高中数学第1章2.2.2等差数列前n项和的性质及应用课件北师大版必修
Sn ＝|a1|＋|a2|＋„＋|a17|＋|a18|＋„＋|an| ＝a1＋a2＋„＋a17－(a18＋a19＋„＋an) ＝S17－(Sn－S17) ＝2S17－Sn＝n2－33n＋544.
2 33 n － n ′ 故 Sn ＝ 2 n －33n＋544
′
n≤17 . n≥18
Sn 法五： 由{an}为等差数列， 可知{ }也是等差数列， n Sn 可设 ＝an＋b， n S12 S20 将 ＝7， ＝23 代入上式得 12 20 12a＋b＝7 a＝2 ，解得 20a＋b＝23 b＝－17 Sn ∴ ＝2n－17，即 Sn＝2n2－17n. n 所以 S28＝1092.
2.2.2 等差数列前n项和的性质及应用
学习目标 1．理解等差数列前n项和的一些性质，并能应 用性质解决一些问题． 2．能应用等差数列解决一些实际问题．
2.2.2 等差 数列 前n 项和 的性 质及 应用
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
na1＋an 1． 等差数列前 n 项和公式 Sn＝ ＝ 2
【解】
(1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝
34－2n，
又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝
34－2n. 故{an}的通项公式为an＝34－2n. 所以an＋1－an＝34－2(n＋1)－(34－2n)＝－2. 故数列 {an} 是以 32 为首项，－ 2 为公差的等差 数列．
法四：因为{an}为等差数列， nn－1 所以 Sn＝na1＋ d. 2
Sn d d Sn ∴ ＝a1－ ＋ n，所以{ }是等差数列， n n 2 2 因为 12,20,28 成等差数列． S12 S20 S28 所以 ， ， 成等差数列． 12 20 28 S20 S12 S28 ∴2· ＝ ＋ ， 20 12 28 S20 S12 460 84 ∴ S28 ＝ 28×(2· － ) ＝ 28×(2· － ) ＝ 20 12 20 12 1092.
方法感悟
求解等差数列的有关问题，除了注重函数思 想，方程思想，及整体消元的方法外，还需 特别注意解题中要有“目标意识”，以便能 够做到“需要什么，就求什么”．
12a ＋12×11d＝84 1 2 20×19 20a1＋ d＝460 2
，解得 a1＝－15，d＝4.
28×27 ∴S28＝28a1＋ d 2 28×27 ＝28×(－15)＋ ×4＝1092. 2
法二：设此等差数列的前 n 项和 Sn＝an ＋bn， ∵S12＝84，S20＝460，
2 a· 12 ＋b· 12＝84 ∴ ，解得 a＝2，b＝－17， 2 20 ＋b· 20＝460 a·
2
∴Sn＝2n －17n， ∴S28＝2×28 －17×28＝1092. 法三：设 S28＝AS12＋BS20，其中 A、B∈R. 28×27 12×11 因 为 28a1 ＋ d ＝ A(12a1 ＋ d) ＋ 2 2 20×19 B(20a1＋ d)， 2
课堂互动讲练
考点突破 等差数列前n项和性质的应用
对于有些问题，虽然利用等差数列前 n 项和公 na1＋an nn－1 式 Sn＝ ＝na1＋ d 可以求解，但 2 2 是如果根据等差数列的有关性质灵活地加以处 理，不使用前 n 项和公式，反而使问题解答得 更加简单、 快捷． 因此要熟悉并掌握与等差数列 前 n 项和有关的一些性质．
＝ (a1＋a2＋„＋a34)－ (a35＋ a36＋„＋ an)＝ 2(a1 ＋a2＋„＋a34)－(a1＋a2＋„＋an) 3 205 3 2 2 ＝ 2S34－ Sn＝ 2(－ ×34 ＋ ×34)－ (－ n ＋ 2 2 2 205 3 2 205 n)＝ n － n＋3502. 2 2 2
2
104 由 an＝－3n＋104≥0，得 n≤ ≈34.7. 3 即当 n≤34 时，an>0；当 n≥35 时，an<0. (1)当 n≤34 时，Tn＝|a1|＋|a2|＋„＋|an|＝a1＋a2 3 2 205 ＋„＋an＝Sn＝－ n ＋ n. 2 2 (2)当 n≥35 时，Tn＝|a1|＋|a2|＋„＋|a34|＋|a35| ＋„＋|an|
在绝对值数列{|an|}的问题中，常常针对其前n
项和命题，一般有已知数列{an}，求数列{|an|}
的前n项和Sn.对于这类数列的求和问题有两个
思考方向：一是要弄清哪些项为非负，哪些项 为负，即分类讨论；二是要将不熟悉的问题转 化为等差数列的问题．应特别注意要用分段函 数的形式表示结果．
例3
数列{an}的前 n 项和 Sn＝33n－n2.
