一级倒立摆的建模与控制分析
研究生《现代控制理论及其应用》课程小论文
一级倒立摆的建模与控制分析
学院：机械工程学院
班级：机研131
姓名：尹润丰
学号： 201321202016
2014年6月2日
目录
1. 问题描述及状态空间表达式建立 (3)
1.1问题描述 (3)
1.2状态空间表达式的建立 (3)
1.2.1直线一级倒立摆的数学模型 (3)
1.2.2 直线一级倒立摆系统的状态方程 (6)
2.应用MATLAB分析系统性能 (7)
2.1直线一级倒立摆闭环系统稳定性分析 (7)
2.2 系统可控性分析 (8)
2.3 系统可观测性分析 (8)
3. 应用matlab进行综合设计 (9)
3.1状态反馈原理 (9)
3.2全维状态反馈观测器和simulink仿真 (10)
4.应用Matlab进行系统最优控制设计 (12)
5.总结 (13)
1.问题描述及状态空间表达式建立
1.1问题描述
倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。
下对于倒立摆系统，经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，它就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面采用其中的牛顿—欧拉方法建立直线一级倒立摆系统的数学模型。
1.2状态空间表达式的建立
1.2.1直线一级倒立摆的数学模型
图1.1 直线一级倒立摆系统
本文中倒立摆系统描述中涉及的符号、物理意义及相关数值如表1.1所示。
图1.2是系统中小车的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
图1.2 系统中小车的受力分析图
图1.3是系统中摆杆的受力分析图。F
s 是摆杆受到的水平方向的干扰力, F
h
是摆杆受
到的垂直方向的干扰力，合力是垂直方向夹角为α的干扰力F
g
。
图1.3 摆杆受力分析图
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
()1
1-
设摆杆受到与垂直方向夹角为α的干扰力Fg，可分解为水平方向、垂直方向的干扰力，所产生的力矩可以等效为在摆杆顶端的水平干扰力FS、垂直干扰力Fh产生的力矩。
()2
1-
对摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
()θ
sin
2
2
l
x
dt
d
m
F
N
S
+
=
-()3
1-
即：
α
θ
θ
θ
θsin
sin
cos2
f
F
ml
ml
x
m
N+
-
+
=
()4
1-
对图1.3摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：
()θ
cos
2
2
l
l
dt
d
m
F
mg
P
h
-
=
+
+
-()5
1-即θ
θ
θ
θ
αcos
sin
cos2
ml
ml
F
mg
P
g
+
=
+
+
-()6
1-
力矩平衡方程如下：
cos
sin
sin
cos
cos
sin=
+
+
+
+θ
θ
θ
θ
α
θ
α I
Nl
Pl
l
F
l
F
g
g
()7
1-
代入P和N，得到方程：
()0
cos
2
sin
sin
2
cos
sin
cos
2
cos
sin
22
2
2=
+
-
+
+
+
+θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
α
θ
αx
ml
ml
mgl
ml
I
l F
l F
g
g
()8
1-
设φ
π
θ+
=，（φ是摆杆杆与垂直向上方向之间的夹角，单位是弧度），代入上式。假设φ<<1，则可进行近似处理：
N
x f
F
x
M-
-
=
α
sin
g
S
F
F=α
cos
g
h
F
F=
φφφφφφφ===??
?
??==2sin ,12cos ,0,sin ,1cos 2
dt d
由于：23
1
ml I =
方程化为：
()x
m mg ml F g
=-+--φφαφα3
4cos sin 2 ()91- 令：()αφαcos sin --=g f F F ，则()91-可化为：
x
m mg ml F f
=-+φφ3
42 ()101- ()101-即是化简后的直线一级倒立摆系统微分方程。带入实际数据后，微分方程为：
m
F x f
234.29-+= θθ ()111-
当忽略了F f 时，系统的微分方程如式（1-12）所示
x 34.29+=θθ
()121- 忽略干扰力后，直线一级倒立摆系统是单输入二输出的四阶系统，考虑干扰力后，
直线一级倒立摆系统是二输入二输出的四阶系统。其内部的4个状态量分别是小车的
位移x 、小车的速度x
、摆杆的角度θ、摆杆的角速度θ 。系统输出的观测量为小车的位移x 、摆杆的角度θ。其控制量为小车的加速度θ
将微分方程（1-12）化为关于加速度输入量和角度输出量的传递函数：
()
()4.293
2
-=s s R s θ
()131- 1.2.2 直线一级倒立摆系统的状态方程
实验所使用的直线一级倒立摆系系统是加速度x
作为系统的控制输入，所以根据式（1-12）建立系统的状态方程为：
x
l
l g x
x x x 4343+====φφφφ
整理后得到系统状态方程：
[][]x x x x y x l g x x l g
x x
??
????+?????
?????????????=??????=????
???
???????+?????????????????????????
?=????????????00
0100000143010043001000000000
10φφφφφφφ
将实际参数代入得到一级倒立摆系统的状态空间方程为：
[][]x x x x y x
x x x x ??
????+?????
?????????????=??????=?
?
???
???????+????????????????????????=????????????00
01000001301004.2900
1000000000
10φφφφφφφ
?????????
???=04.2900
1000000000
1
0A ?
????
?
??????=3010B ??
