倒立摆姿态控制模型
一级倒立摆的建模及控制分析
直线一级倒立摆的建模及控制分析摘要：本文利用牛顿—欧拉方法，建立了直线型一级倒立摆系统的数学模型。
在分析的基础上, 采用状态反馈控制中极点配置法设计了用于直线型一级倒立摆系统的控制器。
此外，用MATLAB 仿真绘制了相应的曲线并做了分析。
一、问题描述倒立摆控制系统是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域和多种技术的有机结合，其被控系统本身是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，是控制理论研究中较为理想的实验对象。
它为控制理论的教学、实验和科研构建了一个良好的实验平台，促进了控制系统新理论、新思想的发展。
倒立摆系统可以采用多种理论和方法来实现其稳定控制，如PID，自适应、状态反馈、智能控制等方法都己经在倒立摆控制系统上得到实现。
由于直线一级倒立摆的力学模型较简单，又是研究其他倒立摆的基础，所以本文利用所学的矩阵论知识对此倒立摆进行建模和控制分析。
二、方法简述本文利用牛顿—欧拉方法，建立了直线型一级倒立摆系统的数学模型。
在分析的基础上, 采用状态反馈控制中极点配置法设计了用于直线型一级倒立摆系统的控制器。
此外，用MATLAB 仿真绘制了相应的曲线并做了分析。
三、模型的建立及分析3.1 微分方程的推导在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图1所示。
图1 直线一级倒立摆系统假设 M 为小车质量；m 为摆杆质量；b 为小车摩擦系数；l 为摆杆转动轴心到杆质心的长度；I 为摆杆惯量；F 为加在小车上的力；x 为小车位置；φ为摆杆与垂直向上方向的夹角；θ为摆杆与垂直向下方向的夹角。
图2是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
值得注意的是: 在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已确定, 因而矢量方向定义如图2所示, 图示方向为矢量正向。
(a) (b)图2 小车和摆杆的受力分析图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：N x b F x M --= (1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：θθθθs i n c o s 2ml ml x m N -+= (2) 把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：()F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos 2 (3)为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：θθθθc o s s i n 2 ml ml mg P --=- (4) 力矩平衡方程如下：θθθI Nl Pl =--cos sin (5)合并这(4)、(5)两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：()θθθc o s s i n 2x ml mgl ml I -=++ (6) 假设φ与1(单位是弧度)相比很小，即φ《1，则可以进行近似处理：0d d s i n 1c o s 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=t θφθθ，， (7) 用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：()()⎩⎨⎧=-++=-+u ml x b x m M xml mgl ml I φφφ 2 (8) 3.2 状态空间方程方程组(8)对φ，x 解代数方程，整理后的系统状态空间方程为： ()()()()()()()()u Mm l m M I m l Mm l m M I m lI x x Mm l m M I m M m gl Mm l m M I m lbMm l m M I gl m Mm l m M I b m l I x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++-+++++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡222222222200001000000010φφφφ u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001000001φφφ 对于质量均匀分布的摆杆有：3/2ml I =，于是可得：()x ml mgl ml ml =-+φφ223/ 化简得：xll g 4343+=φφ设}{x u x x X ==1，，，，φφ ，则有：14301004300100000000010u l x x l g x x⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡φφφφ10001000001u x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=φφφ 3.3 实际系统模型实际系统模型参数: M =1.096 Kg ；m =0.109 Kg ；b =0.1 N/m/s ； l =0.25 m ；I =0.0034 kg ·m ·m ；采样频率 T =0.005 s 。
