概率论与数理统计龙永红第三版第1.5节
《概率论与数理统计》第三版 龙永红 第一、二、三章练习及答案
《概率论》第一章 练 习 一、填空题：（1）设A 、B 为随机事件，P （A ）＝0.7，P （A －B ）＝0.3，则P （A B ）＝ 。
（2）设A 、B 为随机事件，P （A ）＝0.92，P （B ）＝0.93，P （B/A ）＝0.85，则P （A/B ）=_ _，P （A B ）=_ __。
见课本习题—20题（3）设事件A 、B 相互独立，已知P （A ）＝0.5，P （A B ）＝0.8，则P(A B )= , P （A B ）＝ 。
（4）袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，今两人依次随机地从中各取一球，则第二个人取得黄球的概率是 。
（5）设两个独立事件A 、B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则P （A ）＝ 。
（6）一射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中一次的概率是80/81，则该射手的命中率为 。
(7) 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地取出4球，其中“恰好2个黑球，2个白球”的概率为： 、(8) 事件A 、B 、C 中至少有两个不发生，可用运算符号表示为： ；而运算符号C B A -+)(则表示事件 。
(9) A 、B 为相互独立的事件，P （A ）=0.4，P （AB ）=0.12，则 P （B ）= ；P （A B ）= 。
(10) 设A 、B 为互不相容事件，P （B ）=0.4，P （A+B ）=0.75，则 P （A ）= ；P （AB ）= 。
（11）设A 、B 为互不相容事件，P （A ）=0.35，P （A+B ）=0.80，则 P （B ）= ；P （A ）-P （AB ）= 。
（12）A 、B 为相互独立的事件，P （A ）=0.4，P （AB ）=0.12，则B）= 。
P（B）= ；P（A（13）某人射击时，中靶的概率为3/4，如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（14）设每次试验成功的概率为：P（0<P<1），则3次重复试验中至少失败1次的概率为（15）甲、乙两个人独立地对同一目标各射击一次，其中命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是二、计算题：1、现有编号为1，2，3的3个盒子，1号盒中有3个红球，2个黄球；2号盒中有2个红球，3个黄球；3号盒中有1个红球，4个黄球。
《概率论与数理统计》第三版__课后习题答案._
习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；- 2 -(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
《概率论与数理统计》第三版__课后习题答案._
习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
《概率论与数理统计》第三版--课后习题答案.-
习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
《概率论与数理统计》第三版--课后习题标准答案-
习题一：1.1 写出下列随机实验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数。
解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和。
解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数。
解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品。
解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格。
解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2)。
解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温。
考虑到这是一个二维的样本空间，故：()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离。
解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生。
C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生。
)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生。
C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生。
C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生。
BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生。
C B C A B A ⋃⋃；(7) A 。
B 。
C 中至多有两个发生。
ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
概率论与数理统计(龙永红)
随机变量的数学定义
设E是一个随机试验，Ω是其样本空间。我们称样本 是一个随机试验， 是其样本空间。 空间上的函数 X = X (ω ) (ω ∈ Ω ) 随机变量， 为一个随机变量 如果对于任意的实数x 为一个随机变量，如果对于任意的实数x，集合
注
意
连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量概 率分布的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！ 率分布的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！
我们不能认为： P{X = a} = f (a ) ！
连续型随机变量的一个重要特点
设 X 是连续型随机变量，则 对任意的实数 a , 有
P{X =a} = 0
说
明
若已知连续型随机变量 X 的密度函数为 f ( x ) ，
由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质：
1
2
0
f ( x) ≥ 0.
f (x)
0
∫
∞
−∞
f ( x)dx = 1.
1
0 x
3
0
P{x1 < X ≤ x2 } = F ( x2 ) − F ( x1 ) = ∫ f ( x)dx. ( x1 ≤ x2 )
x1 x2
f (x)
0
x1 x2
x
4
例8
等可能地在数轴上的有界区间[a,b]上投点，记X为 落点的位置(数轴上的坐标)，求随机变量X的分布 函数
分布函数的性质
当 ， 10 F(x)是一个不减的函数． 即 x2 > x1时 F(x2 ) ≥ F(x1).
