正余弦定理讲义
正弦定理、余弦定理讲义
此为三角函数最为基础的知识，在以后的多学科学习中都能用到，需要学生熟练掌握，并灵活运用。
解三角形【考点及要求】 1. 掌握正弦定理、余弦定理； 2. 并能初步应用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题． 【基础知识】在C B A c b a ABC ∠∠∠∆、、分别是、、中，所对的边，ABC R ∆为的外接圆半径,则有，1.正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin =∠=∠=∠； 2.余弦定理：bca cb A 2cos 222-+=A bc c b a cos 2222-+=⇔ ac b c aB 2cos 222-+=B ac c a b cos 2222-+=⇔ abc b a C 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔ 3.常用公式：（1）π=++C B A ；（2）B ac A bc C ab S sin 21cos 21sin 21===知识点一：解直角三角形【典型例题讲练】例1 在ΔABC 中，已知a=3，b=2，B=45°，求A,C 及边c ．【变式训练】 1.在△ABC 中，已知a=3,b=2,B=45°,求A 、C 和c.知识点二：正、余弦定理的运用【典例精析】 例1、（2010辽宁文数）在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++. （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ∆的形状.例2、（2010重庆文数）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,且32b +32c -32a =42bc . (Ⅰ) 求sinA 的值；(Ⅱ)求2sin()sin()441cos 2A B C Aππ+++-的值.例3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且CB cos cos =-ca b +2.（1）求角B 的大小； （2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的面积.例4、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin22BA+-cos2C=27.(1)求角C的大小；(2)求△ABC的面积.【变式训练】1.（2010天津文数）在∆ABC中，coscosAC B AB C=。
(完整版)DSE正余弦定理复习讲义
解三角形【考点及要求】1. 掌握正弦定理、余弦定理；2. 并能初步应用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题．【基础知识】1．正弦定理： ．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1） ；（2） ．2．余弦定理：第一形式：2b =B ac c a cos 222-+，第二形式：cos B =acb c a 2222-+ 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1） ；（2） ．3．三角形的面积公式 . 4．△ABC 中，::sin :sin :sin ;a b c A B C = .A B C π++=【基本训练】1．在△ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S =41（a 2+b 2－c 2），则∠C 的度数是_______．3．在△ABC 中，4,7,AB AC ==M 为BC 的中点，且35AM =⋅，则BC = .4．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB = 【典型例题讲练】例1 在ΔABC 中，已知a=3，b=2，B=45°，求A,C 及边c ．1. 变式: 在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos =B ，则ABC △的面积S =________________ 例2在ΔABC 中，若2cos sin sin B A C =，则ΔABC 的形状为 .变式1: ABC C b a B A b a ABC ∆-=-+∆则中若sin )()sin()(2222是（ ）A 、等腰三角形B 、直角三角形C 、等腰直角三角形D 、等腰或直角三角形。
例3在△ABC 中 A=45°，B ：C = 4：5最大边长为10，求角B 、C 、外接圆半径及面积S变式:在△ABC 中以知A=30°a 、b 分别为角A 、B 对边，且a=4=33b 解此三角形例4．△ABC 的周长为12， 且sinA ·cosB －sinB=sinC －sinA ·cosC ，则其面积最大值为 。
正弦定理和余弦定理课件PPT
【即时练习】
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC
等于( A )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
探究点3 解三角形
1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对 边a，b，c叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做 解三角形.
A. 3
B.2
C. 5
D. 7
【解析】选D.因为a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×
cos 60°=7，所以a=
7.
3.在△ABC中，a=3，b=4，c= ，则此三角形的最大角为
37
.
【解析】由c>b>a知C最大，
因为cosC=
a2
所以C=120°.