倒立摆的动力学模型
倒立摆的动力学模型倒立摆是一个经典的物理实验，同时也是控制系统领域中的一个重要研究对象。
本文将介绍倒立摆的动力学模型以及相关的理论背景。
一、背景介绍倒立摆是由一个杆和一个连接在其上方的质点组成的，它在重力作用下呈现出不稳定的平衡状态。
倒立摆的动力学模型可以通过建立质点与杆之间的力学关系来描述。
二、质点的动力学方程假设质点质量为m，位置用x表示，杆的最低点为平衡位置，根据牛顿第二定律，可以得到质点的动力学方程：m * d^2x / dt^2 = Fg + Fc其中Fg表示质点受到的重力，Fc表示质点受到的摩擦力。
重力可以表示为：Fg = -mg * sinx摩擦力一般可以近似为：Fc = -b * dx / dt其中b为摩擦系数。
将上述方程带入质点的动力学方程中，可以得到：m * d^2x / dt^2 + b * dx / dt + mg * sinx = 0这就是质点的动力学方程。
三、杆的动力学方程杆的运动可以由转动惯量和力矩平衡来描述。
假设杆的质量为M，长度为l，转动惯量为I，杆绕其一端的转动中心转动，可以得到杆的动力学方程：I * d^2θ / dt^2 = -Mgl * sinθ其中θ表示杆的角度。
四、控制方法倒立摆的控制方法可以分为开环和闭环控制。
开环控制是通过输入外部力或力矩来控制摆的位置或角度，而闭环控制是通过测量摆的位置或角度，并根据目标位置或角度来调整输入力或力矩。
闭环控制往往使用PID控制器。
PID控制器是一种经典的控制器，可以根据目标位置与当前位置之间的差异来调整输入力或力矩，从而实现对倒立摆的控制。
五、应用领域倒立摆的研究在控制系统领域具有广泛的应用。
例如，在工业自动化中，倒立摆可以用来模拟和控制各种平衡问题。
此外，倒立摆还可以用于教育和科普领域，帮助人们更好地理解动力学和控制原理。
六、结论倒立摆的动力学模型是控制系统领域中一个重要的研究对象。
通过建立质点与杆之间的力学关系，可以得到质点和杆的动力学方程。
倒立摆控制系统设计
倒立摆控制系统设计倒立摆是一种经典的控制系统设计问题，经常用于教学和研究中。
倒立摆是一个在竖直平衡位置上方的摆杆，通过控制一些关节的力矩使其保持平衡。
以下是一个倒立摆控制系统的设计过程。
第一步：建立动力学模型首先，需要建立倒立摆的动力学模型。
倒立摆的动力学模型可以通过运动方程来表达。
假设摆的长度为l，质量为m，可以得到摆杆的转动惯量I=m*l^2、摆杆在竖直方向上受到重力加速度g作用。
假设摆杆的角位移为θ，角速度为ω，则可以得到如下的转动方程：I*ω' = -mgl*sin(θ)第二步：线性化模型将非线性动力学模型线性化是控制系统设计中的常见做法。
在线性化之前，需要选择一个工作点作为参考点。
假设工作点为竖直平衡位置，因此θ=0，ω=0。
线性化的目的是在工作点处计算摆杆动态的近似线性表示。
通过对转动方程进行泰勒级数展开并忽略高阶项，可以得到线性化的模型：I*ω' = -mgl*θ第三步：设计控制器在线性化的模型中，我们可以引入一个控制器来控制摆杆的角度，并使之保持在竖直位置。
常见的控制器包括比例控制器（P控制器）、积分控制器（I控制器）和微分控制器（D控制器）。
通过控制器，我们可以得到一个控制信号u，作用于系统中的输入来控制倒立摆。
控制器的设计可以基于设计指标，如系统的快速响应性、稳定性和鲁棒性等。
第四步：模拟和验证在完成控制器设计之后，可以进行仿真和实验来验证系统的控制效果。
倒立摆系统通常可以用控制系统设计软件进行建模和仿真。
可以通过改变控制器的参数来观察系统的响应，并对控制器进行调整和优化。
第五步：系统实现和调试在模拟和验证阶段的成功之后，可以将控制器实现到实际的倒立摆系统中。
可能需要选择合适的硬件平台和传感器来实现对系统状态的测量。
实际实施过程中，可能还需要对控制器进行再次调整和优化，以适应实际系统的特点。
综上所述，倒立摆控制系统设计包括建立动力学模型、线性化模型、设计控制器、模拟和验证、系统实现和调试等步骤。
一级倒立摆的可视化建模与稳定控制设计
1966年
1976年
1995年
倒立摆的应用
倒立摆的分类
直线倒立摆 一级倒立摆
基座运动
环形倒立摆
摆杆
二级倒立摆
平面倒立摆
多级倒立摆
另外根据材料分类：刚体摆杆倒立摆系统和柔性摆杆倒立摆系统 „„
根据不同的分类方法，我们可以将倒立摆进行不同的分类。
倒立摆的特点
特性：非线性、多变量、强耦合、不稳定性
倒立摆系统拥有低投入、简易的结构、直观 的形象、方便仿真等特点。
设计演示界面
保存文件，命名为 fangzhenjieguo.fig ，同时会自动生成一 个fangzhenjieguo.m 文件
将摆角、小车位 移和时间参量， 导入到工作区中 ，供GUI编程使 用。
打开之前保存演示界面是生成的fangzhenjieguo.m文件，找到 “仿真开始”按钮所对应的回调函数，在函数下方加入程序： sim('daolibaimoxing');%运行仿真模型
