九年级数学 22章 一元二次方程 5、配方法求最值
专题05用配方法求解一元二次方程(题型易错点中考考法)(解析版)-九年级数学上册学与练(北师大版)
专题05用配方法求解一元二次方程（3个知识点7种题型2个易错点4种中考考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：用直接配平方法求解一元二次方程（重点）知识点2：用配方法求解一元二次方程（重点）知识点3：利用一元二次方程求解简单的实际问题（难点）【方法二】实例探索法题型1：用直接开平方法解一元二次方程题型2：用配方法解一元二次方程题型3：用配方法求字母的值题型4：用用配方法求代数式的最大（最小）值题型5：直接开平方法在实际生活中的应用题型6：用配方法判断三角形的形状题型7：利用配方法解决有关新定义问题【方法三】差异对比法易错点1混淆方程配方与代数式配方易错点2配方时，没有进行恒等式变形而导致错误【方法四】仿真实战法考法1：解一元二次方程-直接开平方法考法2：解一元二次方程-配方法考法3：换元法解一元二次方程考法4：配方法的应用【方法五】成果评定法【知识导图】【方法一】脉络梳理法知识点1：用直接配平方法求解一元二次方程（重点）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．【例1】（2022秋•江都区校级期末）方程x2＝4的解是（）A．x1＝x2＝2B．x1＝x2＝﹣2C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝4，x2＝﹣4【解答】解：直接开平方得：x＝±2，∴方程的解为：x1＝2，x2＝﹣2，故选：C．知识点2：用配方法求解一元二次方程（重点）（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．【例2】用配方法解一元二次方程0422=-+x x .解：422=+x x 移常数项222)1(4)1(2+=++x x 两边配上一次项系数一半的平方5)1(2=+x 转化为n m x =+2)(的形式5151-=+=+x x 或转化为n m x =+2)(的形式解得1515--=-=x x 或求解所以原方程的根是151521--=-=x x 或．【例3】如何用配方法解方程04222=-+x x 解：4222=+x x 移常数项22=+x x 方程两边同除以二次项系数22221(2)21(+=++x x 两边配上一次项系数一半的平方25)21(2=+x 转化为n m x =+2)(的形式2102121021-=+=+x x 或开平方解得2121021210--=-=x x 或求解所以原方程的根是21210,2121022--=-=x x .知识点3：利用一元二次方程求解简单的实际问题（难点）一元二次方程是刻画现实问题的有效数学模型，有些通过列一元二次方程来解决的实际问题都可以利用配方法或直接开平方法来解决。
广东省广州市白云区九年级数学上册《第22章 一元二次方程》复习课件 新人教版
时，方程有一
个正根，一个负根；当m
时，方程有一
个根为0。
k为何值 ,二时 次三x2项 (k式 1)xk
是关 x的于 完全平 . 方式
解：若方程 x2（k 1）xk 0有两个相等的实数则 根， （ k1）24k k22k 10
k 1 当k 1时，
x2（k 1）xk x22x1（ x1）2
是关于x的完全平方式。
练习
选用适当方法解下列一元二次方程
• 1、 (2x+1)2=64
( 直接开平方 法）
• 2、 (x-2)2-４(x+１)2=0 ( 因式分解 法）
• 3、(５x-４)2 -(4-５x)=０ ( 因式分解 法）
• 4、 x２-４x-10=０
( 公式 法）
• 5、 ３x２-４x-５=０
( 公式 法）
• 6、 x２＋６x-1=0
求a2+b2 的值。
3.解下列方程（1）x2=0 (2)x(x-6)=-2(x-6)
4. (2004武汉中考)
试证明关于x的方程 (a2-a+2)x2+ax+2=0无论a取何 值,该方程都是一元二次方程.