【名师点评】
解题的关键是确定数列{an}的
前16项是正的，其次是当n≥18时，用Sn－S17
表示从a18到an这些数的和．本题是此类问题
的一个典型例子，类似问题可以这样处理．
3 自我挑战 2 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝－ 2 205 n ＋ n，求数列{|an|}的前 n 项和 Tn. 2 3 205 2 解： a1＝S1＝－ ×1 ＋ ×1＝101.当 n≥2 时， 2 2 3 2 205 3 an＝Sn－Sn－1＝(－ n ＋ n)－[－ · (n－1)2＋ 2 2 2 205 (n－1)]＝－3n＋104. 2 ∵n＝1 也适合上式， ∴数列通项公式为 an＝－3n＋104(n∈N＋)．
(1)求证：{an}是等差数列； (2)问{an}的前多少项的和最大； (3)设数列{bn}的每一项都有 bn＝|an|，求{bn}的 前 n 项和 Sn .
′
【思路点拨】
(1)先求出{an}的通项公式，再
利用等差数列的定义证明．(2)关键是确定此数 列的前多少项大于或等于零． (3)要求 S′ 可通 n， 过对 n 进行分类讨论，去掉|an|的绝对值符号， 转化为求{an}的和的问题．
na1＋an ∴Sn＝ ＝11n＝286， 2 ∴n＝26，故所求的项数为 26. (3)∵a2＋a12＝a1＋a13＝2a7，又 a2＋a7＋a12＝ 24， ∴a7＝8. 13a1＋a13 ∴S13＝ ＝13×8＝104. 2
利用前n项和公式判定等差数列 首先由Sn－Sn－1＝an(n≥2)求得通项公式an， 再利用an－an－1为常数判定数列为等差数列，
自我挑战1
在等差数列{an}中，
(1) 若 {an}的前 n 项和为 377 ，项数 n 为奇数，且
前n项和中奇数项与偶数项和之比为 7∶6，求
中间项；
(2) 若前 4 项和为 25 ，后四项和为 63 ，前 n 项和 为286，求项数n； (3)若a2＋a7＋a12＝24，求S13.
S奇 n＋1 7 解：(1)∵n 为奇数，∴ ＝ ＝ ，∴n＝13. S偶 n－1 6 ∴13· a7＝S13＝377，∴a7＝29.故所求的中间项 为 29. (2)∵a1＋a2＋a3＋a4＝25， an－3＋an－2＋an－1＋an＝63， 而 a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3， ∴4(a1＋an)＝88， ∴a足条件．
例2
1 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n ＋ n， 求 2
2
这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？ 如果是，它的首项与公差分别是多少？
【思路点拨】
S1，n＝1 由 an＝ 求 an. Sn－Sn－1，n≥2
【解】 根据 Sn＝a1＋a2＋„＋an 与 Sn－1＝a1＋a2 ＋„＋an－1(n≥2)，可知当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1 1 1 1 2 2 ＝n ＋ n－[(n－1) ＋ (n－1)]＝2n－ .① 2 2 2 1 3 2 当 n＝1 时，a1＝S1＝1 ＋ ×1＝ 也满足①式， 2 2 1 所以数列{an}的通项公式为 an＝2n－ . 2 3 由此可知，数列{an}是一个首项为 ，公差为 2 的 2 等差数列．
nn－1 na1＋ d 2 ______________.
