辽宁省沈阳市高一数学下学期期末考试卷
2012年辽宁省沈阳市高一数学下学期期末考试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的） 1．x x 2sin ,53)4sin(则=-π的值为 （ ）A ．2519B ．2516C ．2514D ．257 2．将函数)3,4(sin π-==a x y 按向量平移后的函数解析式为（ ）A ．3)4sin(+-=πx y B ．3)4sin(--=πx yC ．3)4sin(++=πx yD ．3)4sin(-+=πx y3．函数x x x f 52sin 52cos 3)(+=图像的相邻两条对称轴之间的距离是（ ）A ．45πB ．π5C ．52πD ．25π4．已知正数x ，y 满足yx y x 11,12+=+则的最小值为（ ）A ．24B ．221+C ．223+D ．45．要得到)42cos(π-=x y 的图像，只需将x y 2sin =的图像（ ）A ．向左平移8π单位 B ．向右平移8π单位C ．向左平移4π单位D ．向右平移4π单位6．命题p ：向量b a 与向量的夹角为钝角.命题q ：.0<⋅b a 则p 是q 的 （ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分与不必要条件7．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若三边a 、b 、c 成等比数列，则cot B 的取值范围是 （ ）A ．(]3,0B ．[)+∞,3 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,0 D ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,33 8．已知x 1，x 2是方程x x 3342-=+的两个实根，且21arctan ,arctan x x ==βα，则 βα+=（ ）A ．32π-B ．344ππ或C ．3πD ．332ππ或- 9．在直角△ABC 中，∠C 为直角，斜边为c ，两条直角边分别为a 、b ，则ba c+的取值范围为（ ）A ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡22,21B ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛22,33D ．⎥⎦⎤⎝⎛33,42 10．设O 在△ABC 的内部，且OC OB OC OA 22--=+，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为（ ）A ．23B ．2C ．3D ．35 11．已知向量2|,|4||,,,),sin ,(cos ),,(λθθθ<⋅=∈==b a b a n m b n m a 则当若其中R 恒成立时实数λ的取值范围是（ ）A ．22-<>λλ或B ．22-<>λλ或C ．22<<-λD ．22<<-λ12．正实数x 1,x 2及函数)(,1)()(,)(1)(14)(2121x x f x f x f x f x f x f x+=+-+=则且满足的最小值为（ ）A ．45 B ．54C ．1D ．2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上） 13．已知角α为第三象限的角，则∈-)2tan(α.14．等腰三角形的腰长为2,底边中点到腰的距离为23,则三角形外接圆的直径 为 .15．已知点||3||,),6,2(),3,2(PB AP AB P B A =-上在直线且点,则点P 的坐标 为 .16．不等式∈-+<--x x x xx则成立,|)12(log |)21(|)12(log )21(|2121 .三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知x x x x f ωωωωcos sin 3cos )(,202+=<<设（1）若)(x f 的周期为π2，求)(x f 的单调递增区间； （2）若函数)(x f 图像的一条对称轴为ωπ求,6=x 的值.18．（本小题满分12分）已知△ABC 的面积S 满足.,6,33θ的夹角为与且BC AB BC AB S =⋅≤≤ （1）求θ的取值范围；（2）求函数θθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(++=f 的值域. 19．（本小题满分12分）已知向量)2cos ,2(,sin 1,sin 1x b x x a =⎪⎭⎫⎝⎛-= （1）若b a x 与试判断,2,0⎥⎦⎤⎝⎛∈π能否平行？为什么？ （2）若b a x f x ⋅=⎥⎦⎤⎝⎛∈)(,3,0求函数π的最小值.20．（本小题满分12分）如图：在一座山上要打一个涵洞，在山周围取四个点A 、B 、C 、D ，使AB ⊥BC ，又测得∠DAB = 120°，DA = 3km ，DC = 7km ， BC = 33km 求：涵洞DB 的长. 21．（本小题满分12分） 已知)sin 1(sin 4)(,2022αααπα-=<<f 函数的最大值为m ，设0>a ，解关于x 的不等式m x ax<-1log 2 22．（本小题满分14分）设b a ,是两个互相垂直的单位向量，已知向量)0(,,>+=+=k b k a n b a k m 且向量)(k f n m 的斜弦值为夹角与θ， （1）求)(k f 的表达式.（文理共做）（2）求)(k f 的值域及夹角k 时的60=θ值.（文理共做）（3）（本小题理科做，文科不做）在（1）的条件下解关于k 的不等式：).(,16)4(3)]([2422R a k k ka ak k f f ∈++++-<[参考答案]一、DCDCA BDABC BB 二、13．),1(+∞ 14．3344或 15．)215,4(),421,1( 16．⎥⎦⎤⎝⎛1,21 三、17．解：（1）21)62sin()(++=πωx x f …………3分由21)6sin()(21,2++===πωπx x f T 故得…………5分 所以)(x f 的单调递增区间为.],32,322[Z k k k ∈+-ππππ …………7分（2）6π=x 是函数图像的一条对称轴，Z k k k ∈+=+=+⨯∴,132662ωππππω即…………10分 又1,0,20==<<ωω时所以当k…………12分18．解：（1）因为6cos ||||=⋅⋅=⋅θBC AB BC AB )sin(||||21θπ-⋅⋅=BC AB S …………3分所以3tan 3333,tan 3≤≤≤≤=θθ得由S S即]4,6[,1tan 33ππθθθ∈≤≤所以的夹角与为又BC AB …………6分 （2）θθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(++=f )42sin(222cos 2sin 2πθθθ++=++=…………9分由⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+426,22)42sin(,43,12742πθπππθ得, …………11分 所以函数.253,3)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+的值域为θf…………12分19．解：（1）若02sin 12cos sin 1,=⨯--⨯xx x b a 则有平行与 …………3分1|2cos |22cos ,0sin ,2,0≤-=≠∴⎥⎦⎤⎝⎛∈x x x x 与π 矛盾，所以不平行 …………5分（2）xx x x x x x b a x f sin 1sin 2sin sin 21sin 2cos sin 2)(2+=+=-+=⋅=…………8分因为⎥⎦⎤ ⎝⎛∈⎥⎦⎤ ⎝⎛∈23,0sin ,3,0x x 所以π 于是22sin 1sin 22sin 1sin 2=⨯≥+xx x x , …………10分当且仅当422sin sin sin 2π==⇒1=x x x x 即时取等号 故函数.22)(的最小值为x f …………12分 20．解：设α=∠=ABD xkm DB ,…………2分由正弦定理得xx 233sin 120sin sin 3=⇒=αα…………5分由余弦定理得x x x x 36223324927sin 2cos 22-=⨯⨯-+==⎪⎭⎫⎝⎛-ααπ…………8分由km x xx x 7,36222332=-=得…………11分 答：涵洞的长为7km.…………12分21．解：已知)sin 1(sin 4)(,1sin 0,2022ααααπα-=<<<<f 则得αααα2222sin 1sin ,12sin 1sin 4-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤当且仅当 即1,4,21sin2===m 时即παα…………3分10001,210,11log 2><⎪⎩⎪⎨⎧>>-<-<∴<-∴x x a x axx ax x ax 或得由，…………5分由0)1](2)2[(122021<-+-⇒-+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧><-x x a x x ax a x ax…………7分讨论：（1）当10,1,2><<=x x x a 或且得时（2）当10,122,2><<<-->x x x a a 或且得时 （3）当10,122,20><<-><<x x x ax a 或且或得时…………11分综上所述；当}0|{,2<=x x a 解集为时当}022|{,2<<-->x a x a 解集为时 当}022|{,20<-><<x ax x a 或解集为时…………12分22．解：（1）1||||,0===⋅∴⊥b a b a b a ，k b k b a k b a a k b k a b a k n m 2))((222=+⋅+⋅+=++=⋅ 2分（文3分） 222221||1||,1)(||k n k m k b a k m +=+=+=+=同理即…………4分 （文6分）)0(,12||||cos )(2>+=⋅⋅==∴k kkn m n m k f θ 6分（文8分） （2）因为1,212=≥+k k k 当且仅当等号成立 所以(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈∈2,0,1,0)(πθ夹角k f…………（文11分）当32,2112cos 602±==+==k kk 解得时θθ…………8分（文14分）（3）由（1）可得Ra k ak a k k a ak k k k a ak k k R a k k k a ak k k k k kk k kk f f ∈><-+⇔<-+⇔++-<+⇔∈++++-<+++=+++⨯=,0,0)4)((4100)34()4(344)(,16)4(31644)12(1122)]([22223242224322分,0,00,40,0><=><<-<>k k a k ak a k a 且解为时当且或解为时当 当0,04,0>-<<<<k a k ak a 且或解为时 …………13分综上所述：当}40|{,0ak k a <<>解集为时； 当Φ=解集为时,0a ；当}0|{,0a k k a -<<<解集为时 …………14分。
辽宁省沈阳市重点联合体2024年高一下学期期末检测数学试题+答案
2023—2024学年度（下）联合体高一期末检测数学注意事项：1.答题时，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷､草稿纸上无效.4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回（满分：150分考试时间：120分钟）.第I 卷（选择题，共58分）一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.已知复数z 满足()2i 34i,i z −=−为虚数单位，则复数z 的共轭复数z =（ ） A.12i + B.12i − C.2i − D.2i + 2.已知()9,8P −为角α终边上一点，则5sin 2cos 2sin 5cos αααα−=+（ ）A.6122−B.-2C.2261D.123.已知向量()()1,2,2,3ab ==−，若向量c 满足()c a + ∥,b c a ⊥ ，则向量c的坐标为（ ）A.77,24 −B.77,42 −−C.77,24−− D.77,42 −4.在ABC 中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin :sin :sin 4:7:9A B C =，则cos A =（ ） A.1921−B.863C.1921D.16215.计算：πtan8=（ ） A.1211+6.已知,m n 是空间中两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A.若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥β，则α∥βB.若,n αβ⊥∥α，则n β⊥C.若α∥,m β∥α，则m ∥βD.若,,m n m αβ⊥⊂∥n ，则αβ⊥7.一个圆柱形容器内部的底面半径为4cm ，高为8cm ，将该容器注满水，然后将一个半径为4cm 的实心球缓慢放入该容器内，当球沉到容器底部时，留在圆柱形容器内的水的体积为（ ） A.3320πcm 3 B.3128πcm 3 C.380πcm 3 D.364πcm 38.已知()π5cos 20243f x x=−的最大值为m ，若存在不同的实数12,x x ，使得对任意实数x 总有()()()12f x f x f x 成立，则12m x x −的最小值为（ ）A.5π2024 B.5π1012二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知复数12,z z ，则下列结论正确的是（ ） A.1212z z z z +=+ B.1212z z z z ⋅=⋅C.