b2 c2 2ab
32 42 37 234
【拓展延伸】利用平面图形的几何性质和 勾股定理证明余弦定理 ①当△ABC为锐角三角形时，如图， 作CD⊥AB，D为垂足，则CD=bsinA， DB=c-bcosA，则a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2 =b2+c2-2bccosA，其余两个式子同理可证；
b
b 2R, a 2R. 即得 :
A
sin B
sin A
C′
a b c 2R. R为三角形外接圆的半径
sin A sin B sin C
A
C
c
b aO
B
C
B`
Ob a B A` A c
6.4.3第1课时余弦定理讲义
6.4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理(教师独具内容)课程标准：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理． 教学重点：用向量的方法推导余弦定理，用余弦定理求解三角形的边、角． 教学难点：余弦定理在解三角形中的应用．核心素养：1.通过余弦定理的推导过程培养逻辑推理素养.2.通过余弦定理的应用培养数学运算素养.1．对余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化． 2．判定三角形的形状(1)有关三角形边角关系解三角形问题，就是从“统一”入手，体现转化思想．判断三角形的形状有两条思路：①化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式． ②化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式． (2)判定三角形形状时经常用到下列结论：①在△ABC 中，若a 2<b 2＋c 2，则0°<A <90°；反之，若0°<A <90°，则a 2<b2＋c 2.例如：在不等边△ABC 中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，可得角A 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. ②在△ABC 中，若a 2＝b 2＋c 2，则A ＝90°；反之，若A ＝90°，则a 2＝b 2＋c 2. ③在△ABC 中，若a 2>b 2＋c 2，则90°<A <180°；反之，若90°<A <180°，则a 2>b 2＋c 2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况．( )(2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．( )(3)已知△ABC中的三边，可结合余弦定理判断三角形的形状．( )2．做一做(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝7，c ＝3，则B＝____.(2)已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是____三角形．(3)在△ABC中，若a2＋b2－c2＝ab，则角C的大小为____.(4)在△ABC中，AB＝4，BC＝3，B＝60°，则AC等于____.题型一已知两边及一角解三角形例1 在△ABC中，a＝23，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形．[跟踪训练1] (1)在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是( )A．8 B．217C．6 2 D．219(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，C和边a.题型二已知三边(三边关系)解三角形例2 (1)在△ABC中，若a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为( )A.π3B．π6C．π4D．π12(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长．题型三判断三角形的形状例3 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A sin B＝sin C，试确定△ABC的形状．[跟踪训练3] 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．1．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( )A.14B．34C．24D．232．在△ABC中，已知a＝2，则b cos C＋c cos B等于( )A．1 B． 2C．2 D．43．在△ABC中，若a＝3＋1，b＝3－1，c＝10，则△ABC的最大角的度数为____.4．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，b＝2，c＝1＋3，且a2＝b2＋c2－2bc sin A，则边a＝____.5．在△ABC中，b＝a sin C，c＝a cos B，试判断△ABC的形状．一、选择题1．在△ABC中，已知a＝5，b＝15，A＝30°，则c等于( )A．2 5 B． 5C．25或 5 D．以上都不对2．在△ABC中，sin2A2＝c－b2c(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为( )A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2＋2ab＝c2，则角C为( )A.π4B．3π4C．π3D．2π34．(多选)钝角三角形的三边分别为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的值可能为( )A．1 B．3 2C．2 D．35．已知△ABC的三边长分别是x2＋x＋1，x2－1和2x＋1(x>1)，则△ABC的最大角为( )A．150° B．120°C．60° D．75°二、填空题6．若|AB→|＝2，|AC→|＝3，AB→·AC→＝－3，则△ABC的周长为____.7．在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB＝3，BC＝2，AC＝7，则sin∠ABD ＝____.8.如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝33，BD＝5，sin∠ABC＝235，则CD的长度等于____.三、解答题9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－34 ac.(1)求cos B的值；(2)若b＝13，且a＋c＝2b，求ac的值．1．在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－1 2 .(1)求b，c的值；(2)求sin(B＋C)的值．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－3)bc，sin A sin B＝cos2C2，BC边上的中线AM的长为7.(1)求角A和角B的大小；(2)求△ABC的周长．6.4.3 余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理(教师独具内容)课程标准：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理．教学重点：用向量的方法推导余弦定理，用余弦定理求解三角形的边、角．教学难点：余弦定理在解三角形中的应用．核心素养：1.通过余弦定理的推导过程培养逻辑推理素养.2.通过余弦定理的应用培养数学运算素养.1．