(完整版)用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题
圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案
圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案一、用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题我们可以使用“点差法”来解决圆锥曲线的中点弦问题，即将弦的端点坐标代入圆锥曲线方程并作差，得到一个关于弦的中点和斜率的式子，从而减少运算量。
例1：对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=-2b^2/2a^2.例2：对于双曲线x^2/4-y^2/9=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=2b^2/2a^2.二、直角弦对于椭圆x^2/8+y^2/4=1上的点P(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的XXX和PB来求直线AB的方程。
例2：对于双曲线-x^2/4+y^2/1=1的顶点M(2,0)，如果过M作两条互相垂直的直线与椭圆x^2/8+y^2/4=1相交于A、B 两点，我们需要判断直线AB是否过定点。
例3：对于抛物线y^2=2x上的点M(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的弦MP和MQ来求直线AB过的定点。
例4：对于椭圆x^2/84+y^2/36=1，如果OA垂直OB，且直线AB的斜率为1，我们需要求直线AB的方程。
三、焦点弦1、对于抛物线y=x^2上的点P，如果线段PF1垂直于F1F2且PF1=8，我们需要求过P且倾斜角为θ的直线与抛物线的交点。
2、对于椭圆x^2/9+y^2/4=1，如果点P(3,0)在其上，且线段F1P和F2P的长度之和为10，我们需要求离心率。
3、对于双曲线x^2/16-y^2/9=1，如果其右焦点为(5,0)，且过点P(1,2)且斜率为k的直线与双曲线交于两点，我们需要求离心率。
4、对于椭圆x^2/16+y^2/9=1，如果其左、右焦点分别为(-3,0)和(3,0)，过点P(0,2)的直线与椭圆交于A、B两点，且A、B关于点M(0,-2)对称，我们需要求四边形面积的最小值。
练：1、对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果点P在其上，且PF1垂直于F1F2且PF1=4，PF2=3，我们需要求椭圆的标准方程和直线l的方程。
中点弦问题点差法
圆锥曲线常规题型方法归纳与总结①中点弦问题；②焦点三角形；③直线与圆锥位置关系问题：④圆锥曲线的相关最值(范围)问 题;⑤求曲线的方程问题：⑥存在两点关于直线对称问题；⑦两线段垂直问题圆锥曲线的中点弦问题 ——点差法与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
解题策具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为 A(x i ，yj 、B(X 2,y 2)，将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论) 个参数。
(3)y 2=2px( p>0)与直线 I 相交于 A 、B 设弦 AB 中点为 M(x o ,y o ),则有 2y o k=2p,即 y o k=p.经典例题讲解一、求以定点为中点的弦所在直线的方程2 2例1、过椭圆x 匚 1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被 M 点平分，求这条弦所在直线164的方程。
解：设直线与椭圆的交点为 A(x 1, y 1)、B(x 2,y 2)M (2,1)为 AB 的中点x 1 x 2 4 y 1 y 2 22 2 2 2又A 、B 两点在椭圆上，则 x 14y 1 16， x 2 4y 2 16，消去四如: 2(1)笃a2y b 2 1(ax o2阶 o 。
ab22(2)笃y2 1(aa bX oyo, o2ab 2kb 0)与直线相交于 A 、B ，设弦AB 中点为M(x o ,y o ),则有0,b 0)与直线I 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x o ,y o )则有两式相减得 2 2 2(人 X 2 ) 4(% y 22) 0于是(X 1X 2)(X 1 X 2) 4( y 1 y 2)(y 1 y 2)0y 1 y 2 X 1 X 2 4 1 X-I x 24( y 1 y 2)4 221 1即k AB㊁，故所求直线的方程为y 1 -(x 2)，即x 2y 4 0。
圆锥曲线中点弦问题（点差法）-精讲
圆锥曲线中点弦问题（点差法）-精讲关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。
这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。
其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。
一、求中点弦所在直线方程问题例1、过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。
二、求弦中点的轨迹方程问题例2、过椭圆1366422=+y x 上一点A （-8，0）作直线交椭圆于P 、Q 两点，求PQ 中点的轨迹方程。
例3、已知双曲线1222=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
例4、已知椭圆1257522=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
三、弦中点的坐标问题例5 求直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标。
例6、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
四、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例7、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。
五、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例8、已知椭圆13422=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。
这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。
点差法求解中点弦问题
点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。
求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。
用点差法时计算量较少，解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用到判别式加以检验。