初始条件设为[0.1rad,0.5rad/s,0,0],仿真曲线如 图所示，上面图线为摆角，下面为小车位移。
右图为未加控制器前的系统 阶跃响应曲线，可以看出， 摆角和小车位移的曲线都是 发散的。通过与仿真结果比 较，可以看出，加了BP神经 网络控制器的倒立摆系统， 摆角和小车位移曲线趋于稳 定，说明所设计的BP神经网 络控制器能够起到有效的控 制作用。验证了控制器设计 的正确性和可行性。
四、GUI设计
图形用户界面（Graphical User Interface， 简称 GUI，又称图形用户接口）是指采用图形 方式显示的计算机操作用户界面。
GUI具有下面几个方面的基本要求：轻型、 占用资源少、高性能、高可靠性、便于移 植、可配置等特点。
附--倒立摆简介与模型
倒立摆简介倒立摆系统是理想的自动控制教学实验设备，使用它能全方位的满足自动控制教学的要求。
许多抽象的控制概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆直观的表现出来。
倒立摆系统具有模块性好和品种多样化的优点，其基本模块既可是一维直线运动平台或旋转运动平台，也可以是两维运动平台。
通过增加角度传感器和一节倒立摆杆，可构成直线单节倒立摆、旋转单节倒立摆或两维单节倒立摆；通过增加两节倒立摆杆和相应的传感器，则可构成两节直线倒立摆和两节旋转倒立摆。
倒立摆的控制技巧和杂技运动员倒立平衡表演技巧有异曲同工之处，极富趣味性，学习自动控制课程的学生通过使用它来验证所学的控制理论和算法，加深对所学课程的理解。
由于倒立摆系统机械结构简单、易于设计和制造，成本廉价，因此在欧美发达国家的高等院校，它已成为常见的控制教学设备。
同时由于倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象，并不断从中发掘出新的控制理论和控制方法。
因此，倒立摆系统也是进行控制理论研究的理想平台。
直线运动型倒立摆外形美观、紧凑、可靠性好。
除了为每个子系列提供模块化的实现方案外，其控制系统的软件平台采用开放式结构，使学生建立不同的模型，验证不同的控制算法，供不同层次的学生进行实验和研究。
由于采用了运动控制器和伺服电机进行实时运动控制，以及齿型带传动，固高公司的倒立摆系统还是一个典型的机电一体化教学实验平台，可以用来进行各种电机拖动、定位和速度跟踪控制实验，让学生理解和掌握机电一体化产品的部件特征和系统集成方法。
一. 系统组成及参数：倒立摆系统由水平移动的小车及由其支撑的单节倒立摆构成。
控制输入为驱动力F （N），是由拖动小车的直流伺服电机提供的；被控制量是摆杆与垂直位置方向夹角θ（rad）和小车的位移x（m）。
实际倒立摆系统的模型参数：M：小车的质量，1.096kg；m：摆杆的质量，0.109kg；b：小车的摩擦系数，0.1N/(m/sec)；L ：摆杆的中心到转轴的长度，0.25mJ：摆杆对重心的转动惯量，0.0034kg m2；T ：采样周期，0.005秒；二．设计指标：摆的角度小于0.02rad，响应时间小于1秒倒立摆系统的数学模型应用牛顿—欧拉法对倒立摆进行数学建模。
倒立摆控制方法
倒立摆控制方法介绍倒立摆是一种经典的控制系统问题，它在控制理论中具有重要的地位。
倒立摆控制方法是指通过对倒立摆系统的动力学特性进行建模和分析，设计出合适的控制策略，以实现倒立摆的平衡控制或轨迹跟踪控制。
本文将系统介绍倒立摆的基本原理和控制方法，并深入探讨几种常见的倒立摆控制算法。
一、倒立摆的基本原理1. 倒立摆系统的结构倒立摆由一个挡板和一根连杆组成，挡板可以沿竖直方向进行运动，连杆可以绕某一固定点旋转。
倒立摆系统在无控制时，连杆会处于不稳定的倒立状态，因此需要对其进行控制以实现平衡或跟踪任务。
2. 倒立摆系统的动力学模型倒立摆系统的动力学模型可以通过拉格朗日方程建立。
对于单摆情况，可以通过连杆的长度、质量、重心位置等参数来描述系统。
通过对系统的动能和势能进行求解，可以得到系统的运动方程。
二、倒立摆控制方法1. PID控制器PID控制器是最简单且常用的控制方法之一。
PID控制器通过比较系统的实际输出和期望输出，计算出控制量，并输出给执行器。
PID控制器分别对系统的偏差、偏差的变化率和偏差的积分进行加权计算，得到最终的控制量。
2. 模糊控制模糊控制是一种基于模糊逻辑的控制方法，适用于非线性系统或具有不确定性的系统。
模糊控制将系统的输入和输出进行模糊化，通过模糊规则的匹配和推理，得到最终的控制量。
对于倒立摆系统，可以根据系统的状态和偏差设计模糊规则集，以实现控制目标。
3. 强化学习强化学习是一种通过与环境的交互来学习最优策略的方法。
倒立摆控制可以被看作是一个强化学习的问题，控制器通过与倒立摆系统的交互，不断调整自己的策略以获得最优的控制效果。
例如，可以使用深度强化学习方法，如深度Q网络（DQN）来实现倒立摆的控制。
4. 模型预测控制模型预测控制是一种通过建立系统的动态模型，并根据模型进行预测和优化的控制方法。
倒立摆系统的动态特性是已知的，可以通过建立模型来预测系统的未来状态，从而进行控制决策。
模型预测控制可以考虑系统的约束条件，并通过优化算法求解最优控制策略。
倒立摆建模与控制
2倒立摆系统的模型建立2.1 倒立摆特性●非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似线性模型，线性化处理后再进行控制。
