运用点差法巧解圆锥曲线的中点弦问题
解-点差法公式在抛物线中点弦问题中地妙用
“点差法”公式在抛物线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。
它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。
本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。
定理 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==)2(.2)1(,2222121ΛΛΛΛmx y mx y)2()1(-，得).(2212221x x m y y -=-.2)(121212m y y x x y y =+⋅--∴又01212122,y y y x x y y k MN =+--=Θ.m y k MN =⋅∴0.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在. 同理可证，在抛物线)0(22≠=m my x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN=⋅01.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零.例1．抛物线x y 42=的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（ ）A. 12-=x yB. )1(22-=x y C. 212-=x y D. 122-=x y 解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上. 设弦的中点M 的坐标为),(y x . 由m y k MN =⋅得：21=⋅-y x y， 整理得：)1(22-=x y .∴所求的轨迹方程为)1(22-=x y .故选B.例2．抛物线22x y =上一组斜率为2的平行弦中点的轨迹方程是（ ）A. 21=x （y ＞21）B. 21=y （x ＞21） C. x y 2=（x ＞1） D. 12+=x y 解：由22x y =得y x 212=，41=∴m ，焦点在y 轴上. 设平行弦的中点M 的坐标为),(y x .由m x k MN=⋅1得：4121=⋅x ，21=∴x . 在22x y =中，当21=x 时，21=y . ∴点M 的轨迹方程为21=x （y ＞21）.故答案选A.例3．（03上海）直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得的线段的中点坐标是___________.解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上. 设弦MN 的中点P 的坐标为),(y x ，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则.1=MN k 由m y k MN =⋅0得：20=y ，.120-=∴x 从而30=x . ∴所求的中点坐标是)2,3(.例4．抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，它和直线1-=x y 相交，所得的弦的中点在522=+y x上，求抛物线的方程.解：设抛物线的方程为)0(22≠=m mx y ，直线与抛物线的两个交点为M 、N ，弦MN 的中点P的坐标为),(00y x .由m y k MN =⋅0得：m y =0，.1100+=+=∴m y x又Θ点),1(m m P +在圆522=+y x 上，.5)1(22=++∴m m解之得：,2-=m 或.1=m 由⎩⎨⎧=-=.2,12mx y x y 得：.01)1(22=++-x m xΘ直线与抛物线有两个不同的交点，4)1(42-+=∆∴m ＞0. ∴m ＜2-，或m ＞0..1=∴m故所求的抛物线方程为.22x y =例5．已知抛物线x y 122=上永远有关于直线m x y l +=4:对称的相异两点，求实数m 的取值范围.解：设抛物线上A 、B 两点关于直线l 对称，且弦AB 的中点为),(00y x P . 根据题意，点P 在直线l 上，l AB ⊥，∴41-=AB k . 又x y 122=，mx y 22=，∴6=m .由m y k AB =⋅0，得：6410=⋅-y ，∴240-=y . 又由m x y +=004，得：4240+-=m x .点),(00y x P 在抛物线的开口内，∴2)24(-＜)424(12+-⨯m . 解之得：m ＜216-.故实数m 的取值范围)216,(--∞.例6. （05全国Ⅲ文22）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线.（Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）y x 212=Θ，∴)81,0(,41F p =. 设线段AB 的中点为),(00y x P ，直线l 的斜率为k ，则0212x x x =+.若直线l 的斜率不存在，当且仅当021=+x x 时，AB 的垂直平分线l 为y 轴，经过抛物线的焦点F. 若直线l 的斜率存在，则其方程为00)(y x x k y +-=，kk AB 1-=. 由p x k AB=⋅01得：410=-kx ，∴kx 410-=. 若直线l 经过焦点F ，则得：0004181y y kx +=+-=，410-=y ，与00≥y 相矛盾. ∴当直线l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述，当且仅当021=+x x 时，直线l 经过抛物线的焦点F. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，.102,12),18,3(),2,1(210210=+=-=+=-y y y x x x B A 由p x k AB=⋅01得：41=k . ∴所求的直线l 的方程为10)1(41++=x y ，即.0414=+-y x 例7．已知直线02=--y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是________. 解：x y 42=，mx y 22=，∴2=m . 直线的斜率为1.由m y k MN =⋅0得：20=y . 代入0200=--y x 求得40=x .∴线段AB 的中点坐标是)2,4(.例8．直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标是2，则||PQ =____.解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m .在2-=kx y 中，20=x 时，220-=k y ，∴若PQ 中点的纵坐标是220-=k y . 由m y k AB =⋅0得：4)22(=-k k ，即022=--k k . 解之得：2=k 或1-=k . 