2018届静安区高三二模数学Word版(附解析)

上海市静安区2018届高三二模数学试卷

2018.05

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，

7-12

每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,3,5,7,9}A =，{0,1,2,3,4,5}B =，则图中阴影部 分集合用列举法表示的结果是

2. 若复数z 满足(1)2z i i -=（i 是虚数单位），则||z =

3. 函数lg 2y x =+（）

的定义域为 4. 在从4个字母a 、b 、c 、d 中任意选出2个不同字母的试验中，其中含有字母d 事件 的概率是

5. 下图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图，则h =

6. 如上右图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线

为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB uuu r 的坐标为(4,3,2)，则1BD uuu r

的坐标为

7. 方程3

cos2x =-

的解集为 8. 已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上

一点(,4)M a -(0)a >到焦点F 的距离为5，则该抛物线的 标准方程为

9. 秦九韶是我国南宋时期数学家，他在所著的《数书九章》 中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算 法，右边的流程图是秦九韶算法的一个实例. 若输入n 、x 的值分别为4、2，则输出q 的值为

（在算法语言中用“*”表示乘法运算符号，例如5210*=） 10. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S （n ∈*N ），且63198S S =-，4215

8

a a =--，则3a 的值为

11. 在直角三角形ABC 中，2

A π

∠=

，3AB =，4AC =，E 为三角形ABC 内一点， 且2

2AE =，若AE AB AC λμ=+uu u r uu u r uuu r ，则34λμ+的最大值等于

12. 已知集合2{(,)|()20}A x y x y x y =+++-≤，

222{(,)|(2)(1)}2

a

B x y x a y a a =-+--≤-，若A B ≠?I ，则实数a 取值范围为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 能反映一组数据的离散程度的是（ ）

A. 众数

B. 平均数

C. 中位数

D. 方差

14. 若实系数一元二次方程20z z m ++=有两虚数根α，β，且||3αβ-=，那么实数m 的值是（ ） A.

52 B. 1 C. 1- D. 52

- 15. 函数()sin()f x A x ω?=+(0,0)A ω>>的部分 图像如图所示，则()3

f π

的值为（ ）

A.

22 B. 32 C. 6

2

D. 0 16. 已知函数3()10f x x x =++，实数1x 、2x 、3x 满足120x x +<，230x x +<，310x x +<，则123()()()f x f x f x ++的值（ ）

A. 一定大于30

B. 一定小于30

C. 等于30

D. 大于30、小于30都有可能

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 某峡谷中一种昆虫的密度是时间t 的连续函数（即函数图像不间断）. 昆虫密度C 是指

每平方米的昆虫数量，已知函数21000(cos(4)2)990,816()2

,081624t t C t m t t ππ?

-+-≤≤?

=??≤<<≤?

或， 这里的t 是从午夜开始的小时数，m 是实常数，(8)m C =.

（1）求m 的值；（2）求出昆虫密度的最小值并指出出现最小值的时刻.

18. 已知椭圆Γ的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，两焦点分别为

1F 和2F ，椭圆Γ上一点到1F 和2F 的距离之和为12.

圆22

:24210()k A x y kx y k ++--=∈R 的圆心为k A .

（1）求△12k A F F 的面积；

（2）若椭圆上所有点都在一个圆内，则称圆包围这个椭圆. 问：是否存在实数k 使得圆k A 包围椭圆Γ？请说明理由.

19. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，2AC =，1BD =，2OP =. （1）求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值；

（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值.

20. 已知数列{}n a 中，1a a =1(,)2a R a ∈≠-，1112(1)

n n a a n n n -=+++，2n ≥，*n ∈N . 又数列{}n b 满足：1

1

n n b a n =+

+，*n ∈N . （1）求证：数列{}n b 是等比数列；

（2）若数列{}n a 是单调递增数列，求实数a 的取值范围；

（3）若数列{}n b 的各项皆为正数，12

log n n c b =，设n T 是数列{}n c 的前n 和，问：是否存

在整数a ，使得数列{}n T 是单调递减数列？若存在，求出整数a ；若不存在，请说明理由.

21. 设函数()|27|1f x x ax =-++（a 为实数）. （1）若1a =-，解不等式()0f x ≥；

（2）若当01x

x

>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围； （3）设21

()1

x g x a x +=--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围.

参考答案

一. 填空题

1. {0,2,4}

2.

3. [1,)-+∞

4.

1

2

5. 4

6. (4,3,2)--

7. 5{|,}12

x x k k π

π=±∈Z 8. 24x y =-

9. 50 10. 9

4

11. 1 12. 19[14+-

二. 选择题

13. D 14. A 15. C 16. B

三. 解答题

17. 解（1）2

(8)=1000(cos0+2)9908010m C =-=； ……4分 （2）当cos((8))12

t π?-=-时，C 达到最小值，得

(8)(2+1),2

t k k Z π

π?-=∈，……8分

又[8,16]t ∈，解得10t =或14.

