单级倒立摆经典控制系统
单级倒立摆经典控制系统
摘要：倒立摆控制系统虽然作为热门研究课题之一，但见于资料上的大多采用现代控制方法，本课题的目的就是要用经典的方法对单级倒立摆设计控制器进行探索。本文以经典控制理论为基础，建立小车倒立摆系统的数学模型，使用PID控制法设计出确定参数(摆长和摆杆质量)下的控制器使系统稳定，并利用MATLAB软件进行仿真。
关键词：单级倒立摆；经典控制；数学模型；PID控制器；MATLAB 1绪论
自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。它的发展初期，是以反馈理论为基础的自动调节原理，并主要用于工业控制。
控制理论在几十年中，迅速经历了从经典理论到现代理论再到智能控制理论的阶段，并有众多的分支和研究发展方向。
1.1经典控制理论
控制理论的发展，起于“经典控制理论”。早期最有代表性的自动控制系统是18世纪的蒸汽机调速器。20世纪前，主要集中在温度、压力、液位、转速等控制。20世纪起，应用范围扩大到电压、电流的反馈控制，频率调节，锅炉控制，电机转速控制等。二战期间，为设计和制造飞机及船用自动驾驶仪、火炮定位系统、雷达跟踪系统及其他基于反馈原理的军用装备，促进了自动控制理论的发展。
至二战结束时，经典控制理论形成以传递函数为基础的理论体系，主要研究单输入-单输出、线性定常系统的分析问题。经典控制理论的研究对象是线性单输入单输出系统，用常系数微分方程来描述。它包含利用各种曲线图的频率响应法和利用拉普拉斯变换求解微分方程的时域分析法。这些方法现在仍是人们学习控制理论的入门之道。
1.2倒立摆
1.2.1倒立摆的概念
图1 一级倒立摆装置
倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。如杂技演员顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统，是一个复杂、多变量、存在严重非线性、非自治不稳定系统。
常见的倒立摆系统一般由小车和摆杆两部分构成，其中摆杆可能是一级、两级甚至多级。在复杂的倒立摆系统中，摆杆长度和质量均可变化。据研究的目的和方法不同，又有悬挂式倒立摆、球平衡系统和平行式倒立摆等。
1.2.2研究倒立摆稳定性的意义
倒立摆的研究具有重要的工程背景。机器人行走就类似倒立摆系统。从日常生活中所见到的任何重心在上、也是支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服云台的稳定，都和倒立摆系统的稳定控制有很大相似性，故对其稳定控制在实际中有很多用场，如海上钻井平台的稳定控制、卫星发射架的稳定控制、火箭姿态控制、飞机安全着陆、化工过程控制等。
2单级倒立摆的数学模型
2.1模型的推导原理
建立控制系统的数学模型有两种基本方法。其一，对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律或化学规律分别列写相应的运动方程，合在一起便成为描述整个系统的方程。其二，人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近。主要用于系统运动机理复杂因而不便分析或不可能分析的情况。
系统的建模原则：
1、建模之前，要全面了解系统的自然特征和运动机理，明确研究目的和准确性要求，选择合适的分析方法。
2、按照所选分析法，确定相应的数学模型的形式；
3、根据允许的误差范围，进行准确性考虑，然后建立尽量简化的合理的数学模型。
倒立摆的形状较为规则，而且是一个绝对不稳定系统，无法通过测量频率特性方法获取其数学模型。故适合用数学工具进行理论推倒。
2.2单级倒立摆系统描述
小车—倒立摆系统是各种控制理论的研究对象。只要一提小车—倒立摆系统，一般均认为其数学模型也已经定型。事实上，小车—倒立摆的数学模型与驱动系统有关，常见到的模型只是对应于直流电机的情况，如果执行机构是交流伺服电机，就不是这个模型了。本文主要分析由直流电机驱动的小车—倒立摆系统。小车倒立摆系统是检验控制方式好坏的一个典型对象，其特点是高阶次、不稳定、非线性、强耦合，只有采取有效的控制方式才能稳定控制。
图2 单级倒立摆系统的原理图
图中u是施加于小车的水平方向的作用力，x是小车的位移，θ是摆的倾斜角。若不给小车施加控制力，倒摆会向左或向右倾斜，控制的目的是当倒摆出现偏角时，在水平方向上给小车以作用力，通过小车的水平运动，使倒摆保持在垂直的位置。即控制系统的状态参数，以保持摆的倒立稳定。
2.3单级倒立摆系统数学建模
为了建立倒立摆系统的数学模型，先作如下假设:①倒立摆与摆杆均为匀质刚体。②可忽略摆与载体，载体与外界的摩擦，即忽略摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦力等。
2.3.1结构参数
倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它的上面，它将随时可能向任何方向倾倒。这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2所示平面内运动。控制力u作用于小车上。摆杆长度为2L，质量为m，小车的质量为M，小车瞬时位移为x，摆杆瞬时位置为
（x+2L*sinθ），在外力的作用下，系统产生运动。假设摆杆的重心位于其几何中心。设输入为作用力u，输出为摆角θ。
2.3.2系统的运动方程
图3 小车沿x轴的受力分析图4 摆的受力分析
小车沿x轴方向的受力分析如图4所示，根据牛顿第二定律得
方程⑴⑵⑶⑷为车载倒立摆系统运动方程组。因为含有项，所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。2.4单级倒立摆系统模型的线性化处理及传递函数
3单级倒立摆控制系统原理
3.1线性系经统的校正方法
所谓校正，就是在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。按照校正装置在系统中的连接方式，控制系统校正方式可分为串联校正、反馈校正和复合校正四种。根据被控对象及技术指标要求这里采用串联校正。
3.2基本控制定律
确定校正装置的具体形式时，应先了解校正装置所提供的控制规律，以便选择相应的元件。包含校正装置在内的控制器，常常采用比例、微分、积分等基本控制规律，或者采用这些基本控制规律的某种组合，如比例－微分、比例－积分、比例－积分－微分等组合控制规律，以实现对被控对象的有效控制。比例--微分—微分（P ID）控制定律
具有比例—积分—微分控制规律的控制器，称PID控制器。这种组合具有三种基本控制规律各自的特点，其运动方程为
当利用PID控制器进行串联校正时，除可使系统的型别提高一级外，还将提供两个负实零点。与PI控制器相比，除了同样具有提高系统的稳态性能的优点外，还多提供了一个负实零点，从而在提高系统动态性能方面，具有更大的优越性。因此，在工业过程控制系统中，广泛使用PID控制器。PID控制器各部分参数的选择，在系统现场调试中最后确定。通常，应使I部分发生在系统频率特性的低频段，以提高系统的稳态性能；而使D部分发生在系统频率特性的中频段，以改善系统的动态性能。本系统采用即为PID控制器。
