高等数学电子教案：10-3(2)
高等数学教案word版
高等数学教案word版篇一：高等数学上册教案篇二：《高等数学》教案《高等数学》授课教案第一讲高等数学学习介绍、函数了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函数的分解。
函数概念、性质（分段函数）—基本初等函数—初等函数—例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像）授课提要：前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。
高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。
一、新教程序言1、为什么要重视数学学习（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；（2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。
2、对数学的新认识（1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；（2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。
（3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。
[见教材“序言”]二、函数概念1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。
（用变化的观点定义函数），记：y?f(x)（说明表达式的含义）(1)定义域：自变量的取值集合（D）。
(2)值域：函数值的集合，即{yy?f(x),x?D}。
例1、求函数y?ln(1?x2)的定义域？2、函数的图像：设函数y?f(x)的定义域为D，则点集{(x,y)y?f(x),x?D} 就构成函数的图像。
高等数学电子教案
高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种规则，将一个非空数集（定义域）中的每一个元素对应到另一个非空数集（值域）中的唯一元素。
函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个确定的值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim(x→a)f(x)=L。
极限的性质：保号性、传递性、夹逼性等。
1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代数法、几何法、泰勒公式等。
极限的运算法则：加减法、乘除法、复合函数的极限等。
1.4 无穷小与无穷大无穷小的概念：当自变量x趋近于某个值a时，如果函数f(x)趋近于0，称f(x)为无穷小。
无穷大的概念：当自变量x趋近于某个值a时，如果函数f(x)趋近于正无穷或负无穷，称f(x)为无穷大。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)或df/dx，表示函数在该点的瞬时变化率。
导数的几何意义：函数图像在某点处的切线斜率。
2.2 导数的计算基本导数公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等的导数。
导数的运算法则：和差法、乘法法、链式法则等。
2.3 微分的概念与计算微分的定义：函数f(x)在点x处的微小变化量，记作df(x)。
微分的计算：微分的基本公式df(x)=f'(x)dx，以及微分的运算法则。
2.4 微分方程的概念与解法微分方程的定义：含有未知函数及其导数的方程。
微分方程的解法：分离变量法、积分因子法等。
第三章：积分与面积3.1 不定积分的概念与计算不定积分的定义：函数f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx，表示f(x)与x轴之间区域的面积。
基本积分公式：幂函数、指数函数、对数函数等的不定积分。
3.2 定积分的概念与计算定积分的定义：函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫[a,b]f(x)dx，表示f(x)在[a,b]区间上的累积面积。
高等数学电子教案