所以在10：00或者14：00时，昆虫密度达到最小值10. ……14分

18. 解：（1）设椭圆方程为：22

221(0)x y a b a b

+=>>，……1分

由已知有212,2a a b ==， ……2分 所以椭圆方程为：22

1369

x y +=， …… 3分

圆心(,2)k A k - ……5分

所以，△12k A F F 的面积121211

222

k K A F F A S F F y =

?=?= ……6分 （2）当0k ≥时，将椭圆椭圆顶点（6，0）代入圆方程得：

22601202115120k k ++--=+>，可知椭圆顶点（6，0）在圆外；……10分

当0k <时，2

2

(6)01202115120k k -+---=->，可知椭圆顶点（-6，0）在圆外； 所以，不论k 取何值，圆k A 都不可能包围椭圆Γ．……14分

19. 解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点， 直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系． ……1分

则(1,0,0)A ,1

(0,,0)2

B ,(0,0,2)P ,(1,0,0)

C -,1

(,0,1)2M -

． 所以(1,0,2)AP =-u u u r ，11

(,,1)22

BM =--u u u u r ，52AP BM ?=u u u r u u u u r ，

||5AP =u u u r

，6

||2BM =

u u u u r ． ……3分 则30

cos ,6||||56

AP BM AP BM AP BM ?<>===

?u u u r u u u u r

u u u r u u u u r u u u r u u u u r ． 故异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为

30

6

……6分 （2）1(1,,0)2AB =-u u u r ，11

(,,1)22

BM =--u u u u r ．

设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =r

，

则00

n AB n BM ??=???=??r u u u r r u u u u r ，得102

11022

x y x y z ?-+=????--+=??，令2x =，得4y =，3z =．

得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =r

． ……9分

又平面PAC 的一个法向量为1

(0,,0)2

OB =u u u r ， ……10分

所以n r 2OB ?=u u u r ，||29n =r ，1||2OB =u u u r ．则4

cos ,2929||||29

n OB n OB n OB ?<>===r u u u r

r u u u r r u u u

r . 故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为4

2929

. ……14分

20. 解：（1）1111111111221(1)111

n n n a a a n n n n n n n n n --+=+++=++-++++++ 1121

22()n n a a n n

--=+=+ ……2分 即12n n b b -= ……3分

又111122b a a =+=+，由1

2

a ≠-，则10

b ≠

所以{}n b 是以11

2

b a =+为首项，2为公比的等比数列． ……4分

（2）11()22n n b a -=+?，所以111221n n a a n -?

?=+?- ?+??

……6分

若{}n a 是单调递增数列，则对于*n N ∈，10n n a a +->恒成立 ……7分

111111222221n n n n a a a a n n -+???

?-=+?--+?+ ? ?++?

???

1111=2212n a n n -??+?+- ?++??111=22(1)(2)n a n n -??+?+ ?++??

……8分

由111202(1)(2)n a n n -??+?+> ?++?

?，得1

1122(1)(2)

n a n n -+>-++对于*n N ∈恒成立， ∵112(1)(2)n n n --

++递增，且1102(1)(2)n n n --<++，11

lim[]02(1)(2)

n n n n -→∞-=++，

所以102a +

≥，又12a ≠-，则1

2

a >-． ……10分 （3）因为数列{}n

b 的各项皆为正数，所以1

02

a +>，

则1

2a >-．1122

11log [()2]1log ()22n n c a n a -=+=-+-+， ……13分

若数列{}n T 是单调递减数列，则21T T >，即

2221112log ()1log (),log ()1222a a a -+->-++<-，即11

22a +<，

所以1

02

a -<<．不存在整数a ，使得数列{}n T 是单调递减数列． ……16分

21. 解：（1）由()0f x ≥得271x x -≥-， ……1分 解不等式得8|63x x x ?

?

≤

≥????

或 ……4分 （利用图像求解也可）

（2）由

01x

x

>-解得01x <<．由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥， 当01x <<时，该不等式即为(2)70a x -+≥； ……5分

当=2a 时，符合题设条件； ……6分 下面讨论2a ≠的情形，

当2a >时，符合题设要求； ……7分 当2a <时，72x a ≤

-，由题意得712a

≥-，解得25a >≥-； 综上讨论，得实数a 的取值范围为{}|5a a ≥- ……10分 （3）由21

()=21(1)1

x g x x a x a x +=

-++--， ……12分

代入()()f x g x ≤得|27|2|1|1x x a ---+≤，令()|27|2|1|1h x x x =---+，

则6,17()410,1274,2

x h x x x x ??≤?

?

=-+<≤??

?

->??， 74()()(1)62h h x h -=≤≤=，

∴min ()4h x =- ……15分

若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，则min (),4h x a a ≤≥-即． ……18分