初等数学类.ppt
合集下载
初等数学研究(八)轨迹-PPT
垂足是共线的，求这个动点的轨迹。
题设：△ABC为定三角形， P为动 点 ， E、F、G分 别 是从P向△ABC的三边AB、 BC、CA引垂线所得的垂 足，并且E、F、G三点共 线。
求：P点的轨迹。
A
E· B
F
· C·
·G
P
小结： 前面共介绍了初等几何中探求轨迹问题
常见的五种方法，但在探求轨迹时，我们还 应注意以下两点：一、必须注意轨迹的界限， 否则就会出现有瑕的轨迹二、必须仔细、周 密、全面地审题，要注意挖掘题设条件中蕴 含着的多种情况。
综合 (1)、(2)命题得证。
关于轨迹上的特殊点
极限点――题设图形处于极限位置时产生的点； 临界点――在轨迹端点处的极限点； 终止点――处在轨迹端点位置，本身又属于轨迹，不是
临界点。 这些特殊点对于确定轨迹图形的形状、大小和位置
有时起着决定性作用，通常在解决轨迹的讨论部分，应 指出哪些是特殊点才算完整。 静点――相对于轨迹上的一般动点，位置确定的点。 另外还有孤立点等。
2.第二类型
命题的结论中给出了轨迹图形的形状， 而对其大小(如果有大小可言)和位置叙述不 完全，或没有涉及。
如：平面内到两个定点距离相等的点的 轨迹，是一条直线。
这类轨迹命题同样具有定理的形式。但在 解题方面与第一类型又有所不同。首先需要探 知轨迹的大小和位置。因此，解决这类命题的 方法步骤大致为： ①探求轨迹图形的位置和大小，使其基本轮廓 确定；
CP · ·
上一个特殊点。当C点移动到AB弧
A D
·
B
O
的中点M的位置时，OP＝CD＝OM，
即P点与M点重合，因此M是轨迹上
的又一特殊点。
给定的半圆及条件皆关于 OM 对 称 ， 所 以 轨 迹 也 应 以 OM为对称轴。
题设：△ABC为定三角形， P为动 点 ， E、F、G分 别 是从P向△ABC的三边AB、 BC、CA引垂线所得的垂 足，并且E、F、G三点共 线。
求：P点的轨迹。
A
E· B
F
· C·
·G
P
小结： 前面共介绍了初等几何中探求轨迹问题
常见的五种方法，但在探求轨迹时，我们还 应注意以下两点：一、必须注意轨迹的界限， 否则就会出现有瑕的轨迹二、必须仔细、周 密、全面地审题，要注意挖掘题设条件中蕴 含着的多种情况。
综合 (1)、(2)命题得证。
关于轨迹上的特殊点
极限点――题设图形处于极限位置时产生的点； 临界点――在轨迹端点处的极限点； 终止点――处在轨迹端点位置，本身又属于轨迹，不是
临界点。 这些特殊点对于确定轨迹图形的形状、大小和位置
有时起着决定性作用，通常在解决轨迹的讨论部分，应 指出哪些是特殊点才算完整。 静点――相对于轨迹上的一般动点，位置确定的点。 另外还有孤立点等。
2.第二类型
命题的结论中给出了轨迹图形的形状， 而对其大小(如果有大小可言)和位置叙述不 完全，或没有涉及。
如：平面内到两个定点距离相等的点的 轨迹，是一条直线。
这类轨迹命题同样具有定理的形式。但在 解题方面与第一类型又有所不同。首先需要探 知轨迹的大小和位置。因此，解决这类命题的 方法步骤大致为： ①探求轨迹图形的位置和大小，使其基本轮廓 确定；
CP · ·
上一个特殊点。当C点移动到AB弧
A D
·
B
O
的中点M的位置时，OP＝CD＝OM，
即P点与M点重合，因此M是轨迹上
的又一特殊点。
给定的半圆及条件皆关于 OM 对 称 ， 所 以 轨 迹 也 应 以 OM为对称轴。
初等数论课程教案总结.ppt
最 大 公 约 数 : 设 a1, a2是 两 个 不 全 为 零 的 整 数 . 我 们 把 a1和 a2 的 公 约 数 中 最 大 的 称 为 a1 和 a2 的 最 大 公 约 数 , 记 作 ( a1, a2 ) , 一 般 地 , 设 a1,. . . ,ak 是 k 个 不 全 为 零 的 整 数 . 我 们 把 a1,. . . , ak 的 公 约 数 中 最 大 的 称 为 a1,. . . , ak 的 最 大 公 约 数 , 记 作 ( a1,. . . , ak ) .