由⎩⎨⎧=-=.8,22x y kx y 得：04)2(422=++-x k x k .Θ直线与抛物线交于不同的两点，∴⎪⎩⎪⎨⎧-+=∆≠.016)2(16,0222φk k k解之得：k ＞1-且0≠k .∴2=k .由⎩⎨⎧=-=.8,222x y x y 得：041642=+-x x . 即0142=+-x x .设),(),,(2211y x Q y x P ，则1,42121==+x x x x .∴[]152)416(54)()1(||212212=-=-++=x x x x k PQ .例9．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线14:+-=x y l 被抛物线C 所截得的弦AB 的中点M 的纵坐标为2-，则抛物线C 的方程为____________.解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m .由m y k AB =⋅0得：4=AB k .∴AB 所在的直线方程为)4(41-=-x y ，即0154=--y x .例10．设1P 2P 为抛物线y x =2的弦，如果这条弦的垂直平分线l 的方程为3+-=x y ，求弦1P 2P 所在的直线方程.解：设抛物线的方程为mx y 22=（m ＞0）.在14+-=x y 中，斜率为4-，2-=y 时，43=x . ∴弦AB 的中点M 的坐标为)2,43(--. 由m y k AB =⋅0得：m =-⨯-)2(4，∴8=m .∴所求的抛物线的方程为x y 162=.例11．过点)1,4(Q 作抛物线x y 82=的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，则AB 所在的直线方程为_______.解：y x =2，my x 22=，∴21=m . 弦1P 2P 所在直线的斜率为1. 设弦1P 2P 的中点坐标为),(00y x .由m x k P P =⋅0211得：210=x . 弦1P 2P 的中点也在直线3+-=x y 上，∴253210=+-=y .弦1P 2P 的中点坐标为)25,21(. ∴弦1P 2P 所在的直线方程为)21(125-⋅=-x y ，即02=+-y x . 例12．已知抛物线22x y =上有不同的两点A 、B 关于直线m x y l +=:对称，求实数m 的取值范围.解：设弦AB 的中点为),(00y x P . 根据题意，l AB ⊥，∴1-=AB k . 又y x 212=，my x 22=，∴41=m . 由m x k AB=⋅01，得：4110=⋅-x ，∴410-=x . 又由m x y +=00，得：m y +-=410. 点),(00y x P 在抛物线的开口内，∴2)41(-＜)41(21m +-⨯.解之得：m ＞83.故实数m 的取值范围),83(+∞.例13．（05全国Ⅲ理21）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线.（Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论. （Ⅱ）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上的截距的取值范围. 解：（Ⅰ）y x 212=Θ，∴)81,0(,41F p m ==. 设线段AB 的中点为),(00y x P ，直线l 的斜率为k ，则0212x x x =+.若直线l 的斜率不存在，当且仅当021=+x x 时，AB 的垂直平分线l 为y 轴，经过抛物线的焦点F. 若直线l 的斜率存在，则其方程为00)(y x x k y +-=，kk AB 1-=. 由m x k AB=⋅01得：410=-kx ，∴kx 410-=. 若直线l 经过焦点F ，则得：0004181y y kx +=+-=，410-=y ，与00≥y 相矛盾. ∴当直线l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述，当且仅当021=+x x 时，直线l 经过抛物线的焦点F.（Ⅱ）当2=k 时，由（Ⅰ）知，810-=x ，直线l 的方程为4120++=y x y ， ∴它在y 轴上的截距410+=y b ，410-=b y . 直线AB 的方程为00)(21y x x y +--=，即16521-+-=b x y . 代入22x y =并整理得：085242=+-+b x x .Θ直线AB 与抛物线有两个不同交点，∴)852(161+--=∆b ＞0，即932-b ＞0.∴b ＞329.故l 在y 轴上的截距的取值范围是),329(+∞.例14．(08陕西文理20) 已知抛物线22x y C =：，直线2+=kx y 交C 于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N. （Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0=⋅NB NA ，若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由.证明：（Ⅰ）41,212===p m y x ，设点M 的坐标为),(00y x . 当0=k 时，点M 在y 轴上，点N 与原点O 重合，抛物线C 在点N 处的切线为x 轴，与AB 平行. 当0≠k 时，由p x k AB=⋅01得：40kx =. ∴8222k x y N ==. 得点N 的坐标为)8,4(2k k . 设抛物线C 在点N 处的切线方程为)4(82k x m k y -=-，即8)4(2k k x m y +-=. 代入22x y =，得：8)4(222k k x m x +-=，整理得：084222=-+-k km mx x . 0)(2)84(822222=-=+-=--=∆k m k km m k km m ，∴k m =，即抛物线C 在点N 处的切线的斜率等于直线AB 的斜率.故抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行.（Ⅱ）解：若0=⋅NB NA ，则NB NA ⊥，即︒=∠90ANB .∴||2||2||2||MN BM AM AB ===.482200+=+=k kx y ，∴816848||2220+=-+=-=k k k y y MN N . 由⎩⎨⎧=+=.2,22x y kx y 得0222=--kx x .设),(),,(2211y x B y x A ，则1,22121-==+x x kx x .∴)16)(1(21)44)(1(]4))[(1(||2222212212++=++=-++=k k k k x x x x k AB .∴8162)16)(1(21222+⨯=++k k k . 即4)16()16)(1(2222+=++k k k . 化简，得：416122+=+k k ，即42=k .∴2±=k .故存在实数2±=k ，使0=⋅NB NA .。
用“点差法”妙解圆锥曲线“中点弦”的问题
用“点差法”妙解圆锥曲线“中点弦”的问题
胡巧玲
【期刊名称】《学苑教育》
