计算方法方程迭代法.共52页
合集下载
计算方法-迭代法讲义
计算 xi(k1) 时,
x(k 1) j
(
j
i)的值已经算出
所以迭代公式可以修改成：
X (k1) D1LX(k1) D1UX (k) D1b
或写成分量形式
i1
n
x(k1) i
(bi
aij
x
( j
k 1)
aij x(jk) ) / aii
j 1
j i 1
7
把矩阵A 记为 A = D – L – U ，则方程组等价为 (D – L)X = ＵＸ＋b ， 从而有： Ｘ = (D – L)-1 UX + (D – L)-1b
2
4.1、雅可比（Jacobi）迭代法
把矩阵A 记为 A = D – L – U ，则方程组等价为
DX = (Ｌ＋Ｕ)Ｘ＋b ，
若 det(D)0, 则有：
Ｘ = D-1(L + U)X + D-1b
得到雅可比迭代矩阵：
BJ = D-1(L + U)，b’= D-1b 从而，得到雅可比迭代公式：
注意：这里的对角 矩阵的D-1是非常 容易计算的。
（精度要求）
得到满足要求的近似解。
例子：p.55(p.52)例8 ，10-3的精度，迭代10 次。
3x1x12xx22
5 5
x( 1
k
1)
x(k) 2 3
5 3
x2( k
1)
x(k) 1
2
5 2
x(0 1
x2(0
) )
0 0
6
4.2、高斯-赛德尔迭代法 雅可比方法中
X (k1) D1(L U) X (k) D1b
|| B || 0.62875, || B ||1 0.648065375,
计算方法(方程组的迭代法)
定理 5 如果 A 是对称正定矩阵，则线性方
程组 Ax b 的 Seidel 迭代对任何初始向量 x0 都收敛。
利用上述三个判别定理（定理 3，4，5），可以 根据线性方程组 Ax b的系数矩阵 A的特点，可以 方便地判断出对应的 Jacobi 迭代和 Seidel 迭代 是否收敛，但要注意它们都是充分条件。
…… ………
x=
.. x2
cn1 cn3
cn4 … 0
xn
a11
D= a22..
g=
ann
g1 .g. 2
易看出:BJ =D-1(D-A)=I-D-1A
gn
Jacobi迭代公式
xi(k 1 )jn 1a a ii ijx(jk)a b iii j i
i 1 ,2 , ,n
Jacobi迭 代 的 矩 阵 格 式 x(k1) BJx(k)gJ
这说明 k D L U 也是严格对角占优矩阵。易证严
格对角占优矩阵是非奇异矩阵，从而有
det k
DL
U
0
。这与式（*）矛盾，矛盾说明
k 1。由 k 的任意性，可得 BS 的谱半径 BS 1。
根据定理 5．2，可知 Seidel 迭代对任意的初始向 量 x0 都收敛。
第三个判别定理针对线性方程组的系数 矩阵也是比较特殊的矩阵，这种矩阵称为对称 正定矩阵。
反复利用上式，有：
xk1 x B2 xk1 x Bk1 x0 x （1）
由 x0 的任意性及lim xk x，可得 k
lim Bk 0
k
（2）
所以lim Bk 0，又因定理 1 及Bk Bk Bk ，所 k
以 B 1，必要性得证。
反过来，假设 B 1，则矩阵 I B 是非奇异
程组 Ax b 的 Seidel 迭代对任何初始向量 x0 都收敛。
利用上述三个判别定理（定理 3，4，5），可以 根据线性方程组 Ax b的系数矩阵 A的特点，可以 方便地判断出对应的 Jacobi 迭代和 Seidel 迭代 是否收敛，但要注意它们都是充分条件。
…… ………
x=
.. x2
cn1 cn3
cn4 … 0
xn
a11
D= a22..
