系解问答题集合jinlz
三种集合问题的解题方法
三种集合问题的解题方法【导语】在数学中，集合是研究对象的集合，集合问题是数学中常见的问题之一。
解决集合问题可以帮助我们深入理解数学的抽象思维和逻辑推理能力。
本文将介绍三种常见的集合问题解题方法，以帮助读者更好地应对这类问题。
【目录】一、概述1.1 集合的定义和基本运算1.2 集合问题的分类二、穷举法2.1 穷举法的基本思想2.2 穷举法的应用案例三、推理法3.1 推理法的基本思想3.2 推理法的应用案例四、运算法4.1 运算法的基本思想4.2 运算法的应用案例五、总结与回顾5.1 三种集合问题解题方法的比较5.2 个人观点与理解一、概述1.1 集合的定义和基本运算在数学中，集合是元素的汇集，可以用大括号{}表示，元素之间用逗号分隔。
集合常见的基本运算有交集、并集、补集和差集等。
1.2 集合问题的分类集合问题可以分为穷举法、推理法和运算法三种解题方法。
这三种方法各有特点，我们将逐一介绍。
二、穷举法2.1 穷举法的基本思想穷举法是通过列出集合中的所有元素来解决问题的方法。
它适用于集合元素个数较少的情况，能够确保不漏解和不重解。
2.2 穷举法的应用案例以某班级人数为例，假设班级有20名学生，我们要求找到芳龄在16岁到18岁之间的学生。
可以使用穷举法，列举出所有学生的芳龄，并筛选出符合条件的学生。
三、推理法3.1 推理法的基本思想推理法是通过逻辑推理的方式解决集合问题的方法。
它适用于对集合元素之间的关系进行推断和分析的情况，需要应用数学推理和逻辑思维。
3.2 推理法的应用案例以A、B、C三个集合为例，已知A包含B，B包含C，我们要推导出A包含C的结论。
可以通过推理法进行逻辑推演，利用集合之间的关系进行推理。
四、运算法4.1 运算法的基本思想运算法是通过对集合进行运算操作解决问题的方法。
它主要应用于集合的交集、并集、补集、差集等操作，可以快速求解特定的集合问题。
4.2 运算法的应用案例以两个集合的交集问题为例，已知集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，我们要求解A和B的交集。
有关高一数学集合的经典解答题
高一数学集合的经典解答题1. 求解方程组已知集合$A=\{x\in R|x^2-3x+2<0\}$，$B=\{x\in R|x-1\geq 0\}$，求解方程组$A\cap B$。
解：我们要求出集合$A$和$B$中的元素。
对于集合$A$，由不等式$x^2-3x+2<0$，可以得到方程的解为$x\in (1,2)$。
而对于集合$B$，由不等式$x-1\geq 0$，可以得到方程的解为$x\geq 1$。
所以集合$A$和$B$的交集即为$x\in (1,2)$。
2. 求解集合的幂集已知集合$A=\{1,2,3\}$，求集合$A$的幂集。
解：集合$A$的幂集即为集合$A$的所有子集的集合。
由于集合$A$共有3个元素，所以其幂集共有$2^3=8$个子集。
具体包括空集、单元素子集$\{1\},\{2\},\{3\}$，双元素子集$\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}$，以及全集$A=\{1,2,3\}$。
3. 判断集合关系已知集合$A=\{x\in R|2\leq x\leq 5\}$，$B=\{x\in R|3\leq x\leq6\}$，判断集合$A$与集合$B$的关系。
解：集合$A$中的元素为$x\in [2,5]$，而集合$B$中的元素为$x\in [3,6]$。
从区间的包含关系来看，集合$A$中的元素均在集合$B$中，且有$2\leq 3$和$5\leq 6$，因此集合$A$是集合$B$的子集。
4. 求解不等式集合已知不等式$2x-1<5$，求解集合$A=\{x\in R|2x-1<5\}$。
解：根据不等式$2x-1<5$，可以得到$2x<6$，进而得到$x<3$。
因此集合$A$中的元素为$x\in (-\infty,3)$。
5. 求交集与并集已知集合$A=\{1,2,3,4\}$，$B=\{3,4,5,6\}$，求解集合$A$与集合$B$的交集与并集。
集合的概念及运算例题及答案
1 集合的概念与运算（一）目标： 1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题2.理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算,掌握集合问题的常规处理方法．重点： 1.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用;2.交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．基本知识点：知识点1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素知识点2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *知识点3、元素与集合关系（隶属）（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉注意：“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写知识点4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里， 