????=01000001C ??????=00D
2.应用MATLAB 分析系统性能
2.1直线一级倒立摆闭环系统稳定性分析
构建如图1.4所示闭环系统，则系统的闭环极点为（-5.1381）、（5.1381） :
图1.4 闭环系统结构图
由于有实部为正的极点，所以闭环系统不稳定，必须设计控制器使系统稳定。可以
通过MATLAB Simulink 中对其进行仿真，判断其稳定性。 构建图1.4所示系统的仿真程序e1，加入1m/s 2的阶跃信号
由上图也能清楚的知道一级倒立摆系统是不稳定的。
2.2 系统可控性分析
系统的可控性可根据秩判据进行可控性判断。线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是：1()n rank B AB A B n -???=，其中n 为系统矩阵A 的阶次，
1()n M B AB A B -=???为系统的可控性矩阵。 matlab 程序及运行结果如下：
>> A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0]; >> B=[0;1;0;3]; >> T=ctrb(A,B); >> rank(T) ans = 4
由于rank （Ic ）=4，可见该系统是完全可控的。
2.3 系统可观测性分析
系统的可控性可根据秩判据进行可控性判断。线性定常连续系统完全可控的充
分必要条件是：
1n C CA rank N rank n CA -?????????==??????????????
或21(()())T T T T T T n T
rank C A C A C A C n -???=
其中n 为系数矩阵A 的阶次。 matlab 程序及运行结果如下：
>> A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0]; >> C=[1 0 0 0;0 0 1 0]; >> T0=obsv(A,C); rank(T0) ans = 4
由于rank （T0）=4，故该系统是可观测的。
3.应用matlab 进行综合设计
3.1状态反馈原理
设ｎ维线性定常系统：
Cx y Bu Ax x
=+=, 其中x,u,y 分别是n 维、p 维、q 维向量；A 、B 、C 分别是n*n 维，n*p 维，n*q 维实数矩
阵。状态反馈系统的控制量u 取为状态x 的线性函数：
Kx v u -=
其中，v 为p 参考输入向量，K 为p*n 维实反馈增益矩阵。 加入状态反馈后系统的结构图如图3.1所示：
图3.1 系统的全状态反馈结构图
则系统状态反馈的动态方程为：
()Cx y Bv x BK A x
=+-=, 3.2全维状态反馈观测器和simulink 仿真
状态反馈的的实现是利用状态反馈使系统的闭环极点位于所希望的极点位置。而状
态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统可控。直线一级倒立摆系统是可控的。
设系统期望极点为[]4321λλλλ=[]i i 343432--+---，则系统期望特征多
项式为：
()()()()()4321*λλλλ----=s s s s s a
列写状态反馈系统的特征多项式：
()BK A SI +-det
令两个特征多项式各项系数对应相等，则可解出K 阵。由matlab 求出状态反馈矩阵K ，编程如下：
A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0]; >> B=[0;1;0;3];
>> K=acker(A,B,[-2 -3 -4+3i -4-3i]) K =
-5.1020 -5.8844 35.1673 6.2948
系统加入0.1m/s 2的阶跃输入，在构成的状态反馈调节器控制下，MATLAB 中进行系统的阶跃响应仿真，编程如下： A=[0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 29.4 0]; B1=[0
1
3];
C=[1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1];
D1=[0 0 0 0]';
dt=0.005;
ieof=801;
for i=1:ieof;
U(:,i)=[0.1];
T(i)=i*dt;
end;
%%离散化
op=[-2 %期望极点
-3
-4+3i
-4-3i];
K=place(A,B1,op)
Ak0=[(A-B1*K)];
Bk0=[B1];
Ck0=[C];
Dk0=[D1];
lqrop=eig(Ak0);
x=[0 0 0 0]';
dt=0.005;%离散时
[dA,dB]=c2d(Ak0,Bk0,dt);%经离散化得到离散状态方程Ak1=[(A-B1*K)];
Bk1=[B1];
Ck1=[C];
Dk1=[D1];
sys=ss(Ak1,Bk1,Ck1,Dk1);
[Y,X]=lsim(sys,U,T);
plot(T,-Y),
grid;
legend('Cart','VCart','single','Vs');
图3.2 极点配置为[-2 -3 -4+3i -4-3i]时的全状态反馈仿真图
横轴时间单位秒，从图中可以看出，系统稳定。
4.应用Matlab 进行系统最优控制设计
最优控制问题就是寻找一个控制系统的最优控制方案或最优控制规律，使系统能最优地达到预期的目标。对于线性连续系统，提出二次型目标函数：
()()()()()()[]
d t t u t R t u t x t Q t x t Sx t x J f t t T T
f f T ?++=0
21)()(21
其中，R(t)正定，S 及Q （t)半正定，且设它们为对称矩阵，f t t ,0固定。当
f
t 趋近
无穷时，在)()(t x t y =情况下，该问题即为无限时间输出调节器问题。此时稳态误差项趋于零，在此题目中假设二次型最优控制性能指标为：
dt Ru u x Q x J T T ][0
+=?∞
其中：??
???
????
