数学北师大版八年级下册预习、学习单
《多边形内角和与外角和（一）》预习单
一、预习指南
1.课题名称：北师版八年级下数学《多边形内角和与外角和（一）》
2.达成目标：通过对四边形内角和的寻求和阅读教材，完成自主预习单规定的探求n边形内角和公式、正多边形内角及变形题目。
3.学习方法建议：
类比、转化、分割图形
二、学习任务
通过观看教材P153-154查阅资料自学，完成下列学习任务：
（一）、自主预习（5-10分钟）
（二）、完成预习单（10-15分钟）
1、复习旧知
（1）多边形定义：
（2）正多边形定义：。
（3）三角形内角和为。
（4）n边形有条边，个顶点，个内角；
n边形一个顶点出发有条对角线，可将其分成个三角形；
2、预习内容描述(写出例题或归纳主要内容)：
（1）
你能分别求出上述四边形、五边形、六边形的内角和分别是多少吗？（2） n边形内角和公式：。
3、我能行（基础题）
①、9边形内角和为。
②、一个多边形内角和为1260°，它是边形。
③、在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，则∠B与∠D是什么关系？（）
4、我试试（提高题）
①、正八边形每个内角为。
②、已知四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=3：4：5：6，分别求出每个角的度数。
③、一个多边形的各边相等，它的各内角一定相等吗？一个多边形的各内角相等，它的各边一定相等吗？为什么？
5、智慧飞翔
我的问题（学生提出新问题或学生预习时遇到的问题）
解答：
（三）、小组互帮，订正错误，评出预习之星（10-15分钟）
三、困惑与建议
《多边形内角和与外角和（一）》学习单
一、达成目标：
1、通过探究四边形、五边形、六边形的内角和，从而归纳出n边形内角和公式，并理解公式含义。
2、应用n边形内角和公式解答相关题目及变形应用公式。
3、通过对正多边形的准确认识，能求正多边形的内角度数。
二、学习方法建议：
小组合作、类比归纳
三、学习任务
通过观看教材查阅资料，自主合作完成下列学习任务：
1、（独立完成2分钟）请求出下列四边形的内角和，你是怎么做的？
（1）长方形内角和：（2）平形四边形内角和：（3）四边形内角和：
2、（小组合作完成10分钟）你能求出五边形、六边形的内角和吗？你是怎么想的？还有其它方法吗？（至少用两种）
（1）探求五边形内角和
作图：
（1）（2）（3）
算法：
（2）探求六边形内角和
作图：
（1）（2）（3）
算法：
3、（小组合作完成5分钟）请完成下列表格。
多边形边数图形从多边形一个顶
点引出对角线条
数分割出三
角形的个
数
多边形内角和
三角形
（n=3）
四边形
（n=4）
五边形
（n=5）
六边形
（n=6）
...... ...... ...... ...... ......
n边形
4、（小组合作完成5分钟）
(1)你能求出正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正n边形的内角分别是多少度吗？
(2)一个多边形剪去一个内角后，内角和为1800°，你能求出原多边形的边数吗？
5、想一想，通过学习你收获了什么，和同伴交流。
北师大版八年级下册数学[《三角形的证明》全章复习与巩固--知识点整理及重点题型梳理](基础)
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北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234a；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知：点D 是△ABC 的边BC 的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，且BF=CE ．求证：△ABC 是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵Ｄ是BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，,BF CE BDCD∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋?江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B ，∠Ｃ的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N ．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN ∥BC ，∴∠BOM=∠OBC ，∠CON=∠OCB ，∵∠B，∠Ｃ的平分线相交于点O，∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，∴∠MBO=∠BOM，∠NCO=∠CON，∴BM=OM，CN=ON，∵△AMN的周长为18，AN=AB+AC=18．∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE．【答案】证明：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴ BD=CE．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．（1）当∠Ａ满足什么条件时，点D恰为AB的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE≌△BDE，BC=BD，当点D恰为AB的重点时，AB=2BD=2BC，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED⊥AB，可证D为AB的中点；（2）在Rt△ADE中，根据∠Ａ及ED的值，可将AE、AD的值求出，又D为AB的中点，可得AB的长度，在Rt△ABC中，根据AB、∠Ａ的值，可将AC和BC的值求出，代入S△ABC=AC×BC 进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵Ｃ点折叠后与AB边上的一点D重合，∴BE平分∠CBD，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB，所以EB=EA；∵ED为△EAB的高线，所以ED也是等腰△EBA的中线，∴Ｄ为AB中点．（2）∵DE=1，ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2．在Rt△ＡDE中，根据勾股定理，得AD=22213，∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3．在Rt△ABC中，AC=22AB BC=3，∴Ｓ△ABC=12×AC×BC=332．【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OB的垂线，过点N作OA的垂线，垂足分别为C、D，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP就是∠AOB的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt△OCM与Rt△ODN中，依据ASA得出OC=OD;在Rt△ＯCP与Rt△ＯDP中，因为OP=OP，OC=OD得出Rt△ＯC P≌Rt△ＯDP（HL），所以∠C OP=∠DOP，即OP平分∠AOB．②可作出两个直角三角形，利用HL定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt△OCM和Rt△ODN中，COM DONOCM ODNOM ON∴△OCM≌△ODN（AAS），∴OC=OD，在△OCP与△ODP中，∵,OC OD OPOP∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt △OCE 与Rt △OD E 中，∵OC OD OEOE，∴Rt △OCE ≌Rt △ODE （HL ），∴∠EOC=∠EOD ，∴OE 为∠AOB 的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD 是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋?麻城市校级期中）如图所示：在△ABC 中，AB ＞BC ，AB=AC ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为D ，交AC 于E ．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC 的度数；（2）若△ABC 的周长为41cm ，边长为15cm ，△BCE 的周长．【思路点拨】（1）由DE 是AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE ，继而求得∠Ａ的度数，又由AB=AC ，即可求得∠ABC 的度数，则可求得答案；（2）由△BCE 的周长=AC+BC ，然后分别从腰等于15cm 与底边等于15cm 去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，；∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5.（2016秋?兴化市期中）已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．【思路点拨】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PM，同理可得PM=PN，从而得到PD=PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【答案与解析】证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，∵BE平分∠ABC，点P在BE上，∴PD=PM，同理，PM=PN，∴PD=PN，∴点P在∠A的平分线上．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。
直角三角形(1)八年级数学下册同步备课系列(北师大版)
=
c2+4
1 2
ab
，
c
b a2+2ab+b2 = c2+2ab，
a
∴a2+b2=c2.
讲授新课
2．赵爽弦图
大正方形的面积可以表示为 c2 ；
也可以表示为
4
1 2
ab
+(b－a．)2
c a
b
b
b
b
c
c
∵ c2= 4 1 ab +(b－a)2，
2
c2 =2ab+b2－2ab+a2， c2 =a2+b2， ∴ a2+b2=c2.
观察上面两个定理,它们的条件与结论之间有怎样的关系?