2 0 ≤ F(x) ≤1 且 ,
概率论与数理统计(龙永红)
第一章1. (1) )}6,6)...(3,1)(2,1(),1,1{(1=λ(2) }|{212x x x x ≤≤=λ 1x :当日最低价 2x :当日最高价(3) },3,2,1,0{3=λ(4) },3,2,1{3 =λ2. (1) (3)3. }6,5,4,3,2,1{=λ},5,3,1{=A},4,3,2,1{=B},4,2{=C}5,4,3,2,1{=+B A}5{=-B A},4,2{=+A B}3,1{=AB∅=AC}6,4,3,2,1{=+B A 4. (5) ABC BC A C B A C AB C B A C B A C B A ++++++(8) ABC BC A C B A C AB +++(10) B A C B B A ++(11) C B A ++9. ①25.0)()()()(=-=-=-AB P A P AB A P B A P又4.0)(=A P15.0)(=∴AB P②)()()()(AB P B P A P B A P -+=+15.025.04.0-+=5.0=③)()(AB B P A B P -=-)()(AB P B P -=15.025.0-=1.0= ④)(1)()(B A P B A P B A P -==5.01-=5.0= 10. )(1)(C B A P C B A P -=++而 6.04.01)(1)(=-=-=A P A P 又)()(B A B A P A P +=)()(B A P B A P +=4.0)()()(=-=∴B A P A P B A P又 C B A C B A B A +=)()()(C B A P C B A P B A P +=∴3.01.04.0)(=-=∴C B A P7.0)(=++∴C B A P11. A=“其中恰有K 件” ①n Nk n N N K N C C C A P --=∴11)(② B=“其中有次品”=B “一件次品也没有”n NnN N C C B P B P 11)(1)(--=-=∴③C=“其中至少有两件次品” =C “只有一件次品，或没有” nNn N N N n N nN N C C C C C C P C P 111111)(1)(-----=-=∴ 12．①: A=“男生比女生先到校”243024301!24!30!6!24)(C P A P ==∙= ②B=“李明比王先到学校”21)(=B P13. C ＝“至少两人生日同一天” =C “每个人生各不同” n n C P C P 365)1365(3643651)(1)(+-⋅⋅-=-= 14. ①A=“第2站停车” =A “不停车”25)98(1)(1)(-=-=∴A P A P②B=“第i 和第J 站至少有一站停车=B “第i 站到J 站都不停”)(1)(B P B P -=∴25)97(1-= ③=i A “第i 站有人下车（停车）” =j A “第j 站有人下车” )(1)(1)(j i j i j i A A P A A A A P ⋃-=⋂-=⋂)]()()([1j i j i A A P A P A P -+-=)()()(1j i j i A A P A P A P +--=2525)97(2)98(1+⨯-= ④D=“在第i 站有3人下车”223325)98()91()(⋅⋅=C D P （贝努里试验） 15.（1）A ＝“前两个邮筒没有信”41422)(2=⨯=A P （2）B ＝“第一个邮筒恰有一封信”8343)(212=⋅=C B P 16. A ＝“前i 次中恰好有取到k 封信”)!()!(!)(b a i b a i C C A P k i b k a +-+⋅⋅=- i ba k ib k a C C C +-= 17. =3A “第三把钥匙可以开门” =2A “第二把钥匙可以开门”① )()(3213213213213A A A A A A A A A A A A P A P +++=)()()()(321321321321A A A P A A A P A A A P A A A P +++=8394106839610484951068293104⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 72014412024++= 720288= 104= ② =3A “第三把钥匙才可以开门”617201208495106)(3==⨯⨯=A P ③ C=“最多试3把就可以开门”849510694106104)(⨯⨯+⨯+=C P 65= 18. 贝努里试验A ＝“其中三次是正面”1031073310)21()21()21()(⋅=⋅⋅=C C A P 19.A ＝“恰有一红球，一白球，一黑球”41)(310121315=⋅⋅=C C C C A P 20. !1348!132223)(12=⋅⋅⋅⋅=C A P21. 