若12z z =，则2212z z =D.若12z z =，则1122z z z z ⋅=⋅10.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，下列四个结论中，正确的是（ ） A.cos cos ca Bb A +B.若222a b c bc =++，则120A =C.若sin2sin2A B =，则ABC 为等腰直角三角形D.若222sin sin sin A B C +<，则ABC 是钝角三角形11.如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，12,4,AB AA BC E ===为CD 的中点，M 是1A C 上一点，N 是平面1AED 内一点，则（ ）A.长方体1111ABCD A B C D −的外接球的表面积为24πB.1A C AE ⊥C.1A C ∥平面1AEDD.MN 第II 卷（非选择题，共92分）三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量,a b满足3,12a a b =⋅=− ，则向量b 在向量a 的方向上的投影的数量为__________.13.已知πsin 12αα+=∈，则cos2α=__________. 14.如图，143,55P为锐角θ的终边与单位圆的交点，1OP 逆时针旋转π3得到22,OP OP 逆时针旋转π3得到31,,n OP OP − 逆时针旋转π3得到n OP ，则sin2θ=__________，点2024P 的横坐标为__________.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.（13分）已知复数()()221118914i,z mm m m m =−++−+∈R ，其中i 为虚数单位.（1）若复数z 是纯虚数，求m 的值；（2）若复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围.16.（15分）如图是函数()()sin (0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>>< 的部分图象.（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数ππ24y f x f x=+++的单调递增区间.17.（15分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知向量(),(cos ,sin )m b n B C =，且m ∥n. （1）求B ；（2）若3b =，且ABC ，求ABC 的周长. 18.（17分）如图，在四棱锥P ABCD −中，PD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为正方形，2PD CD ==，,,E F G 分别是,,AB PB CD 的中点.证明：（1）EF CD ⊥； （2）平面EFG ∥平面PAD .19.（17分）如图是一条“L ”，河道均足够长.现过点D修建一条栈道AB ，开辟出直角三角形区域（图中OAB ）养殖观赏鱼，且π02OAB∠θθ=<<.点H 在线段AB 上，且OH AB ⊥.线段OH 将养殖区域分为两部分，其中OH 上方养殖金鱼，OH 下方养殖锦鲤.（1）当养殖区域的面积最小时，求θ的值，并求出此时的最小面积；（2）若游客可以在栈道AH上投喂金鱼，在河岸OB与栈道HB上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求θ的取值范围.2023—2024学年度（下）联合体高一期末检测数学参考答案及评分标准一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.D 【解析】因为()()()()34i 2i 34i63i 8i 42i 2i2i 2i 5z −+−+−+====−−−+，所以2i z =+.2.B 【解析】因为()9,8P −为角α终边上一点，所以8tan 9α=−， 所以8525sin 2cos 5tan 29282sin 5cos 2tan 5259αααααα ×−− −− ===−++×−+. 3.A 【解析】设向量(),c m n = ，则()1,2c a m n +++.由()c a +∥,b c a ⊥，得()()31220,20,m n m n −+−+=+= 解得7,27,4m n=− =故向量c 的坐标为77,24 − . 4.C 【解析】因为sin :sin :sin 4:7:9A B C =，则由正弦定理可设4,7a k b k ==，9c k =.由余弦定理得22222249811619cos 227921b c a k k k A bc k k +−+−===⋅⋅. 5.C 【解析】因为2π2tanπππ8tan tan 1π4881tan 8 =+==−，所以2ππtan 2tan 1088+−=.易知πtan 8是方程2210x x +−=的根，且方程2210x x +−=的两根分别为11x=−，21x .因为当π0,2x∈时，tan 0x>，所以πtan 18=−.6.D 【解析】若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥β，则,αβ可能平行，也可能相交，故A 错误；若,n αβ⊥∥α，则n β⊥或n ∥β或n β⊂或n 与β相交（不垂直），故B 错误；若α∥,m β∥α，则m ∥β或m β⊂，故C 错误；因为,m m α⊥∥n ，所以n α⊥.又n β⊂，所以αβ⊥，故D正确.7.B 【解析】根据题意可知留在圆柱形容器内的水的体积等于圆柱形容器的体积减去实心球的体积，即()2334128π48π4πcm 33V =××−×=. 8.A 【解析】因为()π5cos 20243f x x=−，所以2ππ5,20241012m T ===. 由题意得()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，所以12x x −的最小值为2T， 所以12m x x −的最小值为π5π55220242024T×=×=. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）（评分标准：如果正确答案有2个，每个答案3分；如果正确答案有3个，每个答案2分）9.BD 【解析】对于A ，取121i,1i z z =+=−，则12122,z z z z +=+=， 故A 错误；对于B ，结合复数模的性质可知，1212z z z z ⋅=⋅，故B 正确；对于C ，令121,i z z ==，则12z z =，而22121,1z z ==−，故C 错误；对于D ，设1i z a b =+， 2i z c d =+，则12z z =时，2222a b c d +=+.又()()2211i i z z a b a b a b ⋅=+−=+，2222z z c d ⋅=+，所以112z z z ⋅=，故D 正确.故选：BD.10.ABD 【解析】由余弦定理得22222222222222cos cos 22222a c b b c a a c b b c a c a B b A a b c ac bc c c c +−+−+−+−+=⋅+⋅=+==，故A 正确；由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +−−===−.而0180A << ，则120A = ，故B 正确；若sin2sin2A B =，即()()()()sin sin A B A B A B A B ++−=+−−，展开整理得()()cos sin 0A B A B +−=.因为0180,180180A B A B <+<−<−< ，所以90A B += 或0A B −= ，所以ABC 为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形，故C 错误；若222sin sin sin A B C +<，由正弦定理得222a b c +<.由余弦定理得222cos 02a b c C ab+−=<，可得C 为钝角，则ABC 是钝角三角形，故D 正确.故选：ABD.11.ACD 【解析】在长方体1111ABCD A B C D −中，由12,4AB AA BC ===，可得长方体的体对角线长为.设长方体1111ABCD A B C D −的外接球的半径为R，则2R =R =，所以长方体的外接球的表面积为24π24πSR =，故A 正确；如图，连接AC .在长方体1111ABCD A B C D −中，易得1AA ⊥平面ABCD .因为AE ⊂平面ABCD ，所以1AA AE ⊥.假设1A C AE ⊥.因为11111,,AA AC A AA AC ∩=⊂平面1AA C ，所以AE ⊥平面1AA C .又因为AC ⊂平面1AA C ，所以AE AC ⊥.因为在矩形ABCD 中，AE 与AC 不垂直，所以假设不成立，所以1A C 与AE 不垂直，故B 错误；如图，连接1A D 交1AD 于点F ，连接EF .因为E 为CD 的中点，所以EF∥1A C .又因为1AC ⊄平面1AED ，且EF ⊂平面1AED ，所以1A C ∥平面1AED ，故C 正确；因为1A C ∥平面1AED ，且M 是1A C 上一点，N 是平面1AED内一点，所以点M 到平面1AED 的距离等于点1A 到平面1AED 的距离，即为MN 的最小值.设距离为d .因为在长方体1111ABCD A B C D −中，12,4AB AA BC ===，可得1AD =，1D E AE =.由余弦定理得222111112cos 25AD D E AE AD E AD D E ∠+−==⋅，所以1sin AD E ∠，所以112AD ES =× .由1111A AD E E AA D V V −−=，可得111421332h =××××，所以h =MN，故D 正确.故选：ACD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）（评分标准：第14题第1个空2分，第2个空3分）12.-4 【解析】向量b 在向量a的方向上的投影的数量为12cos ,43a b b a b a ⋅−===−【解析】由π0,6α ∈ ，得πππ,12124α +∈ .因为πsin 12α +，所以πcos 12α +，所以2ππ3cos 212sin 6125αα +=−+= ， πππ4sin 22sin cos 612125ααα+=++=，所以ππππππ341cos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666552αααα=+−=+++=+×=14.2425【解析】由题意得34sin ,cos 55θθ==，所以sin2θ=34242sin cos 25525θθ=××=.因为点2024P 所在角为2023π3θ+，则2023πππππcos cos 674πcos cos cos sin sin 33333θθθθθ+=++=+=−413525=×−=四､解答题（本大题共5小题，共77分）15.解：（1）因为复数z 是纯虚数，所以2211180,9140,m m m m −+= −+≠ 解得9m =.（2）因为复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，所以2211180,9140,m m m m −+< −+>解得79m <<.16.（1）解：由图可知max ()2A f x ==，函数()f x 的最小正周期为7ππ4π123T=×−=， 则2π2π2πT ω===， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 由7π7π2sin 2126f ϕ =+=，可得7πsin 16ϕ+=.因为0πϕ≤<，则π7π13π666ϕ<+<， 所以7ππ62ϕ+=，所以2π3ϕ=−，所以()2π2sin 23f x x=−. （2）ππ24y f x f x=+++π2ππ2π2sin 22sin 22343x x+−++−ππ2sin 22sin 236x x++−.令π23x θ=+，则ππ262x θ−=−，所以π2sin 2sin 2sin 2cos 2yθθθθ=+−=−π24x θ −=.令πππ2π22π,2122k x k k −≤+≤+∈Z ， 解得7π5πππ,2424k x k k −≤≤+∈Z ， 所以函数ππ24y f x f x=+++的单调递增区间为7π5ππ,π,2424k k k−+∈Z .17.解：（1）因为m ∥n，所以sin cos 0b C B =.由正弦定理得sin sin cos 0B C C B =.又sin 0C ≠，故tan B =.因为0πB <<，所以π3B =.（2）因为11sin 22S ac B ac === 所以163ac =. 由余弦定理得22222cos ()2b a c ac B a c ac ac =+−=+−−， 即2169()33a c +−×，解得5a c +=， 所以ABC 的周长为8abc ++=. 18.证明：（1）因为PD ⊥底面,ABCD CD ⊂平面ABCD ， 所以CD PD ⊥.又因为底面ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥，且,AD PD ⊂平面,PAD AD PD D ∩=， 所以CD ⊥平面PAD .因为PA ⊂平面PAD ，所以PA CD ⊥.又因为,E F 分别是,AB PB 的中点， 所以EF ∥PA ，所以EF CD ⊥.（2）因为,,E F G 分别是,,AB PB CD 的中点， 所以EF ∥,PA EG ∥AD . 又因为PA ⊂平面,PAD EF ⊄平面,PAD AD ⊂平面,PAD EG ⊄平面PAD ， 所以EF ∥平面,PAD EG ∥平面PAD ，且,,EF EG E EF EG ∩=⊂平面EFG ， 所以平面EFG ∥平面PAD . 19.解：（1）如图，过点D 分别作,DM OA DN OB ⊥⊥，垂足分别为,M N ，则DM ON DN OM ====tan DM AM θ==m ），tan BN DN θθ=⋅（m ）. 养殖观赏鱼的面积为12OAB S OA OB =⋅)12θ= 13tan tan θθ=+ 由π0,2θ∈ 可得tan 0θ>，则13tan tan θθ+≥，当且仅当tan θ=，即π6θ=时取等号，此时OAB S = .故当π6θ=时，OAB S 的最小值为（2）由π2AOB OHA ∠∠==，可得BOH ∠θ=， 则m,tan m,m tan cos OHOH AH BH OH OB θθθ==⋅=. 由题意得BH OB AH +≥， 所以11tan cos tan θθθ+≥， 所以sin 1cos cos sin θθθθ+≥，所以()22sin 1sin cos 1sin θθθθ+≥=−， 则22sin sin 10θθ+−≥， 所以1sin 2θ≥或sin 1θ≤−（舍去）. 又因为π02θ<<，所以ππ,62θ ∈ .。
