2018届静安区高三二模数学Word版(附解析)
2018年上海市静安区高考数学模拟试卷
2018年上海市静安区高考数学模拟试卷一、填空题（50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．（5分）若复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a=．2．（5分）若f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），则f（0）+f（2）=．3．（5分）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．4．（5分）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，E为CD的中点，则的值是．5．（5分）用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．6．（5分）已知α为锐角，且，则sinα=．7．（5分）设函数f（x）=sin（πx），若存在x0∈（﹣1，1）同时满足以下条件：①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立；②x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是．8．（5分）若不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围为．9．（5分）已知f（x）=a x﹣b（a＞0且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，若对任意实数x均有f（x）•g （x）≤0，则的最小值为．10．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）=；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是．二、选择题（25分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．（5分）“抛物线y=ax2的准线方程为y=2”是“抛物线y=ax2的焦点与双曲线的焦点重合”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．（5分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2015＜0 B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2015＞0 D．若a4＞0，则S2014＞013．（5分）某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．336种B．320种C．192种D．144种14．（5分）已知椭圆C1，抛物线C2焦点均在x轴上，C1的中心和C2顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则C1的左焦点到C2的准线之间的距离为（）A．B．C．1 D．215．（5分）对于集合A，定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素e ∈A，使得对任意a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a，则称元素e是集合A对运算“⊕”的单位元素．例如：A=R，运算“⊕”为普通乘法；存在1∈R，使得对任意a∈R，都有1×a=a×1=a，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①A=R ，运算“⊕”为普通减法；②A={A m ×n |A m ×n 表示m ×n 阶矩阵，m ∈N *，n ∈N *}，运算“⊕”为矩阵加法； ③A={X |X ⊆M }（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集． 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（ ） A ．①② B ．①③C ．①②③D ．②③三、解答题（本题满分84分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．（12分）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，长为π，长为，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧． （1）求三棱锥C ﹣O 1A 1B 1的体积；（2）求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小．17．（14分）设双曲线C ：，F 1，F 2为其左右两个焦点．（1）设O 为坐标原点，M 为双曲线C 右支上任意一点，求的取值范围；（2）若动点P 与双曲线C 的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为，求动点P 的轨迹方程．18．（20分）如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数y=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，φ∈（0，π）），x ∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B （﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD ∥EF ．游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC 的函数表达式；（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．19．（18分）设集合M a={f（x）|存在正实数a，使得定义域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．（1）若f（x）=2x﹣x2，试判断f（x）是否为M1中的元素，并说明理由；（2）若，且g（x）∈M a，求a的取值范围；（3）若（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．20．（20分）设数列{a n}满足：①a1=1；②所有项a n∈N*；③1=a1＜a2＜…＜a n＜a n+1＜…设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m．换句话说，b m是数列{a n}中满足不等式a n ≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（1）若数列{a n}的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{a n}；（2）设a n=3n﹣1，求数列{a n}的伴随数列{b n}的前100之和；（3）若数列{a n}的前n项和S n=n+c（其中c常数），试求数列{a n}的伴随数列{b n}前m项和T m．2018年上海市静安区高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．（5分）若复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a=4．【解答】解：∵==为纯虚数，∴，解得a=4．故答案为：4．2．（5分）若f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），则f（0）+f（2）=﹣2．【解答】解：f（x）为R上的奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即有f（0）=0，f（﹣2）=﹣f（2），当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），f（﹣2）=log2（2+2）=2，则f（0）+f（2）=0﹣2=﹣2．故答案为：﹣2．3．（5分）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．【解答】解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，，a=该正三棱锥的体积：故答案为：4．（5分）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，E为CD的中点，则的值是1．【解答】解：在菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=60°，=+，∴==1×1×cos60°+×12=1．故答案为：1．5．（5分）用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．【解答】解：半径为1米的半圆的周长为=π，则制作成圆锥的底面周长为π，母线长为1，设圆锥的底面半径为r，则2πr=π，即r=．∴圆锥的高为h=．∴V=×=（立方米）．故答案为：．6．（5分）已知α为锐角，且，则sinα=．【解答】解：∵α为锐角，∴α+∈（，），∵cos（α+）=，∴sin（α+）==，则sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=×﹣×=．故答案为：7．（5分）设函数f（x）=sin（πx），若存在x0∈（﹣1，1）同时满足以下条件：①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立；②x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【解答】解：根据题意：①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立由于：x0∈（﹣1，1）所以：对f（x）≤f（x0）成立，只需满足f（x）≤f（x0）min即可．由于f（x）=sin（πx），所以：由于②x02+[f（x0）]2＜m所以当，且求出：m2＞4进一步求出：m＞2或m＜﹣2故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．8．（5分）若不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围为（﹣∞，5] ．【解答】解：不等式x2＜|x﹣1|+a等价于x2﹣|x﹣1|﹣a＜0，设f（x）=x2﹣|x﹣1|﹣a，若不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则，求得a≤5，故答案为：（﹣∞，5]．9．（5分）已知f（x）=a x﹣b（a＞0且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，若对任意实数x均有f（x）•g （x）≤0，则的最小值为4．【解答】解：f（x）=a x﹣b，g（x）=x+1，那么：f（x）•g（x）≤0，即（a x﹣b）（x+1）≤0．对任意实数x均成立，可得a x﹣b=0，x+1=0，故得ab=1．那么：=4，当且仅当a=，b=2时取等号．故的最小值为4．故答案为：4．10．（5分）如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记∠AOP 为x （x ∈[0，π]），OP 所经过正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积S=f （x ），那么对于函数f （x ）有以下三个结论：①f （）=；②任意x ∈[0，]，都有f （﹣x ）+f （+x ）=4；③任意x 1，x 2∈（，π），且x 1≠x 2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是 ①② ．