【年(卷),期】2011(000)007
【摘要】点差法的步骤：设点一代点一作差。
利用中点坐标公式来求出中点弦所在直线的斜率，中点弦所在的直线方程，弦的中点轨迹，中点弦所在直线的存在问题。
最大的优点是计算量小。
通过“设而不求”来达到求解的目的。
【总页数】1页(P57-57)
【作者】胡巧玲
【作者单位】新疆兵团农三师中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.65
【相关文献】
1.用点差法解圆锥曲线的中点弦问题 [J], 胡文敏;
2."点差法"解决圆锥曲线的中点弦问题 [J], 韩晓刚
3.巧用点差法解决圆锥曲线中点弦问题 [J], 李德宝
4.点差法解圆锥曲线中点弦问题新发现 [J], 李虎
5.构造中点弦妙解圆锥曲线问题
——中点弦结论的拓展运用 [J], 蔡珍珍
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运用点差法巧解圆锥曲线的中点弦问题ppt课件
若 M 为弦 AB 的中点，求直线 AB 的方程；
（2）是否存在直线l，使
N
1，1 2
为
l
被双曲线所截弦的中点， y
若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，请说明理由。
解：设 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2) ，则 (x1 x2)
x12 4
x
1
的直线交椭圆于A、B两点，若AB的
中点为C
1 2
,
1 4
4，则求椭圆的方程。
10
解
设 A x1, y1 、B x2, y2 ，则
x1
x2
1,
y1
y2
1 2
，且
x12 y12 1 a2 b2
，（1）
x22 y22 1 a2 b2
，（2）
1
2
得：x12 x22 y12 y22
14
作业：
已知椭圆x2+2y2=2,
(1)求被点P（
1 2
,
1 2
B(x2, y2)，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到
一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。 我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
2
一.问题引入
过椭圆 x2 y2 1内一点 M (2,1) 引一 16 4
条弦，使弦被点 M平分，求这条弦所在
直线的方程．
y
B（x2 , y2）
运用点差法巧解圆锥曲线的 中点弦问题
高中数学教师欧阳文丰制作
1
、
导言
圆锥曲线综合题是每年高考必考的题目，这些题目的解法
灵活多变，其中涉及圆锥曲线中点弦的有关问题，我们称之为圆 锥曲线的中点弦问题。用点差法求解此类问题，具有构思精巧， 简便易行的优点。
运用点差法解答与中点弦有关问题的步骤
与中点弦有关的问题是有关圆锥曲线中的弦以及弦的中点问题.解答此类问题，通常需运用点差法.运用点差法解答与中点弦有关问题的步骤为：1.设出弦的两个端点的坐标：A(x1，y1)、B(x2，y2)；2.将两点的坐标代入圆锥曲线方程中，并将两式相减，得出含有x1＋x2、y1＋y2的式子；3.联立直线与圆锥曲线的方程得到一元二次方程，由根与系数的关系求得x1＋x2、y1＋y2；4.根据直线的斜率公式k=y1-y2x1-x2以及中点的坐标公式，建立中点和直线的斜率之间的联系；5.建立有关x1＋x2、y1＋y2的关系式，求得问题的答案.解答简单的中点弦问题，有时可省略第三步.下面举例加以说明.例1.若抛物线C：y2=x上存在不同的两点关于直线l：y=m()x-3对称，求实数m的取值范围.解：当m=0时，满足题意；当m≠0时，设抛物线C上关于直线l:y=m()x-3对称的两点分别为P()x1,y1，Q()x2,y2，中点M()x0,y0，可得y21=x1，y22=x2，将上述两式作差得：k PQ=y1-y2x1-x2=12y，因为k PQ=-1m，可得y0=-m2，又中点M()x0，y0在直线l：y=m()x-3上，所以y0=m()x0-3，解得x0=52，因为中点M在抛物线y2=x的内部，所以y20<x0，即æèöø-m22<52，解得：m∈()-10，10.所以实数m的取值范围为m∈()-10，10.对于与中点弦有关的参数取值范围问题，通常需运用点差法求解.对于本题，先将弦两端点的坐标代入曲线方程中，将两式作差，建立有关x1+x2、y1+y2的关系，然后运用中点坐标公式、直线的斜率公式，根据中点在直线上求得中点的坐标，再根据中点M在抛物线y2=x的内部，建立关于m的不等式.例2.已知AB为椭圆x2a2+y2b2=1()a>b>0中的一条弦，该弦不垂直于x轴，AB的中点为P，O为椭圆的中心，证明：直线AB和直线OP的斜率之积是定值.证明：设A()x1,y1，B()x2,y2，且x1≠x2，可得x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1，将两式作差得：y1-y2x1-x2=-b2()x1+x2a2()y1+y2，得k AB=-b2()x1+x2a2()y1+y2，又k OP=y1+y2x1+x2，则k AB=-b2a2∙1k OP，得k AB∙k OP=-b2a2，该值为定值，即直线AB和直线OP的斜率之积是定值.解答本题主要运用了点差法.通过将两式作差，求得直线AB的斜率，并根据中点坐标公式和斜率公式求出直线OP的斜率，从而证明结论.例3.已知双曲线的方程为x2-12y2=1，过点B()1,1能否作直线l，使得l与双曲线分别交于P，Q两点，且PQ的中点为B.如果存在，请求出它的方程；若不存在，请说明理由.解：假设直线l存在，且P()x1，y1，Q()x2，y2，由中点公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，由题意可得x21-12y21=1，x22-12y22=1，将两式作差可得2()x1-x2-()y1-y2=0，则直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=2，因为P，Q，B三点在直线l上，所以直线l的方程为：y=2x-1，将y=2x-1与x2-12y2=1联立可得：2x2-4x+3=0，该方程没有实数根，因此不存在直线l.解答本题，需先通过作差求得直线PQ的斜率，然后根据P、Q、B三点在直线l上，求得直线l的方程，再根据直线与双曲线有交点，运用一元二次方程的根的判别式判断出是否存在直线l.虽然点差法是解答与中点弦有关问题的重要方法，但在运用时需注意两点：（1）运用根与系数的关系解题时易产生漏解；（2）有些直线的斜率不存在，需单独进行讨论.（作者单位：江苏省响水县第二中学）考点透视39。
巧用“点差法”破解圆锥曲线中点弦和切线问题