P 1 8 定 理 1 2 : 设 m 0,我 们 有
[ ma1,. . . , mak ] = m[a1,. . . , ak ] .
P 2 0 定 理 2 ： 设 a,b是 两 个 给 定 的 整 数 , a 0. 再设 d是一个给定的整数. 那么,一定存在 惟 一 的 一 对 整 数 q1 与 r1, 满 足 b a q1 r1,d r1 a d. 此 外 , a b的 充 要 条 件 是 a r1.
P 4 4 定 理 8 ： 设 a1,,ak是 不 完 全 为 零 的 整 数 . 我 们 有 ( i ) ( a1,, ak ) = m i n { s a1x1 ak xk : x j Z( 1 j k ) , s 0} , 即 a1,, ak 的 最 大 公 约 数 等 于 a1,,ak的 所 有 整 系 数 线 性 组 合 组 成 的 集 合 S中 的 最 小 正 整 数 . ( i i ) 一 定 存 在 一 组 整 数 x1,0,, xk,0使 得 ( a1,, ak ) = a1x1,0 ak xk,0.
P 4 8 定 理 1 ： 设 p 是 素 数 , p a1a2 . 那 么 p a1或 p a2 至 少 有 一 个 成 立 . 一 般 地 , 若 p a1. . .ak , 则 p a1 ,. . . , p ak 至少一个成立.
P 1 8 定 理 1 2 : 设 m 0,我 们 有
[ ma1,. . . , mak ] = m[a1,. . . , ak ] .
P 2 0 定 理 2 ： 设 a,b是 两 个 给 定 的 整 数 , a 0. 再设 d是一个给定的整数. 那么,一定存在 惟 一 的 一 对 整 数 q1 与 r1, 满 足 b a q1 r1,d r1 a d. 此 外 , a b的 充 要 条 件 是 a r1.
P 4 4 定 理 8 ： 设 a1,,ak是 不 完 全 为 零 的 整 数 . 我 们 有 ( i ) ( a1,, ak ) = m i n { s a1x1 ak xk : x j Z( 1 j k ) , s 0} , 即 a1,, ak 的 最 大 公 约 数 等 于 a1,,ak的 所 有 整 系 数 线 性 组 合 组 成 的 集 合 S中 的 最 小 正 整 数 . ( i i ) 一 定 存 在 一 组 整 数 x1,0,, xk,0使 得 ( a1,, ak ) = a1x1,0 ak xk,0.
P 4 8 定 理 1 ： 设 p 是 素 数 , p a1a2 . 那 么 p a1或 p a2 至 少 有 一 个 成 立 . 一 般 地 , 若 p a1. . .ak , 则 p a1 ,. . . , p ak 至少一个成立.
初等数学研究(六)初等几何基础ppt课件
(1)不完全归纳法－－在研究事物的某些特殊情况所得到的共同 属性的基础上，作出一般性结论的推理方法。
注意：不完全归纳法有时不太可靠
如：x=1,2,3, ……,39时，式子x2+x+41的值都是
质数，若就此得出“当x ∈N+时，式子x2+x+41的值都是质数”
的结论便是错误的。其实当x＝40时，402＋40＋41＝412是合数
方法。 .