5、已知：x2+3xy-4y2=0(y≠0),
求 x y 的值. x y
6、4x2=x
甲同学是这样做的，你看对吗？
( 公式 法）
• 7、 ３x２ -８x-３=０
( 因式分解 法）
• 8、 y2- 2 y-1=0
( 公式 法）
选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 →公式法→配方法
思考
1. (2005福州中考) 解方程: (x+1)(x+2)=6
中考直击
求一元二次方程的最大值和最小值
求一元二次方程的最大值和最小值在数学中，一元二次方程是一种形式为ax2+bx+c=0的二次方程。
对于一元二次方程ax2+bx+c=0，其中a、b、c是已知常数，x是未知数，我们可以通过求解这个方程来找到它的最大值和最小值。
求解一元二次方程要找到一元二次方程的最大值和最小值，我们首先需要解出这个方程的根。
对于一元二次方程ax2+bx+c=0，我们可以使用求根公式：$$ x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$使用这个公式可以得到方程的两个根x1和x2，分别为：$$ x_1 = \\frac{-b + \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$$$ x_2 = \\frac{-b - \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$最大值和最小值的判断一元二次方程的最大值和最小值与二次函数的凹凸性有关。
当a>0时，二次函数开口向上，此时曲线的顶点是函数的最小值点；当a<0时，二次函数开口向下，此时曲线的顶点是函数的最大值点。
所以，对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当a>0时，最小值为 $f(-\\frac{b}{2a})$；当a<0时，最大值为 $f(-\\frac{b}{2a})$。
举例说明假设有一元二次方程2x2+4x−6=0，首先求解该方程的根：$$ x_1 = \\frac{-4 + \\sqrt{4^2 - 4 \\times 2 \\times -6}}{2 \\times 2} = 1 $$$$ x_2 = \\frac{-4 - \\sqrt{4^2 - 4 \\times 2 \\times -6}}{2 \\times 2} = -3 $$ 根据前面的判断，因为a>0，所以该二次函数开口向上，最小值为：$$ f(-\\frac{4}{2 \\times 2}) = f(-1) = 2 \\times (-1)^2 + 4 \\times (-1) - 6 = -12 $$所以，该一元二次方程的最小值为 -12。
九年级数学第二十二章降次—解一元二次方程人教实验版知识精讲
初三数学第二十二章降次—解一元二次方程人教实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：用因式分解法解一元二次方程1. 用因式分解（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程．2. 根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．体会解决问题方法的多样性．二. 知识要点： 1. 因式分解法解方程x 2－x ＝0．方程左边x 2－x 可以分解因式：x 2－x ＝x （x －1），于是： x ＝0或x －1＝0．所以x 1＝0，x 2＝1． 上述解法过程中，不是不用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫做因式分解法． 2. 因式分解法解一元二次方程的主要步骤： （1）将方程化成右边等于0的形式；（2）将方程左边分解因式（两个一次因式的积），方程化成（ax ＋m ）（bx ＋n ）＝0的形式；（3）由ax ＋m ＝0或bx ＋n ＝0得出方程的根．3. 