讲授新课
再观察下面三组命题: 如果两个角是对顶角,那么它们相等, 如果两个角相等,那么它们是对顶角; 如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧, 如果小明发烧,那么他一定患了肺炎; 三角形中相等的边所对的角相等, 三角形中相等的角所对的边相等. 上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类似 的关系吗?与同伴进行交流.
解：原式可化为： a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0 (a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0 a=5,b=12,c=13. a2+b2=c2 ∴△ABC是直角三角形
当堂检测
16.指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题.
(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个 锐角互余.
4. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( A )
A.3,4,5
B.2,3,4
C.4,6,7
北师大版2020-2021学年度八年级数学下册1.1等腰三角形自主学习同步练习题3(含答案)
北师大版2020-2021学年度八年级数学下册1.1等腰三角形自主学习同步练习题3（含答案）1．等腰△ABC中，它的底角∠B＝70°，则顶角∠A的度数为（）A．70°B．30°C．40°D．60°2．等腰三角形的一个内角是70°，则它顶角的度数是（）A．70°B．70°或40°C．70°或50°D．40°3．如图所示，△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，若∠A＝50°，则∠BDE的度数是（）A．65°B．50°C．30°D．25°4．如图，△ABC中，DE垂直平分AB，垂足为D，交BC于E，若∠B＝32°，AC＝CE，则∠C的度数是（）A．52°B．55°C．60°D．65°5．等腰三角形其中两条边的长度为5和11，则该等腰三角形的周长为（）A．21B．27C．21或32D．21或276．如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为15，则OE+OF的值为（）A．5B．7.5C．9D．107．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD：OE：OF＝1：4：4，则AO的长度为（）A．10B．9C．D．第3题第4题第6题第7题8．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DA＝DE，DB＝BE＝EC．若∠ABC＝130°，则∠C的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD，若∠BAD＝55°，∠B＝50°，则∠DEC的度数为（）A．125°B．120°C．115°D．110°10．如图，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，则∠BGH＝（）A．50°B．60°C．70°D．80°11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线m∥n，顶点C在直线n上，直线m 交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝150°，则∠2的度数是（）A．45°B．40°C．35°D．30°12．如图所示，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC于F，连接BF，∠A＝50°，AB+BC＝16cm，则△BCF的周长和∠E分别等于（）A．16cm，25°B．8cm，30°C．16cm，40°D．8cm，25°第9题第10题第11题第12题13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是45°，则这个三角形的底角为（）A．67°31′B．22°30′C．67°30′D．22°30′或67°30′14．如图，在△ABC中，D，E是BC边上两点，且满足AB＝BE，AC＝CD，若∠B＝α，∠C＝β，则∠DAE的度数为（）A．B．C．D．15．如图，在等腰△ABC中，顶角∠A＝44°，BD平分底角∠ABC交AC于点D，E是BC 延长线上一点，且CD＝CE，则∠E的度数为（）A．22°B．44°C．34°D．68°16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BC＝15，DE ＝6，则CE的长为（）A．3.5B．4.5C．5D．5.5第14题第15题第16题17．如图，等腰△ABC中，点P是底边BC上的动点（不与点B，C重合），过点P分别作AB、AC的平行线PM、PN，交AC、AB于点M、N，则下列数量关系一定正确的是（）A．PM+PN＝AB B．PM+PN＝BCC．PM+PN＝2BC D．PM+PN＝AB+BC18．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为（）A．17cm B．5cm C．5cm或17cm D．无法确定19．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线，那么图中的等腰三角形有（）A．2个B．3个C．4个D．5个21．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，若C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为一腰的等腰三角形时，点C的个数是（）A．8B．6C．4D．722．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y 轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A．6个B．7个C．8个D．9个23．如图所示的方格纸中，每个方格均为边长为1的小正方形，我们把每个小正方形的顶点称为格点，现已知A、B、C、D都是格点，则下列结论中正确的是（）A．△ABC、△ABD都是等腰三角形B．△ABC、△ABD都不是等腰三角形C．△ABC是等腰三角形，△ABD不是等腰三角形D．△ABC不是等腰三角形，△ABD是等腰三角形24．等腰三角形的周长为16，且边长为正整数，则底边长为．25．如图，在△ABC中，AE＝DE＝BD，AD＝EC，∠1＝17°，则∠EBC的度数是．26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．（1）求证：∠AEC＝∠ACE；（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．27．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）28．在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H，①求证：△APF是等腰三角形；②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．29．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C 重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．参考答案1．解：根据题意∠C＝∠B＝70°，∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：C．2．解：本题可分两种情况：①当70°角为底角时，顶角为180°﹣2×70°＝40°；②70°角为等腰三角形的顶角；因此这个等腰三角形的顶角为40°或70°．故选：B．3．解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠B＝∠C＝65°，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∴∠BDE＝90°﹣∠B＝25°．故选：D．4．解：连结AE，∵△ABC中，DE垂直平分AB，∠B＝32°，∴∠BED＝58°，∴∠AED＝58°，∴∠AEC＝64°，∴∠C＝180°﹣64°×2＝52°．故选：A．5．解：若5为腰长，则三边为5，5，11，∵5+5＜11，∴5，5，11不能构成三角形，若11为腰长，则三边为5，11，11，∵5+11＞11，∴等腰三角形的周长为5+11+11＝27，故选：B．6．解：连接AO，如图，∵AB＝AC＝6，∴S△ABC＝S△ABO+S△AOC＝AB•OE+AC•OF＝15，∵AB＝AC，∴AB（OE+OF）＝15，∴OE+OF＝5．故选：A．7．解：连接AO，OB，OC，∵O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD：OE：OF＝1：4：4，∴O在∠BAC的角平分线上，∵AB＝AC，∴AO过D，且AD⊥BC，∵BC＝12，∴BD＝CD＝6，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝＝＝8，即BD＝8，设OD＝x，则OE＝OF＝4x，∵S△ABC+S△OBC＝S△ABO+S△ACO，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，∴＝+，∴＝，解得：x＝，即OD＝，∴AO＝AD+OD＝8+＝，故选：D．8．解：设∠C＝x，根据等腰三角形的性质得∠EBC＝x，则∠DBE＝130°﹣x，根据等腰三角形的性质得∠EDB＝25°+x，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得∠A＝12.5°+x，依题意有12.5°+x+x+130°＝180°，解得x＝30°．故选：D．9．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝50°，∴∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∵∠BAD＝55°，∴∠DAE＝25°，∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝115°．故选：C．10．