EM算法(讲解+程序)
EM算法详解.一种参数估计的方法
EM算法种参数估计的方法一种参数估计的方法提纲⏹高斯混合模型⏹EM 算法的思想⏹EM 算法的应用⏹总结⏹参考文献高斯混合模型⏹混合模型(Mixed Model)：其中，满足即混合模型由K 个成分组成，每个成分即合模个成分成每个成分的权重为⏹若混合模型中每个成分为高斯分布，则为高斯混合模型(Gaussian Mixture Model)()GMM 的例子⏹例1：一个班级每个学生的身高为假设男生和女生的身高分别服从高斯分布则其中为男生的比例，⏹问题：给定独立同分布(independent and identically (p ydistributed----IID)的数据，求参数),,,,,(222111σμασμα⏹混合模型的参数估计是EM(Expectation Maximization)算法最典型的应用GMM的例子例2：分布的随机数的直方图n = 10000;z = zeros(1,n);pw1 = 0.6;)1,3,4.0,2,2,6.0(),,,,,(222111-=σμασμαu1 = -2;std1 = 2;pw2=04;pw2 = 0.4;u2 = 3;std2 = 1;y1 = randn(1,floor(n*pw1))*std1 + u1;y2 = randn(1,floor(n*pw2))*std2 + u2;z(1,1:floor(n*pw1)) =y1;z(1,(floor(n*pw1)+1):n) = y2;提纲⏹高斯混合模型⏹EM 算法的思想⏹EM 算法的应用⏹总结⏹参考文献极大似然估计与EM 算法的关系⏹计算极大似然估计(maximum likelihood MLE)需要求似然函数的极值estimate ,MLE)，需要求似然函数的极值o解析法:如求正态分布均值和方差的MLEo值计算：如高斯混合模型EM 算法()极大似然估计(MLE)⏹独立同分布(IID)的数据),,,(21n X X X Λ=X 其概率密度函数为)|(θx f n似然函数定义为log 似然函数定义为∏==X =X i iX f f L 1)|()|()|(θθθ)|(log )|(X =X θθL l ^⏹的极大似然估计为θθθθ)|(max arg X =L θθ)|(max arg X =l完整数据⏹观测数据：观测到的随机变量的IID 样X 本),,,(21n X X X Λ=X ⏹缺失数据：未观测到的随机变量的值Y ),,,(21n Y Y Y Λ=Y 在GMM 中，若来自第k 个成分，则i X k Y i =⏹完整数据：包含观测到的随机变量和未观测到的随机变量的数据，X Y ),(Y X =Z ))),(,),,((11n n Y X Y X K =Z完整似然函数若隐含变量的值已知，得),,,(21n Y Y Y Λ=Y 到完整数据的log 似然函数为：log θθL l Y X =Y X )|,(log),|(g ),|(θniiY X f ∏=)|,(log 1θiink Y X f ∑==))|(),|(log(1θθiiini Y f Y X f ∑==1i =iEM—Expectation ⏹观测数据X 已知，参数的当前值已知，在完整似然函数中缺失数据)tθ在完整似然函数中，缺失数据(隐含变量) Y 未知，完整log 似然函数对Y 求期望。
分类 em算法
分类em算法摘要：1.引言2.EM 算法的基本原理3.EM 算法的分类应用4.结论正文：1.引言EM 算法，全称Expectation-Maximization 算法，是一种常见的概率模型优化算法。
该算法在统计学、机器学习等领域具有广泛的应用，特别是在分类问题上表现出色。
本文将重点介绍EM 算法在分类问题上的应用及其基本原理。
2.EM 算法的基本原理EM 算法是一种迭代优化算法，主要通过两个步骤进行：E 步（Expectation）和M 步（Maximization）。
在E 步中，根据观测数据计算样本的隐含变量的期望值；在M 步中，根据隐含变量的期望值最大化模型参数的似然函数。
这两个步骤交替进行，直至收敛。
