人教A版(2019)高中数学 必修第一册第二章一元二次函数同步测试卷【答案】
人教A 版（2019）高中数学课时练 必修第一册
第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质
一、选择题（60分）
1．若2a ≠-，(21)(2)m a a =-+，(2)(3)n a a =+-，则m 、n 的大小关系是（ ）
A ．m n =
B ．m n <
C ．m n >
D ．m 、n 关系不确定 2．如果不等式组9080
x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解有n （*n ∈N ）个，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对(,)a b 共有（ ）个
A ．17个
B ．64个
C ．81个
D ．72个
3．已知x ，y ，z 为正整数，x y z ≤≤，则方程11112
x y z ++=的解得个数为（ ） A ．8 B ．10
C ．11
D ．12 4．已知函数()22f x x mx n =++，则()1f 、()2f 、()3f 与1的大小关系为（ ）
A ．没有一个小于1
B ．至多有一个不小于1
C ．都不小于1
D ．至少有一个不小于1
5．实数a ，b ，c 满足221a a c b =+--且210a b ++=，则下列关系成立的是（ ）
A ．b a c >≥
B ．c a b ≥>
C ．b c a >≥
D ．c b a ≥> 6．已知(),,,x f x e x R a b =∈<记()()()()()()1,2A f b f a B b a f a f b =-=
-+，则,A B 的大小关系是（ ）
A ．A
B > B ．A B ≥
C ．A B <
D ．A B ≤
7．设实数a ，b ，c 满足1a b >>，1c >，则下列不等式中不成立的是（ ）
A ．b a bc a
a b ac +<<+ B ．1a bc b a b ac +<<+ C ．1a bc c c
c b a +<<+ D a bc b ac +<<+8．已知x ，y 是正实数，则下列式子中能使x y >恒成立的是（ ）
A ．21x y y x +>+
B ．112x y y x +>+
C ．21x y y x ->-
D ．112x y y x
->- 9．已知实数a ，b ，c.
A ．若|a 2+b+c|+|a+b 2+c|≤1，则a 2+b 2+c 2＜100
B ．若|a 2+b+c|+|a 2+b–c|≤1，则a 2+b 2+c 2＜100
C ．若|a+b+c 2|+|a+b–c 2|≤1，则a 2+b 2+c 2＜100
D ．若|a 2+b+c|+|a+b 2–c|≤1，则a 2+b 2+c 2＜100
10．集合()*{,,|S x y z x y z N =∈、、，且x y z <<、y z x <<、z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z S
∈且(),,z w x S ∈,则下列选项正确的是( )
A ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉
B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈
C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈
D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∉
11．关于x 的不等式()()30x a x -->成立的一个充分不必要条件是11x -<<，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤-
B ．0a <
C ．2a ≥
D ．1a ≥ 12．已知0<a <b <
1e ，则下列正确的是（ ）
A >>>
B >>>
C >>>
D ．以上均不正确
二、填空题（20分）
13．设0a b >>，若x =，y =x ，y 的大小关系是________（用“<”号连接）. 14．已知,,a b a m +均为大于0的实数,给出下列五个论断:①a b >,②a b <,③0m >,④0m <,⑤b m b a m a
+>+.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________.
15．设x ，y 是正实数，记S 为x ，1y x +，1y
中的最小值，则S 的最大值为______. 16．如果对于任意的正实数x ，不等式1a x x +
≥恒成立，则a 的取值范围是_________． 17．设[]
x 表示不超过x 的最大整数（例如：[][]22,1.251==），则方程[]3240x x -+=的解为__.
三、解答题（70分）
18．设a b c R +∈，，，试证:对任意实数x y 、、z 有
222x y z ⎫++≥++⎪⎪⎭
19．已知0,0a b >>
（1）若22a b +=，且211t a b
≤++恒成立，求实数t 的最大值； （2）若函数()2f x x a x b =++-的最小值为1，证明：22a b +=；
（3）若22m -<<，且()()2220m a m b ab -++-=，设+a b 的最小值为()g m ，求()g m 的值域. 20．符号[]x 表示不大于x 的最大整数()x R ∈,例如[]1.31=，[]22=，[]1.22-=-
（1）已知方程[]0x =的解集为M ，不等式[]1x <-的解集为N ，求M 、N ；
（2）设方程13x x ⎡⎤+-=⎣⎦的解集为A ，求A ；
21．已知00x y >>，，求证：()()22119x y x y xy ++++.
22．若实数x 、y 、m 满足|x ﹣m|＜|y ﹣m|，则称x 比y 接近m ．
（1）若2x 比1接近3，求x 的取值范围；
（2）已知函数f （x ）定义域D=（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，3）∪（3，+∞），对于任意的x∪D ，f （x ）等于x 2﹣2x 与x 中接近0的那个值，写出函数f （x ）的解析式，若关于x 的方程f （x ）﹣a=0有两个不同的实数根，求出a 的取值范围；
（3）已知a ，b∪R ，m ＞0且a≠b ，求证： 比
接近0．
23．(Ⅰ) (Ⅱ)试比较n n +1与(n +1)n (n ∈N +)的大小，根据(Ⅰ)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明.
【参考答案】
1．C 2．D 3．B 4．D 5．D 6．C 7．D 8．B 9．D 10．B 11．D 12．A
13．x y <
14．①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)
15
16．解：对于任意的正实数x ，不等式1a x x
+
恒成立， 即(1)a x x -(0,)x ∈+∞恒成立．
令()(1)f x x x =-，只需a 大于等于()f x 的最大值． 1++m mb a 1
²++m mb a。
第二章一元二次函数、方程和不等式测试卷-2021-2022学年度高一数学必修一(人教A版2019)
第二章质量评估(B)(时间:120分钟分值:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知当x>1时,不等式x+1x-1≥a恒成立,则实数a的取值范围是()A.{a|a≤2}B.{a|a≥2}C.{a|a≥3}D.{a|a≤3}答案:D2.已知函数y=12(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0),当12≤x≤2时,y随x的增大而减少,则mn的最大值为()A.126B.18C.25D.812答案:B3.若m<n,p<q,且(p-m)(p-n)<0,(q-m)(q-n)<0,则m,n,p,q的大小顺序是()A.m<p<q<nB.p<m<q<nC.m<p<n<qD.p<m<n<q答案:A4.已知x≥52,则y=x2-4x+52x-4有()A.最大值52B.最小值54C.最大值1D.最小值1答案:D5.已知当|x|≤1时,函数y=ax+2a+1的值有正也有负,则实数a的取值范围是()A.a≥-13B.a≤-1C.-1<a<-13D.-1≤a≤-13答案:C6.已知当x∈R时,不等式kx2-kx+1>0恒成立,则k的取值范围是()A.{k|k>0}B.{k|k≥0}C.{k|0≤k<4}D.{k|0<k<4}答案:C7.若关于x的不等式ax2+bx-2>0的解集为{x|-2<x<-14},则a+b 等于()A.-18B.8C.-13D.1答案:C8.已知M=(a+2)(a-4),N=(a+1)(a-3),则 ()A.M>NB.M≥NC.M<ND.M≤N答案:C二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列说法不正确的是 ()A.某人月收入x元不高于2 000元可表示为“x<2 000”B.小明的身高为x cm,小华的身高为y cm,则小明比小华矮表示为“x>y”C.某变量x至少是a可表示为“x≥a”D.某变量y不超过a可表示为“y≥a”答案:ABD10.下列命题为假命题的是 ()A.若ac>bc,则a>bB.若a2>b2,则a>bC.若1a >1b,则a<bD.若√a<√b,则a<b答案:ABC11.已知2<x<3,2<y<3,则()A.6<2x+y<9B.2<2x-y<3C.-1<x-y<1D.4<xy<9答案:ACD12.不等式5x-2x2+3>0的充分不必要条件是()A.-12<x<3 B.-12<x<0C.1<x<2D.-1<x<6答案:BC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.不等式-x2-3x+4>0的解集为{x|-4<x<1}.14.设x>0,y>0,且x+2y=1,则1x +1y的最小值为3+2√2.15.若关于x的一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-1< x<13},则ab的值为6.16.建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,如果池底和池壁每平方米的造价分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为1 760元.四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)解关于x的不等式x2-(2m+1)x+m2+m<0.解:因为Δ=1>0,所以关于x的方程x2-(2m+1)x+m2+m=0的解为x1=m,x2=m+1,二次函数y=x2-(2m+1)x+m2+m的图象开口向上,且与x 轴有两个交点.又m<m+1,所以不等式的解集为{x|m<x<m+1}.18.(12分)求函数y=-2x 2+x-3x(x>0)的最大值,并求此时x的值.解:因为y=1-(2x+3x ),又x>0,所以2x+3x≥2√6,得-(2x+3x)≤-2√6.因此y≤1-2√6.当且仅当2x=3x ,即当x2=32时,等号成立.由于x>0,故当x=√62时,等号成立.因此y max=1-2√6,此时x=√62.19.(12分)若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3<x<1}.(1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0;(2)b为何值时,ax2+bx+3≥0的解集为R?解:(1)由题意知1-a<0,且-3和1是方程(1-a)x2-4x+6=0的两根,所以{1-a<0,41-a=-2,61-a=-3,解得a=3.所以不等式2x2+(2-a)x-a>0即为2x2-x-3>0,解得x<-1或x>32.所以所求不等式的解集为{x|x<-1或x>32}.(2)由(1)知ax2+bx+3≥0即为3x2+bx+3≥0,若此不等式解集为R,则b2-4×3×3≤0,所以-6≤b≤6,故当b∈{b|-6≤b≤6}时,ax2+bx+3≥0的解集为R.20.(12分)已知x>0,y>0,且1x +4y=1,求x+y的最小值.解:因为1x +4y=1,所以x+y=(x+y)·(1x+4y)=5+yx+4xy,又x>0,y>0,所以y x +4xy≥2×√yx·4xy=4.当且仅当yx=4xy,即x=3,y=6时,等号成立.所以当x=3,y=6时,x+y取得最小值9.21.(12分)设a>0,b>0,对任意的实数x>1,有ax+xx-1>b恒成立,试比较√a+1和√b的大小.解:ax+xx-1=ax+1+1x-1=(a+1)+a(x-1)+1x-1,因为x>1,所以x-1>0,ax+1+1x-1≥(a+1)+2√a=(√a+1)2,当且仅当a(x-1)=1x-1(x>1),即x=1+√1a时,等号成立.又ax+xx-1>b恒成立,所以b<(√a+1)2.又a>0,b>0,所以√a+1>√b.22.(12分)某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1),则出厂价相应的提高比例为0.75x ,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的函数解析式;(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x 应在什么范围内?解:(1)依题意得y =[1.2×(1+0.75x )-1×(1+x )]×1 000×(1+0.6x )(0<x <1). 整理,得y =-60x 2+20x +200(0<x <1).故本年度年利润y 与投入成本增加的比例x 的函数解析式为y =-60x 2+20x +200(0<x <1).(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,当且仅当{y -(1.2-1)×1 000>0,0<x <1,即{-60x 2+20x >0,0<x <1, 解得0<x <13.。
人教A版高中学案数学必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 等式性质、不等式性质、基本不等式
16
5
C. + 的最小值是6D.2 + 2 的最小值为
[解析]对于A选项, = ⋅ ⋅ ≤
+
⋅(
) =
A选项正确.对于B选项,( + )( + ) = +
由 =
,
=
,解得
对于C选项, + =
− ≥ ,当且仅当 = −, = 时取等号,故选C.
