2011届高考数学二轮复习课件8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
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高三数学精品课件：空间点、直线、平面之间的位置关系
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考点二 空间两条直线的位置关系(基础考点——自主探究)
自主演练
3．在图中，G，N，M，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱 的图中①点中，，直则线表G示H直∥线MNG；H图，②M中N，是G，异H面，直N线三的点图共面形，的但是 _M__∉②_平_④_面___G_H．N(，填因序此号直)．线 GH 与 MN 异面；图③中，连接 MG，GM∥HN，因此 GH 与 MN 共面；图④中，G，M， N 共面，但 H∉平面 GMN，因此 GH 与 MN 异面．所以在 图②④中，GH 与 MN 异面．
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小题纠偏
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1．已知直线 a 和平面 α，β，α∩β ＝l，a⊄α，a⊄β，且 a 在 α，β 内的 射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是( D ) A．相交或平行 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面
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小题诊断
重温教材 自查自纠
1．四条线段顺次首尾相连，它们
最多可确定的平面个数有( A )
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
首尾相连的四条线段 每相邻两条确定一个 平面，所以最多可以 确定四个平面．
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2．空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系
空间直线与平面平面与平面之间的位置关系PPT课件
1.两个平面平行—— 没有一条公共直线.
a
第10页/共20页
练习：
若M∈平面α，M∈平面β，则不同平面α与β
的
B
位置关系是 ( )
A．平行
B．相交
【C．解重析合】由公理3知D，．α不与确β相定交．
第11页/共20页
例2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？ 画出图形表示你的结论.
判断直线与平面的位置关系关键在于——判断 直线与平面的公共点的个数.
第2页/共20页
a α
a a
A
α
α
直线在平面α内 直线与平面α相交
直线与平面α平行
有无数个交点 a⊂α
有且只有一个交点 a ∩ α= A
无交点 a∥α
第3页/共20页
下面画法错误的是：
a
α
α
a a
α
直线应画在面内
第4页/共20页
答:有可能1条交线，也有可能3条交线.
（1）
（2）
第12页/共20页
(3)
1.若直线a不平行于平面α，且 立的是（ B ）
A.α内所有直线与a异面 B.α内不存在与a平行的直线 C.α内存在唯一的直线与a平行 D.α内的直线与a都相交
则下列结论成
第13页/共20页
2.平面α//平面β,且直线a在平面α内，下列四个 命题： ①a与β内的所有直线都平行； ②a与β内的无数条直线平行； ③a与β内的任一直线都不垂直； ④a与β无公共点. 其中错误命题的序号为__①___③_____.
直线与平面的位置关系
位置 关系
a在α内
a与α相交 a与α平行
公共点 符号表示
有无数个公共 点
人教高中数学必修二《空间点-直线-平面之间的位置关系-平面》PPT全文课件
4、若给定空间三条直线共面的条件，这四个条 件中不正确的是（ ）
①三条直线两两相交 ② 三条直线两两平行 ③三条直线中有两条平行 ④三条直线共点
5、根据下列条件画出图形：平面α∩平面β=AB 直线a∈α,直线b∈β,a∥AB,b∥AB
6、如图、A∈α,直线AB和AC不在α内，画出AB和 AC所确定的平面β，并画出直线BC和平面α的交 点.
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B
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平面公理
思考
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面
与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
（2）集合关系： Aa, A, a,
图形
Aa Aa
A
A
A ab
符号语言
Aa
文字语言(读法)
点在直线上
A a 点不在直线上
A
点在平面内
A
点不在平面内
a b A 直线a、b交于点A
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图形
a
a
a A
符号语言
A
B
D C
A
B
这条公共直线B’C’叫做这 两个平面A’B’C’D’和平面 BB’C’C的交线．
另一方面，相邻两个平面有一 个公共点，如平面A’B’C’D’ 和平面BB’C’C有一个公共点 B’，经过点B有且只有一条过该 点的公共直线B’C’.
随堂练习
在正方体 ABA C 1B 1 C 1 D D 1中，判断下列命题是否 正确，并说明理由：
①三条直线两两相交 ② 三条直线两两平行 ③三条直线中有两条平行 ④三条直线共点
5、根据下列条件画出图形：平面α∩平面β=AB 直线a∈α,直线b∈β,a∥AB,b∥AB
6、如图、A∈α,直线AB和AC不在α内，画出AB和 AC所确定的平面β，并画出直线BC和平面α的交 点.