2．一般地，对于等差数列{an}，如果 a1、d 是 nn－1 d 2 确定的， 前 n 项和 Sn＝na1＋ d＝ n ＋(a1 2 2 d d d － )n，设 A＝ ，B＝a1－ ，则上式可写成 Sn 2 2 2 ＝An2＋Bn.当 A≠0(即 d≠0)时， Sn 是关于 n 的 二次函数式(注意常数项为 0)， 那么(n， Sn)在二 次函数 y＝Ax2＋Bx 的图像上．
例1
等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，若 S12 ＝ 利用通项公式法求首项和公差
84，S20＝460，求S28.
【思路点拨】
是一种方法，但计算量大．可考虑用等差数列
有关的性质，构造新的等差数列，由新等差数
列便可较快地解决这类问题．
【解】
法一：∵{an}是等差数列， nn－1 ∴Sn＝na1＋ d， 2 代入，得
(2)令 an≥0，得 34－2n≥0，所以 n≤17， 故数列{an}的前 17 项大于或等于零． 又 a17＝0，故数列{an}的前 16 项或前 17 项的 和最大． (3)由(2)知， 当 n≤17 时， an≥0； 当 n≥18 时， an<0.所以当 n≤17 时 S′ n ＝b1＋b2＋„＋bn＝|a1|＋|a2|＋„＋|an| ＝a1＋a2＋„＋an＝Sn＝33n－n2. 当 n≥18 时
若项数为 2n－1，则 S2n－1＝(2n－1)an(an 为中间 n－1 S 偶 an ， ＝__________ 项)且 S 奇－S 偶＝___ . n S奇 (3)若 Sn 为数列{an}的前 n 项和， 则{an}为等差数 Sn 列等价于{ n }是等差数列． (4)若{an}、{bn}都为等差数列，Sn，S′ n 为它们的 am S2m－1 前 n 项和，则b ＝ ′ . S2m－1 m
【名师点评】
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1.2等差数列前n项和的性质及应用 课件(北师大版必修5)
若项数为 2n－1，则 S2n－1＝(2n－1)an(an 为中间 n－1 S 偶 an ， ＝__________ 项)且 S 奇－S 偶＝___ . n S奇 (3)若 Sn 为数列{an}的前 n 项和， 则{an}为等差数 Sn 列等价于{ n }是等差数列． (4)若{an}、{bn}都为等差数列，Sn，S′ n 为它们的 am S2m－1 前 n 项和，则b ＝ ′ . S2m－1 m
例1
等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，若 S12 ＝ 利用通项公式法求首项和公差
84，S20＝460，求S28.
【思路点拨】
是一种方法，但计算量大．可考虑用等差数列
有关的性质，构造新的等差数列，由新等差数
列便可较快地解决这类问题．
【解】
ห้องสมุดไป่ตู้
法一：∵{an}是等差数列， nn－1 ∴Sn＝na1＋ d， 2 代入，得
2
2
所 以 28a1 ＋ 14×27d ＝ (12A ＋ 20B)a1 ＋ (66A ＋ 190B)d. 12A＋20B＝28 比较两边对应项的系数，得 ， 66A＋190B＝378
A＝－7 3 解得 14 B＝ 5
7 14 .所以 S28＝－ S12＋ S20＝1092. 3 5
【名师点评】
首项 a1 和公差 d 是等差数列的
基本元素，其余的量均可与它们联系，故当 条件与结论的联系不明显时，可先依据题目
条件，列方程组，先求出 a1 和 d ，再解决其他
问题，这是求Sn的基本方法．
同时{Sn}本身也可看成一个数列，有着它自身
的特点，故也可从其自身规律寻找突破方法.
