倒立摆控制

倒立摆控制

Johnny Lam 摘要: 倒立摆沿着水平轨道车移动时的平衡问题是控制领域中的经典问题。本文将介绍两种方法，使系在小车上的倒立摆从初始向下位置摆到直立位置，

并保持该状态。通过非线性启发式控制器和能量控制器，可以使倒立摆摆向直

立位置。倒立摆摆动起来后，通过线性二次型调节器的状态反馈最优控制器维

持其平衡状态。在合适的时间，启发式控制器输出一个重复信号，然后通过微

调使摆锤到达最合适的位置。通过能量控制器增加合适的能量到倒立摆系统，

来达到所期望的能量状态。最优状态反馈控制器是基于各地的直立位置线性模

型一个稳定的控制器，它在车摆系统接近平衡状态时能产生效果。这两种方法

都在倒立摆摆在向下位置时记录实验结果。

1.简介

倒立摆系统是在控制系统领域中的一个标准问题。在证明线性控制的思想

上它经常常是很有效的，例如使不稳定的系统的稳定化等。由于该系统本质上

是非线性的，它也一直在说明一些结论在非线性控制方面也是有效的。在这个

系统中，倒立摆附着到配备有马达驱动的沿水平轨道行驶的小车上。用户能够

通过电机来控制小车的位置和速度还能通过轨道来控制小车在水平方向上运动。传感器被连接到小车和小车的中心上来测量小车的位置和钟摆关节的角度。测

量采用连接到MultiQ - 3通用数据采集和控制电路板上的正交编码器。Matlab / Simulink用于实现控制和分析数据。

倒立摆系统本身有两个平衡点，其中之一是稳定的，而另一个是不稳定的。稳定平衡对应于一个状态，其中摆锤向下。在没有任何外力的情况下，该系统

会自然返回到这个状态。稳定平衡不需控制输入来实现，因此，从控制的角度

来看是没有意义的。不稳定的平衡对应于另一个状态，其中摆点完全向上，因此，需要控制输入力的大小，来保持在这个位置。倒立摆系统的基本控制目标

是使倒立摆在不稳定平衡位置上平衡。该项目的控制目标将侧重于从稳定的平

衡位置（摆朝下）起，摆动到它的不稳定的平衡位置（直立摆），并保持在这种状态。

2.建模

倒立摆的示意图如图1所示：

图1.倒立摆安装

小车上的电机使得小车沿水平方向运动，而小车的位置p和关节角θ测量是通过一个正交编码器拍摄的。运用动力学规律对倒立摆系统建立如下运动方程：

其中Mc是小车的质量，Mp是摆锤的质量，I是转动惯量，l是摆锤的一半长度，R是电动机的电枢电阻，r是电动机小齿轮的半径，Km为电机的转矩常数， KG是齿轮箱传动比。另外，为了简单起见，

并注意，对电机来说，力F和电压V间的关系是：

让所述状态向量被定义为：

最后，我们使有关不稳定平衡（0 0 0 0）T的系统线性化。在垂直位置的车摆系统的线性化方程是：

而：

最后，通过代入相对应本实验装置的参数值：

该系统使我们能够设计一个能通过控制器使各线性化点平衡的倒立摆。

3.稳定控制器的设计

在这个项目中，该控制器的设计可以分为两个部分。其中第一部分是线性模型中的最优状态反馈控制器的设计，它可以使倒立摆稳定在直立位置。第二

部分是控制器的设计，它可以使倒立摆动到不稳定平衡的位置。当摆锤接近线性化点时，控制器将切换到稳定控制器，使倒立摆在直立位置平衡。

负责倒立摆在直立位置平衡的状态反馈控制器是基于通过线性化系统设计的线性二次型调节器（LQR）来设计的。在LQR设计中，遵循线性状态反馈控制律u=-Kx的增益矩阵K是可以找到的最小化形式的二次价值函数。