或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）知识点5、集合与元素的表示：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……例题精析1：1、下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数 （不确定）（2）好心的人 （不确定）（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）2、设a,b 是非零实数，那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__3、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ A ）（A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素4、设集合G 中的元素是所有形如a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）的数，求证：(1) 当x ∈N 时, x ∈G;(2) 若x ∈G ，y ∈G ，则x ＋y ∈G ，而x1不一定属于集合G 证明(1)：在a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）中，令a=x ∈N,b=0,则x= x ＋0*2= a ＋b 2∈G,即x ∈G证明(2)：∵x ∈G ，y ∈G ，∴x= a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）,y= c ＋d 2（c ∈Z, d ∈Z ）∴x+y=( a ＋b 2)+( c ＋d 2)=(a+c)+(b+d)2∵a ∈Z, b ∈Z,c ∈Z, d ∈Z∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z∴x+y =(a+c)+(b+d)2 ∈G ，又∵211b a x +=＝2222222b a b b a a --+- 且22222,2b a b b a a ---不一定都是整数， ∴211b a x +=＝2222222b a b b a a --+-不一定属于集合G知识点6、集合的表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53， (100)所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括 号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合 例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或}23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}（3）、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法思考：何时用列举法？何时用描述法？⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数}例 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？ 答：不是因为集合}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12+=x y 的所有函数值构成的数集例题精析2：1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13} }5,23|{≤∈-=n N n n x x 且②{-2，-4，-6，-8，-10} }5,2|{≤∈-=n N n n x x 且2、用列举法表示下列集合①{x ∈N|x 是15的约数} {1，3，5，15}②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x )}32,38{(- ④},)1(|{N n x x n ∈-= {-1，1}⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ {（0，8）（2，5），（4，2）}⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}3、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集4、用描述法表示下列集合： (1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= ;(2) { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}= 巩固提升：1、数集{}21,,x x x -中元素x 所满足的条件是 2、已知{}23,21,1A a a a =--+，其中a R ∈， ⑴若3A -∈，求实数a 的值；⑵当a 为何值时，集合A 的表示不正确。
高考数学专题复习 对集合的理解及集合思想应用的问题 试题