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B
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平面公理
思考
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面
与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
（2）集合关系： Aa, A, a,
图形
Aa Aa
A
A
A ab
符号语言
Aa
文字语言(读法)
点在直线上
A a 点不在直线上
A
点在平面内
A
点不在平面内
a b A 直线a、b交于点A
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图形
a
a
a A
符号语言
A
B
D C
A
B
这条公共直线B’C’叫做这 两个平面A’B’C’D’和平面 BB’C’C的交线．
另一方面，相邻两个平面有一 个公共点，如平面A’B’C’D’ 和平面BB’C’C有一个公共点 B’，经过点B有且只有一条过该 点的公共直线B’C’.
随堂练习
在正方体 ABA C 1B 1 C 1 D D 1中，判断下列命题是否 正确，并说明理由：
高考数学 第七章 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 理 新人教A版
α,β相交，并记作α∩β=a.
()
(2)两个平面α,β有一个公共点A，就说α,β相交于过A点的
任意一条直线.
()
(3)两个平面α,β有一个公共点A，就说α,β相交于A点，并
记作α∩β=A.
()
(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.
()
(5)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面. ( )
(6)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( )
1.有以下命题： ①若平面α与平面β相交，则它们只有有限个公共点；②经过 一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；③经过两 条相交直线有且只有一个平面；④两两相交且不共点的三条直 线确定一个平面. 其中，真命题的个数是( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 【解析】选B.若平面α与平面β相交，则它们有无数个公共点，c满足a∥b,a，c异面，则b与c( )
(A)一定是异面直线
(B)一定是相交直线
(C)不可能是平行直线
(D)不可能是相交直线
【解析】选C.∵a∥b，a,c异面，
∴b与c相交或异面.
3.下列命题： ①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行； ②两条直线不异面，则这两条直线相交； ③分别在两个平面内的直线是异面直线； ④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线 和这个平面平行. 其中正确命题的个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
【解析】根据平面的性质公理3可知(1)对；对于(2)，其错误 在于“任意”二字上；对于(3)，错误在于α∩β=A上；对于 (4)，应为平面ABC和平面DBC相交于直线BC； 两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，故(5)正确； 命题(6)中没有说清三个点是否共线，故不正确. 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)×
高中数学必修第二册人教A版-第八章-8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系课件
课堂小结
1.知识清单： (1)直线与直线的位置关系. (2)直线与平面的位置关系 (3)平面与平面的位置关系. (4)两条异面直线所成的角. 2.方法归纳：模型法. 3.常见误区：忽视两条异面直线所成的角的范围.
Thank you for watching !
1.定义：不同在 任何一个 平面内的两条直线. 2.异面直线的画法(衬托平面法) 如图(1)(2)(3)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两 个平面来衬托.
3.判断两直线为异面直线的方法 ①定义法；②两直线既不平行也不相交.
知识点二 空间两条直线的位置关系
空间两条直线的三种位置关系 1.从是否有公共点的角度来分：
跟踪训练
(1)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是
A.平行
B.异面
C.相交
D.平行、相交或异面
D解析 可借助长方体来判断. 如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b， 已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′ C′D′中的B′C′，CC′，DD′. 故a和c可以平行、相交或异面.
空间点、直线、平面之间的位置
8.4
关系
第八章
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
学习目标
1.掌握空间中直线与直线的位置关系. 2.理解异面直线的概念. 3.理解直线与平面位置关系的定义. 4.理解平面与平面位置关系的定义. 核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理
新知学习
知识点一 异面直线的定义
证明 因为E，E′分别是AB，A′B′的中点， 所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′. 所以四边形EBB′E′是平行四边形， 所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′. 所以EE′∥FF′.
空间点、直线、平面之间的位置关系-高考复习课件
①D，B，F，E 四点共面； ②若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P，Q，R 三点共线； ③DE，BF，CC1 三线交于一点.