【定理1】在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=-+-byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN =⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---b y y a x x .2212121212ab x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .2200a b x y k MN =⋅∴ 【定理3】 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN=⋅0.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==)2(.2)1(,2222121 mx y mx y)2()1(-，得).(2212221x x m y y -=-.2)(121212m y y x x y y =+⋅--∴又01212122,y y y x x y y k MN =+--=.m y k MN =⋅∴0.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在.一、椭圆1、过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (2,1)作一条直线交椭圆于A 、B 两点，使线段AB 被P 点平分，求此直线的方程．【解】 法一：如图，设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0， (*)又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1、x 2是(*)方程的两个根，∴x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.∵P 为弦AB 的中点，∴2＝x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1.解得k ＝－12，∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又∵A 、B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12.∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.2、已知椭圆+=1，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程．【解答】解：设P （x ，y ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ．则+=1，①+=1，②②﹣①得，=﹣．∴﹣=3，整理得：x+y=0．由，解得x=所求轨迹方程为：x+y=0．（﹣＜x ＜）∴点P 的轨迹方程为：x+y=0（﹣＜x ＜）；3、（2013秋•启东市校级月考）中心在原点，焦点坐标为（0，±5）的椭圆被直线3x ﹣y ﹣2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为=1 ．【解答】解：设椭圆=1（a ＞b ＞0），则a 2﹣b 2=50①又设直线3x ﹣y ﹣2=0与椭圆交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦AB 中点（x 0，y 0） ∵x 0=，∴代入直线方程得y 0=﹣2=﹣，由 ，得，∴AB 的斜率k==﹣•=﹣•=3∵=﹣1，∴a 2=3b 2②联解①②，可得a 2=75，b 2=25，∴椭圆的方程为：=1故答案为：=1．4、例1（09年四川）已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22=e ，右准线方程为2=x .(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3262||22=+N F M F ，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.2,222c a x a c e ∴1,1,2===c b a .∴所求的椭圆方程为1222=+y x . （Ⅱ）椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点为),(y x P .由平行四边形法则知：P F N F M F 2222=+.由3262||22=+N F M F 得：326||2=P F .∴.926)1(22=+-y x ①y D若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点P 与)0,1(1-F 重合，4|2|||1222==+F F N F M F ，与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在.由22a b x y k MN -=⋅得：.211-=⋅+x y x y ∴).(2122x x y +-=② ②代入①，得.926)(21)1(22=+--x x x 整理，得：0174592=--x x . 解之得：317=x ，或32-=x .由②可知，317=x 不合题意. ∴32-=x ，从而31±=y .∴.11±=+=x yk∴所求的直线l 方程为1+=x y ，或1--=x y .6、（2009秋•工农区校级期末）已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点M ，则点M 的坐标为．【解答】解：设直线与椭圆的交点分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则，两式相减，得=0，（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=﹣3（x 1﹣x 2）（x 1+x 2），=﹣3×，因为直线斜率为3，∴=3，∵两交点中点在直线x=，x 1+x 2=1，∴3=﹣3×1÷（y 1+y 2），∴=﹣．所以中点M 坐标为（，﹣）．故答案为：（，﹣）．7、如图，在DEF R t ∆中，25||,2||,90=+=︒=∠ED EF EF DEF ，椭圆C ：12222=+by a x ，以E 、F为焦点且过点D ，点O 为坐标原点。
运用点差法解答与中点弦有关问题的步骤
与中点弦有关的问题是有关圆锥曲线中的弦以及弦的中点问题.解答此类问题，通常需运用点差法.运用点差法解答与中点弦有关问题的步骤为：1.设出弦的两个端点的坐标：A(x1，y1)、B(x2，y2)；2.将两点的坐标代入圆锥曲线方程中，并将两式相减，得出含有x1＋x2、y1＋y2的式子；3.联立直线与圆锥曲线的方程得到一元二次方程，由根与系数的关系求得x1＋x2、y1＋y2；4.根据直线的斜率公式k=y1-y2x1-x2以及中点的坐标公式，建立中点和直线的斜率之间的联系；5.建立有关x1＋x2、y1＋y2的关系式，求得问题的答案.解答简单的中点弦问题，有时可省略第三步.下面举例加以说明.例1.若抛物线C：y2=x上存在不同的两点关于直线l：y=m()x-3对称，求实数m的取值范围.解：当m=0时，满足题意；当m≠0时，设抛物线C上关于直线l:y=m()x-3对称的两点分别为P()x1,y1，Q()x2,y2，中点M()x0,y0，可得y21=x1，y22=x2，将上述两式作差得：k PQ=y1-y2x1-x2=12y，因为k PQ=-1m，可得y0=-m2，又中点M()x0，y0在直线l：y=m()x-3上，所以y0=m()x0-3，解得x0=52，因为中点M在抛物线y2=x的内部，所以y20<x0，即æèöø-m22<52，解得：m∈()-10，10.所以实数m的取值范围为m∈()-10，10.对于与中点弦有关的参数取值范围问题，通常需运用点差法求解.对于本题，先将弦两端点的坐标代入曲线方程中，将两式作差，建立有关x1+x2、y1+y2的关系，然后运用中点坐标公式、直线的斜率公式，根据中点在直线上求得中点的坐标，再根据中点M在抛物线y2=x的内部，建立关于m的不等式.例2.已知AB为椭圆x2a2+y2b2=1()a>b>0中的一条弦，该弦不垂直于x轴，AB的中点为P，O为椭圆的中心，证明：直线AB和直线OP的斜率之积是定值.