卜人入州八九几市潮王学校高考数学专题复习对集合的理解及集合思想应用的问题高考要求集合是高中数学的根本知识，为历年必考内容之一，主要考察对集合根本概念的认识和理解，以及作为工具，考察集合语言和集合思想的运用本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用重难点归纳1解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描绘法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题2注意空集∅的特殊性，在解题中，假设未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ,那么有A =∅或者A≠∅两种可能，此时应分类讨论典型题例示范讲解例1设A ={(x ,y )|y 2－x －1=0},B ={(x ,y )|4x 2+2x －2y +5=0},C ={(x ,y )|y =kx +b },是否存在k 、b ∈N ,使得(A ∪B )∩C =∅，证明此结论此题主要考察考生对集合及其符号的分析转化才能，即能从集合符号上分辨出所考察的知识点，进而解决问题知识依托解决此题的闪光点是将条件(A ∪B )∩C =∅转化为A ∩C =∅且B ∩C =∅，这样难度就降低了错解分析此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其本质内涵，因此可能感觉无从下手技巧与方法由集合A 与集合B 中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进展限制，可得到b 、k 的范围，又因b 、k ∈N ,进而可得值解∵(A ∪B )∩C =∅，∴A ∩C =∅且B ∩C =∅∵⎩⎨⎧+=+=bkx y x y 12∴k 2x 2+(2bk －1)x +b 2－1=0 ∵A ∩C =∅∴Δ1=(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0∴4k 2－4bk +1<0,此不等式有解，其充要条件是16b 2－16>0,即b 2>1①∵⎩⎨⎧+==+-+b kx y y x x 052242∴4x 2+(2－2k )x +(5+2b )=0∵B ∩C =∅,∴Δ2=(1－k )2－4(5－2b )<0∴k 2－2k +8b －19<0,从而8b <20,即b <25②由①②及b ∈N ,得b =2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得 ∴k =1,故存在自然数k =1,b =2,使得(A ∪B )∩C =∅例2向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生实在掌握此题主要强化学生的这种才能知识依托解答此题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来错解分析此题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索技巧与方法画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联络解赞成A 的人数为50×53=30，赞成B 的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U ，赞成事件A 的学生全体为集合A ；赞成事件B 的学生全体为集合BB 都不赞成的学生人数为3x+1,赞设对事件A 、B 都赞成的学生人数为x ,那么对A 、成A 而不赞成B 的人数为30－x ，赞成B 而不赞成A 的人数为33－x依题意(30－x )+(33－x )+x +(3x+1)=50,解得x =21 所以对A 、B 都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人例3集合A ={(x ,y )|x 2+mx －y +2=0},B ={(x ,y )|x －y +1=0,且0≤x ≤2},假设A ∩B ≠∅,务实数m 的取值范围解由⎩⎨⎧≤≤=+-=+-+)20(01022x y x y mx x 得x 2+(m －1)x +1=0①∵A ∩B ≠∅∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解首先，由Δ=(m －1)2－4≥0,得m ≥3或者m ≤－1,当m ≥3时，由x 1+x 2=－(m －1)＜0及x 1x 2=1>0知，方程①只有负根，不符合要求当m ≤－1时，由x 1+x 2=－(m －1)>0及x 1x 2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内故所求m 的取值范围是m ≤－1学生稳固练习1集合M ={x |x =42π+kx ,k ∈Z },N ={x |x =42k ππ+,k ∈Z },那么() A M =NB M NC M ND M ∩N =∅2集合A ={x |－2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m －1}且B ≠∅,假设A ∪B =A ，那么()A －3≤m ≤4B －3<m <4C 2<m <4D 2<m ≤43集合A ={x ∈R |a x 2－3x +2=0,a ∈R },假设A 中元素至多有1个，那么a 的取值范围是_________4x 、y ∈R ,A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|bya x -=1,a >0,b >0},当A ∩B 只有一个元素时，a ,b 的关系式是_________ 5集合A ={x |x 2－ax +a 2－19=0},B ={x |log 2(x 2－5x +8)=1}，C ={x |x 2+2x －8=0},求当a 取什么实数时，A ∩B∅和A ∩C =∅同时成立6{a