直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的对比形如x 2＝a （a ≥0）或（ax ＋b ）2＝c （c ≥0）的用直接开方法解．因为一元二次方程的求根公式是由配方法推导出来的，对一般形式的一元二次方程一般不用配方法求根，可考虑因式分解法或公式法．三. 重点难点：因式分解法把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解，体现了“降次”的思想，这种思想不但是本节的重点，而且在以后处理其他方程时也是非常重要的．【典型例题】例1. 用因式分解法解下列方程：（1）5x 2＋3x ＝0；（2）7x （3－x ）＝4（x －3）；（3）9（x －2）2＝4（x ＋1）2． 分析：（1）左边＝x （5x ＋3），右边＝0；（2）先把右边化为0，7x （3－x ）－4（x －3）＝0，找出（3－x ）与（x －3）的关系；（3）应用平方差公式．解：（1）因式分解，得x （5x ＋3）＝0， 于是得x ＝0或5x ＋3＝0，x 1＝0，x 2＝－35；（2）原方程化为7x （3－x ）－4（x －3）＝0， 因式分解，得（x －3）（－7x －4）＝0， 于是得x －3＝0或－7x －4＝0，x 1＝3，x 2＝－47；（3）原方程化为9（x －2）2－4（x ＋1）2＝0， 因式分解，得[3（x －2）＋2（x ＋1）][3（x －2）－2（x ＋1）]＝0， 即（5x －4）（x －8）＝0， 于是得5x －4＝0或x －8＝0，x 1＝45，x 2＝8．评析：（1）用因式分解法解一元二次方程的关键有两个：一是要将方程右边化为0，二是熟练掌握多项式的因式分解．（2）对原方程变形时不一定要化为一般形式，要从便于分解因式的角度考虑，但各项系数有公因数时可先化简系数．例2. 选择合适的方法解下列方程．（1）2x 2－5x ＋2＝0； （2）（1－x ）（x ＋4）＝（x －1）（1－2x ）；（3）3（x －2）2＝x 2－2x ． 分析：（1）题宜用公式法；（2）题中找到（1－x ）与（x －1）的关系用因式分解法；（3）题中x 2－2x ＝x ·（x －2）用因式分解法．解：（1）a ＝2，b ＝－5，c ＝2， b 2－4ac ＝（－5）2－4×2×2＝9＞0， x ＝－（－5）±92×2＝5±34，x 1＝2，x 2＝12；（2）原方程化为（1－x ）（x ＋4）＋（1－x ）（1－2x ）＝0， 因式分解，得（1－x ）（5－x ）＝0， 即（x －1）（x －5）＝0， x －1＝0或x －5＝0， x 1＝1，x 2＝5；（3）原方程变形为3（x －2）2－x （x －2）＝0， 因式分解，得（x －2）（2x －6）＝0， x －2＝0或2x －6＝0， x 1＝2，x 2＝3． 评析：（1）解一元二次方程的几种方法中，如果不能直接由平方根定义解得，首先考虑的方法通常是因式分解法，对于不易分解的应考虑公式法，而配方法比较麻烦．公式法、配方法一般可以解所有一元二次方程．例3. 已知（a 2＋b 2）2－（a 2＋b 2）－6＝0，求a 2＋b 2的值．分析：若把（a 2＋b 2）看作一个整体，则已知条件可以看作是以（a 2＋b 2）为未知数的一元二次方程．解：设a 2＋b 2＝x ，则原方程化为x 2－x －6＝0．a ＝1，b ＝－1，c ＝－6，b 2－4ac ＝12－4×（－6）×1＝25＞0， x ＝1±252，∴x 1＝3，x 2＝－2．即a 2＋b 2＝3或a 2＋b 2＝－2， ∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2＝－2不合题意应舍去，取a 2＋b 2＝3．评析：（1）本题求的是a 2＋b 2，而题中条件是关于a 2＋b 2的，把a 2＋b 2看成一个整体是一个朴素的数学思想，能帮助我们解决一些较“麻烦”的问题．（2）根据非负数的性质有a 2＋b 2≥0，在做题时要注意隐含条件．例4. （1）当代数式x 2＋7x ＋6的值与x ＋1的值相同时，x 的值为多少？（2）方程x 2＋2x －8＝0的正整数解为几？