4.1 原子中电子轨道运动磁矩
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原子的磁矩
例如：某元素的基态记作： 5 D4
即指该元素基态的总自旋量子数：S = 2 总轨道量子数：L= 2 总角量子数：J = 4
§ 2.1.4 原子磁矩计算举例
1. Cr+3 离子：Cr 原子 Z = 24，Cr+3 电子组态为····3d3
(1s)2,(2s)2,(2p)6,(3s)2,(3p)6,(4s)2,(3d)10,(4p)6,
l Pl
l
e 2m
称作轨道旋磁比
e
u l
原子中的电子应该服从量子力学规律，其运动状态应
该由波函数 nlmlms (r) 确定，角动量是量子化的，当电子运动的主量子数 为 n 时，角动量的绝对值为： pl l(l 1) 其中 l 是角量子数，
式中，l 的可能值为： l 0,1,2,(n 1)
所以电子的轨道磁矩为：
(3)由于L和S间的耦合，电子数n小于半满时 J=L-S，电
子 数n大于半满时 J=L+S。
常将原子的量子态用光谱学的方法来标记：
F 2S 1 J
将总自旋量子数、总角量子数的数字填入相应位置即可， 总轨道量子数 L = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ·····，分别记为：
S, P,D, F, G, H, I,
lz ml B
§ 2.1.2电子的自旋磁矩
电子磁矩的第二个来源是电子具有自旋磁矩，它是电子的本征性
质，电子的自旋角动量取决于自旋量子数，
s1 2
自旋角动量的绝对值：
S
3
ps
s(s 1) 2
而自旋角动量在外场中的分量只取决于自旋量子数
e
ms
1 2
ps z ms
1 2
u S
即指该元素基态的总自旋量子数：S = 2 总轨道量子数：L= 2 总角量子数：J = 4
§ 2.1.4 原子磁矩计算举例
1. Cr+3 离子：Cr 原子 Z = 24，Cr+3 电子组态为····3d3
(1s)2,(2s)2,(2p)6,(3s)2,(3p)6,(4s)2,(3d)10,(4p)6,
l Pl
l
e 2m
称作轨道旋磁比
e
u l
原子中的电子应该服从量子力学规律，其运动状态应
该由波函数 nlmlms (r) 确定，角动量是量子化的，当电子运动的主量子数 为 n 时，角动量的绝对值为： pl l(l 1) 其中 l 是角量子数，
式中，l 的可能值为： l 0,1,2,(n 1)
所以电子的轨道磁矩为：
(3)由于L和S间的耦合，电子数n小于半满时 J=L-S，电
子 数n大于半满时 J=L+S。
常将原子的量子态用光谱学的方法来标记：
F 2S 1 J
将总自旋量子数、总角量子数的数字填入相应位置即可， 总轨道量子数 L = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ·····，分别记为：
S, P,D, F, G, H, I,
lz ml B
§ 2.1.2电子的自旋磁矩
电子磁矩的第二个来源是电子具有自旋磁矩，它是电子的本征性
质，电子的自旋角动量取决于自旋量子数，
s1 2
自旋角动量的绝对值：
S
3
ps
s(s 1) 2
而自旋角动量在外场中的分量只取决于自旋量子数
e
ms
1 2
ps z ms
1 2
u S
电子自旋角动量和自旋磁矩PPT课件
E4 p E4d E4 f
当 l 一定时，n 大，E 小，即
E2 p E3 p 第20页E/共4 4p2页
3．双层能级中， j 值较大的能级较高。
4．碱金属原子态符号： n2s1Lj
如
n3 l 0 j 1
2
l 1 j 3
2
j1 2
l2 j 5
2
j3 2
5．单电子辐射跃迁的选择定则
32 S1/ 2
第29页/共42页
二、原子在外磁场中的附加能量