n }是等差数列，d 为公差且不为0，a 1和d 均为实数，它的前n 项和记作S n ,设集合A ={(a n ,nS n )|n ∈N *},B ={(x ,y )|41x2－y 2=1,x ,y ∈R }试问以下结论是否正确，假设正确，请给予证明；假设不正确，请举例说明(1)假设以集合A 中的元素作为点的坐标，那么这些点都在同一条直线上； (2)A ∩B 至多有一个元素； (3)当a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅7集合A ={z ||z －2|≤2,z ∈C },集合B ={w |w =21zi +b ,b ∈R },当A ∩B =B 时，求b 的值 8设f (x )=x 2+px +q ,A ={x |x =f (x )},B ={x |f ［f (x )］=x }(1)求证A ⊆B ;(2)假设A ={－1，3}，求B参考答案1解析对M 将k 分成两类k =2n 或者k =2n +1(n ∈Z ),M ={x |x =n π+4π,n ∈Z }∪{x |x =n π+43π,n ∈Z },对N 将k 分成四类，k =4n 或者k =4n +1,k =4n +2,k =4n +3(n ∈Z ),N ={x |x =n π+2π,n ∈Z }∪{x |x =n π+43π,n ∈Z }∪{x |x =n π+π,n ∈Z }∪{x |x =n π+45π,n ∈Z }答案C2解析∵A ∪B =A ，∴B ⊆A,又B ≠∅,∴⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤--≥+12171221m m m m 即2＜m ≤4 答案D3a =0或者a ≥89 4解析由A ∩B 只有1个交点知，圆x 2+y 2=1与直线b y a x -=1相切，那么1=22b a ab +,即ab =22b a + 答案ab =22b a +5解log 2(x 2－5x +8)=1,由此得x 2－5x +8=2，∴B ={2,3}由x 2+2x －8=0，∴C ={2,－4},又A ∩C =∅，∴2和－4都不是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，而A ∩B∅,即A ∩B ≠∅,∴3是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，∴可得a =5或者a =－2当a =5时，得A ={2，3}，∴A ∩C ={2}，这与A ∩C =∅不符合，所以a =5(舍去)；当a =－2时，可以求得A ={3，－5}，符合A ∩C =∅，A ∩B∅，∴a =－26解(1)正确在等差数列{a n }中，S n =2)(1n a a n +,那么21=n S n (a 1+a n ),这说明点(a n ,nS n 〕的坐标适宜方程y 21=(x +a 1),于是点(a n ,nS n )均在直线y =21x +21a 1上(2)正确设(x ,y )∈A ∩B ,那么(x ,y )中的坐标x ,y 应是方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=1412121221y x a x y 的解，由方程组消去y 得2a 1x +a 12=－4(*)，当a 1=0时，方程(*)无解，此时A ∩B =∅；当a 1≠0时，方程(*)只有一个解x =12124a a --,此时，方程组也只有一解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=1211214424a a y a a y ,故上述方程组至多有一解 ∴A ∩B 至多有一个元素(3〕不正确取a 1=1,d =1,对一切的x ∈N *,有a n =a 1+(n －1)d =n >0,nS n>0,这时集合A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a 1=1≠0假设A ∩B ≠∅,那么据(2〕的结论，A ∩B 中至多有一个元素(x 0,y 0〕,而x 0=5224121-=--a a ＜0,y 0=43201=+x a ＜0,这样的(x 0,y 0〕∉A ,产生矛盾，故a 1=1,d =1时A ∩B =∅，所以a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅是不正确的7解由w =21zi +b 得z =ib w 22-, ∵z ∈A ,∴|z －2|≤2,代入得|ibw 22-－2|≤2,化简得|w －(b +i )|≤1 ∴集合A 、B 在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A 表示以点(2，0〕为圆心，半径为2的圆面，集合B 表示以点(b ,1)为圆心，半径为1的圆面又A ∩B =B ，即B ⊆A ，∴两圆内含因此22)01()2(-+-b ≤2－1,即(b －2)2≤0，∴b =28(1)证明设x 0是集合A 中的任一元素，即有x 0∈A∵A ={x |x =f (x )},∴x 0=f (x 0)即有f ［f (x 0)］=f (x 0)=x 0,∴x 0∈B ,故A ⊆B(2)证明∵A ={－1,3}={x |x 2+px +q =x },∴方程x 2+(p －1)x +q =0有两根－1和3，应用韦达定理，得∴f (x )=x 2－x －3于是集合B 的元素是方程f ［f (x )］=x , 也即(x 2－x －3)2－(x 2－x －3)－3=x (*)的根将方程(*)变形，得(x 2－x －3)2－x 2=0解得x =1,3,3,－3故B ={－3，－1，3，3}课前后备注。