3.3PID控制
3.3.1.1PID控制器的结构
所有的PID控制器都有可以分解成给定值控制单元，PID作用单元及手动/自动转换单元等三个主要单元，如图6所示。图中，给定值单元①接收工业控制过程的测量量c，以及控制装置的给定值。PID作用单元②接受给定值控制单元产生的误差信号e，并按给定控制律算出闭环控制信号。手动/自动单元③在“自动A位置时，将PID单元的输出信号送入工业过程，此时工业过程在闭环中受到控制；而在“手动M位置时，把用户直接在控制器上调整手动输出信号送至工业过程，于是系统采用开环控制方式。
图5 PID控制器原理性结构3.3.1.2PID控制器的使用
实用PID控制器的传递函数可以表示为
PID单元的原理电路如图7所示。
图6 PID单元原理电路4单级倒立摆的系统控制器设计
4.1系统的控制校正设计
控制系统的目的是使系统动态稳定，即保持倒立摆在垂直的位置，使小车在外力作用下其位移以较小的误差跟随输入的变化。由于系统的
动态响应主要是由它的极点位置决定的，而假如系统是状态完全能控的，即可使系统得到良好的动态性能。
我们在第2.4节中对单级倒立摆系统模型的进行了线性化并推导出了其传递函数。本课题将采用PID控制法为系统设计控制器。
设原系统小车的质量M＝2.00kg，摆的质量m＝0.20kg，摆长
2L=0.80m，重力加速度
4.2利用MATLAB的系统仿真
进入MATLAB的工作环境之后，通过键盘输入MATLAB命令，便可以执行相应的操作了，这与DOS的操作十分接近。如，通过下面的
MATLAB程序即可获得G (s)的单位阶跃响应及极零点分布。（见图7）
图7 G (s)的单位阶跃响应及极零点分布>> s=tf('s') Transfer function:
s
>> sys=tf(-1，[1 0 29.6964])
Transfer function:
-1
----------
s^2 + 29.7
>>step(sys)
>>pzmap(sys)
4.3仿真结果的修正与分析
本实验采用MATLAB软件进行仿真实验，进一步验证了PID控制器中各个参数对系统的稳定性和动态性能的影响，在大量的仿真结果中进行比较和挑选，同时根据调节时间<3s的设计要求，最后确定PID 控制器的各参数分别为：微分时间系数=1，积分时间系数T =1，比例系数K =20。则系统的闭环传递函数为（系统的闭环传递函数的单位阶跃响应为图8）：
20 s^2 + 20 s + 20
------------------------
s^3 + 23 s^2 + 25 s + 20
图8 的单位阶跃响应
结论
倒立摆系统的控制研究长期以来被认为是控制理论极其应用领域里引起人们极大兴趣的问题。它是检验各种控制理论和方法的有效性的著名实验装置，作为一个高阶、非线性、不稳定系统，倒立摆的稳定控制相当困难，对该领域的学者来说是一个极具挑战性的难题。本文以经典控制理论为基础，建立了小车倒立摆系统的数学模型，使用PID控制法设计出确定参数下的控制器使系统稳定。本实验采用MATLAB软件进行仿真实验，进一步验证了PID控制器中各个参数对系统的稳定性和动态性能的影响，在大量的仿真结果中进行比较和挑选，同时根据调节时间<3s的设计要求，最后确定PID控制器的各参数值，通过MATLAB软件的仿真可知，单级倒立摆的经典控制可以实现。
单级倒立摆系统的分析与设计
单级倒立摆系统的分析与设计 小组成员：武锦张东瀛杨姣 李邦志胡友辉 一．倒立摆系统简介 倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似性，因而对其研究具有重大的理论和实践意义。由于倒立摆系统本身所具有的上述特点，使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。 单级倒立摆系统（Simple Inverted Pendulum System）是一种广泛应用的物理模型，其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节运动等有很多相似之处，因而对倒立摆系统平衡的控制方法在航空及机器人等领域有着广泛的用途，倒立摆控制理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器入技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。 倒立摆仿真或实物控制实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案。最初研究开始于二十世纪50年代，单级倒立摆可以看作是一个火箭模型，相比之下二阶倒立摆就复杂得多。1972年，Sturgen等采用线性模拟电路实现了对二级倒立摆的控制。目前，一级倒立摆控制的仿真或实物系统已广泛用于教学。 二．系统建模 1．单级倒立摆系统的物理模型 图1：单级倒立摆系统的物理模型
单级倒立摆系统是如下的物理模型：在惯性参考系下的光滑水平平面上，放置一个可以在平行于纸面方向左右自由移动的小车（cart ），一根刚性的摆杆（pendulum leg ）通过其末端的一个不计摩擦的固定连接点（flex Joint ）与小车相连构成一个倒立摆。倒立摆和小车共同构成了单级倒立摆系统。倒立摆可以在平行于纸面180°的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的摄动下摆杆仍然保持竖直向上状态。在小车静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆受到微小的摄动时就会发生不可逆转的破坏而使倒立摆无法复位，这时必须使小车在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。依照惯性参考系下的牛顿力学原理，作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，单级倒立摆系统是一个非线性系统。 各个参数的物理意义为： M — 小车的质量 m — 倒立摆的质量 F — 作用到小车上的水平驱动力 L — 倒立摆的长度 x — 小车的位置 θ— 某一时刻摆角 整个倒立摆系统就受到重力、驱动力和摩擦阻力的三个外力的共同作用。这里，驱动力F 是由连接小车的传动装置提供，控制倒立摆的稳定实际上就是依靠控制驱动力F 使小车在水平面上做与倒立摆运动相关的特定运动。为了简化模型以利于仿真，假设小车与导轨以及摆杆与小车铰链之间的摩擦均为0。 2．单级倒立摆系统的数学模型 令小车的水平位移为x ，运动速度为v ，加速度a 。 小车的动能为212kc E Mx =，选择特定的参考平面使得小车的势能为0。 