【解答】解：当0≤x ≤arctan2时，f （x ）==；当arctan2＜x ＜，在△OBE 中，f （x ）=S 矩形OABM ﹣S △OME =2﹣=2﹣；当x=时，f （x ）=2；当＜x ≤π﹣arctan2时，同理可得f （x ）=2﹣． 当π﹣arctan2＜x ≤π时，f （x ）=4﹣=4+．于是可得：①==，正确； ②对任意x ∈[0，]，都有f （﹣x ）+f （+x ）=4用换元法，以x 代替﹣x ，可得：f （x ）+f （π﹣x ）=4， 因此，故②正确；③不妨设x1＜x2，则＜0⇔f（x1）＞f（x2），显然不正确．综上只有：①②正确．故答案为：①②．二、选择题（25分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．（5分）“抛物线y=ax2的准线方程为y=2”是“抛物线y=ax2的焦点与双曲线的焦点重合”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：①抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=2，所以a=﹣．②双曲线﹣x2=1的a=，b=1，c==2，则焦点为（0，±2），抛物线y=ax2即为x2=，y的焦点为（0，），由题意可得，=±2，解得，a=±．故选：A．12．（5分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2015＜0 B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2015＞0 D．若a4＞0，则S2014＞0【解答】解：若a3＞0，则a1q2＞0，即a1＞0，a2015＞0；若q=1，则S2015=2015a1＞0；若q≠1，则S2015=，由1﹣q和1﹣q2015同号，可得S2015＞0；由a4＞0，可得a2014=a1q2013＞0；a4＞0，不能判断S2014的符号，故选C．13．（5分）某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．336种B．320种C．192种D．144种【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21•C43•A44=192种情况；若甲乙两人都参加，有C22•C42•A44=144种情况，则不同的发言顺序种数192+144=336种，故选：A．14．（5分）已知椭圆C1，抛物线C2焦点均在x轴上，C1的中心和C2顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则C1的左焦点到C2的准线之间的距离为（）A．B．C．1 D．2【解答】解：由表可知：抛物线C2焦点在x轴的正半轴，设抛物线C2：y2=2px（p＞0），则有=2p（x ≠0），据此验证四个点知（3，﹣2），（4，﹣4）在C 2上，代入求得2p=4，∴抛物线C 2的标准方程为y 2=4x ．则焦点坐标为（1，0），准线方程为：x=﹣1，设椭圆C 1：（a ＞b ＞0），把点（﹣2，0），（，）代入得，，解得：，∴C 1的标准方程为+y 2=1；由c==，左焦点（，0），C 1的左焦点到C 2的准线之间的距离﹣1，故选B ．15．（5分）对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e ∈A ，使得对任意a ∈A ，都有e ⊕a=a ⊕e=a ，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素．例如：A=R ，运算“⊕”为普通乘法；存在1∈R ，使得对任意a ∈R ，都有1×a=a ×1=a ，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①A=R ，运算“⊕”为普通减法；②A={A m ×n |A m ×n 表示m ×n 阶矩阵，m ∈N *，n ∈N *}，运算“⊕”为矩阵加法； ③A={X |X ⊆M }（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集． 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（ ） A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③【解答】解：①若A=R ，运算“⊕”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素； ②A={A m ×n |A m ×n 表示m ×n 阶矩阵，m ∈N *，n ∈N *}，运算“⊕”为矩阵加法， 其单位元素为全为0的矩阵；③A={X |X ⊆M }（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集， 其单位元素为集合M ． 故选D ．三、解答题（本题满分84分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．（12分）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为π，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．【解答】解：（1）连结O1B1，则∠O1A1B1=∠A1O1B1=，∴△O1A1B1为正三角形，∴=，==．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），BB1=AA1=1，连结BC、BO、OC，∠AOB=∠A1O1B1=，，∴∠BOC=，∴△BOC为正三角形，∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=1，∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．17．（14分）设双曲线C：，F1，F2为其左右两个焦点．（1）设O为坐标原点，M为双曲线C右支上任意一点，求的取值范围；（2）若动点P与双曲线C的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为，求动点P的轨迹方程．【解答】解：（1）设M（x，y），，左焦点，=…（4分）=（）对称轴，…（3分）（2）由椭圆定义得：P点轨迹为椭圆，，|PF1|+|PF2|=2a=…（4分）由基本不等式得，当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立，b2=4所求动点P的轨迹方程为…（3分）18．（20分）如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（0，π）），x∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B（﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥EF．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC的函数表达式；（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．【解答】解：（1）由已知条件，得A=2，又∵，，∴．又∵当x=﹣1时，有y=2sin（﹣+φ）=2，∴φ=．∴曲线段FGBC的解析式为，x∈[﹣4，0]．（2）由=1得x=6k+（﹣1）k﹣4 （k∈Z），又x∈[﹣4，0]，∴k=0，x=﹣3．∴G（﹣3，1）．∴OG=．∴景观路GO长为千米．（3）如图，OC=，CD=1，∴OD=2，，作PP1⊥x轴于P1点，在Rt△OPP1中，PP1=OPsinθ=2sinθ，在△OMP中，，∴=．S平行四边形OMPQ=OM•PP1====θ∈（0，）．当时，即时，平行四边形面积最大值为．19．（18分）设集合M a={f（x）|存在正实数a，使得定义域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．（1）若f（x）=2x﹣x2，试判断f（x）是否为M1中的元素，并说明理由；（2）若，且g（x）∈M a，求a的取值范围；（3）若（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．【解答】解：（1）∵f（1）=f（0）=1，∴f（x）∉M1．…（4分）（2）由…（2分）∴，…（3分）故a＞1．…（1分）（3）由，…（1分）即：∴对任意x∈[1，+∞）都成立∴…（3分）当﹣1＜k≤0时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）；…（1分）当0＜k＜1时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）；…（1分）当1≤k＜3时，．…（1分）综上：…（1分）20．（20分）设数列{a n}满足：①a1=1；②所有项a n∈N*；③1=a1＜a2＜…＜a n＜a n+1＜…设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m．换句话说，b m是数列{a n}中满足不等式a n ≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（1）若数列{a n}的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{a n}；（2）设a n=3n﹣1，求数列{a n}的伴随数列{b n}的前100之和；（3）若数列{a n}的前n项和S n=n+c（其中c常数），试求数列{a n}的伴随数列{b n}前m项和T m．【解答】解：（1）1，4，7．（2）由，得∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1，当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2，当9≤m≤26，m∈N*时，b9=b10=…=b26=3，当27≤m≤80，m∈N*时，b27=b28=…=b80=4，当81≤m≤100，m∈N*时，b81=b82=…=b100=5，∴b1+b2+…+b100=1×2+2×6+3×18+4×54+5×20=384．（3）∵a1=S1=1+c=1∴c=0，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n﹣2∴…（2分）由a n=3n﹣2≤m得：因为使得a n≤m成立的n的最大值为b m，所以，当m=3t﹣2（t∈N*）时：，当m=3t﹣1（t∈N*）时：，当m=3t（t∈N*）时：，所以（其中t∈N*）．。
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2018.4上海静安中考数学二模试卷及答案（word
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2018.4上海崇明中考数学二模试卷及答案。
2018届静安区高三一模数学Word版(附解析)(可编辑修改word版)