集合知识点总结带例题
集合知识点总结带例题一、基本概念1. 集合集合是由一些确定的对象构成的整体。
集合是一个无序的整体，它只关心集合中包含的元素，与元素的排列顺序无关。
2. 元素集合中的个体称为元素，元素可以是任何事物或对象，例如数字、字母、集合等。
3. 空集一个不包含任何元素的集合称为空集，通常用符号∅ 或 {} 表示。
4. 包含关系若集合 A 中的所有元素都是集合 B 中的元素，则称集合 A 包含在集合 B 中，通常用符号A⊆B 表示。
5. 相等关系若集合 A 包含在集合 B 中，并且集合 B 包含在集合 A 中，则称集合 A 和集合 B 相等，通常用符号 A=B 表示。
6. 子集若集合 A 包含在集合 B 中，且集合 A 不等于集合 B，则称集合 A 是集合 B 的子集，通常用符号A⊂B 表示。
7. 并集若集合 A 和集合 B 的元素都包含在一个新的集合中，则称该集合为 A 和 B 的并集，通常用符号A∪B 表示。
8. 交集若集合 A 和集合 B 的公共元素构成一个新的集合，则称该集合为 A 和 B 的交集，通常用符号A∩B 表示。
9. 完全集一个包含所有可能元素的集合称为完全集。
10. 互斥集若集合 A 和集合 B 没有共同的元素，则称集合 A 和集合 B 互斥。
二、运算1. 并集对于两个集合 A 和 B，它们的并集是一个包含 A 和 B 所有元素的集合。
例如：A={1,2,3}, B={3,4,5} 则A∪B={1,2,3,4,5}。
2. 交集对于两个集合 A 和 B，它们的交集是一个包含 A 和 B 共同元素的集合。
例如：A={1,2,3}, B={3,4,5} 则A∩B={3}。
3. 补集对于一个集合 A，它在另一个集合 U 中的补集是指 U 中不属于 A 的元素所组成的集合，通常用符号 A' 或 A^c 表示。
4. 差集对于两个集合 A 和 B，它们的差集是包含在 A 中但不包含在 B 中的元素所组成的集合，通常用符号 A-B 表示。
集合知识点汇总与练习试题
集合知识点汇总与练习试题1.1 集合1.1.1 集合的含义与表⽰⼀集合与元素1.集合是由元素组成的集合通常⽤⼤写字母A、B、C，…表⽰，元素常⽤⼩写字母a、b、c，…表⽰。
2.集合中元素的属性（1）确定性：⼀个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，绝⽆模棱两可的情况。
（2）互异性：集合中的元素是互不相同的个体，相同的元素只能出现⼀次。
（3）⽆序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。
3.元素与集合的关系（1）元素a是集合A中的元素，记做a∈A，读作“a属于集合A”；（2）元素a不是集合A中的元素，记做a?A，读作“a不属于集合A”。
4.集合相等如果构成两个集合的元素⼀样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序⽆关。
⼆集合的分类1.有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有⼀个元素的集合叫单元素集合；2.⽆限集：集合中元素的个数是不可数的；3.空集：不含有任何元素的集合，记做?.三集合的表⽰⽅法1.常⽤数集（1）⾃然数集：⼜称为⾮负整数集，记做N；（2）正整数集：⾃然数集内排除0的集合，记做N+或N※；（3）整数集：全体整数的集合，记做Z（4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q（5）实数集：全体实数的集合，记做R3.集合的表⽰⽅法（1）⾃然语⾔法：⽤⽂字叙述的形式描述集合。
如⼤于等于2且⼩于等于8的偶数构成的集合。
（2）列举法：把集合的元素⼀⼀列举出来，并⽤花括号“｛｝”括起来表⽰集合的⽅法，⼀般适⽤于元素个数不多的有限集，简单、明了，能够⼀⽬了然地知道集合中的元素是什么。
注意事项：①元素间⽤逗号隔开；②元素不能重复；③元素之间不⽤考虑先后顺序；④元素较多且有规律的集合的表⽰：｛0,1,2,3，…，100｝表⽰不⼤于100的⾃然数构成的集合。
（3）描述法：⽤集合所含元素的共同特征表⽰集合的⽅法，⼀般形式是｛x∈I | p(x)｝.注意事项：①写清楚该集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使⽤“且”、“或”；⑤所有描述的内容都要写在集合符号内；⑥语句⼒求简明、准确。
近世代数习题解答2
近世代数习题解答第二章 群论1 群论1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证 不是一个群,因为不适合结合律.2. 举一个有两个元的群的例子.证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群.3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件''5,4来作群的定义:'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立'5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1 得e a a =-1因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'1所以))(()('111a a a a e a a ---=e a a a e a a aa a ====----'1'1'11][)]([即 e a a =-1(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea =a ae a a a a aa ea ====--)()(11即 a ea =这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1-=b be b aa b a a ===--)()(11这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到''5,4是不困难的.2 单位元,逆元,消去律1. 