例如本题若根据等差数列的前 n 项和 Sn 的特点， 利用待定系数法，把 Sn 设出，则比较简捷．当 d 2 d＝0 时，Sn＝na1，当 d≠0 时，Sn＝ n ＋(a1 2 d － )n，故 Sn 可统一设为 Sn＝an2＋bn(a，b 为 2 常数)的形式． 根据等差数列的性质探寻其他解 法，可以开阔思路，有时可以简化、优化解题 过程．
北师大版高中数学必修5课件1.2等差数列的前n项和课件(北师大版)
④
对于本节开头的问题，即转化为求满足 的最大自然数n.易知当n=19时，Sn=190;n=20时，Sn=210.所以n的 最大值为19.此时，将堆垛19层，剩余10根圆木料.
例7: 求前n个正奇数的和.
解 由等差数列前n项和公式，得
例8 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家 建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的 石板铺成，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板， 从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈.请问：
高斯上小学时，有一次数学老师给同学们出了一道题：计算从1到 100的自然数之和.那个老师认为，这些孩子算这道题目需要很长时间，
所以他一写完题目，就坐到一边看书去了.谁知，他刚坐下，马上就有一
个学生举手说:“老师，我做完了.”老师大吃一惊，原来是班上年纪最小 的高斯.老师走到他身边，只见他在笔记本上写着5050，老师看了，不
根据等差数列{an}的通项公式，上式可以写成
①
再把项的次序反过来，Sn又可以写成
②
把①， ②等号两边分别相加，得
（共n个）
于是，首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列的前n项和
③
这个公式表明：等差数列前n项的和等于首末两项的和与项数乘积 的一半，参见下图.
将an=a1+(n-1)d代入③式，得
例9 在新城大道一侧A处，运来20棵新树苗.一名工人从A处起沿大 道一侧路边每隔10m栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵.要栽完这 20棵树苗，并返回A处.植树工人共走了多少路程?
解 植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程（单位：m)组成了一
个数列 0,20,40,60，…，380，
高中数学 第一章 数列 2.2 第1课时 等差数列的前n项和课件 北师大版必修5
29
跟踪探究 2.在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值． 解析：法一：∵S9＝S17，a1＝25， ∴9×25＋9（92－1）d＝17×25＋17（127－1）d， 解得d＝－2. 由aann＝ ＋1＝－－2n2＋（2n7＋≥10），＋27≤0，得nn≤ ≥11321212， ， 又∵n∈N＋，∴当n＝13时，Sn有最大值169.
220，由这些条
20
法二：∵S10＝10（a12＋a10）＝310， ∴a1＋a10＝62，① ∵S20＝20（a12＋a20）＝1 220， ∴a1＋a20＝122，② ②－①，得，a20－a10＝60， ∴10d＝60，∴d＝6，a1＝4. ∴Sn＝na1＋n（n2－1）d＝3n2＋n.
21
方法技巧 两种思想方法在等差数列前n项和公式中的应用 (1)方程思想：等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是 由通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解． (2)整体代换：在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用．
或Sn＝
na1＋n（n2－1）d可求Sn.
10
知识梳理 应用公式知三求二： (1)两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项， 公差，项数，通项和前n项和． (2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量， 即“知三求二”．
11
知识点三 等差数列前n项和的最值 思考并完成以下问题 1．你能把等差数列的前n项和公式写成Sn关于n的二次函数的形式吗？ 提示：能 Sn＝d2n2＋a1－d2n. 2．这个关系式有何特点？
27
法二：要使数列{an}前n项的和取得最小值，
则
第一章 数列§2 2.2 第1课时 等差数列的前n项和 北师大版 必修五.
把①， ②等号两边分别相加，得
2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an ) （共n个） n(a1 an ).
于是，首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列的前n项和
n(a1 an ) Sn . 2
这种求和的方法叫作“倒序相加法”
③
这个公式表明：等差数列前n项的和等于首末两项的 和与项数乘积的一半，参见下图.
