(word完整版)倒立摆建模
(完整)倒立摆MATLAB建模
Matlab程序设计上交作业要求：1）纸质文档：设计分析报告一份（包括系统建模、系统分析、系统设计思路、程序及其执行结果）.2)Matlab程序：按班级统一上交后备查。
题目一：考虑如图所示的倒立摆系统.图中，倒立摆安装在一个小车上。
这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题.图倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下。
摆杆的质量:m=0.1g摆杆的长度:2l=1m小车的质量：M=1kg重力加速度：g=10/s2摆杆惯量:I=0.003kgm2摆杆的质量在摆杆的中心.设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件（由干扰引起）时，最大超调量％≤10%,调节时间ts ≤4s ，使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置(x=0）。
要求：1、建立倒立摆系统的数学模型2、分析系统的性能指标—-能控性、能观性、稳定性3、设计状态反馈阵，使闭环极点能够达到期望的极点，这里所说的期望的极点确定是把系统设计成具有两个主导极点，两个非主导极点,这样就可以用二阶系统的分析方法进行参数的确定4、用MATLAB 进行程序设计，得到设计后系统的脉冲响应、阶跃响应，绘出相应状态变量的时间响应图。
题目二：根据自身的课题情况，任意选择一个被控对象,按照上题所示步骤进行分析和设计，并给出仿真程序及其执行结果。
题目一：考虑如图所示的倒立摆系统.图中,倒立摆安装在一个小车上。
这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题.图倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下。
摆杆的质量：m=0.1g摆杆的长度:2l=1m小车的质量：M=1kg重力加速度：g=10/s2摆杆惯量：I=0。
003kgm2摆杆的质量在摆杆的中心。
设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件（由干扰引起）时，最大超调量％≤10%，调节时间ts ≤4s ，使摆返回至垂直位置,并使小车返回至参考位置(x=0)。
要求:1、建立倒立摆系统的数学模型2、分析系统的性能指标—-能控性、能观性、稳定性3、设计状态反馈阵，使闭环极点能够达到期望的极点，这里所说的期望的极点确定是把系统设计成具有两个主导极点，两个非主导极点，这样就可以用二阶系统的分析方法进行参数的确定4、用MATLAB 进行程序设计，得到设计后系统的脉冲响应、阶跃响应，绘出相应状态变量的时间响应图.设计分析报告1 系统建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统。
倒立摆数学模型(word文档良心出品)
1单级倒立摆的数学模型的建立：小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。
电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。
导轨截面成H 型，小车在轨道上可以自由滑动，其在轨道上的有效运行长度为1米。
轨道两端装有电气限位开关，以防止因意外失控而撞坏机构。
图1 单级倒立摆系统数学模型倒立摆系统的模型参数如下[]：M 小车质量 1.096Kg ；m 摆杆质量 0.109Kgb 小车摩擦系数 0.1N/m /secI 摆杆质量 0.0034kg*m*ml 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25mT 采样频率 0.005s下面N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
分析小车水平方向所受的合力，可得到方程为：N x b F x M --=&&& (1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：()θθθθθsin cos sin 222&&&&&ml ml x m N l x dtd m N -+=+= （2） 把这个等式代入（1）式中，得到系统的第一个运动方程：()F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos 2&&&& （3）为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向的合力进行分析，得到下面的方程：()θcos 22l dtd m mg P =- θθθθcos sin 2&&ml ml mg P --=- （4）力矩平衡方程如下：θθ&&I Nl Pl =--cos sin （5）方程中力矩的方向，由于φπθ+=，θφθφsin sin ,cos cos -=-=，故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程： ()θθθcos sin 2x ml mgl ml