摆杆的长度为L ，某时刻摆角为θ，在摆杆上与固定连接点距离为q （0 一级倒立摆控制方法比较 摘要：倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的自然不稳定系统。针对一级倒立摆系统，首先利用牛顿力学的知识建立了数学模型，然后利用Simulink 及其封装功能建立倒立摆的仿真模型，使模型更具灵活性，给仿真带来很大方便。根据状态方程判断系统的能控、能观性。通过LQR控制算法和极点配置设计控制器使系统达到稳定状态，分析两种方法的优缺点，并利用Matlab仿真加以证实。 关键词：倒立摆; LQR ;极点配置 ;Matlab DISCUSSION ON CONTROLOF INVERTED PENDULUM Abstract：the inverted pendulum system is a typical multi-variable, nonlinear, strong coupling and rapid movement of the natural unstable system. According to the level of inverted pendulum system, firstI make use of Newtonian mechanics knowledge to establishthe mathematical model, and use the Simulink and packaging function to establish inverted pendulum simulation model.The model is more flexibility, bringing a lot of convenience for simulation. By the equation of state, controllability and observablityof system can be sure. Designing the LQR control algorithm and pole-place makes the system stable state, analyzes the advantages and disadvantages of two methods confirmed through the simulation of MATLAB. Key words：Inverted pendulum ;LQR ;pole-place ;Matlab 0引言 倒立摆系统作为研究控制理论的一种典型的实验装置，具有成本低廉，结构简单，物理参数和结构易于调整的优点。研究倒立摆系统具有很强的理论意义，同时也具有深远的实践意义。许多抽象的控制概念如稳定性、能控性和能观性，都可以通过倒立摆系统直观地表现出来。希望对倒立摆的研究能够加深对控制理论的了解，为后面学习奠定坚实的基础。 倒立摆[1]的稳定控制主要可分为线性控制和智能控制两大类，下面分别对其归纳介绍。 1）线性理论控制方法 应用线性控制方法的基本前提是倒立摆处在平衡点附近，偏移很小时，系统可以用 一级倒立摆的系统分析 一、倒立摆系统的模型建立 如图1-1所示为一级倒立摆的物理模型 图1-1 一级倒立摆物理模型 对于上图的物理模型我们做以下假设： M：小车质量 m：摆杆质量 b：小车摩擦系数 l：摆杆转动轴心到杆质心的长度 I：摆杆惯量 F：加在小车上的力 x：小车位置 ?：摆杆与垂直向上方向的夹角 θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图1-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆 杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：实际倒立摆系统中的检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。 图1-2 小车及摆杆受力分析 分析小车水平方向受力，可以得到以下方程： M x?＝Ｆ-ｂx?-Ｎ (1-1) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到以下方程： N =m d 2dt (x +l sin θ) (1-2) 即： N =mx?+mlθcos θ?mlθ2sin θ (1-3) 将这个等式代入式（1-1）中，可以得到系统的第一个运动方程： (M +m )x?+bx?+mlθcos θ?mlθ2sin θ=F (1-4) 为推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得出以下方程： P ?mg =m d 2dt 2 (l cos θ) (1-5) P ?mg =? mlθsin θ?mlθ2cos θ (1-6) 利用力矩平衡方程可以有： ?Pl sinθ?Nl cosθ=Iθ (1-7) 注意：此方程中的力矩方向，由于θ=π+?，cos?=?cosθ，sin?=?sinθ，所以等式前面含有负号。 合并两个方程，约去P和N可以得到第二个运动方程： (I+ml2)θ+mgl sinθ=?mlx?cosθ (1-8) 设θ=π+?，假设?与1（单位是弧度）相比很小，即?＜＜1，则 可以进行近似处理：cosθ=?1，sinθ=??，（dθ dt ） 2 =0。用u来 代表被控对象的输入力F，线性化后的两个运动方程如下： {(I+ml2)??mgl?=mlx? (M+m)x?+bx??ml?=u (1-9) 假设初始条件为0，则对式（1-9）进行拉普拉斯变换，可以得到： {(I+ml2)Φ(s)s2?mglΦ(s)=mlX(s)s2 (M+m)X(s)s2+bX(s)s?mlΦ(s)s2=U(s) (1-10) 由于输出为角度?，求解方程组的第一个方程，可以得到： X(s)=[(I+ml2) ml ?g s ]Φ(s) (1-11) 或改写为：Φ(s) X(s)=mls2 (I+ml2)s2?mgl (1-12) 如果令v=x?,则有：Φ(s) V（s）=ml (I+ml2)s2?mgl (1-13) 如果将上式代入方程组的第二个方程，可以得到： (M+m)[(I+ml2) ml ?g s ]Φ(s)s2+b[(I+ml2) ml +g s ]Φ(s)s?mlΦ(s)s2= U(s) (1-14) 整理后可得传递函数： Φ(s) U(s)= ml q s2 s4+b(I+ml 2) q s3?(M+m)mgl q s2?bmgl q s (1-15) 单级倒立摆控制系统设计及simulink仿真 摘要：倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强藕合和快速运动的自然不稳定系统。因此倒立摆在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果己经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。单级倒立摆系统是一种广泛应用的物理模型。