巧用 点差法 破解圆锥曲线中点弦和切线问题唐金波(深圳科学高中ꎬ广东深圳５１８１２９)摘㊀要: 点差法 是圆锥曲线中一类非常重要的方法ꎬ代点作差ꎬ模式化强ꎬ计算量少ꎬ能很好地优化解题过程.高中阶段用 点差法 来解决有关圆锥曲线上一点的切线问题易于理解ꎬ且能更好地理解数学的本质ꎬ欣赏到数学之美.关键词:点差法ꎻ中点弦ꎻ切线中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１９－００６０－０３收稿日期:２０２３－０４－０５作者简介:唐金波ꎬ男ꎬ湖南省衡阳人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事数学教学研究.㊀㊀在处理直线与圆锥曲线相交所得弦的中点和切线的相关问题时ꎬ我们经常会用到 点差法 :设弦的两个端点坐标ｘ１ꎬｙ１()和ｘ２ꎬｙ２()ꎬ代入圆锥曲线的方程后ꎬ把所得的两个方程相减ꎬ得到弦的中点坐标与弦所在直线斜率的关系ꎬ使问题得到解决.此方法巧妙地将中点坐标公式和斜率公式 珠联璧合 ꎬ设而不求ꎬ代点作差ꎬ减少了计算量ꎬ模式化强ꎬ优化了解题过程ꎬ对解决此类问题有很好的效果[１].１ 点差法 的介绍１.１中点弦问题结论１㊀设ｌ为不过原点Ｏ的直线ꎬ与椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)相交于ＡꎬＢ两点ꎬＭ为线段ＡＢ的中点ꎬ则ｋＡＢ ｋＯＭ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１(其中ｅ为椭圆的离心率).分析㊀设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬＭｘ０ꎬｙ０()ꎬ则ｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１ꎬｘ２２ａ２＋ｙ２２ｂ２＝１.ìîíïïïï两式相减ꎬ得ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－ｂ２ａ２ ｘ１＋ｘ２ｙ１＋ｙ２＝－ｂ２ａ２ ｘ０ｙ０.所以ｋＡＢ ｋＯＭ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１.说明㊀本篇后续例题等直接引用该表达式ꎬ没有给出推导ꎬ正式解题作答时需要给出推导过程.对于双曲线和抛物线可类似推导如下结论ꎬ有兴趣的读者可以自行推导.结论２㊀设ｌ为不过原点Ｏ的直线ꎬ与双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)相交于ＡꎬＢ两点ꎬＭ为线段ＡＢ的中点ꎬ则ｋＡＢ ｋＯＭ＝ｂ２ａ２＝ｅ２－１(其中ｅ为双曲线的离心率).结论３㊀设点Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()(ｘ１ʂｘ２)是抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)上两点ꎬ则直线ＡＢ的斜率ｋＡＢ＝ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝２ｐｙ１＋ｙ２.１.２切线问题结论４㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>０６ｂ>０)上一个定点ꎬ过点Ｐ的切线记为ｌꎬ则ｌ:ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１且ｋｌ ｋＯＰ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１.分析㊀设Ｑ(ｘ１ꎬｙ１)为椭圆上不同于点Ｐ的任意一点ꎬ则ｘ２０ａ２＋ｙ２０ｂ２＝１ꎬｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１.ìîíïïïï两式相减ꎬ得ｋＰＱ＝ｙ１－ｙ０ｘ１－ｘ０＝－ｂ２ａ２ ｘ１＋ｘ０ｙ１＋ｙ０.过点Ｐ的切线ｌ可以看作割线ＰＱ当ＱңＰ时的极限位置.①若ｙ０ʂ０ꎬ当ｘ１ңｘ０ꎬｙ１ңｙ０时ꎬｋＰＱң－ｂ２ａ２ｘ０＋ｘ０ｙ０＋ｙ０＝－ｂ２ａ２ ｘ０ｙ０.此时切线ｌ的方程为ｙ－ｙ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０(ｘ－ｘ０).化简得ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１ꎬ并且ｋｌ ｋＯＰ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１.②若ｙ０＝０ꎬ容易验证切线ｌ的方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１.综上①②ꎬ可知结论成立.通过利用极限的思想结合 点差法 推导椭圆的切线方程ꎬ有助于更好地理解点差法ꎬ挖掘其本质ꎬ进一步说明点差法为什么能解决与中点弦相关的问题ꎬ对提升数学思维和数学核心素养有很大的帮助.本结论也可以通过点差法推广到双曲线和抛物线ꎬ有兴趣的读者可以自行证明.结论５㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)上一个定点ꎬ过点Ｐ的切线记为ｌꎬ则ｌ:ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝１且ｋｌ ｋＯＰ＝ｂ２ａ２＝ｅ２－１.结论６㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)上一个定点ꎬ过点Ｐ的切线记为ｌꎬ则ｙ０ｙ＝ｐ(ｘ０＋ｘ)且ｋｌ＝ｐｙ０.２ 点差法 的应用２.１应用 点差法 解中点弦问题例１㊀(２０２２年新高考Ⅱ卷 １６)如图１ꎬ已知椭圆ｘ２６＋ｙ２３＝１ꎬ直线ｌ与椭圆在第一象限交于ＡꎬＢ两点ꎬ与ｘ轴ꎬｙ轴分别交于ＭꎬＮ两点ꎬ且ＭＡ＝ＮＢꎬＭＮ＝２３ꎬ则直线ｌ的方程为.解析㊀设ＡＢ的中点为Ｅꎬ因为ＭＡ＝ＮＢꎬ所以ＭＥ＝ＮＥ.图１㊀２０２２年新高考Ⅱ卷１６题图由结论１ꎬ有ｋＯＥ ｋＡＢ＝－１２.设直线ＡＢ:ｙ＝ｋｘ＋ｍꎬｋ<０ꎬｍ>０ꎬ令ｘ＝０得ｙ＝ｍꎬ令ｙ＝０得ｘ＝－ｍｋ.即Ｍ－ｍｋꎬ０æèçöø÷ꎬＮ０ꎬｍ().所以Ｅ－ｍ２ｋꎬｍ２æèçöø÷.即ｋˑｍ/２－ｍ/２ｋ＝－１２.解得ｋ＝－２２或ｋ＝２２(舍去).又ＭＮ＝２３ꎬ即ＭＮ＝ｍ２＋２ｍ()２＝２３ꎬ解得ｍ＝２或ｍ＝－２(舍去).所以直线ＡＢ:ｙ＝－２２ｘ＋２ꎬ即ｘ＋２ｙ－２２＝０.评注㊀由问题中的条件ＭＡ＝ＮＢꎬ借助几何图形的特点ꎬ可自然联想到取线段ＡＢ的中点Ｅꎬ从而利用椭圆中 点差法 的结论ꎬ得到直线斜率和截距的关系式ꎬ进而解决问题.２.２应用点差法 解切线问题例２㊀(２０２２年淮北中学第一次联考 ２１)已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的右焦点为Ｆ(１ꎬ１６０)ꎬ离心率为１２.(１)求椭圆Ｃ的方程ꎻ(２)若过点Ｆ的直线ｌ交Ｃ于ＡꎬＢ两点ꎬ线段ＡＢ的中点为Ｍꎬ分别过ＡꎬＢ作Ｃ的切线ｌ１ꎬｌ２ꎬ且ｌ１与ｌ２交于点Ｐ.证明:ＯꎬＭꎬＰ三点共线.解析㊀(１)ｘ２４＋ｙ２３＝１ꎻ(２)当直线ｌ的斜率不存在时ꎬＯꎬＭꎬＰ三点共线显然成立.当直线ｌ的斜率存在设为ｋ(易知ｋʂ０)ꎬ设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬ由结论１知ꎬｋ ｋＯＭ＝－ｂ２ａ２＝－３４ꎬ即ｋＯＭ＝－３４ｋ.由结论２知ꎬｌ１:ｘ１ｘ４＋ｙ１ｙ３＝１ꎬ①ｌ２:ｘ２ｘ４＋ｙ２ｙ３＝１.