几何概型A ＝“等待时间不超过3分钟” −→−X 到达汽车站的时间 }10{+≤≤=Ωt x t x}107{+≤≤+=t x t x A103)()()(=Ω=∴S A S A P 22. A ＝“需要等零出码头的概率”−→−x 第1条船到达时刻 −→−y 第2条船到达时刻240),{(≤≤=Ωx y x }240≤≤y20),{(≤-≤=y x y x A }10≤-≤x y222224)2322(2124)()()(+-=Ω=∴S A S A P 23. A ＝“第一次取出的是黑球”B ＝“第二次取出的是黑球”（1） 11)1()()1()()()(-+-=+-+⋅+-⋅==b a a ba ab a b a a a A P AB P A B P （2）1111111)()()(-+-=-+⋅++-+-⋅+-+-⋅+==b a a b a a b a b b a a b a a b a a b a a B P AB P B A P （3）A ＝“取出两个球，有一个是黑球” B=“两个都是黑球” )12()1(-+⋅=⋅+-+=b a a a b b a a n A)1(-⋅=a a n B121)]12([)1()(-+-=-+-==b a a b a a a a n n A B P A B 24. （1）)()()(A P AB P A B P = A ⊃BA AB ＝∴1A P A P A P AB P A B P ＝）（）（＝）（）（）＝（∴ （2））（）（＝）（）＝（A P AB P A P )](P[A A B P 212121AB B B B +++ φ=21B B)()()(21A P AB P AB P +∴=)()()()(21A P AB P A P AB P += )()(21A B P A B P +=25. (1) }){(）（女，女），（男，女）（女，男男，男=λ A=“已知一个是女孩，”＝}{（女，女）（男，女）（女，男） C ＝“两上都是女孩”＝ }{（女，女）31A C P ）＝（（2）解略 21A P 21）＝（A =i A “第i 个是女孩”26. A=“点数为4”316652)(=⋅⋅=A P 27. A ＝“甲抽难签” B=“乙抽难签” C=“丙抽难签” ① 104)(=A P ② )()()(A B P A P B A P ⋅=94106⋅= 9024= 154= ③ )()()()(AB C P A B PC A P ABC P ⋅⋅=8293104⨯⨯=72024=28. A=“试验成功，取到红球”=0B “从第二个盒子中取到红球”=1B “从第三个盒子中取到红球”)()(10AB AB P A P +=)()(10AB P AB P +=)()()()(1100B A P B P B A P B P ⋅+⋅=10810310721⨯+⋅= 10059= 59.0= 29. A=“废品” =1B “甲箱废品” =2B “乙箱废品”（1）)()(21AB AB P A P +=)()()()(2211B A P B P B A P B P ⋅+⋅=05.0502006.0503⋅+⋅=056.0=（2）120201003005.0240006.03000)(⨯+⨯⨯+⨯=A P 5400120180+= 181= 30. =i B “第二次取球中有i 个新球” i=0.1,2,3 =j A “第一次取球中有j 个新球” j=0,1,2,3(1) )()(322212022A B A B A B A B P B P +++=)()()()()()(222121020A B P A P A B P A P A B P A P ⋅+⋅+⋅= )()(323A B P A P ⋅+312339)(C C C A P J J j -= 3,2,1,0=J ① 31213292)(C C C A B P J J j +-= 3,2,1,0=J ②分别对应代入该式中，可得：455.0)(2=B P（2）)()()()()()(212122121B P A B P A P B P B A P B A P ⋅== 将①，②代入该式，可得：14.0)(21=B A P31、 A ＝“确实患有艾滋病”B ＝“检测结果呈阳性” 由题知：95.0)(=A B P 01.0)(=A B P 001.0)(=A P① )()()()()()()()()(A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P B A P ⋅+⋅⋅== 01.0999.095.0001.095.0001.0⨯+⨯⨯=087.0= ② C=“高感染群体确实患有艾滋病”01.0)(=C P)()()()()()()()()(C B P C P C B P C P C B P C P B P BC P B C P ⋅+⋅⋅== 01.099.095.001.095.001.0⋅+⨯⨯=49.0= 32. 解：不能说明“袭击者确为白人的概率”为0.8 设 A ＝“被袭击者正确识别袭击者种族”=A “错误识别袭击者种族”B ＝“袭击者为白人” =B “袭击者为非白人” 根据已知条件，有8.0)(=A P 2.0)(=A P)()(A B BA P B P +=)()(B A P AB P +=)()()()(A B P A P A B P A P ⋅+⋅=)(2.0)(8.0A B P A B P ⨯+⨯=因 )(A B P 与 )(A B P 未给出，因而不能断定8.0)(=B P33. 解：21)()()(===C P B P A P 41)()()(===AC P BC P AB P C B A ,,∴两两独立，又81)()()(41)(=≠=C P B P A P ABC P C B A ,,∴不相互独立，只是两两独立。