上海市静安区 2018 届高三一模数学试卷2018.01一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 计算lim(1 -n →∞nn +11 - i ) 的结果是2 2. 计算行列式x 23i +1 1 + iy 2的值是 （其中i 为虚数单位）3. 与双曲线- = 1有公共的渐近线，且经过点 A (-3, 2 3) 的双曲线方程是9 164. 从 5 名志愿者中选出 3 名，分别从事布置、迎宾策划三项不同的工作，每人承担一项工作，则不同的选派方案有种（用数值作答）5. 已知函数 f (x ) = a ⋅ 2x + 3 - a （ a ∈ R ）的反函数为 y = f -1(x ) ，则函数 y = f -1(x ) 的图像经过的定点的坐标为6. 在(x - a )10 的展开式中， x 7 的系数是 15，则实数 a =7. 已知点 A (2,3) 到直线 ax + (a -1) y + 3 = 0 的距离不小于 3，则实数 a 的取值范围是8. 类似平面直角坐标系，我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合于O 点且单位长度相同）称为斜坐标系，在斜坐标系 xOy 中，若OP = xe 1 + ye 2（其中e 1 、e 2 分别为斜坐标系的 x 轴、 y 轴正方向上的单位向量， x , y ∈ R ），则点 P 的坐标为(x , y ) ，若在斜坐标系 xOy 中， ∠xOy = 60︒ ，点 M 的坐标为(1, 2) ，则点 M 到原点O 的距离为9. 已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为8，则该圆锥的侧面积等于3⎧(5 - a )x +1 x < 110. 已知函数 f (x ) = ⎨ x⎩ a取值范围为（ a > 0 ， a ≠ 1）是 R 上的增函数，则实数 a 的 x ≥ 111. 已知函数 f (x ) =| sin 2x - 3 cos x cos(3- x ) - 1| ，若将函数 y = f (x ) 的图像向左平移 2 2a 个单位（ 0 < a < ），所得图像关于 y 轴对称，则实数 a 的取值集合为12. 已知函数 f (x ) = ax 2 + 4x +1，若对任意 x ∈ R ，都有 f ( f (x )) ≥ 0 恒成立，则实数 a 的取值范围为二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 已知无穷等比数列{a } 的各项之和为 3，首项 a = 1 ，则该数列的公比为（）n212A. 1B.2C. - 1D.1或 23 33 3 314. 设全集U = R ， A = {x | y = log 3 (1 - x )}， B = {x || x -1 |< 1} ，则(C U A ) B = （）A. (0,1]B. (0,1)C. (1, 2)D. [1, 2)15. 两条相交直线l 、 m 都在平面内，且都不在平面内，若有甲： l 和 m 中至少有一条直线与相交，乙：平面与平面相交，则甲是乙的（）16. 取值范围为（）三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图，在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AA 1 = 4 ，异面直线 BC 1 与 AA 1 所成角的大小为 3.（1） 求正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的体积； （2） 求直线 BC 1 与平面 AA 1C 1C 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）A.C. 充分非必要条件充要条件B. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件若曲线| y |= x + 2 与C : x 2 + y 2= 1 恰有两个不同交点，则实数A. (-∞, -1] (1, +∞) 4 4B. (-∞, -1]C. (1, +∞)D. [-1,0) (1, +∞)18.在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，设向量m = (a,cos B) ，n = (b,cos A) ，且 m ∥ n ， m ≠n .（1）求证：A +B =；2（2）若x ⋅ sin A sin B = sin A + sin B ，试确定实数x 的取值范围.19.如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD ，在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ 始终为45°（其中点P、Q 分别在边BC 、CD 上），设∠PAB =，tan=t.（1）当三点C 、P 、Q 不共线时，求直角∆CPQ 的周长；（2）设探照灯照射在正方形ABCD 内部区域PAQC 的面积为S （平方百米），试求S 的最大值.3 = ⋅20. 如图，已知满足条件| z - 3i |=| - i | （其中i 为虚数单位）的复数 z 在复平面 xOy 对应 点的轨迹为圆C （圆心为C ），设复平面 xOy 上的复数 z = x + yi （ x ∈ R ， y ∈ R ）对应的点为(x , y ) ，定直线 m 的方程为 x + 3y + 6 = 0 ，过 A (-1,0) 的一条动直线l 与直线 m 相交于N 点，与圆C 相交于 P 、Q 两点， M 是弦 PQ 中点.（1）若直线l 经过圆心C ，求证： l 与 m 垂直； （2）当| PQ |= 2 时，求直线l 的方程；（3）设t AM AN ，试问t 是否为定值？若为定值，请求出t 的值，若t 不为定值，请说明理由.321.已知数列{a } 的通项公式为a =n（n, a∈N *）.n n n +a（1）若a1 、a2 、a4 成等差数列，求a 的值；（2）是否存在k （k ≥ 10 且k ∈N *）与a ，使得a 、a 、a 成等比数列？若存在，求出k 的取值集合，若不存在，请说明理由；1 3 k（3）求证：数列{a n } 中的任意一项a n 总可以表示成数列{a n } 中的其它两项之积.7B 1AC7 [ , - =参考答案一. 填空题1. 02.-6i x 2 y 2 1 3. 4. 60 5. (3,0)6. - 129 16 4 7. (-∞,3] U 3+∞) 77 58. 9.4 210. [3,5)11. { , , , } 12 3 12 612. a ≥ 3二. 选择题 13. B14. D15. C16. A三. 解答题17．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） A 1C 1B解：（1） ∠BBC 是异面直线 BC 与 AA 所成的角，所以∠BBC = ………2 分1 1 1 11 1 3因为 BB 1 = AA 1 = 4 ，所以B 1C 1 = 4 ，................4 分于是，三棱柱体积V = SH = S AA = 3 ⋅16 ⋅ 3⋅ 4 = 48………6 分∆ABC 1 4（2） 过 B 作 BD ⊥ AC ，D 为垂足，则 BD ⊥ 平面 AA 1C 1C ，∠B C 1D 是直线 BC 1 与平面 AA 1C 1C 所成的角， ............................................... 8 分BD = 6,B C 1 = 8 ，（ DC 1 = 2 ），所以直线 BC 与平面 AAC C 所成的角为arcsin 3 ………………14 分1 1 1 4( arctan 3 7 ， arccos 7)7 418．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）3 32 = = ) ∴ t 1 -∈= =解：（1） m = (a , cos B ), n = (b , cos A ), 且m // n ， ∴ a cos A - b cos B = 0 ………2 分又 a sin A = b sin B= 2R ∴sin A cos A = sin B cos B , 即sin 2 A = sin 2B又∆ABC 中0 < 2 A , 2B < 2∴ 2 A = 2B 或2 A + 2B = 即 A = B 或 A + B = ……5 分2若 A B ，则 a = b 且cos A = cos B ， m n ，m ≠ n∴ A + B = 2………………………………6 分 （2）由 x ⋅sin A sin B = sin A + sin B 可得 x = sin A + sin B =sin A + cos A………………8 分sin A sin B sin A c os A设sin A + cos A = t ，则t = 2 sin( A + ，34.................................................................. 10 分0 < A < 2 ∴ 4< A + 4 < 4∴1 < 2 sin( A + ) ≤4∴t 2 = 1+ 2 s in A c os A 2 - sin A ⋅ cos A =……………11 分22t21x ， t在t (1, 2] 上单调增 ∴ x = t = 2 ≥2 = 2t 2-1 t - 1t tt 2 -12t - 1 -t∴实数 x 的取值范围为[2 2, +∞) ............................................ 14 分19．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）Q CDPAB解：（1）∠PAB =, tan = t ，所以 BP = t ， CP = 1- t ； 因为点C 、P 、Q 不共线，所以0 < t < 1 ， DQ = tan(45︒ -) = 1- t , CQ = 1- 1- t;PQ =1+ t 2 =;… ................... 5 分1+ t1+ t 1+ t直角△ CPQ 的周长= (1- t ) + (1- 1- t ) + 1+ t 1+ t 2 1+ t=2… ...................6 分 (2) S =1- t - 1 ⋅ 1- t2 2 1+ t ………………8 分=2 - 1 (t +1+ 2 ) ≤ 2 -………………12 分2 t +1212245CP 2 + CQ 2 2= ⋅ = - ⎩ ylCM Q P AOxNm当t +1 = 时，等号成立． ......................... 13 分探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 最大为2 - 平方百米．……14 分 20．（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）解: (1) 由已知，圆心C (0,3) , k m= - 3, ................................ 2 分则 k l =3 - 0 = 30 + 1.故 k m ⋅ k l = -1 ，所以直线l 与m 垂直 ........................................ 4 分 （直线l 经过点（-1，0）和（0，3），所以方程为3x - y + 3 = 0 ） (2) 当直线l 与 x 轴垂直时,易知 x = -1符合题意; ....................................... 5 分当直线与 x 轴不垂直时,设直线l 的方程为 y = k (x + 1) ....................... 6 分由于 PQ = 2 ,所以 CM = 1....................... 7 分由 CM == 1 ,解得 k =4 .................................................. 9 分3故直线l 的方程为 x = -1或4x - 3y + 4 = 0 ......................................10 分(3)当l 与 x 轴垂直时,易得 M (-1,3) , N (-1,- 5) ,又 A (-1,0) ，则 AM 3= (0,3),AN = (0,- 5) ,故t AM AN5 ....................................... 11 分 3当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y = k (x + 1) ,代入圆的方程 x 2 + ( y - 3)2 = 4 得2222x + x - k 2 + 3k(1 + k )x + (2k - 6k )x + k - 6k + 5 = 0 .则 x M = 1 2 = 2 1 + k 2 ,y M = k (x M + 1) = 3k 2 + k 1 + k 2 ,即 M ( - k 2 + 3k 1 + k 23k 2+ k , 1 + k 2) ,………13 分 3k +1 3k 2 + k 3k +1⎧ y = k (x + 1), AM = (1+ k 2 , 1+ k 2 )= 1+ k 2（1, k ) .