证明：设A()x1,y1，B()x2,y2，且x1≠x2，可得x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1，将两式作差得：y1-y2x1-x2=-b2()x1+x2a2()y1+y2，得k AB=-b2()x1+x2a2()y1+y2，又k OP=y1+y2x1+x2，则k AB=-b2a2∙1k OP，得k AB∙k OP=-b2a2，该值为定值，即直线AB和直线OP的斜率之积是定值.解答本题主要运用了点差法.通过将两式作差，求得直线AB的斜率，并根据中点坐标公式和斜率公式求出直线OP的斜率，从而证明结论.例3.已知双曲线的方程为x2-12y2=1，过点B()1,1能否作直线l，使得l与双曲线分别交于P，Q两点，且PQ的中点为B.如果存在，请求出它的方程；若不存在，请说明理由.解：假设直线l存在，且P()x1，y1，Q()x2，y2，由中点公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，由题意可得x21-12y21=1，x22-12y22=1，将两式作差可得2()x1-x2-()y1-y2=0，则直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=2，因为P，Q，B三点在直线l上，所以直线l的方程为：y=2x-1，将y=2x-1与x2-12y2=1联立可得：2x2-4x+3=0，该方程没有实数根，因此不存在直线l.解答本题，需先通过作差求得直线PQ的斜率，然后根据P、Q、B三点在直线l上，求得直线l的方程，再根据直线与双曲线有交点，运用一元二次方程的根的判别式判断出是否存在直线l.虽然点差法是解答与中点弦有关问题的重要方法，但在运用时需注意两点：（1）运用根与系数的关系解题时易产生漏解；（2）有些直线的斜率不存在，需单独进行讨论.（作者单位：江苏省响水县第二中学）考点透视39。
用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题
用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题一、求以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。
解：设直线与椭圆的交点为、为的中点又、两点在椭圆上，则，两式相减得于是即，故所求直线的方程为，即。
例2、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。
若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。
解：设存在被点平分的弦，且、则，，两式相减，得故直线由消去，得这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。
策略：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。
由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。
（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一般存在；（2）若中点在圆锥曲线外，则被点平分的弦可能不存在。
二、求弦的中点坐标和中点轨迹方程例3、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。
解：设弦端点、，弦的中点，则，又，两式相减得即，即点的坐标为。
例4、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
解：设弦端点、，弦的中点，则，又，两式相减得即，即，即由，得点在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。
解：设椭圆的方程为，则┅┅①设弦端点、，弦的中点，则，，又，两式相减得即┅┅②联立①②解得，所求椭圆的方程是四、求圆锥曲线上两点关于某直线对称的问题例6、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
解：设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦的中点，则，两式相减得，即，，这就是弦中点轨迹方程。
它与直线的交点必须在椭圆内联立，得则必须满足，即，解得例7、已知抛物线C: 和直线为使抛物线上存在关于对称的两点，求的取值范围。
解：设抛物线C上存在不同的两点关于直线对称，线段的中点为，则，①，②① －②可得：＝，即由于，所以，故，即，即。
最新最全的高考数学压轴题之点差法(中点弦)问题
最新最全的高考数学压轴题之点差法（中点弦）问题圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。
它的一般方法是：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
一、自主证明1、定理在椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.同理可证，在椭圆12222=+a y b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN -=⋅.2、定理在双曲线12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200a b x y k MN =⋅.同理可证，在双曲线12222=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN =⋅.3、定理在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0.题型归纳：一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
(完整)点差法求解中点弦问题
点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候,利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。
求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。
用点差法时计算量较少,解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点,故有时要用到判别式加以检验。
【定理1】在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=-+-b y y a x x .2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点,弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200a b x y k MN =⋅. 证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---b y y a x x .2212121212a b x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .2200ab x y k MN =⋅∴ 【定理3】 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0。
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用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题
与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解，但运算量较大。