???=1000
0500000
300
000500
Q R=1 Matlab 编程如下：
A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0]; B=[0;1;0;3];
C=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1]; D=[0 0 0 0];
Q=[500 0 0 0;0 30 0 0;0 0 50 0;0 0 0 10];
R=1;
>> [K,P,e]=lqr(A,B,Q,R)
K =
-22.3607 -17.4697 70.1041 13.2462
在simulink下进行仿真模型的建立，如图4.1：
图4.1 LQR仿真模型
将K输入后，进行仿真，结果如图4.2：
图4.2 LQR仿真结果
由图可见，在二次型最优控制下系统稳定性得到明显改善。
5.总结
通过对一级倒立摆的分析可知，在开环情况下，倒立摆的平衡系统是不稳定的
的；通过秩判据可知，其系统是可控可观测的；通过状态反馈对极点进行配置后，使极点都位于虚轴左侧，则经过极点配置的倒立摆稳定，又进行了LQR算法对倒立摆进行控制，也可以使系统稳定。以上都是利用MATLAB对机器人进行分析和设计，对其系统进行了稳定性、可控性、可观测性分析，以及极点配置和最优控制设计，从中我们可以看出，MATLAB作为一种交互式计算分析软件，其强大的运算分析功能，集科学计算、程序设计和可视化于一体的高度集成化软件环境，为控制系统的分析设计，特别是高阶系统综合设计，提供了一种方便可靠的途径。
一级倒立摆的建模与控制分析
控制工程与仿真课程设计报告 报告题目直线一级倒立摆建模、分析及控制器的设计 组员1专业、班级14自动化1 班姓名朱永远学号1405031009 组员1专业、班级14自动化1 班姓名王宪孺学号1405031011组员1专业、班级14自动化1 班姓名孙金红学号1405031013 报告评分标准 评分项目权重评价内容评价结果项目得分 内容70设计方案较合 理、正确，内容 较完整 70-50分 设计方案基本合 理、正确，内容 基本完整 50-30分 设计方案基本不 合理、正确，内 容不完整 0-30分 语言组织15语言较流顺，标 点符号较正确 10-15分语言基本通顺， 标点符号基本正 确 5-10分 语言不通顺，有 错别字，标点符 号混乱 5分以下 格式15 报告格式较正 确，排版较规范 美观 10-15分 报告格式基本正 确，排版不规范 5-10分 报告格式不正 确，排版混乱 5分以下总分
直线一级倒立摆建模、分析及控制器的设计 一状态空间模型的建立 1.1直线一级倒立摆的数学模型 图1.1 直线一级倒立摆系统 本文中倒立摆系统描述中涉及的符号、物理意义及相关数值如表1.1所示。
图1.2是系统中小车的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。 图1.2 系统中小车的受力分析图 图1.3是系统中摆杆的受力分析图。F s 是摆杆受到的水平方向的干扰力, F h 是摆杆受到的垂直方向的干扰力，合力是垂直方向夹角为α的干扰力F g 。
图1.3 摆杆受力分析图 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： ()11- 设摆杆受到与垂直方向夹角为α 的干扰力Fg ，可分解为水平方向、垂直方向的干扰力，所产生的力矩可以等效为在摆杆顶端的水平干扰力FS 、垂直干扰力Fh 产生的力矩。 ()21- 对摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： ()θsin 22 l x dt d m F N S +=- ()31- 即： αθθθθsin sin cos 2f F ml ml x m N +-+= ()41- 对图1.3摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： ()θcos 22 l l dt d m F mg P h -=++- ()51- 即 θθθθ αcos sin cos 2 ml ml F mg P g +=++- ()61- 力矩平衡方程如下： 0cos sin sin cos cos sin =++++θθθθαθα I Nl Pl l F l F g g ()71- 代入P 和N ，得到方程： () 0cos 2sin sin 2cos sin cos 2cos sin 2222=+-++++θθθθθθθαθαx ml ml mgl ml I l F l F g g ()81- 设φπθ+=，（φ是摆杆杆与垂直向上方向之间的夹角，单位是弧度），代入上式。假设φ<<1，则可进行近似处理： φφφφφφφ===?? ? ??==2sin ,12cos ,0,sin ,1cos 2 dt d N x f F x M --= α sin g S F F =α cos g h F F =
最优控制方法在直线二级倒立摆中的应用
题目最优控制方法在直线二级倒立摆中的应用
目录 摘要 (1) 前言 (3) 1倒立摆的研究 (3) 1.1 倒立摆的研究背景 (4) 1.2倒立摆的控制方法 (3) 2 二级倒立摆系统控制机理 (6) 2.1系统描述 (6) 2.2 二级倒立摆系统强迫运动的描述 (8) 2.3 二级倒立摆系统的控制规律 (8) 3直线二级倒立摆的建模 (9) 3．1 建模条件 (10) 3.2 利用力学建模 (11) 3.3利用拉格朗日方程建模 (14) 4 最优控制器的设计与调节 (18) 4.1 最优控制理论概述 (18) 4.2 应用软件MATLAB的简介 (21) 4.3LQR控制器的设计与调节 (22) 4.3.1 LQR控制器的设计 (22) 4.3.2 加入增益的LQR控制器的调节 (27) 4.4连续系统的离散化仿真设计 (28) 5 最优控制法与极点配置法的比较 (31) 5.1 极点配置法的基本原理 (31) 5.2 配置极点并与最优控制法比较 (33) 6总结 (38) 致谢 (39) 参考文献 (40) 附录 (41)
最优控制方法在直线二级倒立摆中的应用 摘要：倒立摆系统以其自身的不稳定性而难以控制, 也因此成为自动控制实验中验证控制策略优劣的极好的实验装置。本文介绍了直线二级倒立摆的控制机理，详细的分析了直线二级倒立摆的建模过程。并且对最优控制理论和MATLAB做了简单的介绍，针对系统设计了最优控制器，并与极点配置法进行了比较。结果表明最优控制器对于二级倒立摆系统有着很好的控制能力。 关键词：二级倒立摆；LQR；极点配置；MATLAB The application of Optimal Control on Double Inverted Pendulum Student：QIN Kai-yang Supervisor：Y AN Juan-juan (College of Electrical Engineering &Information Technology, China Three Gorges University) Abstract：Inverted pendulum system is difficult to control because of its instability. It becomes the wonderful experiment device to verify how about the control strategy in automatic control experiment. The text introduced the mechanism of the double inverted pendulum. It simply introduced optimal control theory and the software of Matlab. The double inverted pendulum is modeled and the controller is designed by using optimal control theory. The simulating results show that quadratic optimal control has the ability to control the representative nonlinear instability system. Key words：Double Inverted Pendulum；LQR；MATLAB；Pole Configuration
