正余弦公式
高中数学正弦余弦公式大全
正弦定理和余弦定理一：基础知识理解1 ．正弦定理分类内容定理＝＝＝2 R ( R 是△ ABC 外接圆的半径 )变形公式① a ＝ 2 R sin _ A ， b ＝ 2 R sin _ B ， c ＝ 2 R sin _ C ，② sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝a ∶ b ∶ c ，③ sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝解决的问题① 已知两角和任一边，求其他两边和另一角，② 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角2 ．余弦定理分类内容定理在△ ABC 中，有 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos _ A ；b 2 ＝ a 2 ＋c 2 －2 ac cos _ B ； c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 －2 ab cos _ C 变形公式cos A ＝；cos B ＝；cos C ＝解决的问题① 已知三边，求各角；② 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角3 ．三角形中常用的面积公式( 1 ) S ＝ ah ( h 表示边 a 上的高 )；( 2 ) S ＝ bc sin A ＝ ac sin B ＝ ab sin C ；( 3 ) S ＝ r ( a ＋ b ＋ c )( r 为三角形的内切圆半径 )．二：基础知识应用演练1 ．( 2012·广东高考 ) 在△ ABC 中，若∠ A ＝ 60°，∠ B ＝ 45°， BC ＝ 3 ，则 AC ＝()A ． 4B ． 22 ．在△ ABC 中， a ＝， b ＝ 1 ， c ＝ 2 ，则 A 等于 ()A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 75°3 ．( 教材习题改编 ) 在△ ABC 中，若 a ＝ 18 ， b ＝ 24 ， A ＝ 45°，则此三角形有 ()A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定4 ．( 2012·陕西高考 ) 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对边的长分别为 a ， b ， c .若 a ＝ 2 ， B ＝， c ＝ 2 ，则 b ＝ ________.5 ．△ ABC 中， B ＝ 120°， AC ＝ 7 ， AB ＝ 5 ，则△ ABC 的面积为________ ．解析：1 选B 由正弦定理得：＝，即＝，所以 AC ＝ × ＝2 .2 选C ∵ cos A ＝＝＝，又∵ 0°< A <180°，∴ A ＝60°.3 选B ∵ ＝，∴ sin B ＝ sin A ＝ sin 45°，∴ sinB ＝ .又∵ a < b ，∴ B 有两个．4 由余弦定理得 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos B ＝4＋12－2×2×2 × ＝4，所以 b ＝2.答案：25、解析：设 BC ＝ x ，由余弦定理得49＝25＋ x 2 －10 x cos 120°，整理得 x 2＋5 x －24＝0，即 x ＝3.因此 S △ ABC ＝ AB × BC ×sin B ＝ ×3×5× ＝ . 答案：小结： ( 1 ) 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ ABC 中，A > B ⇔ a > b ⇔ sin A >sin B .( 2 ) 在△ ABC 中，已知 a 、 b 和 A 时，解的情况如下：A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＝ b sin A b sin A < a < b a ≥ b a > b解的个数一解两解一解一解三、典型题型精讲（1）利用正弦、余弦定理解三角形[例1] ( 2012·浙江高考 ) 在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ，c ，且 b sin A ＝ a cos B .( 1 ) 求角 B 的大小； ( 2 ) 若 b ＝ 3 ， sin C ＝ 2sin A ，求 a ， c 的值．解析： ( 1 ) 由 b sin A ＝ a cos B 及正弦定理＝，得sinB ＝ cos B ，所以tan B ＝，所以 B ＝ .