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证明：①如题图所示. 因为 EF 是△ D1B1C1 的中位线，所以 EF∥
B1D1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，B1D1∥BD，所以 EF∥BD． 所以
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12
4．异面直线 (1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． (2)判定方法： ①与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线． ②分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
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13
(3)异面直线所成角：如图，已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 分别作直 线 a′∥a，b′∥b，我们把直线 a′与 b′所成的角 叫做异面直线 a 与 b 所成的 角(或夹角). 异面直线所成角的范围是 (0°，90°] ．
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37
解析：延长 FE 与 B1B 的延长线交于点 H，连接 A1H，延长 EF 与 B1C1 的延长线交于 点 N，如图．因为 E，F 分别为棱 BC，CC1 的中点， 所以△ECF≌△EBH，△ECF≌△ NC1F，所以 BH＝CF＝1，C1N＝EC＝1，因为AB1GB1＝HHBB1＝13，所以点 A1，G，H 三点共线， 连接 A1N，设线段 A1N 交线段 D1C1 于点 Q，连接 QF，则过 G，E，F 三点的平面截该正 方体所得截面为五边形 EFQA1G，因为△NC1Q∽△NB1A1，所以AC11BQ1＝NNCB11＝13，所以 D1Q ＝2C1Q，
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31
③因为 EF∥BD 且 EF<BD， 所以 DE 与 BF 相交，设交点为 M， 则由 M∈DE，DE⊂平面 D1DCC1， 得 M∈平面 D1DCC1，同理，点 M∈平面 B1BCC1. 又平面 D1DCC1∩平面 B1BCC1＝ CC1，所以 M∈CC1. 所以 DE，BF，CC1 三线交于点 M.
2011届高考数学二轮复习考点突破课件：第12讲 空间点、直线、平面之间的关系
(2)证明：由四边形 ABCD 为正方形，有 AB⊥BC. 证明： 为正方形， 证明 ⊥ 又 EF∥AB，∴EF⊥BC. ∥ ， ⊥ 而 EF⊥FB，∴EF⊥平面 BFC. ⊥ ， ⊥ ∴EF⊥FH，∴AB⊥FH. ⊥ ， ⊥ 又 BF＝FC，H 为 BC 的中点，∴FH⊥BC. ＝ ， 的中点， ⊥ ∴FH⊥平面 ABCD，∴FH⊥AC. ⊥ ， ⊥ 又 FH∥EG，∴AC⊥EG. ∥ ， ⊥ 又 AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面 EDB. ⊥ ， ∩ ＝ ， ⊥ (3)解：EF⊥FB，∠BFC＝90°， 解 ⊥ ， ＝ ， ∴BF⊥平面 CDEF. ⊥ 在平面 CDEF 内过点 F 作 FK⊥DE 交 DE 的延长线 ⊥ 于 K，则∠FKB 为二面角 B－DE－C 的一个平面角． ， － － 的一个平面角． 设 EF＝1，则 AB＝2，FC＝ 2，DE＝ 3. ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝
1.正三棱柱 A1B1C1－ABC 中，点 D 是 BC 的中点，BC＝ 正三棱柱 的中点， ＝ 2BB1，设 B1D∩BC1＝F.求证： 求证： ∩ 求证 (1)A1C∥平面 AB1D； ∥ ； (2)BC1⊥平面 AB1D. 证明：(1)连结 A1B，设 A1B 与 AB1 交于 E，连结 DE. 证明： 连结 ， ， 中点， 中点， ∵点 D 是 BC 中点，点 E 是 A1B 中点，∴DE∥A1C ∥ ∵A1C⊄平面 AB1D， ⊄ ， DE⊂平面 AB1D， ⊂ ， ∴A1C∥平面 AB1D. ∥
2．直线、平面平行的判定及其性质 ．直线、 (1)线面平行的判定定理 ∵a⊄α，b⊂α，a∥b，∴a∥α. 线面平行的判定定理 ⊄ ， ⊂ ， ∥ ， ∥ (2)线面平行的性质定理 ∵a∥α，a⊂β，α∩β＝b，∴a∥b. 线面平行的性质定理 ∥ ， ⊂ ， ∩ ＝ ， ∥ (3)面面平行的判定定理 ∵a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α， 面面平行的判定定理 ⊂ ， ⊂ ， ∩ ＝ ， ∥ ， b∥α，∴α∥β. ∥ ， ∥ (4)面面平行的性质定理 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b， 面面平行的性质定理 ∥ ， ∩ ＝ ， ∩ ＝ ， ∴a∥b. ∥ 3．直线、平面垂直的判定及其性质 ．直线、 (1)线面垂直的判定定理 ∵m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m， 线面垂直的判定定理 ⊂ ， ⊂ ， ∩ ＝ ，⊥ ， l⊥n，∴l⊥α. ⊥ ， ⊥ (2)线面垂直的性质定理 ∵a⊥α，b⊥α，∴a∥b. 线面垂直的性质定理 ⊥ ， ⊥ ， ∥ (3)面面垂直的判定定理 ∵a⊂β，a⊥α，∴α⊥β. 面面垂直的判定定理 ⊂ ， ⊥ ， ⊥ (4)面面垂直的性质定理 面面垂直的性质定理 ∵α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l， ⊥ ， ∩ ＝， ⊂ ， ⊥， ∴a⊥β. ⊥