也可以利用非线性控制理论对其进行控制。
●不确定性模型误差以及机械传动间隙，各种阻力带来实际系统的不确定性。
实际控制中一般通过减少各种误差降低不确定性，如施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定性因素。
●耦合性倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。
●开环不稳定性倒立摆的平衡状态只有两个，即垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定平衡点，垂直向下为稳定平横点。
●约束限制由于机构的限制，如运动模块的行程限制，电机力矩限制等。
为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机的功率尽量要求最小。
行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车撞边现象[22]。
2.2 一阶倒立摆数学模型倒立摆系统是典型的运动的刚性系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。
下面分别采用牛顿力学方法和拉格朗日方法建立直线型一级，二级倒立摆系统的数学模型。
2.2.1 一级倒立摆物理模型在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线型一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2.1所示：皮带轮图2.1 单级倒立摆系统物理模型2.2.2 一级倒立摆数学模型 各符号代表的意义及相关的数值：表2.1 一级倒立摆参数表参 数 参数意义 参数值 M 小车质量 1.096Kg m 摆杆质量 0.13Kg b 小车摩擦系数0.1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m I 摆杆转动惯量 0.0034Kg*m*mf 加到小车上的力 x小车位置φ摆杆与竖直向上方向的夹角通过对系统中小车和摆杆进行受力分析，分别可得到以下运动方程：2()cos sin F M m x bx ml ml θθθθ=++-+ (2.1) 22()sin cos 2sin (sin cos )I ml mgl mlx ml θθθθθθθθ+-=++ (2.2)22222cos sin cos 2sin sin 2sin cos M m ml x F bx ml ml ml I ml mgl ml θθθθθθθθθθ+-⎛⎫--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2.3) 2.3 二阶倒立摆数学模型2.3.1 二级倒立摆物理模型如图2.3所示为直线型二级倒立摆物理模型皮带轮图2.3二级倒立摆系统的物理模型倒立摆装置主要由沿导轨运动的小车和固定到小车上的两个摆体组成。
倒立摆的控制算法研究
倒立摆的控制算法研究倒立摆是一种常见的控制系统，它由一个垂直的柱子和一个连接在柱子上的摆组成，摆的长度和重量可以不同。
倒立摆的目的是通过控制柱子上的电机来保持摆的平衡。
由于其简单的结构和容易理解的物理规律，倒立摆被广泛应用于控制系统的研究和教学领域。
本文将对倒立摆的控制算法进行研究和讨论。
一、倒立摆的动力学模型在控制倒立摆之前，我们需要了解倒立摆的动力学模型。
可以将倒立摆的动力学模型建模为一个非线性系统。
其中，摆的角度相当于系统的状态，而摆的角度速度则是系统的输入。
通过运用牛顿第二定律和动量守恒原理，可以得出如下的倒立摆动力学模型：$\begin{cases} \dot \theta = \omega \\ \dot \omega = -\dfrac{g}{l} \sin(\theta) -\dfrac{c}{Ml^2} \omega + \dfrac{u}{Ml^2} \end{cases}$其中，$\theta$表示摆的角度，$\omega$表示摆的角速度，$u$表示电机输出的控制力，$g$表示重力加速度，$l$表示摆的长度，$M$表示摆的质量，$c$表示阻尼系数。
二、经典的PID控制算法经典的PID控制算法是控制倒立摆的一种常见方法。
它由比例控制器、积分控制器和微分控制器组成。
这三种控制器的作用分别是输出和输入的误差乘以比例系数、积分系数和微分系数的和，并将这个和作为电机输出的控制力。
以比例控制器为例，假设倒立摆的目标位置为$\theta_d$，当前位置为$\theta$，比例系数为$K_p$。
则比例控制器的输出为：$u = K_p(\theta_d - \theta)$将其代入倒立摆的动力学模型中，则可以进行模拟计算，以求出控制器的性能指标。
三、模型预测控制算法模型预测控制是一种先进的控制算法，它不仅考虑到当前状态的误差，还考虑到未来状态的误差。
由于倒立摆是一个非线性系统，经典的PID控制算法无法很好地解决这个问题。
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倒立摆倒立摆百度文库解释：倒立摆系统的输入为小车的位移（即位置）和摆杆的倾斜角度期望值，计算机在每一个采样周期中采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。