g=
ann
g1 .g. 2
易看出:BJ =D-1(D-A)=I-D-1A
gn
Jacobi迭代公式
xi(k 1 )jn 1a a ii ijx(jk)a b iii j i
i 1 ,2 , ,n
Jacobi迭 代 的 矩 阵 格 式 x(k1) BJx(k)gJ
这说明 k D L U 也是严格对角占优矩阵。易证严
格对角占优矩阵是非奇异矩阵，从而有
det k
DL
U
0
。这与式（*）矛盾，矛盾说明
k 1。由 k 的任意性，可得 BS 的谱半径 BS 1。
根据定理 5．2，可知 Seidel 迭代对任意的初始向 量 x0 都收敛。
第三个判别定理针对线性方程组的系数 矩阵也是比较特殊的矩阵，这种矩阵称为对称 正定矩阵。
反复利用上式，有：
xk1 x B2 xk1 x Bk1 x0 x （1）
由 x0 的任意性及lim xk x，可得 k
lim Bk 0
k
（2）
所以lim Bk 0，又因定理 1 及Bk Bk Bk ，所 k
以 B 1，必要性得证。
反过来，假设 B 1，则矩阵 I B 是非奇异
第三章 迭代法s4 解线性方程组的迭代法
得 x(1) = ( 0.5000, 2.8333, -1.0833 )T
x(9) = ( 2.0000, 3.0000, -1.0000 )T
举例（续）
SOR 迭代格式
( x1( k 1) (1 ) x1( k ) 1 x2k ) 2 ( k 1) (k ) ( k 1) (k ) x2 (1 ) x2 8 x1 x3 3 ( k 1) ( ( x3 (1 ) x3k ) 5 x2k 1) 2
( k ( k 在计算 xi( k 1) 时，如果用 x1 k1) ,, xi(11) 代替 x1 k ) ,, xi(1) ，则 可能会得到更好的收敛效果。此时的迭代公式为
x1( k 1) ( x2k 1) ( k 1) xn
( ( ( b1 a12 x2k ) a13 x3k ) a1n xnk ) a11 ( ( b2 a21 x1( k 1) a23 x3k ) a2 n xnk ) a22
解得
x
x ( k 1) (1 ) x ( k ) D 1 b Lx ( k 1) Ux ( k )
( k 1)
D L
1
1
(1 ) D U x
(k )
D L b
1
GS D L
Jacobi 迭代 x( k 1) D1 ( L U ) x( k ) D1b
M = D, N = M – A = -(L + U)
GS 迭代
x
( k 1)
L D Ux
1
(k )
方程求根的迭代法.ppt
在科学研究和工程设计中，经常需要求解非线性方程f(x)=0的根。当方程复杂难以求得精确解时，可以采用迭代法这一数值解法来逼近真实根。迭代法的基本思想是通过构造迭代公式，从某个初始值出发，反复校正根、确定根的分布范围，以及通过迭代公式逐步精确化根的近似值。其中，不动点迭代法是一种常用的迭代方法，它将原方程转化为等价形式x=φ(x)，然后通过迭代公式xk+1=φ(xk)来逼近真实根。通过选择合适的迭代函数φ(x)和初始值x0，可以确保迭代序列的收敛性，从而得到满足精度要求的近似根。文档还通过示例展示了不动点迭代法的具体应用过程，包括迭代公式的构造、初始值的选取、迭代步骤的执行以及迭代结果的收敛性判断。最后，文档强调了迭代法收敛性的重要性，并指出不同的迭代公式可能具有不同的收敛性态，需要根据具体情况进行选择和设计。
第4章方程求根的迭代法.ppt.ppt
相应地可得到两个迭代公式
3 x x ( x ) k 1 1 k k 1 3 x ( x ) x 1 k 1 2 k k
如果取初始值 x 0 ＝1.5，用上述两个迭代公 式分别迭代，计算结果
3 （ 1 ） x 1 . 5 ， x , ( k 0 , 1 , 2 ,) . 0 k 1 x k1
仍平方收敛可将迭代法改为牛顿法不是平方收敛重根情形仍平方收敛用牛顿法得用上述三种方法求的二重根151458333333143660714314254976191514166666671414215686141421356215141176470614142114381414213562牛顿迭代法虽然具有收敛速度快的优点但每迭代一次都要计算导数比较复杂时不仅每次计算带来很多不便而且还可能十分麻烦如果用不计算导数的迭代方法往往只有线性收敛的速度