辽宁省沈阳市五校协作体2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题及参考答案
2022－2023学年度（下）沈阳市五校协作体期末考试高一年级数学试卷考试时间：120分钟 分数：150分试卷说明：试卷共二部分：第一部分：选择题型（1－12题60分） 第二部分：非选择题型（13－22题90分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题（本大题共8小题，共40分）1．已知复数1z 和2z ，则“12z z >”是“120z z −>”的（ ） A ．充分不必要条 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知函数()()3tan 03f x x πωω=+>的图象的两个相邻对称中心之间的距离为4π，则ω=（ ）A ．2B ．4C ．8D ．163．正四棱柱1111ABCD A B C D −中，13AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．13B C ．910 D ．454．已知向量()2,1,5ab b ==−=，则a 与b 的夹角为（ ）A ．4πB ．3πC ．23πD ．34π 5．两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1：2，则它们的体积比是（ ）A ．B ．C ．2D ．26．两不共线的向量a ，b，满足3a b = ，且t ∀∈R ，a tb a b −≥− ，则cos ,a b = （ ）A ．12B C ．13D7．△ABC 三内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ．若222b a c b =+−，则c +的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知四面体ABCD 满足AB CD ==，AD BC ==2ACBD ==，且该四面体ABCD 的外接球的球半径为1R ，四面体的内切球的球半径为2R ，则12R R 的值是（ ） ABCD二、多选题（本大题共4小题，共20分）9．已知复数满足2i2i z z−=+，则（ ）A ．z 的虚部为－1B ．2z =C ．z 在复平面内对应的点在第四象限D ．若复数z 满足11z z −=，则11z ∈−+10．若函数()()sin 22f x x πϕϕ=+<的图象经过点10,2P，则（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．点,03π为函数()y f x =图象的对称中心 C ．直线6x π=为函数()y f x =图象的对称轴D ．函数()f x 的单调增区间为()2,236k k k ππππ−+∈Z11．如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝2，CA ＝CB ＝4，E 为AB 中点，下列结论正确的是（ ）A ．面PEC ⊥面ABCB ．二面角P ABC −−的平面角是∠PEC C ．三棱推P ABC −的体积13P ABCPEC V AB S −=⋅△（其中PEC S △为PEC △的面积） D ．若三棱锥存在外接球，则球心可能为点E12．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan tan A B +，则下列结论正确的是（ ） A ．6A π=B ．若a ＝2，则该三角形周长的最大值为6C ．若角A 的平分线AD 交BC 于D ，且AD ＝2，则34b c +≥D ．若△ABC 的面积为2，a ，b ，c 边上的高分别为123,,h h h ，且123h h h t =，则2t 的最大值为第II 卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．若()()1,1,2,1a b =−=，则b 在a 上投影向量的坐标为______．14．已知()()2sin cos 0f x x x x ωωωω+>，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有()()()002023f x f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为______．15．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，E 在棱1DD 上且满足1D E ED =，点F 是侧面11ABB A 上的动点，且1//D F 面AEC ，则动点F 在侧面11ABB A 上的轨迹长度为______．16．古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC ，BD 为圆的内接四边形ABCD 的两条对角线，且sin :sin :sin 2:3:4ABD ADB BCD ∠∠∠=．若2AC BC CD λ=⋅，则实数λ的最小值为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2cos a B b A C +=． （1）求角C 的大小；（2）若212a b +=，a b ≠且ABC △的面积为c ． 18．已知7sin cos 13αα−=（1）化简()()22sin sin 21tan 3απαπα+−++求值；（2）若3,,0,22ππαπβ∈∈，且()4cos 5αβ+=−，求cos β．19．已知()21cos cos sin cos 442f x x x x x x ππ=++−−+．（1）,122x ππ∈−时，求()f x 的值域； （2）把()f x 曲线上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变．再把得到的图像向左平移ϕ个单位长度02πϕ<≤，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =是R 上的偶函数，求ϕ的值．20．如图①在平面直角坐标系xOy 中，已知O （0，0），D （0，2），)B ，)E，动点P 在线段OD上．（1）求3PD PE +的最小值；（2）以四边形OBED 为底面做四棱锥A OBED −如图②，使OD ⊥平面ABO ，且OB BA =，求证：平面ADE ⊥平面AOD ．21．在如图所示的七面体ABCDEFG 中，底面ABCD 为正方形，//EF AB ，//FG BC ，AE ⊥面ABCD ．已知1EF FG ==，2AB =．（1）设平面ABFE 平面GCD l =，证明：//l 平面ABCD ；（2）若二面角F BC D −−，求四棱锥D BCGF −的体积．22．记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1sin 1cos 2cos sin 2A BA B−−=． （1）求C B −的值；（2）若ABC △的外接圆的半径为r ，求2222sin a b r C+的最小值．答案选择1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 AACDACCAABDACABCBCD填空13．11,22 −14．1404615 16．32解答题17．（1）解：由正弦定理得： sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，∴()()sin sin sin 2sin cos A B C C C C π+=−==， ∵()0,C π∈，∴sin 0C ≠，∴1cos 2C =，则3C π=． （2）∵ABC △的面积为1sin 162ab C ab = ∴根据题意得16212ab a b =+= ，则44a b = = 或28a b = =， ∵a b ≠，∴44a b == （舍）则2222cos 52c a b ab C =+−=，即c =． 18．（1）原式=()()22sin sin cos 2sin cos sin cos 2sin sin 22sin cos 1tan 1tan cos sin ααααααααααααααα+++===+++．∴4912sin cos 169αα−=，∴1202sin cos 169αα= ∴22sin sin 21201tan 169ααα=+ （2）由1202sin cos 169αα=和7sin cos 13αα−=解得5sin 1312cos 13αα=− =−又∵30,22ππβπα<<<<，∴2παβπ<+<， ()4cos 5αβ+=−，∴()3sin 5αβ+=−∴()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+−=+++412356351351365=−×−+−×−= ．19．（1）()21cos cos sin cos 442f x x x x x x ππ=++−−+1cos 212sin cos 2442x x x x ππ+ ++−−+ 112cos 2sin 21222x x x π++−+2cos 21x x =++2sin 216x π++4∵70266x ππ<+<，即706t π<<，则()f x 值域为(]0,3（2）由题可知()2sin 416g x x π=++，（3）∵()g x 是偶函数， ∴462k ππϕπ+=+，k ∈Z ，∴124k ππϕ=+，k ∈Z ， 由∵0,2πϕ∈∴12πϕ=或3π20．（1）设()0,,01P y y ≤≤，∴()0,2PD y =−，)PE y =−，∴()34PD PE y +=−21．∴3PD PE+=≥∴45y =时，3PD PE + 取最小值（2）取AO ，AD 的中点F ，M ，连接BF ，FM ，EM ∵FM 是三角形AOD 的中位线，∴//FM OD ，12FM OD =， 有∵//BE OD ，12BE OD =，∴//BE FM ，BE FM =， ∴四边形BEMF 为平行四边形，∴//BF EM∵OD ⊥面ABO ，∴OD BF ⊥，又∵BO BA =，且F 为中点，∴BF OA ⊥， ∴BF ⊥面OAD ，∴//BF EM ，∴EM ⊥面OAD ， ∵EM ⊂面ADE ∴平面ADE ⊥平面AOD21．（1）证明：因为底面ABCD 为正方形，所以//AB CD ， 因为AB ⊂平面ABFE ，CD ⊄平面ABEF ，所以//CD 平面ABFE ． 因为CD ⊂平面GCD ，平面ABFE 平面GCD l =，所以//CD l 因为l ⊄平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以//l 平面ABCD ．（2）∵//FG BC 且:1:2FG BC =，∴:2:1BCF FCG S S =△△ ∴:2:3BCF BCGF S S =△，∴33312223D BCGFD BCF F BCD BCD V V V AE S −−−===⋅⋅⋅=△22．（1）因为21sin 1cos 22sin sin cos sin 22sin cos cos A B B BA B B B B−−===，即 ()cos cos sin sin cos sin sin B A B A B A B C =+=+=∴sin sin 2C B π=−，∴22C B k ππ=−+，或2,2C B k k πππ+−=+∈Z整理得22C B k ππ+=+，或2,2C B k k ππ−=+∈Z ．①当2,2C B k k ππ+=+∈Z∵()0,C B π+=∴2C B π+=即2A π=，此时cos 0A =，与题意不符，舍②当2,2C B k k ππ−=+∈Z∵(),C B ππ−=−，∴2C B π−=（2）由（1）知：sin cos 0B C =−>，所以2C ππ<<，02B π<<，而2C B π=+，即有22AB π=−，所以()2222222222224sin sin cos 21cos 4sin sin cos r A B a b B Br C r C B+++−== ()()2222222cos 11cos 2444cos 54520cos cos B B B B B −+− ==+−≥=−当且仅当2cos B =2222sin a b r C +的最小的为20−．。
2024年辽宁沈阳五校联考高一下学期期末数学试题答案