(完整版)一级倒立摆系统分析
一级倒立摆的系统分析 一、倒立摆系统的模型建立 如图1-1所示为一级倒立摆的物理模型 图1-1 一级倒立摆物理模型 对于上图的物理模型我们做以下假设： M：小车质量 m：摆杆质量 b：小车摩擦系数 l：摆杆转动轴心到杆质心的长度 I：摆杆惯量 F：加在小车上的力 x：小车位置 ?：摆杆与垂直向上方向的夹角 θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图1-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆
杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：实际倒立摆系统中的检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。 图1-2 小车及摆杆受力分析 分析小车水平方向受力，可以得到以下方程： M x?＝Ｆ-ｂx?-Ｎ (1-1) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到以下方程： N =m d 2dt (x +l sin θ) (1-2) 即： N =mx?+mlθcos θ?mlθ2sin θ (1-3) 将这个等式代入式（1-1）中，可以得到系统的第一个运动方程： (M +m )x?+bx?+mlθcos θ?mlθ2sin θ=F (1-4) 为推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得出以下方程： P ?mg =m d 2dt 2 (l cos θ) (1-5) P ?mg =? mlθsin θ?mlθ2cos θ (1-6) 利用力矩平衡方程可以有：
?Pl sinθ?Nl cosθ=Iθ (1-7) 注意：此方程中的力矩方向，由于θ=π+?，cos?=?cosθ，sin?=?sinθ，所以等式前面含有负号。 合并两个方程，约去P和N可以得到第二个运动方程： (I+ml2)θ+mgl sinθ=?mlx?cosθ (1-8) 设θ=π+?，假设?与1（单位是弧度）相比很小，即?＜＜1，则 可以进行近似处理：cosθ=?1，sinθ=??，（dθ dt ） 2 =0。用u来 代表被控对象的输入力F，线性化后的两个运动方程如下： {(I+ml2)??mgl?=mlx? (M+m)x?+bx??ml?=u (1-9) 假设初始条件为0，则对式（1-9）进行拉普拉斯变换，可以得到： {(I+ml2)Φ(s)s2?mglΦ(s)=mlX(s)s2 (M+m)X(s)s2+bX(s)s?mlΦ(s)s2=U(s) (1-10) 由于输出为角度?，求解方程组的第一个方程，可以得到： X(s)=[(I+ml2) ml ?g s ]Φ(s) (1-11) 或改写为：Φ(s) X(s)=mls2 (I+ml2)s2?mgl (1-12) 如果令v=x?,则有：Φ(s) V（s）=ml (I+ml2)s2?mgl (1-13) 如果将上式代入方程组的第二个方程，可以得到： (M+m)[(I+ml2) ml ?g s ]Φ(s)s2+b[(I+ml2) ml +g s ]Φ(s)s?mlΦ(s)s2= U(s) (1-14) 整理后可得传递函数： Φ(s) U(s)= ml q s2 s4+b(I+ml 2) q s3?(M+m)mgl q s2?bmgl q s (1-15)
倒立摆姿态控制模型
倒立摆 倒立摆百度文库解释： 倒立摆系统的输入为小车的位移（即位置）和摆杆的倾斜角度期望值，计算机在每一个采样周期中采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。 倒立摆系统简介 倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。最初研究开始于二十世纪50 年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。 倒立摆分类
一级倒立摆控制方法比较
一级倒立摆控制方法比较 摘要：倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的自然不稳定系统。针对一级倒立摆系统，首先利用牛顿力学的知识建立了数学模型，然后利用Simulink 及其封装功能建立倒立摆的仿真模型，使模型更具灵活性，给仿真带来很大方便。根据状态方程判断系统的能控、能观性。通过LQR控制算法和极点配置设计控制器使系统达到稳定状态，分析两种方法的优缺点，并利用Matlab仿真加以证实。 关键词：倒立摆; LQR ;极点配置 ;Matlab DISCUSSION ON CONTROLOF INVERTED PENDULUM Abstract：the inverted pendulum system is a typical multi-variable, nonlinear, strong coupling and rapid movement of the natural unstable system. According to the level of inverted pendulum system, firstI make use of Newtonian mechanics knowledge to establishthe mathematical model, and use the Simulink and packaging function to establish inverted pendulum simulation model.The model is more flexibility, bringing a lot of convenience for simulation. By the equation of state, controllability and observablityof system can be sure. Designing the LQR control algorithm and pole-place makes the system stable state, analyzes the advantages and disadvantages of two methods confirmed through the simulation of MATLAB. Key words：Inverted pendulum ;LQR ;pole-place ;Matlab 0引言 倒立摆系统作为研究控制理论的一种典型的实验装置，具有成本低廉，结构简单，物理参数和结构易于调整的优点。研究倒立摆系统具有很强的理论意义，同时也具有深远的实践意义。许多抽象的控制概念如稳定性、能控性和能观性，都可以通过倒立摆系统直观地表现出来。希望对倒立摆的研究能够加深对控制理论的了解，为后面学习奠定坚实的基础。 倒立摆[1]的稳定控制主要可分为线性控制和智能控制两大类，下面分别对其归纳介绍。 1）线性理论控制方法 应用线性控制方法的基本前提是倒立摆处在平衡点附近，偏移很小时，系统可以用
