有限长均匀带电杆的简单复合体的空间电场分布
常见的电场电场线分布规律
常见电场电场线分布规律电场强度、电场线、电势部分基本规律总结整理:胡湛霏一、几种常见电场线分布：二、等量异种电荷电场分析1、场强：①在两点电荷连线上,有正电荷到负电荷，电场强度先减小后增大，中点O的电场强度最小.电场强度方向由正电荷指向负电荷;②两点电荷的连线的中垂线上，中点O的场强最大，两侧场强依次减小。
各点电场强度方向相同。
2、电势：①由正电荷到负电荷电势逐渐降低;②连线的中垂线所在的、并且与通过的所有电场线垂直的平面为一等势面；③若规定无限远处电势为0，则两点电荷连线的中垂线上各点电势即为0。
3、电势能：（设带电粒子由正电荷一端移向负电荷一端）①带电粒子带正电:电场力做正功，电势降低，电势能减少；②带电粒子带负点：电场力做负功,电势降低，电势能增加。
三、等量同种电荷电场分析1、场强：①两点电荷的连线上,由点电荷起,电场强度越来越小，到终点O的电场强度为0，再到另一点电荷，电场强度又越来越大；②两点电荷连线的中垂线上，由中点O向两侧，电场强度越来越大，到达某一点后电场强度又越来越小；③两点电荷（正）连线的中垂线上,电场强度方向由中点O指向外侧，即平行于中垂线。
2、电势：①两正点电荷连线上，O点电势最小，即由一个正点电荷到另一正点电荷电势先降低后升高。
连线的中垂线上,O电电势最大，即O点两侧电势依次降低.②两负点电荷连线上,O点电势最大，即由一个负点电荷到另一负点电荷电势先增高后降低。
连线的中垂线上，O点电势最小，即O点两侧电势依次升高。
③其余各点电势由一般规律判断,顺着电场线方向电势逐渐降低.3、电势能：①由电势判断：若带电粒子为正电荷,则电势越高，电势能越大；若带电粒子为负电荷，则电势越高,电势能越小.②由功能关系判断：若电场力做负功，则电势能增加；若电势能做正功，则电势能减少。
3、匀强电场 1、特点：①匀强电场的电场线，是疏密相同的平行的直线。
②场强处处相等。
③电荷在其中受到恒定电场力作用，带电粒子在其中只受电场力时做匀变速运动. 2、等势面:垂直于电场线的系列平面。
有限长均匀带电圆柱面电场分布
２π
∫ · ｕ ＝ λＲ ４πε ０
槡（ ） ｚ ＋ ｌ ＋
ｌｎ
槡（ ） ｚ
－
ｌ
＋
ｚ ＋ ｌ ２ ＋ Ｒ２ ＋ ρ２ － ２Ｒρｃｏｓ θ
ｚ－ｌ
２
＋
Ｒ２
＋
ρ２
－
２Ｒρｃｏｓ
θ
ｄθ
（１）
式中 λ 为电荷面密度．
对电势分别求 ｚ 分量，ρ 分量的梯度，就可以得到电
场强度．
Ｅｚ
＝－
２第０１３９８年卷３第月３ 期
大 学 物 理
ＣＯＬＬＥＧＥ ＰＨＹＳＩＣＳ
Ｖｏｌ．３８ Ｎｏ．３ Ｍａｒ． ２０１９
櫍殻
櫍櫍櫍櫍櫍櫍殻
櫍殻
櫍大櫍学櫍生櫍园櫍地櫍 殻
有限长均匀带电圆柱面电场分布
梁港林
（华中科技大学 光学与电子信息学院，湖北 武汉 ） ４３００００
摘要：通过把有限长的圆柱面看成由直线段积分而得，通过有限长均匀带电直线段的电场分布进而求得有限长圆柱面电 场分布，其中运用高等数学微积分处理方法，以椭圆积分形式给出电场的柱坐标解析表达式，并通过将圆柱面的高度趋于零， 得到圆环电场解析表达式．
Ｘ
Ｘ
－
Ｘ
ａ ａ２ ＋Ｘ ＋ａ２ ＋Ｘ ｂ ｂ２ ＋Ｘ ＋ｂ２ ＋Ｘ
（６）
然而有恒等式：
Ｘ
ａ
槡 槡＋
＝１
ａ ａ２ ＋Ｘ ＋ａ２ ＋Ｘ Ｘ＋ａ２
（７）
故有
Ｅρ ＝
∫ ( (槡 槡 ) ) ２π
－ λＲ ρ － Ｒｃｏｓ θ
４πε
Ｘ
０
ｂ
ａ
－
Ｘ ＋ ｂ２
Ｘ ＋ ａ２
ｄθ ＝
∫ ( (槡 槡 ) ) （） ２π λＲ
均匀带电球体的电场强度分布
均匀带电球体的电场强度分布
1. 均匀带电球体的电场
1) 电场强度分布
电场强度分布是均匀带电球体的一个重要特征，由于球体本身的形状，电场强度分布也是在球面的表面的，就像一个由圆圈组成的带电球体
一样，它的电场强度分布是十分均匀的。
这就意味着，从中心向外沿
球面增加角度，电场强度也是随着角度的变化而变化，在空间中各点
的电场强度（或电压）是一致的。
所以，在球表面和球内部，同一距
离所对应的相同角度处电场强度也是相同的，这种电场强度分布显然
也就是均匀带电球体的特征。
2）均匀体积密度
此外，均匀带电球体的另一个重要特征是体积密度分布的均匀性，也
就是说，在球体内各点之间的电荷密度都是同等的，也就是说，在带
电球体中，中心和各个面积上，电荷密度是一致的，也就是电荷本身
分布在球体内部是均匀的，这又是一个体现均匀带电球体特性的重要