又由⎨x + 3y + 6 = 0, - 3k - 6 - 5k -5 -5k -5得 N (, ) ,则 AN = ( , )= (1, k ) . 1 + 3k 1 + 3k 1+ 3k 1+ 3k 1+ 3k2 23 - k + 3 k 2 + 1AM AN AM ⋅ AN = - AM l1 3 k 3 1 k -15k - 5 -5k (3k2 + k ) -5(1+ 3k )(1+ k 2 )故t = AM ⋅ AN =（ (1+ k 2 )(1+ + 3k ) (1 =） + k 2 )(1+ 3k ) (1+ 3k )(1+ k 2 )= -5 . 综上, t 的值与直线l 的斜率无关,且t = ⋅= -5 . ……16 分（3） 另解:连结CA 并延长交直线m 于点 B ,连结CM , CN , 由(1)知 AC ⊥ m , 又CM ⊥ l ,所以四点 M , C , N , B 都在以CN 为直径的圆上,由相交弦定理得t =21．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 7 分，第 3 小题满分 7 分）124解：(1) a 1 =1 + a ， a2 =2 + a ， a 4 =4 + a ，∵ a 1 ， a 2 ， a 4 成等差数列，∴ a 1 + a 4 = 2a 2 ， ............................... 2 分 化简得 a 2 = 2a ，∵ a ∈N *，∴ a = 2 ．................................................. 4 分(2) 假设存在这样的k ， a 满足条件， a 1 =1 1 + a ， a 3 = 3 3 + a， a k = k ， k + a∵ a ， a ， a 成等比数列，∴ (a )2 = a a ， ................................... 6 分去分母,展开得9a 2 + 9ka + 9a = ka 2 + 6ka ,化简得(3k + 9)a = (k - 9)a 2 , ∵ a ∈N *，∴ (k - 9)a = 3k + 9,(a - 3)k = 9 + 9a ，当 k = 10 时, a = 39 ;当k = 11 时, a = 21；等等． .................................8 分 一般的,设t = k - 9 ∈ N *, l = a - 3∈ N * ,则 a = 3 +36 , k = 9 +36 . ……9 分tl∵ a ∈N *，∴ l , t 需为 36 的公约数, k 的取值集合为⎧k k = 9 + 36 , l = 1, 2, 3, 4, 6, 9,12,18, 36⎫⎨ ⎬⎩ ⎭(或者列举{10，11，12，13，15，18，21，27，45} ) ........................................... 11 分(3) 即证存在k ， t ≠ n ，使得 a n = a k a t……………………12 分即证：⇔k - n = k + a ⇔ k - n =k + an (k + a ) ， t = …………15 分 nk ktn t k - n令 k = n + 1，则t = n (k + a ) = n (n + 1 + a ) ∴对任意n ， a n = a n +1a n (n +1+a ) , 即数列中的任意一项 a n 总可以表示成数列中的其它两项之积．………18 分 n 2n 2n 2n + a注:直接构造出 a k 与 a t 亦可，例如：n + a =2n + 2a = 2n + a ⋅(2n ， + a ) + a⋅ AN = - AC ⋅ AB = -5............................ 16 分 n = k ⋅ t ⇔ 1 + a = (1 + a )(1 + a ) ⇔1 = 1 + 1 + an + a k + a t + a n k tn k t kt所以 a n =a2n ⋅a2n+a .。
静安区第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
静安区第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P （x ，y ），则点P 的坐标满足不等式x 2+y 2≤2的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．2． 若函数f （x ）=3﹣|x ﹣1|+m 的图象与x 轴没有交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥0或m ＜﹣1B ．m ＞0或m ＜﹣1C ．m ＞1或m ≤0D ．m ＞1或m ＜03． 已知 m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个互不重合的平面，则下列命题中 正确的是（ ）A ．若 m ∥α，n ∥α，则 m ∥nB ．若α⊥γ，β⊥γ，则 α∥βC ．若m ⊥α，n ⊥α，则 m ∥nD ．若 m ∥α，m ∥β，则 α∥β4． 若偶函数f （x ）在（﹣∞，0）内单调递减，则不等式f （﹣1）＜f （lg x ）的解集是（ ）A ．（0，10）B ．（，10）C ．（，+∞）D ．（0，）∪（10，+∞）5． 已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．为使m ∥β，应选择下面四个选项中的（ ）A ．①④B ．①⑤C ．②⑤D ．③⑤6． 若函数f （x ）=ka x ﹣a ﹣x ，（a ＞0，a ≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则g （x ）=log a （x+k）的是（）A ．B ．C ．D ．7． 命题：“∀x ＞0，都有x 2﹣x ≥0”的否定是（ ）A ．∀x ≤0，都有x 2﹣x ＞0B ．∀x ＞0，都有x 2﹣x ≤0C ．∃x ＞0，使得x 2﹣x ＜0D ．∃x ≤0，使得x 2﹣x ＞08． 若为等差数列，为其前项和，若，，，则成立的最大自{}n a n S 10a >0d <48S S =0n S >然数为（）A ．11B ．12C ．13D ．149． 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若=4，则=（）A ．3B ．4C ．D ．1310．若复数（2+ai ）2（a ∈R ）是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为（ ）A ．﹣2B ．±2C ．0D ．2班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________11．已知x ＞0，y ＞0， +=1，不等式x+y ≥2m ﹣1恒成立，则m 的取值范围（ ）A ．（﹣∞，]B ．（﹣∞，]C ．（﹣∞，]D ．（﹣∞，]12．常用以下方法求函数y=[f （x ）]g （x ）的导数：先两边同取以e 为底的对数（e ≈2.71828…，为自然对数的底数）得lny=g （x ）lnf （x ），再两边同时求导，得•y ′=g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′，即y ′=[f （x ）]g （x ）{g ′（x ）lnf （x ）+g （x ）•[lnf （x ）]′}．运用此方法可以求函数h （x ）=x x （x ＞0）的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是（ ）A ．h （）B ．h （）C ．h （）D ．h （）二、填空题13．已知偶函数f （x ）的图象关于直线x=3对称，且f （5）=1，则f （﹣1）= ．14．若的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于 ．15．不等式恒成立，则实数的值是__________.()2110ax a x +++≥16．i 是虚数单位，化简： = ．17．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】函数的单调递减区间为__________.()21ln 2f x x x =-18．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是A 1D 1的中点，点P 在侧面BCC 1B 1上运动．现有下列命题：①若点P 总保持PA ⊥BD 1，则动点P 的轨迹所在曲线是直线；②若点P 到点A 的距离为，则动点P 的轨迹所在曲线是圆；③若P 满足∠MAP=∠MAC 1，则动点P 的轨迹所在曲线是椭圆；④若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离比为1：2，则动点P 的轨迹所在曲线是双曲线；⑤若P 到直线AD 与直线CC 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在曲线是抛物丝．其中真命题是 （写出所有真命题的序号）三、解答题19．在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上任意一点P （x ，y ）变换为点P （2x+y ，3x ）．（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵M ﹣1；（Ⅱ）求曲线4x+y ﹣1=0在矩阵M 的变换作用后得到的曲线C ′的方程． 20．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是，曲线的参数方程是1C 2=ρ2C 是参数）．θππθθ],2,6[,0(21sin 2,1∈>⎪⎩⎪⎨⎧+==t t y x （Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；1C 2C （Ⅱ）求的取值范围，使得，没有公共点．t 1C 2C 21．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为,以极点为原点, 极轴为轴正半轴，建立直角坐标系．C 4sin()3πρθ=-x xOy （1）求曲线的直角坐标方程；C （2）若点在曲线上，点的直角坐标是（其中P C Q (cos ,sin )ϕϕ)ϕ∈R 22．已知函数f （x ）=lnx ﹣a （1﹣），a ∈R ．（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若f （x ）的最小值为0．（i ）求实数a 的值；（ii ）已知数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=f （a n ）+2，记[x]表示不大于x 的最大整数，求证：n ＞1时[a n ]=2．23．已知直线l：x﹣y+9=0，椭圆E：+=1，（1）过点M（，）且被M点平分的弦所在直线的方程；（2）P是椭圆E上的一点，F1、F2是椭圆E的两个焦点，当P在何位置时，∠F1PF2最大，并说明理由；（3）求与椭圆E有公共焦点，与直线l有公共点，且长轴长最小的椭圆方程．24．已知一个几何体的三视图如图所示．（Ⅰ）求此几何体的表面积；（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长．静安区第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为△AOB，由，解得，即B（4，﹣4），由，解得，即A（，），直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0），则△OAB的面积S==，点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=，则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=，故选：D【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据几何概型的概率公式进行求解． 2．