EM 算法的基本原理可以概括为：对于一个包含隐含变量的概率模型，通过迭代优化模型参数，使得观测数据的似然函数最大化。
在这个过程中，EM 算法引入了Jensen 不等式，保证了算法的收敛性。
3.EM 算法的分类应用EM 算法在分类问题上的应用非常广泛，典型的例子包括高斯混合模型（GMM）和隐马尔可夫模型（HMM）。
（1）高斯混合模型（GMM）在传统的分类问题中，我们通常使用极大似然估计（MLE）来求解最佳分类模型。
然而，当数据分布复杂时，MLE 可能无法得到一个好的解。
此时，我们可以引入EM 算法，通过迭代优化模型参数，提高分类的准确性。
在GMM 中，EM 算法可以有效地处理数据的多峰分布，从而提高分类效果。
（2）隐马尔可夫模型（HMM）HMM 是一种基于序列数据的概率模型，广泛应用于语音识别、时间序列分析等领域。
在HMM 中，EM 算法被用于求解最优路径和状态转移概率。
通过EM 算法，我们可以有效地处理观测序列与隐状态之间的不确定性，从而提高分类效果。
4.结论EM 算法作为一种强大的概率模型优化算法，在分类问题上表现出色。
通过引入隐含变量和迭代优化，EM 算法可以有效地处理数据的复杂性和不确定性，提高分类的准确性。
EM算法
i i z i z i
(i ) Q ( z Z i ) 1 Qi ( z ) 0
Q i 表示隐含变量Z的某种分布，Qi 满足的条件是
z P x i , z i ; C
EM算法
i i z(i )
EM算法
(i ) (i ) (i ) ln p ( x ; ) ln p ( x , z ; ) i i 种分布，Qi 满足的条件是
(i ) Q ( z Z i ) 1 Qi ( z ) 0
p ( x ( i ) , z ( i ) ; ) ln Qi ( z ) (i ) ( i ) Q ( z ) i z i
根据数学期望的相关定 理：E[ f ( X )] f ( xi ) p( xi )
p ( x , z ; ) p ( x ( i ) , z ( i ) ; ) (i ) Q ( z ) 是 ( z )的数学期望 i (i ) Qi Qi ( z ) z(i ) p ( x ( i ) , z ( i ) ; )
(i ) (i ) (i )
i
ln(E[
i
Qi ( z )
(i )
])
(3)
EM算法
根据Jensen不等式：
f ( x) ln x是凹函数 f ( EX ) E f ( x)
lnE[ X ] Eln X
p( x ( i ) , z ( i ) ; ) ln(E[ ]) (i ) Qi ( z ) i (3)
至与此 t 对应的L t 的值相等。
只有当此时的下界等于 当前的对数似然函数时， 我才能保证当我优化这 个下界的时候，才真正 优化了目标函数。
EM算法详细例子+推导
首先来明确一下我们的目标：我们的目标是在观察变量 X 和给定观察 样本 x1, x2, ..., xn 的情况下，极大化对数似然函数
∑n
l(θ) = ln P (Xi = xi)
(5)
i=1
其中只包含观察变量的概率密度函数
∑
P (Xi = xi) = P (Xi = xi, Z = zj)
(6)
j
1这里因为参数 θ 的写法与条件概率的写法相同，因此将参数 θ 写到下标以更明确的表 述
如果我们这个时候有某种方法（比如，正确的猜到每次投掷硬币是 A 还是 B），这样的话我们就可以将这个不完整的数据估计变为完整数据估 计。
当然我们如果没有方法来获得更多的数据的话，那么下面提供了一种在
这种不完整数据的情况下来估计参数 θ 的方法。我们用迭代的方式来进行：
(1) 我们先赋给 θ 一个初始值，这个值不管是经验也好猜的也好，反正我 们给它一个初始值。在实际使用中往往这个初始值是有其他算法的结 果给出的，当然随机给他分配一个符合定义域的值也可以。这里我们 就给定 θA = 0.7, θB = 0.4
1
1 简介
期望最大化 (Expectation Maximization) 算法最初是由 Ceppellini[2] 等 人 1950 年在讨论基因频率的估计的时候提出的。后来又被 Hartley[3] 和 Baum[4] 等人发展的更加广泛。目前引用的较多的是 1977 年 Dempster[5] 等人的工作。它主要用于从不完整的数据中计算最大似然估计。后来经过 其他学者的发展，这个算法也被用于聚类等应用。