一个具有磁矩的原子处在外磁场中时，将具有附
加的能量：
E
J
B
J
B c os(J
B)
J
g
B
e
cos(J B)
BJ cos(J
B)
2m
g
e 2m
BJz
其中：
Jz
J cos(J , B)
MJ
h
2
为角动量在外场方向的分
量，是量子化的。
第30页/共42页
F qE
2．磁矩
iA 方向与 i方向满足右手螺旋关系。
均匀磁场中： F 0 M B
非均匀磁场中：
磁场方向沿 z 轴，随z 的变化为dB
dz
合力
Fz
dB dz
cos
z
dB dz
z cos ： 在外场方向的投影
z
i
第3页/共42页
3．力和力矩
力是引起动量变化的原因：
F
d
dt
M J j, j 1, j ，共 2 j 1个。
E
g
e 2m
BMJ
h
2
M
J
gB
原子核的磁矩
5
5
1
2 R2Z (1 )3 1 2 R2Z 3 3 (1 )
5
1 5
1
因为ε较小，所以忽略ε3项
Q
6 5
R2Z
6 5
Zr02
A
2
3
说明：1）由上面公式可以看出，只要实验测得Q值后，则可计算
出ε。
2）对于大多数原子核，ε≠0，一般为百分之几。所以大
反演算符，即宇称算符 pˆ
pˆ (r1, r2,...) (r1,r2,...) 为了方pˆ便，(r用)(r)(代替r) (r1, r2,...) 则有
对某些波函数，存在下列关系
pˆ
(r )
(r )
则波函数 (r) 是 pˆ 的本征态, π为本征值，或称该态有确定的
称为核磁子。
因为 mp : me 1836
所以 B : N 1836
说明：1）由于核的磁矩比原子中电子的磁矩小的多，这就是为 什么超精细谱线的间距比精细结构谱线的间距小得多的原因。
2）通常是用核磁矩在给定Z方向投影的最大值来衡量核 磁矩的大小。
3）核磁矩常用核磁子为 N 单位 则质子的磁矩为： p 2.793 中子的磁矩为：n 1.913
其中：n 主量子数；l 轨道量子数； m 轨道磁量子数
Rn (r)
径向波函数，它只与r的大小有关。
Plm (cos ) 缔合勒让德多项式，其微分形式为
Plm (cos )
1 2l l!
(1
2 )m2
d lm
d lm
( 2
1)l
cos
在空间反演下： r r, ,
第四章 电子的自旋
在原子内部，有两种角动量 L 和 S
必然存在一个总角动量以及相 应的磁矩。
s 与s
l 与 l
分别共线，合成后
j ls
l s
三、 总角动量
电子的运动=轨道运动+自旋运动
电子有轨道角动量l，又有自旋角动量s，所以电子的 总角动量是
总自旋角动量： S Si
i e e Li L 总轨道磁矩： l li 2m i 2m i
i
总自旋磁矩：
e e s si S i S m i m i
总角动量： J L S
总磁量子数 m j j, j 1,, j 1, j.共2j1个值
对于单电子s＝1/2,所以
1 1 1 l 0, j ; l 0, j l , l 取两个值 2 2 2
例如：当
1 3 l 1 时， j 1 2 2
1 1 j 1 2 2
h h L l (l 1) 2 2 2
h 3 h S s( s 1) 2 2 2
J
h 15 h 3 h j ( j 1) , 2 2 2 2 2
J 2 L2 S 2 2LS cos
J 2 L2 S 2 j ( j 1) l (l 1) s( s 1) cos 2 LS 2 l (l 1) s( s 1)
e L l (l 1) B 2m
外场方向投影：
共
z cos ml B
2l 1 个奇数，但实验结果是偶数。
原子的磁矩、顺磁性和抗磁性
=
,
如果
,
二 J有 J l
L
一
S
,
如 果 电 子 个数 超过 次 壳层 满额 的 半数
。
就有
J
二
I 十 S
J
。
据 此 可 以 直 接 计 算 出原 子 基 态 的 磁 矩