解：∵OC＝CD，∴∠CDO＝∠O＝10°∴∠DCE＝∠O+∠CDO＝20°，∵CD＝DE，∴∠DCE＝∠CED＝20°，∴∠EDF＝∠O+∠CED＝30°，∵DE＝EF，∴∠EDF＝∠EFD＝30°，同理∠GEF＝∠EGF＝40°，∠GFH＝∠GHF＝50°，∠BGH＝60°，故选：B．11．解：∵AB＝AC，且∠A＝30°，∴∠ACB＝75°，在△ADE中，∵∠1＝∠A+∠AED＝150°，∴∠AED＝150°﹣30°＝120°，∵m∥n，∴∠AED＝∠2+∠ACB，∴∠2＝120°﹣75°＝45°，故选：A．12．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∠BDE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠ABC＝25°，∵AB+BC＝16cm，∴△BCF的周长为：BC+CF+BF＝BC+CF+AF＝BC+AC＝BC+AB＝16cm．故选：A．13．解：有两种情况；（1）如图，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，则∠ADB＝90°，已知∠ABD＝45°，∴∠A＝90°﹣45°＝45°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣45°）＝67.5°；（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE＝90°，已知∠HFE＝45°，∴∠HEF＝90°﹣45°＝45°，∴∠FEG＝180°﹣45°＝135°，∵EF＝EG，∴∠EFG＝∠G＝×（180°﹣135°）＝22.5°，故选：D．14．解：∵BE＝BA，∴∠BAE＝∠BEA，∴α＝180°﹣2∠BAE，①∵CD＝CA，∴∠CAD＝∠CDA，∴β＝180°﹣2∠CAD，②①+②得：α+β＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD）∴α+β＝360°﹣2[（∠BAD+∠DAE）+（∠DAE+∠CAE）]＝360°﹣2[（∠BAD+∠DAE+∠CAD）+∠DAE]＝360°﹣2（∠BAC+∠DAE），∵∠BAC＝180°﹣（α+β），∴α+β＝360°﹣2[180°﹣（α+β）+∠DAE]∴α+β＝2∠DAE，∴∠DAE＝（α+β），故选：A．15．解：∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠A＝44°，∴∠ABC＝∠ACB＝＝68°，∵CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝68°，∴∠E＝34°，故选：C．16．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∵BC＝15，DE＝6，∴BD+CE＝9，∴CE＝4.5，故选：B．17．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵PN∥AC，∴∠BPN＝∠C＝∠B，∴PN＝BN，∵PM∥AB，PN∥AC，∴四边形AMPN是平行四边形，∴PM＝AN，∴PM+PN＝AN+BN＝AB，故选：A．18．解：设等腰三角形的腰长是xcm，底边是ycm．根据题意，得：或，解得或．再根据三角形的三边关系知：8，8，17不能组成三角形，应舍去．所以它的底边长是5cm．故选：B．19．解：∵AC＝BC，∠C＝36°，∴△ABC是等腰三角形，∠BAC＝∠ABC＝72°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝∠C＝36°∴△CAD为等腰三角形，∵∠BDA＝∠C+∠CAD＝72°＝∠B，∴△BAD为等腰三角形，∴则图中等腰三角形的个数是3个．故选：C．20．解：共有5个．（1）∵AB＝AC∴△ABC是等腰三角形；（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；（3）∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，又BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠ABC＝36°＝∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．故选：D．21．解：如图，以AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：C．22．解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）；②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）．③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8；∴符合条件的点有8个．故选：C．23．解：由图可得，AC＝BC＝，AD＝BD＝5，∴△ABC、△ABD都是等腰三角形，故选：A．24．解：由题意得：2x+y＝16，∵三角形的两边之和大于第三边，∴符合条件的三角形有：腰长为5，底边为6；腰长为6，底边为4；腰长为7，底边为2；∴底边长为2，4，6，故答案为：2或4或6．25．解：∵BD＝DE，∴∠DEB＝∠1＝17°，∴∠ADE＝∠1+∠DEB＝34°，∵AE＝DE，∴∠A＝∠ADE＝34°，∵BD＝AE，AD＝CE，∴AD+BD＝CE+AE，即AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝73°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠1＝56°，故答案为：56°．26．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，即∠AEC＝∠ACE；（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，∴∠B＝∠BCE，又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．27．证明：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图所示．∵DG∥AC，∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB．在△GDF和△CEF中，，∴△GDF≌△CEF（ASA），∴GD＝CE．∵BD＝CE，∴BD＝GD，∴∠B＝∠DGB＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．28．①证明：∵EF∥AD，∴∠1＝∠4，∠2＝∠P，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠4＝∠P，∴AF＝AP，即△APF是等腰三角形；②AB＝PC．理由如下：证明：∵CH∥AB，∴∠5＝∠B，∠H＝∠1，∵EF∥AD，∴∠1＝∠3，∴∠H＝∠3，在△BEF和△CDH中，∵，∴△BEF≌△CDH（AAS），∴BF＝CH，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠H，∴AC＝CH，∴AC＝BF，∵AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，∴AB＝PC．29．解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°；小．（2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°，∴∠EDC＝∠DAB．，∵∠B＝∠C，∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，（3）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，∵∠AED＞∠C，∴此时不符合；②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．。
北师大版｜八年级数学下册知识点归纳总结，预习必备
北师大版｜八年级数学下册知识点归纳总结，预习必备寒假是大家学习预习和查缺补漏。
逆袭反超的大好时机。
唐老师给大家准备了北师大版八年级下的各章节的知识要点，这部分知识大家在预习新课的时候可以先看一看，它主要的考点和内容都在这里。
初中阶段寒假假期并不是全部都是休息的时间，要合理地安排好自己的学习和休息时间，才能在假期的时候不至于只是为了玩而落下学习。
我们学习的过程当中遇到的这些定理和推论给大家做题提供了一些思路和方法。
大家是否能运用熟练，还要靠大家去把它运用到相应的题目当中。
寒假新课重难点预习，大家除了对知识点有一定的了解和能够完成基本的题题型的前提下，一定要对这些定理和推论，进行深入的了解。
比如说，一个定理，他在什么情况下能够运用推论用什么情况才能运用？这些都是我们需要理清楚的问题，只有思考明白了这些问题，那么大家在做题的时候，才能够在第一时间连接到这些知识考点，解题思路才会更加的清晰。
因式分解这个章节基本上是计算偏多的章节对于你是否能熟练地计算，那么不仅是公式的运用，而且对于每一种一是分解的方法都要进行变式的训练，否则当题目稍微有变动的时候，很多同学都会措手不及。
对于分式方程中增根的问题，唐老师在之前的视频中也多次提到，那么大家在学习的时候如有遇到困难可以去翻看之前唐老师发过的有关增根的解题方法和解题的技巧。
写在最后:学习是自己的事情，学习好不好，学习有没有压力，学习困不困难，只有自己最清楚。
恰巧寒假假期相对于平时的休息时间来说还是比较充裕，所以大家一定要利用好这个时间段，不仅要做好查缺补漏，还且对于下学期要学习的重点和难点的章节先进行预习；这样到课堂上的时候，自己的听课效率和学习的效率才会有所提高，缓解自己的学习压力，这样分配才能学习更加的轻松。
数学北师大版八年级下册分式方程增根问题专题
专题——分式方程中增根问题一、学习目标:(1分钟)1.巩固解分式方程的方法；2.掌握增根有关题型的解题方法；3.利用分式方程根求参数问题。
二、自学指导1:(6分钟) 根据分式方程解的情况确定字母系数 问题：有增根的方程关于为何值时当23422,2+=-+-x x mx x x m变式1、无解的方程关于为何值时当23422,2+=-+-x x mx x x m自学检测1:(6分钟) 根据分式方程解的情况确定字母系数1.解关于x 的方程 113-=--x mx x 产生增根,则常数m 的值等于()A.-2B.-1C.1D.22.使分式方程 3232-=--x m x x产生增根，m 的值为______3、当k=____时,分式方程 有增根. 0111=+--+-x xx k x x三、自学指导2:(4分钟) 已知分式方程根的符号，求字母的取值范围 例题1.若分式方程 的解是正数，求a 的取值范围方法总结：1.化整式方程求根。