高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，将一个集合（定义域）中的每个元素对应到另一个集合（值域）中的一个元素。
函数的性质：单调性、连续性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
极限的性质：保号性、保不等式性、夹逼定理等。
1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代入法、因式分解法、有理化法等。
无穷小与无穷大的概念：无穷小是指绝对值趋近于0的量，无穷大是指绝对值趋近于无穷的量。
1.4 极限的应用函数的连续性：如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，称该函数在这一点连续。
导数的概念：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。
第二章：微积分基本定理2.1 导数的定义与计算导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率，记作f'(x)。
导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算法则等。
2.2 微分的概念与计算微分的定义：微分表示函数在某一点的切线与x轴的交点横坐标的差值，记作df(x)。
微分的计算：微分的基本公式、微分的四则运算法则等。
2.3 积分的概念与计算积分的定义：积分表示函数图像与x轴之间区域的面积，记作∫f(x)dx。
积分的计算：基本积分公式、积分的换元法、分部积分法等。
2.4 微积分基本定理微积分基本定理的定义：微积分基本定理是微分与积分之间的关系，即导数的不定积分是原函数，积分的反函数是原函数的导数。
第三章：微分方程3.1 微分方程的定义与分类微分方程的定义：微分方程是含有未知函数及其导数的等式。
微分方程的分类：常微分方程、偏微分方程等。
3.2 常微分方程的解法常微分方程的解法：分离变量法、积分因子法、变量替换法等。
3.3 微分方程的应用微分方程在物理、工程等领域的应用，例如描述物体运动、电路方程等。
第四章：级数4.1 级数的概念与性质级数的定义：级数是由无穷多个数按照一定的规律相加的序列，记作∑an。
高等数学电子教案：10-3(1)
CBE
CAE
d
x 1( y)
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
EAC
c
LQ( x, y)dy
o
同理可证
D
P y
dxdy
L
P
(
x
,
y
)dx
E D
C
x 2( y)
x
两式相加得
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
证明(2)
L3 D3
若区域D 由按段光
滑的闭曲线围成.如图,
将D 分成三个既是X 型又是 L1 D1
x
D {( x, y)1( x) y 2( x),a x b}
D {( x, y)1( y) x 2( y),c y d }
Q dxdy
d
dy
2 ( y) Qdx
D x
c
1 ( y) x
d
c
Q(
2
(
y),
y)dy
d
c
Q(
1(
y),
y)dy
y
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
四、小结
1.连通区域的概念;
2.二重积分与曲线积分的关系
D
(Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
——格林公式;
3. 格林公式的应用.
思考题
y
若区域 如图为
复连通域，试描述格
D
C
G
林公式中曲线积分中LE的方向。源自oAFBx
D
Q x
P y
dxdy
L
高等数学下电子教案
高等数学下电子教案一、引言1.1 课程简介本课程是高等数学下的电子教案，主要面向大学本科阶段的学生。
通过本课程的学习，学生将掌握高等数学的基本概念、方法和技巧，为后续专业课程的学习和科研工作打下坚实的基础。
1.2 教学目标（1）理解并掌握高等数学的基本概念和原理；（2）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力；（3）提高学生的数学素养和科学研究的初步能力。
二、极限与连续2.1 极限的概念（1）极限的定义；（2）极限的性质；（3）极限的存在条件。
2.2 极限的计算（1）基础极限公式；（2）无穷小和无穷大的比较；（3）极限的运算法则。
2.3 连续性（1）连续性的定义；（2）连续函数的性质；（3）连续函数的判定定理。