分析：（1）两个代数式值相等，即x 2＋7x ＋6＝x ＋1，解这个方程可得x 的值；（2）先解出方程的两个根再看其中的正整数根．解：（1）x 2＋7x ＋6＝x ＋1， x 2＋6x ＋5＝0，a ＝1，b ＝6，c ＝5，b 2－4ac ＝16＞0．所以x ＝－6±162，x 1＝－1，x 2＝－5，所以x 的值为－1或－5．（2）解方程x 2＋2x －8＝0， a ＝1，b ＝2，c ＝－8，b 2－4ac ＝22－4×1×（－8）＝36＞0， x ＝－2±362＝－1±3， x 1＝2，x 2＝－4．所以方程x 2＋2x －8＝0的正整数解为2．评析：（1）题中涉及代数式的值的问题，实质上方程就是表示含有未知数的两个代数式的值相等的式子；（2）题中方程用了公式法，用因式分解法也很方便．例5. 用一根长40cm 的铁丝围成一个面积为91cm 2的矩形，问这个矩形长是多少？若围成一个正方形，它的面积是多少？分析：设长为xcm ，则宽为（402－x ）cm ，由相等关系长×宽＝面积列出方程．解：设长为xcm ，则宽为（402－x ）cm ，由矩形面积等于91cm 2，得x ·（402－x ）＝91，解这个方程，得x 1＝7，x 2＝13．当x ＝7cm 时，402－x ＝20－7＝13（cm ）（舍去）；当x ＝13cm 时，402－x ＝20－13＝7（cm ）．当围成正方形时，它的边长为404＝10（cm ），面积为102＝100（cm 2）．答：矩形的长为13cm ，若围成正方形，则这个正方形的面积为100cm 2．评析：有一些几何面积问题用到一元二次方程，解这类题时要注意一些条件，如习惯上矩形中较长的边称为长，而较短的边称为宽，故本题中取长为13cm ，宽为7cm 较合适．例6. 解方程2（12－x ）2－（x －12）－1＝0．分析：因为（12－x ）2＝（x －12）2，如果把（x －12）看成一个整体，并设x －12＝y ，则原方程化为2y 2－y －1＝0，先求出y 的值，再反过来求x 的值． 解：设x －12＝y ，原方程化为2y 2－y －1＝0，a ＝2，b ＝－1，c ＝－1，b 2－4ac ＝9＞0，y ＝－（－1）±92×2＝1±34．y 1＝1，y 2＝－12．当y ＝1时，x －12＝1，x ＝32；当y ＝－12时，x －12＝－12，x ＝0．所以原方程的解是x 1＝32，x 2＝0．评析：本题如果化成一般形式再求解可能要麻烦些，这里使用了把x －12设为y 的做法，回避了很多计算，这种方法叫做换元法．【方法总结】1. 对某些方程而言因式分解法比较快捷，一般选择方法时应先考虑因式分解法，不适合因式分解法的再考虑其它方法．2. 注意体验类比、转化、降次的数学思想方法．解一元一次方程的基本思路是整理后把未知数的系数化成1；解一元二次方程的基本思路是通过开平方或因式分解把一元二次方程降次、转化成一元一次方程．【预习导学案】（实际问题与一元二次方程） 一. 预习前知1. 两个数的差等于3，积等于18，则这两个数是__________．2. 三个连奇数的平方和等于155，则这三个数是__________．3. 矩形的长比宽大4厘米，面积等于60厘米2，则它的周长为__________．4. 经实验，某物体运动规律满足等式s ＝40t －5t 2，问t ＝__________时，s ＝60． 二. 预习导学1. 两个数的和为2，且积为－15，那么求其中一个数x ，列方程为（ ）A ．x 2－2x －15＝0B ．x 2＋2x ＋15＝0C ．x 2－2x ＋15＝0D ．x 2＋2x －15＝02. 某厂2008年总产值达1493万元，比2007年增长11.8%，下列说法： ①2007年总产值为1493（1－11.8%）万元； ②2007年总产值为1493÷（1－11.8%）万元； ③2007年总产值为1493÷（1＋11.8%）万元；④若按11.8%的年增长率计算，2010年总产值预计为1493（1＋11.8%）万元．其中正确的是（ ） A ．③④ B ．②④ C ．①④ D ．①②③3. 