2 一个例子 [6]
本章节希望通过一个例子来解释期望最大化算法的来由以及合理性。
考虑一个投掷硬币的实验：现在我们有两枚硬币 A 和 B，这两枚硬币和 普通的硬币不一样，他们投掷出正面的概率和投掷出反面的概率不一定相
变分em算法
变分EM算法引言变分EM算法（Variational EM algorithm）是一种用于估计隐变量模型参数的迭代优化算法。
它结合了EM算法中的期望步骤（E步骤）和最大化步骤（M步骤），并使用变分推断方法对隐变量进行近似推断。
变分EM算法广泛应用于机器学习、统计学、计算机视觉等领域，并且在实际应用中取得了很好的效果。
二级标题1: EM算法回顾EM算法（Expectation-Maximization algorithm）是一种迭代优化算法，用于求解含有隐变量的概率模型的参数估计问题。
它的基本思想是通过迭代求解两个步骤：期望步骤（E步骤）和最大化步骤（M步骤）。
具体步骤如下：1.初始化模型参数。
2.E步骤：根据当前模型参数，计算隐变量的后验分布。
3.M步骤：最大化隐变量的边缘似然函数，求解模型参数的极大似然估计。
4.重复执行2和3步骤，直到收敛到最优解。
二级标题2: 变分推断变分推断（Variational Inference）是一种近似推断方法，用于在复杂的概率模型中近似计算边缘分布。
它基于变分计算和优化理论，通过寻找一个简单的分布来逼近目标分布，从而简化概率模型的计算问题。
在变分推断中，我们引入一个参数化的简单分布Q来近似复杂的后验分布P。
我们的目标是选择最优的Q，使得Q和P之间的差异最小化。
这个优化问题可以通过最小化Kullback-Leibler散度来解决。
二级标题3: 变分EM算法推导变分EM算法将变分推断方法应用于EM算法中。
它利用变分推断来近似计算隐变量的后验分布，并通过优化目标函数来求解模型参数的极大似然估计。
1.初始化模型参数和简单分布Q。
2.E步骤：根据当前模型参数和简单分布Q，计算隐变量的后验分布。
3.M步骤：最大化近似的边缘似然函数，求解模型参数的极大似然估计。
4.更新简单分布Q，以减小Q和真实后验分布的差异。
5.重复执行2、3和4步骤，直到收敛到最优解。
二级标题4: 变分EM算法的收敛性变分EM算法的收敛性是指算法迭代到一定步数后，能够找到一个极大似然估计，并且达到局部最优解。
大数据经典算法EM算法 讲解
������ ������ = ������������������ ������ = ������������
������=������
������ ������������ ������ =
������=������
������������������(������������ |������)
dl( p ) n dp 1 p
n
[x i ln p (1 x i )ln(1 p )] n ln(1 p ) x i[ln p ln(1 p )] i i
1 1
n 1 1 n 1 x i( ) xi 0 p 1 p 1 p p(1 p ) i 1 i 1
ˆ xi x 4. 解似然方程得： p n i 1 5. 验证在 pˆ x 时，d l( p ) 0，这表明 pˆ x 可使似 dp 然函数达到最大
2 2
11
1
n
16:54:11
小结
极大似然估计，只是一种概率论在统计学的应 用，它是参数估计的方法之一。说的是已知某 个随机样本满足某种概率分布，但是其中具体 的参数不清楚，参数估计就是通过若干次试验， 观察其结果，利用结果推出参数的大概值。最 大似然估计是建立在这样的思想上：已知某个 参数能使这个样本出现的概率最大，我们当然 不会再去选择其他小概率的样本，所以干脆就 把这个参数作为估计的真实值。
16:54:09
EM算法——最大期望算法
——吴泽邦 吴林谦 万仔仁 余淼 陈志明 秦志勇
1
16:54:10
食堂的大师傅炒了一份菜，要等分成两份给两个人吃