但是不能是增根2.根据题意列不等式组.自学检测2:(8分钟)1.若关于x 的分式方程 的解为正数，求a 的取值范围。
变式1：已知关于x 的分式方程 的解是非正数，求a 的取值范围变式2：若关于x 的分式方程 的解为负数，求a 的取值范围。
1-=x 有增根 那么k 的值为=______122-=-+x a x 11x a2x =-+112-=++x a )3)(2(321+-+=+--+x x a x x x x x 4.若分式方程 x x k x x x k +-=----2225111变式3：已知关于x 的方程 解为正数，求m 的取值范围四、当堂训练（8分钟） 1.当k 为何值时,分式方程x x x k x x 3)1(16--+=- （1）有增根（2）有非负解2. .当m 为何值时,方程 会产生增根.3如果 有增根, 试求此增根323-=--x m x x 225111m x x x +=+--223242k x x x +=--+选做练习一1．如果方程有增根，那么m 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无解2．若关于x 的分式方程+=2有增根，则m 的值是（ ）A ．m=﹣1B ．m=0C ．m=3D ．m=0或m=33．已知分式方程=1的解是非负数，则m 的值是（ ）A ．m≤﹣1B ．m≤﹣1且m≠﹣2C ．m≥﹣1D ．m≥﹣1且m≠24．若分式方程﹣1=无解，则m=（ ）A ．0和3B ．1C ．1和﹣2D ．35．已知关于x 的分式方程3111m x x +=--的解是非负数，则m 的取值范围是___ ．6．若关于x 的分式方程233x m m x x -=--无解，则m 的值为 ．7．若分式方程：有增根，则k= ．8．若关于x 的分式方程无解，则m 的值是 ．9．已知关于x 的分式方程的解是正数，则x 的取值范围是 ．10．当m= 时，关于x 的方程=2﹣无解．。
北师大版2020-2021学年度八年级数学下册1.1等腰三角形自主学习同步练习题2(含答案)
北师大版2020-2021学年度八年级数学下册1.1等腰三角形自主学习同步练习题2（含答案）1．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F．（1）当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？并证明；（2）过点C作AB边上的高CG，试猜想DE，DF，CG的长之间存在怎样的等量关系？（直接写出你的结论）2．在△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．3．如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若折叠后∠AGC′＝48°，AD交EC′于点G．（1）求∠CEF的度数；（2）求证：△EFG是等腰三角形．4．请在图中画出三个以AB为腰的等腰△ABC．（要求：1．锐角三角形，直角三角形，钝角三角形各画一个；2．点C在格点上．）5．如图，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s 的速度向终点B匀速运动；动点Q从点B出发，沿BC以1cm/s的速度向终点C匀速运动；两点同时出发多少秒时，△PBQ是等腰三角形？6．如图，已知在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝40°，EF是线段AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD．求证：△ADC是等腰三角形．7．如图的直角△ABC中，∠BAC＝90°，AF⊥BC于点F，BD平分∠ABC交AF于点E，交AC于点D，试判定△ADE的形状并说明理由．8．已知：如图，△ABC中，BC边上有D、E两点，∠BAD＝∠CAE，∠ADE＝∠AED，求证：△ABC是等腰三角形．9．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E．那么△ADE是等腰三角形吗？请说明理由．10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C 重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．11．已知一个等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，那么该等腰三角形的周长为（）A．8cm B．10cm C．8cm或10cm D．不能确定12．等腰三角形两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长为（）A．18B．21C．20D．18或2113．在所给网格中，以格点（网格线的交叉点）A、B连线为一边构造格点等腰三角形ABC，则符合的点C的个数是（）A．6B．7C．8D．914．线段AB在如图所示的8×8网格中（点A、B均在格点上），在格点上找一点C，使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，则所有符合条件的点C的个数是（）A．4B．5C．6D．715．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（）A．8个B．7个C．6个D．5个16．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，∠ADE ＝∠AED，∠EDC＝20°，则∠BAD为（）度．A．20B．30C．35D．4017．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝64°，则∠C的度数为（）A．30°B．32°C．40°D．48°18．如图，已知OC＝CD＝DE，且∠BDE＝72°，则∠CDE的度数是（）A．63°B．65°C．75°D．84°19．已知：如图∠BAC＝69°，BD＝AD＝AC，则∠DAC的度数为（）A．32°B．40°C．52°D．36°20．如图，∠ACD＝120°，AB＝BC＝CD，则∠A等于（）A．10°B．15°C．20°D．30°21．如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若AB＝AC，AD＝AE，则（）A．当β为定值时，∠CDE为定值B．当α为定值时，∠CDE为定值C．当γ为定值时，∠CDE为定值D．无法确定22．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥AB，交BC于点D．设∠ADB＝α，∠CAD ＝β，则下列结论正确的是（）A．3α+β＝180°B．2α+β＝180°C．3α﹣β＝90°D．2α﹣β＝90°23．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝80°，AD＝AE．则∠CDE＝（）A．10°B．20°C．30°D．40°24．如图，AB＝AC，∠BAD＝α，且AE＝AD，则∠EDC的度数等于（）A．B．αC．90°﹣D．90°﹣α25．如图，直线PQ上有一点O，点A为直线外一点，连接OA，在直线PQ上找一点B，使得△AOB是等腰三角形，这样的点B最多有个．26．如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝45°，当∠A＝时，△AOP为等腰三角形．27．如图，已知点P是射线BM上一动点（P不与B重合），∠AOB＝30°，∠ABM＝60°，当∠OAP＝时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形．28．如图，AC＝BC，∠C＝36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形（不含△ABC）的个数是．29．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝∠B，AB＝2cm，点P从点B开始以1cm/s 的速度向点C移动，当△ABP要以AB为腰的等腰三角形时，则运动的时间为．30．如图所示，在△ABC中，AB＝18cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当三角形APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是．31．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A 运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是秒．32．已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为．参考答案1．解：（1）当点D在BC的中点上时，DE＝DF，证明：∵D为BC中点，∴BD＝CD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，∵在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF．（2）CG＝DE+DF证明：连接AD，∵S三角形ABC＝S三角形ADB+S三角形ADC，∴AB×CG＝AB×DE+AC×DF，∵AB＝AC，∴CG＝DE+DF．2．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝30°，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠EDC＝15°．（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝40°，∴∠BAD＝∠CAD＝40°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝70°，∴∠EDC＝20°．（3）∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）（4）仍成立，理由如下∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC ＝2∠EDC+∠C又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C∴∠BAD＝2∠EDC．