【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=3﹣|x﹣1|+m的图象与x轴没有交点，∴﹣m=3﹣|x﹣1|无解，∵﹣|x﹣1|≤0，∴0＜3﹣|x﹣1|≤1，∴﹣m≤0或﹣m＞1，解得m≥0或m＞﹣1故选：A．3．【答案】C【解析】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或者异面；故A错误；对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能相交，如墙角；故B错误；对于C，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理得到m∥n；故C正确；对于D，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故D错误；故选C．【点评】本题考查了空间线线关系．面面关系的判断；熟练的运用相关的定理是关键．4．【答案】D【解析】解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（|x|），因为f（x）在（﹣∞，0）内单调递减，所以f（x）在（0，+∞）内单调递增，由f（﹣1）＜f（lg x），得|lg x|＞1，即lg x＞1或lg x＜﹣1，解得x＞10或0＜x＜．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，在解对数不等式时注意对数的真数大于0，是个基础题．5．【答案】D【解析】解：当m⊂α，α∥β时，根据线面平行的定义，m与β没有公共点，有m∥β，其他条件无法推出m∥β，故选D【点评】本题考查直线与平面平行的判定，一般有两种思路：判定定理和定义，要注意根据条件选择使用． 6．【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数则f（﹣x）+f（x）=0即（k﹣1）（a x﹣a﹣x）=0则k=1又∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数则a＞1则g （x ）=log a （x+k ）=log a （x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选C【点评】若函数在其定义域为为奇函数，则f （﹣x ）+f （x ）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f （﹣x ）﹣f （x ）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键． 7． 【答案】C【解析】解：命题是全称命题，则根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：∃x ＞0，使得x 2﹣x ＜0，故选：C ．【点评】本题主要考查含有量词的命题 的否定，比较基础． 8． 【答案】A 【解析】考点：得出数列的性质及前项和．【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用，其中解答中涉及到等差数列的性质，等差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档题，本题的解答中，由“，”判断前项和的符号问题是解答的关键．10a >0d <9． 【答案】D【解析】解：∵S n 为等比数列{a n }的前n 项和，=4，∴S 4，S 8﹣S 4，S 12﹣S 8也成等比数列，且S 8=4S 4，∴（S 8﹣S 4）2=S 4×（S 12﹣S 8），即9S 42=S 4×（S 12﹣4S 4），解得=13．故选：D ．【点评】熟练掌握等比数列的性质是解题的关键．是基础的计算题． 10．【答案】C【解析】解：∵复数（2+ai ）2=4﹣a 2+4ai 是实数，∴4a=0，解得a=0．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．11．【答案】D【解析】解：x＞0，y＞0，+=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立，所以（x+y）（+）=10+≥10=16，当且仅当时等号成立，所以2m﹣1≤16，解得m；故m的取值范围是（﹣]；故选D．12．【答案】B【解析】解：（h（x））′=x x[x′lnx+x（lnx）′]=x x（lnx+1），令h（x）′＞0，解得：x＞，令h（x）′＜0，解得：0＜x＜，∴h（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴h（）最小，故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，极值的求法，基本知识的考查．二、填空题13．【答案】 1 ．【解析】解：f（x）的图象关于直线x=3对称，且f（5）=1，则f（1）=f（5）=1，f（x）是偶函数，所以f（﹣1）=f（1）=1．故答案为：1．14．【答案】5【解析】解：由题意的展开式的项为T r+1=C n r（x6）n﹣r（）r=C n r=C n r令=0，得n=，当r=4时，n 取到最小值5故答案为：5．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．a15．【答案】1试题分析：因为不等式恒成立，所以当时，不等式可化为，不符合题意；()2110ax a x +++≥0a =10x +≥当时，应满足，即，解得.10a ≠2(1)40a a a >⎧⎨∆=+-≤⎩20(1)0a a >⎧⎨-≤⎩1a =考点：不等式的恒成立问题.16．【答案】 ﹣1+2i ．【解析】解： =故答案为：﹣1+2i ． 17．【答案】()0,1【解析】18．【答案】 ①②④ 【解析】解：对于①，∵BD 1⊥面AB 1C ，∴动点P 的轨迹所在曲线是直线B 1C ，①正确；对于②，满足到点A 的距离为的点集是球，∴点P 应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，②正确；对于③，满足条件∠MAP=∠MAC 1 的点P 应为以AM 为轴，以AC 1 为母线的圆锥，平面BB 1C 1C 是一个与轴AM 平行的平面，又点P 在BB 1C 1C 所在的平面上，故P 点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误；对于④，P 到直线C 1D 1 的距离，即到点C 1的距离与到直线BC 的距离比为2：1，∴动点P 的轨迹所在曲线是以C 1 为焦点，以直线BC 为准线的双曲线，④正确；对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE ⊥BC ，EF ⊥AD ，PG ⊥CC 1，连接PF ，设点P 坐标为（x ，y ，0），由|PF|=|PG|，得，即x 2﹣y 2=1，∴P 点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误．故答案为：①②④．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）设点P （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为P ′（x ′，y ′），则即=，∴M=．又det （M ）=﹣3，∴M ﹣1=；（Ⅱ）设点A （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为A ′（x ′，y ′），则=M ﹣1=，即，∴代入4x+y ﹣1=0，得，即变换后的曲线方程为x+2y+1=0．【点评】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想，属于中档题． 20．【答案】【解析】 【解析】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程是，1C 222=+y x 曲线的普通方程是…………5分2C )21221(1+≤≤+=t y t x（Ⅱ）对于曲线 ，令，则有．1:C 222=+y x 1x =1y =±故当且仅当时，，没有公共点，001112-122t t t t >>⎧⎧⎪⎪⎨⎨+>+<⎪⎪⎩⎩或1C 2C 解得．……10分12t >21．【答案】【解析】（1）∵，4sin()3πρθ=- ∴，4(sin cos cos sin )33ππρθθ=- ∴，22sincos ρρθθ=-∴曲线的直角坐标方程为．C 2220x yy ++-= （2）曲线可化为，C 22((1)4x y ++-=∴曲线是圆心，半径为的圆，C 2∵点的直角坐标是，Q (cos ,sin )ϕϕ ∴点在圆：，Q O 221x y +=∴，即的最大值为．125PQ OC ≤++=PQ 522．【答案】【解析】解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且f ′（x ）=﹣=．当a ≤0时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在区间（0，+∞）内单调递增；当a ＞0时，由f ′（x ）＞0，解得x ＞a ；由f ′（x ）＜0，解得0＜x ＜a ．所以f （x ）的单调递增区间为（a ，+∞），单调递减区间为（0，a ）．综上述：a ≤0时，f （x ）的单调递增区间是（0，+∞）；a ＞0时，f （x ）的单调递减区间是（0，a ），单调递增区间是（a ，+∞）．（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当a ≤0时，f （x ）无最小值，不合题意；当a ＞0时，[f （x ）]min =f （a ）=1﹣a+lna=0，令g （x）=1﹣x+lnx （x ＞0），则g ′（x ）=﹣1+=，由g ′（x ）＞0，解得0＜x ＜1；由g ′（x ）＜0，解得x ＞1．所以g （x ）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．故[g （x ）]max =g （1）=0，即当且仅当x=1时，g （x ）=0．因此，a=1．（ⅱ）因为f （x ）=lnx ﹣1+，所以a n+1=f （a n ）+2=1++lna n ．由a 1=1得a 2=2于是a 3=+ln2．因为＜ln2＜1，所以2＜a 3＜．猜想当n ≥3，n ∈N 时，2＜a n ＜．下面用数学归纳法进行证明．①当n=3时，a3=+ln2，故2＜a3＜．成立．②假设当n=k（k≥3，k∈N）时，不等式2＜a k＜成立．则当n=k+1时，a k+1=1++lna k，由（Ⅰ）知函数h（x）=f（x）+2=1++lnx在区间（2，）单调递增，所以h（2）＜h（a k）＜h（），又因为h（2）=1++ln2＞2，h（）=1++ln＜1++1＜．故2＜a k+1＜成立，即当n=k+1时，不等式成立．根据①②可知，当n≥3，n∈N时，不等式2＜a n＜成立．综上可得，n＞1时[a n]=2．【点评】本题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等，属难题．23．【答案】【解析】解：（1）设以点M（，）为中点的弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=1，y1+y2=1，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆E：+=1，得，∴k AB==﹣=﹣，∴直线AB的方程为y﹣=﹣（x﹣），即2x+8y﹣5=0．（2）设|PF1|=r1，|PF2|=r1，则cos∠F1PF2==﹣1=﹣1=﹣1，又r1r2≤（）2=a2（当且仅当r1=r2时取等号）∴当r1=r2=a，即P（0，）时，cos∠F1PF2最小，又∠F1PF2∈（0，π），∴当P为短轴端点时，∠F1PF2最大．（3）∵=12，=3，∴=9．则由题意，设所求的椭圆方程为+=1（a2＞9），将y=x+9代入上述椭圆方程，消去y，得（2a2﹣9）x2+18a2x+90a2﹣a4=0，依题意△=（18a2）2﹣4（2a2﹣9）（90a2﹣a4）≥0，化简得（a2﹣45）（a2﹣9）≥0，∵a2﹣9＞0，∴a2≥45，故所求的椭圆方程为=1．【点评】本题考查直线方程、椭圆方程的求法，考查当P在何位置时，∠F1PF2最大的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、余弦定理、椭圆性质的合理运用．24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由三视图知：几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面半径为2，母线长分别为2、4，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．S圆锥侧=×2π×2×2=4π；S圆柱侧=2π×2×4=16π；S圆柱底=π×22=4π．∴几何体的表面积S=20π+4π；（Ⅱ）沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图：则AB===2，∴以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为2．。