(2) 由 sin C ＝2sin A 及＝，得 c ＝ 2 a . 由 b ＝3 及余弦定理 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos B ，得 9＝ a 2 ＋ c 2 － ac . 所以 a ＝， c ＝2 .思考一下：在本例 ( 2 ) 的条件下，试求角 A 的大小．方法小结：1 ．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．2 ．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．试题变式演练 1 ．△ ABC 的三个内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， a sin A sin B ＋ b cos 2 A ＝ a .( 1 ) 求；( 2 ) 若 c 2 ＝ b 2 ＋ a 2 ，求 B .解： ( 1 ) 由正弦定理得，sin 2 A sin B ＋sin B cos 2 A ＝ sin A ，即 sin B ( sin 2 A ＋cos 2 A ) ＝ sin A .故 sin B ＝ sin A ，所以＝ .( 2 ) 由余弦定理和 c 2 ＝ b 2 ＋ a 2 ，得 cos B ＝ .由 (1) 知 b 2 ＝ 2 a 2 ，故 c 2 ＝(2＋ ) a 2 . 可得 cos 2 B ＝，又 cos B >0，故 cos B ＝，所以 B ＝45°.（2）利用正弦、余弦定理判定三角形的形状[例2] 在△ ABC 中 a ， b ， c 分别为内角 A ， B ， C 的对边，且2 a sin A ＝( 2 b ＋ c ) sin B ＋( 2 c ＋ b ) sin C .( 1 ) 求 A 的大小；( 2 ) 若sin B ＋ sin C ＝ 1 ，试判断△ ABC 的形状．[ 解析 ] ( 1 ) 由已知，根据正弦定理得 2 a 2 ＝ ( 2 b ＋ c ) · b ＋ ( 2 c ＋ b ) c ，即a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 ＋ bc .由余弦定理得 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos A ，故 cos A ＝－，∵ 0< A <180°，∴ A ＝120°.(2) 由 (1) 得 sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C ＋sin B sin C ＝又 sin B ＋sin C ＝1，解得 sin B ＝sin C ＝ .∵ 0°< B <60°，0°< C <60°，故 B ＝ C ，∴△ ABC 是等腰的钝角三角形．方法小结：依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：( 1 ) 利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；( 2 ) 利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 A ＋ B ＋ C ＝π这个结论．[注意] 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．试题变式演练 ( 2012·安徽名校模拟 ) 已知△ ABC 的三个内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，向量 m ＝( 4 ，－ 1 )， n ＝，且m · n ＝ .( 1 ) 求角 A 的大小；( 2 ) 若 b ＋ c ＝ 2 a ＝ 2 ，试判断△ ABC 的形状．解：( 1 ) ∵ m ＝ ( 4，－1 ) ， n ＝，∴ m · n ＝4cos 2 －cos 2 A ＝4·－ ( 2cos 2 A －1 ) ＝－2cos 2 A ＋2cos A ＋3.又∵ m · n ＝，∴ －2cos 2 A ＋2cos A ＋3＝，解得 cos A ＝. ∵ 0< A < π ，∴ A ＝ .(2) 在△ ABC 中， a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos A ，且 a ＝，∴ ( ) 2 ＝b 2 ＋c 2 －2 bc ·＝ b 2 ＋ c 2 －bc . ①又∵ b ＋ c ＝2 ，∴ b ＝2 － c ，代入① 式整理得 c 2 － 2 c ＋3＝0，解得 c ＝，∴ b ＝，于是 a ＝ b ＝ c ＝，即△ ABC 为等边三角形．