,
在 附表 中 列 举 了 常 见 的稀 上 族 离 子 和 铁 族 离 子 的 电子 壳 层填充 倩 况 和 洪特 定则 计 算 出来 的 以 自 然 单位表 示 的原 子 磁矩 值
1
:
_ 一
`
f
I
_ 一
U才
0
「
扭
丫
一、
)
—
1
Z m )
L
}M
:
}d t
_
2 m
T
IM I
,
按 照右手娜旋 规 则 以 垂直轨道 平 面 的矢 量 来表 示 此 面 积
_
则有
:
寸
才飞
l
。
t Q l
=
另外
,
电子 轨道运 动形 成一个闭 合 电 流
一
几
—
=
2
价 止
U
:
,
O
几
下犷
。
式 中负号表示 电子 电荷 为 负
,
M 与 B 的 作用 大 当 求 平 均值 时
,
M
M , 迅速地 绕着 M , 旋 动
, , ;
,
而 M 本 身则 以 较慢 的速 度 绕 着 对能 里 △ E 有 贡献
△E
,
`
B旋 动
,
只有M
:
M 沿 M 方 向 的 分 凰才 会
,
如果
,
二 J有 J l
L
一
S
,
如 果 电 子 个数 超过 次 壳层 满额 的 半数
。
就有
J
二
I 十 S
J
。
据 此 可 以 直 接 计 算 出原 子 基 态 的 磁 矩
,
在 附表 中 列 举 了 常 见 的稀 上 族 离 子 和 铁 族 离 子 的 电子 壳 层填充 倩 况 和 洪特 定则 计 算 出来 的 以 自 然 单位表 示 的原 子 磁矩 值
1
:
_ 一
`
f
I
_ 一
U才
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「
扭
丫
一、
)
—
1
Z m )
L
}M
:
}d t
_
2 m
T
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,
按 照右手娜旋 规 则 以 垂直轨道 平 面 的矢 量 来表 示 此 面 积
_
则有
:
寸
才飞
l
。
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=
另外
,
电子 轨道运 动形 成一个闭 合 电 流
一
几
—
=
2
价 止
U
:
,
O
几
下犷
。
式 中负号表示 电子 电荷 为 负
,
M 与 B 的 作用 大 当 求 平 均值 时
,
M
M , 迅速地 绕着 M , 旋 动
, , ;
,
而 M 本 身则 以 较慢 的速 度 绕 着 对能 里 △ E 有 贡献
△E
,
`
B旋 动
,
只有M
:
M 沿 M 方 向 的 分 凰才 会
原子物理学-第4章-原子的精细结构
见相应的碱金属原子的简并度比氢原子要低.
第四章 原子的精细结构：电子的自旋
Manufacture: Zhu Qiao Zhong
9
例:对于l=1和l=2,电子角动量的大小及空间取向？
解:依题意知L 的大小:
L1(11) 2,(l1)
L
2(21)
6,(l2)
磁量子数: m mll 0 0,, 11,(, l 2,1()l2)
第四章 原子的精细结构：电子的自旋
Manufacture: Zhu Qiao Zhong
2
§4-1 原子中电子轨道运动的磁矩
1.经典表示式
电子绕核运动等效于一载流线圈,必有磁矩.
eˆ n
ie ˆ S n teS e ˆn 2 r e /vr2 e ˆn
2m eem eveˆrn2m eeL
本章引进电子自旋假设,对磁矩的合成以及磁场对磁矩的作用 进行分析,进而考察原子的精细结构.
本章还介绍史特恩-盖拉赫实验、碱金属双线和塞曼效应,它 们证明了电子自旋假设的正确性.
由电子自旋引起的磁相互作用是产生精细结构的主要因素.
到现在为止,我们的研究还只限于原子的外层价电子,其内层电 子的总角动量被设为零.