——显然没有必要拿来天平一点一点的精确的去称分量， 最简单的办法是先随意的把菜分到两个碗中，然后观察是 否一样多，把比较多的那一份取出一点放到另一个碗中， 这个过程一直迭代地执行下去，直到大家看不出两个碗所 容纳的菜有什么分量上的不同为止 EM算法就是这样，假设我们估计知道A和B两个参数，在 开始状态下二者都是未知的，并且知道了A的信息就可以 得到B的信息，反过来知道了B也就得到了A。可以考虑首 先赋予A某种初值，以此得到B的估计值，然后从B的当前 值出发，重新估计A的取值，这个过程一直持续到收敛为 止。
机器学习 EM算法详细版
本节课内容：计算似然的极大值
牛顿法 EM算法
极大似然估计
似然函数：令 X 1 ,..., X n 为IID，其pdf为 f ( x; θ ) ， 似然函数定义为
Ln (θ ) = ∏ f ( X i ; θ )
i =1 n
log似然函数：
ln (θ ) = log Ln (θ )
在给定观测数据的条件下，计算完整似然的期望（随 机变量为隐含变量）
涉及计算缺失数据的条件期望，需要利用参数的当前估计值
M —步：求极大值（ Maximization ）
求使得完整似然的期望最大的参数
又是一个极大值求解问题。通常可以解析求解，这时EM是一 个很方便的工具；否则，需借助一个可靠的最大化方法求解
i =1
n
k =1
EM—Maximization
t Q θ , θ 对E步计算得到的完整似然函数的期望 ( )求 极大值（Maximization），得到参数新的估计值， 即 t +1 t
θ
= arg max Q (θ , θ
θ
)
每次参数更新会增大似然（非完整似然）值 反复迭代后，会收敛到似然的局部极大值
涉及求和的log运算，计算困难
完整似然函数
若隐含变量的值 Y = (Y1 ,..., Yn ) 也已知，得到完整 数据的似然函数为：
n n i =1 i =1
log (L (θ | X , Y )) = log ∏ f ( X i , Yi | θ ) = ∑ log ( f ( X i , Yi | θ ))
EM算法（坐标上升算法）
EM算法（坐标上升算法）⼗⼤算法之⼀：EM算法。
能评得上⼗⼤之⼀，让⼈听起来觉得挺NB的。
什么是NB啊，我们⼀般说某个⼈很NB，是因为他能解决⼀些别⼈解决不了的问题。
神为什么是神，因为神能做很多⼈做不了的事。
那么EM算法能解决什么问题呢？或者说EM算法是因为什么⽽来到这个世界上，还吸引了那么多世⼈的⽬光。
我希望⾃⼰能通俗地把它理解或者说明⽩，但是，EM这个问题感觉真的不太好⽤通俗的语⾔去说明⽩，因为它很简单，⼜很复杂。
简单在于它的思想，简单在于其仅包含了两个步骤就能完成强⼤的功能，复杂在于它的数学推理涉及到⽐较繁杂的概率公式等。
如果只讲简单的，就丢失了EM算法的精髓，如果只讲数学推理，⼜过于枯燥和⽣涩，但另⼀⽅⾯，想把两者结合起来也不是件容易的事。
所以，我也没法期待我能把它讲得怎样。
希望各位不吝指导。
⼀、最⼤似然扯了太多，得⼊正题了。
假设我们遇到的是下⾯这样的问题：假设我们需要调查我们学校的男⽣和⼥⽣的⾝⾼分布。
你怎么做啊？你说那么多⼈不可能⼀个⼀个去问吧，肯定是抽样了。
假设你在校园⾥随便地活捉了100个男⽣和100个⼥⽣。
他们共200个⼈（也就是200个⾝⾼的样本数据，为了⽅便表⽰，下⾯，我说“⼈”的意思就是对应的⾝⾼）都在教室⾥⾯了。
那下⼀步怎么办啊？你开始喊：“男的左边，⼥的右边，其他的站中间！”。
然后你就先统计抽样得到的100个男⽣的⾝⾼。
假设他们的⾝⾼是服从⾼斯分布的。
但是这个分布的均值u和⽅差∂2我们不知道，这两个参数就是我们要估计的。
记作θ= [u, ∂]T。
⽤数学的语⾔来说就是：在学校那么多男⽣（⾝⾼）中，我们独⽴地按照概率密度p(x|θ)抽取100了个（⾝⾼），组成样本集X，我们想通过样本集X来估计出未知参数θ。
这⾥概率密度p(x|θ)我们知道了是⾼斯分布N(u,∂)的形式，其中的未知参数是θ=[u, ∂]T。
抽到的样本集是X={x1,x2,…,x N}，其中x i表⽰抽到的第i个⼈的⾝⾼，这⾥N就是100，表⽰抽到的样本个数。