3.下列说法中，正确的个数是() B
①2 + 2 ≥ 2 成立的条件是 ≥ 0, ≥ 0②2 + 2 ≥ 2 成立的条件是, ∈
③ + ≥ 2 成立的条件是 > 0, > 0④ + ≥ 2 成立的条件是 > 0
等号成立,故有最大值−.故选C.
−
− = −,当且仅当− =
,即
−
= −时,
5.[2024扬州期末]对于实数,,,下列命题正确的是()
C
A.若 > ,则 2 > 2 B.若 > ,则2 > 2
−
C.若 > ,则|| > ||D.若 > > > 0,则
又 < ,∴ − < < ,− > ,∴ > − > > −.
2.已知 = 2 + 4 + 1, = − 2 + 2 − 4,则() C
A. > B. < C. ≥ D. ≤
2022-2023学年人教A版(2019)必修一第一、二章综合测试卷(word版 含答案)
人教A 版（2019）第一二章综合测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.若命题:p 函数21y x =-的图像过点(-3,2),则p 与p ⌝的真假情况是( ) A.都是真命题 B.都是假命题 C.p 真,p ⌝假D.p 假,p ⌝真2.已知集合{|(2)(4)0},{|||(0)}A x x x B x x m m =+-=>，若B A ⊆，则m 的最大值为( ) A.1B.2C.3D.43.已知集合12|log (1)0A x ax ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭，若1A ∈，则a 的取值范围是( )A.(,2)-∞B.31,2⎛⎫⎪⎝⎭C.(1,2)D.(2,)+∞4.集合{}41x N x ∈-<用列举法表示为( ) A.{}0,1,2,3,4B.{}1,2,3,4C.{}0,1,2,3,4,5D.{}1,2,3,4,55.已知集合{}0,2,4,6A =，{}233n B n N =∈≤，则集合A B 的子集个数为（ ）A.4B.6C.7D.86.设3x <，则43x x +-（ ）A.最大值是7B.最小值是7C.最大值是1-D.最小值是1-7.已知m ∈R，若函数||()x m f x e +=对任意x ∈R 满足(2021)(2120)f x f x -=-，则不等式1(ln )ln 2f x f ex ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集是( )A.1,[,)e e ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦B.1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.10,[,)e e ⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D.[,)e +∞8.若不等式220x x m --<在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是( )A.[1,)-+∞B.(1,)-+∞C.3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.(0,)+∞9.已知,0x y >，97x y xy ++=，则3xy 的最大值为( ) A.1B.2C.3D.410.正数a ，b 满足21a b +=，则2aab-的最小值为( )A.10B.6+C.D.1211.若12x -<<，则12x x +-的（ ）A.最小值为0B.最大值为4C.最小值为4D.最大值为012.已知a ，b 为非负数，且满足26a b +=，则()()2214a b ++的最大值为( ) A.40B.1674C.42D.169413.已知0,0x y >>，且4x y +=，则xy 最大值为( ) A.1B.2C.3D.4二、多项选择题14.设正实数,a b 满足1a b +=，则( )A.11a b+有最小值4 12D.22a b +有最小值1215.设正实数a b ，满足1a b +=，则下列结论正确的是（ ） A.11a b+有最小值412D.22a b +有最小值1216.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(1,3)-，则下列说法正确的是( ) A.0a >B.0bx c ->的解集是32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∣C.20cx ax b +->的解集是23x x ⎧<-⎨⎩∣或1}x >D.a b c +<17.已知0a >，0b >，且1a b -=，则( )A.33a b >B.sin sin a b >C.22a b -+>D.b a a b >三、填空题18.若集合1{}1{|1}A B x mx =-==，，，且B A ⊆，则实数m 的值为_______. 19.已知集合126A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N N ∣用列举法表示集合A =_______.20.设全集为R ,集合{}|24A x x =≤<,集合{}|12B x x m =≤-,若A B ⋂≠∅,则实数m 的取值范围为___________.21.}{25A x x =-≤≤，{}B x x a =>，若A B ⊆，则a 取值范围是_______.22.已知集合{|3sin ,}M y y x x =∈=R ，{|||}N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是___________.23.已知集合{}211A x x =<≤，{}20B x x a =->.若A B ⊆，则实数a 的取值范围为__________. 24.若0a >，0b >且240a b +-=，则12a b+的最小值为__________. 25.某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米.若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为________米.26.已知4a b +=，则22a b +的最小值为________. 27.在R 上定义运算：b a bcd a d c =-．若不等式1211x a a x--≥+对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．28.若正数,a b 满足2e a a =，()ln 12e b b -=，则ab =_________. 29.若不等式210x qx p p++>的解集为{|24}x x <<，则实数p =________，q =_______. 四、解答题30.已知集合{|22}A x a x a =-≤≤+，{|1B x x =≤或4}x ≥. (1)当3a =时，求A B ⋂；(2)若“x A ∈”是“x B ∈R ”的充分不必要条件，且A ≠∅，求实数a 的取值范围. 31.已知集合{}2210,,A x ax x a R x R =++=∈∈（1）当A 只有一个元素时，求a 的值，并写出这个元素； （2）当A 至多含有一个元素时，求a 的取值范围.32.已知集合{|25}A x x =-≤≤,{}|121B x m x m =+≤≤- ,若B A ⊆，求实数m 的取值范围.33.已知集合}{2340A x ax x =--=.（1）若A 中有两个元素,求实数a 的取值范围； （2）若A 中至多有一个元素,求实数的a 取值范围. 34.解下列不等式: （1）29610x x -+>；（2）212202x x -++>；（3）2690x x -+≤； （4）2230x x -+->.35.已知函数()2|2||2|f x x x =-++的最小值为m . (1)求m ；(2)若正实数a ，b ，c 满足2a b c m ++=，求211a b c++的最小值. 36.求解下列各题：（1）求2340)2x x y x x ++=<（的最大值；（2）求281)-1x y x x +=>（的最小值.37.已知,,a b c ∈R ，满足a b c >>. （1）求证：1110a b b c c a++>---； （2）现推广：把1c a -的分子改为另一个大于1的正整数p ，使110pa b b c c a++>---对任意a b c >>恒成立，试写出一个p ，并证明之.参考答案1.答案：D解析：∵p 与p ⌝必一真一假，而本题中p 显然是假命题，∴p ⌝必为真命题。
人教A版(2019)高一数学第二章《一元二次函数、方程和不等式》练习题(含答案)
人教A 版（2019）高一数学第二章《一元二次函数、方程和不等式》练习题（含答案）一、单选题1．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32 2．已知a ，b ∈R ，0a b >>，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a a b b ->- B ．11a b b >- C ．11a a b b +>+ D ．11a b b a->- 3．已知不等式组121x m mx n +<⎧⎨->⎩的解集为（2，3），则（ ） A ．23m n <⎧⎨>⎩B ．23m n =⎧⎨=⎩C ．23m n >⎧⎨<⎩D ．23m n =⎧⎨=⎩4．设a b c d ,,,为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的是（ ） A ．2c cd >B ．a d b c +<+C ．ad bc <D ．2211a b > 5．下列不等式中成立的是（ ）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b >>，则22a b >C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若0a b <<，则11a b < 6．已知,,a b c 为正数，则“222a b c +>”是“a b c +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知a ，b ＞0，且a ＋2b ＝1，则12a b+的最小值为（ ） A ．6 B ．8 C ．9 D ．10 8．若1x >，则函数221x y x x +=+-的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．7D ．9二、多选题 9．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若0ab ≠且a b <，则11a b> B ．若01a <<，则2a a < C ．若0a b >>且0c >，则b c b a c a +>+ D ．222(1)a b a b +≥+- 10．已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若a >b ，c >d ，则a -d >b -cB ．若a >b ，c >d 则ac >bdC ．若ab >0，bc -ad >0，则c d a b> D ．若a >b ，c >d >0，则a b d c > 11．下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若,a b c d >>，则a c b d ->-B ．若a b >，且11a b >，则0ab <C ．若0,0a b c >>>，则b c b a c a +>+D ．若0a b <<，则2a ab <12．已知0a >，0b >，且1a b +=，则（ ）A ．2728a b +≥B ．114a b +≤C ．14ab ≤D ≤三、填空题13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若74a =，则678a a a ++的最小值为______．14．已知正数a ，b 满足5a b +=，则2112a b++的最小值为___________. 15．已知21a b +=（a ，0b >），则41a b b ++的最小值为________． 16．已知正数x 、y 满足341x y +=，则xy 的最大值为_________．四、解答题17．已知函数()218=++f x ax bx ，()0f x >的解集为()3,2-．(1)求()f x 的解析式；(2)当0x >时，求()21f x y x-=的最大值．18．已知函数()()24,f x ax x c a c R =-+∈，满足()29f = ，()f c a < ，且函数()f x 的值域为[)0,+∞ ．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()()3f x kx g x k R x+-=∈，对任意[]1,2x ∈ ，存在[]01,1x ∈- ，使得()()0g x f x < 求k 的取值范围．