条件
* ( x) 1 2 a 5 1
1 1 2 a5 1
2 2 a5 0
所以
1 5
a0
(x ) 已知方程 x 在 a, b内有根 x *,且在 a, b 上满足 ,利用 ( x) 构造一个迭代函数 g ( x) (x )31
*
* * ( x ) x 当
* (x ) L 1
x x*
,使成立
( x ) ( x ) ( )( x x )
*
故有
( x ) x L x x x x
* * *
x
( x k 1 k) 对于任意的 x 都收敛 由定理1知 x 0
k 0 1 2 3 4 5 6 7
xk 1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494 1.32476 1.32473 1.32472
计算方法第六章(迭代法)
2 * k
3、插值加速法
由线性插值公式：
x xk x xk 1 y xk xk 1 xk 1 xk xk xk 1
x xk x xk 1 x xk xk 1 xk 1 xk xk xk 1
xk 1 xk 1 xk 2 x xk 1 2 xk xk 1
2.102599958448522 2.094749937881704 2.094556446501749 2.094551657513653 2.094551538972266 2.094551536038016
x=2.5 10 y=x x=(2*y+5)**(1.0/3.0) if (abs(x-y).lt.0.00000001) then goto 15 endif 15 x=2.5 goto 10 20 y=x x=(2*y+5)**(1.0/3.0) x=1.15*x+(1.0-1.15)*y if (abs(x-y).lt.0.00000001) then goto 30 endif goto 20 30 end
1 2 f ( ) f ( xk ) f ( xk )( xk ) f ( xk )( xk ) 2! 1 (n) 1 n f ( xk )( xk ) f ( n 1) ( k )( xk ) n 1 n! (n 1)!
f ( ) f ( xk ) f ( xk )( xk )
f ( xk ) f ( xk ) 2 改进牛顿法： xk 1 xk f ( xk ) 3 f ( xk ) 2 f ( xk )
牛顿迭代法的收敛性： 牛顿迭代法二阶收敛，两种改进牛顿迭代法三阶收敛
1 0 f ( ) f ( xk ) f ( xk )( xk ) f ( xk )( xk ) 2 2!
3、插值加速法
由线性插值公式：
x xk x xk 1 y xk xk 1 xk 1 xk xk xk 1
x xk x xk 1 x xk xk 1 xk 1 xk xk xk 1
xk 1 xk 1 xk 2 x xk 1 2 xk xk 1
2.102599958448522 2.094749937881704 2.094556446501749 2.094551657513653 2.094551538972266 2.094551536038016
x=2.5 10 y=x x=(2*y+5)**(1.0/3.0) if (abs(x-y).lt.0.00000001) then goto 15 endif 15 x=2.5 goto 10 20 y=x x=(2*y+5)**(1.0/3.0) x=1.15*x+(1.0-1.15)*y if (abs(x-y).lt.0.00000001) then goto 30 endif goto 20 30 end
1 2 f ( ) f ( xk ) f ( xk )( xk ) f ( xk )( xk ) 2! 1 (n) 1 n f ( xk )( xk ) f ( n 1) ( k )( xk ) n 1 n! (n 1)!
f ( ) f ( xk ) f ( xk )( xk )
f ( xk ) f ( xk ) 2 改进牛顿法： xk 1 xk f ( xk ) 3 f ( xk ) 2 f ( xk )
牛顿迭代法的收敛性： 牛顿迭代法二阶收敛，两种改进牛顿迭代法三阶收敛
1 0 f ( ) f ( xk ) f ( xk )( xk ) f ( xk )( xk ) 2 2!