单级倒立摆系统的分析与设计
单级倒立摆系统的分析与设计 小组成员：武锦张东瀛杨姣 李邦志胡友辉 一．倒立摆系统简介 倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似性，因而对其研究具有重大的理论和实践意义。由于倒立摆系统本身所具有的上述特点，使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。 单级倒立摆系统（Simple Inverted Pendulum System）是一种广泛应用的物理模型，其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节运动等有很多相似之处，因而对倒立摆系统平衡的控制方法在航空及机器人等领域有着广泛的用途，倒立摆控制理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器入技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。 倒立摆仿真或实物控制实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案。最初研究开始于二十世纪50年代，单级倒立摆可以看作是一个火箭模型，相比之下二阶倒立摆就复杂得多。1972年，Sturgen等采用线性模拟电路实现了对二级倒立摆的控制。目前，一级倒立摆控制的仿真或实物系统已广泛用于教学。 二．系统建模 1．单级倒立摆系统的物理模型 图1：单级倒立摆系统的物理模型
单级倒立摆系统是如下的物理模型：在惯性参考系下的光滑水平平面上，放置一个可以在平行于纸面方向左右自由移动的小车（cart ），一根刚性的摆杆（pendulum leg ）通过其末端的一个不计摩擦的固定连接点（flex Joint ）与小车相连构成一个倒立摆。倒立摆和小车共同构成了单级倒立摆系统。倒立摆可以在平行于纸面180°的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的摄动下摆杆仍然保持竖直向上状态。在小车静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆受到微小的摄动时就会发生不可逆转的破坏而使倒立摆无法复位，这时必须使小车在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。依照惯性参考系下的牛顿力学原理，作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，单级倒立摆系统是一个非线性系统。 各个参数的物理意义为： M — 小车的质量 m — 倒立摆的质量 F — 作用到小车上的水平驱动力 L — 倒立摆的长度 x — 小车的位置 θ— 某一时刻摆角 整个倒立摆系统就受到重力、驱动力和摩擦阻力的三个外力的共同作用。这里，驱动力F 是由连接小车的传动装置提供，控制倒立摆的稳定实际上就是依靠控制驱动力F 使小车在水平面上做与倒立摆运动相关的特定运动。为了简化模型以利于仿真，假设小车与导轨以及摆杆与小车铰链之间的摩擦均为0。 2．单级倒立摆系统的数学模型 令小车的水平位移为x ，运动速度为v ，加速度a 。 小车的动能为212kc E Mx =，选择特定的参考平面使得小车的势能为0。 摆杆的长度为L ，某时刻摆角为θ，在摆杆上与固定连接点距离为q （0 系统建模 系统建模可以分为两种:机理建模和实验建模.实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者先确定的输入信号,激励研究对象并通过传感器的检测其可观测的输出,应用数学手段建立起系统输入---输出关系.这里包括输入信号的设计选取,输出信号的精确检测,数学算法的研究等等内容.机理建模就是在了解研究对象在运动规律基础上,通过物理,化学的知识和数学手段建立起的系统内部的输入输出状态关系.系统的建模原则： 1) 建模之前，要全面了解系统的自然特征和运动机理，明确研究目的和准确性要求，选择合适的分析方法。 2) 按照所选分析法，确定相应的数学模型的形式； 3) 根据允许的误差范围，进行准确性考虑，然后建立尽量简化的合理的数学模型。 小车—倒立摆系统是各种控制理论的研究对象。只要一提小车—倒立摆系统，一般均认为其数学模型也已经定型。事实上，小车—倒立摆的数学模型与驱动系统有关，常见到的模型只是对应于直流电机的情况，如果执行机构是交流伺服电机，就不是这个模型了。本文主要分析由直流电机驱动的小车—倒立摆系统。小车倒立摆系统是检验控制方式好坏的一个典型对象，其特点是高阶次、不稳定、非线性、强耦合，只有采取有效的控制方式才能稳定控制. 在忽略空气阻力,各种摩擦之后,可将直线一级倒立摆系统抽象成小车忽然均匀质杆组成的系统,如下图所示: 图中F 是施加于小车的水平方向的作用力，x 是小车的位移，φ是摆的倾斜角。若不给小车施加控制力，倒摆会向左或向右倾斜，控制的目的是当倒摆出现偏角时，在水平方向上给小车以作用力，通过小车的水平运动，使倒摆保持在垂直的位置。即控制系统的状态参数，以保持摆的倒立稳定。 M 小车的质量 0.5Kg m 摆杆的质量 0.2Kg X φ F M 图1 直线一级倒立摆系统 θ 研究生《现代控制理论及其应用》课程小论文 一级倒立摆的建模与控制分析 学院：机械工程学院 班级：机研131 姓名：尹润丰 学号： 201321202016 2014年6月2日 目录 1. 问题描述及状态空间表达式建立..............................................................- 1 - 1.1问题描述.......................................................................................................................................- 1 - 1.2状态空间表达式的建立...............................................................................................................- 1 - 1.2.1直线一级倒立摆的数学模型 ..........................................................................................