19．已知正实数x ，y 满足441x y +=.（1）求xy 的最大值；（2）若不等式2415a a x y+≥+恒成立，求实数a 的取值范围.20．某居民小区欲在一块空地上建一面积为21200m 的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：m ），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？21．若关于x 的不等式240x mx m -+<的解集为()12,x x ．(1)当1m =时，求121144x x +--的值； (2)若120,0x x >>，求1211x x +的值及124x x +的最小值．22．已知集合{24}A x x =<<，集合2{1}B x m x m =-<<.(1)若A B =∅；求实数m 的取值范围；(2)命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值集合.23．在ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2a B c b =-． （1）求角A 的值；（2）若5b =，5AC CB ⋅=-，求ABC 的周长；（3）若2sin 2sin b B c C bc +=+，求ABC 面积的最大值参考答案1．B2．C3．B4．C5．B6．A7．C8．C9．BCD10．AC11．BC12．ACD13．1214．34##0.75 15．916．14817．（1）解：因为函数()218=++f x ax bx ，()0f x >的解集为()3,2-，那么方程2180ax bx ++=的两个根是3-，2，且0a <，由韦达定理有321318332b a a b a ⎧-+=-=-⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪-⨯=⎪⎩所以()23318f x x x =--+．（2）解：()221333133f x x x y x x x x ----⎛⎫===-+- ⎪⎝⎭，由0x >，所以12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，所以1339x x ⎛⎫-+-≤- ⎪⎝⎭，当1x =时取等号，∴当1x =时，max 9y =-．18．（Ⅰ）根据()29f =，可得417a c += ．由函数()f x 的值域为[)0,+∞ 知，方程240ax x c -+=，判别式0∆= ，即4ac = . 又()f c a < ，24ac c c a ∴-+< ，即c a < ，解得：4,1a c ==，()2441f x x x ∴=-+ ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f(x)的对称轴为1x 2=，则当=-1x 时，()f x 取得最大值为9， 若对任意[]1,2x ∈，存在[]01,1x ∈-，使得()()0g x f x < ，即()244139x x kx g x x-++-=<， 即()241320x k x +--< 对任意[]1,2x ∈恒成立．设()()24132h x x k x =+-- ，则()()1020h h ⎧<⎪⎨<⎪⎩，即116k k <⎧⎨<⎩，解得k 6< ． k ∴的取值范围是(),6-∞19．（1）441x y +=，所以14x y =+≥164xy ≤， 当且仅当18x y ==取等号，∴xy 的最大值为164.（2）()414116444202036y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当16x =，112y =取等号， ∴2536a a +≤，解得94a -≤≤.即a 的取值范围是[]9,4-.20．设矩形停车场南北侧边长为()m 0x x >，则其东西侧边长为1200xm ， 人行通道占地面积为()212007200681200848m S x x x x ⎛⎫=++-=++ ⎪⎝⎭，由均值不等式，得27200848482244896m S x x =++≥=⨯+=， 当且仅当72008x x =，即30m x =时，2min 96m S =，此时120040m x =． 所以，设计矩形停车场南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小528m 2．21．(1)由题可知关于x 的方程2410x x -+=有两个根12,x x ，所以1212Δ1640,4,1,x x x x =->⎧⎨+==⎩ 故()12121212811444441611616x x x x x x x x +--+===----++-+． (2)由题意关于x 的方程240x mx m -+=有两个正根，所以有212121212Δ>01640,040,00,m m x x x x m x x x x m ⎧⎧->⎪⎪+>⇒+=>⎨⎨⎪⎪>=>⎩⎩解得14m ＞； 同时12124x x x x +=，由120,0x x >>得12114x x +=， 所以()211212121241111441444x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由于2112,0x x x x >，所以211244x x x x +≥， 当且仅当21124x x x x =，即122x x =，且12124x x x x +=，解得1233,48x x ==时取得“=”， 此时实数91324m =>符合条件， 故12944x x +≥，且当932m =时，取得最小值94． 22．(1) ∵A B =∅，∴当B =∅时，m －1≥m 2，解得：m ∈∅.当B ≠∅时，m －1≥4或m 2≤2，∴m ≤5m ≥.(2)∵x ∈A 是x ∈B 的充分条件，∴A ⊆B ，∴2124m m -≤⎧⎨≥⎩，解得：m ≤－2或2≤m ≤3. 所以实数m 的取值集合为{2m m ≤-或}23m ≤≤23．（1）2cos 22sin cos 2sin sin a B c b A B C B =-⇒⋅=-,∴2sin cos 2sin()sin 2(sin cos cos sin )sin A B A B B A B A B B ⋅=⋅+-=⋅+⋅-,∴1cos 2A =, 0A π<<,3A π∴=;（2）2()AC CB AC AB AC AC AB AC ⋅=⋅-=⋅-255cos 5255832c c c π=⋅⋅-=-=-⇒=， 在ABC 中利用余弦定理得：2222212cos 58258492a b c b c A =+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅=， 7a ∴=，∴ABC ∆的周长为：58720++=；（3）sin sin b c s A a inB C ====∴sin B =sin C =，∴22b c b c bc a a+=，)2221cos 222a abc a abc A +-=⇒=⇒=⇒a =)222233b c b c bc +-=⇒+=+，323bc bc bc ∴+⇒，等号成立当且仅当b c =， ABC面积的最大值为1sin 2maxbc A ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
人教A新版必修1《第2章_一元二次函数、方程和不等式》2019年单元测试卷(三)
人教A新版必修1《第2章一元二次函数、方程和不等式》2019年单元测试卷（三）复习巩固1. 某夏令营有48人，出发前要从A，B两种型号的帐篷中选择一种，A型号的帐篷比B 型号少5顶，若只选A型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够，每顶帐篷住5人，则有一顶帐篷没有住满，若只选B型号的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够，每顶帐篷住4人，则有帐篷多余，设A型号的帐篷有x顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来．2. 用不等号“>”或“<”填空：（1）若a>b，且1a >1b，则ab<0；（2）若c>a>b>0，则ac−a ________bc−b；（3）若a>b>c>0，则ab ________a+cb+c．3. （1）在面积为定值S的扇形中，半径是多少时扇形的周长最小？ 3. （2）在周长为定值P的扇形中，半径是多少时扇形的面积最大？4. 求下列不等式的解集：（1）14−4x2≥x；（2）x2−14x+45≤0；（3）x2+6x+10>0；（4）x(x+2)>x(3−x)+1．5. 已知a，b>0，ab＝a+b+3，求ab的取值范围．<0对一切实数x都成立？6. 当k取什么值时，一元二次不等式2kx2+kx−387. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小10%，而且这个比值越大，采光效果越好．(1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？8. 相等关系和不等关系之间具有对应关系：即只要将一个相等关系的命题中的等号改为不等号就可得到一个相应的不等关系的命题，请你用类比的方法探索相等关系和不等关系的对应性质，仿照如表列出尽可能多的有关对应关系的命题；指出所列的对应不等关系的命题是否正确，并说明理由．9. 2010年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座“观景花坛”，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角（如△DQH等）上铺草坪，造价为80元/m2．（1）设总造价为S元，AD长为xm，试建立S与x的函数关系；（2）当x为何值时，S最小？并求这个最小值．10. 两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．哪种购物方式比较经济．参考答案与试题解析人教A新版必修1《第2章一元二次函数、方程和不等式》2019年单元测试卷（三）复习巩固1.【答案】由题意得{x>0 x+5>0 4x<480<5x−48<5 3(x+5)<48 4(x+5)>48即{x>0x+5>04x<480<5x−48<53(x+5)<48x+5>12．【考点】二元一次不等式的几何意义【解析】根据条件利用二元一次不等式进行表示即可．【解答】由题意得{x>0 x+5>0 4x<480<5x−48<5 3(x+5)<48 4(x+5)>48即{x>0x+5>04x<480<5x−48<53(x+5)<48x+5>12．2.【答案】若a>b，且1a >1b，则1a−1b=b−aab>0，于是ab<0；>>【考点】不等式的基本性质【解析】（1）通过作差，利用不等式的基本性质即可判断出结论；（2）通过作差，利用不等式的基本性质即可判断出结论；（3）通过作差，利用不等式的基本性质即可判断出结论．【解答】若a>b，且1a >1b，则1a−1b=b−aab>0，于是ab<0；若c>a>b>0，则ac−a −bc−b=a(c−b)−b(c−a)(c−a)(c−b)=(a−b)c(c−a)(c−b)>0，∴ac−a >bc−b；若a>b>c>0，则ab −a+cb+c=a(b+c)−b(a+c)b(b+c)=(a−b)cb(b+c)>0，∴ab >a+cb+c．3.【答案】设扇形的圆心角为θ，半径为r，则扇形的面积为S=12θr2，解得θ=2Sr2；又扇形的周长为P＝2r+θr＝2(r+Sr )≥4⋅√r⋅Sr=4√S，当且仅当r=Sr，即r=√S时扇形的周长最小；设扇形半径为r，弧长为l，则扇形的周长为2r+l＝P，面积为S=12lr；因为P＝2r+l≥2√2rl，当且仅当2r＝l，即r=P4时取等号．所以rl≤P 28，所以S≤P216．【考点】基本不等式及其应用【解析】（1）设出扇形的半径与圆心角，由此表示出扇形的面积，再利用基本不等式求出扇形周长的最小值；（2）由扇形的周长和面积公式都和半径和弧长有关，设出半径和弧长，表示出周长和面积公式，利用基本不等式求出面积的最大值．【解答】设扇形的圆心角为θ，半径为r，则扇形的面积为S=12θr2，解得θ=2Sr2；又扇形的周长为P＝2r+θr＝2(r+Sr )≥4⋅√r⋅Sr=4√S，当且仅当r=Sr，即r=√S时扇形的周长最小；设扇形半径为r，弧长为l，则扇形的周长为2r+l＝P，面积为S=12lr；因为P＝2r+l≥2√2rl，当且仅当2r＝l，即r=P4时取等号．所以rl≤P 28，所以S≤P216．4.【答案】14−4x2≥x．4x2+x−14≤0．(x+2)(4x−7)≤0．∴−2≤x≤74；]．则原不等式的解集为[−2, 74x2−14x+45≤0．(x−5)(x−9)≤0．∴5≤x≤9，则原不等式的解集为[5, 9]．x2+6x+10>0．