《方程的迭代求解》课件
词
高斯消元法是线性方程组迭代求解的常用方 法。
详细描述
高斯消元法是一种常用的线性方程组迭代求 解方法，通过逐步消去变量，最终将方程组 转化为一个单一的方程，从而求解未知数。 这种方法适用于求解大型线性方程组，如矩
阵方程或微分方程等。
05
迭代求解的优缺点 与注意事项
迭代求解的优点
一元方程的迭代求解方法通常采用简单的迭代公式，如牛顿法或二分法等，通过不断逼近方程的解， 最终得到精确解。这种方法适用于求解简单的线性方程，如求解平方根或对数等。
二元方程组的实例分析
总结词
二元一次方程组的迭代求解方法适用于求解 具有两个未知数的方程组。
详细描述
二元一次方程组的迭代求解方法通常采用消 元法或代入法，通过逐步消去或代入变量， 最终得到一个变量的值，再代入求解另一个 变量。这种方法适用于求解具有两个未知数 的方程组，如线性方程组或二次方程组等。
迭代求解的缺点
稳定性
迭代求解依赖于初始值的选择，如果初 始值选择不当，可能导致迭代过程发散
，无法得到正确的解。
数值误差
由于迭代求解是一种近似方法，因此 得到的解可能存在一定的数值误差。
收敛速度
有些问题的迭代过程收敛速度很慢， 需要大量的计算资源。
对问题敏感
对于某些问题，迭代方法可能不适用 或效果不佳。
高效性
迭代求解是一种有效的数值计算方法，尤其对于大规模、复杂的问题 ，通过迭代可以快速逼近解。
通用性
迭代方法适用于多种类型的问题，不仅限于方程求解，还可以应用于 优化问题、数值积分等。
灵活性
迭代过程可以根据问题的特性进行调整，例如收敛条件的设定、迭代 初值的选取等，以获得更好的求解效果。
并行性
高斯消元法是线性方程组迭代求解的常用方 法。
详细描述
高斯消元法是一种常用的线性方程组迭代求 解方法，通过逐步消去变量，最终将方程组 转化为一个单一的方程，从而求解未知数。 这种方法适用于求解大型线性方程组，如矩
阵方程或微分方程等。
05
迭代求解的优缺点 与注意事项
迭代求解的优点
一元方程的迭代求解方法通常采用简单的迭代公式，如牛顿法或二分法等，通过不断逼近方程的解， 最终得到精确解。这种方法适用于求解简单的线性方程，如求解平方根或对数等。
二元方程组的实例分析
总结词
二元一次方程组的迭代求解方法适用于求解 具有两个未知数的方程组。
详细描述
二元一次方程组的迭代求解方法通常采用消 元法或代入法，通过逐步消去或代入变量， 最终得到一个变量的值，再代入求解另一个 变量。这种方法适用于求解具有两个未知数 的方程组，如线性方程组或二次方程组等。
迭代求解的缺点
稳定性
迭代求解依赖于初始值的选择，如果初 始值选择不当，可能导致迭代过程发散
，无法得到正确的解。
数值误差
由于迭代求解是一种近似方法，因此 得到的解可能存在一定的数值误差。
收敛速度
有些问题的迭代过程收敛速度很慢， 需要大量的计算资源。
对问题敏感
对于某些问题，迭代方法可能不适用 或效果不佳。
高效性
迭代求解是一种有效的数值计算方法，尤其对于大规模、复杂的问题 ，通过迭代可以快速逼近解。
通用性
迭代方法适用于多种类型的问题，不仅限于方程求解，还可以应用于 优化问题、数值积分等。
灵活性
迭代过程可以根据问题的特性进行调整，例如收敛条件的设定、迭代 初值的选取等，以获得更好的求解效果。
并行性
《方程求根的迭代法》PPT课件
2021/4/24
记笔记
4
xk1
xk1
a (xk a )2 2xk
a (xk a )2 2xk
xk1 a ( xk a )2 xk1 a xk a
q x0 a x0 a
xk a ( x0 a )2k
x a x a 2021/4/24
k
记笔记 0
5
令q x0 ，a 则由上式得
2021/4/24
28
例9
已知迭代公式
收敛于 x k 1
2 3
xk
1
x
2 k
证明该迭代公式平方收敛.
均20收.敛于.且x成0立xk1(xk)
x*
30.