- 1 - 1.2.2 直线一级倒立摆系统的状态方程 .................................................................................- 5 - 2.应用MATLAB分析系统性能 .....................................................................- 6 - 2.1直线一级倒立摆闭环系统稳定性分析 ......................................................................................- 6 - 2.2 系统可控性分析.........................................................................................................................- 7 - 2.3 系统可观测性分析.....................................................................................................................- 8 - 3. 应用matlab进行综合设计.........................................................................- 8 - 3.1状态反馈原理...............................................................................................................................- 8 - 3.2全维状态反馈观测器和simulink仿真 .......................................................................................- 9 - 4.应用Matlab进行系统最优控制设计 ........................................................ - 11 - 5.总结 ............................................................................................................. - 13 - 一阶直线倒立摆系统 姓名： 班级： 学号： 目录 摘要 (3) 第一部分单阶倒立摆系统建模 (4) （一）对象模型 (4) （二）电动机、驱动器及机械传动装置的模型 (6) 第二部分单阶倒立摆系统分析 (7) 第三部分单阶倒立摆系统控制 (11) （一）内环控制器的设计 (11) （二）外环控制器的设计 (14) 第四部分单阶倒立摆系统仿真结果 (16) 系统的simulink仿真 (16) 摘要： 该问题源自对于娱乐型”独轮自行车机器人”的控制，实验中对该系统进行系统仿真，通过对该实物模型的理论分析与实物仿真实验研究，有助于实现对独轮自行车机器人的有效控制。 控制理论中把此问题归结为“一阶直线倒立摆控制问题”。另外，诸如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制、海上钻井平台的稳定控制、飞机安全着陆控制等均涉及到倒立摆的控制问题。 实验中通过检测小车位置与摆杆的摆动角，来适当控制驱动电动机拖动力的大小，控制器由一台工业控制计算机（IPC）完成。实验将借助于“Simulink封装技术——子系统”，在模型验证的基础上，采用双闭环PID控制方案，实现倒立摆位置伺服控制的数字仿真实验。实验过程涉及对系统的建模、对系统的分析以及对系统的控制等步骤，最终得出实验结果。仿真实验结果不仅证明了PID方案对系统平衡控制的有效性，同时也展示了它们的控制品质和特性。 第一部分 单阶倒立摆系统建模 （一） 对象模型 由于此问题为”单一刚性铰链、两自由度动力学问题”，因此，依据经典力学的牛顿定律即可满足要求。 如图1.1所示，设小车的质量为0m ，倒立摆均匀杆的质量为m ，摆长为2l ，摆的偏角为θ，小车的位移为x ，作用在小车上的水平方向上的力为F ，1O 为摆杆的质心。 图1.1 一阶倒立摆的物理模型 根据刚体绕定轴转动的动力学微分方程，转动惯量与角加速度乘积等于作用于刚体主动力对该轴力矩的代数和，则 1）摆杆绕其重心的转动方程为 sin cos y x l F J F l θθθ=- （1-1） 2）摆杆重心的水平运动可描述为 2 2(sin )x d F m x l dt θ=+ （1-2） 3）摆杆重心在垂直方向上的运动可描述为 2 2(cos )y d F mg m l dt θ-= （1-3） 4）小车水平方向运动可描述为 202x d x F F m dt -= （1-4） 上海电力学院课程设计报告 课名：自动控制原理应用实践 题目：倒立摆控制装置 院系：自动化工程学院 专业：测控技术与仪器 班级：2011151班 姓名：马玉林 学号：20112515 时间：2014年1月14日 倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自有连接（即无电动机或其他驱动设备）。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。 倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。 1.1 倒立摆的控制方法 倒立摆系统的输入来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。 本次设计中我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型，然后通过开环响应分析对该模型进行分析，并利用学习的古典控制理论和Matlab /Simulink仿真软件对系统进行控制器的设计，主要采用根轨迹法，频域法以及PID（比例-积分-微分）控制器进行模拟控制矫正。 2 直线倒立摆数学模型的建立 直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一，直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件。 系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。这里面包括输入 西南科技大学 自动化专业方向设计报告 设计名称：直线二级倒立摆的建模和镇定控制 姓名： 学号: 班级： 指导教师： 起止日期： 方向设计任务书 学生班级：学生姓名：学号： 设计名称： 起止日期：指导教师： 方向设计学生日志 直线二级倒立摆的建模与镇定控制 摘要（150-250字） 倒立摆是一个典型的多变量、非线性、强耦合、欠驱动的自然不稳定系统，对倒立摆系统的控制研究，能反映控制过程中的镇定、非线性和随动等问题，因此常用于各种控制算法的研究。而且对倒立摆系统的研究还有重要的工程背景，对机器人行走、火箭的姿态调整等都有重要的现实意义。 本文以直线二级倒立摆系统为模型，阐释了直线二级倒立摆的建模方法和镇定控制算法。其次介绍了直线二级倒立摆系统的结构和参数，应用拉格朗日方程建模方法详细推导了二级倒立摆的数学模型，并对系统的性能进行分析。