特征。
3）增加距离分布
最后，当均匀带电球体不断增加距离的时候，其电场强度的分布也会
发生变化，从而体现出新的特性，我们知道，随着距离的增加，电场
强度逐渐减弱，远离球体，电场强度逐渐降低，由此，增加距离得到
的均匀带电球体的新特性就是外部电场强度的衰减，内部电场强度保持不变。
这就是均匀带电球体的距离变化引起的一些特性。
有限长直线电荷的电场分布
缺 陷．
关键 词 ： 均 匀带 电有 限长直 线 ；带 电有 限长 直导 线 ；电势 ；电场 强度 ；等 势线 ； 电场 线
中图分类号 ： ０ ４ ４ １ ． １ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： ２ ０ ９ ５ — ３ ７ ９ ８ （ ２ ０ １ ７ ） ０ ３ — ０ ０ ６ ５ — ０ ６
１ 电势 和 电场 强度 的积 分表 达 式
设 长度 为 ２ ｚ的直线 段 上总带 电荷 量 为 Ｑ ， 以直线 段 中心 为坐 标原 点 ， 轴 在直 线段 上 ， 研究 该 电场 的空
间分 布．
由 于本 问题 具 有轴对 称性 ， 只需研 究 Ｐ（ ， ０ ， ） 点处 电场 的 空 间分布 ． 设 ｚ： 点 处 的 电荷 线 密度 为 ，
．
６ ６．
广 东 第 二 师 范 学 院学 报
第 ３ ７卷
则 线 元 ～ ４ － ｄ ｚ 上 的 电 荷 量 为 ｄ Ｑ— ｄ ｚ （ 点 电 荷 ）在 Ｐ（ ， ０ ， ） 点 处 严 生 的 电 努 为
ｄ Ｕ ： ■—一
一
＝ ————■二二二二＝＝＝＝二＝
一
・
ｕ 一 詈 ｕ 。 １ ｎ ［ ｚ ＋￡ ＋√ ＝ 二 干 。 ］ 一 詈 ｕ 。 ｌ ｎ ［ ｚ 一 ￡ ＋￣ ／
由式 （ ３ ）得
Ｅ ＝ Ｔ ｜ 。 Ｅ
。
．
ｚ＋ Ｚ
７ ｃ Ｚ —
ｚ— Ｚ
丽
＝ 兰 一
一
一 Ｅ。
２
．
常见的电场电场线分布规律
页眉内容
c 三点所在直线平行于两电荷的连线，且 a 与 c 关于 MN 对称，a、b 两点的电势差等于 b、c 两点间的电势差，C 正确；根据等量异种点电荷的电场的分布特点，a 点的电势高于 c 点的 电势，所以试探电荷+q 在 a 点的电势能大于在 c 点的电势能，D 错误。
5（2012 天津卷）.两个固定的等量异号点电荷所产生电场的等势面如图中虚线所示，一带 负电的粒子以某一速度从图中 A 点沿图示方向进入电场在纸面内飞行，最后离开电场，粒子 只受静电力作用，则粒子在电场中( C )
在 a 点处有一电荷量为 q 的固定点电荷。已知 b 点处的场强为零，则 d 点处场强的大小为(k
为静电力常量)
A.k
B. k
C. k
D. k
答案：B 解析： 由于 b 点处的场强为零，根据电场叠加原理知，带电圆盘和 a 点处点电荷在 b 处产生的场强大小相等，方向相反。在 d 点处带电圆
q
q 10q
正电荷：电场力做正功，电势能减小，电势降低；电场力做负功，电势能增加，电势升高。 负电荷：电场力做正功，电势能较小，电势升高；电场力做负功，电势能增加，电势降低。
③根据公式 A
WAO q
和B
WBO q
判断：把电荷 q 从将要比较的 A、B 两点分别移到零电
势点
O，若做的功分别为WAO 、WBO ，则可根由公式 A
由匀加速直线运动
t 2x0 a
将○4 ○5 代入，得
t 2md 2 (1 A )
q0
q0
粒子运动周期
T 4t 4d q0
2m(q0 A)
14（2011上海）．两个等量异种点电荷位于x轴上，相对原点对称分布，正确描述电势 随
常见电场电场线分布规律
常见电场电场线分布规律在物理学中，电场是指电荷产生的空间中存在的电力场，它对带电粒子施加力。
在介绍电场的分布规律时，最重要的工具就是电场线。
电场线是指在电场中移动的点所连成的线条，它是表示电场分布规律的一种重要方式。
下面将介绍一些常见的电场分布规律和它们的电场线分布规律。
1. 均匀电场均匀电场是指在一个空间范围内电场的大小和方向都相同的电场。
这种电场很容易实现，比如可以通过将两个互相平行的电极板电容器上的电荷等量分布来制造。
均匀电场的电场线分布规律非常简单，它们是平行的，从正极板向负极板指向。
从数学上的角度来看，这些电场线具有相同的导数，也就是说它们的斜率是相等的。
2. 点电荷电场点电荷是指电量很小、体积几乎为零的电荷。
在点电荷的周围，会产生一个电场。
这个电场的分布规律与点电荷到空间中任意一点的距离的平方成反比。