2023-2024学年度(下)沈阳市五校协作体期末考试高一年级数学试卷答案考试时间：120分钟 考试分数：150分一、单选题1-4． BACA 5-8． BDCC二、多选题9．ABD 10．BC. 11．BD ．三、填空题12． . 13． 52π 14．(12+ 四、解答题15． （13分）【解】（1）因为cos cos a B b A a c −=−−，根据正弦定理，得()sin cos cos sin sin sin sin sin cos cos sin A B A B A C A A B A B −=−−=−−+，--- --- ---2分化简得2sin cos sin A B A =−，因为sin 0A >，所以1cos 2B =−， --- --- ---4分 因为()0,πB ∈，所以2π3B =. --- --- ---5分（2）在ABC 中，由余弦定理得2222π222cos3c c +−×，--- --- ---7分 所以22240c c +−=，解得4c =． --- --- ---9分因为BD 为ABC 的中线，所以2BD BA BC =+ ，所以2222π4||2cos 3BD c a ac =++⋅ ， --- --- ---11分因为2,4a c ==，所以24||12BD = ，解得BD = 分（利用其它方法证明求解的按步骤给分）16． （15分）【解】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接EO ，由底面ABCD 是正方形，故O 为BD 中点， 又点E 为线段PD 的中点，故//OE PB ， --- --- ---3分 又OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，故//PB 平面AEC ； --- --- ---4分（2）由点E 为线段PD 的中点，PA AD =，故AE PD ⊥，由PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA CD ⊥， --- --- ---6分 又底面ABCD 是正方形，故AD CD ⊥，又AD 、PA ⊂平面PAD ，AD PA A ∩=，故CD ⊥平面PAD ，又AE ⊂平面PAD ，故CD AE ⊥， --- --- ---8分 又CD 、PD ⊂平面PCD ，CD PD D = ，故⊥AE 平面PCD ；- -- --- ---10分 （3）由点E 为线段PD 的中点，故点P 与点D 到平面AEC 距离相等，--- --- ---12分 故1111222222323P BCE D BCE E BCD P BCD V V V V −−−−====×××××=.- -- --- ---15分 （利用其它方法证明求解的按步骤给分）17．（15分）【解】（1）对任意x ∈R 都有π()()3f x f x −=，则函数()f x 的图象关于直线π6x =对称， 于是ππ2π,Z 62k k ϕ+=+∈，而ππ(,)22ϕ∈−，则π0,3k ϕ==，所以π3ϕ=. --- --- ---4分 (2) ()2sin()3f x x π=+，当()0,πx ∈时，设ππ4π,333t x =+∈，y=2sin()t 在ππ,32t ∈ 为增函数，在π4π,23t ∈ 为减函数，所以方程()0f x m +=有唯一实根，等价于(()f t m m m +∈+ }{2m ∪+时有唯一实根，所以m 的范围.是m ∈ }{2∪− --- --- ---8分（3）由（1）知，()2sin()π6g x x =+，则()2sin()π6g x x −=−−， )ππ3o 6()2sin()2c s(f x x x =+=−，222)π[()]π4cos ()44sin 66(f x x x =−=−−， 当π[,π]6x ∈时，π5π[0,]66x −∈，πsin()[0,1]6x −∈，令πsin()[0,1]6x t −=∈， 显然22()2,[()]44g x t f x t −=−=−， --- --- ---12分 不等式22224()()2122(44)2121t ag x f x a at t a a t +−−>−⇔−−−>−⇔<+， 依题意，[0,1]t ∀∈，不等式2241t a t +<+恒成立， 显然1[1,2]t +∈，22242(1)6662(1)2(1)41111t t t t t t t t +−+−+++−++++44≥=，当且仅当62(1)1t t +=+，即1t =−时取等号，则4a <，所以实数a 的取值范围是4a <. --- --- ---15分18． （17分）【解】(1)证明：在正三棱柱111ABC A B C 中，因为点M 为11A B 的中点，则111C M A B ⊥，又1A A ⊥平面111A B C ，1C M ⊂平面111A B C ，则有11AA C M ⊥，而1111111,,AA A B A AA A B =⊂ 平面11AA B B ，于是1C M ⊥平面11AA B B ，1C M ⊂平面1BC M ，则平面1BC M ⊥平面11AA B B ， --- --- ---5分（2）在平面11AA B B 内过点A 作AQ BM ⊥交1BB 于点Q ，平面1BC M 平面11AA B B BM =，因此AQ ⊥平面1BC M ，于是点Q 即为所要找的点，--- --- ---8分如下图所示，显然1ABQ BB M ，因此11BQ AB B M BB =， 即有214BQ =，于是12BQ =，1117422B Q B B BQ =−=−=，所以17B Q QB =.--- --- ---11分（3）在平面111A B C 上，过M 点作MN 垂直11B C 垂足为N ，因为点M 为11A B 的中点，所以N 为11B C 的四等分点，即111:3:4C N C B =, --- --- ---13分过N 点作1BC 的垂线NP 垂足为P ，连接MP,平面111A B C ⊥平面11CC B B ，平面111A B C 平面1111CC B B B C =，因此MN ⊥平面11CC B B ，所以有1MP BC ⊥，由二面角定义可得MPN ∠为二面角11M BC B −−的平面角， --- --- ---15分 11BC B 为直角三角形，1BC ∴边上的高为d =NP=34d =，所以tan MPN ∠ --- --- ---17分（利用其它方法证明求解的按步骤给分）19． （17分）【详解】(1)由4,AB AC =cos A--- --- ---2分取AB 的中点D ，连接OD ,则OD AB ⊥,所以18()=92AO AB AD DO AB AD AB ⋅=+⋅=⋅= ，同理可得85BO BC CO CA ⋅=⋅= ，，则AB AO BC BO CA CO ⋅+⋅+⋅ 的值为22； --- --- ---4分（2）不妨设||,||AB m AC n == ，因21()2AO AB AD DO AB AD AB m ⋅=+⋅=⋅= ，同理可得212AO AC n ⋅= ， 则由AO xAB y AC =+ 可得2||AO x AB y AB AC ⋅=+⋅2221cos 2xm ymn A xm ymn m =+==，即得：2mx m +=① 又由AO xAB y AC =+ 可得2||AO AC x AB AC y AC ⋅⋅+2221cos 2xmn A yn yn n +=+=2ny n +=②---- --- ---6分 联立① ,②，解得：11x y = =则112()x y n m m n =++， --- --- --8分 因2n m m n+≥，当且仅当m n =时等号成立.即当m n =时，x y +取得最大值2 --- --- ---10分 （3）由cos A =π02A <<，则π4A =，由图知π22BOC A ∠=∠=,则0OB OC ⋅= , --- --- ---11分 设ABC 的外接圆半径为R ，则222222|sin 2cos2|sin 2||cos 2||B OB B OC B OB B OC R ⋅−⋅=⋅+⋅= ,即|sin 2cos2|B OB B OC R ⋅−⋅= , --- --- ---13分 又(sin 2cos 2)OA B OB B OC ⋅⋅−⋅ 2(sin 2cos cos 2cos )R B AOB B AOC ∠−∠， 而3π2π2AOB BOC AOC AOC ∠=−∠−∠=−∠, 则cos sin sin 2AOB AOC B ∠=−∠=−，而cos cos2AOC B ∠=， 故2222(sin 2cos2)(sin 2cos 2)OA B OB B OC R B B R ⋅⋅−⋅=−+=− ,--- --- ---15分不妨设OA 与sin 2cos2B OB B OC ⋅−⋅ 的夹角为θ， 则22cos 1||||(sin 2cos2)sin 2cos2OA B OB B OC OA B OB B C R R O θ⋅⋅−−===−⋅⋅⋅⋅− , 因[0,π]θ∈，故πθ=，即sin 2cos 2OA B OB B OC =−⋅+⋅ ，故sin 2cos20OA B OB B OC +⋅−⋅= ，得证. --- --- ---17分（利用其它方法证明求解的按步骤给分）。
辽宁省沈阳市高一下学期数学期末考试试卷
辽宁省沈阳市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·吉林月考) 如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二上·襄阳期中) 过两点的直线的倾斜角是，则的值为（）A . 2B . -2C . -5D . 53. （2分）等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项的和为Sn ，则数列的前10项的和为（）．A . 120B . 70C . 75D . 1004. （2分）(2018·曲靖模拟) 已知x＞0，y＞0，，则的最小值是（）A .B .C . 2D .5. （2分） (2020高一下·天津期中) 在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，它的面积为，则角A等于（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高一下·抚顺期末) 直线 ,圆, 与的位置关系是（）A . 相交B . 相离C . 相切D . 不能确定7. （2分） (2018高一上·兰州期末) 已知两个不重合的平面α，β和两条不同直线m，n，则下列说法正确的是（）A . 若m⊥n，n⊥α，m⊂β，则α⊥βB . 若α∥β，n⊥α，m⊥β，则m∥nC . 若m⊥n，n⊂α，m⊂β，则α⊥βD . 若α∥β，n⊂α，m∥β，则m∥n8. （2分） (2020高三上·台州期末) 如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，且则异面直线，所成角的大小为（）A .B .C .D .9. （2分）(2012·山东理) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A .B .C . [﹣1，6]D .10. （2分） (2019高二上·南充期中) 已知等差数列，若，则的前7项的和是（）A . 112B . 51C . 28D . 1811. （2分）三棱锥的四个顶点都在体积为的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为，则该三棱锥的高的最大值为（）A . 7B . 7.5C . 8D . 912. （2分）如图，在棱长为a的正方体中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（）A . 点P到平面QEF的距离B . 直线PQ与平面PEF所成的角C . 三棱锥P-QEF的体积D . 二面角P-EF-Q的大小二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2019高一下·慈溪期中) 设正项等比数列的前项和为，若，，则公比 ________， ________.14. （1分） (2018高一下·榆林期中) 若直线与互相垂直，则点到轴的距离为________．15. （1分） (2017高二上·唐山期末) 侧棱与底面垂直的三棱柱A1B1C1﹣ABC的所有棱长均为2，则三棱锥B﹣AB1C1的体积为________．16. （1分） (2017高二上·莆田期末) 已知点P(x,y)在不等式组表示的平面区域上运动，则的最大值为________.三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）(2017·邯郸模拟) 在如图所示的多面体ABCDEF中，ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，四边形ADEF为等腰梯形，EF∥AD，已知AE⊥EC，AB=AF=EF=2，AD=CD=4．（1）求证：平面ABCD⊥平面ADEF；（2）求直线CF与平面EAC所成角的正弦值．18. （5分） (2020高三下·南开月考) 已知数列的前项和满足（），且 .（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和 .19. （10分） (2019高二下·安徽月考) 在中，角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.20. （10分） (2018高一上·黑龙江期中) 已知函数是定义在的增函数，对任意数，都有，且．（1）求的值；（2）求的解集．21. （10分） (2016高二下·汕头期末) 极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．22. （5分）已知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EE=2，EH=1，四边形EFGH为平行四边形．（Ⅰ）求证：EH∥BD；（Ⅱ）连结AC，若AC⊥BD，求FH的长度．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
辽宁省沈阳市高一下学期数学期末测试试卷