2018第二学期静安区高考数学二模考试参考答案
静安区2017学年第二学期教学质量检测 高三数学解答及评分标准 2018.5一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．{0，2，4}2．3． {}1x x ≥- 4．125． 46．（-4，-3，2） 7．5,12x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭8．24x y =- 9． 50 10．94 11．112．[二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13． D ． 14．A 15．C 16．B三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．(本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分)解（1）2(8)=1000(cos0+2)9908010m C =-=； 4分 （2）当cos((8))12t π⋅-=-时，C 达到最小值，得(8)(2+1),2t k k Z ππ⋅-=∈，8分又[8,16]t ∈，解得10t =或14.所以在10：00或者14：00时，昆虫密度达到最小值10. 14分 18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)解：（1）设椭圆方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，1分由已知有212,2a a b ==， 2分 所以椭圆方程为：221369x y +=， 3分圆心(,2)k A k - 5分 所以，△12k A F F的面积121211222k K A F F A S F F y =⋅=⨯= 6分 （2）当0k ≥时，将椭圆椭圆顶点（6，0）代入圆方程得：22601202115120k k ++--=+>，可知椭圆顶点（6，0）在圆外；10分当0k <时，22(6)01202115120k k -+---=->，可知椭圆顶点（-6，0）在圆外； 所以，不论k 取何值，圆k A 都不可能包围椭圆Γ．14分 （用椭圆另外两个顶点（短轴端点））在圆上进行判断也可） 19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系． 1分则(1,0,0)A ,1(0,,0)2B ,(0,0,2)P ,(1,0,0)C -,1(,0,1)2M -． 所以(1,0,2)AP =-，11(,,1)22BM =--，52AP BM ⋅=||5AP =，6||BM =． 3分 则cos ,6||||5AP BM AP BM AP BM ⋅<>===． 故异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为6. ………6分（2）1(1,,0)2AB =-，11(,,1)22BM =--．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，C第19题图则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得10211022x y x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩，令2x =，得4y =，3z =． 得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =． 9分又平面PAC 的一个法向量为1(0,,0)2OB =， ……………10分所以n 2OB ⋅=，||29n =，1||2OB =．则cos ,||||29n OB n OB n OB ⋅<>===故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为………………14分20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分) 解：（1）1111111111221(1)111n n n a a a n n n n n n n n n --+=+++=++-++++++ ＝112122()n n a a n n--+=+ 2分 即12nn b b -= 3分 又 111122b a a =+=+，由12a ≠-，则10b ≠ 所以{}n b 是以112b a =+为首项，2为公比的等比数列． 4分 （2）11()22n n b a -=+⋅，所以111221n n a a n -⎛⎫=+⋅- ⎪+⎝⎭ 6分 若{}n a 是单调递增数列，则对于*n N ∈，10n n a a +->恒成立 7分111111222221n n n n a a a a n n -+⎛⎫⎛⎫-=+⋅--+⋅+⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭＝11112212n a n n -⎛⎫+⋅+- ⎪++⎝⎭＝11122(1)(2)n a n n -⎛⎫+⋅+ ⎪++⎝⎭ 8分 由 111202(1)(2)n a n n -⎛⎫+⋅+> ⎪++⎝⎭，得 11122(1)(2)n a n n -+>-++对于*n N ∈恒成立 由于 112(1)(2)n n n --++单调递增，且1102(1)(2)n n n --<++，11lim[]02(1)(2)n n n n -→∞-=++， 所以102a +≥，又12a ≠-，则12a >-． 10分 （3）因为数列{}nb 的各项皆为正数，所以102a +>，则12a >-．112211log [()2]1log ()22n n c a n a -=+=-+-+， 13分若数列{}n T 是单调递减数列，则21T T <，即2221112log ()1log (),log ()1222a a a -+-<-++>-，即1122a +>，所以0a >．又a Z ∈，所以对所有正整数a ，都能使数列{}n T 是单调递减数列． 16分 21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)解：（1）由()0f x ≥得271x x -≥-，………………………1分解不等式得8|63x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 ………………………………4分 （利用图像求解也可）（2）由01xx>-解得01x <<． 由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥，当01x <<时，该不等式即为(2)7a x -+≥； …………………………5分 当=2a 时，符合题设条件；……………………6分 下面讨论2a ≠的情形，当2a >时，符合题设要求；……………………7分当2a <时，72x a ≤-，由题意得712a≥-，解得25a >≥-； 综上讨论，得实数a 的取值范围为{}|5a a ≥- ………………………10分 （3）由21()=21(1)1x g x x a x a x +=-++--，…………………………12分代入()()f x g x ≤得|27|2|1|1x x a ---+≤，令()|27|2|1|1h x x x =---+，则6,17()410,1274,2x h x x x x ⎧⎪≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 74()()(1)62h h x h -=≤≤=，∴min ()4h x =-…………………………15分若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，则min (),4h x a a ≤≥-即．…………18分。
2018静安区高三二模数学Word版（附解析）
上海市静安区2018届高三二模数学试卷2018.05填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）一.1.已知集合A={1,3,5,7,9},3={0,1,2,3,4,5},则图中阴影部分集合用列举法表示的结果是^77）「2.若复数Z满足z（l-Z）=2Z（，是虚数单位），则|z|=3.函数y=Jlg（x+2）的定义域为4.在从4个字母。
、b、c、d中任意选出2个不同字母的试验中，其中含有字母d事件的概率是________5.下图中的三个直角三角形是一个体积为20cn?的几何体的三视图，则/,=6.如上右图，以长方体ABCD—ABCQ的顶点Q为坐标原点，过。
的三条棱所在的直线UUL1UULL为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB］的坐标为（4,3,2）,则四；的坐标为7.方程cos2x=-虫的解集为28.己知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上一点（a>0）到焦点F的距离为5,则该抛物线的标准方程为9.秦九韶是我国南宋时期数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，右边的流程图是秦九韶算法的一个实例.若输入几、X的值分别为4、2,则输出g的值为（在算法语言中用“*”表示乘法运算符号,例如5*2=10）10.已知等比数列{%}的前灯项和为（”eN*）,且夺=，%—%=---'则。
3 的值为TT11.在直角三角形A3。
中，/A=-,AB=3,AC=4,E为三角形ABC内一点，2、/2ulul uuu uuiuS.AE=~,AE=AAB+piAC,则32+4/z的最大值等于12.已知集合梨={3,[)|3+、)2+"+)-2<0},={(-X,_y)|(x—2a)2+(_y——I)2<a2,若A B0,则实数a取值范围为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.能反映一组数据的离散程度的是（）A,众数B,平均数 C.中位数 D.方差14.若实系数一元二次方程z2+z+m=0有两虚数根a,/?,且\a-/3\=3，那么实数m 的值是()5,5A.—B.1C.—1D.---2215.函数f(x)=Asin(cox+(p)(A>0,刃>0)的部分图像如图所示，则/•(;)的值为()A.—B.—C.—D.02 2 216.已知函数/'(X)=-『+x+10,实数也、.亏、土满足茶+x2<0,x2 +x3<0,.r3+x,<0, plij/（x1）+/（x2）+/（x3）的值（）A,一定大于30B,一定小于30C,等于30 D.大于30、小于30都有可能三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17,某峡谷中一种昆虫的密度是时间f的连续函数（即函数图像不间断）.昆虫密度。
2018年上海市静安区高考数学模拟试卷