如果将点电荷看作是放在 x 轴上的，则它的电场线分布规律是由由 x 轴向外发射的、球面形电场线组成的。
球面电场线的密度是由点电荷的电量大小决定，容易计算得出。
3. 偶极子电场偶极子电场是由两个相等电量、相反电荷的点电荷组成的电场，它们的连线方向被称为偶极子的方向。
偶极子电场的电场线分布规律与单个点电荷电场相似，只是在偶极子的位置处，电场的大小方向有明显的变化。
在偶极子的两端，电场线呈曲线状，而在偶极子两端之间的区域，电场线为弧形，且密度较大。
如果所选电荷偶极矩增大，那么曲线的弧度和弯曲程度就会增加。
4. 球形电荷分布电场球对称电荷分布是指电荷均匀地分布在球的表面或内部。
对于一个半径为 R 的球形电荷分布体，当外部观察时，它产生的电场线是与一个球形电场线环相同的。
这些电场线从球心开始，扩张到球表面，然后再由球表面扩散到环外部，直到无限远处。
注意这个过程中电场线的密度不断减小。
5. 无限长直导线电场无限长直导线电场是指通过长导线上的电荷所产生的电场。
直导线所产生的电场，在其周围区域内是均匀的。
计算均匀带电球体的电场分布
計算均匀带电球体的电场分布
计算均匀带电球体的电场分布是一个重要的物理问题，它可以帮助我们理解电荷在空间中的分布和相互作用。
在这篇文章中，我们将讨论如何计算均匀带电球体的电场分布，并探讨这一问题的物理意义和应用。
首先，让我们考虑一个半径为R、带有总电荷量Q的均匀带电球体。
我们可以使用高斯定律来计算球体内外的电场分布。
在球体内部，由于电荷的均匀分布，可以证明球心到球内任意一点的电场强度E与该点到球心的距离r成反比，即E = kQr/R^3，其中k是一个常数。
而在球体外部，根据高斯定律，球外的电场分布与一个点电荷相同，即E = kQ/r^2。
接下来，我们可以利用这些公式来计算均匀带电球体的电场分布。
首先，我们可以计算球体内部的电场分布。
通过积分计算，我们可以得到球内的电场强度随距离的变化规律。
然后，我们可以计算球外的电场分布，根据高斯定律，利用球外的电场分布与一个点电荷相同的性质，可以得到球外的电场分布公式。
在实际应用中，均匀带电球体的电场分布计算可以帮助我们理
解电场的性质，例如在电场中的粒子受力情况、电场与电势的关系等。
此外，对于工程技术领域，了解电场分布也有助于设计电场传感器、电场屏蔽等设备。
总之，计算均匀带电球体的电场分布是一个重要的物理问题，它可以帮助我们深入理解电场的性质和应用。
通过本文的讨论，我们希望读者能够对这一问题有更深入的理解，并将其应用于实际问题的解决中。
有限长均匀带电圆柱体空间电势分布
有限长均匀带电圆柱体空间电势分布有限长均匀带电圆柱体空间电势分布：探索物理相关性与势垒解集合之间的微妙关系。
在讨论有限长均匀带电圆柱体空间电势分布时，将考查以下内容：1. 有限长均匀带电圆柱体概念：有限长均匀带电圆柱体（Finite Uniformly Charged Cylinder）是一种长度有限，沿着它的长度方向均匀分布电荷的圆柱体，这种电荷分布可以使其具有某种电势时，要求此圆柱体上每个元件处的电势大小和方向均是一致的，所以它是一种理想系统。
2. 空间电势分布：空间电势分布是对电势的表征，它指的是在某一特定的空间方向上，带电粒子的电势的大小和方向的分布情况。
有限长均匀带电圆柱体空间电势分布可以用以下方程来描述：V(r,θ,z)=(-Q/2πε_0)*(z/r+ln(r/a))其中r、θ和z分别表示待求空间电势的极坐标，Q表示电圆柱体上的总电荷，a表示电圆柱体的半径，而ε_0是真空介电常数。
由以上空间电势分布公式可知，有限长均匀带电圆柱体上电势的方向是沿着圆柱体的长度方向，而在某点上，电势随着r的变化，不论r如何变化，z/r恒为常数，因此电势只随着其余项ln(r/a)的变化而变化。
3. 电势分布分析：关于有限长均匀带电圆柱体的空间电势的典型分析，可以看出，圆柱表面上的its电势沿着它的长度方向是均匀的，而圆柱里面的电势是不均匀的，电势沿着圆柱从中心向外依次减弱。
同时，要注意电势随着半径变化的趋势，在圆柱面上，随着半径的减小，电势呈现出递减的趋势；而如果超出圆柱面的半径范围，电势的值又会急剧增加，甚至可能远超圆柱面上的电势值。
4. 总结：有限长均匀带电圆柱体空间电势分布就是上面所述的特定情况。
由于这种柱体的表面是均匀带电的，因此其电势分布也是沿着它的长度方向均匀的，而圆柱内部的电势则是随着半径减小而减小，但超出电圆柱体半径以外，电势值可能急剧增加。