I &&&&-=++ （6）假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即1〈〈φ，则可进行近似处理：0,sin ,1cos 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=dt d θφθθ用u 代表被控对象的输入力，线性化后两个运动方程如下：()()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+u ml x b x m M x ml mgl ml I φφφ&&&&&&&&&2（7）对方程（7）进行拉普拉斯变换，得到：()()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+)()()()()()()(22222s U s s ml s s bX s s X m M s s mlX s mgl s s ml I φφφ （8）（推到时假设初始条件为0）则，摆杆角度和小车位移的传递函数为： mgl s ml I mls s X s -+=222)()()(φ将上述参数代入，摆杆角度和小车位移的传递函数为：26705.00102125.002725.0)()(22-=s s s X s φ摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： ()mgl s ml I mls A s -+=22)()(φ将上述参数代入，摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：26705.00102125.002725.0)()(22-=s s s A s φ摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：22432222()()()()()()ml s s q b I ml M m mgl bmgl F s s s s s q q qq M m I ml m l φ=+++--⎡⎤=++-⎣⎦将上述参数代入，摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：32()2.35655()0.088316727.9169 2.30942s s F s s s s φ=+-- 以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为：222222222201000()00()()()00010()00()()()x x I ml b m gl I ml x x I M m Mml I M m Mml I M m Mml u mlb mgl M m ml I M m Mml I M m Mml I M m Mml φφφφ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++++⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦⎣⎦&&&&&&&&1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦&& 将上述参数代入，以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为：0100000.08831670.62931700.8831670001000.23565527.82850 2.356551000000100x x x x u x x x y u φφφφφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦&&&&&&&&&& 以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式：'0100000001000103300044x x x x u gl l φφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦&&&&&& '1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦&& 将上述参数代入，以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式：0100000001000100029.4031000000100x x x x u x x x y u φφφφφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦&&&&&&&&&& 2系统的可控性、可观测性分析对于连续时间系统：Bu AX X+=& Du CX y +=系统状态完全可控的条件为：当且仅当向量组B A AB B n 1,...,,-是线性无关的，或n ×n 维矩阵[]B A AB B n 1-M ΛM M 的秩为n 。
单级倒立摆系统建模(单页)
单级倒立摆系统建模倒立摆倒立摆(Inverted Pendulum)作为一个被控对象，是快速、多变量、开环不稳定、非线性的高阶系统，必须施加强有力的控制手段才能使之稳定。
