11MP y k x -=-，而MP k k =，即114y x x y -=--.整理得点P 的轨迹方程为22440x y x y +--=.点评：这种方法巧妙，运算量小，在解决弦中点的有关问题时十分有效.例2、已知双曲线2212y x -=，是否存在被点()1,1P 平分的弦？若存在，求出弦所在的直线方程；若不存在，请说明理由.解：假设存在被点P 平分的弦MN ，设()11,M x y ，()22,N x y ，斜率为k ，则221112y x -=，222212y x -=，两式相减，得()()()()12121212102x x x x y y y y +--+-=， 即()()12121212102y y x x y y x x -+-+⋅=-. 因为12122,2x x y y +=+=,所以12202k -⨯⨯=,2k ∴= .直线MN 的方程为()121y x -=-,即21y x =-.将其代入221112y x -=，得22430x x -+=,()2442380∆=--⨯⨯=-<,所以不存在被P 点平分的弦.点评：若点P 在双曲线的内部，则以该点为中心的弦一定存在，无须检验；若点P 在双曲线的外部，则以该点为中心的弦可能存在，也可能不存在，必须检验. 例3、由点()2,0-向抛物线24y x =引弦，求弦的中点的轨迹方程.分析：设端点坐标，利用点差法找到中点坐标及斜率关系，可求弦中点轨迹. 解：设端点为()()1122,,,A x y B x y ，则2211224,4y x y x ==,两式相减得()2212214y y x x -=-.①①式两边同时除以21x x -，得()2121214y y y y x x -+=-.②设弦的中点坐标为(),x y ，则212x x x +=,122y y y +=.③ 又点(),x y 和点()2,0-在直线AB 上，所以有21212y y yx x x -=+-④将③④代入②得242yy x ⋅=+整理得()222y x =+. 故所求中点的轨迹方程是()222y x =+在抛物线24y x =的内部的部分.小结：以上三例说明，凡是涉及到圆锥曲线中点弦问题，都可采用点差法来解题，并且简捷优美.。
第7讲 点差法(解析版)
，过点
F
的直线交 E 于 A、B 两点．若 AB 的中点坐标为 (1, 1) ，则椭圆 E 的离心率为（ ）
1
A．
2
B． 2 2
C． 3 2
D． 2 3
【答案】B
【解析】令 AB 的中点为 M，坐标为 (1, 1) ，则 kAB
kMF
0 1
3 1
1 2
，
kOM
1
因为 A、B 两点是直线与椭圆的交点，且焦点在 x 轴，所以 kAB
A． x2 y2 1 18 9
B． x2 y2 1 27 18
C． x2 y2 1 36 27
D． x2 y2 1 45 36
【答案】A
【解析】设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ， F c, 0
所以
x12 2m x22 2m
y12 m y22 m
1
，相减得
设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，由题得 x1+x2 =2，y1+y2 =2 ，
所以
b2 b2
x12 x22
a2 y12 a2 y22
a2b2 a2b2
，
两式相减得 b2 (x1 x2 )(x1 x2 ) a2 ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0 ，
所以 2b2 (x1 x2 ) 2 a2 ( y1 y2 ) 0 ，
所以
2b2
4b2
( y1 ( x1
y2 ) x2 )
0
，
所以1 2k 0,k 1 . 2
故选：C
2．（2020·安徽安庆市·高三其他模拟）已知椭圆 E : x2 y2 1(m 0) 的右焦点为 F ，过点 F 的直线 2m m
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又 A 、 B 两点在椭圆上，则 x12 4 y12 16 ， x22 4 y22 16
两式相减得 (x12 x22 ) 4( y12 y22 ) 0
于是 (x1 x2 )( x1 x2 ) 4( y1 y2 )( y1 y2 ) 0
y1 y2 x1 x2 4 1 x1 x2 4( y1 y2 ) 4 2 2
所求椭圆的方程是 y2 x2 1 75 25
例 3：已知椭圆
．
（1）求过点
且被点 P 平分的弦所在直线的方程；
（2）解求：（1斜）设率过为点 2 的平且行被点弦P的平分中的点 弦与轨椭圆迹交方与 A程（；x1，y1），B（x2，y2）点，则
=，
= ∵A，B 在椭圆上，∴
（3）过点 A（2①，1）引直线与②②椭﹣①圆得交， 于 B+、（yC2﹣两y1）点=0，，求截得的弦 B=﹣C 中点的轨迹方程．
y0 x0
a2 b2
.
典例分析：
例 1：过椭圆 x2 y2 1内一点 M (2,1) 引一条弦，使弦被 M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 16 4
解：设直线与椭圆的交点为 A(x1, y1) 、 B(x2 , y2 )
M (2,1) 为 AB 的中点 x1 x2 4
y1 y2 2
b2 a2
.
又 kMN
y2 x2
y1 , y1 y2 x1 x1 x2
2y 2x
y x . kMN
y x
b a
2 2
.