高中数学高考第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件
主
回 顾
c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．
课 后
对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．
限 时
集
课 堂
对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正
训
考
点 确．
探
究
返 首 页
41
课
前
自
主 回
(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M 课
顾
∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，
探
究 _有__且__只__有__一__条___过该点的公共直线．
返 首 页
5
课
前 自
(4)公理2的三个推论
主
回 顾
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平 课 后
面．
限 时
集
课 堂
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
训
考
点
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
探
究
返 首 页
后 限
些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在
时 集
课
训
堂 考
交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点
点
探 也在该直线上．
究
返 首 页
25
课 前
(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直
自
主 线经过该点．
回
课
顾
(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，
探
究
返 首 页
43
1.下列结论中正确的是 ( )
空间直线和平面的位置关系ppt课件
a
④求异面直线A1B与B1C1的距离
2a 2Biblioteka 例３：如图，已知长方体ABCD-A’B’C’D’的
棱长AA’=3cm,AB=4cm,AD=5cm.
(1)求点A和C’的距离；
(2)求点A到棱B’C’的距离；
(3)求棱AB和平面A’B’C’D’的距离；
(4)求异面直线AD和A’B’的距离．
D
C
A
B
D’
C’
取一点M，我们把__点__M___到___平__面____的___距___离_____
叫做直线l 和平面的距离。
3)平面和平面的距离： 设平面平行于平面β,在平面上任取一点M,我
们把_点__M__到_平__面__β_的__距__离__叫做平面和平面β
的距离。
M
MN
N
4)异面直线的距离
思考:和两条异面直线都垂直的直线有多少条？
练习:1. 选择题:
(1) 直线 m 与平面 平行的充分条件是 ( )
A. 直线 m 与平面 内一条直线平行;
B. 直线 m 与平面 内无数条直线平行; C. 直线 m 与平面 内所有直线平行; D. 直线 m 与平面 没有公共点;
(2) 过直线 l 外两点,作与 l 平行的平面,这样的平面 ( ) A. 能作无数个; B. 只能作一个;
(2) 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 .
(3) 平面的垂线一定与平面相交,交点就是垂足 .
A
直线和平面垂直，记作
l
2、判定直线和平面垂直的方法 （1）根据定义
直线l与平面上的任何直线都垂直
（2）直线和平面垂直的判定定理
定理2:如果直线l与平面上的两条相交直线a,b都 垂直，那么直线l与平面垂直.
高中数学必修2第二章-空间点、直线、平面之间的位置关系PPT
思考
在同一平面内两条相交直线形成四个角，常
取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系，这
个角叫做两条直线的夹角.在空间中怎样度量两条
异面直线的位置关系呢？
a
a
b b
平面内两条相交直线 空间中两条异面直线
25
已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直
线 a//a,•b/b /，把 a 与b 所成的锐角（或直角）叫
“点P在直线l 外”,“点A在平面α外”Pl,A
直线 l 在平面α内，或者说平面α经过直线 l
直线 l 在平面α外.
l ,l
10
平面的基本性质
思考1：如何让一条直线在一个平面内？
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内 ,那么这条直线在此平面内.