三、导数与微分3.1 导数的概念（1）导数的定义；（2）导数的几何意义；（3）导数的物理意义。
3.2 导数的计算（1）基本导数公式；（2）导数的运算法则；（3）高阶导数。
3.3 微分（1）微分的定义；（2）微分的运算法则；（3）微分在近似计算中的应用。
四、积分与面积4.1 不定积分（1）不定积分的概念；（2）基本积分公式；（3）积分的换元法和分部法。
4.2 定积分（1）定积分的概念；（2）定积分的性质；4.3 面积计算（1）平面区域的面积计算；（2）曲线的面积计算；（3）旋转体的体积计算。
五、微分方程5.1 微分方程的基本概念（1）微分方程的定义；（2）微分方程的解法；（3）微分方程的应用。
5.2 线性微分方程（1）线性微分方程的定义；（2）线性微分方程的解法；（3）线性微分方程的解的存在性定理。
5.3 非线性微分方程（1）非线性微分方程的定义；（2）非线性微分方程的解法；（3）非线性微分方程的应用。
六、级数6.1 级数的基本概念（1）级数的定义；（2）级数的收敛性；6.2 幂级数（1）幂级数的概念；（2）幂级数的收敛半径；（3）幂级数的运算。
6.3 泰勒级数和麦克劳林级数（1）泰勒级数的概念；（2）泰勒级数的展开；（3）麦克劳林级数。
高等数学电子教案(I V)
微分方程习题解答
一阶微分方程
一阶微分方程是最简单的微分方程， 通过分离变量法、常数变易法等可以 求解。
高阶微分方程
高阶微分方程的求解比较复杂，常用 的方法有降阶法、变量代换法等。
线性微分方程
线性微分方程的解具有线性性质，通 过解特征方程、使用常数变易法等可 以求解。
微分方程的应用
微分方程在物理、工程等领域有广泛 的应用，如物体运动规律、电路分析 等。
详细描述
定积分的应用广泛，包括计算面积、体积、长度等几何量 ，以及解决物理问题，如求变速直线运动的路程、变力做 功等。理解定积分的概念和性质是解决这些问题的关键。
总结词
掌握定积分的计算方法是解决问题的核心
详细描述
定积分的计算方法包括微积分基本定理、换元法、分部积 分法等。掌握这些方法能够快速准确地计算定积分，解决 实际问题。
总结了本章涉及的重要公式 和定理，包括极限的四则运 算法则、导数的定义和性质 等。
解题方法
注意事项
总结了解决极限、导数和微 积分问题的常用方法和技巧， 如等价无穷小替换、洛必达 法则等。
强调了在学习过程中需要注 意的问题，如理解概念的本 质、正确应用公式和定理等。
下章预告
主题
定积分及其应用
主要内容
程中经常用到。
换元法
换元法是计算定积分的常用方法，通过换 元可以简化被积函数，从而简化定积分的
计算。
微积分基本定理
微积分基本定理是定积分计算的核心，它 建立了定积分与不定积分之间的联系，通 过求不定积分来计算定积分。
分部积分法
分部积分法也是计算定积分的常用方法， 通过分部积分可以将复杂函数的定积分转 化为简单函数的定积分。
微分的定义、微分的几何意义、微分在近似计算中的应用等知识点。
高等数学电子教案(大专版)-2024鲜版
02
函数与极限
2024/3/28
8
函数概念及性质
2024/3/28
函数定义
设$x$和$y$是两个变量，$D$是一个数集。如果存在一种对应法则$f$，使得对于$D$中 的每一个数$x$，按照某种对应法则$f$，在数集$M$中都有唯一确定的数$y$与之对应， 则称$f$为从$D$到$M$的一个函数，记作$y = f(x), x in D$。
一阶线性微分方程
通过常数变易法，将一阶线性微分方程化为 可求解的形式。
2024/3/28
伯努利方程
通过变量替换法，将伯努利方程化为一阶线 性微分方程进行求解。
22
二阶微分方程解法
2024/3/28
二阶常系数线性齐次微分 方程
通过特征根法，求解二阶常系数线性齐次微分方程的通解。
二阶常系数线性非齐次微 分 通过方来自程定系数法或常数变易法，求解二阶常系数线性非齐次微分方程的特
向量的线性运算
详细讲解向量的线性运算，包括 向量的加法、减法、数乘和向量 的点积、叉积等，以及这些运算 的几何意义和性质。
向量空间的概念
引入向量空间的概念，介绍向量 空间的基本性质和向量在向量空 间中的表示方法。
2024/3/28
29
空间直角坐标系与向量的坐标表示法
空间直角坐标系
介绍空间直角坐标系的基本概念，包括坐标 原点、坐标轴、坐标平面等，以及空间点的 坐标表示方法。
偏导数与全微分的关 系
如果函数在某点的全微分存在，则该 点的偏导数一定存在；反之则不成立 。
34
多元复合函数求导法则
链式法则