许多新的实时控制理论，都通过倒立摆控制试验来加以验证。
从工程背景来讲，小到日常生活中所见到的各种重心在上、支点在下的物体的稳定问题，大到火箭的垂直发射控制等关键技术问题，都与倒立摆控制有很大的相似性。
小车倒立摆系统建模图1所示的是人手保持倒立摆平衡的问题，相应的平衡条件是和。
人手保持倒立摆平衡与导弹在发射初始阶段的状态控制没有本质差异。
0)(=t θ0d /d =tθ图1 手持倒立摆小车倒立摆动力学分析(3)单级旋转倒立摆系统结构单级旋转倒立摆系统结构表1 旋转式倒立摆系统符号意义及参数值符号意义数值与单位M驱动臂的总质量 0.285kg 1M摆杆的总质量 0.175kg 2G转动力矩与控制电压之比 0.0508Nm/V 0U控制输入电压VJ驱动臂对其质心处的转动惯量 0.00185kgm²1J摆杆对其质心处的转动惯量 0.00137kg m²2L驱动臂的质心到转轴的距离0.119m1L摆杆的质心到转轴的距离 0.24m2表1 旋转式倒立摆系统符号意义及参数值符号意义数值与单位L从关节到转轴的距离0.127m12F转轴处的摩擦阻力矩系数0.05Nms1F关节处的摩擦阻力矩系数 0.0026 Nms 2f驱动臂与摆杆作用力的水平分力N1xf驱动臂与摆杆作用力的垂直分力N1yθ驱动臂相对垂直线的角位移rad1θ摆杆相对垂直线的角位移rad2g重力加速度9.8m/s²。
(完整word版)一级倒立摆的Simulink仿真
单级倒立摆稳定控制直线-级倒立摆系统在忽略了空'(阻力及各种摩擦Z后，町抽象成小车和匀质摆杆组成的系统，如图1所示。
图2控制系统结构假设小车质量M=0.5kg,匀质摆朴质量m=0.2kg,摆朴长度21 =0.6m, x(t)为小车的水半位移，〃为摆杆的角位移，g = 9.8m/s2o控制的目标是通过外力u⑴使得摆直立向上(即&(t) = 0) o该系统的非线性模型为:(J +inl‘)典(nilcos^)&= niglsin^ (ml cos。
)翼(M其中J二一ml+ m)&= (mlsin0)6^ + u一、非线性模型线性化及建立状态空间模型因为在工作点附近(& = 0.必0)对系统进行线竹:•化，所以可以做如下线性化处理: 03 Q1sin0« 0 --------- 、COS&Q 1-----------------3! 2!当e很小时，由COS0V sine的幕级数展开式可知，忽略高次项后, 可得cos0~l, sin0=0, 0Z 2=0：因此模型线性化后如下：(J+nil A2)0r z +mlx z z =mgl0 (a)取系统的状态变量为％ = x,x2 =仪X3 = x4=灰输出y = [x OF包扌舌小车位移和摆杆的角位移.由线性化后运动方程组得故空间状态方程如下:■010 0 ■「xT■ ■x2*00-2.6727 0x21 1.8182 x3f =000 1x3+0_x4J|_x40031.1818 0-4.5455uml0f r + (M+m) x''二u (b) 其中J = -ml3■ ■ xl ■ ■Xx2x1 x30 x4&Y=xlx3X1/二x'=x2—沁—册4(M + m) 一3m44(M + m) - 3m u3(M +m)g4(M + m)l 一3ni-34(M + m)l 一311119 1 00 ''xlM00 -3mg0am xl x2‘ _4(M + m) 一3m x2 x3* ~00 01x3x4J00 3(M + m)g0[_x44(M + m)l - 3ml 044(M + m) - 3m 0一34(M + m)l - 3nil二. 通过Matlab 仿真判断系统的可控与可观性，并说明其物理意义。
(完整word版)一级倒立摆的LQR控制器设计(一)
沈阳航空航天大学课程设计（论文)题目一级倒立摆的LQR控制器设计（一）班级04070202学号2010040702069学生姓名杨贺指导教师目录0。
前言.。
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1 倒立摆的背景及简介...。
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.10.2 MATLAB简介及应用....。
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11。
一级倒立摆模型和线性二次最优控制LQR基本理论.。
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(4)1。
1 一级倒立摆模型基本理论。
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41.2 线性二次最优控制LQR基本理论.。
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72. 方案设计。
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103。
软件编程。
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析.。
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倒立摆建模与控制