平面经过这条直线 集合符号表示
A．
B．
α
A l,B l,且 A ,B l
如：AD 与 BB,AD与 BB等．
D
（2）如果两条平行直线中的 A
一条与某一条直线垂直，那么，
D
另一条直线是否也与这条直线 A
垂直？
垂直
C B
C B
（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
不一定，如上图的立方体中
直线AB与BC相交， A B B B ,B C B B ,
28
本节小结
基本知识 （1）空间直线的三种位置关系． （2）平行线的传递性． （3）等角定理． （4）异面直线所成的角．
基本方法 把空间中问题通过平移转化为平面问题.
29
2.1.3
空间中直线与平面之间 的位置关系
30
主要内容
直线与平面的位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行
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探究提高 解决这类开放型问题常用的方法有直
接法(即由条件入手，经过推理、演算、变形等),
如第（1）问，还有假设法，特例法，有时证明两 直线异面用直接法较难说明问题,这时可用反证 法，即假设两直线共面，由这个假设出发，来推 证错误，从而否定假设，则两直线是异面的.
知能迁移2
(1)如图是一几何体的平面展开图，
①错；②正确；③正确；④错.故选B.
（2）如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分
别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线.
其中正确的结论为
解析
③④ （注：把你认为正确
其中四边形ABCD为正方形，E、F分别为PA、
PD的中点,在此几何体中,给出下面四个结论： ①直线BE与直线CF是异面直线； ②直线BE与直线AF是异面直线； ③直线EF∥平面PBC；
④平面BCE⊥平面PAD.
其中正确结论的序号是（ B ） A.①② B.②③ C.①④ D.②④
解析
由EF∥AD∥BC，知BE、CF共面，
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由（1）知BG CH，∴EF∥CH，
∴EF与CH共面.
又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面. 方法二 如图所示，延长FE， DC分别与AB交于点M，M′， 1 ∵BE AF，∴B为MA中点. 2 ∵BC 1 AD， 2 ∴B为M′A中点， ∴M与M′重合，即FE与DC交于点M（M′）， ∴C、D、F、E四点共面.
定两个平面. 答案 ①②
题型分类 深度剖析
题型一 平面的基本性质
【例1】如图所示，空间四边形ABCD 中,E、F、G分别在AB、BC、CD上,
且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1， CG∶GD=3∶1，过E、F、G的平
面交AD于H，连接EH.
（1）求AH∶HD； （2）求证：EH、FG、BD三线共点.
成的角，再计算.
（2）可证A1C1与EF垂直.
解
(1)如图所示,连接B1C, 由ABCD—A1B1C1D1
是正方体，
易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的锐角或直角
就是AC与A1D所成的角. ∵AB1=AC=B1C，∴∠B1CA=60°.
即A1D与AC所成角为60°.
(2)如图所示,连接AC、BD,在正方体ABCD—
线所成角的大小与顶点位置无关，往往将角的
顶点取在其中的一条直线上，特别地，可以取 其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或
异面线段的端点.总之，顶点的选择要与已知量
有关，以便于计算，具体步骤如下：
(1)利用定义构造角，可固定一条,平移另一
条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点
选在特殊的位置上； (2)证明作出的角即为所求角； (3)利用三角形来求解.
3 棱长为1，则AD= ，由A1D ⊥平面 图（1） 2 1 ABC 知A1D= ,Rt△A1BD中，易求A1B= 2 1 1 2 . 4 4 2
∵CC1∥AA1，∴AB与AA1所成的角即为AB与CC1所 成的角.在△A1BA中,由余弦定理可知cos∠A1AB=
11 1 2 3. 2 1 1 4
题型二
异面直线的判定
【例2】 (12分)如图所示，正方体ABCD
—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、 B1C1的中点.问： （1）AM和CN是否是异面直线？说明理由； （2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.
思维启迪 （1）易证MN∥AC，∴AM与CN不异
面. （2）由图易判断D1B和CC1是异面直线，证明时
思维启迪 证明线共点的问题实质上是证明点在
线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面 的交线,点看作是两平面的公共点,由公理3得证.
AE CF (1)解 2, ∴EF∥AC. EB FB ∴EF∥平面ACD.而EF平面EFGH，
且平面EFGH∩平面ACD=GH， ∴EF∥GH.而EF∥AC， ∴AC∥GH.