假设群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 就是交换群.证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111)(.2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证 (1) 先证a 的阶是n 那么1-a 的阶也是n .e e a a e a n n n ===⇒=---111)()(假设有n m 〈 使e a m =-)(1 即 e a m =-1)(因而 1-=e a me a m=∴ 这与a 的阶是n 矛盾.a 的阶等于1-a 的阶 (2) a 的阶大于2, 那么1-≠a a 假设 e a a a =⇒=-21 这与a 的阶大于2矛盾(3) b a ≠ 那么 11--≠b a总起来可知阶大于2的元a 与1-a 双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的个数一定是奇数.证 根据上题知,有限群G 里的元大于2的个数是偶数;因此阶2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶2≤的元的个数一定是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证 G a ∈故 G a a a a nm∈ ,,,,,,2由于G 是有限群,所以这些元中至少有两个元相等:n m a a =)(n m 〈 故 e a m n =-m n -是整数,因而a 的阶不超过它.4 群的同态假定在两个群G 和-G 的一个同态映射之下,-→a a ，a 和-a 的阶是不是一定一样? 证 不一定一样 例如 }231,231,1{i i G +-+-= }1{=-G对普通乘法-G G ,都作成群,且1)(=x φ(这里x 是G 的任意元,1是-G 的元)由 φ可知 G ∽-G但 231,231i i --+-的阶都是3. 而1的阶是1.5 变换群1. 假定τ是集合的一个非一一变换,τ会不会有一个左逆元1-τ,使得εττ=-1?证 我们的答复是回有的},3,2,1{ =A1τ: 1→1 2τ 1→12→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 ……τ显然是一个非一一变换但 εττ=-12. 假定A A 的可以写成b a b ax x ,,+→是有理数,0≠a 形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群? 证 (1) :τb ax x +→:λd cx x +→:τλd cb cax d b ax c x ++=++→)(d cb ca +,是有理数 0≠ca 是关闭的.(2) 显然时候结合律(3) 1=a 0=b 那么 :εx x → (4):τb ax +)(1:1ab x a x -+→-τ 而 εττ=-1所以构成变换群.又 1τ: 1+→x x:2τx x 2→:21ττ)1(2+→x x :12ττ12+→x x故1221ττττ≠因而不是交换群.3. 假定S 是一个集合A 的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号τ:)('a a a τ=→ 来说明一个变换τ.证明,我们可以用21ττ:)()]([2121a a a ττττ=→来规定一个S 的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说ε还是S 的单位元.证 :1τ)(1a a τ→:2τ)(2a a τ→那么:21ττ)()]([2121a a a ττττ=→ 显然也是A 的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律:)]()[(:)(321321a a ττττττ→)]]([[321a τττ==→)]([:)(321321a a ττττττ)]]([[321a τττ故 )()(321321ττττττ= 再证ε还是S 的单位元:ε)(a a a ε=→:ετ)()]([a a a ττε=→τ:τε)()]([a a a τετ=→∴τεετ=4． 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。
集合经典习题集含答案
集合经典习题集含答案标题：集合经典习题集含答案一、基础练习题1. 设A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，求A与B的交集。
解析：两个集合的交集是指同时存在于两个集合中的元素。
所以A与B的交集为{3,4}。
2. 如果集合A与集合B的并集是整数集Z，那么集合A与集合B的关系是什么？解析：如果集合A与集合B的并集是整数集Z，那么说明集合A和集合B的元素的取值范围覆盖了整数集Z中的所有元素。