接下来，本文重点研究了最优控制算法在直线二级倒立摆镇定控制中的应用；在介绍倒立摆系统的最优控制算法的基础上，设计了系统的最优控制器，分析得出控制参数的选择规律；并且在Simulink上完成仿真实验,观察控制系统性能。关键词：倒立摆；建模；LQR；镇定控制 Modeling and Balance Control of the Linear Double Inverted Pendulum Abstract：Inverted pendulum is a typical multivariable, nonliner, closed coupled and quick movement natural instable process of control research can reflect many key problems in control theory, such as the problem of tranquilization, non linearity, following and so on. So the inverted pendulum is commonly used for the study of many kinds of control theory. The research of inverted pendulum also has important background of engineering, and has practical significance for the Robot walk and Rocket-profile adjustment. In this paper, taking the linear double inverted pendulum system as the control model, reaching of the control system based on lagrange equation and optimal control algorithm. First of all, giving out the research significance and situation of the inverted pendulum system,and introducing the linear double inverted pendulum modeling methods and stabilization control theory. Secondly, introducing the structure and parameters of the inverted pendulum system. Researching of the inverted pendulum mathematical model based on lagrange equation, and giving a detailed derivation, then having stability analysis of the system. Next, this paper studied the inverted pendulum system’s optimal control algorithm,and designed the LQR controller based on it, then coming to the law of selection of control parameters. Finishing the simulation in the Simulink software,observing the performance of the control system. Key words: inverted pendulum, modeling, LQR, balance control 哈尔滨工业大学 控制科学与工程系 控制系统设计课程设计报告 姓名：院（系）： 专业：自动化班号： 任务起至日期： 2014 年9 月9 日至 2014 年9 月20 日 课程设计题目：直线一级倒立摆控制器设计 已知技术参数和设计要求： 本课程设计的被控对象采用固高公司的直线一级倒立摆系统GIP-100-L。 系统内部各相关参数为: M小车质量0.5kg; m摆杆质量0.2kg; b小车摩擦系数0.1N/m/sec; l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3m; I摆杆惯量0.006kg*m*m; T采样时间0.005秒。 设计要求： 1.推导出系统的传递函数和状态空间方程。用Matlab进行阶跃输入仿真，验证系统的稳定性。 2.设计PID控制器，使得当在小车上施加0.1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为： （1）稳定时间小于5秒； （2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1弧度。 3.设计状态空间极点配置控制器，使得当在小车上施加0.2m的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为： （1）摆杆角度错误！未找到引用源。和小车位移x的稳定时间小于3秒 （2）x的上升时间小于1秒 （3）错误！未找到引用源。的超调量小于20度（0.35弧度） （4）稳态误差小于2%。 工作量： 1.建立直线一级倒立摆的线性化数学模型； 2.倒立摆系统的PID控制器设计、Matlab仿真及实物调试； 3.倒立摆系统的极点配置控制器设计、Matlab仿真及实物调试。 哈尔滨工业大学 (1) 控制系统设计课程设计报告 (1) 一．实验设备简介 (3) 二．直线一阶倒立摆数学模型的推导 (6) 2.1概述 (6) 2.2数学模型的建立 (7) 2.3一阶倒立摆的状态空间模型： (9) 2.4实际参数代入： (10) 三．定量、定性分析系统的性能 (11) 3.1 对系统的稳定性进行分析 (11) 3.2 对系统的稳定性进行分析： (12) 四. 实际系统的传递函数与状态方程 (13) 五. 系统阶跃响应分析 (14) 六．一阶倒立摆PID控制器设计 (15) 6.1 PID控制分析 (15) 6.2 PID控制参数设定及MATLAB仿真 (17) 6.3 PID控制实验 (18) 七．状态空间极点配置控制器设计 (19) 7.1 状态空间分析 (20) 7.2 极点配置及MA TLAB仿真 (21) 7.3 利用爱克曼公式计算 (21) 八．课程设计心得与体会 (22) 一．实验设备简介 倒立摆控制系统：Inverted Pendulum System （IPS） 倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。 倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台。倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。最初研究开始于二十世纪50 年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。 一级倒立摆物理建模和传递函数的推导 设定： M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 车位置 φ 摆杆与垂直向上方向的夹角 图1、2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用。 