(x+3)2+1>0．∴x∈R，则原不等式的解集为R．x(x+2)>x(3−x)+1．(2x+1)(x−1)>0．∴x>1或x<−1．2)∪(1, +∞)．则原不等式的解集为(−∞, −12【考点】其他不等式的解法【解析】根据一元二次不等式的解法，分别解出即可．【解答】14−4x2≥x．4x2+x−14≤0．(x+2)(4x−7)≤0．∴−2≤x≤7；4]．则原不等式的解集为[−2, 74x2−14x+45≤0．(x−5)(x−9)≤0．∴5≤x≤9，则原不等式的解集为[5, 9]．x2+6x+10>0．(x+3)2+1>0．∴x∈R，则原不等式的解集为R．x(x+2)>x(3−x)+1．(2x+1)(x−1)>0．∴x>1或x<−1．2)∪(1, +∞)．则原不等式的解集为(−∞, −125.【答案】∵正数a，b，∴ab＝a+b+3≥2√ab+3，∴ab≥2√ab+3，∴(√ab−3)(√ab+1)≥0，∴√ab≥3或√ab≤−1，∴ab≥9，ab的取值范围：[9, +∞)．【考点】基本不等式及其应用【解析】将式子中的a+b用ab表示，再解不等式求出范围即可．【解答】∵正数a，b，∴ab＝a+b+3≥2√ab+3，∴ab≥2√ab+3，∴(√ab−3)(√ab+1)≥0，∴√ab≥3或√ab≤−1，∴ab≥9，ab的取值范围：[9, +∞)．6.【答案】当k＝0，不满足一元二次不等式；当k≠0，令y=2kx2+kx−3，8∵y<0恒成立，∴开口向下，抛物线与x轴没公共点，即k<0，且△＝k2+3k<0，解得−3<k<0；综上所述，k的取值范围为−3<k<0．【考点】一元二次不等式的应用【解析】先分类讨论：当k＝0，不满足一元二次不等式；当k≠0，利用二次函数的性质求解，，要y<0恒成立，则开口向下，抛物线与x轴没公共点，即k<0，令y=2kx2+kx−38且△<0，解不等式即可得到k的取值范围．【解答】当k＝0，不满足一元二次不等式；当k≠0，令y=2kx2+kx−3，8∵y<0恒成立，∴开口向下，抛物线与x轴没公共点，即k<0，且△＝k2+3k<0，解得−3<k<0；综上所述，k的取值范围为−3<k<0．7.【答案】解：(1)设这所公寓的窗户面积为am2，地板面积为bm2，由题意可得：{a+b=220，ab≥10%，所以b≤a10%=10a，所以a+b=220≤a+10a，所以a≥20，所以这所公寓的窗户面积至少为20m2．(2)设窗户面积为x，地板面积为y，窗户和地板同时增加m，则xy −x+my+m=x(y+m)−y(x+m)y(y+m)=(x−y)my(y+m)，由题意可知0<x<y，m>0，所以(x−y)my(y+m)<0，即xy<x+my+m，所以公寓的采光效果变好了．【考点】根据实际问题选择函数类型不等式比较两数大小【解析】（1）设窗户面积为x，列出不等式组，解出x的范围即可；（2）根据作差法比较大小即可．【解答】解：(1)设这所公寓的窗户面积为am2，地板面积为bm2，由题意可得：{a+b=220，ab≥10%，所以b≤a10%=10a，所以a+b=220≤a+10a，所以a≥20，所以这所公寓的窗户面积至少为20m2．(2)设窗户面积为x，地板面积为y，窗户和地板同时增加m，则xy −x+my+m=x(y+m)−y(x+m)y(y+m)=(x−y)my(y+m)，由题意可知0<x<y，m>0，所以(x−y)my(y+m)<0，即xy<x+my+m，所以公寓的采光效果变好了．8.【答案】根据题意，填写下表即可；对于（1），当x>y时，x3>y3，指数是奇数，命题正确；对于（2），当x>y，y>z时，x>z，由不等关系的传递性知，命题正确；对于（3），当x>y时，x−y>0，(x+z)−(y+z)＝x−y>0，得出x+z>y+z 正确；对于（4），当x>y时，若z>0，则xz−yz＝z(x−y)>0，得出xz>yz正确；对于（5），当x＝0，y＝−1时，若n＝2，则02<(−1)2，得出命题错误．【考点】四种命题的定义【解析】根据等式的性质类比得出不等式的性质，再判断它们的真假性即可．【解答】根据题意，填写下表即可；对于（1），当x>y时，x3>y3，指数是奇数，命题正确；对于（2），当x>y，y>z时，x>z，由不等关系的传递性知，命题正确；对于（3），当x>y时，x−y>0，(x+z)−(y+z)＝x−y>0，得出x+z>y+z 正确；对于（4），当x>y时，若z>0，则xz−yz＝z(x−y)>0，得出xz>yz正确；对于（5），当x＝0，y＝−1时，若n＝2，则02<(−1)2，得出命题错误．9.【答案】(0<x<10√2)，设DQ＝y，又AD＝x，则x2+4xy＝200，∴y=200−x24x∴ S ＝4200x 2+210⋅4xy +80⋅2y 2=38000+4000x 2+400000x 2(0<x <10√2)．S ≥38000+2√16×108=118000， 当且仅当4000x 2=400000x 2，即x =√10时，S min ＝118000元．【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】（1）先设DQ ＝y ，又AD ＝x ，根据由二个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200 m 2的十字型地域得出y 的函数表达式，最后建立建立S 与x 的函数关系即得；（2）利用基本不等式求出（1）中函数S 的最小值，并求得当x 取何值时，函数S 的最小值即可． 【解答】设DQ ＝y ，又AD ＝x ，则x 2+4xy ＝200，∴ y =200−x 24x(0<x <10√2)，∴ S ＝4200x 2+210⋅4xy +80⋅2y 2=38000+4000x 2+400000x 2(0<x <10√2)．S ≥38000+2√16×108=118000， 当且仅当4000x 2=400000x 2，即x =√10时，S min ＝118000元．10.【答案】设第一次和第二次购物时的价格分别为p 1，p 2．按第一种策略，每次购nkg ，按这种策略购物时，两次的平均价格是： x =p 1n+p 2n2n=p 1+p 22．若按第二种购物策略，第一次花m 元钱，能购mp 1kg 物品，第二次仍花m 元钱，能购mp 2kg 物品，两次购物的平均价格为y =2mm p 1+m p 2=21p 1+1p 2．比较两种购物时的平均价格： x −y =p 1+p 22−21p 1+1p 2=p 1+p 22−2p 1p 2p 1+p 2=(p 1+p 2)2−4p 1p 12(p 1+p 2)=(p 1−p 2)22(p1+p 2)≥0．因为第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格，所以用第二种策略比较经济． 【考点】根据实际问题选择函数类型试卷第11页，总11页 【解析】设第一次和第二次购物时的价格分别为p 1，p 2．按第一种策略，每次购nkg ，按这种策略购物时，两次的平均价格是：x =p 1n+p 2n 2n =p 1+p 22．若按第二种购物策略，第一次花m 元钱，能购m p 1kg 物品，第二次仍花m 元钱，能购m p 2kg 物品，两次购物的平均价格为y =2m m p 1+m p 2=21p 1+1p 2．用做差法比较两次购物时的平均价格发现第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格，所以用第二种策略比较经济．【解答】设第一次和第二次购物时的价格分别为p 1，p 2．按第一种策略，每次购nkg ，按这种策略购物时，两次的平均价格是：x =p 1n+p 2n 2n =p 1+p 22．若按第二种购物策略，第一次花m 元钱，能购m p 1kg 物品， 第二次仍花m 元钱，能购mp 2kg 物品， 两次购物的平均价格为y =2m m p 1+m p 2=21p 1+1p 2．比较两种购物时的平均价格：x −y =p 1+p 22−21p 1+1p 2=p 1+p 22−2p 1p 2p 1+p 2=(p 1+p 2)2−4p 1p 112 =(p 1−p 2)22(p 1+p 2)≥0．因为第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格，所以用第二种策略比较经济．。
第二单元 一元二次函数、方程和不等式检测题(综合题)人教A版(2019)高一数学必修第一册
（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
22．一个圆心为 的半圆形如图所示， 、 在半圆弧 上， ， 与 交于点 ，且 .
（1）设 ， ，求 关于 的函数关系式；
（2）求 面积的最大值：
参考答案
1．C
【分析】
作差比较可得答案.
【详解】
a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
所以a≥b.
故选：C.
2．D
【分析】
利用等式的性质分别对各选项逐一分析判断并作答.
【详解】
对于选项A，由等式的性质知，若x=y，则x+5=y+5，A正确；
对于选项B，由等式的性质知，若a=b，则ac=bc，B正确；
故答案为：0≤a<1
16．
【分析】
由基本不等式求得不等式左边的最小值即可得参数范围．
【详解】
因为 ，
所以
当且仅当 ，即 时等号成立．
所以 ．
故答案为： ．
17．（1）a＝1；（2）当 时，不等式的解集为 ，当 时，不等式的解集为 ，当 时，不等式的解集为
【分析】
（1）由已知可知 或 是方程 的根，把根代入方程中可求出 的值；
第二单元一元二次函数、方程和不等式检测题（综合题）
一、选题
1．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则（）
A．a>bB．a<b
C．a≥bD．a≤b
2．下列运用等式的性质，变形不正确的是（）
A．若x=y，则x+5=y+5
B．若a=b，则ac=bc
第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元测试A卷——高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册含答
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元测试A 卷（答卷时间：40分钟，满分：100分）一、单选题（本题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.已知a b >,c R Î则下列结论正确的是（ ）A ．22a b > B ．22ac bc > C ．a c b c +>+ D ．ac bc<2.若0x >,则1x x +的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．D ．43.不等式2230x x --<的解集为（ ）A ．{}|31x x -<< B ．{}|13x x -<<C ．{}|13x x x <->或D ．{}|31x x x <->或4.已知01x <<,则(1)x x -的最大值为（ ）A ．13 B ．12 C ．14 D ．235.已知25,1,4A x B x =+=+则A 和B 的大小关系是（ ）A ．A B > B ．A B < C ．A B ³ D ．无法确定6.已知不等式230ax bx +->的解集为{}|13x x <<,则a b -=（ ）A ．3- B ．1- C ．3 D ．5-7.若1x >,则函数411y x x =-+-取得最小值时x 的值为 （）A ．2B ．32C ．3D ．4二、多选题（本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，完全正确得5分，选对部分得3分，出现错误选项得0分)8. 设,a b 为任意两个非零实数,那么“不等式11a b<成立”的一个充分不必要条件是 ( )A ．0a b <<B ．0a b -<C ．0a b >>D ．a b>9.已知0,0,a b >>下列说法一定成立的是 （ ）A ．222a b ab +³2a b+£C ．a b +> D.22433a a +++（）的最小值为410.对于任意实数x ,不等式230x ax -+>恒成立,则实数a 可以是 （ ）A ．2B ．3C ．D ．4三、填空题（本题共 4小题，每小题 5 分，共 20分，其中14题第一个空2分，第二个空3分）11.不等式201x x ->+的解集是________.12.已知0,a >1,a b +=则a b a a ++的最小值是________.13.设,,a b c R Î则“a b >”是“22ac bc >”的_______________条件.14.已知0,0,m n >>且m 和n 的算术平均数不小于它们的几何平均数，则此不等关系的表达式为______________,8m n +=时,mn 的最大值为____________.四、解答题（本题共 3道大题，每道大题 10分，共 30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15.