（3）与三角形面积有关的问题[例3] ( 2012·新课标全国卷 ) 已知 a ， b ， c 分别为△ ABC 三个内角 A ， B ，C 的对边， a cos C ＋ a sin C － b － c ＝ 0.( 1 ) 求 A ；( 2 ) 若 a ＝ 2 ，△ ABC 的面积为，求 b ， c .[ 解 ] ( 1 ) 由 a cos C ＋ a sin C － b － c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋ sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为 B ＝π－ A － C ，所以 sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ＝ . 又0＜ A ＜π，故 A ＝ .( 2 ) △ ABC 的面积 S ＝ bc sin A ＝，故 bc ＝4.而 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos A ，故 b 2 ＋ c 2 ＝8. 解得 b ＝ c ＝2.方法小结：1 ．正弦定理和余弦定理并不是孤立的．解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．2 ．在解决三角形问题中，面积公式 S ＝ ab sin C ＝ bc sin A ＝ ac sin B 最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用．试题变式演练 ( 2012·江西重点中学联考 ) 在△ ABC 中， cos 2 A ＝ cos 2 A －cos A .( 1 ) 求角 A 的大小；( 2 ) 若 a ＝ 3 ， sin B ＝ 2sin C ，求 S △ ABC .解： ( 1 ) 由已知得 ( 2cos 2 A －1 ) ＝cos 2 A －cos A ，则cos A ＝ .因为0< A <π，所以 A ＝ .( 2 ) 由＝，可得＝＝2，即 b ＝ 2 c .所以cos A ＝＝＝，解得 c ＝， b ＝2 ，所以 S △ ABC ＝ bc sin A ＝ ×2 × × ＝ .课后强化与提高练习（基础篇-必会题）1 ．在△ ABC 中， a 、 b 分别是角 A 、 B 所对的边，条件“ a < b ”是使“cosA >cosB ”成立的 ()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2 ．( 2012·泉州模拟 ) 在△ ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 所对的边．若 A ＝， b ＝ 1 ，△ ABC 的面积为，则 a 的值为 ()A ． 1B ． 23 ．( 2013·“江南十校”联考 ) 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ，c ，已知 a ＝ 2 ， c ＝ 2 ， 1 ＋＝，则 C ＝()A ． 30°B ． 45°C ． 45°或135°D ． 60°4 ．( 2012·陕西高考 ) 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对边的长分别为 a ， b ， c ，若 a 2 ＋ b 2 ＝ 2 c 2 ，则cos C 的最小值为 ()D ．－5 ．( 2012·上海高考 ) 在△ ABC 中，若sin 2 A ＋ sin 2 B <sin 2 C ，则△ ABC 的形状是 ()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定6 ．在△ ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c .若 b ＝ 2 a sin B ，则角 A 的大小为________ ．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，∵ sin B ≠0，7 ．在△ ABC 中，若 a ＝ 3 ， b ＝， A ＝，则 C 的大小为________ ．8 ．( 2012·北京西城期末 ) 在△ ABC 中，三个内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ，b ，c .若 b ＝ 2 ， B ＝， sin C ＝，则 c ＝ ________ ； a ＝ ________.9 ．( 2012·北京高考 ) 在△ ABC 中，若 a ＝ 2 ， b ＋ c ＝ 7 ， cos B ＝－，则 b ＝ ________.10 ．