6
• 《几何原本》的每一卷都以一些概念的定、公设、和公理为基础。 第一卷以23个定义、5个公设和5个公理开始的。
• 定义
• (1) 点是没有部分的。
• (2) 线是只有长度而没有宽度的。
• (3) 线的界限是点。
• (4) 直线是这样的线，它对于它的所有各个点都有同样的位置。
• (5) 面是只有长度和宽度的。
A
C1 C2 D1
C3 C4 C5
D2
D3
B
.
13
三、演绎法与归纳法
平时证题我 们用简略的
三段论。
• 1.演绎法(三段论法)
是由演绎推理组成的 证明方法，要求演绎推理 中的三段论的大、小前提 都是正确真实的，是一种 由一般原理推出特殊事实 结论的证明方法。
例1.题略
证明：
同圆半径相等(大前提)
OA、OB都是⊙O的半径(小前提)
(1)实验几何(大约公元前七世纪前)
(2)初步推理几何(大约公元前四世纪前)
(3)解析几何的产生与发展
(4)现代几何的发展
2.欧几里得《几何原本》中的不足 3.欧几里得不可磨灭的贡献
欧几里德(前330～ 前260)
(1)《几何原本》是人类第一次把丰富散漫的几何材料 整理成了系统严明的读本
初等数论(课堂PPT)
自然数集：0，1，2，3，… ，n，…也叫非负整 数集，记作N。
正整数集： 1，2，3，… n，…记作N*。
正整数、零、负整数统称为整数。所有整数构成 的集合叫做整数集，记作Z。
2
1.1 进位制与计数法
▪ 学习目标：
▪ 1.掌握常用进位制与计数法
▪ 2.熟练掌握二进位制与十进位制的互化， 并能解决相关的实际应用问题。
教学后记：能达到预期教学目标，效果较好，各 种进位制的应用可适当增加些习题。
8
本章讨论整数的整除性及与其有关的数的分解最大公因数最小公倍数正约数的个数与总和高斯函数正值函数的整除性等整数的基本概念性质和方法
高等师范院校小学教育专业数 学教材《初等数论》课件
制作：孙素慧
1
第一章整数的整除性
本章讨论整数的整除性及与其有关的数的分 解、最大公因数、最小公倍数、正约数的个数与 总和、高斯函数、正值函数的整除性等整数的基 本概念、性质和方法。
数简记为an …a2a1a0。当an≠0时,an…a2a1a0表示n+1位 十进制正整数，把它写成不同计数单位的数之和的 形式为：
an…a2a1a0=an×10n+an-1×10n-1 +…+a1×10+a0
4
例1 已知 a 3 a 1 ,b 3 0 ,且 a 3 a 2 a 1 a 1 a 2 a 3 b 3 b 2 b 1 . 求 证 ： b3b2b1+ b1b2b3=1089. 例 2 一 个 六 位 数 2 a b c d e 与 3 之 积 等 于 a b c d e 9 ， 求 这 个六位数.
6
例3 把110111(2)化为十进位制数
例4 把49化为二进位制数
例5 现有1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个 ,若只能将砝码放在天平的一端,问能称出多少种不 同质量的物品？若称23克的物品,应该如何选配上 述砝码？
正整数集： 1，2，3，… n，…记作N*。
正整数、零、负整数统称为整数。所有整数构成 的集合叫做整数集，记作Z。
2
1.1 进位制与计数法
▪ 学习目标：
▪ 1.掌握常用进位制与计数法
▪ 2.熟练掌握二进位制与十进位制的互化， 并能解决相关的实际应用问题。
教学后记：能达到预期教学目标，效果较好，各 种进位制的应用可适当增加些习题。
8
本章讨论整数的整除性及与其有关的数的分解最大公因数最小公倍数正约数的个数与总和高斯函数正值函数的整除性等整数的基本概念性质和方法
高等师范院校小学教育专业数 学教材《初等数论》课件
制作：孙素慧
1
第一章整数的整除性
本章讨论整数的整除性及与其有关的数的分 解、最大公因数、最小公倍数、正约数的个数与 总和、高斯函数、正值函数的整除性等整数的基 本概念、性质和方法。
数简记为an …a2a1a0。当an≠0时,an…a2a1a0表示n+1位 十进制正整数，把它写成不同计数单位的数之和的 形式为：
an…a2a1a0=an×10n+an-1×10n-1 +…+a1×10+a0
4
例1 已知 a 3 a 1 ,b 3 0 ,且 a 3 a 2 a 1 a 1 a 2 a 3 b 3 b 2 b 1 . 求 证 ： b3b2b1+ b1b2b3=1089. 例 2 一 个 六 位 数 2 a b c d e 与 3 之 积 等 于 a b c d e 9 ， 求 这 个六位数.