简并和简并度
简并:被当作同一较粗糙物理状态的两个或多个不同的较精细 物理状态. 简言之,能量相同的状态称为简并态.
简并度:简并态的数目. 例如原子中的电子,由其能量确定的同一能级状态,可以有两种 不同自旋的状态.所以该能级是两种不同自旋状态的简并态.
氢原子的能级只与n有关,而碱金属原子的能级与n、l 有关,可
iS
eˆ n
i
(电子)旋磁比
def
e
Ze
e
d
第四章 原子的精细结构：电子的自旋
Manufacture: Zhu Qiao Zhong
9
例:对于l=1和l=2,电子角动量的大小及空间取向？
解:依题意知L 的大小:
L1(11) 2,(l1)
L
2(21)
6,(l2)
磁量子数: m mll 0 0,, 11,(, l 2,1()l2)
第四章 原子的精细结构：电子的自旋
Manufacture: Zhu Qiao Zhong
2
§4-1 原子中电子轨道运动的磁矩
1.经典表示式
电子绕核运动等效于一载流线圈,必有磁矩.
eˆ n
ie ˆ S n teS e ˆn 2 r e /vr2 e ˆn
2m eem eveˆrn2m eeL
本章引进电子自旋假设,对磁矩的合成以及磁场对磁矩的作用 进行分析,进而考察原子的精细结构.
本章还介绍史特恩-盖拉赫实验、碱金属双线和塞曼效应,它 们证明了电子自旋假设的正确性.
由电子自旋引起的磁相互作用是产生精细结构的主要因素.
到现在为止,我们的研究还只限于原子的外层价电子,其内层电 子的总角动量被设为零.
简并和简并度
简并:被当作同一较粗糙物理状态的两个或多个不同的较精细 物理状态. 简言之,能量相同的状态称为简并态.
简并度:简并态的数目. 例如原子中的电子,由其能量确定的同一能级状态,可以有两种 不同自旋的状态.所以该能级是两种不同自旋状态的简并态.
氢原子的能级只与n有关,而碱金属原子的能级与n、l 有关,可
iS
eˆ n
i
(电子)旋磁比
def
e
Ze
e
d
电子自旋角动量和自旋磁矩
2LS 2l(l 1 ) s(s 1 )
L和 S不是平行或反平行，而是有一定的夹角
当 j l s时
cos l
l(l1)
s 0 90o，
s(s1)
称
L和
S“平行”
当 j l s时
cos l1 s
0 90o，称 L和 S“反平行”
l(l1) s(s1)
二、自旋—轨道相互作用能
电子由于自旋运动而具有自旋磁矩：
iA 方向与 i方向满足右手螺旋关系。
均匀磁场中： F0
M B
非均匀磁场中：
磁场方向沿 z轴，随z的变化为dB
dz
合力
Fz ddB zcosz
dB dz
z cos： 在外场方向的投影
z
i
3．力和力矩
力是引起动量变化的原因：
F
d
(m)
力矩是引起角动量变化的原因：M d tr F r d(m )d L
dt dt
二、电子轨道运动的磁矩
电子轨道运动的闭合电流为： i e
T
“-”表示电流方向与电子运动方向相反
z
面积： dA1rrd1r2 dt
2
2
一个周期扫过的面积：
ir
d
∫ ∫ ∫ ∫ A =
dA =
T 0
1 2
r2dt
=21m
T
m
0
2rd
t=21m
T
L
0Ld=t2mT
iAe L
e
L
2m
2m
L l(l1) h
2
当 l s 时，共 2s1个值
当 l s 时，共 2l 1个值
由于 s 1 2
当
l
L和 S不是平行或反平行，而是有一定的夹角
当 j l s时
cos l
l(l1)
s 0 90o，
s(s1)
称
L和
S“平行”
当 j l s时
cos l1 s
0 90o，称 L和 S“反平行”
l(l1) s(s1)
二、自旋—轨道相互作用能
电子由于自旋运动而具有自旋磁矩：
iA 方向与 i方向满足右手螺旋关系。
均匀磁场中： F0
M B
非均匀磁场中：
磁场方向沿 z轴，随z的变化为dB
dz
合力
Fz ddB zcosz
dB dz
z cos： 在外场方向的投影
z
i
3．力和力矩
力是引起动量变化的原因：
F
d
(m)
力矩是引起角动量变化的原因：M d tr F r d(m )d L
dt dt
二、电子轨道运动的磁矩
电子轨道运动的闭合电流为： i e
T
“-”表示电流方向与电子运动方向相反
z
面积： dA1rrd1r2 dt
2
2
一个周期扫过的面积：
ir
d
∫ ∫ ∫ ∫ A =
dA =
T 0
1 2
r2dt
=21m
T
m
0
2rd
t=21m
T
L
0Ld=t2mT
iAe L
e
L
2m
2m
L l(l1) h
2
当 l s 时，共 2s1个值
当 l s 时，共 2l 1个值
由于 s 1 2
当
l
原子中电子轨道运动的磁矩...