△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， a sin A ＋ c sin C －a sin C ＝b sin B .( 1 ) 求 B ；( 2 ) 若 A ＝ 75°， b ＝ 2 ，求 a ， c .11 ．( 2013·北京朝阳统考 ) 在锐角三角形 ABC 中， a ， b ， c 分别为内角 A ， B ，C 所对的边，且满足 a － 2 b sin A ＝ 0.( 1 ) 求角 B 的大小；( 2 ) 若 a ＋ c ＝ 5 ，且 a > c ， b ＝，求 ·的值．12 ．( 2012·山东高考 ) 在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ，c ，已知sin B ( tan A ＋ tan C )＝ tan A tan C .( 1 ) 求证： a ， b ， c 成等比数列；( 2 ) 若 a ＝ 1 ， c ＝ 2 ，求△ ABC 的面积 S .课后强化与提高练习（提高篇-选做题）1 ．( 2012·湖北高考 ) 设△ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c .若三边的长为连续的三个正整数，且 A > B > C ， 3 b ＝ 20 a cos A ，则sin A ∶ sin B ∶ sin C 为 ()A ．4 ∶ 3 ∶ 2B ．5 ∶ 6 ∶ 7C ．5 ∶ 4 ∶ 3D ．6 ∶ 5 ∶ 42 ．( 2012·长春调研 ) 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知4sin 2 － cos 2 C ＝，且 a ＋ b ＝ 5 ， c ＝，则△ ABC 的面积为________ ．3 ．在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且满足 ( 2 b － c ) cos A － a cos C ＝ 0.( 1 ) 求角 A 的大小；( 2 ) 若 a ＝， S △ ABC ＝，试判断△ ABC 的形状，并说明理由．选做题1 ．已知 a ， b ， c 分别是△ ABC 的三个内角 A ， B ， C 所对的边．若 a ＝ 1 ，b ＝， A ＋ C ＝ 2 B ，则sin C ＝ ________.2 ．在△ ABC 中， a ＝ 2 b cos C ，则这个三角形一定是 ()A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形3 ．在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知cos 2 C ＝－ .( 1 ) 求sin C 的值；( 2 ) 当 a ＝ 2 , 2sin A ＝ sin C 时，求 b 及 c 的长．4 ．设△ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边长分别为 a ， b ， c ，且cos B ＝， b ＝ 2.( 1 ) 当 A ＝ 30°时，求 a 的值；( 2 ) 当△ ABC 的面积为3时，求 a ＋ c 的值．课后强化与提高练习（基础篇-必会题）解析1 解析：选C a < b ⇔ A < B ⇔ cos A >cos B .2 解析：选D 由已知得 bc sin A ＝ ×1× c ×sin ＝，解得 c ＝ 2 ，则由余弦定理可得 a 2 ＝ 4 ＋ 1 － 2×2×1×cos ＝3 ⇒ a ＝ .3 解析：选B 由1 ＋＝和正弦定理得 cos A sin B ＋sin A cos B＝2sin C cos A ，即 sin C ＝2sin C cos A ，所以 cos A ＝，则 A ＝60°. 由正弦定理得＝，则 sin C ＝，又 c < a ，则 C <60°，故 C ＝45°.4 解析：选 C 由余弦定理得 a 2 ＋ b 2 － c 2 ＝2 ab cos C ，又 c 2 ＝( a 2 ＋ b 2 )，得 2 ab cos C ＝ ( a 2 ＋ b 2 )，即 cos C ＝≥ ＝ .6 解析：选 C 由正弦定理得 a 2 ＋ b 2 < c 2 ，所以 cos C ＝<0，所以 C 是钝角，故△ ABC 是钝角三角形．∴ sin A ＝，∴ A ＝30°或 A ＝150°. 答案：30°或 150°7 解析：由正弦定理可知 sin B ＝＝＝，所以 B ＝或 ( 舍去 )，所以 C ＝π － A － B ＝π －－＝ . 