2018年上海市静安区高考数学模拟试卷一、填空题（50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．（5分）若复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a=．2．（5分）若f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），则f（0）+f（2）=．3．（5分）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．4．（5分）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，E为CD的中点，则的值是．5．（5分）用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．6．（5分）已知α为锐角，且，则sinα=．7．（5分）设函数f（x）=sin（πx），若存在x0∈（﹣1，1）同时满足以下条件：①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立；②x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是．8．（5分）若不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围为．9．（5分）已知f（x）=a x﹣b（a＞0且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，若对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，则的最小值为．10．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）=；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．二、选择题（25分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．（5分）“抛物线y=ax2的准线方程为y=2”是“抛物线y=ax2的焦点与双曲线的焦点重合”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．（5分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2015＜0 B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2015＞0 D．若a4＞0，则S2014＞013．（5分）某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．336种B．320种C．192种D．144种14．（5分）已知椭圆C1，抛物线C2焦点均在x轴上，C1的中心和C2顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则C1的左焦点到C2的准线之间的距离为（）A．B．C．1 D．215．（5分）对于集合A，定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素e∈A，使得对任意a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a，则称元素e是集合A对运算“⊕”的单位元素．例如：A=R，运算“⊕”为普通乘法；存在1∈R，使得对任意a∈R，都有1×a=a×1=a，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A=R，运算“⊕”为普通减法；②A={A m ×n |A m ×n 表示m ×n 阶矩阵，m ∈N *，n ∈N *}，运算“⊕”为矩阵加法； ③A={X |X ⊆M }（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集． 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（ ） A ．①② B ．①③C ．①②③D ．②③三、解答题（本题满分84分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．（12分）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，长为π，长为，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧．（1）求三棱锥C ﹣O 1A 1B 1的体积；（2）求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小．17．（14分）设双曲线C ：，F 1，F 2为其左右两个焦点．（1）设O 为坐标原点，M 为双曲线C 右支上任意一点，求的取值范围；（2）若动点P 与双曲线C 的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为，求动点P 的轨迹方程．18．（20分）如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数y=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，φ∈（0，π）），x ∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B （﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD ∥EF ．游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC 的函数表达式；（2）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 最近距离为1千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO 长；（3）如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．19．（18分）设集合M a={f（x）|存在正实数a，使得定义域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．（1）若f（x）=2x﹣x2，试判断f（x）是否为M1中的元素，并说明理由；（2）若，且g（x）∈M a，求a的取值范围；（3）若（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．20．（20分）设数列{a n}满足：①a1=1；②所有项a n∈N*；③1=a1＜a2＜…＜a n＜a n+1＜…设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m．换句话说，b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（1）若数列{a n}的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{a n}；（2）设a n=3n﹣1，求数列{a n}的伴随数列{b n}的前100之和；（3）若数列{a n}的前n项和S n=n+c（其中c常数），试求数列{a n}的伴随数列{b n}前m项和T m．2018年上海市静安区高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．（5分）若复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a=4．【解答】解：∵==为纯虚数，∴，解得a=4．故答案为：4．2．（5分）若f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），则f（0）+f（2）=﹣2．【解答】解：f（x）为R上的奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即有f（0）=0，f（﹣2）=﹣f（2），当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），f（﹣2）=log2（2+2）=2，则f（0）+f（2）=0﹣2=﹣2．故答案为：﹣2．3．（5分）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．【解答】解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，，a=该正三棱锥的体积：故答案为：4．（5分）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，E为CD的中点，则的值是1．【解答】解：在菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=60°，=+，∴==1×1×cos60°+×12=1．故答案为：1．5．（5分）用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．【解答】解：半径为1米的半圆的周长为=π，则制作成圆锥的底面周长为π，母线长为1，设圆锥的底面半径为r，则2πr=π，即r=．∴圆锥的高为h=．∴V=×=（立方米）．故答案为：．6．（5分）已知α为锐角，且，则sinα=．【解答】解：∵α为锐角，∴α+∈（，），∵cos（α+）=，∴sin（α+）==，则sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=×﹣×=．故答案为：7．（5分）设函数f（x）=sin（πx），若存在x0∈（﹣1，1）同时满足以下条件：①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立；②x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【解答】解：根据题意：①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x0）成立由于：x0∈（﹣1，1）所以：对f（x）≤f（x0）成立，只需满足f（x）≤f（x0）min即可．由于f（x）=sin（πx），所以：由于②x02+[f（x0）]2＜m所以当，且求出：m2＞4进一步求出：m＞2或m＜﹣2故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．8．（5分）若不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围为（﹣∞，5] ．【解答】解：不等式x2＜|x﹣1|+a等价于x2﹣|x﹣1|﹣a＜0，设f（x）=x2﹣|x﹣1|﹣a，若不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则，求得a≤5，故答案为：（﹣∞，5]．9．（5分）已知f（x）=a x﹣b（a＞0且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，若对任意实数x均有f（x）•g（x）≤0，则的最小值为4．【解答】解：f（x）=a x﹣b，g（x）=x+1，那么：f（x）•g（x）≤0，即（a x﹣b）（x+1）≤0．对任意实数x均成立，可得a x﹣b=0，x+1=0，故得ab=1．那么：=4，当且仅当a=，b=2时取等号．故的最小值为4．故答案为：4．10．（5分）如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记∠AOP 为x （x ∈[0，π]），OP 所经过正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积S=f （x ），那么对于函数f （x ）有以下三个结论：①f （）=；②任意x ∈[0，]，都有f （﹣x ）+f （+x ）=4；③任意x 1，x 2∈（，π），且x 1≠x 2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是 ①② ．【解答】解：当0≤x ≤arctan2时，f （x ）==；当arctan2＜x ＜，在△OBE 中，f （x ）=S 矩形OABM ﹣S △OME =2﹣=2﹣；当x=时，f （x ）=2；当＜x ≤π﹣arctan2时，同理可得f （x ）=2﹣． 