控制单级倒立摆载体的运动是保证倒立摆稳定性的关键因素。为了避免常用的物理反馈分析方法和运动轨迹摄像制导控制方法的某些缺点，本文从力学的角度提出对倒立摆的运动进行纯角度制导分析，完成了对倒立摆载体的角度制导运动微分方程的数学建模，设计了该模型的模糊控制系统，并利用Matlab\simulink软件工具对倒立摆的运动进行了计算机仿真。实验表明，这种模糊控制配合代数解析方法的运算速度和计算机仿真的效果均较物理反馈制导控制方法有了一定的提高。该方法可以有效地改善单级倒立摆控制系统的性能。本论文的主要工作是研究了直线一级倒立摆系统的模糊控制问题，用Matlab和Simulink对一级倒立摆模糊控制系统进行了仿真，验证了设计的可行性。本文论述了一级倒立摆数学建模方法，推导出他们的微分方程，以及线性化后的状态方程。讨论了单级倒立摆系统的模糊控制方法和操作步骤。用Simulink实现了单级倒立摆模糊控制仿真系统，分别给出一级倒立摆系统控制量的响应曲线。通过仿真说明控制器的有效性和实现性。关键词：单级倒立摆；仿真；模糊控制；运动；建模；Simulink Design of single stage inverted pendulum control system and Simulink simulation Abstract: inverted pendulum system is unstable system with a typical multi variable, nonlinear, strong coupled and fast motion. So the research on the attitude adjustment of the double foot robot and the attitude adjustment of the rocket launching process and the helicopter flight control field have practical,significance. The related scientific research achievements have been applied to many fields such as aerospace science and robotics. Single inverted pendulum system is a widely used physical model. Controlling the movement of the single inverted pendulum is the key factor to guarantee the stability of the inverted pendulum. In order to avoid some shortings of mon physical feedback analysis method and motion trajectory camera guidance control method, this paper presents a pure angle guidance analysis on the motion of the inverted pendulum, and designs the 一阶直线倒立摆系统 姓名： 班级： 学号： 目录 摘要 (3) 第一部分单阶倒立摆系统建模 (4) （一）对象模型 (4) （二）电动机、驱动器及机械传动装置的模型 (6) 第二部分单阶倒立摆系统分析 (7) 第三部分单阶倒立摆系统控制 (11) （一）内环控制器的设计 (11) （二）外环控制器的设计 (14) 第四部分单阶倒立摆系统仿真结果 (16) 系统的simulink仿真 (16) 摘要： 该问题源自对于娱乐型”独轮自行车机器人”的控制，实验中对该系统进行系统仿真，通过对该实物模型的理论分析与实物仿真实验研究，有助于实现对独轮自行车机器人的有效控制。 控制理论中把此问题归结为“一阶直线倒立摆控制问题”。另外，诸如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制、海上钻井平台的稳定控制、飞机安全着陆控制等均涉及到倒立摆的控制问题。 实验中通过检测小车位置与摆杆的摆动角，来适当控制驱动电动机拖动力的大小，控制器由一台工业控制计算机（IPC）完成。实验将借助于“Simulink封装技术——子系统”，在模型验证的基础上，采用双闭环PID控制方案，实现倒立摆位置伺服控制的数字仿真实验。实验过程涉及对系统的建模、对系统的分析以及对系统的控制等步骤，最终得出实验结果。仿真实验结果不仅证明了PID方案对系统平衡控制的有效性，同时也展示了它们的控制品质和特性。 第一部分单阶倒立摆系统建模 （一） 对象模型 由于此问题为”单一刚性铰链、两自由度动力学问题”，因此，依据经典力学的牛顿定律即可满足要求。 如图1.1所示，设小车的质量为0m ，倒立摆均匀杆的质量为m ，摆长为2l ，摆的偏角为θ，小车的位移为x ，作用在小车上的水平方向上的力为F ，1O 为摆杆的质心。 图1.1 一阶倒立摆的物理模型 根据刚体绕定轴转动的动力学微分方程，转动惯量与角加速度乘积等于作用于刚体主动力对该轴力矩的代数和，则 1）摆杆绕其重心的转动方程为 sin cos y x l F J F l θθθ=-&& （1-1） 2）摆杆重心的水平运动可描述为 2 2(sin )x d F m x l dt θ=+ （1-2） 3）摆杆重心在垂直方向上的运动可描述为 2 2(cos )y d F mg m l dt θ-= （1-3） 4）小车水平方向运动可描述为 202x d x F F m dt -= （1-4） 摘要：倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强藕合和快速运动的自然不稳定系统。因此倒立摆在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果己经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。 本文围绕一级倒立摆系统，采用模糊控制理论研究倒立摆的控制，先是理论上的计算，然后建模，最后在MATLAB/Simulink下仿真，验证了可行性。 关键词：倒立摆，模糊控制，MATLAB仿真 第一章绪论 1．1 倒立摆系统的重要意义 倒立摆系统是研究控制理论的一种典型实验装置，具有成本低廉，结构简单，物理参数和结构易于调整的优点，是一个具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强藕合特性的不稳定系统。在控制过程中，它能有效地反映诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等许多控制中的关键问题，是检验各种控制理论的理想模型。迄今人们已经利用经典控制理论、现代控制理论以及各种智能控制理论实现了多种倒立摆系统的控制稳定。