直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。
作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。
当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。
为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。
倒立摆系统简介倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。
最初研究开始于二十世纪50 年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。
近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。
倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。
由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。
平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。
倒立摆分类倒立摆已经由原来的直线一级倒立摆扩展出很多种类，典型的有直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆和复合倒立摆等，倒立摆系统是在运动模块上装有倒立摆装置，由于在相同的运动模块上可以装载不同的倒立摆装置，倒立摆的种类由此而丰富很多，按倒立摆的结构来分，有以下类型的倒立摆：1) 直线倒立摆系列直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件，可以组成很多类别的倒立摆，直线柔性倒立摆和一般直线倒立摆的不同之处在于，柔性倒立摆有两个可以沿导轨滑动的小车，并且在主动小车和从动小车之间增加了一个弹簧，作为柔性关节。
直线倒立摆系列产品如图1-1 所示。
2) 环形倒立摆系列环形倒立摆是在圆周运动模块上装有摆体组件，圆周运动模块有一个自由度，可以围绕齿轮中心做圆周运动，在运动手臂末端装有摆体组件，根据摆体组件的级数和串连或并联的方式，可以组成很多形式的倒立摆。
如图1-2所示。
3) 平面倒立摆系列平面倒立摆是在可以做平面运动的运动模块上装有摆杆组件，平面运动模块主要有两类：一类是XY 运动平台，另一类是两自由度SCARA 机械臂；摆体组件也有一级、二级、三级和四级很多种。
如图1-3 所示4) 复合倒立摆系列复合倒立摆为一类新型倒立摆，由运动本体和摆杆组件组成，其运动本体可以很方便的调整成三种模式，一是2)中所述的环形倒立摆，还可以把本体翻转90 度，连杆竖直向下和竖直向上组成托摆和顶摆两种形式的倒立摆。
按倒立摆的级数来分：有一级倒立摆、两级倒立摆、三级倒立摆和四级倒立摆，一级倒立摆常用于控制理论的基础实验，多级倒立摆常用于控制算法的研究，倒立摆的级数越高，其控制难度更大，目前，可以实现的倒立摆控制最高为四级倒立摆。
图1-1直线倒立摆系列图1-2环形倒立摆系列图1-3平面倒立摆系列图1-4复合倒立摆倒立摆的特性虽然倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性:1) 非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制。
也可以利用非线性控制理论对其进行控制。
倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。
2) 不确定性主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差来降低不确定性，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。
3) 耦合性倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。
4) 开环不稳定性倒立摆的平衡状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。
5) 约束限制由于机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。
为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车的撞边现象。
控制器设计方法控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定并且可以承受一定的干扰，需要给系统设计控制器，目前典型的控制器设计理论有：PID 控制、根轨迹以及频率响应法、状态空间法、最优控制理论、模糊控制理论、神经网络控制、拟人智能控制、鲁棒控制方法、自适应控制，以及这些控制理论的相互结合组成更加强大的控制算法。
第3章直线倒立摆建模、仿真及实验直线一级倒立摆的物理模型系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。