倒⽴摆建模与控制2倒⽴摆系统的模型建⽴2.1 倒⽴摆特性●⾮线性倒⽴摆是⼀个典型的⾮线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似线性模型，线性化处理后再进⾏控制。
也可以利⽤⾮线性控制理论对其进⾏控制。
●不确定性模型误差以及机械传动间隙，各种阻⼒带来实际系统的不确定性。
实际控制中⼀般通过减少各种误差降低不确定性，如施加预紧⼒减少⽪带或齿轮的传动误差，利⽤滚珠轴承减少摩擦阻⼒等不确定性因素。
●耦合性倒⽴摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒⽴摆的控制中⼀般都在平衡点附近进⾏解耦计算，忽略⼀些次要的耦合量。
●开环不稳定性倒⽴摆的平衡状态只有两个，即垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定平衡点，垂直向下为稳定平横点。
●约束限制由于机构的限制，如运动模块的⾏程限制，电机⼒矩限制等。
为了制造⽅便和降低成本，倒⽴摆的结构尺⼨和电机的功率尽量要求最⼩。
⾏程限制对倒⽴摆的摆起影响尤为突出，容易出现⼩车撞边现象[22]。
2.2 ⼀阶倒⽴摆数学模型倒⽴摆系统是典型的运动的刚性系统，可以在惯性坐标系内应⽤经典⼒学理论建⽴系统的动⼒学⽅程。
下⾯分别采⽤⽜顿⼒学⽅法和拉格朗⽇⽅法建⽴直线型⼀级，⼆级倒⽴摆系统的数学模型。
2.2.1 ⼀级倒⽴摆物理模型在忽略了空⽓阻⼒和各种摩擦之后，可将直线型⼀级倒⽴摆系统抽象成⼩车和匀质杆组成的系统，如图2.1所⽰：⽪带轮图2.1 单级倒⽴摆系统物理模型2.2.2 ⼀级倒⽴摆数学模型各符号代表的意义及相关的数值：表2.1 ⼀级倒⽴摆参数表参数参数意义参数值 M ⼩车质量 1.096Kg m 摆杆质量 0.13Kg b ⼩车摩擦系数0.1N/m/sec l 摆杆转动轴⼼到杆质⼼的长度0.25m I 摆杆转动惯量 0.0034Kg*m*mf 加到⼩车上的⼒ x⼩车位置φ摆杆与竖直向上⽅向的夹⾓通过对系统中⼩车和摆杆进⾏受⼒分析，分别可得到以下运动⽅程：2()cos sin F M m x bx ml ml θθθθ=++-+ (2.1) 22()sin cos 2sin (sin cos )I ml mgl mlx ml θθθθθθθθ+-=++ (2.2)22222cos sin cos 2sin sin 2sin cos M m ml x F bx ml ml ml I ml mgl ml θθθθθθθθθθ+-?--=----(2.3) 2.3 ⼆阶倒⽴摆数学模型2.3.1 ⼆级倒⽴摆物理模型如图2.3所⽰为直线型⼆级倒⽴摆物理模型⽪带轮图2.3⼆级倒⽴摆系统的物理模型倒⽴摆装置主要由沿导轨运动的⼩车和固定到⼩车上的两个摆体组成。
(完整word版)一级倒立摆控制方法比较
(完整word版)一级倒立摆控制方法比较一级倒立摆控制方法比较摘要：倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的自然不稳定系统。
针对一级倒立摆系统，首先利用牛顿力学的知识建立了数学模型，然后利用Simulink 及其封装功能建立倒立摆的仿真模型,使模型更具灵活性，给仿真带来很大方便。
根据状态方程判断系统的能控、能观性。
通过LQR控制算法和极点配置设计控制器使系统达到稳定状态,分析两种方法的优缺点, 并利用Matlab仿真加以证实。
关键词：倒立摆; LQR ；极点配置;MatlabDISCUSSION ON CONTROLOF INVERTED PENDULUMAbstract:the inverted pendulum system is a typical multi—variable, nonlinear, strong coupling and rapid movement of the natural unstable system. According to the level of inverted pendulum system，firstI make use of Newtonian mechanics knowledge to establishthe mathematical model，and use the Simulink and packaging function to establish inverted pendulum simulation model。
The model is more flexibility, bringing a lot of convenience for simulation. By the equation of state, controllability and observablityof system can be sure。
三级倒立摆建模、控制器设计
三级倒立摆线性系统理论作业：以三级倒立摆为研究对象，建立对象模型，设计状态观测器，设计控制器（要有仿真结果）。
一倒立摆1概述倒立摆的控制是控制理论应用的一个典型范例,一个稳定的倒立摆系统对于证实状态空间理论的实用性是非常有用的,倒立摆系统就其本身而言是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合系统。