②由①②ꎬ得ｘ(ｘ１－ｘ２)４＝－ｙ(ｙ１－ｙ２)３.即ｋｏｐ＝ｙｘ＝－３(ｘ１－ｘ２)４(ｙ１－ｙ２)＝－３４ｋ.于是ｋＯＭ＝ｋｏｐꎬ因此ＯꎬＭꎬＰ三点共线.评注㊀上述有关中点弦和曲线上一点的切线问题若借助 点差法 得到直线的斜率与中点到原点的斜率的关系式ꎬ能有效减少计算量.用点差法得到的切线方程也简单易懂ꎬ给我们推导圆锥曲线上一点的切线提供了更为初等的方法ꎬ充分说明了 点差法 的威力ꎬ更能让我们欣赏到数学之美.２.３对 点差法 深入理解例３㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２－ｙ２２＝１ꎬ是否存在过点Ｍ(１ꎬ１)的直线ｌꎬ使ｌ与双曲线交于ＡꎬＢ两点ꎬ且Ｍ是线段ＡＢ的中点?若存在求出ｌ的方程ꎻ若不存在ꎬ说明理由.解析㊀当直线ｌ的斜率不存在时ꎬ显然不合题意.当直线ｌ的斜率存在设为ｋꎬ设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬ则由结论２ꎬ知ｋ ｋＯＭ＝２ꎬ即ｋ＝２.于是ꎬ直线ｌ的方程为ｙ＝２ｘ－１.但若将ｙ＝２ｘ－１代入双曲线ｘ２－ｙ２２＝１ꎬ消去ｙꎬ整理ꎬ得２ｘ２－４ｘ＋３＝０ꎬ此方程没有实数解.所以满足题意的直线ｌ不存在.评注㊀解答例３的问题时ꎬ在用点差法求出直线方程后ꎬ认为已经 大功告成 ꎬ这就反应出解题过程中理性思维的缺失.此例体现了 点差法 在应用中的特殊性和局限性ꎬ有助于我们对数学更深入地理解.事实上ꎬ(１)当曲线是椭圆或者抛物线时ꎬ若中点在其内部ꎬ则满足条件的直线存在ꎻ若中点在其外部ꎬ则满足条件的直线不存在.(２)当曲线是双曲线时ꎬ若中点在其内部ꎬ则所求的直线存在ꎻ若中点在其外部ꎬ则满足的条件可能存在ꎬ也可能不存在ꎬ此时需要验证判别式.３总结反思点差法 是一种非常典型且简单易学的方法ꎬ但它仍然不是圆锥曲线中的通解通法.从上述例题的解答过程可以看出ꎬ当遇到中点弦㊁切线等条件时ꎬ我们可以尝试该法.对于联立直线与圆锥曲线方程的通法ꎬ该法过程简洁㊁计算量小ꎬ能进一步提高解题效率.对于圆锥曲线上一点的切线问题也能很好地解决ꎬ是高中阶段非常好用㊁易用㊁实用的好方法.但是该法仍然具有其局限性ꎬ我们在平时的学习过程中ꎬ要结合自身掌握知识的程度和对知识本质理解的程度ꎬ选择最优的解题方法.要学会从不同的解法中汲取不同的数学思想ꎬ加深对数学本质的理解ꎬ从而提高自身的数学核心素养.参考文献:[１]苏立标.圆锥曲线的秘密[Ｍ].杭州:浙江大学出版社ꎬ２０２１.[责任编辑:李㊀璟]２６。
点差法公式在抛物线中点弦问题中的妙用
点差法公式在抛物线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。
它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。
本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。
定理 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==)2(.2)1(,2222121 mx y mx y)2()1(-，得).(2212221x x m y y -=-.2)(121212m y y x x y y =+⋅--∴又01212122,y y y x x y y k MN =+--=.m y k MN =⋅∴0.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在. 同理可证，在抛物线)0(22≠=m my x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN=⋅01.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零.典题妙解例1 抛物线x y 42=的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（ ）A. 12-=x yB. )1(22-=x y C. 212-=x y D. 122-=x y 解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上. 设弦的中点M 的坐标为),(y x .由m y k MN =⋅得：21=⋅-y x y， 整理得：)1(22-=x y .∴所求的轨迹方程为)1(22-=x y .故选B.例2 抛物线22x y =上一组斜率为2的平行弦中点的轨迹方程是（ ） A. 21=x （y ＞21） B. 21=y （x ＞21） C. x y 2=（x ＞1） D. 12+=x y 解：由22x y =得y x 212=，41=∴m ，焦点在y 轴上. 设平行弦的中点M 的坐标为),(y x .由m x k MN=⋅1得：4121=⋅x ，21=∴x . 在22x y =中，当21=x 时，21=y . ∴点M 的轨迹方程为21=x （y ＞21）.故答案选A.例3 （03上海）直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得的线段的中点坐标是___________. 解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上. 设弦MN 的中点P 的坐标为),(y x ，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则.1=MN k 由m y k MN =⋅0得：20=y ，.120-=∴x 从而30=x .∴所求的中点坐标是)2,3(.例 4 抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，它和直线1-=x y 相交，所得的弦的中点在522=+y x 上，求抛物线的方程.解：设抛物线的方程为)0(22≠=m mx y ，直线与抛物线的两个交点为M 、N ，弦MN 的中点P 的坐标为),(00y x .由m y k MN =⋅0得：m y =0，.1100+=+=∴m y x又 点),1(m m P +在圆522=+y x 上，.5)1(22=++∴m m解之得：,2-=m 或.1=m由⎩⎨⎧=-=.2,12mx y x y 得：.01)1(22=++-x m x 直线与抛物线有两个不同的交点，4)1(42-+=∆∴m ＞0.∴m ＜2-，或m ＞0. .1=∴m故所求的抛物线方程为.22x y =例5.已知抛物线x y 122=上永远有关于直线m x y l +=4:对称的相异两点，求实数m 的取值范围. 解：设抛物线上A 、B 两点关于直线l 对称，且弦AB 的中点为),(00y x P . 根据题意，点P 在直线l 上，l AB ⊥，∴41-=AB k . 又x y 122=，mx y 22=，∴6=m .由m y k AB =⋅0，得：6410=⋅-y ，∴240-=y . 又由m x y +=004，得：4240+-=m x .点),(00y x P 在抛物线的开口内，∴2)24(-＜)424(12+-⨯m . 解之得：m ＜216-.故实数m 的取值范围)216,(--∞.