解下列一元二次不等式（1）23100x x -->； （2）22950x x --+>.16.已知,x R Î21,4M x =+N x =,比较M 和N 的大小关系，写出详细过程.17. 若0,a b >>0c d <<求证：（1）11a b<; （2）a c b d->-第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元测试A 卷参考答案一、单选题（本题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.C.解析：A 选项中当22()()a b a b a b -=+-无法判断a b +的正负所以无法确定2a 与2b 的大小关系,另外也可以根据不等式的性质中只有满足条件0a b >³,才能得到22a b >因此A 错误；B 选项中当0c =时22ac bc =,0c ¹时22ac bc >,因此B 错误；C 选项中由于a b >,不等式两边同时加上同一实数c ,不等号的方向不变（同向可加性）因此C 正确；D 选项中由于不清楚实数c 的正负,无法通过a b >得到ac 和bc 的大小关系, 故选C.2.A.解析：基本不等式：0,0a b >>2a b +£,当且仅当a b =时等号成立.其中式子2a b +£可变形为a b +³.由于0x >则10x >,因此1x x +³即12x x +³, 当且仅当1x x =即1x =时12x x +=,等号成立,所以1x x +的最小值为2, 故选A.（注意利用基本不等式求最大值或最小值需要满足的条件）3.A.解析：解一元二次方程2230x x --=得1213x x =-=，, 且二次函数223y x x =--的图象开口向上,由此该二次函数的图象如图.通过对该函数图象的观察,得到不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<, 故选A. （注意借助二次函数与一元二次方程、不等式之间的联系,是求解一元二次不等式的一般性方法）.x02a b +£,当且仅当a b =时等号成立.变形得2()2a b ab +£.由01x <<可知0x >,10x ->,则211(1)(24x x x x +--£=,当且仅当1x x =-即12x =时等号成立,所以当12x =时1x x =-有最大值14,故选C.5.C. 分析：比较两项的大小关系，在性质特征不是很明显的情况下通常采用作差法,如果不能直接看出差值与0的大小关系,可将作差的结果进行适当变形,从而得出结论. 解析：22251110442A B x x x x x -=+-+-+=-³（）=（）,所以0A B -³,因此A B ³,故选C.6.D. 解析：因为不等式230ax bx +->的解集为{}|13x x <<,所以1和3是方程230ax bx +-=的两个解.解法一：将1x =和3x =分别代入230ax bx +-=得{2211303330a b a b +-=+-=g g g g 即{309330a b a b +-=+-=解得{14a b =-=所以5a b -=-,故选D.解法二：方程230ax bx +-=的两个解1和3,说明方程230ax bx +-=是一元二次方程, 0a ¹,则可利用根与系数的关系得到方程组13313ba a +=--´=-ìíî解得{14a b =-=所以5a b -=-,故选D.7.C. 解析：1x >则410,01x x ->>-,所以4141y x x =-+³=-,当且仅当且仅当411x x -=-,即3x =时411y x x =-+-取得最小值4, 所以411y x x =-+-取得最小值时3x =,故选C.二、多选题（本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，完全正确得5分，选对部分得3分，出现错误选项得0分)8.AC.思路：题中考查选项中哪几个是“不等式11a b <成立”的充分不必要条件,则该条件成立时可以推出11a b <,而当11a b<成立时无法推出该条件成立.本题考查不等式相关知识，因此注重利用不等式性质及作差法的运用技巧.解析：A 选项,充分性：当0a b <<成立时11a b <也成立,因此充分性成立；必要性：当11a b<成立时无法判断0a b <<成立,因此必要性不成立.所以 “0a b <<”是“不等式11a b<成立”的充分不必要条件. B 选项,充分性：当0a b -<成立时11b a a b ab --=,由于无法确定ab 的符号,因此无法确定11a b<是否成立,因此充分性不成立；必要性：当11a b <成立时110b a a b ab--=<,由于无法确定ab 的符号,无法判断0a b -<成立,因此必要性不成立.所以 “0a b -<”是“不等式11a b<成立”的既不充分也不必要条件.C 选项,充分性：当0a b >>成立时10,ab>利用不等式的性质可知11,a b ab ab >g g 因此11b a >,即11a b <成立,因此充分性成立；必要性：当11a b<成立时无法判断0a b >>成立,因此必要性不成立.所以 “0a b >>”是“不等式11a b<成立”的充分不必要条件. D 选项,充分性：1111,,a b ab b ab a==g g 当a b >成立时由于无法确定1ab 的正负,所以无法确定1a ab g 和1b ab g 的大小关系,即无法确定11a b<成立,因此充分性不成立；必要性：同理当11a b<成立时无法确定a b >成立,因此必要性不成立.所以 “a b >”是“不等式11a b<成立”的既不充分也不必要条件.综上所述可知正确选项为AC.9.AB.解析：因为0,0,a b >>重要不等式222a b ab +³2a b +£均成立,故A,B 正确,当且仅当a b =2a b +=即a b +=,所以a b +>成立,C 错误, 由于2330a +³>,2403a >+则224343a a ++³=+（） 当且仅当22433a a =++（）成立时等号成立,由于22433a a =++（）时21a =-无解,所以22433a a +++（）无法取得最小值4,因此D 错误. 综上所述可知正确选项为AB.本题考查对基本不等式的理解及对是否符合利用基本不等式求最值条件的判定能力.10.ABC. 解析：任意实数x ,不等式230x ax -+>恒成立,则函数23y x ax =-+的最小值2min 413041a y ´´-=>´,解得a -<<则选项中满足该条件的实数a 可以是故选ABC.点评：将一元二次不等式恒成立问题转化为函数的最值问题是常见的解题策略，即若0(0)y y ><恒成立则只需min max 0(0)y y ><,这一结论是解决这类问题的关键,也是解决恒成立问题的总的思考方向.三、填空题（本题共 4小题，每小题 5 分，共 20分，其中14题第一个空2分，第二个空3分）11. {}|12x x x <->或解析：本道题考查分式不等式的等价转换.不等式201x x ->+等价于2)(1)0x x -+>（，解得12x x <->或，所以201x x ->+的解集为{}|12x x x <->或，注意解集要写成集合或区间的形式，区间形式将会在下一章学习到.12.2解析：本道题考查基本不等式的构造思维能力和对运用基本不等式求最值方法的掌握.1,a b +=则1=a b a a a a +++,因为10,0a a >>则1=a b a a a a +++³，当且仅当1=a a ，即=1a 时等号成立，因此a b a a++的最小值为2.13.必要不充分条件解析：充分性：,,a b c R Î，当a b >，0c =时2=0c ，22==0ac bc ，因此a b >Þ/22ac bc >，充分性不成立； 必要性：22ac bc >时说明20c ¹，那么一定有20c >，210c >，由不等式的性质可知此时222211ac bc c c>g g ，即a b >，因此22ac bc a b >Þ>必要性成立.综上所述“a b >”是“22ac bc >”的必要不充分条件.14. 第一空：+2m n ³第二空：16解析：0,0,m n >>且m 和n 的算术平均数是+2m n ，m 和n ，因此“m 和n 的算术平均数不小于它们的几何平均数”的符号表达式为+2m n ³+2m n ³变形可知2+(2m n mn £,当且仅当=m n 时等号成立, 8m n +=,mn £28(2=16,所以当且仅当4m n ==时mn 的最大值16.四、解答题（本题共 3道大题，每道大题 10分，共 30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 解：（1）解一元二次方程2310=0x x --得1=2x -,2=5x 则一元二次函数2=310y x x --的图象如图}5>.（2）不等式22950x x --+>的等价不等式为22+950x x -<解一元二次方程22+95=0x x -得15x =-,21=2x 则22+950x x -<的解集为1|52x x ìü-<<íýîþ即一元二次不等式22950x x --+>的解集为1|52x x ìü-<<íýîþ.方法指导：解一元二次不等式可以从解一元二次方程的根入手,了解一元二次方程与相应二次函数图象的联系,画出二次函数的图象,能根据具体函数图象得到相应一元二次不等式的解集.另外在学习本节课内容之后可以用课堂上推广的一般结论,解决相关问题.注意要明确课本上一般结论的推广过程，理解知识本质,体会数形结合和函数思想的应用,以及具体到抽象,特殊到一般的研究问题的基本方法.16. 分析：比较两项的大小关系,在性质特征不是很明显的情况下通常采用作差法,如果不能直接看出差值与0的大小关系,可将作差的结果进行适当变形,从而得出结论.解：221144M N x x x x -=+-=-+2211222x x =-+g （21=()2x - 因为,x R Î所以21(02x -³所以0M N -³,即M 和N 的大小关系是M N ³.17. 分析：通过观察不难发现两个小问均可采用作差法或利用不等式的性质直接证明.解：（1）0a b >>则10ab>由不等式的性质可知11a b ab ab >g g ,即11b a >,所以11a b<（2）0c d <<则0c d ->->又0a b >>Q ()()a cb d \+->+-ac bd \->-。
人教A版高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题卷含答案解析(60)
人教A 版高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知正实数 a ，b ，若 2(a +b )+1a +1b =6，z =a +b ，则 z 的取值范围是 ( ) A ． {z∣ 1≤z ≤2} B ． {z∣ 12≤z ≤2} C ． {z∣ 1≤z ≤4}D ． {z∣ z ≥4}2. 对于问题“已知关于 x 的不等式 ax 2+bx +c >0 的解集为 (2,5)，解关于 x 的不等式 cx 2+bx +a >0”，给出如下一种解法：由 ax 2+bx +c >0 的解集为 (2,5)，得 a (1x )2+b (1x )+c >0 的解集为 (15,12)，即关于 x 的不等式 cx 2+bx +a >0 的解集为 (15,12)．类比上述解法，若关于 x 的不等式 x+a x+b <0 的解集为 (1,3)，则关于 x 的不等式 1+alog x 31+blog x3<0 的解集为 ( )A ． (3,27)B ． (3,9)C ． (1,27)D ． (1,9)3. 若实数 x ，y 满足 x 2+y 2+xy =1，则 x +y 的最大值是 ( ) A ． 6 B ．2√33C ． 4D ． 234. 若不等式 ax 2+bx +c >0 的解集为 {x∣ −2<x <1}，则不等式 ax 2+(a +b )x +c −a <0 的解集为 ( ) A ． {x∣ x <−√3或x >√3} B ． {x∣ −3<x <1}C ． {x∣ −1<x <3}D ． {x∣ x <−3或x >1}5. 设 a >0，b >0 且 ab −(a +b )≥1，则 ( )A ． a +b ≥2(√2+1)B ． a +b ≤√2+1C ． a −b ≤(√2+1)2D ． a +b >2(√2+1)6. 设 a,b ∈R ，定义运算" ∧ "和" ∨ "如下：a ∧b ={a,a ≤b,b,a >b, a ∨b ={b,a ≤b,a,a >b. 若正数 a,b,c,d满足 ab ≥4，c +d ≤4，则 A ．a ∧b ≥2,c ∧d ≤2 B ．a ∧b ≥2,c ∨d ≥2 C ．a ∨b ≥2,c ∧d ≤2D ．a ∨b ≥2,c ∨d ≥27. 设 a >b >c >0，则 2a 2+1ab +1a (a−b )−10ac +25c 2 的最小值是 ( )A ． 2B ． 4C ． 2√5D ． 58. 已知 −π2<α<β<π2，则 α−β 的范围是 ( ) A ． ∣α−β∣<π2B ． ∣α−β∣<πC ． −π<α−β<0D ． −π2<α−β<09. 