100 (1 100) 1 2 3 99 100 5050. 2
等差数列的前n项和公式
…
…
… …
有200根相同的圆木料，要把它们堆成正三角形垛，并 使剩余的圆木料尽可能少，那么将剩余多少根圆木料？ 根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成 等差数列： 1,2,3，…
抽象概括
设Sn是等差数列{an}的前n项和，即
Sn a1 a2 a3 an .
根据等差数列{an}的通项公式，上式可以写成
Sn a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ],
再把项的次序反过来，Sn又可以写成
①
Sn an (an d ) )d ], ②
2.2 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和
1.知识目标：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路； 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题．
2.能力目标：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会 从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认 识问题，解决问题的思路和方法；通过公式推导的过程教 学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，提高学生的 思维水平. 3.情感目标：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美
2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an ) （共n个） n(a1 an ).
于是，首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列的前n项和
n(a1 an ) Sn . 2
这种求和的方法叫作“倒序相加法”
③
这个公式表明：等差数列前n项的和等于首末两项的 和与项数乘积的一半，参见下图.
100 (1 100) 1 2 3 99 100 5050. 2
等差数列的前n项和公式
…
…
… …
有200根相同的圆木料，要把它们堆成正三角形垛，并 使剩余的圆木料尽可能少，那么将剩余多少根圆木料？ 根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成 等差数列： 1,2,3，…
抽象概括
设Sn是等差数列{an}的前n项和，即
Sn a1 a2 a3 an .
根据等差数列{an}的通项公式，上式可以写成
Sn a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ],
再把项的次序反过来，Sn又可以写成
①
Sn an (an d ) )d ], ②
2.2 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和
1.知识目标：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路； 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题．
2.能力目标：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会 从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认 识问题，解决问题的思路和方法；通过公式推导的过程教 学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，提高学生的 思维水平. 3.情感目标：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美
北师大版高中数学必修五第一章数列1.2.2.2等差数列前n项和的性质课件
解析: ∵公差 d=
2������-13 ≤ 0, ������������ ≤ 0, 由 得 ������������ +1 ≥ 0, 2������-11 ≥ 0, ∴5.5≤n≤6.5. 又n∈N+,∴n=6. 答案:6
-5+11 =2,∴an=2n-13,n∈N+. 3
-6-
第2课时 等差数列前n项和的性质
-7-
第2课时 等差数列前n项和的性质
题型一 题型二 题型三
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
解:(1)设等差数列{an}共有2n-1项,则奇数项有n项,偶数项共有n-1 项,中间项为an. ������奇 ������ 44 ∴ = = , ∴ ������ = 4. ������偶 ������- 1 33 S奇-S偶=an=44-33,∴an=11. ∴这个数列{an}的中间项为11,项数为7.
UITANGYANLIAN
【做一做2-1】 已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使前n 项和Sn取得最大值的自然数n是 . 解析:∵|a3|=|a9|,且d<0, ∴a3=-a9.∴a3+a9=0,即a6=0. ∴使前n项和Sn取得最大值的自然数n是5或6. 答案:5或6 【做一做2-2】 在等差数列{an}中,若a1=-11,a4=-5,则当前n项和 Sn取最小值时,n= .
S 奇-S 偶=a1+
������- 1 ������ 2
= ������������+1 (中间项),
2
Sn=n· ������������+1 (项数与中间项的积 ),
1.2.2等差数列的前n项和(教学课件)——高二数学北师大版(2019)选择性必修第二册
∵a1=25>0,d=-2<0,∴{an}是单调递减的等差数列.
n
a
-2
n
27
0,
由 n
得
an 1 -2(n 1) 27 0, n
27
,
2
25
,
2
又∵n∈N*,∴当n=13时,Sn有最大值,最大值为S13=13×25+
13×(13−1)
×(-2)=169.