若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
下面就如何用点差法计算举几个例子供大家参考。
一、 求以定点为中点的弦所在直线的方程
例1、过椭圆14
162
2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B
Θ )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y
Θ又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642
222=+y x
两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x
于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴2
1244)(421212121-=⨯-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2
11--=-x y ，即042=-+y x 。
例2、已知双曲线12
2
2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B
则221=+x x ，221=+y y 122121=-y x ，122
222=-y x 两式相减，得
0))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22
121
=--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB
由⎪⎩
⎪⎨⎧=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=⨯⨯--=∆
这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。
策略：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。
由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。
（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。
二、 求弦的中点坐标和中点轨迹方程
例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2
1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则2
10=x 12021==+x x x ， 0212y y y =+
又 125752121=+x y ，125
752222=+x y 两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y
即0)(3)(221210=-+-x x y y y ∴0
212123y x x y y -=-- Θ 32121=--=x x y y k ∴ 3230=-y ，即2
10-=y ∴点M 的坐标为)2
1,21(-。
例4、已知椭圆125
752
2=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(y x M ，则
x x x 221=+， y y y 221=+
又 125752121=+x y ，125
752
222=+x y 两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y
即0)(3)(2121=-+-x x x y y y ，即y
x x x y y 32121-=-- Θ 32121=--=x x y y k ∴33=-y
x ，即0=+y x 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+125
75022x y y x ，得)235,235(-P )235,235(-Q Θ点M 在椭圆内
∴它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为)2
35235(0<<-
=+x y x 三、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为2
1，求椭圆的方程。
解：设椭圆的方程为122
22=+b
x a y ，则5022=-b a ┅┅① 设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则
210=x ，2
12300-=-=x y ∴12021==+x x x ，12021-==+y y y 又1221221
=+b x a y ，1222222
=+b
x a y 两式相减得0))(())((21212
21212=-++-+x x x x a y y y y b
即0)()(212212=-+--x x a y y b ∴ 22
2121b
a x x y y =-- ∴ 322=
b a ┅┅② 联立①②解得752=a ，252
=b ∴所求椭圆的方程是125
752
2=+x y 四、求圆锥曲线上两点关于某直线对称的问题
例6、已知椭圆13
42
2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总
有不同的两点关于该直线对称。
解：设),(111y x P ，),(222y x P 为椭圆上关于直线m x y +=4的对称两点，),(y x P 为弦2
1P P 的中点，则12432121=+y x ，12432
222=+y x
两式相减得，0)(4)(322212221=-+-y y x x
即0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x Θx x x 221=+，y y y 221=+，4
12121-=--x x y y ∴x y 3= 这就是弦21P P 中点P 轨迹方程。
它与直线m x y +=4的交点必须在椭圆内
联立⎩⎨⎧+==m x y x y 43，得⎩⎨⎧-=-=m
y m x 3 则必须满足22433x y -<， 即224
33)3(m m -<，解得1313213132<<-m 例7、已知抛物线C: 2
)43(-=x y 和直线)0(:≠=k kx y l 为使抛物线上存在关于l 对称的两点，求k 的取值范围。
解：设抛物线C 上存在不同的两点),(),,(222111y x P y x P 关于直线l 对称，线段21P P 的中点为),(00y x M ，则0212x x x =+，0212y y y =+ 211)43(-=x y ①， 222)4
3(-=x y ② ① －②可得：2121x x y y --＝2321-+x x ，即2
32021-=x K P P 由于l P P ⊥21，所以k K P P 121-=，故23210-=-x k ，即23210-=-x k ，即k
x 21430-=。
又因为),(00y x M 在直线)0(:≠=k kx y l 上，所以2
1430-=k y ，因为),(00y x M 在抛物线2)43(-=x y 开口内，所以200)43(->x y ，故021430>-=k y ，所以1>k 。
即k 的取值范围是()+∞,1。
策略：本题需要根据弦中点),(00y x M 位置求k 的取值范围，如果不考虑),(00y x M 位置，
可能得出错误的结果。
请务必小心。
五、注意的问题
利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题、对称性问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。
但不能忽略弦中点的轨迹应在曲线内的条件。