例6. （05全国Ⅲ文22）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线. （Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，求直线l 的方程.解：（Ⅰ）y x 212=，∴)81,0(,41F p =. 设线段AB 的中点为),(00y x P ，直线l 的斜率为k ，则0212x x x =+.若直线l 的斜率不存在，当且仅当021=+x x 时，AB 的垂直平分线l 为y 轴，经过抛物线的焦点F. 若直线l 的斜率存在，则其方程为00)(y x x k y +-=，kk AB 1-=. 由p x k AB=⋅01得：410=-kx ，∴kx 410-=. 若直线l 经过焦点F ，则得：0004181y y kx +=+-=，410-=y ，与00≥y 相矛盾. ∴当直线l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述，当且仅当021=+x x 时，直线l 经过抛物线的焦点F. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，.102,12),18,3(),2,1(210210=+=-=+=-y y y x x x B A 由p x k AB=⋅01得：41=k . ∴所求的直线l 的方程为10)1(41++=x y ，即.0414=+-y x 金指点睛1. 已知直线02=--y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是________. 2. 直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标是2，则||PQ =____. 3. 已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线14:+-=x y l 被抛物线C 所截得的弦AB 的中点M 的纵坐标为2-，则抛物线C 的方程为____________.4. 设1P 2P 为抛物线y x =2的弦，如果这条弦的垂直平分线l 的方程为3+-=x y ，求弦1P 2P所在的直线方程.5. 过点)1,4(Q 作抛物线x y 82=的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，则AB 所在的直线方程为_______. 6. 已知抛物线22x y =上有不同的两点A 、B 关于直线m x y l +=:对称，求实数m 的取值范围. 7. （05全国Ⅲ理21）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线. （Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论.（Ⅱ）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上的截距的取值范围.8. (08陕西文理20) 已知抛物线22x y C =：，直线2+=kx y 交C 于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N.（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0=⋅，若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由.参考答案1. 解：x y 42=，mx y 22=，∴2=m . 直线的斜率为1. 由m y k MN =⋅0得：20=y . 代入0200=--y x 求得40=x .∴线段AB 的中点坐标是)2,4(.2. 解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m .在2-=kx y 中，20=x 时，220-=k y ，∴若PQ 中点的纵坐标是220-=k y . 由m y k AB =⋅0得：4)22(=-k k ，即022=--k k . 解之得：2=k 或1-=k . 由⎩⎨⎧=-=.8,22x y kx y 得：04)2(422=++-x k x k .直线与抛物线交于不同的两点，∴⎪⎩⎪⎨⎧-+=∆≠.016)2(16,0222 k k k 解之得：k ＞1-且0≠k . ∴2=k .由⎩⎨⎧=-=.8,222x y x y 得：041642=+-x x . 即0142=+-x x . 设),(),,(2211y x Q y x P ，则1,42121==+x x x x .∴[]152)416(54)()1(||212212=-=-++=x x x x k PQ .3. 解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m . 由m y k AB =⋅0得：4=AB k .∴AB 所在的直线方程为)4(41-=-x y ，即0154=--y x . 4. 解：设抛物线的方程为mx y 22=（m ＞0）. 在14+-=x y 中，斜率为4-，2-=y 时，43=x . ∴弦AB 的中点M 的坐标为)2,43(--. 由m y k AB =⋅0得：m =-⨯-)2(4，∴8=m .∴所求的抛物线的方程为x y 162=.5. 解：y x =2，my x 22=，∴21=m . 弦1P 2P 所在直线的斜率为 1. 设弦1P 2P 的中点坐标为),(00y x .由m x k P P =⋅0211得：210=x . 弦1P 2P的中点也在直线3+-=x y 上，∴253210=+-=y .弦1P 2P 的中点坐标为)25,21(. ∴弦1P 2P所在的直线方程为)21(125-⋅=-x y ，即02=+-y x . 6. 解：设弦AB 的中点为),(00y x P . 根据题意，l AB ⊥，∴1-=AB k .又y x 212=，my x 22=，∴41=m . 由m x k AB=⋅01，得：4110=⋅-x ，∴410-=x . 又由m x y +=00，得：m y +-=410. 点),(00y x P 在抛物线的开口内，∴2)41(-＜)41(21m +-⨯.解之得：m ＞83.故实数m 的取值范围),83(+∞.7. 解：（Ⅰ）y x 212= ，∴)81,0(,41F p m ==.设线段AB 的中点为),(00y x P ，直线l 的斜率为k ，则0212x x x =+.若直线l 的斜率不存在，当且仅当021=+x x 时，AB 的垂直平分线l 为y 轴，经过抛物线的焦点F.若直线l 的斜率存在，则其方程为00)(y x x k y +-=，kk AB 1-=. 由m x k AB=⋅01得：410=-kx ，∴kx 410-=. 若直线l 经过焦点F ，则得：0004181y y kx +=+-=，410-=y ，与00≥y 相矛盾. ∴当直线l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述，当且仅当021=+x x 时，直线l 经过抛物线的焦点F.