B.(-3,+∞)
)
5
C.(−3, − 2)
解析 ∵{an}是等差数列,其公差为非零常数d,前n项和为Sn,∴
∵数列
的前n项和为Tn,当且仅当n=6时,Tn有最大值,
5
S6
a
d 0,
1
6
2
5
S
∴ 7 a1 3d 0, 解得-3< 1<− 2.故选C.
7
d 0,
高中数学
选择性必修第二册
北师大版
二 等差数列前项和性质的应用
例3 已知等差数列{an}的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,求该数列
的公差d.
解法一:设等差数列{an}的首项为a1,由
12 = 121 + 66 = 354,
偶 ＝ 61+36 = 1+6 = 32 , 解得
北师大版
即时巩固
判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也是等差数列．(
n
a
-2
n
27
0,
由 n
得
an 1 -2(n 1) 27 0, n
27
,
2
25
,
2
又∵n∈N*,∴当n=13时,Sn有最大值,最大值为S13=13×25+
13×(13−1)
×(-2)=169.
B.(-3,+∞)
)
5
C.(−3, − 2)
解析 ∵{an}是等差数列,其公差为非零常数d,前n项和为Sn,∴
∵数列
的前n项和为Tn,当且仅当n=6时,Tn有最大值,
5
S6
a
d 0,
1
6
2
5
S
∴ 7 a1 3d 0, 解得-3< 1<− 2.故选C.
7
d 0,
高中数学
选择性必修第二册
北师大版
二 等差数列前项和性质的应用
例3 已知等差数列{an}的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,求该数列
的公差d.
解法一:设等差数列{an}的首项为a1,由
12 = 121 + 66 = 354,
偶 ＝ 61+36 = 1+6 = 32 , 解得
北师大版
即时巩固
判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也是等差数列．(
北师版选择性必修第二册1.2.2.2等差数列的前n项和(二)【课件】
跟踪训练1 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植 树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树 坑旁边，若使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程 总和最小，则此最小值为___2_0_0_0__米．
解析：假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来 领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两 侧的同学所走的路程都组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返 的总路程为S＝9×20＋9×28×20＋10×20＋102×9×20＝2 000米．
题型三 利用an与Sn的关系求解数列问题 例3 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且8Sn＝(an＋2)2. (1)求证：{an}为等差数列； (2)求{an}的通项公式.
方法归纳 在给出数列的an与Sn的关系式时，可根据an＝Sn－Sn－1(n≥2)将关系 式中的Sn(或an)消去，从而求得an与an－1(或Sn与Sn－1)的关系，然后借 助等差数列或其他特殊数列中的方法求解.
解得n＝15或n＝－16(舍去)．故选C.
4．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟 走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m，则甲、乙开 始运动后_____7___分钟相遇．
解析：设n分钟后相遇，依题意，有2n＋n
n−1 2
＋5n＝70，整理得n2＋13n－140
(1)求a1时不能使用an＝Sn－Sn－1，因为S0在数列前n项和中无意义，
而应该是a1＝S1;
(2)由an＝Sn－Sn－1求得的an，代入n＝1时，若恰好a1＝S1，则an＝Sn
－Sn－1就是其通项公式；
(3)由an＝Sn－Sn－1求得的an，代入n＝1时，若a1≠S1，则数列的通项
高中数学北师大版必修五课件：第1章 §2-2.2 第1课时 等差数列的前n项和
故 S110＝110a1＋110（1120－1）d ＝110×1100909＋110×2 109×－5110＝－110.
法二：(设而不求整体代换法)因为 S10＝100，S100＝10， 所以 S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝90（a112＋a100）＝－90. 故 a11＋a100＝－2. 又因为 a1＋a110＝a11＋a100＝－2， 所以 S110＝110（a12＋a110）＝－110.
等差数列前 n 项和的有关计算 在等差数列{an}中， (1)已知 a3＝16，S20＝20.求 S10； (2)已知 a1＝32，d＝－12，Sn＝－15，求 n 及 a12； (3)已知 a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，Sn＝ 210，求项数 n.