有限长均匀带电直线电场的分析
有限长均匀带电直线电场的分析金彪（浙江省上虞市春晖中学，浙江 上虞 312353）摘要：本文分析了有限长均匀带电直线周围的电场，用两种方法论述了有限长均匀带电直线电场的电场线为双曲线而等势面为旋转椭球面，并由此计算出导体旋转椭球面电容及面电荷密度分布。
关键词：有限长均匀带电直线；旋转椭球面；双曲线；等势面；电场线；电势；电场强度如图1所示线段AB 为真空中均匀带正电直线，长为2c ，线电荷密度为e η，求其产生的电场中任一点D 的电场强度D E 与电势D U 。
1 用等效替代法求电场过D 点作AB 的垂线段DE ，垂足为E ，以D 为圆心，DE 长为半径，作圆弧FEG ，点F 在线段AD 上，点G 在线段BD 上，当圆弧FEG 的线电荷密度也为e η时，圆弧FEG 与线段AB 在D 点产生的电场强度相等。
论证如下：过D 点作任一微小角θd ，在圆弧和线段上分别截得HI 、JK ，过K 作KN 垂直于DJ ，则有三角形相似可得：22DHDJHI DH DJ NK DE DJ NK JKL L L L L L L L L L ⋅=⋅=⋅= （1） 由点电荷电场求解公式可得：线电荷密度相等短线JK 和HI 在D 点产生的电场强度相等，故线段AB和圆弧FG 在D 点的电场也相等。
由此可以得到线段AB 在D 的电场强度E D 方向为沿ADB ∠的角平分线DC 反向延长线向外。
若沿电场线方向移动一段微小距离l d 到D /，如图3。
可得ADC l L L AD AD /∠⋅=-sin d ，BDC l L L BD BD /∠⋅=-sin d ，由于DC 是ADB ∠的角平分线，可得BD BD AD AD L L L L //-=-， BD AD BD AD L L L L //-=-。
即：当D 点始终沿电场强度方向运动时，D 点运动的轨迹为电场线，而D 点到A 、B 两点的距离差保持不变，即电场线为双曲线。
有限长直线电荷的电场分布
有限长直线电荷的电场分布江俊勤【摘要】用Mathematica-10.3强大的数值计算和数字绘图能力,特别是绘制等值线和流线图的卓越功能,研究和比较了有限长均匀带电直线和带电导体直线两种电场的分布, 绘制了电势和电场大小、等势线和电场线的分布图.这种方法绘制的等势线和电场线能满足"等势线疏密程度反映电势变化的快慢"和"电场线疏密程度反映电场强弱"的定性要求,避免了以往文献只能随意绘制的缺陷.%Using the famous software Mathematica-10.3, the distributions of two kinds of electric field in the uniformly charged finite length-straight line and the charged conductor finite length-straight line are studied and compared, the distribution maps of the electric field intensity and the isoelectric line well as well the electric field line are plotted.The equipotential lines and the electric field lines drawn by this method can meet the qualitative requirements that "the density of the equal potential line reflects the speed of the electric potential change" and "the density of the electric field lines reflects the electric field strength", which avoids the defects of previous literature.【期刊名称】《广东第二师范学院学报》【年(卷),期】2017(037)003【总页数】6页(P65-70)【关键词】均匀带电有限长直线;带电有限长直导线;电势;电场强度;等势线;电场线【作者】江俊勤【作者单位】广东第二师范学院物理与信息工程系, 广东广州 510303【正文语种】中文【中图分类】O441.1有限长直线电荷的电场，是电磁场的重要模型之一，是人们一直关注的问题[1-4]．