的结论的序号都填上）. 直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN
也是异面直线，故①②错误.
题型三
求异面直线所成的角
【例3】 正方体ABCD—A1B1C1D1中， （1）求AC与A1D所成角的大小；
（2）若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与 EF所成角的大小.
思维启迪 （1）平移A1D到B1C，找出AC与A1D所
解析
没有公共点的两直线平行或异面,故①错；
命题②错,此时两直线有可能相交；命题③正确，
因为若直线a和b异面，c∥a,则c与b不可能平行， 用反证法证明如下：若c∥b,又c∥a,则a∥b，这 与a,b异面矛盾，故c b;命题④也正确，若c与两 异面直线a,b都相交，由公理3可知，a,c可能确定
一个平面,b,c也可确定一个平面，这样,a,b,c共确
图（2）
答案 D
思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.主要题型的解题方法 （1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部 分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点
也在这个平面内（即“纳入法”）.
（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的 交线,只要证明这些点都是这两个平面的公共
点,根据公理3可知这些点在交线上,因此共线.
不共面，显然经过其中的两条直线的平面有3个.
3.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是
（ D）
A.异面 C.相交 解析 B.平行 D.以上都有可能 如图所示，a∥b,c与d相交,a与d异面.
4.如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方
体的十二条棱中共有异面直线（ B ）
A.12对 C.36对 解析 B.24对 D.48对 如图所示，与AB异面的直线
AH CG 3, 即AH∶HD=3∶1. HD GD EF 1 GH 1 （2）证明 ∵EF∥GH,且 , , AC 3 AC 4 ∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形.
令EH∩FG=P，则P∈EH，而EH平面ABD，
P∈FG,FG平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,
∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.
探究提高 所谓线共点问题就是证明三条或三条 以上的直线交于一点.
（1）证明三线共点的依据是公理3. （2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于 一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化 为证明点在直线上的问题.实际上，点共线、线共
点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理.
A.成钝角三角形
C.成直角三角形 解析
B.成锐角三角形
D.在一条直线上
D、E、F为已知平面与平面A′B′C′
的公共点，由公理2知，D、E、F共线.
2.关于直线和平面的四个命题中不正确的是（ C ） A.平行于同一平面的两个平面一定平行 B.平行于同一直线的两条直线一定平行
常用反证法.
解
（1）不是异面直线.理由：
连接MN、A1C1、AC.
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点， ∴MN∥A1C1. ∴A1C1∥AC，∴MN∥AC， ［3分］ 又∵A1A C1C，∴A1ACC1为平行四边形.
∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是
异面直线. （2）是异面直线.证明如下： ［6分］
（1）位置关系的分类
平行 共面直线 相交 异面直线 : 不同在 任何 一个平面内
（2）异面直线所成的角
①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间中任
一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的 锐角或直角叫做异面直线a,b所成的角(或夹角).
π 0, 2
②范围：
.
3.直线与平面的位置关系有平行 、 相交、在平面内 三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行 、 相交 两种情况. 5.平行公理
平行于 同一条直线 的两条直线互相平行.
6.定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角 相等或互补 .
基础自测
1.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，
§8.3
空间点、直线、平面之间 的位置关系
基础知识
要点梳理
1.平面的基本性质
自主学习
公理1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内，
那么这条直线在这个平面内. 公理2：过 不共线 的三点，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有 一条 过该点的公共直线.
2.直线与直线的位置关系
∵ABCD—A1B1C1D1是正方体，
∴B、C、C1、D1不共面.
假设D1B与CC1不是异面直线， ［10分］ 则存在平面α ，使D1B平面α ，CC1平面α ， ∴D1、B、C、C1∈α ，与ABCD—A1B1C1D1是正 方体矛盾. ∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线. ［12分］
3 ∴AB与CC1所成的角的余弦值为 . 4 方法二 如图（2）,建立空间直角坐标系，因
为A1D⊥平面ABC，AD⊥BC，由 AD 3 , AA1=1 2 知 A1D 1 .