故分别填15°，20°，∠EDC＝∠BAD3．1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BEG＝∠AGC'＝48°，由折叠的性质得：∠CEF＝∠C'EF，∴∠CEF＝（180°﹣48°）＝66°；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠CEF，由折叠的性质得：∠CEF＝∠C'EF，∴∠GFE＝∠C'EF，即△EFG是等腰三角形．4．解：如图所示：5．解：设两点同时出发x秒时，△PBQ是等腰三角形，∵长方形ABCD，∴∠B＝90°，∵△BPQ是等腰三角形，∴BP＝BQ，∴12﹣2x＝x，解得：x＝4，即两点同时出发4秒时，△PBQ是等腰三角形．6．证明：∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝20°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝20°+20°＝40°，∵∠C＝40°，∴∠ADC＝∠C，∴AD＝AC，即△ADC是等腰三角形．7．解：△ADE是等腰三角形．理由如下：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠BAC＝90°，AF⊥BC，∴∠ABD+∠BDA＝90°，∠CBD+∠BEF＝90°，∴∠BDA＝∠BEF，∵∠AED＝∠BEF（对顶角相等），∴∠BDA＝∠AED，∴AD＝AE．故△ADE是等腰三角形．8．证明：∵∠ADE＝∠AED，∠BAD＝∠CAE，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．9．答：△ADE是等腰三角形，理由如下：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2，∵DE∥AB，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AE＝DE，∴△ADE是等腰三角形．10.解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°；小．（2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°，∴∠EDC＝∠DAB．，∵∠B＝∠C，∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，（3）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，∵∠AED＞∠C，∴此时不符合；②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．11．解：当4cm的边长为腰时，三角形的三边长为：4cm、4cm、2cm，满足三角形的三边关系，其周长为4+2+4＝10（cm），当2cm的边长为腰时，三角形的三边长为：2cm、2cm、4cm，此时4＝2+2，不满足三角形的三边关系，所以此时不存在三角形，故选：B．12．解：当8的边长为腰时，三角形的三边长为：8、8、5，满足三角形的三边关系，其周长为8+8+5＝21，当5的边长为腰时，三角形的三边长为：5、8、5，满足三角形的三边关系，其周长为8+5+5＝18，故选：D．13．解：如图：故选：C．14．解：如图所示：使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，所以所有符合条件的点C的个数是6个．故选：C．15．解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；∴这样的顶点C有8个．故选：A．16．解：∵∠AED＝∠C+∠EDC＝∠C+20°，∠ADE＝∠AED，∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝∠C+40°．又∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠C，∴∠C+40°＝∠BAD+∠C，∴∠BAD＝40°．故选：D．17．解：∵△ABD中，AB＝AD，∠B＝64°，∴∠B＝∠ADB＝64°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝116°，∵AD＝CD，∴∠C＝（180°﹣∠ADC）÷2＝（180°﹣116°）÷2＝32°，故选：B．18．解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝72°，∴∠ODC＝24°，∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝108°，∴∠CDE＝108°﹣∠ODC＝84°．故选：D．19．解：∵DB＝DA，∴∠B＝∠BAD，∵DA＝CA，∴∠ADC＝∠C，而∠ADC＝∠B+∠BAD＝2∠B，∴∠C＝2∠B，∵∠BAC＝69°，∴∠C+∠B＝3∠B＝111°，∴∠B＝37°，∴∠DAC＝180°﹣2∠ADC＝180°﹣37°×4＝32°．故选：A．20．解：∵AB＝BC，∴∠A＝∠ACB，∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∴∠DBC＝2∠A，∵BC＝CD，∴∠D＝∠DBC＝2∠A，∵∠ACD＝120°，∴∠A+∠D＝∠A+2∠A＝180°﹣120°＝60°，∴∠A＝20°，故选：C．21．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，又∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+∠α，∠AED＝∠C+∠CDE，∴∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD＝∠B+∠α，即∠C+∠CDE+∠CDE＝∠B+∠α，∴2∠CDE＝∠α，∴∠CDE＝∠α．即当∠α为定值时，∠CDE为定值，故选：B．22．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD⊥AB，∴∠DAB＝90°，∵∠ADB＝α，∴∠B＝∠C＝90°﹣α，∵∠CAD＝β，∴α＝β+90°﹣α，∴2α﹣β＝90°．故选：D．23．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝80°，∴∠CAD＝∠BAD＝40°，∠ADC＝90°，又∵AD＝AE，∴∠ADE＝＝70°，∴∠CDE＝90°﹣70°＝20°．故选：B．24．解：设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，∴∠AED＝∠EDC+∠C＝x+y，又∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝x+y，则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y，又∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∴2x+y＝y+α，解得x＝．∴∠EDC＝．故选：A．25．解：如图所示，分别以A、O为圆心，AO长为半径画弧，与直线PQ的交点B1，B2，B3符合题意；作AO的垂直平分线，与直线PQ的交点B4符合题意，若B2，B3，B4不重合，则最多有4个．故答案为：4．26．解：若△AOP为等腰三角形则有AO＝AP、AO＝OP和OP＝AP三种情况，①当AO＝AP时，则有∠O＝∠APO＝45°，∴∠A＝90°；②当AO＝OP时，则∠A＝∠APO＝＝67.5°；③当OP＝AP时，则∠A＝∠AON＝45°，综上可知∠A为45°或67.5°或90°，故答案为：45°或67.5°或90°．27．解：分为以下5种情况：①OA＝OP，∵∠AOB＝30°，OA＝OP，∴∠OAP＝∠OP A＝（180°﹣30°）＝75°；②OA＝AP，∵∠AOB＝30°，OA＝AP，∴∠APO＝∠AOB＝30°，∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣30°＝120°；③AB＝AP，∵∠AOM＝60°，AB＝AP，∴∠APO＝∠ABM＝60°，∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣60°＝90°；④AB＝BP，∵∠ABM＝60°，AB＝BP，∴∠BAP＝∠APO＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣60°＝90°；⑤AP＝BP，∵∠ABM＝60°，AP＝BP，∴∠ABO＝∠P AB＝60°，∴∠APO＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣60°＝90°；所以当∠OAP＝75°或120°或90°时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形，故答案为：75°或120°或90°．28．解：由图可知，∵AC＝BC，∠C＝36°，∴∠BAC＝∠ABC＝72°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝∠C＝36°∴△CAD为等腰三角形，∵∠BDA＝∠C+∠CAD＝72°＝∠B，∴△BAD为等腰三角形，∴则图中等腰三角形（不含△ABC）的个数是2个．故答案为2．29．解：当AB＝AP时，点P与点C重合，如图1所示，过点A作AD⊥BC于点D，∵∠B＝30°，AB＝2cm，∴BD＝AB•cos30°＝2×＝3cm，∴BC＝6cm，即运动的时间6s；当AB＝BP时，∵AB＝2cm，∴BP＝2cm，∴运动的时间2s．故答案为：2s或6s．30．解：设运动的时间为x，在△ABC中，AB＝18cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝18﹣3x，AQ＝2x，即18﹣3x＝2x，解得x＝3.6．故答案为：3.6s．31．解：设运动的时间为x，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x即20﹣3x＝2x，解得x＝4．故答案为：4．32．解：如图，有三种情形：①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，故答案为70°或40°或20°。
北师大版八年级下册数学习题课件5.4分式方程第3课时分式方程的应用