文[1-3]使用点电荷的电势或电场强度公式和叠加原理导出了均匀带电有限长直线的电势或电场强度，文[4]则用椭球面坐标系和高斯定理推导出均匀带电有限长直线的电场强度. 但现有文献存在两点不足：1)由于同种电荷相斥，有限长直线段上的电荷不会是均匀的，特别是有限长导体直线，其电荷分布必然是中间疏两头密.到目前为止，未见有资料详细研究带电有限长直导线的电势或电场强度分布问题；2)讨论均匀带电有限长直线的文献[2-4]没有给出定量的电场空间分布图, 都只是随意绘制了若干条等势线和电场线——未满足“等势线疏密程度反映电势变化的快慢”和“电场线疏密程度反映电场强弱”的定性要求.为了弥补现有文献的不足，本文用Mathematica-10.3强大的数值计算能力、卓越的数字绘图功能，统一研究和比较有限长均匀带电直线和带电导体直线两种电场的分布, 定量绘制电势和电场大小的空间分布图，并给出疏密程度符合物理要求的等势线和电场线分布图.设长度为2l的直线段上总带电荷量为Q ，以直线段中心为坐标原点，z轴在直线段上，研究该电场的空间分布.由于本问题具有轴对称性，只需研究P(x,0,z)点处电场的空间分布．设z=z′点处的电荷线密度为λ，则线元z′～z′+dz′上的电荷量为dQ=λdz′(点电荷)在P(x,0,z)点处产生的电势为dU==.对全直线段求积分，得U=.电场强度由电势的负梯度求得Ex=-，Ez=-.电势的计算依赖于电荷线密度λ，下面将分两种情况进行具体研究.先考虑最简单的模型，假设电荷Q均匀分布于直线段上，则λ为常数，λ=Q/2l，U=.以U0=Q/(4π2ε0l)为电势单位；相应地，电场强度以E0=Q/(4π2ε0l2)为单位, 由式(4)积分得U=U0ln[z+l+]-U0ln[z-l+].由式(3)得Ex=E0-E0,Ez=E0-E0.由式(5)，令U==U0ln C1(C1≥1)，得xoz平面内的等势线方程z+l+=C1[z-l+].对式(7)移项、等式两边平方，化简得(C2-1)x2+2(C-1)z2=2l2(C+1),式中 C= ；C1≥1，C≥1. 当C≠1，即C1≠1时，式(8)可改写为+=1,这是标准椭圆方程，半短轴为a=、半长轴为b=、半焦距为c==l.当C1→1，即C→1时，由式(8)得l→0或者x/l→∞或者z/l→∞, 直线分布电荷退化为点电荷(等势线是同心圆簇)，或者对应于远场(此时电场分布接近于点电荷的电场).给定一个C1值，由式(7)或式(8)可绘制出相应的一条等势线，电磁学要求等势线疏密程度应定性地反映电势变化的快慢，所以C1值的选取必须考虑电势U(x,z)的分布情况，使用Mathematica绘制三维曲面图的命令Plot3D，以-10≤x/l≤10和-10≤z/l≤10为画图区域，由式(5)和式(6)容易绘制电势U(x,z)和电场强度大小E(x,z)=的分布图，如图1所示，在带电直线段上电势和电场强度都是无穷大，绘图时被截去顶部(下同).不同观测区域电势变化的快慢差别很大：在区域外围，电势分布接近于点电荷的电势，而且变化缓慢；在接近带电线段时,电势快速变化. 按照定义要求：等势线疏密程度应定性地反映电势变化的快慢，如果根据式(7)或式(8)使用隐函数绘图法绘制等势线分布图，需要取大量不同的C1值，而C1值集合的选取必须考虑图1所示电势的变化规律，这是一件十分繁琐的工作. 所幸的是，在Mathematica-10.3等版本中，内置了绘制等高线的命令，直接把式(5)代入ContourPlot之中就可以方便准确地绘制出等势线分布图，以-10≤x/l≤10和-10≤z/l≤10为画图区域，取250条等高线，结果如图2所示(对应于不带箭头的黑色闭合曲线).图2显示： xoz平面内的等势线的确是以线段两个端点z=±l为焦点的共焦椭圆簇(在三维空间里则是绕z轴旋转的共焦椭球面簇)；在离带电线段较远的外围，等势线稀疏，代表电势变化缓慢、电场强度较小，而且椭圆形等势线的偏心率较小(接近于圆)；越往中心区，等势线越密，椭圆的偏心率越大；在带电线段附近，等势线十分密集(以至于无法分开各条等势线而形成一个黑色阴影区)，表示电势快速变化、电场强度很大.文[2]随意绘制出10条等势线(见该文中图2的虚线)，文[2]没有说明决定10条等势线位置的10个C1常数具体取多少以及凭什么依据取值，其结果图显然不满足“等势线疏密程度定性地反映电势变化的快慢”的要求、不符合图1所示的电势变化规律，其主要问题有两方面：(a)内层的等势线密度反而比中间层等势线密度小；(b)电势快速变化的中心区完全没有等势线(文[3]的情况也类似, 文[4]则象征性地画出两条等势线草图).