将这样一个复杂系统作为被控对象,在控制过程中能有效地反映出控制中的许多关键问题, 如非线性问题、鲁棒性问题、随动问题、镇定问题、跟踪问题、解耦问题以及不稳定问题等。
2分类倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自由连接（即无电动机或其他驱动设备）。
现在由中国的北京师范大学李洪兴教授领导的“模糊系统与模糊信息研究中心”暨复杂系统智能控制实验室采用变论域自适应模糊控制成功地实现了四级倒立摆。
是世界上第一个成功完成四级倒立摆实验的国家。
3倒立摆的控制目标摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。
当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。
4倒立摆的控制方法倒立摆系统的输入为小车的位移（即位置）和摆杆的倾斜角度期望值，计算机在每一个采样周期中采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。
直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。
作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。
当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。
为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。
二．三级倒立摆系统的数学模型1.系统的结构三级倒立摆系统主要由控制对象, 导轨, 电机,皮带轮, 传动带以及电气测量装置组成,控制对象由小车,下摆, 中摆,上摆组成,上、中、下摆由轴承连接,并且可以在平行导轨的铅垂平面内自由转动,三个电位器分别安装在连接处 ,测量摆的相对偏角11223--θθθθθ，，其原理结构图如图 1 所示,系统运动分析示意图 如图 2 所示2.系统的数学模型 2.1假设条件(1)、上、中 、下摆及小车都是刚体;(2)、皮带轮与传动带之间无相对滑动,传动带无伸长现象; (3)、小车的驱动力与直流放大器的输入成正比,且无滞后, 忽略电机电枢绕组中的电感;(4)、小车运动时所受的摩擦力正比于小车的速度 ; (5)、各摆的摩擦力矩与相对速度(角速度)成正比 2.2系统参数说明m0 —小车系统的等效质量 1.32822kg ; m1 —下摆质量 0 .22kg ; m2—中摆质量 0 .22kg ;m3—上摆质量 0 .187kg ;J1—下摆质心至转轴处转动惯量 0.004963kg .m ; d1—下摆质心至转轴之间的距离 0 .304m ; J2—中摆质心至转轴处转动惯量 0.004963 kg .m ; d2—中摆质心至转轴之间的距离 0 .304m ; J3—上摆质心至转轴处转动惯量 0.004824 kg .m ; d3—上摆质心至转轴之间的距离 0 .226m ; d4 —中、下摆转轴间的距离 0.49m ; d5 —上、中摆转轴间的距离 0.49m ; d6—上摆杆长度;f0—小车系统的摩擦系数 22.9147 kg/s;f1—下摆转轴处的摩擦阻力矩系数 0.007056kg .m/s; k0—电机的机电常数 0.9467N;f2—中摆转轴处的摩擦阻力矩系数 0.002646 kg .m/s; k1—功放的电压增益 8.0;f3 —上摆转轴处的摩擦阻力矩系数 0.002646 kg .m/s; R0 —电机的电枢绕组内阻 8.55Ω; R1—功放输出电阻 1 .252Ω; d —皮带轮直径 0.13m ; g —重力加速度。
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系统建模系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模.实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器的检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统输入--—输出关系.这里包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测,数学算法的研究等等内容.机理建模就是在了解研究对象在运动规律基础上,通过物理，化学的知识和数学手段建立起的系统内部的输入输出状态关系。
系统的建模原则：1）建模之前,要全面了解系统的自然特征和运动机理，明确研究目的和准确性要求,选择合适的分析方法。
2）按照所选分析法，确定相应的数学模型的形式；3) 根据允许的误差范围，进行准确性考虑,然后建立尽量简化的合理的数学模型。
小车—倒立摆系统是各种控制理论的研究对象。
只要一提小车—倒立摆系统,一般均认为其数学模型也已经定型。
事实上，小车—倒立摆的数学模型与驱动系统有关，常见到的模型只是对应于直流电机的情况，如果执行机构是交流伺服电机，就不是这个模型了.本文主要分析由直流电机驱动的小车—倒立摆系统。