6
例3 把110111(2)化为十进位制数
例4 把49化为二进位制数
例5 现有1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个 ,若只能将砝码放在天平的一端,问能称出多少种不 同质量的物品？若称23克的物品,应该如何选配上 述砝码？
初等数学模型(一PPT课件
数学建模的意义
1、培养创新意识和创造能力 2、训练快速获取信息和资料的能力 3、锻炼快速了解和掌握新知识的技能 4、培养团队合作意识和团队合作精神 5、增强写作技能和排版技术 6、荣获国家级奖励有利于保送研究生 7、荣获国际级奖励有利于申请出国留学 8、更重要的是训练人的逻辑思维和开放性思考方式
数学建模应当掌握的十类算法
• 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据 可以是连续的，而计算机只 认的是离散的数据，因此将 其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非 常重要的）
• 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程 的话，那一些数值分析中常 用的算法比如方程组求解、 矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调 用）
• 模型应用：应用方式因问题的性质和建模 的目的而异。
应该注意的是：数学建模不只是数学成绩好的
学生的专利，我们每个同学都能利用所学的数学 知识建立相应的模型解决一些实际问题的。同时 数学建模遵循简单化原则：也就是建立的模型越 简单越好，并不一定需要高深的数学知识。数学 建模需要创新精神，需要创造，需要有奇异的想 法，没有不能做，只有不敢想，我们同学的年龄 正处在异想开天的时段，正是进行数学建模的黄 金时段，发挥我们的优势，拼搏一下又没有多少 损失，充其量就是牺牲了一定的休息时间吧！不 尝试谁也不知道自己有没有这方面的长处的！当 然数学建模也培养同学们的团队合作精神，考验 团队的集体智慧！
• 模型求解：利用获取的数据资料，对模型 参数做出计算（或近似计算）或估计。
• 模型分析：对所得的结果进行数学分析。
• பைடு நூலகம்型检验：将模型分析的结果与实际情形 进行比较，以此来验证模型的准确性、合 理性和适用性。如果模型与实际较吻合， 则要对计算结果给出其实际含义，并进行 解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修 改假设，再次重复建模过程。
初等数学研究(PPT课件)
初等数学研究
感谢您的阅览
初等数学研究（PPT课件）
1
• 数学教育研究表明，人们认识负数比起认识无理数要容易些．但 是，历史有独特的自身发展逻辑．
• 事实上，当人们还普遍怀疑负整数也是一种数时，人们就已经在 研究正的有理数与无理数，甚至已经开始使用复数了．
初等数学研究（PPT课件）
2
• “数系”的历史扩展途径 • “数系”的逻辑扩展途径
• 接着是代数运算的需要，因减法、开方运算的需要产生了负数、无理数 和复数．
• 到了近代，“数”不再只是单个的量的表示，人们为了追求运算的无矛 盾性，接受了理想的“数”，包括复数、四元数、八元数等等．
初等数学研究（PPT课件）
4
“新数”为何最初不被承认？
• 不能够测量 • 并非非有不可 • 不能够理解 • 逻辑基础不清楚
初等数学研究（PPT课件）
5“新数”为何最终获得Fra bibliotek认？“因为在数学中和在其他场合一 样，成功是最高法庭，任何人都得 服从它的裁决.”