电场线由一阶微分方程确定=.把式(6)代入式(10)，经化简和凑微分得 =.积分得电场线簇方程-=2C2(|C2|≤l).由式(11)移项、等式两边平方，化简得-+=1.式(12)是标准双曲线方程，其半焦距c==l，与C2无关，所以电场线是以z=±l为焦点的共焦双曲线簇，给定一个C2值就得到一条电场线. C2的值集如何选取才能使电场线疏密程度定性反映电场强弱？现有文献都没有妥善处理，文[2]和文[3]给出的电场线分布图都是在平行于带电直线方向上电场线十分稀疏，在垂直方向上电场线则密集得多(见文[2]的图2和文[3]的图3), 这与图1(b)所示的电场分布图不一致！C2值的选择是一个颇为复杂问题，在本文中我们将直接避开这个麻烦，方法是使用Mathematica-10.3等较高版本中一个十分有用的绘制流线图命令, 其格式为：StreamPlot[{Ex,Ez},其他选项]这样，可以直接从式(6)出发绘制电场线分布图，不用求解微分方程、不需要选择积分常数C2,这对于电场线微分方程没有解析解的情况更有意义！使用适当的“其他选项”后，得到电场线分布图，如图2中带箭头的射线簇所示, 电场线分布图较好地描述了电场的发布情况：在带电线段附近，x方向与z方向的分布明显不同，确保每条电场线都与大偏心率的椭圆形等势线正交(后面的近区放大图将更加清晰展现这一现象)；在离带电线段较远的外围，电场线的分布趋于各项同性，即趋于点电荷的电场分布规律.美中不足的是：在接近带电线段处，有些电场线没有画至与带电直线段相接，这是因为在这些地方的电场线过于密集，软件系统自动省去一些线段，但这不是大问题，我们在读图时只需将它顺延画到带电直线上就可以了.正如上面提到的，在远离带电线段的外围，电场分布情况与点电荷的电场相近；在带电直线段附近区域，电场分布情况才具有特色. 下面，取画图区域为-0.5≤x/l≤0.5和-1.5≤z/l≤1.5，电势、电场强度大小以及等势线和电场线合并图分别如图3、图4和图5所示.图1～图5全面、形象和准确地描述了均匀带电有限长直线的电场空间分布.图1和图2显示了电场分布的整体概貌;图3和图4详细地描述在带电直线段附近电势和电场强度大小的空间分布;图5详细地描述在带电直线段附近等势线和电场线的分布及其相互关系. 这些图不但美观而且正确反映了物理规律，图2和图5中等势线和电场线疏密程度能定性地反映电势的变化快慢和电场强度的大小分布.相较于文献[2]和[3]随意绘制若干条等势线和电场线，本文的方法和结果是一次质的飞跃. 需要特别强度的是：本文中，只需将电势和电场强度计算式直接代入Mathematica-10.3的绘图命令就可快速获得这些精美图像，无需推导和处理等势线方程和电场线方程. 在研究更复杂电荷系统的电场分布时(通常没有解析解)，这种方法尤其有用，下面用该方法研究有限长带电导体直线的电场分布.由于同种电荷相斥，有限长直线段上的电荷不会是均匀的，特别是有限长细导线，其电荷分布必然是中间疏两头密[5]，导线上z′点处的电荷线密度为λ=.把式(13)代入式(2)和式(3), 得U=,Ex=,Ez=.式(14)～式(16)是复杂的积分，本文用Mathematic-10.3的标准数值积分法进行计算，其他的处理方法和步骤与均匀带电有限长直线段的方法相同.取研究区域在导线附近：-0.5≤x/l≤0.5和-1.5≤z/l≤1.5，根据式(14)～式(16), 用三维曲面画图命令Plot3D、等值线绘图命令ContourPlot和流线图绘制命令StreamPlot，就可绘制出电势、电场强度大小以及等势线和电场线合并图，分别如图6、图7和图8所示，他们从各个角度准确地描述了带电有限长导体直线的电场分布.有限长直线电荷的电场，是人们关注的重要问题之一. 由于数学的复杂性，到目前为止，未见有其他作者研究和绘制有限长带电导体直线的等势线和电场线分布图；已有的文献仅仅讨论了最简单的情形——均匀带电有限长直线——其等势线和电场线方程都有解析解，分别含有任意常数C1和C2；但是C1值集和C2值集的选择必须考虑电势和电场强度的分布规律而且数集的元素必须足够多，这是一件繁难的工作，已有的文献都没有处理好这个问题、所给出的等势线和电场线分布图都是随意地绘制——不符合“等势线疏密程度反映电势变化的快慢”和“电场线疏密程度反映电场强弱”的物理要求.