辽宁省沈阳市高一下学期数学期末测试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知直线l的方程为y=x+1，则该直线l的倾斜角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 135°2. （2分） (2020高二下·吉林期末) 观察下列各图形，其中两个变量具有相关关系的图是（）A . ①②B . ①④C . ③④D . ③3. （2分） (2016高二下·吉林期中) 某学校有教职员工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现在用分层抽样抽取30人，则样本中各职称人数分别为（）A . 5，10，15B . 3，9，18C . 3，10，17D . 5，9，164. （2分） (2020高二上·天津月考) 已知直线的倾斜角，直线经过点，，且与垂直，直线与直线平行，则（）A . -2B . 0C . 2D . 35. （2分）圆:与圆公切线的条数是（）A . 0条B . 1条C . 2条D . 3条6. （2分）设的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C= （）A .B .C .D .7. （2分）函数是（）A . 最小正周期为的奇函数B . 最小正周期为的奇函数C . 最小正周期为的偶函数D . 最小正周期为的偶函数8. （2分） (2015高三上·来宾期末) 某市8所中学生参加比赛的得分用茎叶图表示（如图）其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是（）A . 91 5.5B . 91 5C . 92 5.5D . 92 59. （2分） (2019高二下·长沙期末) 在空间中,下列命题为真命题的是（）.A . 对于直线 ,若则B . 对任意直线 ,在平面中必存在一条直线b与之垂直C . 若直线 ,b与平面所成的角相等,则∥bD . 若直线 ,b与平面所成的角互余,则⊥b10. （2分）(2018·南宁模拟) 球面上有三点 , , 组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中 , , ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为（）A .B .C .D .11. （2分）已知函数，且，则当时，的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·长沙模拟) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，点A1在底面ABC上的投影D恰好为BC的中点，AA1与平面ABC所成角为45°，则该三棱柱的体积为（）A . 1B .C . 3D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·沈阳模拟) 已知四张卡片上分别标有数字2，2，3，3，随机取出两张卡片，数字相同的概率为________.14. （1分） (2016高三上·辽宁期中) 已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为________15. （1分） (2019高三上·盐城月考) 设点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则线段PQ长度的最小值为________16. （1分） (2016高二上·温州期中) 如图，在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，点P在线段AD'上，且AP≤ AD'则异面直线CP与BA'所成角θ的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （15分） (2019高二上·南充期中) 已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为 .求：（1）直线BC的斜截式方程；（2）的面积.18. （10分） (2020高二下·长沙期末) 已知函数 .（1）求函数的单调递增区间；（2）将的图像向左平移个单位长度，再将得到的图像横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图像．若函数在区间上的图像与直线有三个交点，求实数的取值范围．19. （15分） (2016高二上·河北期中) 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．20. （10分） (2017高一上·深圳期末) 如图，已知四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是正三角形，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，设平面PAD∩平面PBC=l．（Ⅰ）求证：l∥平面ABCD；（Ⅱ）求证：PB⊥BC．21. （10分）(2017·福建模拟) 在高中学习过程中，同学们经常这样说：“数学物理不分家，如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题．”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了苏俄生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论．现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的数学和物理成绩，如表：成绩编号12345物理（x）9085746863数学（y）1301251109590（1）求数学成绩y对物理成绩x的线性回归方程 = x+ （精确到0.1）．若某位学生的物理成绩为80分，预测他的数学成绩；（2）要从抽取的这五位学生中随机选出2位参加一项知识竞赛，求选中的学生的数学成绩至少有一位高于120分的概率．（参考公式： = ， = ﹣）（参考数据：902+852+742+682+632=29394，90××125+74×110+68×95+63×90=42595）22. （10分） (2016高一下·沙市期中) 在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上、半径为2的圆C位于y轴右侧，且与直线相切．（1）求圆C的方程；（2）在圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共70分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
沈阳市高一下学期数学期末考试试卷(I)卷
沈阳市高一下学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知函数，把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和,则＝（）A .B .C . 55D . 452. （2分）某中学从已编号(1~60)的60个班级中，随机抽取6个班级进行卫生检查，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选的6个班级的编号可能是（）A . 6,16,26,36,46,56B . 3,10,17,24,31,38C . 4,11,18,25,32,39D . 5,14,23,32,41,503. （2分） (2019高二上·集宁月考) 若 ,则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .4. （2分）一个不透明的盒子里有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．那么甲赢的概率是（）A .B .C .D . 以上均不对5. （2分）(2013·新课标Ⅱ卷理) 已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A . 2B . 1C .D .6. （2分） (2019高一下·镇赉期中) 一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为（）A . kmB . kmC . kmD . km7. （2分） (2018高三上·玉溪月考) 设为等比数列的前项和，，则（）A . 11B . 5C . -11D . -88. （2分）在程序框图中，任意输入一次与，则能输出数对的概率为（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高一下·贺州期末) 执行如图所示的程序框图，则输出的（）A .B .C .D . 510. （2分）在样本的频率分布直方图中,共有9个小长方形,若第一个长方形的面积为0.02,前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容量为160,则中间一组（即第五组）的频数为（）A . 12B . 24C . 36D . 4811. （2分） (2018高一下·重庆期末) 若是整数，则称点为整点，对于实数，约束条件所表示的平面区域内整点个数为（）个A .B .C .D .12. （2分） (2019高二上·郑州期中) 给出如下四个命题：①若“ 且”为假命题，则均为假命题；②命题“若，则”的否命题为“若，则”；③“ ，则”的否定是“ ，则”；④在中，“ ”是“ ”的充要条件．其中正确的命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生，星期日安排一名女生的概率是________．14. （1分） (2016高一下·红桥期中) 某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一150人、高二120人、高三180人中抽取50人进行问卷调查，则高三抽取的人数是________．15. （1分）(2017·临汾模拟) 图1是随机抽取的15户居民月均用水量（单位：t）的茎叶图，月均用水量依次记为A1、A2、…A15 ，图2是统计茎叶图中月均用水量在一定范围内的频数的一个程序框图，那么输出的结果n=________．16. （1分） (2018高二下·邱县期末) 若点在直线上，则的最小值是________.三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2019高二上·邵阳期中) 在中，角的对边分别为，.（1）求的值；（2）求的面积．18. （10分） (2016高二下·丹阳期中) 用计算机随机产生的有序二元数组（x，y）满足﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1．（1）若x，y∈Z，求事件“x2+y2≤1”的概率．（2）求事件“x2+y2＞1”的概率．19. （15分）(2017·东台模拟) 在自然数列1，2，3，，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n﹣k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为Pn（k）．（1）求P3（1）（2）求 P4（k）；（3）证明 kPn（k）=n Pn﹣1（k），并求出 kPn（k）的值．20. （15分） (2016高一下·福州期中) 在物理实验中，为了研究所挂物体的重量x对弹簧长度y的影响．某学生通过实验测量得到物体的重量与弹簧长度的对比表：物体重量（单位g）12345弹簧长度（单位cm） 1.5345 6.5参考公式：①．样本数据x1 ， x2 ，…xn的标准差s= ，其中为样本的平均数；②．线性回归方程系数公式 = = ， = ﹣．（1）画出散点图；（2）利用所给的参考公式，求y对x的回归直线方程；（3）预测所挂物体重量为8g时的弹簧长度．21. （5分）已知数列{an}满足a1=1，且4an+2an+1﹣9anan+1=1（n∈N*）求a2 ， a3 ， a4.22. （5分）(2017·武邑模拟) 已知D是直角ABC斜边BC上一点，AC= DC，（Ⅰ）若∠DAC=30°求角B的大小；（Ⅱ）若BD=2DC，且 AD=2 ，求DC的长．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、。
辽宁省沈阳市高一下学期数学期末考试试卷
辽宁省沈阳市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共13题；共25分)1. （2分） (2017高二上·汕头月考) 若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积的2倍，则圆台的母线长是（）A . 2B . 2.5C . 5D . 102. （2分）(2017·衡阳模拟) 三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为（）A . 32πB .C .D . π3. （2分） (2018高二上·东至期末) 在四棱锥中，底面，底面为矩形，，是上一点，若，则的值为（）A .B .C .D . 44. （2分）已知函数满足，则的最小值为（）A .B . 2C .D .5. （2分） (2018高一下·彭水期中) 已知关于的不等式的解集是，则的值是（）A . -11B . 11C . -1D . 16. （2分） (2019高三上·临沂期中) 已知等比数列的前n项和为，若则（）A . 45B . 81C . 117D . 1537. （2分） (2018高二上·西宁月考) 下列说法正确的个数是（）①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③最长的线段在直观图中对应的线段仍最长；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分）如图是不锈钢保温饭盒的三视图，根据图中数据（单位：cm），则该饭盒的表面积为（）A .B .C .D .9. （2分）三棱锥的四个顶点都在体积为的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为，则该三棱锥的高的最大值为（）A . 7B . 7.5C . 8D . 910. （2分） (2016高二上·德州期中) 两条不平行的直线，其平行投影不可能是（）A . 两条平行直线B . 一点和一条直线C . 两条相交直线D . 