倒立摆主要有：有悬挂式倒立摆、平行倒立摆、环形倒立摆、平面倒立摆；倒立摆的级数有一级、二级、三级、四级乃至多级；倒立摆的运动轨道可以是水平的，也可以是倾斜的：倒立摆系统己成为控制领域中不可或缺的研究设备和验证各种控制策略有效性的实验平台。同时倒立摆研究也具有重要的工程背景：如机器人的站立与行走类似双倒立摆系统；火箭等飞行器的飞行过程中，其姿态的调整类似于倒立摆的平衡等等。因此对倒立摆控制机理的研究具有重要的理论和实践意义。 1．2 倒立摆系统的控制方法 自从倒立摆产生以后，国内外的专家学者就不断对它进行研究，其研究主要集中在下面两个方面： （1）倒立摆系统的稳定控制的研究 （2）倒立摆系统的自起摆控制研究 而就这两方面而言，从目前的研究情况来看，大部分研究成果又都集中在第一方面即倒立摆系统的稳定控制的研究。目前，倒立摆的控制方法可分如下几类： (1)线性理论控制方法 将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理获得系统在平衡点附近的线性化模型，然后再利用各种线性系统控制器设计方法得到期望的控制器。如1976年Mori etc的把倒立摆系统在平衡点附近线性化利用状念空间的方法设计比例微分控制器。1980年，Furuta etc基于线性化方法，实现了二级倒立摆的控制。1984年，Furuta首次实现双电机三级倒立摆实物控制。1984年，wattes研究了LQR(Linear Quadratic Regulator)方法控制倒立摆。这类方法对一、二级的倒立摆(线性化后误差较小、模型较简单)控制时，可以解决常规倒立摆的稳定控制问题。但对于像非线性较强、模型较复杂的多变量系统(三、四级以及多级倒立摆)线性系统设计方法的局限性就十分明显了。 （2）预测控制和变结构控制方法 由于线性控制理论与倒立摆系统多变量、非线性之间的矛盾使人们意识到针对多变量、非线性对象，采用具有非线性特性的多变量控制解决多变量、非线性系统的必由之路。人们先后开展了预测控制、变结构控制和自适应控制的研究。预测控制是一种优化控制方法，强调实模型的功能而不是结构。变结构控制是一种非连续控制，可将控制对象从任意位置控制到滑动曲面上，仍然保持系统的稳定性和鲁棒性，但是系统存在颤抖。预测控制、变结构控制和自适应控制在理论上有较好的控制效果，但由于控制方法复杂，成本也高，不易在快速变化的系统上实时实现。 (3)智能控制方法 《现代控制理论》课程综合设计 单级旋转倒立摆系统 1 引言 单级旋转倒立摆系统一种广泛应用的物理模型，其物理模型如下：图示为单级旋转倒立摆系统原理图。其中摆的长度1l =1m ，质量1m =0.1kg ，横杆的长度2l =1 m ，质量2m =0.1kg ，重力加速度20.98/g m s =。以在水平方向对横杆施加的力矩M 为输入，横杆相对参考系产生的角位移1θ为输出。控制的目的是当横杆在水平方向上旋转时，将倒立摆保持在垂直位置上。 图1 单级旋转倒立摆系统模型 单级旋转倒立摆可以在平行于纸面3600的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的推动下，摆杆仍然保持竖直向上状态。在横杆静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆微小的扰动下，就会使倒立摆的平衡无法复位，这时必须使横杆在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，故单级倒立摆系统是一个非线性系统。 本文综合设计以以在水平方向对横杆施加的力矩M 为输入，横杆相对参考系产生的角位移1θ为输出，建立状态空间模型，在原有系统上中综合带状态观测器状态反馈系统，从而实现当横杆在旋转运动时，将倒立摆保持在垂直位置上。 2 模型建立 本文将横杆和摆杆分别进行受力分析，定义以下物理量：本文将横杆和摆杆 分别进行受力分析，定义以下物理量：M 为加在横杆上的力矩；1m 为摆杆质量； 1l 为摆杆长度；1I 为摆杆的转动惯量；2m 为横杆的质量；2l 为横杆的长度；2I 为横杆的转动惯量；1θ为横杆在力矩作用下转动的角度；2θ为摆杆与垂直方向的夹角；N 和H 分别为摆杆与横杆之间相互作用力的水平和垂直方向的分量。倒立摆模型受力分析如图2所示。 图2 倒立摆模型受力分析 摆杆水平方向受力平衡方程： 2 111222(0sin )2 l d N m l dt θθ=++ （1θ2l —横杆的转动弧长即位移） 摆杆垂直方向受力平衡方程： 211 1122(cos )22 l l d H m g m dt θ-=- 摆杆转矩平衡方程： 22111222sin cos 22 d l l J H N dt θθθ=- 横杆转矩平衡方程： 21 222 d M Nl J dt θ-= N 第1 页共11 页 倒立摆系统的建模及Matlab仿真 1.系统的物理模型 考虑如图(1)所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。 图(1)倒立摆系统 假定倒立摆系统的参数如下。 摆杆的质量：m=0.1g l=1m小车的质量：摆杆的长度：2重力加速度：g=9.8m/M=1kg s摆杆的质量在摆杆的中心。 设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量?≤10%，调节时间ts ≤4s ，通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置。 2.系统的数学模型 2.1建立倒置摆的运动方程并将其线性化。 为简化问题，在数学模型中首先假设：1)摆杆为刚体；2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽略小车与接触面间的摩擦。 ?）,在u设小车瞬时位置为z,摆心瞬时位置为（作用下，小车及摆均产生加速远 动，sin?lz根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与u平衡，于是有 22dzd?)?sinu?M?m(zl22dtdt???2????z(M?mml?)cos?mlusin? 即：??① 绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有． 第2 页共11 页 2??d??? sin??lcosm(z?lsinmgl)??2dt?????22???????即： nis?l?ocgcosincoszs?ls??② 以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒立摆直?2?????且可忽略则，立，在试驾合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零时合理的，1sincos??,项。于是有 ???M?zm?u?ml??)(③ ????g?z?l??