知识点
4．【2020·孝感】某电商积极响应市政府号召，在线销售甲、乙、 丙三种农产品，已知 1 kg 乙产品的售价比 1 kg 甲产品的售价 多 5 元，1 kg 丙产品的售价是 1 kg 甲产品售价的 3 倍，用 270 元购买丙产品的数量是用 60 元购买乙产品数量的 3 倍． (1)求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元．
BS版八年级下
第五章 分式与分式方程
5.4 分式方程 第3课时 分式方程的应用
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解：设乙店的利润为 w 元． 由题意得 w＝(180－130)a＋(180×0.9－130)b＋(180×0.7－ 130)(150－a－b)＝54a＋36b－600＝54a＋36×1502－a－600＝36a ＋2 100.∵乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，
知识点
∴a≤b，即 a≤1502－a，解得 a≤50. ∵w 随 a 的增大而增大， ∴当 a＝50 时，w 取得最大值，此时 w＝36×50＋2 100＝3 900. 答：乙店利润的最大值是 3 900 元．
知识点
解：设甲种货车每辆车可装 x 件帐篷，乙种货车每辆车可装 y 件 帐篷，依题意有x1＝0x0y0＋＝2800y，0，解得xy＝＝8100.0，
经检验，xy＝＝81000，是原方程组的解，且符合题意． 答：甲种货车每辆车可装 100 件帐篷，乙种货车每辆车可装 80
件帐篷．
北师大版2020八年级数学下册第三章图形的平移与旋转自主学习基础达标测试题1(附答案)
北师大版2020八年级数学下册第三章图形的平移与旋转自主学习基础达标测试题1（附答案）1．下列说法正确的是（ ）A ．平移不改变图形的形状和大小，而旋转改变图形的形状和大小B ．在平面直角坐标系中，一个点向右平移2个单位，则纵坐标加2C ．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分D ．在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行2．将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“69”旋转180°，得到的数字是（ ）A ．96B ．69C ．66D ．993．如图，A 、B 的坐标分别为()0,1-，()2,0-.若将线段AB 平移至11A B ，则a b +的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．54．下图所示的四个汽车标志图案中，不能用平移或旋转变换来分析其形成过程的图案是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．正五角星B ．等腰梯形C ．平行四边形D ．矩形6．如图，在平面直角坐标系中，已知点B 、C 的坐标分别为点B （﹣3，1）、C （0，﹣1），若将△ABC 绕点C 沿顺时针方向旋转90°后得到△A 1B 1C ，则点B 对应点B 1的坐标是（ ）7．已知点P（﹣4，3）关于原点的对称点坐标为（）A．（4，3）B．（﹣4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（4，﹣3）8．在平面直角坐标系中，将点P（﹣2，1）向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P′的坐标是（）A．（2，4）B．（1，5）C．（1，-3）D．（-5，5）9．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．下列图形中是中心对称图形的是（）．A．B．C．D．11．如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），使得点B、A、C′在同一直线上，则α=______．12．如图，在平面直角坐标系内，点P（a，b）为△ABC的边AC上一点，将△ABC先向左平移2个单位，再作关于x轴的轴对称图形，得到△A′B′C'，则点P的对应点P'的坐标为_____．13．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（32，0），B（0，2），则点B2016的坐标为__________________．14．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的直角顶点在x 轴上，顶点B 在y 轴上，顶点C 在函数8y x=（x ＞0）的图象上，且BC ∥x 轴．将△ABC 沿y 轴正方向平移，使点A 的对应点A '落在此函数的图象上，则平移的距离为 ．15．如图，Rt △COD 逆时针旋转后与△AOB 重合，若∠AOD ＝125°，则旋转角度为_______．16．如图，A （4，0），B （0，2），将线段AB 绕原点O 顺时针旋转90°，线段AB 的中点C 恰好落在抛物线y=ax 2上，则a=_____．17．如图，Rt BAO V 的直角边OA 在y 轴上，点B 在第一象限内，3OA =，1AB =，若将OAB V 绕点O 按顺时针方向旋转90o ，则点B 的对应点的坐标是________．18．将等边三角形绕其对称中心O 旋转后，恰好能与原来的等边三角形重合，那么旋转的角度至少是_____．19．如图，将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A ′B ′C ′，若∠B ＝60°，则∠1＝_____．20．如图，三角板ABC 中，90ACB ∠=o ，30B o ∠=，23AC =，三角板绕直角顶点C 逆时针旋转，当点A 的对应点'A 落在AB 边的起始位置上时即停止转动，则点B 转过的路径长为________（结果保留π）．21．已知，点P 是等边ABC V 内一点，4PA =，3PB =，5PC =．线段AP 绕点A 逆时针旋转60o 到AQ ，连接PQ ．() 1求PQ 的长．() 2求APB ∠的度数．22．如图，在正方形ABCD 中，AD=2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上点F 处，点C 落在点A 处．再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连接EF ，CG ．（1）求证：EF ∥CG ；（2）求点C ，点A 在旋转过程中形成的»AC ，»AG 与线段CG 所围成的阴影部分的面积．23．如图，正方形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到AF，连接EF，交对角线BD于点G，连接AG．（1）根据题意补全图形；（2）判定AG与EF的位置关系并证明；（3）当AB=3，BE=2时，求线段BG的长．24．在直角坐标平面里，梯形ABCD各顶点的位置如图所示，图中每个小正方形方格的边长为1个单位长度．（1）求梯形ABCD的面积；（2）如果把梯形ABCD在坐标平面里先向右平移1个单位，然后向下平移2个单位得到梯形A1B1C1D1，求新顶点A1，B1，C1，D1的坐标．25．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，62，26．（2016宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣1），B （3，﹣3），C（0，﹣4）（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2．27．如图，在8×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A、B、C、O在格点上．（1）将△ABC向左平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1，点A的对应点是A1；（2）△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC关于点O成中心対称，点A的对应点是A228．在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 交y 轴于A 点，交x 轴于B 点，()()0660A B ，，， ()()0660A B ，，， .()1已知点()46D ，，写出点D 关于直线AB 对称的点的坐标；()2现在一直角三角板的直角顶点放置于AB 的中点C ，并绕C 点旋转，两直角边分别交x 轴、y 轴于N 、(M 如图)两点，求证：CM CN =；()3若E 是线段OB 上一点，67.5AEO OF AE ∠=⊥o ，于G ，交AB 于F ，求GE AE OF-的值．参考答案1．C【解析】【分析】根据平移和旋转的性质，以及中心对称的性质，对选项进行一一分析，排除错误答案．【详解】平移不改变图形的形状和大小，而旋转也不改变图形的形状和大小，故不正确；在平面直角坐标系中，一个点向右平移2个单位，则横坐标加2，故不正确；在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分，故正确；在平移图形中，对应角相等，对应线段相等且平行，但是在旋转图形中，对应角相等，对应线段相等但不一定平行，故不正确.故选：C.【点睛】要根据平移和旋转的定义来判断．（1）在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动成为平移；（2）旋转就是物体绕着某一点或轴运动．平移和旋转的共同点是改变图形的位置．2．B【解析】现将数字“69”旋转180°，得到的数字是：69，故选B．3．A【解析】【分析】利用A点坐标为（0，﹣1），A1点坐标为（3，b）可得到线段AB向右平移3个单位至A1B1；利用B点和B1点坐标得到线段AB向上平移2个单位至A1B1，则根据线段平移的规律得到﹣2+3=a，﹣1+2=b，解得a=1，b=1，然后计算a+b．【详解】∵A（0，﹣1），A1（3，b），∴线段AB向右平移3个单位至A1B1；∵B（﹣2，0），B1（a，2），∴线段AB向上平移2个单位至A1B1；即线段AB先向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到A1B1，∴﹣2+3=a，﹣1+2=b，解得：a=1，b=1，∴a+b=1+1=2．故选A．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）4．C【解析】【分析】根据平移不改变图形的形状和大小,用平移、旋转的判定方法,逐一判断,（1）①经过平移,对应线段平行（或共线）且相等,对应角相等,对应点所连接的线段平行且相等,②平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形）,（2）①对应点到旋转中心的距离相等,②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角,③旋转前、后的图形全等.【详解】观察图形可知图案A、B通过平移后可以得到,图案D通过旋转后可以得到．故选C．【点睛】本题主要考查了用平移、旋转、轴对称的方法观察图形的能力,解决本题的关键是要熟练掌握图形平移,旋转,轴对称的性质.5．A【解析】分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可.详解：A. 正五角星既是轴对称图形又是中心对称图形，故正确；B. 等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不正确；C. 平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故不正确；D. 矩形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不正确；故选A.点睛：本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别.在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形。