在一块长12m ，宽10m 的长方形平地中央划出一块地，砌成面积为48m 2的长方形花台，使花台四周的空地的宽度一样，①则花台面积占长方形平地面积的__________；②空地面积与花台面积的比是__________；③如果求花台四周空地的宽度x ，则所列方程为__________． 反思：（1）列一元二次方程解实际问题的一般步骤是怎样的？（2）用一元二次方程解实际问题应该注意什么？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题1. 方程x （x －1）＝0的根是（ ） A. 0 B. 1 C. 0，－1 D. 0，12. 方程9（x ＋1）2－4（x －1）2＝0的正确解法是（ ） A. 直接开方得3（x ＋1）＝2（x －1）B. 化为一般形式13x 2＋5＝0C. 分解因式得[3（x ＋1）＋2（x －1）][3（x ＋1）－2（x －1）]＝0D. 直接得x ＋1＝0或x －1＝03. 解方程（5x －1）2＝3（5x －1）的适当方法是（ ） A. 直接开方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 4. 若实数x 、y 满足（x ＋y ＋2）（x ＋y －1）＝0，则x ＋y 的值为（ ） A. 1 B. －2 C. 2或－1 D. －2或1 5. 方程3x （x －2）＝0的解是（ ）A. x 1＝3，x 2＝2B. x 1＝0，x 2＝2C. x 1＝13，x 2＝2 D. x 1＝0，x 2＝－2*6. 若a 使得x 2＋4x ＋a ＝（x ＋2）2－1成立，则a 的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2*7. 如果x 2＋x －1＝0，那么代数式x 3＋2x 2－7的值是（ ） A. 6 B. 8 C. －6 D. －8 **8. 已知（x ＋y ）（1－x －y ）＋6＝0，则x ＋y 的值为（ ） A. 2 B. －3 C. －2或3 D. 2或－3二. 填空题1. 一元二次方程x 2－2x ＝0的根是__________． 2. 方程（x －1）（x ＋2）＝2（x ＋2）的根是__________． *3. 方程 （x －1）（x ＋2）（x －3）＝0的根是__________． 4. 方程x （2x －1）＝3（2x －1）的根是__________．*5. 使代数式x 2＋x －2的值为0的x 的值是__________．6. 一个数平方的2倍等于这个数的7倍，这个数是__________．**7. 三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x 2－12x ＋20＝0的一个实数根，则三角形的周长是__________．*8. 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，若b ＝a ＋c ，则这个方程必有一根为__________．三. 解答题1. 用因式分解法解下列方程：（1）（x －2）2－9＝0；（2）3y 2＋y ＝0；（3）2x （3x ＋2）＝9x ＋6；（4）（3x －1）2＝4（x ＋2）2．2. 用适当的方法解下列方程：（1）（5－8x ）2＝2；（2）x 2＋8x ＝20；（3）3x 2＋2x －3＝0；（4）（x －1）（x ＋2）＝70．3. 试求使代数式（x －7）（x ＋3）的值比（x ＋5）大10的x 的值．4. 审查下面解方程（x －1）2＝2（x －1）的过程回答问题． 方程两边都除以（x －1）得x －1＝2， ∴x ＝3．上述过程对不对，为什么？*5. 直角三角形的三边长是三个连续整数，求这个直角三角形的斜边的长．试题答案一. 选择题1. D2. C3. D4. D5. B6. C7. C8. C二. 填空题1. x 1＝0，x 2＝22. x 1＝－2，x 2＝33. x 1＝1，x 2＝－2，x 3＝34. x 1＝12，x 2＝3 5. x 1＝－2，x 2＝1 6. 0或72 7. 