若不等式 ax 2+2x +c <0 的解集是 (−∞,−13)∪(12,+∞)，则不等式 cx 2+2x +a ≤0 的解集是 ( ) A ． [−12,13]B ． [−13,12]C ． [−2,3]D ． [−3,2]10. 若关于 x 的不等式 ax 2−(a +1)x +1<0(a ∈R ) 的解集为 (1a ,1)，则 a 的取值范围为( ) A ． a <0 或 a >1 B ． a >1 C ． 0<a <1 D ． a <0二、填空题（共6题）11. 已知正数 a ，b 满足 4a +b =30，使得 1a+4b 取最小值的实数对 (a,b ) 是 ．12. 已知 a >0，b >0，ab =9，则 a +3b 的最 值为 ．13. 已知 x >−1，则函数 y =(x+10)(x+2)x+1的最小值为 ．14. 已知 a +2b =1(a >0,b >0)，则 2b a+1b 的最小值等于 ．15. 若实数 x ，y 满足 xy =1，则 x 2+4y 2 的最小值为 ．16. 已知 a >0，b >0，且 3a+2+3b+2=1，则 a +2b 的最小值为 ．三、解答题（共6题）17. 已知 a >0，b >0，且 2a +b =1．求 S =2√ab −4a 2−b 2 的最大值．18.已知a>b>c，1a−b +1b−c≥na−c，求n的最大值．19.已知关于x的不等式ax2+2x+c>0的解集为{x∣ −13<x<12}，求a+c的值．20.物联网(Internet of Things，缩写：IoT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境（家庭、办公、工厂）等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月占地费为y1（单位：万元），仓库到车站的距离为x（单位：千米），其中y1与x+1成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与x成正比．若在距离车站9千米处建仓库，则y1和y2分别为2和7.2．问这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少万元？21.如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上．CD垂直AN于点D，CB垂直AM于点B，∣CD∣=∣AB∣=3m，∣AD∣=∣BC∣=2m，设∣DN∣=x m，∣BM∣=y m．求这块矩形草坪AMPN面积的最小值．22.已知函数y=x2−x+m．(1) 当m=−2时，求不等式y>0的解集；(2) 若m>0，y<0的解集为{x∣ a<x<b}，求1a +4b的最小值．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】A【解析】由2(a+b)+1a +1b=(a+b)(2+1ab)=6，得a+b=62+1ab≤62+4(a+b)2，化简得(a+b)2−3(a+b)+2≤0，解得1≤a+b≤2，即z的取值范围为{z∣ 1≤z≤2}．【知识点】均值不等式的应用2. 【答案】A【解析】将关于x的不等式1+alog x31+blog x3<0变形可得1log x3+a1log x3+b<0，从而由条件可得1<1log x3<3．利用对数换底公式有1<log3x<3，即log33<log3x<log327，于是所求不等式的解集为(3,27)，故选A．【知识点】二次不等式的解法3. 【答案】B【解析】x2+y2+xy=1⇒(x+y)2−xy=1，因为xy≤(x+y2)2，当且仅当x=y时取等号，所以(x+y)2−(x+y2)2≤1，解得34(x+y)2≤1，所以−2√33≤x+y≤2√33，所以x+y的最大值是2√33．【知识点】均值不等式的应用4. 【答案】D【解析】由已知得方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1=−2，x2=1，且a<0，所以ba =1，ca=−2．所以不等式ax2+(a+b)x+c−a<0可化为x2+(1+ba )x+ca−1>0，即x2+2x−3>0，解得x<−3或x>1．【知识点】二次不等式的解法5. 【答案】A【解析】由条件知 a +b ≤ab −1≤(a+b 2)2−1，令 a +b =t ，则 t >0 且 t ≤t 24−1，解得 t ≥2+2√2．【知识点】均值不等式的应用6. 【答案】C【解析】根据题意知，a ∧b 表示 a,b 中较小的，a ∨b 表示 a,b 中较大的，因为(a+b 2)2≥ab ≥4,所以a +b ≥4.又因为 a,b 为正数，所以 a,b 中至少有一个大于或等于 2，所以a ∨b ≥2.因为 c +d ≤4，c,d 为正数，所以 c,d 中至少有一个小于或等于 2，所以c ∧d ≤2. 【知识点】均值不等式的含义7. 【答案】B【解析】因为 a >b >c >0， 所以原式=a 2+1ab +1a (a−b )−10ac +25c 2+a 2=a 2−ab +1a (a−b )+ab +1ab+(a −5c )2≥2+2+0=4,当且仅当 a (a −b )=1，ab =1，a −5c =0，即当 a =√2，b =√22，c =√25时，等号成立．故所求式子取得最小值 4． 【知识点】均值不等式的应用8. 【答案】C【解析】 −π2<α<π2，−π2<−β<π2由不等式的性质，所以 −π<α−β<π， 又 α<β，所以 −π<α−β<0，选C ． 【知识点】不等式的性质9. 【答案】D【知识点】二次不等式的解法10. 【答案】B【解析】不等式 ax 2−(a +1)x +1<0 可化为 (ax −1)(x −1)<0，由不等式 ax 2−(a+1)x+1<0的解集为(1a,1)，得a>0，方程(ax−1)(x−1)=0的两根为x1=1，x2=1 a ，且1a<1，所以a的取值范围为a>1．【知识点】二次不等式的解法二、填空题（共6题）11. 【答案】(154,15)【解析】因为正数a，b满足4a+b=30，所以1 a +4b=130(4a+b)(1a+4b)=130(8+ba+16ab)≥130(8+2√ba⋅16ab)=815.当且仅当b=4a=15时取等号，所以使得1a +4b取最小值的实数对(a,b)是(154,15)．【知识点】均值不等式的应用12. 【答案】小；6√3【知识点】均值不等式的应用13. 【答案】16【解析】由x>−1得x+1>0，则y=[(x+1)+9][(x+1)+1]x+1=(x+1)2+10(x+1)+9x+1=(x+1)+9x+1+10≥2⋅√(x+1)⋅9x+1+10=6+10=16.当且仅当x+1=9x+1，即x=2或x=−4（舍去）时，等号成立，所以y min=16．【知识点】均值不等式的应用14. 【答案】2+2√2【解析】因为 a +2b =1， 所以2b a +1b =1−a a +1b =1a +1b −1，所以 1a +1b =(1a +1b )(a +2b )=3+2b a+a b ≥3+2√2b a ⋅ab =3+2√2，当且仅当 2b a =ab 时取等，所以2b a+1b=1a+1b−1≥3+2√2−1=2+2√2．故答案为：2+2√2． 【知识点】均值不等式的应用15. 【答案】 4【知识点】均值不等式的应用16. 【答案】 6√2+3【解析】由题意，设 z =a +2b +6=(a +2)+2(b +2)，又由[(a +2)+2(b +2)]⋅(3a+2+3b+2)=9+6(b+2)a+2+3(a+2)b+2≥9+2√6(b+2)a+2×3(a+2)b+2=9+6√2.当且仅当6(b+2)a+2=3(a+2)b+2时，即 a +2=√2(b +2) 时等号成立．即 z 的最小值为 9+6√2，所以 a +2b 的最小值是 6√2+3．【知识点】均值不等式的应用三、解答题（共6题）17. 【答案】因为 a >0，b >0，2a +b =1，所以 4a 2+b 2=(2a +b )2−4ab =1−4ab ，且 1=2a +b ≥2√2ab ， 即 √ab ≤√24，ab ≤18，所以 S =2√ab −4a 2−b 2=2√ab −(1−4ab )=2√ab +4ab −1≤√2−12， 当且仅当 a =14，b =12 时，等号成立． 因此，当 a =14，b =12时，S 的最大值为√2−12． 【知识点】均值不等式的应用18. 【答案】因为 a >b >c ，所以 a −b >0，b −c >0，a −c >0． 因为 1a−b +1b−c ≥na−c ， 所以 n ≤a−c a−b +a−c b−c．因为 a −c =(a −b )+(b −c )， 所以(a−b )+(b−c )a−b+(a−b )+(b−c )b−c=b−c a−b+a−b a−c+2≥2√b−c a−b⋅a−b b−c+2=4（当且仅当 2b =a +c 时取等号）， 所以 n ≤4，所以 n 的最大值是 4． 【知识点】均值不等式的应用19. 【答案】由 ax 2+2x +c >0 的解集为 {x∣ −13<x <12} 知 a <0，且 −13，12 为方程 ax 2+2x +c =0 的两个根， 由根与系数的关系得 −13+12=−2a ， −13×12=ca ，解得 a =−12，c =2， 所以 a +c =−10．【知识点】二次不等式的解法20. 【答案】设 y 1=kx+1(k ≠0)，y 2=mx (m ≠0)，其中 x >0，当 x =9 时，y 1=k 9+1=2，y 2=9m =7.2， 解得 k =20，m =0.8， 所以 y 1=20x+1，y 2=0.8x ， 设两项费用之和为 z 万元，则z=y 1+y 2=20x+1+0.8x =20x+1+0.8(x +1)−0.8≥2√20x+1×0.8(x +1)−0.8=7.2,当且仅当20x+1=0.8(x+1)，即x=4时，“=”成立，所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元．【知识点】均值不等式的实际应用问题21. 【答案】由题意∠NCD=∠CMB⇒x3=2y⇒xy=6，S矩形AMPN=(x+2)(y+3)=xy+3x+2y+6=12+3x+2y≥12+2√3x⋅2y=24．当且仅当3x=2y，即x=2，y=3时取得等号．则这块矩形草坪AMPN面积的最小值为24m2．【知识点】均值不等式的应用22. 【答案】(1) 当m=−2时，y=x2−x+m=x2−x−2，所以当y>0时，x2−x−2>0，由x2−x−2=0，得x1=−1，x2=2，故不等式y>0的解集为{x∣ x<−1或x>2}．(2) 因为y<0的解集为{x∣ a<x<b}，所以a，b为方程x2−x+m=0的两个实数根，所以a+b=1，ab=m．因为m>0，所以a>0，b>0，所以1 a +4b=(1a+4b)(a+b)=ba+4ab+5≥2√ba⋅4ab+5=9,当且仅当ba =4ab，即a=13，b=23时，等号成立．故1a +4b的最小值为9．【知识点】二次不等式的解法、均值不等式的应用。
高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册《第二章 直线和圆的方程》章节练习(含解析)