④联立求解可得1mg?u?z????MM 1)?m(M????u??MlMl 列写系统的状态空间表达式。2.2??T xx,x,x,，选取系统变量则 xx,x,xx?,42134123xx??211mgux???x?32MM x?x?431)(M?mu?x?x? 34MlMl 即00100????z??1mg??????000?z?????d MM??Bu?Ax?xux????????00001???dt????1gm?(M)????000??????? MlMl??????Cx?0?y?xx1001代入数据计算得到：0100????000?1??????T0D,?0??1BA?,?001,C100??1000??00011?? 11 页3 页共第 3.设计控制器3.1判断系统的能控性和稳定性 1100????0011????23BBAABAB?Q?故被控对象完全可控， rank()=4,Q kk??11?0?10??011?10???22???11?。出现大于零的特征值，故被，，0 解得特征值为 0由特征方程0??11I?A?)(控对象不稳定3.2确定希望的极点， 另一对为远极点，认为系统性能主要由主导，选其中一对为主导极点和希望的极点n=4ss21极点决定，远极点只有微小影响。根据二阶系统的关系式，先确定主导极点???42??1????10.?e??t1.67?有，闭环可得；取误差带，于是取，则6.?059?0.02.?0? pns??n2????1?js??=-10.8j,远极点选择使它和原点的距离大于主导极点与原点 距离主导极点为?n,21s??15倍，取的54,33.3采用状态反馈方法使系统稳定并配置极点 ??kkkk?k；状态反馈系统的状态方程，馈状态反的控制规律为为kxu??3102?，其 单级倒立摆稳定控制实验 一．实验目的 1.了解单级倒立摆的原理与数学模型的建立； 2.掌握LQR控制器的设计方法； 3.掌握基于LQR控制器的单级倒立摆稳定控制系统的仿真方法。 二．实验内容 图1 一级倒立摆原理图 一级倒立摆系统的原理框图如上所示。系统包括计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分，组成了一个闭环系统。光电码盘1将连杆的角度、角速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的角度、角速度信号由光电码盘2反馈回控制卡。计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策，并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，驱动电机转动，带动连杆运动，保持摆杆的平衡。 在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图2所示。 图2 直线一级倒立摆系 统 其中： M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置 φ 摆杆与垂直向上方向的夹角 θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。 注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。 图3 （a ）小车隔离受力图； （b ） 摆杆隔离受力图 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： Mx F bx N =--&&& (1) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： ()2 2sin d N m x l dt θ=+ (2) 即：2cos sin N mx ml ml θθθθ=+-&&&&& 单级倒立摆经典控制系统 摘要：倒立摆控制系统虽然作为热门研究课题之一，但见于资料上的大多采用现代控制方法，本课题的目的就是要用经典的方法对单级倒立摆设计控制器进行探索。本文以经典控制理论为基础，建立小车倒立摆系统的数学模型，使用PID控制法设计出确定参数(摆长和摆杆质量)下的控制器使系统稳定，并利用MATLAB软件进行仿真。 关键词：单级倒立摆；经典控制；数学模型；PID控制器；MATLAB 1绪论 自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。它的发展初期，是以反馈理论为基础的自动调节原理，并主要用于工业控制。 控制理论在几十年中，迅速经历了从经典理论到现代理论再到智能控制理论的阶段，并有众多的分支和研究发展方向。 1.1经典控制理论 控制理论的发展，起于“经典控制理论”。早期最有代表性的自动控制系统是18世纪的蒸汽机调速器。20世纪前，主要集中在温度、压力、液位、转速等控制。20世纪起，应用范围扩大到电压、电流的反馈控制，频率调节，锅炉控制，电机转速控制等。二战期间，为设计和制造飞机及船用自动驾驶仪、火炮定位系统、雷达跟踪系统及其他基于反馈原理的军用装备，促进了自动控制理论的发展。 至二战结束时，经典控制理论形成以传递函数为基础的理论体系，主要研究单输入-单输出、线性定常系统的分析问题。经典控制理论的研究对象是线性单输入单输出系统，用常系数微分方程来描述。它包含利用各种曲线图的频率响应法和利用拉普拉斯变换求解微分方程的时域分析法。这些方法现在仍是人们学习控制理论的入门之道。 1.2倒立摆 1.2.1倒立摆的概念 图1 一级倒立摆装置 倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。如杂技演员顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统，是一个复杂、多变量、存在严重非线性、非自治不稳定系统。 2011级自动化1班 杨辉云 P111813841 一级倒立摆的模糊控制 一．倒立摆的模型搭建 1. 单级倒立摆系统的数学模型 对于单级倒立摆，如果忽略了空气阻力和各种摩擦阻力之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成沿着光滑导轨运动的小车和通过轴承链接的均质摆杆组成，如图所示，其中小车的质量M=1.40kg ，摆杆质量m=0.08kg ，摆杆质心到转动轴心距离L=0,.2m ，摆杆与垂直向下方向的夹角为，小车华东摩擦系数 f c =0.1。 摆杆 θ 传送带 导轨 直线单级倒立摆 2. 倒立摆控制系统数学模型的建立方法利用PID 控制和拉格朗日方程两种建模。 一级倒立摆系统的拉格朗日方程应为 L （q ，。 .q ）=V （q ，。 q ）—G （q ，。 q ） （1） 式中：L 是拉格朗日算子，V 是系统功能；G 系统势能。 dt d x ??L — x ??L + x ??D = fi （2） 式中：D 是系统耗散能， f c 为系统的第i 个广义坐标上的外力。 一级倒立摆系统的总动能为： V=θθcos x ml ml 3 2)(212 22。。。