D.Hilbert《论 无限》
初等数学研究（PPT课件）
6
• 算法合理性是“新数”获得承认的主要原因 • 算术到代数的演进加速了数系的形成 • 广泛的应用促进广泛的承认 • “理想数” 的思想
初等数学研究（PPT课件）
7
1.2 数系的构造理论
初等数学研究（PPT课件）
8
1.2.1自然数的定义
• 自然数严格的抽象定义是由peano公理给出的，它刻画了自然数 的本质属性，并导出了有关自然数的所有运算和性质。
• Peano公理陈述如下：
• （1）0是自然数；
• （2）每个自然数都有一个后继，a的后继记为a+ ；
感谢您的阅览
初等数学研究（PPT课件）
1
• 数学教育研究表明，人们认识负数比起认识无理数要容易些．但 是，历史有独特的自身发展逻辑．
• 事实上，当人们还普遍怀疑负整数也是一种数时，人们就已经在 研究正的有理数与无理数，甚至已经开始使用复数了．
初等数学研究（PPT课件）
2
• “数系”的历史扩展途径 • “数系”的逻辑扩展途径
• 接着是代数运算的需要，因减法、开方运算的需要产生了负数、无理数 和复数．
• 到了近代，“数”不再只是单个的量的表示，人们为了追求运算的无矛 盾性，接受了理想的“数”，包括复数、四元数、八元数等等．
初等数学研究（PPT课件）
4
“新数”为何最初不被承认？
• 不能够测量 • 并非非有不可 • 不能够理解 • 逻辑基础不清楚
初等数学研究（PPT课件）
5“新数”为何最终获得Fra bibliotek认？“因为在数学中和在其他场合一 样，成功是最高法庭，任何人都得 服从它的裁决.”
D.Hilbert《论 无限》
初等数学研究（PPT课件）
6
• 算法合理性是“新数”获得承认的主要原因 • 算术到代数的演进加速了数系的形成 • 广泛的应用促进广泛的承认 • “理想数” 的思想
初等数学研究（PPT课件）
7
1.2 数系的构造理论
初等数学研究（PPT课件）
8
1.2.1自然数的定义
• 自然数严格的抽象定义是由peano公理给出的，它刻画了自然数 的本质属性，并导出了有关自然数的所有运算和性质。
• Peano公理陈述如下：
• （1）0是自然数；
• （2）每个自然数都有一个后继，a的后继记为a+ ；
《初等数学复习》课件
分析问题：将问题分解为 若干个部分，逐一分析并 找出关键信息
建立数学模型：根据问题 特点，选择合适的数学方 法或公式进行建模
计算求解：利用数学工具 进行计算，得出答案或解 决方案
检验答案：对答案进行验 证，确保准确性和合理性
总结提高：总结解题思路 和方法，提炼数学思想和 经验
逻辑思维：数学注重逻辑推理和证明，需要具备严谨的思维方式 抽象思维：数学涉及抽象概念和符号，需要具备抽象思维能力 计算思维：数学涉及大量的计算和推导，需要具备计算思维能力
添加文档副标题
目录
01.
02.
03.
04.
05.
06.