实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。
这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。
机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。
对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。
但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。
下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法和拉格朗日方法分别建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。
微分方程的推导1）牛顿力学方法在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图3-1 所示。
我们做以下假设：M——小车质量m——摆杆质量b——小车摩擦系数l——摆杆转动轴心到杆质心的长度I——摆杆惯量F——加于小车的外力x——小车位置——摆杆与垂直向上方向的夹角N——小车与摆杆相互作用力在水平方向的分量P——小车与摆杆相互作用力在垂直方向的分量图3-1直线一级倒立摆模型图3-2小车及摆杆受力分析222222M x=F-bx-N (3-1)(sin )(3-2)cos sin (3-3)(3-1)(M +m )x+bx-m l cos sin (3-4)(cos )(3-5)d x l dtm l m l F d l dtφφφφφφφφφφφ-++=- 水平方向上，对小车：对摆杆：N=m 即：N=mx-ml 代入，得第一个运动方程摆杆竖直方向上：P-mg=m 即：P-mg=ml 2sin cos (3-6)Pl sin cos (3-7) (3-3) (3-6) (3-7)sin cos (3-8)1cos 1,sin 0m l N l I m gl m lx u φφφφφφφφφφφφ++=-=<<== 2力矩平衡方程：由，，可得第二个运动方程：(I+ml )由于，有；用代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程为：x()x x-ml mgl ml M m b u φφφ-=++= 2(I+ml ) （3-9）拉普拉斯变换为（初始条件为0）：2222()()()()()()()()s s mgl s mlX s sM m X x s bX s s ml s s U s Φ-Φ=++-Φ=2(I+ml ) （3-10）求解（3-10）的第一个方程：2222222422() (3-11)()())()()()()() (3-12)() (3-13)()()()q s m lsX s I m l s m gls s b s s m l s s U s m lss qb I m l M m m glbm gl U s s s s sqqqΦ=+-Φ++Φ-Φ=Φ=+++--222把上式代入方程组的第二个方程，得：I+ml g I+ml g (M+m)(-mlsmls整理化解后得传递函数：其中2222=(M +m )(I+m l )-(m l)x () (3-14)()()v s m lV s I m l s m gl=Φ=+- 若令，有：系统状态空间方程为：XAX Bu y C X D u=+=+对两个运动方程求解：2222222222()()()()()()()()x x I m l b m glI m lx xuI M m M m lI M m M m lI M m M m lm lb m gl M m m lxuI M m M m lI M m M m lI M m M m lφφφφφ=-++=++++++++=-+=++++++++整理的系统状态空间方程：222220 1 0 0-(I+m l )b m 0 0I(M +m )+M m l ()0 0 0 x gl x I M m M m l φφ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 22222() 1 0-m lb m gl(M +m )0 0I(M +m )+M m l ()()1 0 0 00 0 1 0x I m l x I M m M m lu m l I M m M m l I M m M m l x x x y φφφ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 00u φφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦对质量均匀分布的摆杆有：213I m l =于是求解（3-9）得：33=44g x l lφφ+{},,,,,0010100X x x u x xx x x u x x x y φφφφφφφφφ'==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦设则有1 0 00 0 0 00 0 0 13g 30 0 04l 4l 0 0 00 0 1 0u ⎡⎤'⎢⎥⎣⎦拉格朗日方法：。