《概率论与数理统计》第三版--课后习题答案.-
习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
概率论与数理统计(龙永红)
( A) A
De Morgan定律:
A A , A A
例2
设试验E为掷一颗骰子，观察其出现的点数，在这个试
验中，若记A=“奇数点”，B=“被3整除的点”，C=“点数
小于2”，D=“偶数点”，F=“点数不超过4”，写出各事件
间的关系。 解： {1, 2, 3, 4, 5, 6};
实例1 “抛掷一粒骰子,观察出现的点数”。 可能出现的结果: “1”, “2”, “3”, “4”, “5”或“6”。
实例2 “你未来第一个宝宝的性别”。
可能出现的结果： 女,男。 实例3 “观察明天的天气”。 可能出现的结果：晴，多云，雨。
在一定条件下，存在多个相互排斥的结果， 而在结果出现之前不可能准确预知的现象 称为随机现象。 称随机现象的这种相互排斥的结果为基本结 果。
但一个红色色盲的人，由于无法区分{1}和{4}这两个基 本事件，他的事件域只包括Ω的32个子集。也就是由5 个事件{1,4}、{2}、{3}、{5}、{6}复合成的事件全体。
事件域的数学定义 事件域: 由一些事件组成的满足以下三个条件的集合F ： (信息集) (1) Ω∈F ； (2) 若A∈F ，则A∈F ； (3) 若A1，A2，… ，An，… ∈F ， 则 Ai ∈F 。 i 1
示甲、乙、丙试验成功，说明下列事件所表示的试验结
果： A1 = “甲试验失败”；
A1 A2 = “甲、乙二人至少有一人试验成功”；
A2 A3 A2 A3 = “乙、丙二人最多有一人试验成功”
= “乙、丙二人至少有一人试验失败”；
A1 A2 A3 = “甲、乙、丙三人均试验成功”； A1 A2 A2 A3 A1 A3 = “甲、乙、丙三人中至少有两人 试验成功”；
《概率论与数理统计》第三版__课后习题答案._
0 到无穷，所以 3 0,1,2, ；
(4) 从编号为 1，2， 3， 4， 5 的 5 件产品中任意取出两件 , 观察取出哪两件产品 ; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：
4 i, j 1 i j 5 ;
(5) 检查两件产品是否合格 ;
解：用 0 表示合格 , 1 表示不合格，则 5 0,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1 ；
(1) 1.13 解：从 10 个数中任取三个数，共有
3
C10
120 种取法，亦即基本事件总数为
120。
(1) 若要三个数中最小的一个是 5，先要保证取得 5，再从大于 5 的四个数里取两个，取法有
C
2 4
6 种，故所求概率为
1。
20
(2) 若要三个数中最大的一个是 5，先要保证取得 5，再从小于 5 的五个数里取两个，取法
次品”（ i 1,2,3 ）。 P ( A1) 15
3 , P ( A1 A2)
P ( A1) P ( A2 A1)
3 14
21
20 4
4 19 38
(1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下
P( A3 A1 A2 ) 5 。 18
, 第三次取到次品”的概率为：
(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为：
(3) 由于 P( AB ) P( AB ) 1 P( A B) 1 (P( A) P(B) P( AB )) 1 P( A) P(B) P( AB )
P(B) 1 P( A) 0.7
1.11
解：用 Ai 表示事件“杯中球的最大个数为 4 4 4 64 种，每种放法等可能。
i 个” i =1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有
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b(k ; n, p)
n
k k k k n k Cn p (1 p)nk Cn pq
( k 0,1, 2, , n; q 1 p )
且
b(k ; n, p) 1.