+++x m M （3） 一级倒立摆系统的势能为： G=θcos mgl θ （4） 一级倒立摆系统的耗散能为： D= 2 2 1 。x f c （5） 一级倒立摆系统的拉格朗日方程为： 0=??+??-??θ θθD L L dt d (6) F X D X L X L dt d =??+??-?? (7) 将（1）到（5）式带入（6）式得到如下： 0sin sin sin cos m 3 422=-+。。。。。。 ——θθθθθθθθmgl x ml x ml x l ml （8） （M+m ）F x ml ml x f c =+ +θθθθsin cos 2。 。 — （9） 一级倒立摆系统有四个变量：。 。，，， θθx x 根据（7）式中的方程写出系统的状态方程，并在平衡点进行线性化处理，得 到系统的状态空间模型如下： =。X ? ?????0 000 0189.000748 .01-- 579.20 386.00 ??????0100+x ? ???? ? ??? ???-8173.007467 .00 开题报告填表说明 1.开题报告是毕业设计（论文）过程规范管理的重要环节，是培养学生严谨务实工作作风的重要手段，是学生进行毕业设计（论文）的工作方案，是学生进行毕业设计（论文）工作的依据。 2.学生选定毕业设计（论文）题目后，与指导教师进行充分讨论协商，对题意进行较为深入的了解，基本确定工作过程思路，并根据课题要求查阅、收集文献资料，进行毕业实习（社会调查、现场考察、实验室试验等），在此基础上进行开题报告。 3.课题的目的意义，应说明对某一学科发展的意义以及某些理论研究所带来的经济、社会效益等。 4.文献综述是开题报告的重要组成部分，是在广泛查阅国内外有关文献资料后，对与本人所承担课题研究有关方面已取得的成就及尚存的问题进行简要综述，并提出自己对一些问题的看法。 5.研究的内容，要具体写出在哪些方面开展研究，要突出重点，实事求是，所规定的内容经过努力在规定的时间内可以完成。 6.在开始工作前，学生应在指导教师帮助下确定并熟悉研究方法。 7.在研究过程中如要做社会调查、实验或在计算机上进行工作，应详细说明使用的仪器设备、耗材及使用的时间及数量。 8.课题分阶段进度计划，应按研究内容分阶段落实具体时间、地点、工作内容和阶段成果等，以便于有计划地开展工作。 9.开题报告应在指导教师指导下进行填写，指导教师不能包办代替。 10.开题报告要按学生所在系规定的方式进行报告，经系主任批准后方可进行下一步的研究（或设计）工作。 一、课题的目的意义： 倒立摆系统作为一个实验装置，形象直观，结构简单，构件组成参数和形状易于改变，成本低廉；作为一个被控对象，它又相当复杂，就其本身而言，是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合系统，只有采取行之有效的控制方法方能使之稳定。 理论是工程的先导，倒立摆的研究具有重要的工程背景。机器人行走类似倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问世以来已有几十年的历史，但机器人的关键技术至今仍未很好解决。由于倒立摆系统的稳定与空间飞行器控制和各类伺服云台的稳定有很大相似性，也是日常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题的抽象。因此，倒立摆机理的研究又具有重要的应用价值，成为控制理论中经久不衰的研究课题。 文献综述（分析国内外研究现状、提出问题，找到研究课题的切入点，附主要参考文献，约2000字）： 倒立摆系统的最初分析开始于二十世纪五十年代，是一个比较复杂的不稳定，多变量，带有强耦合特性的高阶机械系统。倒立摆系统存在严重的不确定性，一方面是系统的参数的不确定性，一方面是系统受到不确定因素的干扰。其控制方法和思路在处理一般工业过程中有很广泛的用途，此外，其相关的研究成果也在航天科技和机器人学习方面得到了大量的应用，如机器人行走过程中平衡控制，火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等，因此，倒立摆系统是进行控制理论研究的理想平台。 倒立摆是机器人技术﹑控制理论﹑计算机控制等多个领域﹑多种技术的有机结合，其被控 一级倒立摆控制的极点配置方法 摘要 倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的自然不稳定系统。因此倒立摆在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果己经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。 本文通过极点配置, 实现了用现代控制理论对一级倒立摆的控制。利用牛顿第二定律及相关的动力学原理等建立数学模型，对小车和摆分别进行受力分析，并采用等效小车的概念，列举状态方程，进行线性化处理想, 最后通过极点配置，得到变量系数阵。利用Simulink建立倒立摆系统模型，特别是利用Mask封装功能, 使模型更具灵活性，给仿真带来很大方便。实现了倒立摆控制系统的仿真。仿真结果证明控制器不仅可以稳定倒立摆系统，还可以使小车定位在特定位置。 关键词:倒立摆，数学建模，极点配置 THE POLE PLACEMENT CONTROL TO A SINGLE INVERTED PENDULUM Abstract Inverted pendulum system is multivariable, nonlinear, strong-coupling and instability naturally. The research of inverted pendulum has many important realistic meaning in the research such as, the walking of biped robot, the lunching process of rocket and flying control of helicopter, and many correlative productions has applications in the field of technology of space flight and subject of robot. Through the pole placement method, the control of the inverted pendulum is realized. We get the mathematic model according to the second law of Newton and the foundation of the dynamics, analysis the force of the cart and pendulum, and adopt the concept of "the equivalent