课件目标：帮助学生掌握初等数学基础知识，提高解题能力和数学思维能力 课件内容：包括数与代数、空间与图形、统计与概率等模块，涵盖了初中数学的主要知识点 课件特点：采用多种教学方法，如讲解、演示、练习等，注重学生的实际应用能力培养 适用对象：适用于初中学生及数学爱好者
保持积极心态： 面对复习，保持 乐观、自信的态 度，相信自己能 够取得进步和成 功。
制定复习计划： 根据自身情况， 制定合理的复习 计划，明确每天 的复习任务和目 标。
注重基础知识： 在复习过程中， 注重基础知识的 学习和掌握，确 保基础扎实。
多做练习：通过 大量的练习，加 深对知识点的理 解和记忆，形成 自己的知识体系， 提高解题能力。
三角形：介绍三角形的基本性 质、分类和解题方法
四边形：介绍四边形的基本性 质、分类和解题方法
圆：介绍圆的基本性质、分类 和解题方法
内容1：概率与统计的基本概念 内容2：概率与统计在生活中的应用 内容3：概率与统计在数学中的重要性 内容4：概率与统计的复习方法
理解题目背景：仔细阅读 题目，明确题目要求和考 察知识点
初等数学研究(六)初等几何基础ppt课件
∴OA＝OB(结论)
∵线段中点平分线段(大前提)
C、D分别是OA、OB的中点(小前提)
∴ OC＝ 1 OA，OD= 1 OB (结论)
2
2
∵等量的同分量相等(大前提)
OC、OD是等量OA＝OB的同分量(小前提)
∴ O. C＝OD(结论)
14
• 2.归纳法
是由归纳推理组成的证明方法。归纳法又分为
不完全归纳法、完全归纳法和数学归纳法。
(2)清人李善兰(1810－1882)与英人伟烈亚力(W·Lexanbler 1805-1887)于1852-1856年合译后9卷。
5.公理化方法
李善兰(1810－1882)
从尽可能少的无定义的原始概念和一
组不证自明的命题(基本公理徐)光出启发(15，62-1利63用3) 逻 辑的法则，把一门数学建成为演绎系统的
(1)不完全归纳法－－在研究事物的某些特殊情况所得到的共同 属性的基础上，作出一般性结论的推理方法。
注意：不完全归纳法有时不太可靠
如：x=1,2,3, ……,39时，式子x2+x+41的值都是
质数，若就此得出“当x ∈N+时，式子x2+x+41的值都是质数”
的结论便是错误的。其实当x＝40时，402＋40＋41＝412是合数
A
C1 C2 D1
C3 C4 C5
D2
D3
B
.
13
三、演绎法与归纳法
平时证题我 们用简略的
三段论。
• 1.演绎法(三段论法)
是由演绎推理组成的 证明方法，要求演绎推理 中的三段论的大、小前提 都是正确真实的，是一种 由一般原理推出特殊事实 结论的证明方法。
例1.题略
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1、最小公倍数和最大公约数问题
1.最大公约数：若一个自然数a能被自然数b整除， 则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有 的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中 最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公 约数。
2.最小公倍数：若一个自然数a能被自然数b整除， 则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有 的倍数，叫做这几个自然数的公倍数.公倍数中最 小的一个大于零的公倍数，叫这几个数的最小公 倍数。
解： 设六年级有x幅画，那么五年级有x+(16－ 15)，则可列方程：
x +(16－15)+x=25，x=12
即六年级有12幅画，
五年级有x+（16－15）=13幅画。
其他年级有16-13=3幅
例4 有50名学生参加联欢会，第一个到会的女生同每 个男生握过手，第二个到会的女生只差1个男生没握过 手，第三个到会的女生只差2个男生没握过手，如此等 等，最后一个到会的女生和7个男生握过手，则这50名 学生中有几名男生?
（二）、初等数学类：
1.和差问题 2.平均数问题 3.做对或做错题 4.整除或求余问题 5.年龄问题
（1）、和、差问题
和、差问题是已知大小两个数的和（或差）与 它们的倍数关系，求大小两个数的值。
（和+差）÷2=较大数 （和－差）÷2=较小数 较大数-差＝较小数 这一题型应作为一个基本常识掌握，以加快解
题的速度。
114.甲乙两辆汽车都由北京经长沙开往广州， 出发时两车共有乘客160人，在长沙站甲车增 17人，已车减23人，这样在开往广州时，两 车的乘客人数正好相等，问甲车原车( )人. （09年湖南题）
A.60 B.75 C.90 D.100
• 例2 549是甲、乙、丙、丁4个数的和。 若甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2， 丁数除以2以后，则4个数相等。求4个数 各是多少?