q1
q2
F
q1q2 40 r
2
F qE B
F
B
F qE B
E0
F q B
如果磁场不均匀……
B
z
f
B
f
dB
z
0
dz
-
净作用力沿 着z轴方向
f z z
dB dz
Stern-Gerlach实验对氢原子的结果
与此相关的问题
——元素的周期性 如果原子中电子的能量的确 是量子化的, 为什么一个原 子中所有的电子不都处在能 量最低的轨道呢？
泡利不相容原理
20 电子自旋的假设
ps
s( s 1)
2s 1 2
s
1 2
细第 结四 构章
—— 电 子 自 旋
原 子 的 精
18 原子中电子轨道运动的磁矩
电偶极子、电矩
E
qE
磁偶极子、磁矩
B n
F2
+ q
I F1
q
qE P q
I
电偶极矩
磁偶极矩 (磁)力矩
ISn
M B
(电)力矩 M F qE U P E P E
ps
s
e m
e
ps
μ
2m
p
e 2m
B
e 2m
1 B
, z m B
磁矩在磁场中的势能表达式
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2
2
2
S T 1 r2dt
02
1 T (mr2)dt
2m 0
L
T
dt
2m 0
解得： S T L （3） 2m
二、经典表达式
把（2）、（3）两式得到磁矩的大小为：
iS e L
2m
写成矢量式为:
l
e 2m
L
轨道磁矩 的经典表 达式
e 称为旋磁比
iS
（1）
二、经典表达式
因此，原子中电子绕核转也必定与一个磁距相对应，
式中i是回路电流，S 是回路面积
n 为磁矩方向的单位矢量。设电子绕核运动的
频率为v，则周期为
T1 v
依电流的定表达式
另一方面，图中阴影部分的面积为
ds 1 rd r 1 r2d 1 r2dt
三、轨道磁矩的量子表达式
对于碱金属原子，能量与n，l 有关，可见相
应的简并度比氢原子要低。
此外，三个量子数（n ，l ，ml ）表示一个 状态，正好与经典物理中用（x ，y ，z）描述
一个质点的状态相对应。
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三、轨道磁矩的量子表达式
2.磁矩的表达式
把式 L
l(l 1) h
对原子中电子轨道磁矩的讨论使我们发现， 电子运动轨道的大小，运动的角动量以及原子 内部的能量都是量子化的。
一、前言
不仅如此，我们还将看到，在磁场中或电场 中，原子内电子的轨道只能取一定的方向， 一般地说,在电场或磁场中，原子的角动量也 是量子化的，人们把这种情况称作空间量子 化。
二、经典表达式
在电磁学中，我们曾经定义，闭合通电回路的磁距为
当n ，l ，ml 都给定后，就给出了一个确定的状态；
所以我们经常说:
（n ，l ，ml ）描述了一个确定的态。
三、轨道磁矩的量子表达式
对于氢原子，能量只与 n 有关，n 给定后， 有n 个l ，每一个 l 有2l+1 个ml
n1
(2l 1) n2
l0
所以氢原子的一个能级 En 对应于 n2 个不同 的状态，我们称这种现象为简并，相应的状 态数称为能级 En 的简并度。