【相关文献】[1] 郑开春. 电动力学解题指导[M]. 北京：北京大学出版社，2004：20-21.[2] 卢林芳, 胡先权, 周林, 等. 有限长直线电荷等电势线和电力线的求解与描绘[J]. 重庆师范大学学报，2008, 25(3):66-69.[3] 姜付锦. 有限长均匀带电直线的电场分布特点[J]. 物理通报，2013(5):32-33. [4] 王爱霞,高国棉,周九茹. 有限长均匀带电直线电场的对称性分析与计算[J]. 大学物理，2015，34(10):17-19.[5] 陈钢. 有限长带电导体直线的电荷分布[J]. 大学物理，2011, 30(10):28-29.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有限长均匀带电杆及其简单复合体的空间电场分布 邓晓宇[摘要]利用教材中有限长带电杆的电场分布的结论，将正四边形均匀带电体，田字形均匀带电体视为多段带电直棒，在空间中采取分段计算然后利用场的叠加原理，导出带电正方形杆，可变田字形杆的普遍表达式，并由此创新性的拓展研究两个正方形杆，两个田字形杆的空间相互作用的空间电场分布，利用DTP 平台编程画出其电场的空间分布图形。
[关键词]带电正方形杆，田字形杆;分段计算;叠加原理；空间电场分布；DTP 平台 O 引言电场强度的计算是电磁学中的一个常见问题，在各种带电体中，具有中心对称性的带电细圆环或薄圆盘的研究比较多，方法也多种多样，而对不具有中心对称性的矩形或正方形的带电体则研究得很少，本文从教材中一个例题的结果引出，将均匀带电正方形杆，田字形杆视为多段带电直棒，采取分段计算然后利用场的叠加原理，导出均匀带电正方形杆，田字形杆空间电场分布的普遍表达式，并由此拓展研究两个正方形杆，两个田字形杆的空间相互作用的空间电场分布，最后利用DTP 平台编程画出其电场的空间分布图形。
1一段均匀带电细棒的空间电场分布一般来说应从点电荷的场利用叠加原理可计算限线电荷，面电荷，体电荷的场，但是，往往处理积分特别是多重积分会遇到计算上的困难，有限长直线均匀带电体的电场有一个解析表达式，利用这一结果，可以较方便的处理很多问题，其结果如下：如图1所示，均匀带电细棒的线电荷密度为λ，直棒外一点P 到直棒的距离为a ，点P 至棒两端的连线与直棒之间的夹角分别为α和β，则p 点的场强为:)sin (sin 4αβπελ-=a Ex ； ]1[)c o s (c o s 4βαπελ-=aEy 这是《大学物理学》教材中的结论，若点P 到直棒的垂足为O,O 到直棒两端的距离分别为1l ，和2l ，则p 点的场强为:)(11(4221222a l a l Ex +-+=πελ （1）)(422222211a l l a l l a Ey +++=πελ （2）由公式（1）和（2）并将其扩展至三维坐标系中有：))()(()(422222222zx y l y l zx y l y l z x xEx ++--++++++=πελ （3）))(1)(1(4222222zx y l z x y l Ey +++-++-=πελ （4） ))()(()(422222222zx y l y l zx y l y l z x zEz ++--++++++=πελ （5）根据上述公式就可以利用DTP 平台做出其空间电场分布的图形，如图2图2 有限长均匀带电杆的空间电场分布2带电正方形线圈的空间电场强度计算及作图利用上述结论还可以较方便的讨论许多问题，例如均匀带电平面的场，平行平板电容器的场，圆内接正多边形均匀带电线的场，环形均匀的场等。
这里以正四边形的空间电场分布为例作具体的研究讨论，并利用DTP 平台作出正四边形均匀带电体的场的空间电场分布情况，并且由得出的结论作出可变田字形，两个正四边形，两个田字形均匀带电体的空间电场分布情况作为创新性的扩展研究，使关于这一系列的问题的讨论更加全面，更加直观。
如图3所示，取正方形线圈的中心为坐标原点，平行于水平边向右为x 轴正方向，垂直于纸面向内的方向为y 轴的正方向，z 轴垂直于线圈平面，设正方形线圈边长为2l ，场点P 的坐标为(x,y,z)，先计算带电的BC 边在P 点产生的场强。