对余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化． 2．判定三角形的形状(1)有关三角形边角关系解三角形问题，就是从“统一”入手，体现转化思想．判断三角形的形状有两条思路：①化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式． ②化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式． (2)判定三角形形状时经常用到下列结论：①在△ABC 中，若a 2<b 2＋c 2，则0°<A <90°；反之，若0°<A <90°，则a 2<b 2＋c 2.例如：在不等边△ABC 中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，可得角A 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. ②在△ABC 中，若a 2＝b 2＋c 2，则A ＝90°；反之，若A ＝90°，则a 2＝b 2＋c 2. ③在△ABC 中，若a 2>b 2＋c 2，则90°<A <180°；反之，若90°<A <180°，则a 2>b 2＋c 2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况．( ) (2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．( ) (3)已知△ABC 中的三边，可结合余弦定理判断三角形的形状．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ 2．做一做(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝____.(2)已知△ABC 的三边分别为2,3,4，则此三角形是____三角形． (3)在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＝ab ，则角C 的大小为____. (4)在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，B ＝60°，则AC 等于____. 答案 (1)5π6 (2)钝角 (3)π3(4)13题型一已知两边及一角解三角形例1 在△ABC中，a＝23，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形．[解]由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos45°＝8，∴b＝22，又cos A＝b2＋c2－a22bc＝8＋6＋22－2322×22×6＋2＝12，∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.已知两边及一角解三角形的两种情况(1)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用余弦定理求解其他角．(2)三角形中已知两边和一边的对角，解法如下：利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出第三边的长．[跟踪训练1] (1)在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是( )A．8 B．217C．6 2 D．219(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，C和边a.答案(1)D (2)见解析解析(1)根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2ab cos C＝16＋36－2×4×6×cos120°＝76，∴c＝219.(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，∴32＝a2＋(33)2－2a×33×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或6.当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.当a＝6时，由余弦定理，得cos A＝b2＋c2－a22bc＝9＋27－362×3×33＝0.∴A＝90°，∴C＝60°.题型二已知三边(三边关系)解三角形例2 (1)在△ABC中，若a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为( )A.π3B．π6C．π4D．π12(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长．[解析](1)因为c<b<a，所以最小角为角C.所以cos C＝a2＋b2－c22ab＝49＋48－13 2×7×43＝32，所以C＝π6，故选B.(2)已知a－b＝4，则a>b，且a＝b＋4，又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，则b>c，从而a>b>c，所以a为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a －8.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.又b＝a－4>0，所以a＝14.即此三角形的最大边长为14.[答案](1)B (2)见解析[条件探究] 若本例(1)中条件不变，如何求最大角的余弦值呢？解因为c<b<a，所以最大角为角A，所以由余弦定理可得cos A＝b2＋c2－a22bc＝432＋132－72 2×43×13＝48＋13－49839＝3926.故△ABC 的最大角的余弦值为3926.已知三边求解三角形的方法(1)已知三角形的三边求角时，可先利用余弦定理求解出各角的大小． (2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边求解．在已知三边求三个角时，一般先求小角后求大角．[跟踪训练2] (1)在△ABC 中，(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则此三角形的最大内角为____.(2)在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长． 答案 (1)120° (2)见解析解析 (1)由(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，得a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，∴边a 最大．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴A ＝120°.(2)解法一：由余弦定理的推论，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2×AC 2×AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，则x ＝7.∴所求中线长为7.解法二：在△ABC 中，设AC 边上的中线长为x ，如图，以AB ，BC 为邻边作▱ABCD .由余弦定理可得，在△ABC 中，有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos∠ABC ，① 在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ×AD ×cos∠BAD ，② ①＋②可得(2x )2＋AC 2＝2(AB 2＋BC 2)， 即(2x )2＋82＝2×(92＋72)，∴x ＝7， ∴所求中线长为7.