如果函数$u=g(x),v=h(x)$都在点 $x$处可导，那么复合函数 $z=f(u,v)$在点$(u,v)$处也可导 ，且其导数可以通过链式法则计 算。
《高等数学》课程电子教案
《高等数学》课程电子教案本课程为我校第二批精品课程建设立项项目，学院为此专门抽调各教研室骨干教师组成课程组，充分发挥和强化其建设与改革职能，前期建设所取得的成果要紧表达在以下几个方面：一、师资队伍建设本课程组共12名成员，其中正副教授5人，讲师3人，助教5人，其中具有博士学位3人，具有硕士学位6人，已初步建立一支数量充足、结构合理、素养优良、充满生气与活力的专任教师队伍。
二、教材建设考虑到师范院校属性及相关学科的教学特点，构建融会贯穿的课程体系，我们差不多编写出下述《高等数学》系列教材：1. 孙国正主编，高等数学，安徽大学出版社20032. 刘树德编，高等数学，校科类基础课，教材，已申请出版3. 刘树德编，高等数学续论，选修课教材，校内胶印使用三、教学改革1. 加强教学内容的整合力度，以社会进展的新科技、新成果充实教学内容，提高教学起点。
2. 深入进行教学方法改革，多用启发式、讨论式、研究式教学方法，从改变教师的教学方式之入手，达到转变学生的学习方式之目的。
3. 运用现代教育手段提升教学水平。
为教师制作CAI课件，使用多媒体授课，加快运算机辅助教学软件的开发积极制造条件。
四、教学研究项目1. 省高校教学研究项目, 高等数学课程的优化设计，1999-2002；2. 校教材建设基金资助项目，出版校科类基础课教材《高等数学》, 20063. 校第二批精品课程建设立项项目, 《高等数学》，2005-2008课程建设是一项长期困难的工作，今后我们要连续努力，加快建设的步伐。
2005.12《高等数学》课程电子教案(节选)授课人：刘树德教学内容：1、微积分学的差不多定理与差不多公式；2、定积分的换元积分法与分部积分法。
教学目的：1、明白得微积分学的差不多定理与差不多公式的涵义和重要性；2、熟练把握和运用定积分的换元积分公式与分部积分公式。
教学重点：定积分的换元积分法与分部积分法教学难点：微积分学的差不多定理与差不多公式教学手段：讲授§6.2 微积分学的差不多定理与差不多公式若已知f(x)在[a,b]上的定积分存在，如何样运算那个积分值呢？假如利用定积分的定义，由于需要运算一个和式的极限，能够想象，即使是专门简单的被积函数，那也是十分困难的。
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解 P ( x2 2xy) 2x
y y Q ( x2 y4 ) 2x
P Q ， y x
x x
原积分与路径无关
故原式
1 x2dx
1
(1
y4 )dy
23 .
0
0
15
例 2 设曲线积分 xy2dx y( x)dy 与路径无
L
关, 其中 具有连续的导数, 且(0) 0,
定理3 设开区域G 是一个单连通域, 函数 P( x, y), Q( x, y) 在G 内具有一阶连续偏导 数, 则 P( x, y)dx Q( x, y)dy 在G 内为某一 函数u( x, y)的全微分的充要条件是等式
P Q y x 在G 内恒成立.
若 P Q
y
y x
则 B( x1 , y1 ) Pdx Qdy A( x0 , y0 )
一、曲线积分与路径无关的定义
如果在区域G内有
y
Pdx Qdy L1
Pdx Qdy L2
L1 B
G
A
L2
o
x
则称曲线积分L Pdx Qdy在G 内与路径无关,
否则与路径有关.
二、曲线积分与路径无关的条件
定理2 设开区域G 是一个单连通域, 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连续偏导数,
则曲线积 分 Pdx Qdy 在G 内 与 路径 无 关 L
（或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充
要条件是P Q 在G 内恒成立. y x
有关定理的说明：
(1) 开区域G 是一个单连通域.
(2) 函数 P( x, y), Q( x, y) 在G 内具有一阶连
续偏导数. 两条件缺一不可
三、二元函数的全微分求积
价 (2) C Pdx Qdy 0,闭曲线C D
命 (3) 在D内存在U( x, y)使du Pdx Qdy
题 (4)
在D内, P Q y x
练习题
一、填空题:
1、 设 闭 区 域D 由 分 段 光 滑 的 曲 线L 围 成 , 函 数
P( x, y) , Q( x, y)及在D 上具有一阶连续偏导数,则
场,其中k 为常数, r x 2 y 2 .证明在此力场中
场力所作的功与所取的路径无关 .