（Ⅱ）当2=k 时，由（Ⅰ）知，810-=x ，直线l 的方程为4120++=y x y ， ∴它在y 轴上的截距410+=y b ，410-=b y . 直线AB 的方程为00)(21y x x y +--=，即16521-+-=b x y . 代入22x y =并整理得：085242=+-+b x x .直线AB 与抛物线有两个不同交点，∴)852(161+--=∆b ＞0，即932-b ＞0.∴b ＞329.故l 在y 轴上的截距的取值范围是),329(+∞.8.（Ⅰ）证明：41,212===p m y x ，设点M 的坐标为),(00y x .当0=k 时，点M 在y 轴上，点N与原点O 重合，抛物线C在点N 处的切线为x 轴，与AB 平行.当0≠k 时，由p x k AB=⋅01得：40k x =. ∴8222k x y N ==. 得点N 的坐标为)8,4(2k k . 设抛物线C 在点N 处的切线方程为)4(82k x m k y -=-，即8)4(2k k x m y +-=. 代入22x y =，得：8)4(222k k x m x +-=，整理得：084222=-+-k km mx x .0)(2)84(822222=-=+-=--=∆k m k km m k km m ，∴k m =，即抛物线C 在点N 处的切线的斜率等于直线AB故抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行.（Ⅱ）解：若0=⋅，则⊥，即︒=∠90ANB .∴||2||2||2||MN BM AM AB ===.482200+=+=k kx y ，∴816848||2220+=-+=-=k k k y y MN N . 由⎩⎨⎧=+=.2,22x y kx y 得0222=--kx x . 设),(),,(2211y x B y x A ，则1,22121-==+x x kx x . ∴)16)(1(21)44)(1(]4))[(1(||2222212212++=++=-++=k k k k x x x x k AB . ∴8162)16)(1(21222+⨯=++k k k . 即4)16()16)(1(2222+=++k k k . 化简，得：416122+=+k k ，即42=k .∴2±=k .故存在实数2±=k ，使0=⋅.。
(完整)点差法求解中点弦问题
点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候,利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。
求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。
用点差法时计算量较少,解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点,故有时要用到判别式加以检验。
【定理1】在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=-+-b y y a x x .2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点,弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200a b x y k MN =⋅. 证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---b y y a x x .2212121212a b x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .2200ab x y k MN =⋅∴ 【定理3】 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0。
“点差法”解决圆锥曲线的中点弦问题
‘ ‘ 点茬法 ” 禳决圆锥曲线韵中 点弦 问题
韩 晓 刚 （ 山十 六 中 ， 北 唐 河
摘 要 ： 圆 锥 曲 线 的 弦 的 中点 有 关 的 问 题 。 们 称 之 为 与 我 圆锥 曲线 的 中 点 弦 问 题 涉 及 至 解 决 圆锥 曲 线 中 点 弦 的 问 ４ 题 ． 采 用 “ 差 法 ” 求 解 “ 差 法 ” 利 用 直 线 和 圆 锥 曲 常 点 来 点 是 线 的 两个 交 点 。把 交 点 代 入 圆 锥 曲 线 的 方 程 ．得 到 两 个 等 式 ． 式 相 减 ． 以得 到 一 个 与 弦 的 斜 率 及 中 点 相 关 的 式 子 两 可 （ 称 中点 和 斜 率 结 合 公 式 ） 再 结 合 已 知 条 件 ， 用 学 过 的 也 。 运 知 识 使 问题 得 到 解 决 。 当 题 目涉 及 弦 的 中 点 、 率 时 ． 般 斜 一 都 可 以 用 点 差 法 来 解 与 韦 达 定 理 法 纷 繁 冗 长 的 计 算 相 比 。 点 差 法 可 以 大 大 减 少 运 算 量 ． 化 解 题 过 程 ． 到 “ 而 不 优 达 设 求 ” 目的 本 文将 从 求 弦 的 斜 率 与 弦 的 中 点 问 题 、 弦 中 的 求 点 轨 迹 、 弦 的 垂 直 平 分 线 问 题 和 求 曲 线 的 方 程 四 个 方 面 举
ｍ则 肿 ＝ 。 ‘弦 中点 轨 迹 在 已 知 椭 圆 内 ， ｘ ｙ＋ ｙ ｋ ２， ０ ． ‘ 所 求 弦 中 点 的轨 迹 方 程 为 （ 已知 椭 圆 内 ） 在 变 式 １ 直 线 Ｚ似 一 一 ｏ ５ ： ０是 参 数 ） 抛 物 线 ｙ ： ： （＋ ） ０（ 与 ＝ （＋ ） 的 相 交 弦 是 Ａ 则 弦 Ａ 的 中 点 轨 迹 方 程 是 １２ Ｂ． Ｂ 。 过定 点弦 的中点轨迹 方程 ） 分 析 ： 线 Ｚａ － 一 ｎ ５ ＝ 方 程 中带 有 参 数 ０ 即 直 线 直 ：ｘ ｙ （＋ ）０， 。 是 过 定 点 的 直 线 还 要 注 意 弦 中点 轨 迹 在 已知 抛 物 线 内 ． 最 后 要 注 明 所 求 弦 中点 的 轨 迹 方 程 为 ｙ ２ ２７ 在 已 知 抛 物 线 ＝ ｘ— （ 内 ） 。 变 式 ２ 已 知 定 长 为 ０ ０ ） 线 段 ＡＢ 的 两 端 点 在 抛 ： （ ≥１ 的 物线 ｙ 上 移动 ， 动 弦 ＡＢ的 中点 Ⅳ 的轨 迹方程 。 （ 长 求 弦 为定 值的 弦的中点轨 迹方 程 ） 解 ： 两 端 点 坐 标 为 Ａ（ ， 曰（。Ｙ） 设 Ｙ ） ，２ ， 的 中 点 为 （ｏｙ） 则 ｌ ２２０ 因 两 端 点 在 抛 物 线 上 ， 以 ｙ １ Ｙ： Ｘ ｏ ， ＝ ｘ， 所 ｌ ２ ２ ，
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迹。
1 2
,
1 4
4
，则求椭圆的方程。
A
10
解 设 Ax1,y1、 Bx2,y2 ，则
x1x2
1,y1y2
1 2
，且
x12 y12 1 a2 b2
，（1）
x22 y22 1 a2 b2
，（2）
1
2
得：x12 x22 y12 y22
a2
b2
y1y2 b2x1x2b21 x1x2 a2y1y2 a2 1