题型三判断三角形的形状例3 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A sin B＝sin C，试确定△ABC的形状．[解]由2cos A sin B＝sin C，得2cos A sin B＝sin A cos B＋cos A sin B，∴sin(A－B)＝0，又A与B均为△ABC的内角，∴A＝B.由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得(a＋b)2－c2＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab，∴由余弦定理，得cos C＝12，C＝60°，∴△ABC为等边三角形．利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理(有时还要结合三角恒等变换等知识)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．[跟踪训练3] 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．解由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，∵B＝60°，b＝a＋c2，∴⎝⎛⎭⎪⎫a＋c22＝a2＋c2－2ac cos60°.∴(a－c)2＝0，a＝c，又B＝60°，∴△ABC为等边三角形．1．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( )A.14B．34C．24D．23答案 B解析∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝2a，∴cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a2 2a·2a ＝3 4.2．在△ABC中，已知a＝2，则b cos C＋c cos B等于( ) A．1 B． 2C．2 D．4答案 C解析b cos C＋c cos B＝b·a2＋b2－c22ab＋c·c2＋a2－b22ac＝2a22a＝a＝2.3．在△ABC中，若a＝3＋1，b＝3－1，c＝10，则△ABC的最大角的度数为____.答案120°解析由c>a>b，知角C为最大角，则cos C＝a2＋b2－c22ab＝－12，∴C＝120°，即此三角形的最大角为120°.4．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，b＝2，c＝1＋3，且a2＝b2＋c2－2bc sin A，则边a＝____.答案 2解析由已知及余弦定理，得sin A＝b2＋c2－a22bc＝cos A，∴A＝45°，∴a2＝b2＋c2－2bc cos45°＝4，a＝2.5．在△ABC中，b＝a sin C，c＝a cos B，试判断△ABC的形状．解由余弦定理知cos B＝a2＋c2－b22ac，代入c＝a cos B，得c＝a·a2＋c2－b22ac，∴c2＋b2＝a2，∴△ABC是以A为直角的直角三角形．又b＝a sin C，∴b＝a·ca，∴b＝c，∴△ABC也是等腰三角形．综上所述，△ABC是等腰直角三角形．一、选择题1．在△ABC中，已知a＝5，b＝15，A＝30°，则c等于( ) A．2 5 B． 5C．25或 5 D．以上都不对答案 C解析∵a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴5＝15＋c2－215×c×32.化简，得c2－35c＋10＝0，即(c－25)(c－5)＝0，∴c＝25或c＝ 5.2．在△ABC中，sin2A2＝c－b2c(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为( )A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形答案 B解析∵sin2A2＝1－cos A2＝c－b2c，∴cos A＝bc＝b2＋c2－a22bc⇒a2＋b2＝c2，符合勾股定理．故△ABC为直角三角形．3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2＋2ab＝c2，则角C为( )A.π4B．3π4C．π3D．2π3答案 B解析∵a2＋b2＋2ab＝c2，∴a2＋b2－c2＝－2ab，cos C＝a2＋b2－c22ab＝－2ab 2ab ＝－22，∵C∈(0，π)，∴C＝3π4.4．(多选)钝角三角形的三边分别为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的值可能为( )A．1 B．3 2C．2 D．3答案BC解析设钝角三角形的最大角为α，则依题意90°<α≤120°，于是由余弦定理得cosα＝a2＋a＋12－a＋222a a＋1＝a－32a，所以－12≤a－32a<0，解得32≤a<3.故选BC.5．已知△ABC的三边长分别是x2＋x＋1，x2－1和2x＋1(x>1)，则△ABC的最大角为( )A．150° B．120°C．60° D．75°答案 B解析令x＝2，得x2＋x＋1＝7，x2－1＝3,2x＋1＝5，∴最大边x2＋x＋1应对最大角，设最大角为α，∴cosα＝x2－12＋2x＋12－x2＋x＋12 2x2－12x＋1＝－12，∴最大角为120°.二、填空题6．若|AB→|＝2，|AC→|＝3，AB→·AC→＝－3，则△ABC的周长为____. 答案5＋19解析 由AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A 及条件，可得cos A ＝－12，∴A ＝120°，再由余弦定理求得BC 2＝19，∴周长为5＋19.7．在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，AB ＝3，BC ＝2，AC ＝7，则sin ∠ABD ＝____.答案12解析 因为BD 为∠ABC 的平分线，所以∠ABD ＝12∠ABC .由余弦定理，得cos∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22×AB ×BC ＝32＋22－722×3×2＝12.又cos ∠ABC ＝1－2sin 2∠ABD ＝12，所以sin ∠ABD ＝12.8.如图，在△ABC 中，点D 在AC 上，AB ⊥BD ，BC ＝33，BD ＝5，sin ∠ABC ＝235，则CD 的长度等于____.答案 4解析 由题意，知sin ∠ABC ＝235＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠CBD ＝cos ∠CBD ，由余弦定理可得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos∠CBD ＝27＋25－2×33×5×235＝16.∴CD ＝4.三、解答题9．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b . 解 在△ABC 中，因为A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， 所以B ＝60°.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19.所以b＝19.10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－34 ac.(1)求cos B的值；(2)若b＝13，且a＋c＝2b，求ac的值．解(1)由(a－c)2＝b2－34 ac，可得a2＋c2－b2＝54 ac.所以a2＋c2－b22ac＝58，即cos B＝58.