cart”. During writing the equitation of the system, the equitation has been processed by linear. At last，we get coefficient of the variability. The simulation of inverted pendulum system is done by the SIMULINK Tool box. Specially Mask function is applied, it makes simulation model more agility, the simulation work become more convenient. The result shows that it not only has quite goods ability, but also is able to make the cart of the pendulum moving to the place where it is appointed by us in advance along the orbit. Key words: inverted pendulum, mathematic model, pole placement 倒立摆系统的建模及Matlab 仿真 1.系统的物理模型 考虑如图(1)面内运动的二维问题。 图(1)倒立摆系统 假定倒立摆系统的参数如下。 摆杆的质量：m=0.1g 摆杆的长度：l =1m 小车的质量： M=1kg 重力加速度：g=9.8m/2s 摆杆的质量在摆杆的中心。 设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量δ ≤10%，调节时 间ts ≤4s ，通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置。 2.系统的数学模型 2.1建立倒置摆的运动方程并将其线性化。 为简化问题，在数学模型中首先假设：1)摆杆为刚体；2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽略小车与接触面间的摩擦。 设小车瞬时位置为z,摆心瞬时位置为（θsin l z +）,在u 作用下，小车及摆均产生加速远动，根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与u 平衡，于是有 u l z dt d m dt z d M =++)sin (22 22θ 即： u ml ml z m M =-++θθθθsin cos )(2&&&&& ① 绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有 θθθsin cos )sin (22mgl l l z dt d m =??? ????+ 即： θθθθθθθsin cos sin cos cos 22g l l z =-+&&&&& ② 以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒立摆直 立，在试驾合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零时合理的，则1cos ,sin ≈≈θθθ，且可忽略θ θ2&项。于是有 u ml z m M =++θ&&&& )( ③ θθg l z =+&&&& ④ 联立求解可得 u Ml Ml m M u M M mg z 1)(1 -+=+- =θθθ&&&& 2.2列写系统的状态空间表达式。 选取系统变量4321,,,x x x x ， []T x x x x x 4321,,,=则 u Ml x Ml m M x x x u M x M mg x x x 1 )(134433221-+= =+-==&&&& 即 []Cx x x y Bu Ax u Ml M x Ml g m M M mg z z dt d x ===+=?????? ? ???????-+?????????? ??? ? +- =???? ????????=000110100)(0 010 0000000 1 1θθ&&& 代入数据计算得到： [][]0,0001,1010,01100 1000010000 1 0==-=? ? ??? ? ??? ???-=D C B A T 内蒙古科技大学课程设计 内蒙古科技大学 控制系统仿真设计说明书 题目：直线一级摆的PID控制与校正 学生姓名：罗鹏飞 学号：0967112208 专业：测控技术与仪器 班级：2009-2班 指导教师：张勇 摘要 倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，对倒立摆的控制研究无论在理论上和方法上都有深远的意义。 本论文以实验室原有的直线一级倒立摆实验装置为平台，重点研究其PID控制方法，设计出相应的PID控制器，并将控制过程在MATLAB上加以仿真。 本文主要研究内容是：首先概述自动控制的发展和倒立摆系统研究的现状；介绍倒立摆系统硬件组成，对单级倒立摆模型进行建模，并分析其稳定性；研究倒立摆系统的几种控制策略，分别设计了相应的控制器，以MATLAB为基础，做了大量的仿真研究，比较了各种控制方法的效果；借助固高科技MATLAB实时控制软件实验平台；利用设计的控制方法对单级倒立摆系统进行实时控制，通过在线调整参数和突加干扰等，研究其实时性和抗千扰等性能；对本论文进行总结，对下一步研究作一些展望。 关键词：一级倒立摆，PID，MATLAB仿真 目录 摘要...................................................................I 目录..................................................................II 第1章 MATLAB仿真软件的应用.. (1) 1.1 MATLAB的基本介绍 (1) 1.2 MATLAB的仿真 (1) 1.3 控制系统的动态仿真 (2) 1.4 小结 (4) 第2章直线一级倒立摆系统及其数学模型 (5) 2.1 系统组成 (5) 2.1.1 倒立摆的组成 (6) 2.1.2 电控箱 (6) 2.1.4 倒立摆特性 (7) 2.2 模型的建立 (7) 2.2.1 微分方程的推导 (8) 3.2.2 传递函数 (10) 3.2.3 状态空间结构方程 (10) 2.2.4 实际系统模型 (12) 2.2.5 采用MATLAB语句形式进行仿真 (13) 第3章直线一级倒立摆的PID控制器设计与调节 (16) 3.1 PID控制器的设计 (16) 3.2 PID控制器设计MATLAB仿真 (18) 结论 (21) 参考文献 (22)一级倒立摆控制方法比较
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