人教A版（2019）选择性必修第一册《第二章直线和圆的方程》章节练习一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）直线l经过两条直线3x+4y−5=0和3x−4y−13=0的交点，且与直线x+ 2y+1=0垂直，则l的方程是()A. 2x+y−7=0B. 2x−y−7=0C. 2x+y+7=0D. 2x−y+7=02.（5分）到直线2x+y+1=0的距离为√55的点的集合是()A. 直线2x+y−2=0B. 直线2x+y=0C. 直线2x+y=0和2x+y−2=0D. 直线2x+y=0和2x+y+2=03.（5分）直线√3x+y−1=0的倾斜角是()A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘4.（5分）过P(2,−2)的直线l与圆(x−1)2+y2=1相切，则直线l的方程为()A. 3x+4y+2=0或y=−2B. 4x+3y−2=0或y=−2C. 3x+4y+2=0或x=2D. 4x+3y−2=0或x=25.（5分）若方程x2+y2−x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是()A. m<12B. m>12C. m<0D. m⩽126.（5分）直线x+√2y−1=0的斜率是()A. √2B. −√2C. √22D. −√227.（5分）已知直线m过点A(2,−3)，且在两个坐标轴上的截距相等，则直线m的方程是()A. 3x+2y=0B. x+y+1=0C. x+y+1=0或3x+2y=0D. x+y−1=0或3x−2y=08.（5分）直线x+2y+3=0在y轴上的截距为()A. 32B. 3 C. −3 D. −32二、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“若A、B为平面上相异的两点，则所有满足：|PA||PB|=λ(λ>0,且λ≠1)的点P的轨迹是圆“，后来人们称这个圆为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系xOy中，A(−2,0)，B(4,0)，若λ=12，则下列关于动点P的结论正确的是()A. 点P的轨迹方程为x2+y2+8x=0B. ΔAPB面积的最大值为6C. 在x轴上必存在异于A、B的两定点M、N，使得|PM||PN|=12D. 若点Q(−3,1)，则2|PA|+|PQ|的最小值为5√210.（5分）已知双曲线C：x2−y24=1，则()A. 双曲线C的离心率等于焦距的长B. 双曲线y2−x24=1与双曲线C有相同的渐近线C. 双曲线C的一条准线被圆x2+y2=1截得的弦长为4√55D. 直线y=kx+b(k,b∈R)与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，211.（5分）已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0.下列命题正确的有()A. 直线l与圆C可能相切B. y轴被圆C截得的弦长为4√6C. 直线l被圆C截得的最短弦长为2√5D. 直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为2x−y−5=012.（5分）设有一组圆C k:(x−1)2+(y−k)2=k4(k∈N∗).下列四个命题正确的是()A. 存在k，使圆与x轴相切B. 存在一条直线与所有的圆均相交C. 存在一条直线与所有的圆均不相交D. 所有的圆均不经过原点13.（5分）过点P(-1,1)的直线l与圆x2+y2+4x=0相交于A,B两点，当|AB|取得最值时，直线l的方程是()A. x-y+2=0B. x-y=0C. x-y-2=0D. x+y=0三、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）圆x2+y2+x=0与圆x2+y2−2y=0的公共弦所在的直线方程为______．15.（5分）已知点A(0,2)关于直线l的对称点为B(4,0)，点C(6,3)关于直线l的对称点为D(m,n)，则m+n= ______ ．16.（5分）已知点P(1,3)，点Q(−1,2)，点M为直线x−y+1=0上一动点，则|PM|+|QM|的最小值为______ .17.（5分）设直线l：3x+4y+4=0，圆C：(x−2)2+y2=r2(r>0)，若圆C上存在两点P，Q，直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，则r的取值范围是______.18.（5分）过点P(3,4)且与直线2x−y+1=0平行的直线方程为 ______.四、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知线段AB两个端点的坐标为A(2,4)，B(3,2)，点P(x,y)是线段AB上一个动点．(1)求yx 的最大值和最小值． (2)求y−x y+x 的取值范围．20.（12分）已知圆心在原点的圆被直线y =x +1截得的弦长为√14． (1)求圆的方程；(2)设动直线y =k(x −1)(k ≠0)与圆C 交于A ，B 两点，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得AN 与直线BN 关于x 轴对称？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．21.（12分）圆心为C 的圆经过点A (0,2)和点B (2,0)，且圆心C 在直线l 1:2x −y −4=0上.(Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅰ)求直线l 2:3x +4y −8=0被圆C 截得的弦的长度.22.（12分）如图，A(m,√3m)和B(n,−√3n)两点分别在射线OS 、OT 上移动，且OA →.OB →=−12，O 为坐标原点，动点P 满足OP →=OA →+OB →． (Ⅰ)求m ⋅n 的值；(Ⅱ)求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？(Ⅲ)若直线l 过点E(2,0)交(Ⅱ)中曲线C 于M 、N 两点，且ME →=3EN →，求l 的方程．23.（12分）已知圆M ：x 2+y 2−2x −2y −2=0，直线L 过点P(2,3)且与圆M 交于A ，B 两点，且|AB |=2√3，求直线L 的方程．答案和解析1.【答案】B;【解析】该题考查直线方程的求解，涉及直线的交点和直线的垂直问题，属基础题．先解方程组求出交点，然后利用垂直得到斜率，然后求出方程即可．解：联立方程{3x+4y−5=03x−4y−13=0，解得x=3，y=−1，故所求直线l过点(3,−1)，由直线x+2y+1=0的斜率为−12，可知l的斜率为2，由点斜式方程可得：y+1=2(x−3)，即2x−y−7=0，故选B．2.【答案】D;【解析】设点(x,y)满足条件，则√22+1=√55，整理得2x+y=0和2x+y+2=0，故选D.3.【答案】C;【解析】此题主要考查直线的倾斜角的求法，是基本知识的应用.首先求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可.解：设直线的倾斜角为α.因为直线√3x+y−1=0的斜率为−√3，所以tanα=−√3，α=120∘，故选C.4.【答案】D;【解析】解：圆(x−1)2+y2=1的圆心为(1,0)，半径为1，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，圆心(1,0)到l的距离为1，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x−2)−2，即kx−y−2k−2=0，因为直线l与圆(x−1)2+y2=1相切，所以√k2+1=1，解得k=−34，此时直线l的方程为4x+3y−2=0，综上，直线l的方程为4x+3y−2=0或x=2.故选：D.分直线l的斜率不存在和存在两种情况分类讨论，从而可得直线l的方程．此题主要考查圆的切线方程，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于基础题．5.【答案】A;【解析】解：方程x2+y2−x+y+m=0即(x−12)2+(y+12)2=12−m，此方程表示圆时，应有12−m>0，解得m<12，故选：A．方程x2+y2−x+y+m=0即(x−12)2+(y+12)2=12−m，此方程表示圆时，应有12−m>0，由此求得实数m的取值范围．这道题主要考查求圆的标准方程，二元二次方程表示圆的条件，属于基础题．6.【答案】D;【解析】由直线一般式的斜率计算公式即可得出．该题考查了直线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解：直线x+√2y−1=0的斜率k=√2=−√22．故选：D．7.【答案】C;【解析】解：①当直线经过原点时，直线方程为y=−32x，即3x+2y=0；②当直线不经过原点时，设所求的直线方程为x+y=a，则a=2−3=−1，因此所求的直线方程为x+y+1=0．综上所述，直线m的方程是3x+2y=0或x+y+1=0．故选：C．分类讨论：当直线经过原点时，当直线不经过原点时两种情况，求出即可．该题考查了截距式、分类讨论等基础知识，属于基础题．8.【答案】D;【解析】此题主要考查直线方程的截距的概念，属于基础题.利用直线方程的截距的概念，令x=0，则y=−32，即可求解；解：因为直线x +2y +3=0， 令x =0，则y =−32，所以在y 轴上的截距为−32. 故选D.9.【答案】ACD;【解析】解：对于选项A ，设P(x,y)，因为P 满足|PA ||PB |=12，所以√(x+2)2+y 2√(x−4)2+y2=12， 化简得x 2+8x +y 2=0，故A 正确；对于选项B ，由选项A 可知，点P 的轨迹方程为x 2+y 2+8x =0，即(x +4)2+y 2=16，所以点P 的轨迹是以(−4,0)为圆心，4为半径的圆， 又|AB |=6，且点A ，B 在直径上，故当点P 到圆的直径距离最大的时候，ΔPAB 的面积最大值， 因为圆上的点到直径的最大距离为半径，即ΔPAB 的高的最大值为4， 所以ΔPAB 面积的最大值为12×6×4=12，故B 错误；对于选项C ，假设在x 轴上存在异于A ，B 的两定点M ，N ，使得|PM ||PN |=12， 设M(m,0)，N(n,0)， 故√(x−m)2+y 2√(x−n)2+y 2=12，即√(x −n)2+y 2=2√(x −m)2+y 2，化简可得x 2+y 2=8m −2n 3x +4m 2−n 23=0.又点P 的轨迹方程为x 2+y 2+8x =0，可得{−8m −2n3=84m 2−n 23=0，解得{n =−12或{n −4(舍去)，故存在异于A ，B 的两定点M(−6,0)，N(−12,0)，使得|PM ||PN |=12，故C 正确；对于选项D ，因为|PA ||PB |=12，所以2|PA |=|PB |，所以2|PA |+|PQ |=|PB |+|PQ |，又点P 在圆x 2+8x +y 2=0上， 如图所示，所以当P，Q，B三点共线时2|PA|+|PQ|取最小值，此时(2|PA|+|PQ|)min=|BQ|=√[4−(−3)]2+(0−1)2=5√2，故D正确．故选：ACD.设出点P的坐标，根据|PA||PB|=12即可求出点P的轨迹方程，即可判断选项A是否正确；根据点A(−2,0)，B(4,0)的位置关系和圆的性质，即可求出ΔAPB面积的最大值，进而判断选项B是否正确；设M(m,0)，N(n,0)，根据|PM||PV|=12可求出点P的轨迹方程，再与x2+y2+8x=0方程进行对比，根据系数关系，列出方程组，即可求出m，n值，进而判断选项C是否正确；由题意可知2|PA|=PB，所以2|PA|+|PQ|=|PB|+|PQ|，当P，Q，B三点共线时，2|PA|+|PQ|取最小值，最小值为|BQ|，由此即可判断选项D是否正确．此题主要考查了轨迹方程，圆的方程以及与圆有关的最值问题，属于中档题．10.【答案】CD;【解析】此题主要考查双曲线的几何性质，考查直线和圆相交所得弦的弦长，考查直线和双曲线的位置关系，属于中档题.根据双曲线的几何性质，直线和双曲线的位置关系，直线和圆的位置关系等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.解：由双曲线C方程可知，a=1，b=2，c=√5，所以离心率e=ca=c≠2c，故A不正确;双曲线C的渐近线方程为y=±bax=±2x，而双曲线y2−x24=1的焦点在y轴上，渐近线方程为y=±12x，二者渐近线方程不同，所以B错误;圆x2+y2=1的圆心(0,0)到双曲线C的准线y=±a2c =±√55的距离为√55，所以准线被圆x 2+y 2=1截得的弦长为2×√12−(√55)2=2√45=4√55， 故C 正确;由直线与双曲线的位置关系可知直线y =kx +b 与双曲线C 的公共点个数只可能为0，1，2，故D 正确. 故选：CD .11.【答案】BD;【解析】解：将直线l ：(2m +1)x +(m +1)y −7m −4=0整理为(x +y −4)+m(2x +y −7)=0，令{2x +y −7=0，解得{y =1， 故无论m 为何值，直线l 恒过定点D(3,1)， ∵圆C ：(x −1)2+(y −2)2=25， ∴圆C(1,2)，半径r =5，∵|CD |=√(1−3)2+(2−1)2<5， ∴定点D 在圆内，直线l 与圆相交，故A 错误， ∵圆C ：(x −1)2+(y −2)2=25，∴令x =0，则(y −2)2=24，解得y =2±2√6， 故y 轴被圆C 截得的弦长为4√6，故B 正确， 圆心C(1,2)，r =5，CD =√5，当截得的弦长最短时，l ⊥CD ，k CD =−12，则直线l 的斜率为2，最短弦长为2√52−(√5)2=4√5，故C 错误，故此时直线l 的方程为y −1=2(x −3)，即2x −y −5=0，故D 正确． 故选：BD .先求出直线l 的定点，通过两点之间的距离公式，可判断该定点在圆内，即可求解A 选项，令x =0，则(y −2)2=24，解得y =2±2√6，即可求解B 选择，结合椭圆最短弦的性质，即可求解CD 选项．此题主要考查直线与圆的位置关系，考查最短弦问题，属于中档题．12.【答案】ABD; 【解析】此题主要考查了圆的标准方程和直线与圆的位置关系，考查推理能力和计算能力，属于一般题．当k =1时A 正确；对于B 、存在直线 x =1；由于所有直线与圆都相交，故C 错误；将(0,0)代入即可判断D 错误.