24 提示：方程的解为2或10，当x ＝2时，与另两边8和6不能组成三角形应舍去．所以x ＝10，三角形周长为24． 8. x ＝－1三. 解答题1. （1）x 1＝－1，x 2＝5；（2）y 1＝0，y 2＝－33；（3）x 1＝32，x 2＝－23；（4）x 1＝5，x 2＝－35． 2. （1）x 1＝5－28，x 2＝5＋28；（2）x 1＝2，x 2＝－10；（3）x 1＝－1＋103，x 2＝；（4）x 1＝8，x 2＝－9．3. 根据题意（x －7）（x ＋3）－（x ＋5）＝10，解得x 1＝9，x 2＝－4．4. 不对．当x －1＝0时，原方程成立，此时x ＝1；当x －1≠0时，两边同除以x －1得x －1＝2．即x ＝3．所以原方程的解是x 1＝1，x 2＝3．5. 设斜边长为x ，则两直角边分别为x －2，x －1．根据题意可得（x －2）2＋（x －1）2＝x 2，解得x 1＝1，x 2＝5．当x ＝1时x －2＝－1，x －1＝0，不符合题意舍去；当x ＝5时x －2＝3，x －1＝4，所以三角形的斜边长为5．。
配方法解一元二次方程
配方法解一元二次方程解一元二次方程的配方法是一种常用的方法，它可以帮助我们迅速求解一元二次方程，让我们来看一下这种方法的具体步骤。
首先，我们要明确一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c分别是方程的系数，而x则是未知数。
要使用配方法解一元二次方程，我们需要找到一个数m，使得方程的左边可以写成一个完全平方的形式，即可以表示为(x + m)^2的形式。
为了找到这个数m，我们可以使用下面的步骤：1. 首先，计算出一元二次方程的判别式Δ=b^2-4ac。
如果Δ>0，方程有两个不相等的实数根；如果Δ=0，方程有两个相等的实数根；如果Δ<0，方程有两个共轭复数根。
2. 然后，我们计算出方程的根的公式，x1=(-b+√Δ)/2a，x2=(-b-√Δ)/2a。
3. 接下来，我们需要找到一个数m，使得方程的左边可以写成一个完全平方的形式。
为了找到这个数m，我们可以使用下面的步骤：a. 首先，我们将方程的二次项系数除以2，并且得到一个数p，p=b/2a。
b. 然后，我们将p的平方加到方程的两边，并且得到一个完全平方的形式，ax^2 + 2px + p^2 = p^2 c。
c. 最后，我们将方程左边的完全平方形式写成(x + p)^2的形式，从而得到，(x + p)^2 = p^2 c。
4. 最后，我们对方程的两边取平方根，并且得到，x + p =±√(p^2 c)。
通过上面的步骤，我们就可以得到一元二次方程的根的表达式，x = -p ± √(p^2 c)。
这样，我们就成功地使用配方法解出了一元二次方程的根。
总之，配方法是一种简单而有效的方法，可以帮助我们迅速求解一元二次方程。
希望本文的介绍能够帮助大家更好地理解和掌握这种方法。
人教版九年级数学上册第22章《 二次函数：22.3.2 利用二次函数求实际中最值问题》
22.3 实际问题与二次函数
22.3.2 利用二次函数求实际中最值问题
第二十二章 二次函数
运用二次函数的代数模型表示实际问题时，实际 上是根据实际问题中常量与变量的关系，构造出 y=ax2+bx+c,y=a(x-h)2+k或y=a(x-x1)(x-x2)等二次函 数模型，为运用二次函数的性质解决实际问题奠定基 础.
第二十二章 二次函数
(2)在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考(1)的讨 论，自己写出答案．
解：设降价x元时利润最大， 则每星期可多卖20x件,实际卖出（300+20x）件， 销售额为（60-x)（300+20x）元，买进商品需付 40（300+20x）元， 因此，得利润 y=(60-x)(300+20x)-40(300+20x), 即y=-20x2+100x+6000(0≤x≤20）， 当x=2.5时，y最大， 也就是说，在降价的情况下，降价2.5元， 即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元.
