梁的变形计算

梁的曲率与位移
根据上一章所得到 的结果， 的结果 ， 弹性范围内的挠 度曲线在一点的曲率与这 一点处横截面上的弯矩、 一点处横截面上的弯矩 、 弯曲刚度之间存在下列关 系：
M ＝ ρ EI
1
挠度与转角的相互关系
梁在弯曲变形后， 梁在弯曲变形后，横截面的 位置将发生改变， 位置将发生改变，这种位置的 displacement)。 改 变 称 为 位 移 ( displacement)。 梁的位移包括三个部分： 梁的位移包括三个部分： 横截面形心处的铅垂位移，称为挠度 表示； （deflection），用w表示； ） 表示 变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的 转角（ 表示； 角度，称为转角 ） 角度，称为转角（slope）用θ表示； 横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或 横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或水平 轴向位移 位移（ 表示。 位移（horizontal displacement），用u表示。 ） 表示
适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件平面弯曲。 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件平面弯曲。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续 条件）确定。 条件）确定。 优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。 优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。
例 题
解：2．建立梁的弯矩方程 从坐标为x的任意 从坐标为 的任意 截面处截开， 截面处截开，因为固定 端有两个约束力， 端有两个约束力，考虑 截面左侧平衡时， 截面左侧平衡时，建立 的弯矩方程比较复杂， 的弯矩方程比较复杂， 所以考虑右侧部分的平 得到弯矩方程： 衡，得到弯矩方程：
x
M(x) FQ(x)
小挠度微分方程的积分与积分常数的确定 P C
A
B
P D
C
支点位移条件： 支点位移条件： w A = 0, wB = 0 连续条件： 连续条件： w C − 光滑条件： 光滑条件： θ
C
−
wD = 0,θ D = 0
= wC+
= θ
C
+
w C− = w C+
或写成θ C 左 = θ C 右
小挠度微分方程的积分与积分常数的确定
梁的位移分析与刚度问题
梁的变形与梁的位移 梁的小挠度微分方程及其积分 叠加法确定梁的挠度与转角 梁的刚度问题 简单的静不定梁 结论与讨论
梁的曲率与位移
在平面弯曲的情形下， 在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横 截面绕中性轴相互转过一角度， 截面绕中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯 曲成平面曲线，这一曲线称为梁的挠度曲线 （deflection curve）。 ）
例 题
已知：左端固定右端 已知： 自由的悬臂梁承受均布 载荷。 载荷。均布载荷集度为q ， 梁的弯曲刚度为EI 、长 均已知。 度为l。q、EI 、l均已知。
求：梁的弯曲挠度与转角方程， 梁的弯曲挠度与转角方程， 以及最大挠度和最大转角。 以及最大挠度和最大转角。
例 题
O w
解：1．建立Oxw坐标系 建立Oxw坐标系 x 建立Oxw坐标系如图所示。 坐标系如图所示。 建立 坐标系如图所示 因为梁上作用有连续分布载荷， 因为梁上作用有连续分布载荷， 所以在梁的全长上， 所以在梁的全长上，弯矩可以用 一个函数描述，即无需分段。 一个函数描述，即无需分段。 2．建立梁的弯矩方程
梁的位移分析与刚度问题
本章将在上一章得到的曲率公式的基础上， 本章将在上一章得到的曲率公式的基础上， 建立梁的挠度曲线微分方程； 建立梁的挠度曲线微分方程；进而利用微分方 程的积分以及相应的边界条件确定挠度曲线方 在此基础上， 程。 在此基础上，介绍工程上常用的计算梁变 形的叠加法。此外， 形的叠加法。 此外，还将讨论简单的静不定梁 的求解问题。 的求解问题。
梁的位移分析的工程意义
机械传动机构中的齿轮轴，当 机械传动机构中的齿轮轴， 变形过大时(图中虚线所示 图中虚线所示)， 变形过大时 图中虚线所示 ， 两齿 轮的啮合处将产生较大的挠度和转 角 ， 这不仅会影响两个齿轮之间的 啮合，以致不能正常工作。 啮合，以致不能正常工作。 同时， 还会加大齿轮磨损， 同时将在转动的 同时 ， 还会加大齿轮磨损 ， 过程中产生很大的噪声。 过程中产生很大的噪声。 此外， 当轴的变形很大使， 轴在支承处也将 此外， 当轴的变形很大使 ， 产生较大的转角， 产生较大的转角 ， 从而使轴和轴承的磨损大大增 降低轴和轴承的使用寿命。 加，降低轴和轴承的使用寿命。
dx
ql 3 C= , 6 ql 3 D=− 24
例 题
解： 5． 确定挠度与转角方程
q 4 w= ( l − x) + 4l3x − l4 24EI q 3 θ =− ( l − x) − l 3 6EI 6EI
解： 6． 确定最大挠度与最大转角 从挠度曲线可以看出，悬臂梁在自由端处，挠度 从挠度曲线可以看出，悬臂梁在自由端处， 和转角均最大值。 和转角均最大值。 于是， 于是，将 x = l，分别代入挠度方程与转角方程， ，分别代入挠度方程与转角方程， 得到： 得到： ql 4 ql3 wmax = wB = θmax = θB = 6EI 8EI
l ≤ x ≤l 4
梁的位移分析的工程意义
工程设计中还有另外一类问题， 工程设计中还有另外一类问题 ， 所考虑 的不是限制构件的弹性位移， 的不是限制构件的弹性位移，而是希望在构件 不发生强度失效的前提下， 不发生强度失效的前提下，尽量产生较大的弹 性位移。例如，各种车辆中用于减振的板簧， 性位移。例如，各种车辆中用于减振的板簧， 都是采用厚度不大的板条叠合而成， 都是采用厚度不大的板条叠合而成，采用这种 结构，板簧既可以承受很大的力而不发生破坏， 结构，板簧既可以承受很大的力而不发生破坏， 同时又能承受较大的弹性变形， 同时又能承受较大的弹性变形，吸收车辆受到 振动和冲击时产生的动能， 振动和冲击时产生的动能，受到抗振和抗冲击 的效果。 的效果。
2