k 0
第一章 随机事件与概率
§5事件的独立性
定理1.4：在伯努利试验序列中，每次试验中A发 生的概率均为p。则 Bk ＝“事件A在第k次试验 中才首次发生”的概率为：
第一章 随机事件与概率
§5事件的独立性
本节要点： 1）两个事件的独立性及多个事件的独立性定义； 2）两个事件的独立性及多个事件的独立性的性质； 3）在独立性条件下，
P ( A1 A2 An ) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ) 4）n 重伯努利试验中，事件A 发生k 次的概率是
k k Cn p (1 p)nk
5）独立事件与互不相容事件的区别。
作业、练习1-5：7，9，10
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伯努利
Jacob Bernoulli 1654-1705
瑞士数学家
概率论的奠基人
伯努利 (Jacob Bernoulli )简介
伯努利家属祖孙三代出过十多位 数学家. 这在世界数学史上绝无仅有. 伯努利幼年遵从父亲意见学神学, 当读了 R 笛卡尔的书后,顿受启发,兴 趣转向数学. 1694年,首次给出直角坐标和极坐 标下的曲率半径公式,同年关于双纽线 性质的论文,使伯努利双纽线应此得名.
g ( k , p) q
证明：设 则：
k 1
p, k 1, 2,
Ai ＝“事件A在第i次试验中发生”，
Ak 1 Ak ) P( Ak 1 ) P( Ak ) q k 1 p.
g (k , p) P( Bk ) P( A1 A2
P( A1 )
第一章 随机事件与概率
§5事件的独立性
P( A) P( B) P(C ) P( A) P( B) P(C ) P( A) P( B) P(C ) 0.5 0.4 0.2 0.5 0.6 0.2 0.5 0.4 0.8 0.26
(2) P( A B C ) 1 P( ABC ) 1 P( A) P( B) P(C ) 1 0.5 0.4 0.2 0.96
例： 设四个电子元件A,B,C,D不能通电的概率分 别为0.2, 0.3, 0.4, 0.5.元件A,B并联以后再与元件 C,D串联组成一个电路。求电路能通电的概率.
解：仍然用 A, B, C, D 分别表示 元件 。则 B A C D
E ( A B)CD
2 2 P ( I ) P( E ) P ( F ) P (G ) 3 p2 (1 p) C3 p (1 p)1
第一章 随机事件与概率
§5事件的独立性
3. 二项概率公式
定理1.3 如果在一次贝努里试验中，事件A出现 的概率为p (0<p<1), 则在n次独立重复试验中， A恰好出现 k 次的概率为：
3 3 C10 0.33 (1 0.3)7 C10 0.33 0.77
§5事件的独立性
1 (1 0.3)10 1 0.710
（2）恰好取了三次的概率为
P( A1 A2 A3 ) (1 0.3)2 0.3 0.147
至少要取三次的概率为
P( A1 A2 ) (1 0.3)2 0.49
2. n 重贝努利(Bernoulli)试验的特点：
1) 每次试验的可能结果只有两个: A 或A ,
且 P ( A) p , P ( A ) 1 p ( 在各次试验中p是常数，保持不变）
2) 各次试验的结果相互独立，
第一章 随机事件与概率
§5事件的独立性
例： 设射击3次,每次的命中率为p.则共有8种 可能的射击的结果: A:(不中,不中,不中)， B:(中, 不中,不中), C:(不中,中, 不中), D:(不中,不中, 中), E:(中, 中, 不中), F:(中, 不中, 中), G:(不中,中, 中), H:(中, 中, 中). 令 I＝“正好命中两次”，则：
P( E ) P( A B) P(C ) P( D) [ P( A)＋P( B) P( A) P( B)]P(C ) P( D) [0.8 0.7 0.8 0.7] 0.6 0.5 0.282
例 1.28：甲、乙、丙三射手射击的命中率分别为 0.5、 0.6、0.8.今三人各射击一次。求（1）恰有一人击中的 概率， （2）至少一人击中的概率。 解：令A、B、C分别表示“甲击中”、“乙击中”、 “丙击中”。则 (1) P( ABC ABC ABC ) P( ABC ) P( ABC ) P( ABC )
第一章 随机事件与概率
§5事件的独立性
一、两个事件的独立性
事件 A 与 B 互不影响不的意思：
P( B | A) P( B)
P( A | B) P( A)
当P( A) 0时，上式(左）等价于
P( AB)＝P( A) P( B)
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第一章 随机事件与概率
§5事件的独立性
首先考虑三个事件 A, B, C 相互独立的含义。
P( AB) P( A) P( B) , P( AC) P( A) P(C) ,
.