(2)因为b＝13，cos B＝5 8，由余弦定理，得b2＝13＝a2＋c2－54ac＝(a＋c)2－134ac，又a＋c＝2b＝213，所以13＝52－134ac，解得ac＝12.1．在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－1 2 .(1)求b，c的值；(2)求sin(B＋C)的值．解(1)由已知及余弦定理，得cos B＝c2＋a2－b22ca＝9＋c＋b c－b6c＝9－2c＋b6c＝－12，即9－2b＋c＝0，又b－c＝2，所以b＝7，c＝5.(2)由(1)及余弦定理，cos C＝a2＋b2－c22ab＝32＋72－522×3×7＝1114，又sin2C＋cos2C＝1,0＜C＜π，所以sin C＝5314，同理sin B＝32，所以sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝32×1114＋5314×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3314. 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的周长．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ， 得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.又0<A <π，所以A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2C2，得12sin B ＝1＋cos C2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C ＜0，即C 为钝角．所以B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ， 化简得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1，解得C ＝2π3，所以B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，在△ACM 中，由余弦定理得AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ·a 2·cos C＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2，所以a ＝2.在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋22－2×2×2×cos 2π3＝12， 所以c ＝2 3.所以△ABC 的周长为4＋2 3.。
正弦定理和余弦定理讲义-打印版
正弦定理和余弦定理讲义解三角形的大前提背景：内角和定理：在ABC ∆中，A B C ++=π；sin A ＝sin(B ＋C )，cos A ＝－cos(B ＋C )，tan A ＝－tan(B ＋C )．sin A 2＝cos B ＋C 2，cos A 2＝sin B ＋C2.考点一：1.正弦定理： ，其中R 是 .2.变形为： (1)a ∶b ∶c ＝ ；（边化角）a ＝_______，b ＝_______，c ＝_____； （角化边）sin A ＝_______， sin B ＝______， sin C ＝_______注：正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角.（情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.大边对大角） 3.解三角形时，三角形解的个数的判断 例1.已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答。
（1）7,8,105a b A === （2）10,20,80a b A ===（3）10,56,60b c C === （4）23,6,30a b A ===2.在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c .考点二：余弦定理 a 2＝__________，b 2＝_______，c 2＝________.余弦定理可以变形为：cos A ＝__________，cos B ＝________，cos C ＝_________.或者 注：1.已知两边b ，c 与其夹角A ，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A, 求出a ，再由正弦定理，求出角B ，C. 2.已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C. 例.在△ABC 中，a ＝1，b ＝7 ，B ＝60°，求c.考点三：判断三角形的形状解题思路：一般考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理 （思考：如何判断锐、直、钝三角形；结合三角变换判断等腰，等边等）例1.在△ABC 中，bcosA ＝a cosB ，试判断三角形的形状.2.在△ABC 中，若cosA cosB ＝ba ，则△ABC 的形状是.( )3.△ABC 中，若lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2且B ∈()0，π2，则△ABC 的形状是( )4.已知在△ABC 中，222cosA b cc+=，则△ABC 的形状是考点四：三角形的面积问题例1.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AC AB ∙＝3. (1)求△ABC 的 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解个数1sin 2ABC S ab C ∆==: 1sin 2bc A =1sin 2ca B ＝abc 4R (R 为外接圆半径)＝12(a ＋b ＋c )·r (r 内切圆半面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值.2.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求角B 的大小；若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积. 考点五：三角形中的三角变换题型:利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换,进行边角互换,结合三角函数的图象与性质进行化简求值.三角变换公式：1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式： 2.二倍角的正弦、余弦和正切公式： 3.辅助角公式：例1.在ABC △中，已知内角A π=3，边23BC =．设内角B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．2.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．３．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，AB BC ⋅＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4.(1)求b ·c 的最大值及θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－3的值．考点六：综合问题例.(2005年全国高考卷三试题)△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，.43cos =B （Ⅰ）求cot A +cotC 的值； （Ⅱ）设32BA BC⋅=，求a ＋c 的值. 考点七：实际应用（一.）测量问题例1. 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。