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： N x b F x M --=? ?? (1) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： )sin (22 θl x dt d m N += (2) 即： θθθθsin cos 2 ?? ???-+=ml ml x m N (3) 把这个等式代入式(3)中，就得到系统的第一个运动方程： F ml ml x b x m M =-+++?? ????θθθθsin cos )(2 (4) 对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程: )cos (2 2 θl dt d m mg P =- (5) θθθθcos sin 2 ?? ?--=-ml ml mg P (6) 力矩平衡方程： ? ?=--θθθI Nl Pl cos sin (7) 此方程中力矩的方向，由于φπθ+=,θφcos cos -=,θφsin sin -=,故等式前面有负号。 合并这两个方程，约去 P 和N ，得到第二个运动方程： θ θθcos sin )(2 ? ???-=++x ml mgl ml I (8) 设θ =π +φ, 假设φ 与1（单位是弧度）相比很小，即c <<1，则可以进行近似处理：1cos -=θ,φθ-=sin ,0)(2 =dt d θ。用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下： { u ml x b x m M x ml mgl ml I =-++=-+? ?? ? ?? ???φφφ)()(2 (9) 假设初始条件为0，对式(9)进行拉普拉斯变换： { ) ()()()()()()()()(22222s U s s ml s s bX s s X l M s s mlX s mgl s s ml I =Φ-++=Φ-Φ+ (10) 由于输出为角度φ ，求解方程组的第一个方程，可以得到： )(])([)(22s s g ml ml I s X Φ-+= (11) 或 mgl s ml I mls s X s -+=Φ2 22)()()( (12) 令? ?=x v ，则有： mgl s ml I ml s V s -+=Φ22)()()( (13) 把上式代入方程组的第二个方程，得到： 基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计 一、设计目的 倒立摆是一个非线性、不稳定系统,经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。设计一个倒立摆的控制系统，使倒立摆这样一个不稳定的被控对象通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统。 二、设计要求 倒立摆的设计要求是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。实验参数自己选定，但要合理符合实际情况，控制方式为双PID控制，并利用MATLAB进行仿真，并用simulink对相应的模块进行仿真。 三、设计原理 倒立摆控制系统的工作原理是：由轴角编码器测得小车的位置和摆杆相对垂直方向的角度，作为系统的两个输出量被反馈至控制计算机。计算机根据一定的控制算法，计算出空置量，并转化为相应的电压信号提供给驱动电路，以驱动直流力矩电机的运动，从而通过牵引机构带动小车的移动来控制摆杆和保持平衡。 四、设计步骤 首先画出一阶倒立摆控制系统的原理方框图 一阶倒立摆控制系统示意图如图所示： 分析工作原理，可以得出一阶倒立摆系统原理方框图： 一阶倒立摆控制系统动态结构图 下面的工作是根据结构框图，分析和解决各个环节的传递函数！ 1.一阶倒立摆建模 在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，其中： M ：小车质量 m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置 θ：摆杆与垂直向上方向的夹角 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度 根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知： （1） 摆杆绕其重心的转动方程为 （2） 摆杆重心的运动方程为 得 sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=- 2 22 2(sin ) (2) (cos ) (3) x y d F m x l d t d F mg m l d t θθ=+=- 绪论 (1) 1倒立摆系统的建模 (2) 1.1倒立摆系统的特性分析 (2) 1.2二级倒立摆系统的数学建模 (3) 1.2.1基于牛顿力学的二级倒立摆系统数学模型建立4 1.3二级倒立摆系统数学模型的线性化处理 (5) 2线性二次型最优控制（LQR）的方案设计 (8) 2.1二级倒立摆性能分析 (8) 2.1.1稳定性分析 (8) 2.1.2能控性能观性分析 (9) 2.2线性二次型最优调节器原理 (11) 2.3加权阵Q和R的选择 (13) 3模糊控制的基本原理 (14) 3.1模糊理论的基本知识 (14) 3.1.1模糊控制概述 (14) 3.1.2模糊集合 (15) 3.1.3 模糊规则和模糊推理 (16) 3.1.4反模糊化 (17) 3.2模糊控制系统的设计 (17) 3.2.1模糊控制系统的组成及原理 (17) 3.2.2模糊控制器设计的基本方法与步骤 (19) 3.3二级倒立摆模糊控制器的设计 (20) 4二级倒立摆模糊控制系统的MATLAB仿真 (23) 4.1基于最优调节器的二级倒立摆控制系统的MATLAB仿真 (24) 4.2基于模糊控制器的二级倒立摆控制系统的MATLAB仿真 (26) 4.2.1二级倒立摆模糊控制系统的仿真波形 (26) 4.2.2量化因子和比例因子对模糊控制器性能的影响 (28) 4.3两种控制系统的MATLAB仿真对比研究 (29) 结束语 (30) 致 (31) 参考文献 (32) 附录 (33) 本文以二级倒立摆模型为控制对象，首先阐述了倒立摆系统控制算法的研究 发展过程和现状，介绍了倒立摆系统的结构和数学模型，并详细推导了二级倒立摆的数学模型。 其次，本文主要研究倒立摆系统的现代控制方法以及智能控制方法，用LQR 最优控制方法、模糊控制理论设计了控制器，通过MATLAB及SIMULINK仿真两 个控制器，分析指出两方法的优缺点，结果表明：智能控制策略不仅能满足非线性系统的控制要求，而且能明显改善控制指标，整个系统具有更好的动态特性。 最后完成了二级倒立摆系统控制程序的设计和调试，实验取得较好的仿真控效果，并对实验结果进行了详细的分析。结论部分对本课题的意义、目的和工作内容进行总结。 关键词：二级倒立摆，最优控制，模糊控制倒立摆建模
一级倒立摆的建模与控制分析
一阶倒立摆控制系统
20112515直线一级倒立摆机理建模
直线二级倒立摆的建模和控制
哈工大一阶倒立摆
一级倒立摆物理建模、传递函数和状态方程的推导
一级倒立摆控制系统设计
二级倒立摆模糊控制设计