3
2
d2 w M =± 2 EI dx
弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w坐 弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w 标的取向有关。 标的取向有关。
小挠度微分方程
d2 w > 0, M > 0 2 dx
d2 w < 0, M > 0 2 dx
d w M = 2 EI dx
在小变形条件下，挠曲线较为 在小变形条件下， 平坦，即θ很小，因而上式中 tanθ≈θ。于是有
dw =θ dx
w＝ w（x），称为挠度方程（deflection equation）。 ＝ （ ），称为挠度方程（ ），称为挠度方程 ）。
梁的位移分析的工程意义
位移分析中所涉及的梁的变形和位移， 位移分析中所涉及的梁的变形和位移 ， 都是弹性的。尽管变形和位移都是弹性的， 都是弹性的。尽管变形和位移都是弹性的， 工程设计中， 工程设计中，对于结构或构件的弹性位移都 有一定的限制。弹性位移过大， 有一定的限制。弹性位移过大，也会使结构 或构件丧失正常功能，即发生刚度失效。 或构件丧失正常功能，即发生刚度失效。
1 3 EIw' = EIθ = − q ( l − x) + C 6
1 4 EIw = q ( l − x) + Cx + D 24
例 题
1 3 EIw' = EIθ = − q ( l − x) + C 6
1 4 EIw = q ( l − x) + Cx + D 24
解： 4． 利用约束条件确定积分常数 固定端处的约束条件为： 固定端处的约束条件为： dw x = 0，θ = =0 x = 0，w = 0
挠度与转角的相互关系
在小变形情形下， 上述位移中， 水平位移u与挠度 与挠度w 在小变形情形下 ， 上述位移中 ， 水平位移 与挠度 相比为高阶小量，故通常不予考虑。 相比为高阶小量，故通常不予考虑。 坐标系中， 在 Oxw坐标系中， 挠度与转角 坐标系中 存在下列关系： 存在下列关系：
dw = tanθ dx
小挠度微分方程
力学中的曲率公式
M = ρ EI
1 d2 w dx2 dw 1+ dx
2
1
数学中的曲率公式
ρ
=

3
2
小挠度微分方程
小挠度情形下
dw dx
2
￫ 01ρ来自=d2w dx2 dw 1+ dx
梁的变形分析与 刚度问题
梁的位移分析与刚度问题
上一章的分析结果表明，在平面弯曲的情形下， 上一章的分析结果表明，在平面弯曲的情形下，梁 的轴线将弯曲成平面曲线。如果变形太大， 的轴线将弯曲成平面曲线。如果变形太大，也会影响构 件正常工作。因此， 件正常工作。因此，对机器中的零件或部件以及土木工 程中的结构构件设计时，除了满足强度要求外， 程中的结构构件设计时，除了满足强度要求外，还必须 满足一定的刚度要求，即将其变形限制在一定的范围内。 满足一定的刚度要求，即将其变形限制在一定的范围内。 为此，必须分析和计算梁的变形。 为此，必须分析和计算梁的变形。 另一方面，某些机械零件或部件， 另一方面， 某些机械零件或部件， 则要求有较大的 变形，以减少机械运转时所产生的振动。 变形 ，以减少机械运转时所产生的振动。 汽车中的钣簧 即为一例。这种情形下也需要研究变形。 即为一例。这种情形下也需要研究变形。 此外，求解静不定梁， 此外，求解静不定梁，也必须考虑梁的变形以建立补 充方程。 充方程。
1 2 M (x) = − q ( l − x) 2