Байду номын сангаас
（3）做对或做错题问题
例1 某次测验有50道判断题，每做对一题得3 分，不做或做错一题倒扣1分，某学生共得82 分，问答对题数和答错题数相差多少？ A.33 B.99 C.17 D.16
解析：设做对X道，做错Y道，则可列如下方 程 X+Y=50 ，3X-Y=82
解得X=33 Y=17 所以，正确答案为D。
A．3 B.4 C.5 D.6
• 解析：若这一次考98分，就比前几次的平均成 绩多（98-90）分，这（98-90）分要平均添补 在每次成绩上，使得每一次成绩正好提高（9290）分，由此可求出答案。
• （98-90）÷（92-90）=4，所以选择B。
• 例题3：如果四个人的平均年龄是25岁， 四个人中没有小于20岁的，那么年龄最 大的人可能是多少岁？
• 解析 设相等的数为x，则甲为x-2，乙为
x+2，，丙为x÷2，丁为2x。则可列方程：
x+2+x-2+x÷2+2x=549，x=122。
• 则: 甲为122-2=120，乙为122+2=124，
，丙为122÷2=61，丁为122×2=244 。
例3 河东小学画展上展出了许多幅画，其中有 16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的， 现知道五、六年级共有25幅画，求其它年级的 画共有多少幅?
A.9m/min B.10m/min C.11m/min D.12m/min
• 解析：要想求出往返的平均速度，必须求出往返 的路程及往返共用的时间。总路程很容易求出， 而总时间则需要根据“路程÷速度=时间”分别 求出往、返各用的时间，再求出总时间。
• 180×2÷(180÷18＋180÷9)=12m/min，选D。
• 例2 某次考试有30道判断题，每做对一 道题得4分，做错一道题倒扣2分，小周 共得96分，问他做错了多少道题？
• A.12
B.4
C.2
D.5
• 解析：法一，假设某人在做题时前面24道题都做对了， 这时他应该得到96分，后面还有6道题，如果让这最后 6道题的得分为0即可满足题意。这6道题的得分怎么才 能为0分呢？根据规则只要做对2道做错4道即可，据此 我们可知做错的题为4道，做对的题为26道。
解析： 不妨将女生的顺序反过来，从后往前看。即最 后一个到会的女生同7个男生握过手；倒数第二个到会 的女生同8个男生握过手；倒数第三个到会的女生同9 个男生握过手，如此等等，第一个到会（即倒数最后 一个）的女生同全部男生握过手。由此，立即可知， 男生人数比女生的人数多6个人。
因此，男生人数为（50+6）÷2=28（人）
（2）平均数问题
平均数问题经常在公考的数学运算部分经常出 现。解答平均数问题的基本思路是求出总数量 和总份数，基本公式是：总数量÷总份数=平 均数。
解答平均数问题还可以在总量保持不变的情况 下，把几个不相等的数量通过移多补少使它们 成为相等的几份，其中的一份就是这几个数量 的平均数量。
• 例题1：甲、乙两地相距180米，某人从甲地到 乙地每分钟走18米，从乙地到甲地每分钟走9米， 求这个人往返两地的平均速度。
A.28 B.36 C.40 D.44
• 解析：因为四个人的平均年龄是25岁， 所以四个人的年龄和是25×4=100岁，而 四个人中没有小于20岁的，如果四个人 中三个人的年龄都是20岁，则另一个人 的年龄最大可能是100-20×3=40岁。
• 所以，25×4-20×3=40，选择C。
例：假设五个相异正整数的平均数是 15，中位数是18，则此五个正整数的 最大数的最大值可能是（06年湖南题） A 24 B 32 C 35 D 40
小王登山，上山的速度是4km ， 到达山顶后 原路返回，速度为6km/h，设山路长为9km， 小王的平均速度为( )km/h（09年湖南真题）
A.5 B.4.8 C.4.6 D.4.4
• 例题2：小红前几次数学测验平均成绩是90分, 这一次测验要考98分，才能把平均成绩提到92 分，这一次是第几次测验？
• 法二，做对一道可得4分，如果没做对反而扣2分,这一 正一负差距就变成了6分。30道题全做对可得120分， 而现在只得到了96分，意味着差踞为24分，用24÷6＝4 即可得到做错的题，可知选B。
(4)整除及求余问题
这类题往往和日期（星期几）问题联系在一 起，大家也要学会求余。主要表现形式有：
1、最小公倍数和最大公约数问题 2、整除求余数的问题