【 解 】 (1) 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d ， 则 有 a210＋a1＋2d2＝0（16， 202－1）d＝20，解得ad1＝＝－202，. 所以 S10＝10×20＋ 10×9×2（－2）＝200－90＝110.
等差数列前 n 项和公式的灵活运用
在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求 S110. 【解】 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，则1100a01a＋1＋101（001（02－10210） －d1＝ ）d1＝00， 10.
解得a1＝1100909， d＝－5110.
等差数列中的基本计算 等差数列的通项公式和前 n 项和公式中有五个量 a1，d，n，an 和 Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本 量 a1 和 d 的方程组，解出 a1 和 d，便可解决问题．解题时注意 整体代换的思想．
1.(1)已知等差数列{an}中，a1＝4，S8＝172， 则 a8＝________，d＝________． (2)在等差数列{an}中，已知公差 d＝2，an＝11，前 n 项和 Sn＝ 35，求 a1 和 n. 解：(1)由已知，得 S8＝8（a1＋ 2 a8）＝8（4＋2 a8）＝172， 解得 a8＝39， 又因为 a8＝4＋(8－1)d＝39， 所以 d＝5.故填 39 和 5.
法二：(设而不求整体代换法)因为 S10＝100，S100＝10， 所以 S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝90（a112＋a100）＝－90. 故 a11＋a100＝－2. 又因为 a1＋a110＝a11＋a100＝－2， 所以 S110＝110（a12＋a110）＝－110.
等差数列前 n 项和的有关计算 在等差数列{an}中， (1)已知 a3＝16，S20＝20.求 S10； (2)已知 a1＝32，d＝－12，Sn＝－15，求 n 及 a12； (3)已知 a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，Sn＝ 210，求项数 n.
【 解 】 (1) 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d ， 则 有 a210＋a1＋2d2＝0（16， 202－1）d＝20，解得ad1＝＝－202，. 所以 S10＝10×20＋ 10×9×2（－2）＝200－90＝110.
等差数列前 n 项和公式的灵活运用
在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求 S110. 【解】 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，则1100a01a＋1＋101（001（02－10210） －d1＝ ）d1＝00， 10.
解得a1＝1100909， d＝－5110.
等差数列中的基本计算 等差数列的通项公式和前 n 项和公式中有五个量 a1，d，n，an 和 Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本 量 a1 和 d 的方程组，解出 a1 和 d，便可解决问题．解题时注意 整体代换的思想．
1.(1)已知等差数列{an}中，a1＝4，S8＝172， 则 a8＝________，d＝________． (2)在等差数列{an}中，已知公差 d＝2，an＝11，前 n 项和 Sn＝ 35，求 a1 和 n. 解：(1)由已知，得 S8＝8（a1＋ 2 a8）＝8（4＋2 a8）＝172， 解得 a8＝39， 又因为 a8＝4＋(8－1)d＝39， 所以 d＝5.故填 39 和 5.
课件高一数学必修等差数列前n项和性质及应用PPT课件_优秀版
， （2）S6最大。
一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为
.
(1)求公差d的取值范围;
24 两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且
3、（1） 7 d ，3（2）S 最大。 设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=
b2ak1ak2 a2k， b3a2k1a2k2 a3k, ,
则 :b1,b2,b3, ,成 等 差 数 列 ,公 差 为 :kd
(等差数列等分若干段后,各段和依序成等差数列)
数 列 an是 公 差 为 d的 等 差 数 列 ， 则 SnAn2Bn
Sn n
An B Snn 是 等 差 数 列 ， 公 差 为 A.
2m. -1
m= 10 . 等差数列前n项和性质：
(1)求公差d的取值范围;
(等差数列等分若干段后,各段和依序成等差数列)
例7.设数列{a }的通项公式为a =2n-7, (1)求公差d的取值范围;
简单提示：利用公式：
n
n
则|a |+|a |+|a |+……+|a |= 153 两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且
(1)求公差d的取值范围; 性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则
45 C.
设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=
.
在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有