因此，可以说集合A与集合B的关系是包含关系。
3. 设A={x|x是大于等于0小于10的实数}，B={x|x是大于等于5小于15的实数}，求A与B的交集。
解析：根据题目给出的条件，可以得出A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，B={5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}。
所以A与B的交集为{5,6,7,8,9}。
4. 设A={a,b,c,d}，B={c,d,e,f}，C={d,e,f,g}，求(A∩B)∪C。
解析：首先求A与B的交集：A∩B={c,d}。
然后将交集与C求并集：(A∩B)∪C={c,d,e,f,g}。
5. 设A={3,4,5}，B={4,5,6}，C={5,6,7}，求(A∪B)∩C。
解析：首先求A与B的并集：A∪B={3,4,5,6}。
然后将并集与C求交集：(A∪B)∩C={5}。
二、进阶练习题1. 设A={x|x是集合R中的一个奇数}，B={x|x是集合R 中的一个负数}，C={x|x是集合R中的一个素数}，求(A∪B)∩C。
解析：集合R中的奇数为{-3,-1,1,3,5,...}，负数为{-∞,-1,-2,-3,...}，素数为{2,3,5,7,11,...}。
将A与B的并集求出：A∪B={-∞,-3,-2,-1,1,3,5,...}。
然后将并集与C 求交集：(A∪B)∩C={3,5,7,11,...}。
2. 设集合A={1,2,3,...,10}，B={3,5,7,9}，C={2,6,10}，求(A∩B)∪C。
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1. 脊柱由哪些椎骨所组成，它们是如何连结成脊柱的（即椎骨间的连结，需通
过椎体之间如何连结？椎弓之间又是如何连结？分别进行归）。
2. 简述肩关节的组成及结构特点
3. 试述肩关节和髋关节的异同点。
4. 简述肘关节的构成和主要的韧带。
5. 肘关节可做哪些运动？分别写出参与各组运动的肌肉
6. 骨盆界线是怎样围成的？何谓大、小骨盆？
7. 简述骨盆的组成，区别男女性骨盆的主要依据是什么？ 8. 简述膝关节的构造及特点。
9. 上山和下山，在哪一种情况下容易扭伤踝关节？为什么？ 10. 简述三大唾液腺的名称和开口的部位。
11. 简述鼻旁窦的名称与开口位置
12. 食管的各狭窄分别位于何处，其中第3狭窄距中切牙的距离是多少？ 13. 简要叙述胃的形态、位置和分部。
14. 简述胆汁的产生及排出途径？ 15. 简述肝的位置及毗邻。
16. 试述精子的产生部位、排出途经及常用的结扎部位。
17. 简述男性尿道的分部和形态特点。
18. 简述固定子宫的韧带及其主要作用。
19. 简述子宫的位置、形态和分部。
20. 简述输卵管由内向外分为哪几部，并指出受精和结扎的部位。
21. 三尖瓣复合体的构成及作用
22. 那些结构保证了心腔内血液的定向流动？他们各位于何处？ 23. 简述右心房血栓脱落导致肺内细小动脉阻塞的具体循环途径？ 24. 试述主动脉分段及每段主要分支名称
25. 请写出腹主动脉直接分出的脏支。
哪支既是营养性血管又是功能性血管？。
26. 请写出体表能触及动脉搏动的动脉名称 27. 试述肱二头肌得到食物中营养物质供应的途径
28. 肝硬化门脉高压患者，门静脉的血液往往可经过食管静脉丛（2分）、直肠静
脉丛（2分）和脐周静脉网（3分，脐平面以上和以下回流途径各占1.5分）回流入心房，请用箭头表示各回流途径（写出各静脉名称） 29. 试述从手背静脉网注射抗生素，药物是如何到达大拇指的？ 30. 简述从手背静脉输液保守治疗阑尾炎，药物到达病灶处的途径。
31. 口服抗生素治疗阑尾炎，写出药物到达阑尾所经过的结构名称。
32. 请叙述脾的位置、形态及触诊标志。
33. 房水的产生和循环途径如何？
34. 试用解剖学知识阐明脊髓(胸段)右半侧横贯损伤时可出现哪些体征?并述其
产生原因? 35. 写出大脑皮质主要的4个功能定位区并注明其功能。
36. 简述头面部浅感觉传导通路
…………………………………………………………..装………………….订…………………..线………………………………………………………
37.请写出躯干和四肢意识性本体感觉和精细触觉传导通路中3级神经元的名称
及其上行过程中主要传导束的名称。
38.下颌牙齿疼痛的神经传导通路如何？
39.视觉传导通路的不同部位受损，可引起怎样的视觉缺损？
40.根据已学的解剖学知识写出“望梅止渴”这一调节过程所涉及的脑神经）、
脑神经核和腺体。
41.一患者左侧大脑脚底血肿，该血肿压迫到大脑脚底的下行传导束和穿出脚间
窝左侧的神经。
请问①什么神经穿出脚间窝？该患者此神经损伤引起什么症状？②大脑脚底有哪些下行传导束？损伤后引起什么症状？
42.脑脊液的产生及回流
43.大脑动脉环的构造及意义。
44.简述内囊的位置、分部及各部通过的主要纤维束名称。
45.试述大腿肌的分群及每群肌肉的名称和神经支配
46.试述舌的神经支配。
McBurney点肝门内囊斜角肌间隙Treitz韧带：隔缘肉柱脑神经胸骨角
Willis环骨连接乳糜池胸膜腔
白交通支冠状窦三尖瓣复合体牙周组织
膀胱三角核上瘫神经核咽峡
臂丛黄斑神经节眼的屈光系统
大脑动脉环：灰质肾窦翼点
胆囊三角交感干肾区硬膜外隙
第三脑室解剖学姿势十二指肠球掌浅弓：
动脉静脉角视神经盘：蛛网膜下隙
窦房结局部淋巴结体循环：椎管
二尖瓣复合体面神经丘危险三角椎间孔
肺门内侧丘系纤维束锥体束
肝蒂：小脑扁桃体纵隔。