练习题答案
一、1、L Pdx dyQ ；
2、p Q ； y x
3、10.
三、 1 . 30
四、3 a2 . 8
五、236.
六、1、 7 1 sin 2；
2、-2.
64
七、1、当 L 所包围 的区域 D 不包含原点时,0；
三、利用曲线积分,求星形线x a cos3 t , y a sin3 t 所 围成的图形的面积 .
四、证明曲线积分
(3,4) (6 xy 2 y 3 )dx (6 x 2 y 3 xy 2 )dy 在整个xoy 面 (1,2)
内与路径无关,并计算积分值 .
五、利用格林公式,计算下列曲线积分:
2、当 L 所包围 的区域 D 包含原点,且 L 仅绕 原点
一圈时,2 ；
3、当 L 所包围 的区域 D 包含原点, 且 L 绕原点 n
• A( x0 , y0 )
o
x1 x0
P
(
x,
y0
)dx
Q y1 (
y0
x1
,
y)dy
或
y1Q(
y0x0,Fra biblioteky)dy
x1 x0
P(
x,
y1
)dx
• B( x1, y1 )
• C( x1, y0 )
x
例 1 计算 ( x2 2 xy)dx ( x2 y4 )dy . 其中 L
L 为由点O(0, 0)到点B(1, 1) 的曲线弧y sin x .
ANB
是过原点和A(1 , 1) ,B(2 , 6) 且其对称轴垂直于x
轴的抛物线上的弧段, AMB 是连接A , B 的线段 .
六、计算 xdy ydx ,其中L 为不经过原点的光滑闭曲
L x2 y2
线 .(取逆时针方向)
七、验证(3 x2 y 8 xy2 )dx ( x3 8x2 y 12 ye y )dy 在整
个xoy 平面内是某一函数u( x, y) 的全微分,并求这
样一个u( x, y).
八、试确定
,使得 x y
r dx
x2 y2
r dy 是某个函数
u( x , y)的全微分,其中r x 2 y 2 ,并求
u( x , y).
九、设在半平面x 0 内有力F k ( xi y j)构成力 r3
积为 5,又P( x , y)及Q( x, y) 在D 上有一阶连续偏
导数,且Q x
1,P y
1 ,则L
Pdx
Qdy
___.
二、计算 (2xy x 2 )dx ( x y 2 )dy 其中L 是由抛物线 L y x 2 和 y 2 x 所围成的区域的正向边界曲线,并 验证格林公式的正确性 .
1、 ( x 2 y)dx ( x sin2 y)dy其中L 是在圆周 L y 2 x x 2 上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧；
2、求曲线积分I1
( x y)2 dx ( x y)2 dy和
AMB
I 2
( x y)2 dx ( x y)2 dy 的差.其中AMB
计算 (1,1) xy2dx y( x)dy. (0,0)
解 P( x, y) xy2, Q( x, y) y( x),
P ( xy2 ) 2xy, y y
Q [ y( x)] y( x), x x
积分与路径无关 P Q ， y x
由 y( x) 2 xy ( x) x2 c
由(0) 0，知c 0 ( x) x2 .
故 (1,1) xy2dx y( x)dy (0,0)
1
0dx
1 ydy 1 .
0
0
2
四、小结
与路径无关的四个等价命题
条 在单连通开区域D 上P( x, y), Q( x, y)具有 件 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
等 (1) 在D内L Pdx Qdy与路径无关
有
D
(
Q x
P y
)dxdy
________________；
2、 设 D 为 平 面 上 的 一 个 单 连 通 域 , 函 数
P( x, y) , Q( x, y) 在D 内 有 一 阶 连 续 偏 导 数 , 则
L Pdx Qdy 在D 内 与 路 径 无 关 的 充 要 条 件 是
_______________在D 内处处成立； 3、 设D 为由分段光滑的曲线L 所围成的闭区域,其面