正余弦定理讲义
正余弦定理讲义
正余弦定理是高中数学中的重要知识点，也是解决三角形相关问题的基础。
本讲义将详细介绍正余弦定理的定义、公式及其应用。
一、正余弦定理的定义
正余弦定理是指在任意三角形ABC中，设三角形三边分别为
a、b、c，对应的内角分别为A、B、C，那么：
① 余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bccos A$；
② 正弦定理：$dfrac{a}{sin A}=dfrac{b}{sin
B}=dfrac{c}{sin C}$。
二、正余弦定理的公式
1. 余弦定理的公式：
$a^2=b^2+c^2-2bccos A$；
$b^2=a^2+c^2-2accos B$；
$c^2=a^2+b^2-2abcos C$。
2. 正弦定理的公式：
$dfrac{a}{sin A}=dfrac{b}{sin B}=dfrac{c}{sin C}$。
三、正余弦定理的应用
1. 判断三角形是否存在
若已知三角形的三边长，应用正余弦定理可以求出三个角的正余弦值，从而判断这个三角形是否存在。
2. 求角度
已知三角形的三边长，应用余弦定理可以求出对应角的余弦值，进而求出对应角的角度大小。
3. 求边长
已知三角形的某两边和夹角，应用余弦定理可以求出第三边的长度。
4. 判断三角形的形状
通过正余弦定理可以判断三角形是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形。
5. 解决实际问题
应用正余弦定理可以解决很多实际问题，如测量高楼建筑物的高度、计算船舶航行距离等。
以上就是正余弦定理的讲义内容，希望对大家学习有所帮助。
正弦定理和余弦定理ppt课件
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
4.1正弦定理、余弦定理—讲义
第四章 解三角形4.1正弦定理、余弦定理一．【课标要求】（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
二．【命题走向】对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。
今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。
题型一般为填空题，也可能是中、难度的解答题。
三.【知识回顾】（1）12ABC S ∆=⋅⋅底高（2）ABC S ∆= = = ；3.三角形中常用结论（1）三个内角和为180，即A B C π++=（2）sin()A B += ，cos()A B += ， tan()A B += ，（3）sin2A B += ，cos 2A B+= ； （4）tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅（5）在三角形中，大角对大边，大边对大角，大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即：sin sin A B a b A B >⇔>⇔> （6）在锐角三角形中，sin cos 2A B A B π>⇔+>4.在ABC ∆中，已知,a b 和A 时，解的情况如下：【方法与规律】1. 解斜三角形问题往往用到正弦定理与余弦定理以及三角形面积公式，解题时角度的选取是关键，并注意角的取值范围，2. 解决三角形中的问题，要学会“统一”，或统一成角的关系，或统一成边的关系，视情况灵活掌握.四．【典例解析】考点一、利用正余弦定理求多边形的边或角例1.如下图所示，在四边形ABCD 中，已知,10,14,60AD CD AD AB BDA ⊥==∠=，135BCD ∠= ，求BD BC 及的长.考点二、有关三角形解的个数及形状的判定问题例2.在ABC ∆中已知22sin()()sin()A B a b A B -=-+,则ABC ∆的形状是 . 例3.钝角三角形三边长分别为,1,2a a a ++，其中最大角不超过120，则a 的取值范围是 .例4.在ABC ∆中,若22tan tan A a B b =,则判断该三角形的形状是 . 例5.在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C =,则ABC ∆的形状是 .考点三、三角形中的三角函数问题例6.(08年高考全国卷)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ,且3cos cos 5a Bb A C -=.(1)求sin cos cos sin A BA B的值； （2）求tan()A B -的最大值.例7. ABC ∆的三个内角为,,A B C ，当A 为何值时，cos cos 2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值.考点四、正、余弦定理及三角形面积公式的综合应用例8.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，已知2,3c C π==（1） 若ABC ∆,a b 的值.（2） 若sin sin()2sin 2C B C A +-=,求ABC ∆的面积.例9.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，且cos cos 2B bC a c=-+. （1） 求角B 的大小；（2） 若4b a c =+=，求ABC ∆的面积.例10．（2009浙江理）（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边长分别为,,a b c 且满足cos 32A AB AC =⋅=.（1）求ABC ∆的面积； （2）若6b c +=，求a 的值．题型五、三角形中的三角恒等变换问题例11．（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ,已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =，求b .例12．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，已知,,a b c 成等比数列，且，求A 的大小及sin b B c的值.例13．在ABC ∆中，已知,,A B C 成等差数列，求2tan 2tan 32tan 2tan CA C A ++的值。
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培优教育一对一辅导讲义
科目：＿数＿＿年级：＿＿高一＿＿姓名：＿＿＿＿教师：＿＿＿＿时间：＿＿＿＿
j 垂直于AC ，由AC +CB =AB 边同乘以单位向量j 得…..在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
sin b
B
sin c
C
=
=2R
解：
例2 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆ 解：
例3在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆
课后作业
1在△ABC 中，
k C
c
B b A a ===sin sin sin ,则k 为( ) A 2R B R
C 4R
D R 2
1
(R 为△ABC 外接圆半径)
2 在ABC ∆中，已知角3
3
4,2245=
==b c B ， ，则角A 的值是( ) A. 15 B. 75 C.