2
1 3 故A1 (0,0, ).又A( ,0,0), 2 2 1 B(0, ,0), 2 3 1 AA1 ( ,0, ), 2 2 3 1 AB ( , ,0), 2 2 3 cos AA1 , AB . 4
A1B1C1D1中,AC⊥BD，AC∥A1C1,
∵E、F为AB、AD的中点， ∴EF∥BD， ∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1.
即A1C1与EF所成的角为90°.
探究提高 求异面直线所成的角常采用“平移线
段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中
已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或
接法(即由条件入手，经过推理、演算、变形等),
如第（1）问，还有假设法，特例法，有时证明两 直线异面用直接法较难说明问题,这时可用反证 法，即假设两直线共面，由这个假设出发，来推 证错误，从而否定假设，则两直线是异面的.
知能迁移2
(1)如图是一几何体的平面展开图，
①错；②正确；③正确；④错.故选B.
（2）如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分
别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线.
其中正确的结论为
解析
③④ （注：把你认为正确
其中四边形ABCD为正方形，E、F分别为PA、
PD的中点,在此几何体中,给出下面四个结论： ①直线BE与直线CF是异面直线； ②直线BE与直线AF是异面直线； ③直线EF∥平面PBC；
④平面BCE⊥平面PAD.
其中正确结论的序号是（ B ） A.①② B.②③ C.①④ D.②④
解析
由EF∥AD∥BC，知BE、CF共面，
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由（1）知BG CH，∴EF∥CH，
∴EF与CH共面.
又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面. 方法二 如图所示，延长FE， DC分别与AB交于点M，M′， 1 ∵BE AF，∴B为MA中点. 2 ∵BC 1 AD， 2 ∴B为M′A中点， ∴M与M′重合，即FE与DC交于点M（M′）， ∴C、D、F、E四点共面.
定两个平面. 答案 ①②
题型分类 深度剖析
题型一 平面的基本性质
【例1】如图所示，空间四边形ABCD 中,E、F、G分别在AB、BC、CD上,
且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1， CG∶GD=3∶1，过E、F、G的平
面交AD于H，连接EH.
（1）求AH∶HD； （2）求证：EH、FG、BD三线共点.
成的角，再计算.
（2）可证A1C1与EF垂直.
解
(1)如图所示,连接B1C, 由ABCD—A1B1C1D1
是正方体，
易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的锐角或直角
就是AC与A1D所成的角. ∵AB1=AC=B1C，∴∠B1CA=60°.
即A1D与AC所成角为60°.
(2)如图所示,连接AC、BD,在正方体ABCD—
线所成角的大小与顶点位置无关，往往将角的
顶点取在其中的一条直线上，特别地，可以取 其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或
异面线段的端点.总之，顶点的选择要与已知量
有关，以便于计算，具体步骤如下：
(1)利用定义构造角，可固定一条,平移另一
条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点
选在特殊的位置上； (2)证明作出的角即为所求角； (3)利用三角形来求解.
3 棱长为1，则AD= ，由A1D ⊥平面 图（1） 2 1 ABC 知A1D= ,Rt△A1BD中，易求A1B= 2 1 1 2 . 4 4 2
∵CC1∥AA1，∴AB与AA1所成的角即为AB与CC1所 成的角.在△A1BA中,由余弦定理可知cos∠A1AB=
11 1 2 3. 2 1 1 4
题型二
异面直线的判定
【例2】 (12分)如图所示，正方体ABCD
—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、 B1C1的中点.问： （1）AM和CN是否是异面直线？说明理由； （2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.
思维启迪 （1）易证MN∥AC，∴AM与CN不异
面. （2）由图易判断D1B和CC1是异面直线，证明时
思维启迪 证明线共点的问题实质上是证明点在
线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面 的交线,点看作是两平面的公共点,由公理3得证.
AE CF (1)解 2, ∴EF∥AC. EB FB ∴EF∥平面ACD.而EF平面EFGH，
且平面EFGH∩平面ACD=GH， ∴EF∥GH.而EF∥AC， ∴AC∥GH.
的结论的序号都填上）. 直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN
也是异面直线，故①②错误.
题型三
求异面直线所成的角
【例3】 正方体ABCD—A1B1C1D1中， （1）求AC与A1D所成角的大小；
（2）若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与 EF所成角的大小.