运用点差法巧解圆锥曲线的 中点弦问题
高中数学教师欧阳文丰制作
A
1
、
导言
圆锥曲线综合题是每年高考必考的题目，这些题目的解法灵 活多变，其中涉及圆锥曲线中点弦的有关问题，我们称之为圆锥 曲线的中点弦问题。用点差法求解此类问题，具有构思精巧，简 便易行的优点。
若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为 A(x1, y1)
oM
A（xx1 , y1）
A
3
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在
这点被平分，求此弦所在直线的方程. 二、例题讲解
解法一：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理A及中点坐标公式来构造
4
例1：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 二、例题讲解
x
2 1
x12
4
y12 2
1 相减
x22 4
y22 2
1
y1y2 x1x2
12
x1x2 y1y2
1 2
xN yN
1
y
即 kCD1，
此 时 直 线 l的 方 程 为 ： y1x1
2
即 y x 1 ， 代 入 双 曲 线 方 程 并 整 理 ， 得 2
2
2x24x90
2
M
o
..N
2
x
2
Q V 1 6 4 2 9 5 6 0
y
y1
yx1
y2
x02
3x y
由
x y2
75
y x2
25
0弦1，中点得的P(轨5迹23方,A5程23为) Q：(x5 23y,502(3) 523x5923)
二、例题讲解
例，4有已一条知倾椭斜圆角ax为22 by22的1直a线b交0椭的圆一于条A准、线B两方点程，是若xAB的1
中点为C
注：凡关于中点弦和弦中点的问题，可采用点差法求解。
A
12
三、变式练习
【解析】设直线上任意一点坐标为(x，y)，弦两端点 P1(x1，y1)， P2(x2，y2)．
∵P1，P2 在抛物线上，∴y21＝6x1，y22＝6x2.两式相减，得(y1＋ y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．
∵y1＋y2＝2， ∴k＝yx11－ －yx22＝y1＋6 y2＝3，
x12 4
y12 2
1
x22 4
y22 2
1
相减
y1y2 x1x2
12
x1x2 y1y2
kAB
1 2
xM yM
1 2
即
kA
B
1 2
，
2
2
M
o..N2x Nhomakorabea2
点差法
直线AB的方程为y：112A(x1) 即x2y10. 7
二、例题讲解
(2)假设 N的 过直线交 C(x1， 双 y1)， D 曲 (x2， y线 2)， 于 则
∴直线的方程为 y－1＝3(x－4)，即 3x－y－11＝0.
由yy2＝＝36xx－，11， 得 y2－2y－22＝0， ∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22.
∴|P1P2|＝
1＋19
22－4×－22＝2
230 3.
A
13
课堂小结
1、利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明 快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明 显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利 于培养学生的解题能力和解题兴趣。
x
2 2
4 4
y
2 1
y
2 2
16 16
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构
造出中点坐标和斜率． A
5
小结：弦中点、弦斜率问题的两种处理方法
1.联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理解决. 2.点差法:设弦的两端点坐标,代入曲线方程相减后分解
因式,便可与弦所在直线的斜率及弦的中点联系起来.
B(x2, y2)，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到
一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。 我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
A
2
一.问题引入
过椭圆 x2 y2 1内一点 M(2,1) 引一 16 4
条弦，使弦被点 M平分，求这条弦所在
直线的方程．
y
B（x2 , y2）
直线l 与双曲线没有交点
以N(1，12)为弦的中点的A直线 在不 . 存
8
二、例题讲解
例3、已知椭圆 y2 x2 1 ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
75 25
解：设弦端点 P(x1, y1) Q(x2, y2) ，弦PQ 的中点 M(x, y)，则
、
，
x1x2 2x y1y2 2y
又
y12 75
A
6
例2 已 知 双 曲 线 方 程 ： x2y21二、例题讲解 42 （1）过M （1， 1）的直线交双曲线于A、B两点，
若M为弦AB的中点，求直线AB的方程；
（2）是否存在直线l，使N1，12为l被双曲线所截弦 y的中点， 若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由。
解： 设 A (x1， y1)， B(x2， y2)，(则 x1 x2)
x12 25
1，
y2 2 75
x22 25
1
两式相减得 2 ( y 1 5 y 2 ) y 1 ( y 2 ) 7 ( x 1 5 x 2 ) x 1 ( x 2 ) 0
即 y (y 1 y 2 ) 3 x (x 1 x 2 ) 0，即
k y1 y2 3 x1 x2
3 x 3 ，即 x
2.弦中点问题的两种处理方法
（1）联立方程组,消去一个未知数,利用韦达定理；
（2）设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦的斜率 和弦的中点坐标（点差法）。
A
14
作业：
已知椭圆x2+2y2=2,
(1)求被点P（
1 2
,
1 2
）平分的弦所在直线方程；
(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹。
(3)过A(2,1)引椭圆的割线，求截得弦的中点轨
2
，
1kAB
y1 y2 x1 x2
2b2
a2
a2 2b2 （3）
a 2 1 a2 c ，（4）
c
，
a2 b2 c2 ，（，5）由（3），（4），（5）可得
，
.
a2 1 ,b2 1
，2
4
所求椭圆方程为
x2 y2
1
1 A2
1 4
二、例题讲解11
三、变式练习
2．已知抛物线 y2＝6x，过点 P(4,1)引一条弦 P1P2 使它恰好被 点 P 平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.