解：对于A：存在k，使圆与x轴相切⇔k=k2(k∈N∗)有正整数解⇔k=1，故A正确；对于B：因为圆心(1,k)恒在直线x=1上，故B正确；对于C：当k取无穷大的正数时，半径k2也无穷大，因此所有直线与圆都相交，故C不正确；对于D：将(0,0)代入得1+k2=k4，即1=k2(k2−1)，因为右边是两个相邻整数相乘为偶数，而左边为奇数，故方程恒不成立，故D正确．故选ABD.13.【答案】AD;【解析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.分|AB|取得最小值和最大值两种情况，求出直线l的斜率，从而求得直线l的方程.解：圆x2+y2+4x=0即圆(x+2)2+y2=4，是以C(−2,0)为圆心，r=2为半径的圆，k PC=1=1，−1+2过点P(−1,1)的直线l与圆x2+y2+4x=0相交于A,B两点，点P(−1,1)在圆内，当|AB|取得最小值时，AB⊥PC,即k PC.k AB=−1，∴k AB=−1，直线l的方程是y−1=−(x+1)，即x+y=0，当|AB|取得最大值时，直线l经过圆心C，k AB=k PC=1，∴直线l的方程是y−1=x+1，即x−y+2=0，故选AD.14.【答案】x+2y=0;【解析】解：圆x2+y2+x=0与圆x2+y2−2y=0的公共弦所在的直线方程即为两圆方程相减可得：即为x+2y=0．故答案为：x+2y=0．两圆公共弦即为方程相减．该题考查公共弦方程，为基础题．;15.【答案】335【解析】该题考查直线关于点、直线对称的方程，根据题意，得到折痕为A，B的对称轴；也是C，D的对称轴，求出A，B的斜率及中点，求出对称轴方程，然后求出C，D的斜率令其等于对称轴斜率的负倒数，求出C，D的中点，将其代入对称轴方程，列出方程组，求出m，n的值，得到答案．解：根据题意，得到折痕为A(0,2)，B(4,0)的对称轴；也是C(6,3)，D(m,n)的对称轴，AB的斜率为k AB=−12，其中点为(2,1)，所以图纸的折痕所在的直线方程为y−1=2(x−2)所以k CD=n−3m−6=−12，①CD的中点为(m+62,n+32)，所以n+32−1=2(m+62−2)②由①②解得m=65，n=275，所以m+n=335．故答案为：335．16.【答案】3;【解析】利用对称思想方法求距离最值问题，考查转化思想和计算能力，属于中档题．由已知可判断P，Q在已知直线的两侧，求出P关于直线的对称点P′的坐标，根据对称性转化为|P′M|+|QM|的最小值的问题，利用两点之间的路程已知线段为最短得到问题的答案．解：设P(1,3)关于直线的对称点的坐标为P′(a,b)，根据PP′与已知直线垂直，并且线段PP′的中点做已知直线上，∴{b−3a−1=−11+a 2−3+b2+1=0，∴a=2，b=2，∴P′(2,2)，由于P′与Q的纵坐标相同，∴|PM|+|QM|=|P′M|+|QM|的最小值为|P′Q|=2+1= 3，故答案为3.17.【答案】[√2,+∞);【解析】此题主要考查直线和圆的位置关系，转化思想是解决问题的关键，属中档题.由切线的对称性和圆的知识将问题转化为MC⊥l时，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于90°即可．解：圆C：(x−2)2+y2=r2，圆心为：(2,0)，半径为r，∵在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，∴在直线l上存在一点M，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于90°，∴只需MC⊥l时，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于90°即可∵C到直线l：3x+4y+4=0的距离2，则r⩾2×sin45°=√2.故答案为[√2,+∞).18.【答案】2x-y-2=0;【解析】解：设与直线2x−y+1=0平行的直线的方程为2x−y+c=0，由点P(3,4)在直线2x−y+c=0上，可得c=−2，故直线的方程为2x−y−2=0.故答案为：2x−y−2=0.设与直线2x−y+1=0平行的直线的方程为2x−y+c=0，由点P(3,4)在直线2x−y+c=0上，求出c，再确定直线的方程．此题主要考查的知识要点：直线的方程的求法，平行直线系的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)如图所示，其中A(2,4)，B(3,2)，则yx =y−0x−0可看作是直线OP的斜率，由图知，k OB⩽k OP⩽k OA，而k OB=23，k OA=2，所以(yx )max=2，(yx)min=23；(2)因为yx ∈[23,2]，所以y−xy+x=yx−1yx+1=yx+1−2yx+1=1−2yx+1∈[−15,13]，所以y−xy+x 的取值范围是[−15,13].;【解析】此题主要考查直线斜率几何意义的应用，(1)依题意，yx =y−0x−0可看作是直线OP的斜率，由图知，k OB⩽k OP⩽k OA，从而求得最值.(2)由(1)知y x∈[23,2]，所以y−x y+x=1−2y x+1，从而求得结果.20.【答案】解：（1）圆心（0，0）到直线y=x+1的距离为d=√2由圆的性质可得r 2=d 2+（√142）2=4 ∴圆的方程为：x 2+y 2=4．（2）设N （t ，0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由{x 2+y 2=4y =k(x −1)，得（k 2+1）x 2-2k 2x+k 2-4=0． ∴x 1+x 2=2k 21+k2，x 1x 2=k 2−4k 2+1若直线AN 与直线BN 关于x 轴对称，则k AN =-k BN ⇒y 1x 1−t+y 2x 2−t=0⇒k(x 1−1)x 1−t+k(x 2−1)x 2−t=⇒2x 1x 2-（t+1）（x 1+x 2）+2t=0⇒2(k 2−4)k 2+1−2k 2(t+1)k 2+1+2t =0，⇒t=4．∴在x 轴正半轴上存在定点N （4，0），使得AN 与直线BN 关于x 轴对称．; 【解析】(1)圆心(0,0)到直线y =x +1的距离为d =√2由圆的性质可得r 2=d 2+(√142)2=4，即可；(2)设N(t,0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).由{x 2+y 2=4y =k(x −1)，得(k 2+1)x 2−2k 2x +k 2−4=0．x 1+x 2=2k 21+k 2，x 1x 2=k 2−4k 2+1， 若直线AN 与直线BN 关于x 轴对称，则k AN =−k BN ⇒y 1x 1−t+y 2x 2−t=0⇒k(x 1−1)x 1−t+k(x 2−1)x 2−t=0即可求得t ．该题考查了圆的方程，圆的弦长的计算，定点问题，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0. 由{4+2E +F =04+2D +F =02×(−D 2)−(−E2)−4=0， 解得：{D =−8E =−8F =12，故所求圆C 的方程为x 2+y 2−8x −8y +12=0.(Ⅰ)圆心到l 2的距离为d =√32+42=4，所以弦长的一半为√20−16=2， 于是直线l 2被圆C 截得的弦的长度为4.; 【解析】此题主要考查圆的方程的求解，以及直线和圆相交时弦长公式的计算，考查学生的运算能力.(Ⅰ)利用待定系数法即可求圆C 的方程；(Ⅰ)根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可．22.【答案】解：（Ⅰ）由已知得 OA →.OB →=(m ，√3m).(n ，−√3n)(1分) =−2mn =−12∴m.n =14（4分）（Ⅱ）设P 点坐标为（x ，y ）（x ＞0），由OP →=OA →+OB →得(x ，y )=(m ，√3m)+(n ，−√3n)=(m +n ，√3(m −n))（5分） ∴{x =m +n y =√3(m −n)消去m ，n 可得x 2−y 23=4mn ，又因mn =14（8分） ∴P 点的轨迹方程为x 2−y 23=1(x ＞0)它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线x 2−y 23=1的右支（9分）（Ⅲ）设直线l 的方程为x=ty+2，将其代入C 的方程得3（ty+2）2-y 2=3 即（3t 2-1）y 2+12ty+9=0易知（3t 2-1）≠0（否则，直线l 的斜率为±√3，它与渐近线平行，不符合题意） 又△=144t 2-36（3t 2-1）=36（t 2+1）＞0设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则y 1+y 2=−12t3t 2−1，y 1y 2=93t 2−1 ∵l 与C 的两个交点M ，N 在y 轴的右侧 x 1x 2=（t y 1+2）（t y 2+2） =t 2y 1y 2+2t （y 1+y 2）+4 =t 2.93t 2−1+2t .−12t 3t 2−1+4=−3t 2+43t 2−1＞0∴3t 2-1＜0，即0＜t 2＜13又由x 1+x 2＞0同理可得0＜t 2＜13（11分） 由ME →=3EN →得（2-x 1，-y 1）=3（2-x 2，y 2） ∴{2−x 1=3(2−x 2)−y 1=3y 2由y 1+y 2=−3y 2+y 2=−2y 2=−12t3t 2−1得y 2=6t3t 2−1由y 1y 2=(−3y 2)y 2=−3y 22=93t 2−1得y 22=−33t 2−1消去y 2得36t 2(3t 2−1)2=−33t 2−1解之得：t 2=115，满足0＜t 2＜13（13分）故所求直线l 存在，其方程为：√15x −y −2√5=0或√15x +y −2√5=0（14分）; 【解析】(I)由向量数量积OA →.OB →=−12的坐标运算即可求得m ⋅n 的值；(II )欲求P 点的轨迹C 的方程，设点P(x,y)，只须求出其坐标x ，y 的关系式即可，由题意向量关系将x ，y 用m ，n 表示，最后消去m ，n 得到一个关系式，即得点P 的轨迹方程． (III )设直线l 的方程为x =ty +2，将其代入C 的方程得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系结合向量运算即可求得t 值，从而求得l 的方程．本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求直线方程的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．23.【答案】解：当直线L 的斜率存在时，设直线L 的方程为y −3=k(x −2)，即kx −y +3−2k =0，作MC ⊥AB 于C ，在直角三角形MBC 中，BC =√3，MB =2， 所以MC =1，又因为MC =√k 2+1=1，解得k =34，所以直线方程为3x −4y +6=0.当直线斜率不存在时，其方程为x =2，圆心到此直线的距离也为1， 所以也符合题意，综上可知，直线L 的方程为3x −4y +6=0或x =2.; 【解析】分斜率存在和斜率不存在两种情况，分别由条件利用点到直线的距离公式，弦长公式求出斜率，可得直线L 的方程．此题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．。
第2章 一元二次函数、方程与不等式(一)-2020-2021学年高一数学(人教A版(2019))(含答案)
第 2 章一元二次函数、方程与不等式（一）
一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的)
1．已知 a ， b ， c ， d 为实数， a b 且 c d ，则下列不等式一定成立的是（ ）．
a2 b 2 ab
故选 C．
2．若 x≠－2 且 y≠1，则 M＝x2＋y2＋4x－2y 的值与－5 的大小关系是( )
A．M>－5
B．M<－5
C．M≥－5
D．M≤－5
【答案】A
【解析】M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2，
∵x≠－2，y≠1，∴(x＋2)2>0，(y－1)2>0，因此(x＋2)2＋(y－1)2>0，
1 y
1，
x
2y
的最小值为 a
，若
m2
7m
a
，
则实数 m 的取值范围是（ ）
A． 8 m 1 C． m 8或m 1
【答案】A
B． m 1或m 8 D． 1 m 8
【解析】由基本不等式得
x
2y
2 x
1 y
(x
2y)
4y x
x y
4
2
4y x 4 8， xy
当且仅当 4 y x (x, y 0) ，即当 x 2 y 时，等号成立， xy
设汽油的价格是每升
2
元，而汽车每小时耗油
2
x2 360
升，司机的工资是每小时
14
元．
（1）这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；
（2）当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．