2021年北师大版八年级数学下册1.4角平分线自主学习同步训练1(附答案)
2021年北师大版八年级数学下册1.4角平分线自主学习同步训练1（附答案）1．如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，若∠A ＝70°，则∠BOC的度数为（）A．35°B．125°C．55°D．135°2．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，若S△ABC＝7，DE＝，AB＝5，则AC的长为（）A．B．4C．5D．63．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为60和35，则△EDF的面积为（）A．25B．5.5C．7.5D．12.54．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的垂直平分线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点5．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝4，AB＝14，则S△ABD ＝（）A．56B．28C．14D．126．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（）A．BE是△ABD的中线B．BD是△BCE的角平分线C．∠1＝∠2＝∠3D．S△AEB＝S△EDB7．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝20，且BD：DC＝3：2，则点D到AB边的距离为（）A．8B．12C．10D．158．如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是（）A．4B．5C．6D．79．如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC．若OA＝10，AB＝12，则点B到AC的距离为（）A．B．C．10D．1210．如图，AD为△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，BC＝10，则BD＝（）A．7.5B．5C．7.2D．611．如图，AB∥CD，AE，CE分别平分∠CAB和∠ACD，过点E分别做EF⊥AC于点F，EH⊥CD于点H，延长HE交AB于点G，若EF＝1，则GH的值为（）A．2B．3C．4D．512．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积是（）A．6B．8C．10D．1213．有三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，那么加油站可建的地点有个．14．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若BD＝，则CD的长为．15．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为30，40，50．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝．16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，AC＝4cm，DC＝3cm，则点D到斜边AB的距离为cm．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，AD、BD分别是△ABC的内角和外角角平分线，且相交于点D，则△ABD的面积为．18．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是．19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，若CD＝2，AB＝9，则△ABD的面积为．20．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC＝10，DE＝2，AB＝6，则AC长是．21．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，若AB＝18，AC＝12，△ABC的面积等于30，则DE＝．22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD＝6cm，AD平分∠BAC，BC＝10cm，则点D到AB的距离为．23．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H．（1）若PH＝8cm，求点P到直线BC的距离；（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．24．如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，∠CAB的平分线AP与∠CBA的平分线BP相交于点P，连接CP．（1）求证：CP平分∠ACB；（2）若AP＝4，△ABC的周长为20，求△ABC的面积．25．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＝50°，∠C＝62°，DE⊥AC，（1）求∠ADE的度数；（2）若DE＝3，求点D到AB的距离．26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点．DE ＝3．求BC的长．27．已知，如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线．（1）求证：BD＝2CD；（2）若CD＝2，求△ABD的面积．28．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DE＝x．（1）用两种方法计算△ABC的面积；（2）探究a，b，x的关系，并用含有a，b的式子表示x．29．已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：P A平分∠MAN．30．如图，直线AC分别与射线DE交于A，与射线BF交于C，连接AB，连接DC，∠1+∠2＝180°，AD＝BC．若DC平分∠ACF，证明AB平分∠EAC．31．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点．（1）求∠B的度数．（2）若DE＝5，求BC的长．32．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线，AB＝8cm，DC＝2cm，试求△ABD的面积．参考答案1．解：∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，∵点O到△ABC三边的距离相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝55°，∴∠BOC＝180°﹣55°＝125°，故选：B．2．解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，∴DF＝DE＝．又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝5，∴7＝×5×+×AC×，∴AC＝．故选：A．3．解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF＝DH，在Rt△ADF和Rt△ADH中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），∴S Rt△ADF＝S Rt△ADH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S Rt△DEF＝S Rt△DGH，∵△ADG和△AED的面积分别为60和35，∴35+S Rt△DEF＝60﹣S Rt△DGH，∴S Rt△DEF＝．故选：D．4．解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点．故选：C．5．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°，∴DE＝CD＝4，∴△ABD的面积＝AB•DE＝×14×4＝28．故选：B．6．解：A．∵AE＝DE，∴BE是△ABD的中线，故本选项不符合题意；B．∵BD平分∠EBC，∴BD是△BCE的角平分线，故本选项不符合题意；C．∵BD平分∠EBC，∴∠2＝∠3，但不能推出∠2、∠3和∠1相等，故本选项符合题意；D．∵S AEB＝AE×BC，S△EDB＝DE×BC，AE＝DE，∴S△AEB＝S△EDB，故本选项不符合题意；故选：C．7．解：∵BC＝20，BD：DC＝3：2，∴CD＝8，∵∠C＝90°AD平分∠BAC∴D到边AB的距离＝CD＝8．故选：A．8．