数值计算迭代法

习题二

3、证明：当X 0=1.5时，迭代法X k+1=Xk +410和X k+1=21k X 310-都收敛于方程f(x)=x 3+4x 2-10=0在区间[1,2]内唯一实根x *，并分别用上述迭代法求满足于精度要求︱X k+1-X k ︱≤10-5的近似根。

解：证明：{先用迭代法求f(x)=x 3+4x 2-10=0的根。

（a ）对x 3+4x 2-10=0变形有：4x 2=10-x 3

所以：X=21310X - 则相应的迭代公式为：X k+1=21k X 310- 取：X 0=1.5，根据计算可以看出看，我们认为得到的迭代序列是

收敛的。}（此行可忽略）

{ 由 f(x)=x 3+4x 2-10=0得迭代方程：X=21310X -=g （x ） 先证明在区间【1,2】上x=g （x ）有实根。由于[1,2]上g ‘（x ）存在，所以g （x ）连续。作Q （x ）=x-g(x),则Q(x)在[1,2]上也连续。由定理1条件2有：Q （1）=1-g （1）≤0，Q （,2）=1-g （2）≥0

故存在x *∈[1,2]使Q *（x ）=0，即x *= Q *（x ）

又因为，x *是方程f(x)=x 3+4x 2-10=0在区间[1,2]内的唯一实根，（由定理一条件

2）对任意的x 0∈[1,2]时，X k ∈[1,2]（k=0,1,2,3…）

因为：x *- X k+1=g （x *）-g （X k ）=g ‘（h k ）（x *- X k ）故由条件1知：

︱X *-X k+1︱≤L ︱X *-X k ︱（k=0,1,2,3…）于是有：0≤︱X *-X k ︱≤L k ︱X *-X 0︱,0＜L ＜1，立即可知：lim （k 趋于无穷）︱X *-X k ︱=0,从而lim （k 趋于无穷）X k= X *。所以当X 0=1.5时，迭代法X k+1=Xk +410和X k+1=21k X 310-都是由迭代法X k+1=g （X k ）产生的迭代序列{ X k }收敛于方程f(x)=x 3+4x 2-10=0在区间[1,2]内唯一实

根x *。

正解如下：

(1) （牛顿迭代法）：

证明：对方程f(x)=x 3+4x 2-10=0在区间[1,2]内，

（a ） f ‘(x)=3x 2+8x ，f ’‘(x)=6x+8，f ’‘(x)在区间[1,2]内连续；

（b ） f （1）=-5，f （2）=14，f （1）f （2）＜0；

（c ） 对于任意的x ∈[1,2]，都有f ‘(x)=/(不等于)0；

（d ） f ’‘(x)在[1,2]上保号；

综上所述，当X 0=1.5时，迭代法X k+1=Xk +410和X k+1=21k X 310-都收敛于方程f(x)=x 3+4x 2-10=0在区间[1,2]内唯一实根x *。

（2）用牛顿迭代法求近似根。

方程f(x)=x 3+4x 2-10=0有唯一实根x *∈[1,2]，容易验证，f(x)=x 3+4x 2-10在[1,2]

上满足定理4重各个条件，而当X 0=1.5时有： X 0∈[1,2] 且f （X 0）f ‘’（x 0）＞0，故相应的牛顿迭代过程

X k+1=X k -xk

xk xk xk 82310243+-+（k=0,1,2,3。。。）收敛，且x 9=x 25=1.36523