两个点11. （2分）(2019·荆门模拟) 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A .B .C .D .12. （2分） (2018高一下·黑龙江期末) 四面体中，，，，则此四面体外接球的表面积为（）A .B .C .D .13. （1分）(2018·榆林模拟) 设是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是________．①若，则或 .②若，则或 .③若，则或与相交.④若，则或 .二、填空题 (共3题；共3分)14. （1分） (2020高三上·青浦期末) 直线和直线的夹角大小是________15. （1分） (2017高一下·定州期末) 若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16 ，则a=________．16. （1分）已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面．命题p：若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；命题q：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β．下面的命题中，①p∨q；②p∧q；③p∨非q；④非p∧q．真命题的序号是________（写出所有真命题的序号）三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E，G，H分别为BC，C1D1 ， AA1的中点．（1）求证：EG∥平面BDD1B1；（2）求异面直线B1H与 EG所成的角．18. （5分）等比数列{an}的前n项和为Sn ，首项为2，若S3+S6=S9 ，求S15的值．19. （5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．20. （5分） (2017高二上·安平期末) 如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC= ．（Ⅰ）证明：AC⊥平面BCDE；（Ⅱ）求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．21. （5分）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，棱EF∥BC，．求证：FO∥平面CDE．22. （15分） (2016高二上·怀仁期中) 已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA=AD=DC= BC=a，E是BC的中点，将△BAE沿着AE翻折成△B1AE，使面B1AE⊥面AECD，F，G分别为B1D，AE的中点．（1）求三棱锥E﹣ACB1的体积；（2）证明：B1E∥平面ACF；（3）证明：平面B1GD⊥平面B1DC．参考答案一、单选题 (共13题；共25分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、二、填空题 (共3题；共3分)14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、22-2、22-3、。
辽宁省沈阳市数学高一下学期理数期末考试试卷
辽宁省沈阳市数学高一下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知直线经过点与点，则该直线的倾斜角为（）A . 150°B . 75°C . 135°D . 45°2. （2分）已知点A（-3,1,4），则点A关于原点的对称点的坐标是（）A . (1，-3，-4)B . (-4，1，3)C . (3，-1，-4)D . (4，-1，3)3. （2分） (2016高二上·绵阳期中) 方程x+|y﹣1|=0表示的曲线是（）A .B .C .D .4. （2分） (2015高二上·淄川期末) 已知数列an= （n∈N*），则数列{an}的前10项和为（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高一下·惠阳期中) 找出图中三视图所对应的实物图形是（）A .B .C .D .6. （2分）若过点P（1，1）可作圆C：x2+y2+mx+my+2=0的两条切线，则实数m的取值范围是（）A . （2，+∞）B . （﹣4，+∞）C . （﹣2，+∞）D . （﹣4，﹣2）∪（2，+∞）7. （2分）(2018·南充模拟) 在同一坐标系中，函数与的图象都正确的是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高三上·河北月考) 已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为（）A .B .C .D .9. （2分） (2015高二下·双流期中) 方程x2﹣xy+2y+1=0表示的曲线经过4个A（1，﹣2），B（2，﹣3），C （3，10），D（0，﹣）中的（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个10. （2分）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A . 8πcm2B . 12πcm2C . 16πcm2D . 20πcm211. （2分）设函数，则函数的各极小值之和为（）A .B .C .D .12. （2分）(2020·鄂尔多斯模拟) 有一个长方形木块，三个侧面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则该正四面体模型棱长的最大值为（）A . 2B .C . 4D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·长春期末) 两直线与平行，则它们之间的距离为________.14. （1分） (2015高二上·蚌埠期末) 已知正四棱锥侧面是正三角形，则侧棱与底面所成角为________．15. （1分） (2018高三上·南阳期末) 在四边形中，，，为等边三角形，则的外接圆与的内切圆的公共弦长=________.16. （1分） (2016高二上·晋江期中) 已知数列{an}中，a1=﹣1，an+1•an=an+1﹣an ，则数列的通项公式an=________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分）已知圆C：x2+y2+4x﹣2y+a=0，直线l：x﹣y﹣3=0，点O为坐标原点．求过圆C的圆心且与直线l垂直的直线m的方程；18. （15分） (2017高二上·阳高月考) 如图，已知矩形四点坐标为A（0，-2），C（4，2），B（4，-2），D（0，2）．（1）求对角线所在直线的方程；（2）求矩形外接圆的方程；（3）若动点为外接圆上一点，点为定点，问线段PN中点的轨迹是什么，并求出该轨迹方程。
辽宁省沈阳市高一下学期期末数学考试试卷
辽宁省沈阳市高一下学期期末数学考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·普宁月考) 已知，则（）A .B .C .D .2. （2分）某人在打靶中,连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A . 至多有一次中靶B . 两次都不中靶C . 两次都中靶D . 只有一次中靶3. （2分） (2017高二上·襄阳期末) 为研究两变量x和y的线性相关性，甲、乙两人分别做了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程m和n，两人计算相同，也相同，则下列说法正确的是（）A . m与n重合B . m与n平行C . m与n交于点（，）D . 无法判定m与n是否相交4. （2分）已知一个样本中的数据为1，2，3，4，5，则该样本的方差为（）A . 1D . 45. （2分）“”是“函数的最小正周期为”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2017高三上·古县开学考) 已知，则的值为（）A .B . -C .D . -7. （2分）(2018·重庆模拟) 执行如图所示的程序框图，若输出的，则的所有可能取之和等于（）C . 23D . 258. （2分）已知函数y=sin（x+）x∈R的图象为C，为了得到函数y=sin（x+）x∈R的图象，只要把C 上所有点的（）A . 横坐标向右平行移动个单位，纵坐标不变B . 横坐标向左平行移动个单位，纵坐标不变C . 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D . 横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变9. （2分）把函数的图象向左平移个单位，所得的函数为偶函数，则的最小值是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高一下·武城期中) =（）A . ﹣B .C . ﹣D . ﹣11. （2分） (2018高三上·大连期末) ①“两条直线没有公共点，，是两条直线异面”的必要不充分条件；②若过点作圆的切线有两条，则；③若，则；④若函数在上存在单调递增区间，则；以上结论正确的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 412. （2分） (2019高二下·四川月考) 已知空间四边形，其对角线为，，，分别是边，的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·玉林期末) 已知向量，，其中| |= ，| |=2，且（﹣）⊥ ，则| ﹣ |=________．14. （1分）设0＜α＜＜β＜π，sinα= ， = ，则sinβ的值为________．15. （1分） (2016高一下·亭湖期中) 已知tanα=﹣2，tanβ=5，则tan（α+β）=________．16. （1分）已知向量=（1，2），=（x，4），若||=2||，则x的值为________三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2016高一下·南市期末) 在平面直角坐标系xOy中，已知向量 =（，﹣）， =（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥ ，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．18. （10分） (2020高三上·贵阳期末) 互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业（以下外卖甲、外卖乙）的经营情况进行了调查，调查结果如下表：1日2日3日4日5日外卖甲日接单x（百单）529811外卖乙日接单y（百单）2310515（1）试根据表格中这五天的日接单量情况，从统计的角度说明这两家外卖企业的经营状况；（2）据统计表明，y与x之间具有线性关系.①请用相关系数r对y与x之间的相关性强弱进行判断；（若，则可认为y与x有较强的线性相关关系（r值精确到0.001））②经计算求得y与x之间的回归方程为，假定每单外卖业务企业平均能获纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围.（x值精确到0.01）相关公式：，参考数据： .19. （10分）(2017·浦东模拟) 已知函数f（x）= sin2x+sinxcosx﹣（1）求函数y=f（x）在[0， ]上的单调递增区间；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求证：存在无穷多个互不相同的整数x0，使得g（x0）＞．20. （5分）(2017·莱芜模拟) 已知函数f（x）=x2+ ，现有一组数据，绘制得到茎叶图，且茎叶图中的数据的平均数为2．（茎叶图中的数据均为小数，其中茎为整数部分，叶为小数部分）（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）现从茎叶图小于3的数据中任取2个数据分别替换m的值，求恰有1个数据使得函数f（x）没有零点的概率．21. （10分）(2013·新课标Ⅱ卷理) 选修4﹣﹣4；坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．（1）求M的轨迹的参数方程（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．22. （5分） (2017高一下·西华期末) 已知函数f（x）=4cosxsin（x+ ）﹣1，（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间（Ⅱ）若sin2x+af（x+ ）+1＞6cos4x对任意x∈（﹣，）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、。