由图3可知:22)(z x l PQ a +-==（6）y l BQ l +==1 （7）y l QC l -==2 （8）图3 均匀带电正四边形的空间电场分析将式(6)、式(7)和式(8)代人式(1)和式(2)可得带电的BC 边在P 点产生的场强在Y 方向和QP 方向的分量分别为:=y BC E ))()(1)()(1(4222222zx l y l z x l y l +-++-+-+-πελ （9）=QP E ))()()()(()(422222222zx l y l yl zx l y l yl zx l +-+--++-++++-πελ再把QP 方向的场强分解到x 和y 方向:))()()()((])[(4)(cos 22222222zx l y l yl zx l y l yl z x l x l P PQ E E QP BC x +-+--++-++++---='∠-=πελ （10）))()()()((])[(4sin 22222222zx l y l yl zx l y l yl z x l zP PQ E E QP BC z +-+--++-++++-='∠=πελ （11）用同样的方法可求得其它带电的三条边在p 点产生的场强，其中带电的CD 边在p 处产生的场强为:=x CD E ))()(1)()(1(4222222zy l x l z y l x l +-++-+-+-πελ （12）))()()()((])[(4)(22222222zy l x l xl zy l x l xl z y l y l E y CD +-+--++-++++---=πελ （13）))()()()((])[(422222222zy l x l xl zy l x l xl z y l zE z CD +-+--++-++++-=πελ （14）带电的DA 边在P 处产生的场强为:=y DA E ))()(1)()(1(4222222zx l y l z x l y l ++++-+++-πελ （15）))()()()((])[(4)(22222222zx l y l yl zx l y l yl z x l x l E x DA +++--+++++++++=πελ （16）))()()()((])[(422222222zx l y l yl zx l y l yl z x l zE z DA +++--++++++++=πελ （17）AB 边电荷在P 处产生的场强为:=x AB E ))()(1)()(1(4222222zy l x l z y l x l ++++-+++-πελ （18）))()()()((])[(4)(22222222zy l x l xl zy l x l xl z y l y l E y AB +++--+++++++++=πελ （19）))()()()((])[(422222222zy l x l xl zy l x l xl z y l zE z AB +++--++++++++=πελ （20）依据前面各式带电正方形线圈在p 点产生的场强E 的分量表达式为:x x x x DA CD BC AB x E E E E E +++= （21）DAy CD BC ABy y E E E E E y y +++= （22）z z z z DA CD BC AB z E E E E E +++= （23）由此结果可以作出正四边形均匀带电体的空间电场分布情况如图4所示：图4均匀带电正四边形杆的空间电场分布3基于正四边形均匀带电体空间电场分布情况的创新性扩展研究1.在均匀带电细棒的空间电场分布和正四边形均匀带电体电场分布的基础上将这两种带电体放在同一空间，讨论其复合电场在空间的分布情况，电场分布的解析解可由与上诉求解正四边形均匀带电体的相同的方法并利用叠加原理求出，这里不再写出具体的求解方程（下同），其空间电场分布的情况如下图5所示：图5—1 图5—2图5—3 图5—4图5 可变田字形均匀带电体的空间电场分布2.基于同样的原理我们可以继续作出两个正四边形均匀带电体（图6）以及两个田字形均匀带电体（图7）的空间电场分布情况图：图6两个正四边形均匀带电体的空间电场分布图7两个田字形均匀带电体的空间电场分布根据上述讨论，我们由此可以找到处理这一系列问题的方法，不仅如此，利用公式（1）（2）以及圆内接n边形逼近圆的思想，我们可以求出均匀带电圆环的空间电场分布，再考虑线动成面，可以计算出有限打均匀带电圆弧柱面的场等等，此处不再多作讨论.参考文献:【1】李元杰，陆果.大学物理学（第二版）.北京；高等教育出版社【2】李元杰.数字物理教学典型案例.北京；高等教育出版社【3】樊雅平，黄生学.均匀带电正三角形线圈的电场分布。