同理可证，在椭圆 x 2 b2
y2 a2
1（ a ＞ b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于 M、N 两点，点 P(x0 , y0 )
是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线l 的斜率为 k MN ，则 kMN
即
k AB
1 2
，故所求直线的方程为
y
1
1 2
(x
2)
，即 x
2y
4
0
。
练习：已知椭圆与双曲线
的焦点相同，且它们的离心率之和等于 ．
（Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）过椭圆内一点 M（1，1）作一条弦 AB，使该弦被点 M 平分，求弦 AB 所在直线方程．
解：（Ⅰ）双曲线
的焦点为（0，4），（0，﹣4），离心率为 =2，则椭圆的方程为 + =1（a＞b＞0），
高中数学 选修1-1
第二章
圆锥曲线
第7节 点差法解决中点弦问题
点差法在椭圆中点弦问题中的妙用
定理
在椭圆 x 2 a2
y2 b2
1（ a ＞ b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于 M、N 两点，点 P(x0 , y0 ) 是弦
MN 的中点，弦 MN 所在的直线l 的斜率为 k MN ，则
证明：设
M、N
解：设椭圆的方程为 y2 a2
x2 b2
1，则 a2
b2
50 ┅┅①
设弦端点 P(x1, y1 ) 、 Q(x2 , y2 ) ，弦 PQ 的中点 M (x0 , y0 ) ，则
x0
1 2
，
y0
3x0
2
1 2
x1 x2 2x0 1 ， y1 y2 2 y0 1
又 y12 x12 1 ， y2 2 x2 2 1
x1 x2 2x0 1 ， y1 y2 2 y0
又 y12 x12 1 ， y2 2 x2 2 1
75 25
75 25
两式相减得 25( y1 y2 )( y1 y2 ) 75(x1 x2 )( x1 x2 ) 0
即 2 y0 ( y1 y2 ) 3(x1 x2 ) 0
∴x1+x2=
，y1+y2=
，设弦 BC 中点坐标为（x，y），则 x=
=
∴
，整理得 x2﹣2x+2y2﹣2y=0
当过点 A（2，1）引的直线斜率不存在时，方程为 x=2，与椭圆无交点 ∴所求弦 BC 中点的轨迹方程为 x2﹣2x+2y2﹣2y=0（﹣ ≤x≤ ）．
，y=
=
，∴ =﹣2k 又∵k= ，
y1 y2 3
x1 x2
2 y0
k y1 y2 3 x1 x2
3 2 y0
3 ，即 y0
1 2
点 M 的坐标为(1 , 1) 。 22
练习：已知中心在原点，一焦点为 F (0, 50 ) 的椭圆被直线l : y 3x 2 截得的弦的中点的横坐标
为 1 ，求椭圆的方程。 2
练习：已知中心在解原：（点1）的设椭椭圆圆方，程右为焦：点（1，=01），，∵且椭过圆过（ ，0），．
（1）求椭圆的标准方程；
∴
=1，即 a2=3，
且离心率 e= = ﹣2= ，由于 c=4，则 a=5，b=
=3，则椭圆方程为 + =1；
（Ⅱ）设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=2，y1+y2=2， + =1， + =1，
两式相减可得，
+
=0，
即有 kAB=
=﹣ ，则直线 AB 所在方程为 y﹣1=﹣ （x﹣1），由于 M 在椭圆内，则弦 AB 存在．
a2 b2
a2 b2
两式相减得b2 ( y1 y2 )( y1 y2 ) a2 (x1 x2 )( x1 x2 ) 0
即 b2 ( y1 y2 ) a2 (x1 x2 ) 0
y1 y2 a2 x1 x2 b2
a2 3 ┅┅② b2
联立①②解得 a2 75 ， b2 25
即，弦 AB 的斜率为﹣ ∴方程为 y﹣ =﹣ （x﹣ ）即
（2）设斜率为 2 的平行弦的中点坐标为（x，y），则根据中点弦的斜率公式，有﹣ =2
（3）当过点 A（2，1）引的直线斜率存在时，设方程为 y﹣1=k（x﹣2）， 代入椭圆方程，消 y，得（ +k2）x2+2（1﹣2k）kx+4k2﹣4k=0
两点的坐标分别为 ( x1 ,
y1 )
、
(x2 ,
y2
)
，则有
x12 a2 x22
a 2
kMN
y12
y0 x0
1,(1)
b2
y22 b2
1.(2)
b a
2 2
.
(1) (2) ，得 x12 x2 2 a2
y12 y2 2 b2
0. y2 x2
y1 x1
y2 x2
y1 x1
则所求直线 AB 的方程为 25x+9y﹣34=0．
例 2：已知椭圆 y2 x2 1的一条弦的斜率为 3，它与直线 x 1 的交点恰为这条弦的中点M ，求
75 25
2
点 M 的坐标。
解：设弦端点 P(x1,
y1 )
、 Q(x2 ,
y2 )
，弦 PQ 的中点 M
(x0 ,
y0 )
，则 x0
1 2