解：作DF⊥AC于F，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝3，∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，∴×6×3+×AC×3＝15，∴AC＝4．故选：A．9．解：作AH⊥OB于H，连接AB交OC于D，如图，由作法得OC平分∠AOB，而OA＝OB＝10，∴OD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝6，在Rt△AOD中，OD＝＝8，∵AH•OB＝OD•AB，∴AH＝＝，∵AO＝AC，∴∠AOC＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BOC，∴AC∥OB，∴点B到AC的距离为．故选：A．10．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∵AD为∠BAC的平分线，∴DE＝DF，又AB：AC＝3：2，∴S△ABD：S△ACD＝（AB•DE）：（AC•DF）＝AB：AC＝3：2．∵S△ABD：S△ACD＝（BD•h）：（DC•h）＝BD：DC＝3：2．∵BC＝10，∴BD＝6，故选：D．11．解：∵AB∥CD，EH⊥CD，∴EG⊥AB，∵AE平分∠CAB，EF⊥AC，EG⊥AB，∴EG＝EF＝1，∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EH⊥CD，∴EH＝EF＝1，∴GH＝EG+EH＝1+1＝2．故选：A．12．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AB＝6，CD＝2，∵AD是∠BAC的角平分线，∠C＝90°，∴DE＝CD＝2，∴△ABD的面积＝AB•DE＝×6×2＝6．故选：A．13．解：如图，加油站可建的地点有4个．故答案为4．14．解：过点D作DF⊥AC于F，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF，在Rt△BED中，∠B＝45°，∴2DE2＝BD2＝（）2＝2，∴DE2＝1，∴DF＝DE＝1，在Rt△CDF中，∠C＝30°，∴CD＝2DF＝2，故答案为：2．15．解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，∵三条角平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB：BC：CA＝3：4：5，故答案为：3：4：5．16．解：设D到AB的距离为h，∵∠C＝90°，∴DC⊥AC，∵AD平分∠CAB，DC＝3cm，∴h＝DC＝3cm，故答案为：3．17．解：如图，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，DH⊥BC，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，∵AD、BD分别是△ABC的内角和外角角平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，DH⊥BC，∴DE＝DF，DF＝DH，∵S△ACB+S△BCD＝S△ACD+S△ABD，∴×4×3+×3×DH＝×4×DE+×5×DF，∴DF＝2，∴△ABD的面积＝×5×2＝5．故答案为：5．18．解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴S△ABC＝×4×2+AC•2＝7，解得AC＝3．故答案为：3．19．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵BD平分∠ABC，又∵DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE＝DC＝2，∴△ABD的面积＝•AB•DE＝×9×2＝9．故答案为：9．20．解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，∴DF＝DE＝2．又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝6，∴10＝×6×2+×AC×2，∴AC＝4，故答案为：4．21．解：过点D作DF⊥AC于F，如图，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE，∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，∴×DE×18+×DF×12＝30，即9DE+6DE＝30，∴DE＝2．故答案为2．22．解：作DE⊥AB于E，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC，∵BD＝6，BC＝10，∴CD＝BC﹣BD＝4，∴DE＝4（cm），即点D到AB的距离为4cm．23．（1）解：作PQ⊥BE于Q，如图，∵BP平分∠ABC，∴PH＝PQ＝8，即点P到直线BC的距离为8cm；（2）证明：∵PC平分∠ACE，∴PD＝PQ，而PH＝PQ，∴PD＝PH，∴点P在∠HAC的平分线上．24．（1）证明：过点P作PD⊥AB于D，作PE⊥BC于E，作PF⊥AC于F，则PD，PE，PF分别是P到AB，BC，CA的距离，∵P是△ABC角平分线的交点，∴PD＝PE＝PF，∴CP平分∠ACB；（2）解：∵∠CAB＝60°，∴∠P AB＝30°，在Rt△P AD中，P A＝4，∴PD＝2，∴S△ABC＝S△APB+S△BPC+S△CP A＝AB•PD+BC•PE+CA•PF＝（AB+BC+CA）•PD＝×20×2＝20．25．解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝62°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣62°＝68°，∵AD是角平分线，∴∠DAC＝∠BAC＝34°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣34°＝56°；（2）作DF⊥AB于F，如图，∵AD是角平分线，DF⊥AB，DE⊥AC，∴DF＝DE＝3，即点D到AB的距离为3．26．解：∵∠C＝90°∴DC⊥AC∵AD平分∠CAB，DE⊥AB∴DC＝DE＝3，∠DAB＝∠DAC，又∵E为AB的中点，∴DE垂直平分AB，∴DB＝AD，∴∠DAB＝∠B，∴∠CAD＝∠DAB＝∠B＝30°，在Rt△BED中，BD＝2DE＝6，∴BC＝CD+BD＝6+3＝9．27．解：（1）如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，∴DE＝CD，又∵∠B＝30°，∴Rt△BDE中，DE＝BD，∴BD＝2DE＝2CD；（2）∵∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴AD＝BD＝2CD＝4，∴Rt△ACD中，AC＝＝2，∴△ABD的面积为×BD×AC＝×4×2＝4．28．解：（1）过D作DF⊥BC于F，∵CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，∴DF＝DE＝x，∴S△ABC＝AC•BC＝ab；S△ABC＝S△ADC+S△BCD＝bx+ax＝（a+b）x；（2）由（1）知，ab＝（a+b）x，∴x＝．29．证明：作PD⊥BC于点D，∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，∴PM＝PD，同理，PN＝PD，∴PM＝PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，∴P A平分∠MAN．30．证明：∠1+∠2＝180°，∠1+∠ACB＝180°，∴AD∥BC，又∵AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴∠DCF＝∠B，∠DCA＝∠BAC，∵DC平分∠ACF，∴∠DCF＝∠DCA，∴∠B＝∠BAC，∵AD∥BC，∴∠EAB＝∠B，∴∠BAC＝∠EAB，即AB平分∠EAC．31．解：（1）∵DE⊥AB于点E，E为AB的中点，∴DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠2＝∠B，∵∠C＝90°，∴∠B＝∠1＝∠2＝30°；（2）∵DE⊥AB，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝10，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴BC＝CD+BD＝15．32．解：过点D作DE⊥AB于E，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC角平分线，∴CD＝DE，∴（cm2）。
北师大版八年级数学下册4.3公式法因式分解自主学习培优训练2(附答案详解)
所以 或者
解方程 得：
所以原方程的解： ，
根据你的理解，结合所学知识，解决以下问题：
（1）解方程： ；
（2）已知 的三边为4、x、y，请你判断代数式 的值的符号．
22．把下列多项式分解因式：
（1） .
（2） .
23．已知a、b、c分别是△ABC的三边．
（1）分别将多项式a2c2﹣b2c2，a4﹣b4进行因式分解，
（2）若a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状，并说明理由．
24．ax2﹣ay2+x﹣y．
25．分解因式： .
26．（1）计算：
（2）当 ， 时，求代数式 的值；
27．分解因式：
28．分解因式：
(1)a3b﹣ab；
(2)﹣4x2+24xy﹣36y2.
29．把下列多项式分解因式：
（1）4a2﹣16；
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．a4b－6a3b+9a2b分解因式的正确结果是（）
A．a²b(a²－6a+9)B．a²b(a+3)(a－3)C．b(a²－3)D．a²b(a－3) ²
11．在实数范围内分解因式：x2+2x-4=________________________________.
12．分解因式：2m2﹣18＝_______．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
3．C
【解析】
【分析】
直接利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案．
【详解】
解：A、x2-xy2=x（x-y2），故此选项不合题意；
B、x2-4y2=（x+2y）（x-2y），故此选项不合题意；