小车倒立摆系统是检验控制方式好坏的一个典型对象，其特点是高阶次、不稳定、非线性、强耦合,只有采取有效的控制方式才能稳定控制.在忽略空气阻力，各种摩擦之后,可将直线一级倒立摆系统抽象成小车忽然均匀质杆组成的系统，如下图所示:图中F是施加于小车的水平方向的作用力,x是小车的位移，φ是摆的倾斜角。
若不给小车施加控制力，倒摆会向左或向右倾斜，控制的目的是当倒摆出现偏角时，在水平方向上给小车以作用力，通过小车的水平运动，使倒摆保持在垂直的位置。
即控制系统的状态参数,以保持摆的倒立稳定。
M 小车的质量 0。
5Kgm 摆杆的质量 0。
2KgB 小车的摩擦力 0.1N/m/secL 摆杆转动轴心到杆之质心的长度 0。
3mI 摆杆惯量 0.006kg×m2T 采样频率 0.005secF 加在小车上的力X 小车位置θ 摆杆与垂直方向向下的夹角φ 摆杆与垂直方向向上的夹角倒立摆系统最终的控制目的是使倒立摆这样一个不稳定的被控对象，通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统,单节倒立摆系统的控制模型是目前国内外广泛采用的模型是研究各种控制算法的基础。
该系统由计算机，运动控制卡，伺服机构，倒立摆，本体和光电码盘等几部分组成了一个闭环系统。
如图所示： 光电码盘1将小车的位移速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡,摆杆的位置，速度信号由光电码盘2也反馈回运动控制卡.计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车向哪个方向移动，移动速度，加速度等.）并实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机带动小车,保持平衡。
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结构参数倒立摆是不稳定的,如果没有适当的控制力作用在它的上面，它将随时可能向任何方向倾倒。
这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图3所示平面内运动。
控制力F 作用于小车上.摆杆长度为l ，质量为m ，小车的质量为M,小车瞬时位移为x ，摆杆瞬时位置为（x+2L*sin φ）,在外力的作用下,系统产生运动.假设摆杆的重心位于其几何中心.设输入为作用力F,输出为摆角φ.2.系统的运动方程控制要求：在摆受到外力F 时，调节小车的位置x ，保持摆杆平衡。
图3 小车受力分析图 图4 一级摆受力分析图应用牛顿力学可推导出该倒立摆系统的运动学方程 计算机 运动控制卡 伺服 驱动器 伺服电机 摆杆光电码盘1光电码盘2图2 系统结构组成原理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=--+=-=+θI Nlcos θPlsin θcos θθml sin θθml mg P sin θθml cos θθml x m N x b F N x M 2注意：此方程中力矩的方向，由于ϕπθ+=，ϕθcos cos -=，ϕθsin sin -=，故等式前有负号. 约去P 和N,得到方程：F ml ml x b xm M =-+++θθθθsin cos )(2 (1） θθcos sin )(xml mgl x m M -=++ (2） 3. 线性化设ϕπθ+=假设ϕ与1(单位是弧度） 相比很小，即ϕ远远小于1，则可以进行近似处理0,sin ,1cos 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=dt d θϕθθ 设u 代表被控对象的输入力F ，方程(1） 和方程（2）经过线性化后 ⎩⎨⎧=-++=-+u ml x b x m M x ml mgl ml I ϕϕϕ)()(2 （3) 其中 231ml I = 因此倒立摆的状态方程为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-=+-++-=F m M m M mg x F m M l m M l m M g 4443)4(3)4()(3θθθ 4. 单节倒立摆传递函数的推导对式（3) 进行拉氏变换，得到:⎩⎨⎧=-++=-+)()()()()()()()()(22222s U s s ml s s bX s s X m M s s mlX s mgl s s ml I ϕϕϕ (4） 初始条件为0 时,由于输出角度为φ,求解方程组的第一个方程，可以得到)()()(22s s g mlml I s X ϕ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+= 把上式代入到(4)中的第二个方程中,得到：)()()()()()()(22222s U s s ml s s s g mlml I b s s s g ml ml I m M =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++ϕϕϕ 整理后得到:den num qbmgl s q mgl m M s q ml I b s s q ml s U s =-+-++=)()()()(223ϕ其中])())([(22ml ml I m M q -++=5。