2022-2023学年辽宁省沈阳市高一年级下册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年辽宁省沈阳市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知()12i 43i z +=+，则复数z 等于（）A ．2i -B ．2i+C ．2i-+D ．2i--【答案】A【分析】根据复数的除法运算法则计算即可.【详解】()()()()43i 12i 43i 105i2i 12i 12i 12i 5z +-+-====-++-.故选：A.2．若1cos 23sin 23αα-=，则πtan()4α-=（）A ．23-B ．32-C ．13+D ．13-【答案】B【分析】先对已知条件利用二倍角公式和同角三角函数的关系化简计算求出tan α，然后利用两角差的正切公式可求得结果.【详解】由1cos 23sin 23αα-=，得22sin 32sin cos 3ααα=，所以sin 3cos 3αα=，所以3tan 3α=，所以πtan tanπ4tan()π41tan tan 4ααα--=+tan 11tan αα-=+313313-=+3333-=+()()()()33333333--=+-()1263326--==-.故选：B3．在ABC 中，3a =，30A =︒，则b 的取值范围（）A ．(0,3⎤⎦B ．(0,23⎤⎦C ．(0,32⎤⎦D ．(]0,6【答案】D【解析】根据30A =︒即可得出0150B ︒<<︒，进而得出06sin 6B <≤，而根据正弦定理可得出6sin b B =，然后即可得出b 的取值范围.【详解】解：∵30A =︒，∴0150B ︒<<︒，由正弦定理得36sin sin sin 30a b A B ===︒，∴6sin b B =，∴b 的取值范围为(]06，.故选：D .【点睛】本题考查正弦定理，考查正弦函数的性质，属于基础题．4．若一个正四棱锥的高和底面边长都为2，则它的侧面与底面所成角的余弦值为（）A ．33B ．55C ．1111D ．1313【答案】B【分析】作辅助线，找出正四棱锥侧面与底面所成二面角的平面角，解直角三角形即可求得答案.【详解】如图，设PO 为正四棱锥的高，O 为底面正方形中心，作OE BC ⊥于E ,连接PE,则E 为BC 中点，故PE BC ⊥,故PEO ∠即为正四棱锥侧面与底面所成的角的平面角，因为正四棱锥的高和底面边长都为2，故2211,2152OE AB PE ===+=,故5cos 5OE PEO PE ∠==,故选：B5．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若cos cos sin A B Ca b c==，则ABC 是（）A ．等边三角形B ．有一内角是30 的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30 的等腰三角形【答案】C【分析】利用正弦定理边角互化可求得A 、B 的值，即可判断出ABC 的形状.【详解】因为cos cos sin A B C a b c==，由正弦定理可得s c i os sin n cos sin sin A B C A B C==，因为0180C << ，则sin 0C >，所以，tan tan 1A B ==，因为0180A << ，0180B << ，则45A B == ，因此，ABC 为等腰直角三角形.故选：C.6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11AC 的中点，则下列与直线CE 垂直的是（）A ．直线ACB ．直线11B DC ．直线11AD D ．直线1A A【答案】B【分析】根据给定条件，利用正方体的结构特征结合线面垂直的性质推理作答.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，连AC ，如图，点E 是矩形11ACC A 边11A C 的中点，直线AC 与直线CE 不垂直，A 不是；连接11B D ，由1CC ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，则111B D CC ⊥，而1111B D A C ⊥，又1111AC CC C = ，111,AC CC ⊂平面1CC E ，于是得11B D ⊥平面1CC E ，而CE ⊂平面1CC E ，则11B D CE ⊥，B 是；因1111////A C D B BC ，若BC CE ⊥，而1BC CC ⊥，1CC CE C = ，1,CC CE ⊂平面11ACC A ，则有BC ⊥平面11ACC A ，又AC ⊂平面11ACC A ，则BC AC ⊥与45ACB ∠= 矛盾，因此，直线BC 与直线CE 不垂直，直线11A D 与直线CE 不垂直，C 不是；由选项A 知，直线1A A 与直线CE 不垂直，D 不是.故选：B7．如下图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，3BCD π∠=，23CB CD ==．若点M为边BC 上的动点，则AM DM ⋅的最小值为（）A ．83B ．214C ．114-D ．133-【答案】B【分析】以B 点为原点，以BA ，BC 所在的直线为x 和y 轴，建立平面直角坐标系，设(0,)M a ，得到2321()24AM DM a ⋅=-+ ，即可求解.【详解】以B 点为原点，以BA 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，过点D 作DP x ⊥轴，过点D 作DQ y ⊥轴，因为,,3AB BC AD C BCD D π∠⊥=⊥且23CB CD ==，则3BAD π∠=，所以(0,0),(2,0),(0,23),(3,3)B A C D ，设(0,)M a ，则(2,),(3,3)AM a DM a =-=--，所以2321216(3)()244AM DM a a a ⋅=+-=-+≥，所以AM DM ⋅ 的最小值为214.故答案为：B.8．已知函数()()cos 3sin 33f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=-+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是奇函数．若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，再向上平移3个单位长度得到曲线()y g x =，若关于x 的方程()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则实数m 的取值范围是（）A ．1,3⎡⎤⎣⎦B ．)0,3⎡⎣C ．)23,33⎡⎣D ．)3,3⎡⎣【答案】C【分析】利用奇偶性可得3a =，通过图像变换得出()23sin 236g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭π，根据正弦函数对称性得出52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦且262x ππ+≠，通过求出此时()g x 的值域即可得出结果.【详解】因为函数()()()313cos 3sin cos sin 3322a a f x a x x x x a ππ+-⎛⎫⎛⎫=-+-=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是奇函数，所以302a -=，解得3a =，即()23sin f x x =，则()223sin 2y f x x ==，向左平移12π个单位长度后，得到23sin 223sin 2126y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，向上平移3个单位长度，得到()23sin 236y g x x π⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数对称性可知，()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦且262x ππ+≠，此时())23,33g x ⎡∈⎣，实数m 的取值范围是)23,33⎡⎣.故选：C ．二、多选题9．已知复数211i z a a =-+，()()211i z a a R =+-∈，若122z z -为实数，则下列说法中正确的有（）A ．113z =B ．1255i z z =+C ．102z 为纯虚数D ．12z z 对应的点位于第三象限【答案】AC【分析】根据已知条件，由122z z -其为实数，求得a 的值，依次计算即可得出结果.【详解】因为122z z -为实数，所以()210a a --=，解得2a =，所以132i z =+，21i z =+，所以19413z =+=，故A 正确，()()1232i 1i 15i z z =++=+，故B 错误，因为()21i 2i +=，所以()51022i 32i z ==，故C 正确，因为132i z =-，所以()()()()1232i 1i 32i 15i 1i 1i 1i 22z z ---===-++-，其对应的点15,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限，故D 错误．故选:AC ．10．设m ､n 为两条不同的直线，α､β为两个不同的平面，则下列命题中真命题是（）A ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 是异面直线C ．若,m n αβα⋂=⊂，则n 与β一定相交D ．若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ【答案】AD【分析】根据α､β的法向量互相垂直判断A ；根据m 与n 平行或者异面直线判断B ；n 与β平行或相交判断C ；根据线面垂直的性质判断D.【详解】A ，若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥，正确；B ，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行或者是异面直线，错误；C ，若,m n αβα⋂=⊂，则n 与β平行或相交，错误；D ，若//m n ，m α⊥，则n α⊥，又n β⊥，所以//αβ，D 正确．11．设函数()2si 0)n 3(f x x πωω=+，＞，下列说法正确的是（）A ．当2ω=时，()f x 的图象关于直线π12x =对称B ．当12ω=时，()f x 在[0]2π，上是增函数C ．若()f x 在[0]π，上的最小值为2-，则ω的取值范围为76ω≥D ．若()f x 在[0]π-，上恰有2个零点，则ω的取值范围为43ω≥【答案】AC【分析】根据正弦型函数的对称性、单调性、最值的性质、零点的性质逐一判断即可.【详解】当2ω=时，2sin 2122f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以12x π=是()f x 图象的一条对称轴，即A 正确；当12ω=时，若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则7,3312x πππω⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则7,2312πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 不单调，即B 错误；若[0,]x π∈，则,333x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由题意，可知332ππωπ+ ，解得76ω ，即C 正确；若[,0]x π∈-，则,333x πππωωπ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦，由题意，可知23ππωππ-<-+- ，解得4733ω< ，即D错误.故选：AC12．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若23b =，3c =，3A C π+=，则下列结论正确的是（）A ．3cos 3C =B ．2sin 3B =C ．3a =D ．2ABC S = 【答案】AD【解析】根据正弦定理得到3cos 3C =，22sin sin 23B C ==，根据余弦定理得到1a =，2ABC S = ，得到答案.【详解】3A C π+=，故2B C =，根据正弦定理：sin sin b cB C=，即23sin 32sin cos C C C =⨯，sin 0C ≠，故3cos 3C =，6sin 3C =，22sin sin22sin cos 3B C C C ===.2222cos c a b ab C =+-，化简得到2430a a -+=，解得3a =或1a =，若3a =，故4A C π==，故2B π=，不满足，故1a =.116sin 1232223ABC S ab C ==⨯⨯⨯=△.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和应用能力.三、填空题13．已知向量OA AB ⊥ ，3OA = ，则OA OB ⋅=．【答案】9．【详解】因为向量OA AB ⊥ ，所以0OA AB ⋅= ，即()0OA OB OA ⋅-= ，所以20OA OB OA ⋅-= ，即29OA OB OA ⋅== ，故应填9．【解析】本题考查向量的数量积的基本运算，属基础题．14．一半径为4m 的水车，水车圆心O 距离水面2m ，已知水车每分钟转动（按逆时针方向）3圈，当水车上P 点从水中浮现时开始计时，即从图中0P 点开始计算时间，当10t =秒时，点P 离水面的高度是m.【答案】4【分析】根据匀速圆周运动的数学模型进行求解.【详解】因为0OP =4，圆心O 到水面的距离为2，所以0P 到x 轴的距离为2，所以x 轴与0OP 所成角为6π，由题知水车转动的角速度为6=/6010rad sππ因为水车的半径为4，设P 点到水面的距离为y ，根据匀速圆周运动的数学模型有：4sin()2106y t ππ=-+当t =10秒时，y =4，所以点P 离水面的高度是4m .故答案为：4.15．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且2sin b a B =，则cos sin B C +的取值范围为．【答案】33,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】由正弦定理化边为角可得1sin 2A =，得出6A π=，再由三角形是锐角三角形得32B ππ<<，化简3sin o sin 3c s B B C π⎛++⎫= ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质即可得出.【详解】依题意2sin b a B =，由正弦定理得sin 2sin sin B A B =，sin 0B ≠ ，∴1sin 2A =，由于三角形ABC 是锐角三角形，所以6A π=.