直线一级倒立摆建模与控制

clear all; clc; num = [1 1]; den = [1 2 1 3]; G = tf(num, den);
b、在SISO界面中使用“File|Import”命令导入被控对象模型，如下图。
SISO设计平台使用简介（实例）
c、使用SISO界面的“Analysis”选项框中的命令即可对被控对象进行响 应曲线分析。添加控制器前对象的闭环单位响应曲线如下图（只需显示 闭环输出曲线，屏蔽误差曲线）。
状态空间极点配置实物控制
双击“LQR Controller”,在界面中输入通过仿真测试的4个闭环极点对 应的反馈增益。进行实物控制，记录并分析控制效果。
参考闭环极点：-10，-10，-2+5j，-2-5j。
倒立摆系统状态空间模型
以小车加速度为输入，摆杆角度、小车位移为输出，选取状 态变量
X x, x, ,
由


I ml mgl mlx
2
得出系统的状态空间模型（参考）：
0 x x 0 X 0 0
1 0 0 0
x 1 0 y 0 0
0 0 x 1 0 0 x 0 1 0 u 3g 3 0 4l 4l x 0 0 0 x u 1 0 0 0
mg

xV

xH

摆杆受力和力矩分析
V
H
正方向
mg

xV

xH

(1) 摆杆水平方向受力 H (2) 摆杆竖直方向受力 (3) 摆杆力矩平衡
V
代入
V、H ，得摆杆运动方程。 0 时， cos 1 、sin
Hl cos Vl sin I
以小车加速度为输入、摆杆角度为输出时，倒立摆系统的传递函数模 型（参考）： 0.02725
G s 0.0102125s 2 0.26705
以小车加速度为输入，摆杆角度、小车位移为输出时，倒立摆系统的 状态空间模型模型（参考）：
x 0 x 0 X 0 0 1 0 0 0 0 x 0 x 1 0 u 0 1 0 29.4 0 3 x 0 0 0 x u 1 0 0 0 0
双击“Controller1”，输入选取的4个闭环极点对应的增益，运行仿真后双击 “Scope1”观测响应曲线，其中小车位置应该很好的收敛到0.01，小车速度、摆杆角
度和角速度应该收敛到0。若响应曲线效果不好则需重新选取闭环极点。
状态空间极点配置实物控制
选取了合适的4个闭环极点并通过了仿真测试后即可进行倒立摆系统实物控制。 进入 MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打 开 “Inverted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP Swing-Up Control”中的“Swing-Up Control Demo，如下图。
SISO设计平台使用简介（实例）
d、使用SISO界面的 PID形式。 添加零、极点，使补偿器C为
KD s2 KP s KI 1 CPID s K P K I K D s s s 通过拖拽SISO界面添加的零极点，同时观察单位阶跃输入时的闭环 响应曲线，寻找合适的P、I、D参数。设合适的补偿器和响应曲线如下图。
状态空间极点配置仿真控制
参考上述实例，选取倒立摆系统的4个闭环极点，进入 MATLAB Simulink 实时 控制工具箱“Googol Education Products”打开“Inverted Pendulum\Linear Inverted Pendulum\Linear 1-Stage IP Experiment\ Poles Placement Experiments”中的“Poles Control Simulink”，如下图。
x 1 0 y 0 0
2、基于SISO设计平台的PID控制器设计与调节
PID整定说明： （1）比例（P作用）增大，系统响应快，对提高稳态精度有益，但过大 易引起过度的振荡，降低相对稳定性。 （2）微分（D作用）对改善动态性能和抑制超调有利，但过强，即校正 装置的零点靠近原点或者使开环的截止频率增大，不仅不能改善动态性 能，反而易引入噪声干扰。 （3）积分（I作用）主要是消除或减弱稳态误差，但会延长调整时间， 参数调整不当会容易振荡。
，线性化运动方程。
倒立摆系统单输入-单输出传递函数模型
线性化后运动方程（参考）：
I ml mgl mlx
2
以小车加速度为输入、摆杆角度为输出，令
ax
拉普拉斯变换后系统传递函数模型（参考）：
s ml G s A s I ml 2 s 2 mgl
状态空间极点配置控制实例 第一步： rank b Ab 2 ，受控系统状态完全能控。 第二步：受控系统中引入状态反馈向量K。
K k1 , k2
引入状态反馈向量后系统特征多项式为
f K s sI A bK s 20 20 k1 1 k2 s
正确选择这三种作用的方法简单地可归纳成：单靠提高P作用不能满 足动态指标时，可考虑加入D作用。加入D作用后应适当减小P作用，两者 相互配合，在SISO Design Tool上极容易观察到这个调整过程所产生的 效果。一般来讲，应先满足动态性能，在此基础上，如达不到稳态指标， 才考虑加入I作用。
SISO设计平台使用简介
直线一级倒立摆建模与控制
一、实验目的 1. 掌握从机理建立系统模型的方法。 2. 掌握PID控制器设计与调节的方法。 3. 掌握状态空间极点配置控制方法。
二、实验内容
1、直线一级倒立摆建模 针对直线一级倒立摆，在实际的模型建立过程中，可忽 略空气流动阻力和其它次要的摩擦阻力，则倒立摆系统抽象 成小车和匀质刚性杆组成的系统，如图所示。
倒立摆系统PID控制
获得适合的P、I、D参数后参考“倒立摆PID实物控制”pdf文档，进 行倒立摆PID控制，记录并分析控制效果。
3、状态空间极点配置控制（参考教材：《现代控制理论》） 实例 设受控系统状态空间模型：
x Ax bu y cx
其中
x1 x1 20 20 0 x , x , A , b , c 1 0 1 0 1 x2 x2
各参数定义

m, l , I
M ：小车Байду номын сангаас量； m ：摆杆质量
：小车摩擦系数

F
M

x
：摆杆转动轴心到杆质心的长度 ：摆杆惯量 ：加在小车上的力； ：小车位置； ：摆杆与垂直向上方向的夹角 ：摆杆与垂直向下方向的夹角
l I F x
小车、摆杆受力矢量定义
H
V
V
正方向
x
Mg
F
x
x x
H
正方向
倒立摆系统参数值
参数值： M = 1.096; m = 0.109; = 0.1; g = 9.8; l = 0.25; I = 0.0034; % % % % % % 小车质量，Kg 摆杆质量，Kg 小车摩擦系数 重力加速度，m/s^2 摆杆转动轴心到杆质心的长度，m 摆杆转动惯量，Kg/m^2
期望特征多项式为
s 2 k2 20 s 20 k1 k2 1
* 由设计者选取，考虑“引入状态反馈向量后系统特 1*、2
* f * s s 1* s 2 =s2 (1* 2* )s 1*2*
征多项式”和“期望特征多项式”的系数相等即可求出状态反 馈向量。
在MATLAB中，提供了单输入单输出系统仿真的图形工具SISO Design Tool，可方便的获得系统的根轨迹图和伯德图，以及添加零极点改善系 统的性能。 在MATLAB命令窗口中输入“SISOTOOL”即可打开设计界面，如下图。
SISO设计平台使用简介（实例）
a、在MATLAB命令窗口中输入被控对象的模型，如：