状态空间方程的推导系统的状态方程：⎩⎨⎧+=+=DuCX y Bu AX X其中： A 为状态矩阵。
B 为输入矩阵。
C 为输出矩阵。
D 为前馈矩阵.方程组（3) 求解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++++++++-==+++++++++-==u Mml m M I ml Mml m M I m M mgl x Mml m M I mbl u Mml m M I ml I Mml m M I gl m x Mml m M I b ml I x x x 2222222222)()()()()()()()(ϕϕϕϕϕ 整理后,系统状态空间方程为u Mml m M I ml Mml m M I ml I x x Mml m M I m M mgl Mml m M I mlb Mml m M I gl m Mml m M I b ml I x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++-+++++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(00010ϕϕϕϕ u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001000001ϕϕϕ 由直线一级倒立摆的数学模型式可知, 被控对象是个单输入力（F ） 、双输出（小车的位移， 摆杆的角度） 的对象.6.系统稳定性分析一级倒立摆系统的特征方程为det{λI —A}=0，经过Matlab 计算得到系统开环特征根为：λ(A ）=（0，5．5651,—0．1428,-5．6041）系统有一个极点在复平面的右半平面上,有一个极点在原点，因此系统是不稳定的.由一级倒立摆系统线性状态方程得到：rank ［B AB A 2B A 3B]=4rank[C CA CA 2 CA 3]=4所以一级倒立摆是能控且能观测的.对于一级倒立摆状态方程，对A 矩阵进行奇异值分解，得到A 矩阵的奇异值阵： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==000001000001.100002996.31)(A svd W 定义：被控对象控制的难易程度，即系统状态矩阵最大奇异值的到数称为相对能控度。
A 矩阵的奇异值为W 对角线上的值，所以一级倒立摆的相对能控度,03195.02996.311==δ,δ越小系统的控制难度越高。
PID 控制考虑角度的PID 控制对于一级倒立摆，由前面式子及系统数据，得到数学模型如下： u x x x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡5455.408182.1001818.314545.00100006727.21818.000010ϕϕϕϕ u x x y ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ϕϕ 01000001 系统结构框图如图所示:图1 PID 控制框图图中KD(S)是控制器的传递函数,G （S)是一级倒立摆的传递函数。
考虑到r(s)=0,结构图可以变换成：图2 输入为0时系统框图该系统的输出为:)())(())(())(()())(())((1)()()(1)()(s f num numPID den denPID denPID num s f den denPID num numPID den nums f s G s KD s G s y +=+=+= 其中，num —被控对象传递函数的分子项den 一被控对象传递函数的分母项numPID —PID 控制器传递函数的分子项denPID —PID 控制器传递函数的分母项被控对象的传递函数是：den num s q bmgl s q mgl m M s q ml I b s s q ml s U s =-+-++=23242)()()()(φ 其中， ])())([(22ml ml I m M q -++=PID 控制器的传递函数为：denPIDnumPID s K s K s K s K K s K s KD I P D I P D =++=++=2)( 在工程实际当中，常采用工程整定法,它们是在理论基础上通过实践总结出来的。
这些方法通过并不复杂的经验便能迅速获得调节器的近似最佳整定参数，因而在工程中得到广泛应用。
具体步骤如下：(1)置调节器积分时间T i 到最大值，微分时间T d 为0，比例带置较大值，使系统投入运行.(2）待系统运行稳定后，逐渐增大K p ，直到系统出现等幅震荡过程,记下此时的比例带并计算两个波峰间的时间T cr （临界震荡周期）。
利用δcr 和T cr ，的值，按照下面给出的经验公式计算：对于PID 调节器：8;2;67.11cr d cr i cr p T T T T K ===δ 得:K P =40 K I =1 K D =10系统响应曲线如图所示： control 为受控系统，nature 为自然状态：图3 PID 控制一级倒立摆相应曲线从上图中可以看出,进过PID 控制后,倒立摆在1.5达到稳定状态，系统超调量很小，而且没有稳态误差，该方法对单级倒立摆的控制可以很容易实现。