由202A B B ππ⎧+>⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，可得32B ππ<<，所以5cos sin cos sin 6B C B B π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭13cos cos sin 22B B B=++33cos sin 22B B =+3sin 3B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于25336B πππ<+<，所以13sin ,322B π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333sin ,322B π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：33,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：本题考查解三角形和三角函数性质的应用，解题的关键是利用正弦定理得出6A π=，再得出32B ππ<<，将cos sin BC +化为3sin 3B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭利用三角函数性质求解.16．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，MA AB BC ==，则该鳖臑的外接球和内切球的半径之比为.【答案】63+/36+【分析】证明MC 是鳖臑M ABC -外接球直径，然后设MA a =，由体积法求得其内切球半径，再计算比值．【详解】由题意，AB BC ⊥，又MA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则MA BC ⊥，同理MA AC ⊥，MA AB ⊥，AM AB A = ，,AM AB ⊂平面MAB ，所以BC ⊥平面MAB ，而MB ⊂平面ABM ，所以BC MB ⊥，所以MC 是鳖臑M ABC -外接球直径，设MA a =，则AB BC a ==，因此2MB AC a ==，3MC a =，212MAB ABC S S a ==!!，212222MBC MAC S S a a a ==⨯⨯=!!，2311113326M ABCABC V S MA a a a -==⨯⨯=!，设鳖臑M ABC -内切球半径为r ，则1()3ABC MAB MAC MBC M ABC S S S S r V -+++=!!!!，所以322132162122222a r a a a ⨯-==⨯+⨯，因此鳖臑M ABC -外接球半径与内切球半径比为3263212a a =+-，故答案为：63+．四、解答题17．已知a ，b ，c是同一平面内的三个向量，其中(2,1)a = ．（1）若25c =，且//c a r r ，求c 的坐标；（2）若5||2b = ，且()(2)a b a b +⊥- ，求a 与b 的夹角θ．【答案】（1）()4,2c = ，或()4,2c =--；（2）θπ=.【分析】（1）根据共线向量的坐标关系运算即可求解；（2）由向量垂直及数量积的运算性质可得52a b ⋅=-r r ，再利用夹角公式计算即可.【详解】（1）由于a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()2,1a = ，若||25c = ，且//c a ，可设()2,c a λλλ=⋅= ．则由22||(2)2c λλ=+=，可得2λ=±，∴()4,2c = ，或()4,2c =-- ；（2）∵5||2b = ，且2a b + 与a b - 垂直，∴()()22220a b a b a a b b +-=+⋅-⋅= ，化简可得52a b ⋅=- ，即55cos 52θ⨯⨯=-，∴cos 1θ=-，故a 与b 的夹角θπ=．【点睛】本题主要考查了共线向量的坐标运算，数量积的运算，夹角公式，属于中档题.18．设平面向量213sin ,cos 2a x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，(cos ,1)b x =- ，函数()f x a b =⋅ ．(1)求()f x 的单调增区间；(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域；(3)若锐角α满足124f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求2πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(3)78-【分析】（1）化简得到()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取πππ2π22π262k x k -≤-≤+，解得答案.（2）π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，得到值域.（3）代入数据得到π1sin 264f αα⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得到22ππcos 22sin 136αα⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，计算得到答案.【详解】（1）()2131cos 213sin cos cos sin 22222x x x x f x a b x +=-+=-=⋅+31πsin 2cos 2sin 2226x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，取πππ2π22π262k x k -≤-≤+，Z k ∈，解得ππππ63k x k -≤≤+，Z k ∈，故()f x 的单调增区间为πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，（2）π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故()1,12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（3）π1sin 264f αα⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22ππππ7cos 2cos 2πcos 22sin 136668αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.19．如图，ACD 为等腰三角形，且AC AD =，DE ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，12AB DE =，点G 为CE的中点.求证：(1)BG ∥平面ACD ；(2)平面BCG ⊥平面GDE .【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据平行四边形可得线线平行，进而由线面平行的判断求解，（2）根据线线垂直得线面垂直，即可由面面垂直的判定求证.【详解】（1）取CD 的中点F ，连接GF ，AF又因为点G 为CE 的中点，所以GF 为ECD 的中位线，所以FG ∥DE ，1FG DE 2=，因为AB ∥DE ，所以FG ∥AB ，因为12AB DE =，所以FG AB =，所以四边形GFAB 为平行四边形，所以AF ∥BG ，因为BG ⊄平面ACD ，AF ⊂平面ACD所以BG ∥平面ACD ；（2）因为ACD 为等腰三角形，且AC AD =，又点F 为CD 的中点，所以AF CD ⊥，因为DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，所以DE AF ⊥，因为CD DE D = ，,CD DE ⊂平面CDE ，所以AF ⊥平面CDE ，由（1）知AF ∥BG ，所以BG ⊥平面CDE ，因为BG ⊂平面BCG ，所以平面BCG ⊥平面CDE ，又平面CDE 即是平面GDE ，所以平面BCG ⊥平面GDE .20．已知ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C c b +=.（1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC 周长l 的最大值.【答案】（1）3A π=；（2）3.【解析】（1）由题意利用正弦定理，两角和差的三角公式，求得cos A 的值，可得A 的值.（2）利用正弦定理求得b ､c 的解析式，可得周长l 的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得ABC 的周长l 的最大值.【详解】解：（1）ABC 中，∵cos 12a c C b b+=，∴由正弦定理可得()1sin cos sin sin sin sin cos cos sin 2A C CB AC A C A C +==+=+，∴1sin cos sin 2C A C =，∴1cos 2A =.结合()0,A π∈，可得3A π=.（2）由正弦定理得sin sin 2sin 3B a B A b ==，2sin 3c C =，∴周长()()2211sin sin 1sin sin 33a b c B C B A B =++=++=+++⎡⎤⎣⎦3112sin cos 12sin 226B B B π⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∵3A π=，∴20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故ABC 的周长l 的最大值为3.【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、三角恒等变换以及正弦函数的性质，属于基础题.21．如图，在ABC 中，2AB =，3cos cos cos a B b C c B -=，点D 在线段BC上．(1)若34ADC π∠=，求AD 的长；(2)若2BD DC =，ACD 的面积为423，求sin sin BAD CAD ∠∠的值．【答案】(1)83AD =；(2)42.【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出cos B ，利用同角三角函数的平方关系可求得sin B 的值，然后在ABD △中，利用正弦定理可求得AD 边的长；（2）设CD t =，则2BD t =，利用三角形的面积公式可求得t 的值，然后在ABD △、ACD 中利用正弦定理，再结合sin sin ADB ADC ∠=∠，可求得结果.【详解】（1）解：因为3cos cos cos a B b C c B -=，由正弦定理可得()()3sin cos sin cos cos sin sin sin sin A B B C B C B C A A π=+=+=-=，()0,A π∈ ，则sin 0A >，故1cos 3B =，则B 为锐角，所以，222sin 1cos 3B B =-=，34ADC π∠= ，则4ADB π∠=，在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD AB B ADB =∠，∴222232AD =，解得83AD =．（2）解：设CD t =，则2BD t =，423ACD S = △，则342ABC ACD S S ==△△，即122234223t ⨯⨯⨯=，可得2t =，故36BC t ==，由余弦定理可得2212cos 436226423AC AB BC AB BC B =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD AB BAD ADB =∠∠，故sin 2sin BAD ADB ∠=∠，在ACD 中，由正弦定理可得sin sin CD AC CAD ADC=∠∠，故2sin sin 4CAD ADC ∠=∠，因为()sin sin sin ADB ADC ADC π∠=-∠=∠，所以，sin 2sin 42sin 2sin 4BAD ADB CAD ADC ∠∠==∠∠.22．如图，在矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，沿对角线BD 把BCD △折起，使C 移到C '，且C '在面ABC 内的射影O 恰好落在AB 上.(1)求证：AD C B '⊥；(2)求AB 与平面C BD '所成的角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）根据已知，先证AD ⊥平面C AB '，然后由线面垂直的性质可证；（2）先证C B C A '⊥'，然后由等体积法求点A 到平面C BD '的距离，即可求得所求.【详解】（1）证明：由已知易得：C O '⊥平面,ABD C O AD ∴⊥'，又,AB AD C O AB O '⊥⋂= ，,C O AB '⊂平面C AB '，AD ∴⊥平面C AB '，C B ⊂' 平面C AB AD C B ⊥'∴'；（2）由（1）知：AD C B '⊥，又,C D C B AD C D D ⊥⋂'''= ，,AD C D '⊂平面C AD '，C B ∴'⊥平面C AD '，又C A '⊂平面C AD C B C A '⊥'∴'，在Rt AC B ' 中，12633C B C A C O AB '⨯⨯='=='，设点A 到平面C BD '的距离为d ，由A C BD C ABD V V '-'-=，得1133C BD ABD S d S C O '⋅=⋅' ，即11116131332323d ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，得：63d C O ='=，AB ∴与平面C BD '所成的角的正弦值为23d AB =.。