105 D.
75或
15 3、在△ABC 中,=︒=︒=c b a B A ::,60,30则若
4、在ABC ∆中，若14,6760===a b B ，
，则A= 。
5、在ABC ∆中，已知 45,2,3===
B b a ，解三角形。
探究一．在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况
分析：先由sin sin b A
B a
=
可进一步求出B ； 则0180()C A B =-+ ，从而A
C
a c sin sin =
1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。
2．当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解； 3.如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若sin a b A >，则有两解； （2）若sin a b A =，则只有一解； （3）若sin a b A <，则无解。
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且 sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
探究二 你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？
三例题讲解
例1.根据下列条件，判断解三角形的情况 (1) a ＝20，b ＝28，A ＝120°.无解 (2)a ＝28，b ＝20，A ＝45°；一解 (3)c ＝54，b ＝39，C ＝115°；一解 (4) b ＝11，a ＝20，B ＝30°；两解
[随堂练习1]
（1）在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。
（2）在∆ABC 中，若1a =，1
2
c =
，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。
（3）在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3）222x <<）
例2.在ABC ∆中,已知,cos cos cos a b c
A B C
==判断ABC ∆的形状．
[随堂练习2]
1.△ABC 中， C B A 2
2
2
sin sin sin += ，则△ABC 为（ A ） A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形
2. 已知∆ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断∆ABC 的类型。
答案： ∆ABC 是等腰或直角三角形 1.根据下列条件，判断解三角形的情况
2.在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cosB =
A －223
B 223
C －63
D 63
3.已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C =2B,则sinC= .。
，，求，，解这个三角形）（解这个三角形。
和边，求角求边求边）（根据条件解三角形：
C A a B b c C c b B a b c C B A b a c a b B A b a C A c ,6031)6(,45,20,405,30,26,13)4(.,30,316,16)3(.
,,12,120,30)2(.,,30,45,1014︒︒︒︒︒︒︒︒==================
5.设锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a ＝2bsinA ．(1)求B 的大小；(2)求cosA ＋sinC 的取值范围．
同步分层能力测试题（一）
一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．在△ABC 中， 若a=
5,b=15,A=300
,则边c= 。
︒
︒︒︒============60,20,18)4(30,16,8)3(120,15,12)2(45,16,14)1(B c b A b a A c a A b a 、、、、
(p a =+(,q b a =-//p q ，则角
依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两种方法：
1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． 针对性练习：
已知△ABC 中，sin C ＝sin A ＋sin B
cos A ＋cos B
，试判断△ABC 的形状．
考点三：三角形面积公式的应用
典型例题
已知△ABC 中，cos A ＝
6
3
，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边． 求tan2A ； (2)若sin(π2＋B )＝22
3
，c ＝22，求△ABC 的面积．
知识概括、方法总结与易错点分析
1．三角形面积公式的选取取决于三角形中的哪个角可求，或三角形的哪个角的正弦值可求．
2．在解决三角形问题中，面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1
2ac sin B 最常用，因为公式中既有边也有角，容易和
正弦定理、余弦定理联系起来． 针对性练习：
在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C . (1)求角B 的大小；
(2)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．
9、(2010·江苏高考)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)，如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h ＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.
(1)该小组已测得一组α、β的值，tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？。