答案：8 解析：根据正弦定理得＝，则 c ＝＝2 ，再由余弦定理得 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos B ，即 a 2 － 4 a －12＝0，( a ＋2)( a －6)＝0，解得 a ＝6 或 a ＝－2( 舍去 )．答案：2 69 解析：根据余弦定理代入 b 2 ＝4＋(7－ b ) 2 －2×2×(7－ b )× ，解得b ＝4. 答案：410 解：(1) 由正弦定理得 a 2 ＋ c 2 － ac ＝ b 2 . 由余弦定理得 b 2 ＝ a 2 ＋c 2 －2 ac cos B .故cos B ＝，因此 B ＝45°.(2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝ .故 a ＝ b × ＝＝1＋， c ＝ b × ＝2×＝ .1 1 解：(1) 因为 a －2 b sin A ＝0，所以 sin A －2sin B sin A ＝0，因为sin A ≠0，所以 sin B ＝ . 又 B 为锐角，所以 B ＝ .( 2 ) 由 ( 1 ) 可知， B ＝ .因为 b ＝ .根据余弦定理，得7＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos ，整理，得 ( a ＋ c ) 2 － 3 ac ＝7.由已知 a ＋ c ＝5，得 ac ＝6.又 a > c ，故 a ＝3， c ＝2.于是cos A ＝＝＝，所以 ·＝| |·| |cos A ＝ cb cos A＝2× × ＝1.12 解： ( 1 ) 证明：在△ ABC 中，由于sin B ( tan A ＋tan C ) ＝tan A tan C ，所以sin B ＝ ·，因此sin B ( sin A cos C ＋cos A sin C ) ＝sin A sin C ，所以 sin B sin( A ＋ C )＝sin A sin C .又 A ＋ B ＋ C ＝π ，所以 sin( A ＋ C )＝sin B ，因此 sin 2 B ＝sin A sin C .由正弦定理得 b 2 ＝ ac ，即 a ， b ， c 成等比数列．( 2 ) 因为 a ＝1， c ＝2，所以 b ＝，由余弦定理得cos B ＝＝＝，因为0< B <π，所以sin B ＝＝，故△ ABC 的面积 S ＝ ac sin B ＝ ×1×2× ＝ .课后强化与提高练习（提高篇-选做题）解析1 解析：选D 由题意可得 a > b > c ，且为连续正整数，设 c ＝ n ， b ＝ n ＋1，a ＝ n ＋2 ( n >1，且n ∈ N * ) ，则由余弦定理可得3 ( n ＋1 ) ＝20 ( n ＋2 ) ·，化简得7 n 2 －13 n －60＝0，n ∈ N * ，解得 n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝a ∶ b ∶ c ＝6 ∶ 5 ∶ 4.2 解析：因为4sin 2 －cos 2 C ＝，所以2[1－cos( A ＋ B )]－2cos 2 C ＋1＝，2＋2cos C －2cos 2 C ＋1＝，cos 2 C －cos C ＋＝0，解得cos C ＝ .根据余弦定理有cos C ＝＝，ab ＝ a 2 ＋ b 2 －7 , 3 ab ＝ a 2 ＋ b 2 ＋2 ab －7＝ ( a ＋ b ) 2 －7＝25－7＝18，ab ＝6，所以△ ABC 的面积 S △ ABC ＝ ab sin C ＝ ×6× ＝.答案：3 解： ( 1 ) 法一：由 ( 2 b － c ) cos A － a cos C ＝0及正弦定理，得(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0，∴ 2sin B cos A －sin( A ＋ C )＝0，sin B (2cos A －1)＝0. ∵ 0< B < π ，∴ sin B ≠0，∴ cos A ＝. ∵ 0< A < π ，∴ A＝ .法二：由 (2 b － c )cos A － a cos C ＝0，及余弦定理，得 (2 b － c )·－ a ·＝0，整理，得 b 2 ＋ c 2 － a 2 ＝ bc ，∴ cos A ＝＝，∵ 0<A < π ，∴ A ＝ .(2) ∵ S △ ABC ＝ bc sin A ＝，即 bc sin ＝，∴ bc ＝3，①∵ a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos A ， a ＝， A ＝，∴ b 2 ＋ c 2 ＝6，② 由①② 得 b ＝ c ＝，∴△ ABC 为等边三角形．选择题解析1 解析：在△ ABC 中， A ＋ C ＝2 B ，∴ B ＝60°. 又∵ sin A ＝＝，∴ A ＝30°或 150°( 舍 )，∴ C ＝90°，∴ sin C ＝1.