P( BC) P( B) P(C) ，
P( ABC) P( A)P(B)P(C)
定义1.5 n个事件两两独立是指其中任
何两个都独立。
定义 5.3
称事件 A1 ,
设 A、B 是两个随机事件，如果 定义：
P AB P A P B
则称 A 与 B 相互独立． 例：投掷一个均匀的骰子，设A＝“点数小于5”；B ＝“点数为奇数”；C＝“点数小于4”。则：
P( A) 4 / 6; P( B) 3 / 6; P(C ) 3 / 6; P( AB) 1/ 3 P( A) P( B); P( BC ) 2 / 6 P( B) P(C ).
例1.29 一袋中装有10个球，其中3个黑球，7 个白球。每次任取一球（取后放回）。
（1）共取10次，求能取到黑球的概率和恰好 3次取到黑球的概率。
（2）若没有取到黑球就继续下去，直到取出 黑球为止。求恰好取了三次的概率和至少要 取3次的概率。
解：记Ai 为地i次取到黑球。
第一章 随机事件与概率
解：记Ai 为地 i 次取到黑球。 则（1）能取到黑球的概率为 恰好3次取到黑球的概率为
, An 相互独立 , 如果对任意
2 k n , 1 i1 ik n 有
P( Ai1 Aik ) P( Ai1 ) P( Aik )
这里共有多 少个等式？
n 个事件相互独立就是指它们中的任何一
部分积的概率等于概率的积。
例：如果 A、B、C 相互独立，下 列各组事件相互独立吗？ （1） A, B C ; （2） A, B C ; （3） A, B C ， （4） A B , B C 。
1695年提出著名的伯努利方程
dx / dy p ( x) y q ( x) y
n
此外对对数螺线深有研究, 发现 对数螺线经过各种变换后, 结果还是 对数螺线,在惊叹此曲线的奇妙之余, 遗言把对数螺线刻在自己的墓碑上, 并附以颂词:
纵使变化,依然故我
1713年出版的巨著《推测术》,是 组合数学及概率史的一件大事.书中给 出的伯努利数、伯努利方程、伯努利 分布等, 有很多应用, 还有伯努利定理, 这是大数定律的最早形式.
故A与B独立；B与C不独立。
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独立性的直观判断法： 事件明显没有关系时，可判定独立。
要特别注意！！ 不明显时，两事件可能独立也可能不独立。
定理 设 A, B 都是事件,则
A, B 独立 A, B 独立 A, B 独立 A, B 独立.
二、有限个事件的独立性
第一章 随机事件与概率
§5事件的独立性
三、伯努利(Bernoulli)概型
定义： 1. 一个随机试验序列称为独立试验序列， 如果它的各次试验结果之间相互独立。 2. 如果一个试验只有两个结果，这样的试验称为 伯努利试验。 3.把一个伯努利试验独立地重复n次，形成的试验 序列称为n重伯努利试验(或概型)。