分析：调整价格包括涨价和降价两种情况．我们先 来看涨价的情况．
第二十二章 二次函数
(1)设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变
化．我们先来确定y随x变化的函数解析式．涨价x元时，
每星期少卖_1_0_x__件，实际卖出(_3_0_0_－__1_0_x_)_件，销售额 为_(_6_0_＋__x_)_(_3_0_0_－__1_0_x_)元，买进商品需付_4_0_(_3_0_0_－__1_0_x_)
第二十二章 二次函数
【例1】某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日 租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增 加50元时，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各 项支出共4 800元．设公司每日租出x辆车，日收益为y 元，(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)． (1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为 (_1__4_0_0_－__5_0_x_)_(_0_≤__x_≤__2_0_)_元(用含x的代数式表示)； (2)求租赁公司日收益y(元)与每日租出汽车的辆数x之 间的函数关系式．
九年级数学第二十二章 一元二次方程华东师大版
第二十二章一元二次方程一、知识结构二、学习一元二次方程这章内容作用．一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中代数中占有重要的地位，在学习一元二次方程及有关的知识之前，我们已经掌握了实数与代数式的运算、一元一次方程、分式方程和一次方程组，掌握了这些内容，为学习一元二次方程奠定了基础，而且通过一元二次方程的学习，又对以前学过的数学知识加以巩固，同时一元二次方程也为今后学习指数方程、对数方程、函数等等打下基础，掌握了一元二次方程之后，对学习其它学科知识也有重要的意义．三、知识要点：1．关于一元二次方程：①元的个数是一个，方程是整式方程；②含有未知数的最高次项的次数是二次；③若方程有实数根，则解的个数一定是两个．2．关于配方法解一元二次方程：①首先将二次项系数变为1；②方程两边各加上一次项系数一半的平方，这是配方法的关键的一步，方程左边配成完全平方式，当右边是非负实数时，用开平方法即可求得方程的解．3．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：x=(b2-4ac0)4．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式：Δ=b2－4ac，其作用如下：(1)=b2-4ac>0方程有两个不相等的实数根(2)=b2-4ac=0方程有两个相等的实数根(3)=b2-4ac<0方程没有实数根5．列方程解应用题：（列举几种类型仅供参考）①有关数字问题；②有关增长率问题；③有关几何图形面积问题；④有关溶液、浓度、求容器体积问题；⑤有关行程问题、工作量问题．四、实践与探索：设x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根，x1+x2=-，x1 x2=，其作用如下：①能运用它由已知方程的一个根，求出另一个根及未知数的系数；②可以利用它求出两根的平方和、立方和、两根倒数和的平方等等；③利用x1+x2和x1·x2的关系可以解特殊的二元二次方程组；④利用根与系数关系判定两根的符号及方程各项系数的符号；⑤利用根与系数的关系，可以造出新的一元二次方程ax2+bx+c=a(x－x1)(x－x2)五、本章主要数学思想、方法．在数学中，使一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的思想称为转化的思想，有未知向已知的转化，复杂问题向简单问题的转化，实际问题向数学问题的转化，数与形的转化，一般与特殊的转化，不同的数学问题之间的转化等等．解决一些数学问题实质就是一个不断转化的过程．这样一些数学思想与数学方法与解题技巧在本章教学中有较多的体现．为了实现这些转化引入了许多数学方法．如本章中的降次法、换元法、配方法等．这里特别要指出的是，怎样转换？转换的结果如何？从而概括总结出一般规律，在学习这些重要方法时可以充分领略数学思想的风采，突出数学思想，提高数学素质，提高数学能力。
九年级数学上册第22章一元二次方程的解法2配方法pptx课件新版华东师大版
16 ． 将 代 数 式 x2 － 10x ＋ 5 配 方 后 ， 发 现 它 的 最 小 值 为 __－__2_0___．
第22章 一元二次方程
2．配方法
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新知笔记
1 见习题
2 完全平方式； 非负常数
1D 2B 3A
4C
5 见习题
答案显示
6 见习题 7A 8C 9D 10 见习题
11 见习题 12 D 13 A 14 A 15 181
答案显示
16 －20 17 1或－3
18 见习题
19 见习题
1．一元二次方程配方的方法：(1)当二次项系数为1时，方 程两边都加上___一__次__项__系__数__一__半_______的平方；(2)当二 次项系数不为1时，方程两边同时除以 ____二__次__项__系__数____，将二次项系数化为1后再配方．
4．用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的 是( C ) A．x2－2x＝5 B．x2－8x＝4 C．x2－4x＝3 D．x2＋2x＝5
5．【教材改编题】将下列各式配方：
(1)x2－4x＋___4___＝(x－__2____)2；
(2)x2＋12x＋__3_6___＝(x＋___6___)2；
(3)x2－
3 2
9
3
x＋___16___＝(x－___4___)2；
(4)x2＋2 2 x＋___2___＝(x＋____2__)2.
6．用配方法解方程： (1)【2021·厦门期末】x2－2x－5＝0；