思维启迪 （1）平移A1D到B1C，找出AC与A1D所
解析
没有公共点的两直线平行或异面,故①错；
命题②错,此时两直线有可能相交；命题③正确，
因为若直线a和b异面，c∥a,则c与b不可能平行， 用反证法证明如下：若c∥b,又c∥a,则a∥b，这 与a,b异面矛盾，故c b;命题④也正确，若c与两 异面直线a,b都相交，由公理3可知，a,c可能确定
一个平面,b,c也可确定一个平面，这样,a,b,c共确
图（2）
答案 D
思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.主要题型的解题方法 （1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部 分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点
也在这个平面内（即“纳入法”）.
（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的 交线,只要证明这些点都是这两个平面的公共
点,根据公理3可知这些点在交线上,因此共线.
不共面，显然经过其中的两条直线的平面有3个.
3.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是
（ D）
A.异面 C.相交 解析 B.平行 D.以上都有可能 如图所示，a∥b,c与d相交,a与d异面.
4.如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方
体的十二条棱中共有异面直线（ B ）
A.12对 C.36对 解析 B.24对 D.48对 如图所示，与AB异面的直线
AH CG 3, 即AH∶HD=3∶1. HD GD EF 1 GH 1 （2）证明 ∵EF∥GH,且 , , AC 3 AC 4 ∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形.
令EH∩FG=P，则P∈EH，而EH平面ABD，
P∈FG,FG平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,
∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.
探究提高 所谓线共点问题就是证明三条或三条 以上的直线交于一点.
（1）证明三线共点的依据是公理3. （2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于 一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化 为证明点在直线上的问题.实际上，点共线、线共
点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理.
A.成钝角三角形
C.成直角三角形 解析
B.成锐角三角形
D.在一条直线上
D、E、F为已知平面与平面A′B′C′
的公共点，由公理2知，D、E、F共线.
2.关于直线和平面的四个命题中不正确的是（ C ） A.平行于同一平面的两个平面一定平行 B.平行于同一直线的两条直线一定平行
常用反证法.
解
（1）不是异面直线.理由：
连接MN、A1C1、AC.
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点， ∴MN∥A1C1. ∴A1C1∥AC，∴MN∥AC， ［3分］ 又∵A1A C1C，∴A1ACC1为平行四边形.
∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是
异面直线. （2）是异面直线.证明如下： ［6分］
（1）位置关系的分类
平行 共面直线 相交 异面直线 : 不同在 任何 一个平面内
（2）异面直线所成的角
①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间中任
一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的 锐角或直角叫做异面直线a,b所成的角(或夹角).
π 0, 2
②范围：
.
3.直线与平面的位置关系有平行 、 相交、在平面内 三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行 、 相交 两种情况. 5.平行公理
平行于 同一条直线 的两条直线互相平行.
6.定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角 相等或互补 .
基础自测
1.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，
§8.3
空间点、直线、平面之间 的位置关系
基础知识
要点梳理
1.平面的基本性质
自主学习
公理1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内，
那么这条直线在这个平面内. 公理2：过 不共线 的三点，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有 一条 过该点的公共直线.
2.直线与直线的位置关系
∵ABCD—A1B1C1D1是正方体，
∴B、C、C1、D1不共面.
假设D1B与CC1不是异面直线， ［10分］ 则存在平面α ，使D1B平面α ，CC1平面α ， ∴D1、B、C、C1∈α ，与ABCD—A1B1C1D1是正 方体矛盾. ∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线. ［12分］
3 ∴AB与CC1所成的角的余弦值为 . 4 方法二 如图（2）,建立空间直角坐标系，因
为A1D⊥平面ABC，AD⊥BC，由 AD 3 , AA1=1 2 知 A1D 1 .
2
1 3 故A1 (0,0, ).又A( ,0,0), 2 2 1 B(0, ,0), 2 3 1 AA1 ( ,0, ), 2 2 3 1 AB ( , ,0), 2 2 3 cos AA1 , AB . 4
A1B1C1D1中,AC⊥BD，AC∥A1C1,
∵E、F为AB、AD的中点， ∴EF∥BD， ∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1.
即A1C1与EF所成的角为90°.
探究提高 求异面直线所成的角常采用“平移线
段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中
已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或