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EM算法实验报告一、算法简单介绍EM 算法是Dempster，Laind，Rubin于1977年提出的求参数极大似然估计的一种方法，它可以从非完整数据集中对参数进行MLE估计，是一种非常简单实用的学习算法。
这种方法可以广泛地应用于处理缺损数据、截尾数据以及带有噪声等所谓的不完全数据，可以具体来说，我们可以利用EM算法来填充样本中的缺失数据、发现隐藏变量的值、估计HMM中的参数、估计有限混合分布中的参数以及可以进行无监督聚类等等。
本文主要是着重介绍EM算法在混合密度分布中的应用，如何利用EM算法解决混合密度中参数的估计。
二、算法涉及的理论我们假设X是观测的数据，并且是由某些高斯分布所生成的，X是包含的信息不完整（不清楚每个数据属于哪个高斯分布）。
，此时，我们用k维二元随机变量Z（隐藏变量）来表示每一个高斯分布，将Z 引入后，最终得到：，，页脚内容1然而Z的后验概率满足（利用条件概率计算）：但是，Z nk为隐藏变量，实际问题中我们是不知道的，所以就用Z nk的期望值去估计它（利用全概率计算）。
然而我们最终是计算max：最后，我们可以得到（利用最大似然估计可以计算）：页脚内容2三、算法的具体描述3.1 参数初始化对需要估计的参数进行初始赋值，包括均值、方差、混合系数以及。
3.2 E-Step计算利用上面公式计算后验概率，即期望。
3.3 M-step计算重新估计参数，包括均值、方差、混合系数并且估计此参数下的期望值。
3.4 收敛性判断将新的与旧的值进行比较，并与设置的阈值进行对比，判断迭代是否结束，页脚内容3若不符合条件，则返回到3.2，重新进行下面步骤，直到最后收敛才结束。
页脚内容4四、算法的流程图页脚内容5五、实验结果a_best=0.8022 0.1978mu_best=2.71483.93074.9882 3.0102cov_best=(:,:,1) =5.4082 -0.0693-0.0693 0.2184(:,:,2) =页脚内容60.0858 -0.0177-0.0177 0.0769f=-1.6323数据X的分布页脚内容7每次迭代期望值利用EM估计的参量值与真实值比较（红色：真实值青绿色：估计值）页脚内容8六、参考文献1.M. Jordan. Pattern Recognition And Machine Learning2.Xiao Han. EM Algorithm七、附录close all;clear;clc;% 参考书籍Pattern.Recognition.and.Machine.Learning.pdf页脚内容9% % lwm@% 2009/10/15%%M=2; % number of GaussianN=200; % total number of data samplesth=0.000001; % convergent thresholdK=2; % demention of output signal% 待生成数据的参数a_real =[4/5;1/5];mu_real=[3 4;5 3];cov_real(:,:,1)=[5 0;0 0.2];cov_real(:,:,2)=[0.1 0;0 0.1];页脚内容10% generate the datax=[ mvnrnd( mu_real(:,1) , cov_real(:,:,1) , round(N*a_real(1)) )' , mvnrnd(mu_real(:,2),cov_real(:,:,2),N-round(N*a_real(1)))'];% for i=1:round(N*a_real(1))% while (~((x(1,i)>0)&&(x(2,i)>0)&&(x(1,i)<10)&&(x(2,i)<10)))% x(:,i)=mvnrnd(mu_real(:,1),cov_real(:,:,1),1)';% end% end%% for i=round(N*a_real(1))+1:N% while (~((x(1,i)>0)&&(x(2,i)>0)&&(x(1,i)<10)&&(x(2,i)<10)))% x(:,i)=mvnrnd(mu_real(:,1),cov_real(:,:,1),1)';% end% endfigure(1),plot(x(1,:),x(2,:),'.')