其中Q和R是在某些状态或控制输入时要去除的加权参数。

在最优状态反馈控制器的设计中，选择的加权参数为：

根据这个设计，控制器增益矩阵线性化系统为：

通过使用K并且遵循控制律u=-Kx，该系统在线性化点（摆锤直立）上是稳定的。由于该控制律是基于线性化系统时，当摆接近直立位置，状态反馈最优控制器是唯一有效的。

4.状态估计

对于倒立摆实验装置，并非所有的状态变量都可用于测量。事实上，只有小车位置p和摆锤角度θ可以用于直接测量。这意味着在刚刚超越任何稳定控制的方案中，小车速度和摆角速度都不可立即使用。因此，观察者需要在所有车摆的位置的状态提供准确的估计。

基于前面得到的线性系统，可以使用线性全状态观测器。在这种设计中，

观察器只需提供在所有状态中的线性化点的准确估计。观察器通过重复实施线

性系统动力学规律，并在修正项中加入估计上的错误收益。该观测器增益矩阵

是由LQR设计决定的，类似于用于确定最佳状态的增益反馈状态控制器。在这

种情况下，加权参数选择为：

基于这种设计，观测器增益矩阵是：

由于线性全状态观测器是基于线性化系统，当车摆系统接近直立位置，估

计状态变量时，它是唯一有效的。因此，当系统不接近不稳定的平衡位置时，

低通滤波后的参数是用来估计两个不可测状态小车速度和摆锤角速度的。此方

法近似于车速度和摆角速度通过使用有限差，然后通过低通滤波器传递给它。

下面的过滤器是选择了这种估计方法：

用这样的方法存在的问题是，它引入了一些延迟而且具有比1稍小的增益。但是，从过滤后的参数获得的状态估计对于本文实现的摆起控制器是相当准确的。

5.摆起控制器设计

要使倒立摆从向下位置摆动到垂直位置，可以通过两种不同的控制方案来

实现。第一是一种启发式控制器，它在适当方向上提供恒定电压来驱动小车沿

轨道来回反复。它会重持续个命令，直到摆锤足够接近直立位置，使稳定控制

器可以使其保持这种平衡的状态。第二个方案是一种调节摆锤能量的控制器。

控制器持续输入能量到车摆系统，直到它达到对应于在垂直位置摆的能量状态。类似于启发式控制方法，当倒立摆接近垂直位置时，能量控制方法也将切换到

稳定控制器。当摆锤与垂直位置夹角小于5°或者角速度大于每秒 2.5弧度时，稳定控制器的开关将被激活。

启发式控制器

启发式控制器是基于逻辑的控制设计，根据系统的状态来确定推车移动的

方向和时刻。基于反复试验的结果，一个特定的电压增益应用到小车电机。每

当摆锤穿过向下的位置，该控制器将驱动倒立摆向前或向后摆动。

这个以逻辑为基础的控制设计是完全依赖于摆角的。当摆锤穿过向下位置时，该控制器将改变车的运动方向。由于这种控制的设计是基于摆角这个唯一

参数，要通过在适当的方向移动小车来增加能量到摆锤，那么向下的位置是最

佳的时刻。摆锤穿过向下位置后，车移动的方向立即变为与摆角相反的方向。

当小车运动的方向是确定的，在小车马达上施加同一方向上的恒定的电压增益，直至摆锤返回到向下的位置。这种控制方案将有效地控制小车沿轨道来回反复，直到摆锤摆动足够接近直立位置。

要注意，该控制方案的本质是不管摆锤是否高于或低于该水平轴施加（自

摆角的符号保持不变），小车都要有相同的运动。然而车摆系统的本质是一旦

摆锤低于水平增加能量到车摆时，实际上相同的车运动会从摆锤中带走能量。

最终，钟摆会达到一个无法吸收更多能量的点，但它尚未积累足够的能量到达

垂直位置。为了避免这种现象，当车摆与向下位置夹角为135°，需增加一个

开关来使输入到小车马达电压为0。因此，当车摆超过135度时，小车不会需

要从车摆系统吸收能量来移动。这将能使车摆返回到向下位置，而不会失去能量。当摆锤再次穿过向下位置时，基于逻辑的控制器将能够把更多的能量加到

摆锤，使它能够最终接近垂直位置。