答案：12 解析：选A 法一： ( 化边为角 ) 由正弦定理知：sin A ＝2sin B cos C ，又 A ＝π －( B ＋ C )，∴ sin A ＝sin( B ＋ C )＝2sin B cos C .∴ sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，∴ sin B cos C －cos B sin C ＝0，∴ sin ( B － C ) ＝0.又∵ B 、 C 为三角形内角，∴ B ＝ C .法二： ( 化角为边 ) 由余弦定理知cos C ＝，∴ a ＝2 b ·＝，∴ a 2 ＝ a 2 ＋ b 2 － c 2 ，∴ b 2 ＝ c 2 ，∴ b ＝ c .3 解： ( 1 ) 因为cos 2 C ＝1－2sin 2 C ＝－，且0< C <π，所以sin C ＝ .( 2 ) 当 a ＝2 , 2sin A ＝sin C 时，由正弦定理＝，得 c ＝4.由cos 2 C ＝2cos 2 C －1＝－，及0< C <π得cos C ＝± .由余弦定理 c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 －2 ab cos C ，得 b 2 ± b －12＝0，解得 b ＝或2 ，所以或4 解： ( 1 ) 因为cos B ＝，所以sin B ＝ .由正弦定理＝，可得＝，所以 a ＝ .( 2 ) 因为△ ABC 的面积 S ＝ ac ·sin B ，sin B ＝，所以 ac ＝3， ac ＝10.由余弦定理得 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos B ，得4＝ a 2 ＋ c 2 － ac ＝ a 2 ＋ c 2 －16，即 a 2 ＋ c 2 ＝20.所以 ( a ＋ c ) 2 － 2 ac ＝20， ( a ＋ c ) 2 ＝40.所以 a ＋ c ＝2 .。
正余弦公式大全
正余弦公式大全正弦和余弦是三角函数中最基本的两个函数，它们在数学和物理学中有着广泛的应用。
正弦和余弦函数的公式是我们学习三角函数的重要内容之一。
在本文中，我们将全面介绍正弦和余弦函数的公式，帮助读者更好地理解和掌握这两个函数的性质和运用。
首先，我们来看正弦函数的公式。
正弦函数通常用sin表示，其公式可以表示为：sinθ = 对边 / 斜边。
其中，θ代表角度，对边表示与这个角度相对的直角三角形的对边长度，斜边表示这个直角三角形的斜边长度。
这个公式告诉我们，正弦函数实际上是描述了一个角度与其对边和斜边之间的关系。
通过这个公式，我们可以计算出任意角度的正弦值，从而更好地理解三角形的性质和角度的变化。
接下来，我们再来看余弦函数的公式。
余弦函数通常用cos表示，其公式可以表示为：cosθ = 邻边 / 斜边。
与正弦函数类似，余弦函数也是描述了一个角度与其邻边和斜边之间的关系。
通过余弦函数的公式，我们可以计算出任意角度的余弦值，从而更好地理解三角形的性质和角度的变化。
在实际应用中，正弦和余弦函数的公式经常被用于解决各种问题。
例如，在物理学中，正弦和余弦函数可以描述波的运动规律；在工程学中，正弦和余弦函数可以描述机械振动的规律。
因此，掌握正弦和余弦函数的公式对于理解和应用这些领域的知识都是非常重要的。
除了基本的正弦和余弦函数的公式外，我们还可以通过一些数学关系推导出一些常见的正弦和余弦函数的恒等式。
例如，我们可以通过正弦和余弦函数的定义，推导出它们之间的关系式：sin²θ + cos²θ = 1。
这个恒等式被称为三角恒等式，它表明了正弦和余弦函数之间的基本关系。
通过这个恒等式，我们可以进一步推导出其他与正弦和余弦函数相关的数学性质，从而更深入地理解这两个函数。
总之，正弦和余弦函数是三角函数中最基本的两个函数，它们的公式和性质对于数学和物理学领域都有着重要的意义。
通过学习和掌握正弦和余弦函数的公式，我们可以更好地理解和应用三角函数的知识，在实际问题中解决各种复杂的计算和分析。
正切余切正弦余弦公式
正切余切正弦余弦公式
正切tanA=对边/邻边；余切cotA=邻边/对边；正弦sinA=对边/斜边；余弦cosA=邻边/斜边。三角函数是基本初等函数之一，是以角度为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。
三角函数相关公式
积化和差
sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
cos(a)sin(b)=1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]
cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+anB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
三角形正余弦公式
三角形正余弦公式三角形是几何学中的基本图形之一，它有着丰富的性质和定理。
在研究三角形的性质时，正弦定理和余弦定理是两个非常重要且常用的公式。
本文将详细介绍正弦定理和余弦定理的含义、应用以及推导过程。
一、正弦定理正弦定理是描述三角形边与角之间关系的定理。
对于任意三角形ABC，其三边分别为a、b、c，对应的内角分别为A、B、C。
根据正弦定理，我们可以得到以下公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC这个公式告诉我们，一个三角形的任意一边的长度与该边对应的角的正弦值成比例。
换句话说，正弦定理可以用来计算三角形的边长或角度。
例如，已知三角形两边的长度分别为5和8，它们夹角的正弦值为0.6，我们可以利用正弦定理求解第三边的长度。
正弦定理的推导过程基于三角形的面积公式和正弦函数的定义。
当我们仔细推导正弦定理时，可以发现它是基于三角形的面积与正弦函数之间的关系建立的。
二、余弦定理余弦定理是描述三角形边与角之间关系的另一个定理。
对于任意三角形ABC，其三边分别为a、b、c，对应的内角分别为A、B、C。
根据余弦定理，我们可以得到以下三个公式：a² = b² + c² - 2bc * cosAb² = a² + c² - 2ac * cosBc² = a² + b² - 2ab * cosC这些公式告诉我们，一个三角形的任意一边的平方等于另外两边平方之和减去两倍的两边乘以夹角的余弦值。
余弦定理可以用来计算三角形的边长或角度。
例如，已知三角形两边的长度分别为5和8，它们夹角的余弦值为0.3，我们可以利用余弦定理求解第三边的长度。
余弦定理的推导过程基于向量的内积和余弦函数之间的关系。
通过将三角形的边向量分解为水平和垂直方向的分量，我们可以得到余弦定理的形式。
正弦定理和余弦定理是求解三角形相关问题的重要工具。
它们的应用广泛，不仅可以用于解决实际问题，还可以被用于证明其他定理和推论。
数学正切正弦余弦公式
数学正切正弦余弦公式
我们要了解数学中的正切、正弦和余弦公式。
首先，我们需要知道这些三角函数的基本定义。
正弦（sin）是直角三角形中，对边与斜边的比值。
余弦（cos）是直角三角形中，邻边与斜边的比值。
正切（tan）是直角三角形中，对边与邻边的比值。
正弦、余弦和正切之间的关系可以用以下公式表示：
1. 正弦的平方加上余弦的平方等于1，即：sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1
2. 正切等于正弦除以余弦，即：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
3. 正弦等于余切的倒数，即：sin(θ) = 1 / tan(θ)
4. 余弦等于正切的倒数，即：cos(θ) = 1 / tan(θ)
这些公式是三角函数的基础，它们在解决各种数学问题中非常有用。
正余弦定理三角形一些公式
正余弦定理三角形一些公式正弦定理和余弦定理是研究三角形的重要公式，它们可以帮助我们在成比例的三角形中计算角度和边长。
本文将详细介绍这些公式，并提供一些运用案例。
1.正弦定理正弦定理给出了一个三角形中边与其对应角度的关系。
设一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的顶点角度为A、B、C。
则正弦定理可以表示为：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c其中，sin(A)表示角A的正弦值。
根据正弦定理，我们可以计算出任意一个角的正弦值，进而计算出其他两个角的正弦值。
同时，我们可以通过边长和对应的角度计算出三角形的面积。
2.余弦定理余弦定理给出了一个三角形中边与其对应角度的关系。
设一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的顶点角度为A、B、C。
则余弦定理可以表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cos(B)a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)其中，cos(A)表示角A的余弦值。
根据余弦定理，我们可以计算出一个边的长度，已知其他两边的长度和它们对应的角度。
这个公式也可以用来计算三角形的面积。
3.应用示例3.1 例题一：已知一个三角形的两条边长分别为5cm和8cm，它们的夹角为60°，求另一边长。