①x*xk1LLxkxk1
② 2021/4/24 x*xk1LkLx1x0
满足精度要求的最 大迭代次数
（事先误差估计法）
17
例1 对方程 x5 ,4构x 造 2迭 代0 函数如下
① (x) 5 4x ，2 ②
(x.试) 讨论x5在[12,2]上迭代
(x*) ( x*) (m1) (x *) 0,(m) (x*) 0
则迭代过程在 x* 邻域是m阶收敛的. (m 2)
2021/4/24
27
证明： (x*) 0迭,代过程 xk1 局(部xk 收)
敛于 x* ，又
xk 1
( xk
)
( x* )
( x* )( xk
x* )
y
y=f(x)
Pk
Pk+1 Pk+2
x* xk+2 xk+1
xk x
Newton法又称为Newton切线法或切线法
2021/4/24
计算方法迭代法PPT课件
第8页/共33页
不动点原理(迭代过程收敛)
•定理3.1 (不动点原理) 设映射g(x)在[a,b]上有连 续的一阶导数且满足
1o 封闭性：x [a,b], g(x) [a,b] ,
2o 压缩性： L (0,1)使对x [a,b], |g'(x)|L,
则 在 [a,b] 上 存 在 唯 一 的 不 动 点 x* ， 且 对 x0
1 x j 1
g~mj 0 g~mj 0
x 1
G~
n g~mj
j 1
n g~mj x j
j 1
max
1in
n j 1
g~ij x j
G~x
第27页/共33页
Gauss-Seidel迭代收敛性证明
记 那么 存在k使得
，其中y迭代G矩~阵x y D1(Ly Ux)
G~ (L D)1U
x x(k ) k 0
第19页/共33页
2 Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代
• 例3.7
• 解：变形
1x01x1
x2 2x3 7.2 10x2 2x3 8.3
x1 x2 5x3 4.2
x1 x2
0.72 0.1x2 0.83 0.1x1
0.2x3 0.2x3
第24页/共33页
3 迭代的收敛性
• 定理3.4 设G的某种范数||G||<1，则x=Gx+f存在唯一解，且对任意初值，迭代序列 x(k)= Gx (k-1) + f
收敛于x*，进一步有误差估计式
k
x x G x x G • 证明思路：(1)解的存在唯一(k性) ; (2)解的收敛性;((3k))误差估(k计1式) (习题)。
不动点原理(迭代过程收敛)
•定理3.1 (不动点原理) 设映射g(x)在[a,b]上有连 续的一阶导数且满足
1o 封闭性：x [a,b], g(x) [a,b] ,
2o 压缩性： L (0,1)使对x [a,b], |g'(x)|L,
则 在 [a,b] 上 存 在 唯 一 的 不 动 点 x* ， 且 对 x0
1 x j 1
g~mj 0 g~mj 0
x 1
G~
n g~mj
j 1
n g~mj x j
j 1
max
1in
n j 1
g~ij x j
G~x
第27页/共33页
Gauss-Seidel迭代收敛性证明
记 那么 存在k使得
，其中y迭代G矩~阵x y D1(Ly Ux)
G~ (L D)1U
x x(k ) k 0
第19页/共33页
2 Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代
• 例3.7
• 解：变形
1x01x1
x2 2x3 7.2 10x2 2x3 8.3
x1 x2 5x3 4.2
x1 x2
0.72 0.1x2 0.83 0.1x1
0.2x3 0.2x3
第24页/共33页
3 迭代的收敛性
• 定理3.4 设G的某种范数||G||<1，则x=Gx+f存在唯一解，且对任意初值，迭代序列 x(k)= Gx (k-1) + f
收敛于x*，进一步有误差估计式
k
x x G x x G • 证明思路：(1)解的存在唯一(k性) ; (2)解的收敛性;((3k))误差估(k计1式) (习题)。
第六章 解线性方程组的迭代法.ppt
称 J 为解 Ax b的雅可比迭代法的迭代阵.
（2.5）
15
研究雅可比迭代法(2.5)的分量计算公式.
记 x(k ) ( x1(k ) ,, xi(k ) ,, xn(k ) )T ,
由雅可比迭代公式(2.5), 有
Dx(k1) (L U )x(k ) b,
或
i1
n
aii
9
定义1 (1) 对于给定的方程组 x Bx f，用公式(1.6) 逐步代入求近似解的方法称为迭代法(或称为一阶定常迭代 法，这里 B与 k无关).
(2) 如果 lim x(k) 存在(记为 x * )，称此迭代法收敛， k
显然 x *就是方程组的解，否则称此迭代法发散. 研究 {x(k )}的收敛性. 引进误差向量
22
例2 用高斯-塞德尔迭代法解线性方程组(1.2).
8x1 3x2 2x3 4x1 11x2 x3
20, 33,
6x1 3x2 12x3 36.
（1.2）
取 x(0) (0, 0, 0)T， 按高斯-塞德尔迭代公式
x ( k 1) 1
记为 Ax b , 其中
（1.2）
8 A4
6
3 2 11 1, 3 12
x1 x x2 ,
x3
20 b 33 .
36
方程组的精确解是 x* (3, 2, 1)T . 现将(1.2)改写为
4
12
于是，求解 Ax b转化为求解 Mx Nx b，即求解
Ax b 求解x M 1Nx M 1b.
可构造一阶定常迭代法