页脚内容11%这里生成的数据全部符合标准%% %%%%%%%%%%%%%%%% 参数初始化a=[1/3,2/3];mu=[1 2;2 1];%均值初始化完毕cov(:,:,1)=[1 0;0 1];cov(:,:,2)=[1 0;0 1];%协方差初始化%% EM Algorothm% loopcount=0;figure(2),hold onwhile 1a_old = a;mu_old = mu;cov_old= cov;页脚内容12rznk_p=zeros(M,N);for cm=1:Mmu_cm=mu(:,cm);cov_cm=cov(:,:,cm);for cn=1:Np_cm=exp(-0.5*(x(:,cn)-mu_cm)'/cov_cm*(x(:,cn)-mu_cm));rznk_p(cm,cn)=p_cm;endrznk_p(cm,:)=rznk_p(cm,:)/sqrt(det(cov_cm));endrznk_p=rznk_p*(2*pi)^(-K/2);%E step%开始求rznkrznk=zeros(M,N);%r(Zpikn=zeros(1,M);%r(Zpikn_sum=0;页脚内容13for cn=1:Nfor cm=1:Mpikn(1,cm)=a(cm)*rznk_p(cm,cn);% pikn_sum=pikn_sum+pikn(1,cm);endfor cm=1:Mrznk(cm,cn)=pikn(1,cm)/sum(pikn);endend%求rank结束% M stepnk=zeros(1,M);for cm=1:Mfor cn=1:Nnk(1,cm)=nk(1,cm)+rznk(cm,cn);end页脚内容14enda=nk/N;rznk_sum_mu=zeros(M,1);% 求均值MUfor cm=1:Mrznk_sum_mu=0;%开始的时候就是错在这里，这里要置零。
for cn=1:Nrznk_sum_mu=rznk_sum_mu+rznk(cm,cn)*x(:,cn);endmu(:,cm)=rznk_sum_mu/nk(cm);end% 求协方差COVfor cm=1:Mrznk_sum_cov=zeros(K,M);for cn=1:N页脚内容15rznk_sum_cov=rznk_sum_cov+rznk(cm,cn)*(x(:,cn)-mu(:,cm))*(x(:,cn)-mu(:,cm))';endcov(:,:,cm)=rznk_sum_cov/nk(cm);endt=max([norm(a_old(:)-a(:))/norm(a_old(:));norm(mu_old(:)-mu(:))/norm(mu_old(:));nor m(cov_old(:)-cov(:))/norm(cov_old(:))]);temp_f=sum(log(sum(pikn)));plot(count,temp_f,'r+')count=count+1;if t<thbreak;end页脚内容16end %while 1hold offf=sum(log(sum(pikn)));a_best=a;mu_best=mu;cov_best=cov;f_best=f;% 输出结果disp('a_best=');disp(a_best);disp('mu_best=');disp(mu_best);disp('cov_best=');disp(cov_best);页脚内容17disp('f=');disp(f);figure(3),hold onplot(x(1,:),x(2,:),'.');plot(mu_real(1,:),mu_real(2,:),'*r');plot(mu_best(1,:),mu_best(2,:),'+c');hold off页脚内容18。