解：根据余弦定理，可得：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)将已知数据带入公式，得：a^2 = 5^2 + 8^2 - 2*5*8*cos(60°)=25+64-80*0.5=89-40=49得到a的平方为49，因此a = √49 = 7、所以，另一边的长度为7cm。
3.2 例题二：已知一个三角形的三边长分别为6cm、9cm和11cm，计算它的面积。
解：根据正弦定理，可得：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c由此可知，sin(A) = a * sin(C) / c所以，sin(A) = 6 * sin(C) / 11根据正弦函数的性质，我们可以计算出角A的正弦值小于1、因此，角A的度数应该在0°到90°之间。
正弦余弦公式总结
正弦余弦公式总结一、正弦公式的概念正弦公式用于计算三角形的边长与角度之间的关系。
对于一个任意三角形ABC，设∠BAC的对边为a，∠ABC的对边为b，∠ACB的对边为c，则有正弦公式：sinA/a=sinB/b=sinC/c其中，A、B、C为三角形的内角，a、b、c为对边的长度。
我们可以利用正弦公式求解未知量，例如已知两个角和一个对边，可以通过正弦公式计算出另外两个对边的长度。
二、正弦公式的推导过程为了了解正弦公式的推导过程，我们可以利用三角形的高度进行推导。
设三角形ABC中，∠ABC为直角，将垂直于∠ABC的边AC作为三角形的高，设为h。
由三角形的内角和为180°可知，∠BAC的度数为180°-90°-∠ABC=90°-∠ABC。
利用正弦函数的定义sinθ=对边/斜边，可以得到：sin(90°-∠ABC)=对边/斜边sin(90°-∠ABC)=h/cos∠ABCsin(90°-∠ABC)=h/b因为sin(90°-∠ABC)=cos∠ABC，上述等式可改写为：cos∠ABC=h/b根据直角三角形的定义，直角三角形的斜边等于斜边上的两条直角边的乘积，即AC=b。
所以可以得到：cos∠ABC=h/b=AC/b=1整理得到：b=h/cos∠ABC根据三角形的面积公式S=1/2*底*高，可得：S=1/2*b*h将上述两个式子代入，得到：S=1/2*b*(h/cos∠ABC)S=1/2*c*sin∠ABC从而推导出正弦公式：sin∠ABC=c/b同样地，利用类似的方法，可以得到正弦公式的其他形式。
三、正弦公式的具体应用正弦公式在几何图形的计算中有着广泛的应用。
下面将介绍正弦公式的几个具体应用。
1.通过已知角度和边长计算其他边长：如已知一个三角形的两个角和一个边的长度，可以利用正弦公式计算出另外两个边的长度。
2.通过已知三角形面积计算边长：如已知三角形的面积S和一个角度，可以利用正弦公式计算出对应边的长度。
正弦余弦公式
正弦余弦公式引言正弦余弦公式是初等数学中一个重要的三角函数公式，主要用于求解三角形的边长和角度。
应用广泛，尤其在几何学和物理学中。
正弦公式对于任意三角形ABC，其三个内角分别为A、B、C，而对应的边长分别为a、b、c。
正弦公式给出了角和边的关系：a b c───── = ───── = ───── = 2R，其中R为三角形外接圆半径sinA sinB sinC该公式表明了三角形的边长与角度之间的关系，当其中一个角的正弦值增大时，对应的边的长度也会增大。
余弦公式对于任意三角形ABC，其三个内角分别为A、B、C，而对应的边长分别为a、b、c。
余弦公式给出了边和角的关系：c² = a² + b² - 2abcosC该公式表明了三角形的边长与角度之间的关系，当两个边的长度增大时，对应的夹角的余弦值会减小。
逆正弦余弦公式逆正弦余弦公式是正弦余弦公式的逆运算，主要用于求解角度。
对于一个已知的三角形ABC，已知边长和角度，可以通过逆正弦余弦公式求解另外一个角度。
逆正弦公式对于任意三角形ABC，其三个内角分别为A、B、C，而对应的边长分别为a、b、c。
逆正弦公式给出了角度和边的关系： sinA sinB sinC───── = ───── = ─────a b c逆余弦公式对于任意三角形ABC，其三个内角分别为A、B、C，而对应的边长分别为a、b、c。
逆余弦公式给出了边长和角的关系： cosC = (a² + b² - c²) / (2ab)该公式主要用于求解一个已知三角形的两个边长和夹角，通过逆余弦公式可以求解缺失的一边长度。
应用示例下面通过一个具体的应用示例来展示正弦余弦公式的使用。
假设在一个三角形ABC中，已知边长a为5，b为7，而夹角C为30°。
我们可以通过正弦公式和余弦公式来求解剩余的两个角度和边长。
首先，通过逆余弦公式可以求解角C的余弦值：cosC = (a² + b² - c²) / (2ab) = (5² + 7² - c²)/ (2 * 5 * 7)将已知的数值代入公式计算，得到cosC的值。