另一方面，设 在dt时间内旋 进角度 d 则把式 d sin d
代入上式得 d
dt
三、轨道磁矩的量子表达式
1.量子力学关于轨道角动量的计算结果
根据量子力学的计算，角动量 L 是量子化
的，这包括它的大小和空间取向都是量子 化的。
量子力学的结论为
L l(l 1) h ,
另一方面，由理论力学得
M力矩
dL dt
B
二、经典表达式
将 L 代入得 d B
dt
令 B
d
dt
（1）
的物理意义： 与 B 同向
则 d 沿“轨道”切向，如下一页图所示。
dt
二、经典表达式
(1)式的标量形式为
dμ = ω × μsinθ = ω(μsinθ) dt
2m
还可写成矢量式为: l L
二、经典表达式
磁矩在外磁场 B中将受到力矩的作用，力矩将使得
磁矩 绕外磁场 B 的方向旋进。
我们将这种旋进称为拉莫尔进动。相应的
频率称为拉莫尔频率 l
下面我们来计算这个频率。
二、经典表达式
B 由电磁学知 在均匀外磁场
中受到的力矩为
M力矩 B
2
代入式 L
得 的数值表示为
l
L
eh
4 m
l(l 1)
（2）
l
eh
4 m
l(l 1)
l(l 1)B
l 0,1, 2,…, n 1
轨道磁矩 的量子表 达式
其中
B
eh
4 m
0.92740 1023 Am2
称为“玻尔磁子”，是轨道磁矩的最小单位，是原 子物理学中极为重要的一个基本常数。
2
Lz
ml
h
2
（1）
三、轨道磁矩的量子表达式
式中l 称为角量子数，它的取值范围为
l 0,1, 2,…, n 1 ml 称为轨道磁量子数
当l 取定后，他的可能取值为
ml 0, 1, 2,… l
三、轨道磁矩的量子表达式
即完整的微观模型是： 给定的n，有n 个不同形状的轨道（l ）； 确定的轨道有2l +1 个不同的取向（ml ）；
一、前言
电子自旋假设的引入，正确解释了氦原子的 光谱和塞曼效应.可是“自旋是一种结构呢？ 还是存在着几类电子呢？”
并且到现在为止，我们的研究还只限于原 子的外层价电子，其内层电子的总角动量被 设为零，下一章我们将要着手讨论原子的壳 层结构。
一、前言
本节介绍了原子中电子轨道运动引起的磁矩， 从电磁学定义出发，我们将得到它的经典表达 式，利用量子力学的计算结果，我们可以得到 电子轨道磁矩的量子表达式。
四、角动量取向量子化
又由式 Lz ml 可得
在 Z 方向的投影表达式为
lz
Lz
e 2m
ml
B ml
（3）
通常令 B
eh
4 m
，称之为玻尔磁子。
THE END
第四章：原子的精细结构： 电子的自旋
第一节：原子中电子轨道运动磁矩
经典表达式 前言 量子表达式 角动量取向量子化
一、前言
前面我们详细讨论了氢原子和碱金属原子的能级与光 谱，理论与实验符合的很好，可是后来用高分辨率光谱 仪观测时发现，上述光谱还有精细结构，这说明我们的 原子模型还很粗糙。
本章我们将引进电子自旋假设，对磁矩的合成以及 磁场对磁矩的作用进行讨论，去考察原子的精细结构， 并且我们要介绍史特恩-盖拉赫，塞曼效应，碱金属双 线三个重要实验，它们证明了电子自旋假设的正确性。