当π﹣arctan2＜x ≤π时，f （x ）=4﹣=4+．于是可得：①==，正确； ②对任意x ∈[0，]，都有f （﹣x ）+f （+x ）=4用换元法，以x 代替﹣x ，可得：f （x ）+f （π﹣x ）=4， 因此，故②正确；③不妨设x1＜x2，则＜0⇔f（x1）＞f（x2），显然不正确．综上只有：①②正确．故答案为：①②．二、选择题（25分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．（5分）“抛物线y=ax2的准线方程为y=2”是“抛物线y=ax2的焦点与双曲线的焦点重合”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：①抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=2，所以a=﹣．②双曲线﹣x2=1的a=，b=1，c==2，则焦点为（0，±2），抛物线y=ax2即为x2=，y的焦点为（0，），由题意可得，=±2，解得，a=±．故选：A．12．（5分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2015＜0 B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2015＞0 D．若a4＞0，则S2014＞0【解答】解：若a3＞0，则a1q2＞0，即a1＞0，a2015＞0；若q=1，则S2015=2015a1＞0；若q≠1，则S2015=，由1﹣q和1﹣q2015同号，可得S2015＞0；由a4＞0，可得a2014=a1q2013＞0；a4＞0，不能判断S2014的符号，故选C．13．（5分）某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A．336种B．320种C．192种D．144种【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21•C43•A44=192种情况；若甲乙两人都参加，有C22•C42•A44=144种情况，则不同的发言顺序种数192+144=336种，故选：A．14．（5分）已知椭圆C1，抛物线C2焦点均在x轴上，C1的中心和C2顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则C1的左焦点到C2的准线之间的距离为（）A．B．C．1 D．2【解答】解：由表可知：抛物线C2焦点在x轴的正半轴，设抛物线C2：y2=2px（p＞0），则有=2p（x≠0），据此验证四个点知（3，﹣2），（4，﹣4）在C 2上，代入求得2p=4，∴抛物线C 2的标准方程为y 2=4x ．则焦点坐标为（1，0），准线方程为：x=﹣1，设椭圆C 1：（a ＞b ＞0），把点（﹣2，0），（，）代入得，，解得：，∴C 1的标准方程为+y 2=1；由c==，左焦点（，0），C 1的左焦点到C 2的准线之间的距离﹣1，故选B ．15．（5分）对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e ∈A ，使得对任意a ∈A ，都有e ⊕a=a ⊕e=a ，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素．例如：A=R ，运算“⊕”为普通乘法；存在1∈R ，使得对任意a ∈R ，都有1×a=a ×1=a ，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①A=R ，运算“⊕”为普通减法；②A={A m ×n |A m ×n 表示m ×n 阶矩阵，m ∈N *，n ∈N *}，运算“⊕”为矩阵加法； ③A={X |X ⊆M }（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集． 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（ ） A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③【解答】解：①若A=R ，运算“⊕”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素； ②A={A m ×n |A m ×n 表示m ×n 阶矩阵，m ∈N *，n ∈N *}，运算“⊕”为矩阵加法， 其单位元素为全为0的矩阵；③A={X |X ⊆M }（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集， 其单位元素为集合M ． 故选D ．三、解答题（本题满分84分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．（12分）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为π，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．【解答】解：（1）连结O1B1，则∠O1A1B1=∠A1O1B1=，∴△O1A1B1为正三角形，∴=，==．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），BB1=AA1=1，连结BC、BO、OC，∠AOB=∠A1O1B1=，，∴∠BOC=，∴△BOC为正三角形，∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=1，∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．17．（14分）设双曲线C：，F1，F2为其左右两个焦点．（1）设O为坐标原点，M为双曲线C右支上任意一点，求的取值范围；（2）若动点P与双曲线C的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为，求动点P的轨迹方程．【解答】解：（1）设M（x，y），，左焦点，=…（4分）=（）对称轴，…（3分）（2）由椭圆定义得：P点轨迹为椭圆，，|PF1|+|PF2|=2a=…（4分）由基本不等式得，当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立，b2=4所求动点P的轨迹方程为…（3分）18．（20分）如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（0，π）），x∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B（﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥EF．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC的函数表达式；（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．【解答】解：（1）由已知条件，得A=2，又∵，，∴．又∵当x=﹣1时，有y=2sin（﹣+φ）=2，∴φ=．∴曲线段FGBC的解析式为，x∈[﹣4，0]．（2）由=1得x=6k+（﹣1）k﹣4 （k∈Z），又x∈[﹣4，0]，∴k=0，x=﹣3．∴G（﹣3，1）．∴OG=．∴景观路GO长为千米．（3）如图，OC=，CD=1，∴OD=2，，作PP1⊥x轴于P1点，在Rt△OPP1中，PP1=OPsinθ=2sinθ，在△OMP中，，∴=．水秀中华S平行四边形OMPQ=OM•PP1====θ∈（0，）．当时，即时，平行四边形面积最大值为．19．（18分）设集合M a={f（x）|存在正实数a，使得定义域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．（1）若f（x）=2x﹣x2，试判断f（x）是否为M1中的元素，并说明理由；（2）若，且g（x）∈M a，求a的取值范围；（3）若（k∈R），且h（x）∈M2，求h（x）的最小值．【解答】解：（1）∵f（1）=f（0）=1，∴f（x）∉M1．…（4分）（2）由…（2分）∴，…（3分）故a＞1．…（1分）（3）由，…（1分）即：∴对任意x∈[1，+∞）都成立∴…（3分）当﹣1＜k≤0时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）；…（1分）当0＜k＜1时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）；…（1分）当1≤k＜3时，．…（1分）水秀中华综上：…（1分）20．（20分）设数列{a n}满足：①a1=1；②所有项a n∈N*；③1=a1＜a2＜…＜a n＜a n+1＜…设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m．换句话说，b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（1）若数列{a n}的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{a n}；（2）设a n=3n﹣1，求数列{a n}的伴随数列{b n}的前100之和；（3）若数列{a n}的前n项和S n=n+c（其中c常数），试求数列{a n}的伴随数列{b n}前m项和T m．【解答】解：（1）1，4，7．（2）由，得∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1，当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2，当9≤m≤26，m∈N*时，b9=b10=…=b26=3，当27≤m≤80，m∈N*时，b27=b28=…=b80=4，当81≤m≤100，m∈N*时，b81=b82=…=b100=5，∴b1+b2+…+b100=1×2+2×6+3×18+4×54+5×20=384．（3）∵a1=S1=1+c=1∴c=0，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n﹣2∴…（2分）由a n=3n﹣2≤m得：因为使得a n≤m成立的n的最大值为b m，所以，当m=3t﹣2（t∈N*）时：，当m=3t﹣1（t∈N*）时：，水秀中华当m=3t（t∈N*）时：，所以（其中t∈N*）．。
上海市静安区达标名校2018年高考二月调研数学试卷含解析
上海市静安区达标名校2018年高考二月调研数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量a ，b ，b =(1)，且a 在b 方向上的投影为12，则a b ⋅等于（ ） A ．2B ．1C ．12D ．02．已知函数()(2)3,(ln 2)()32,(ln 2)xx x e x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩，当[,)x m ∈+∞时，()f x 的取值范围为(,2]e -∞+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,2e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,1]-∞C ．1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[ln 2,1]3．已知a ，b ，c 分别是ABC 三个内角A ，B ，C的对边，cos sin a C A b c +=+，则A =（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 4．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．8πD ．13π5．抛物线22y x =的焦点为F ，则经过点F 与点()2,2M 且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．0个D ．无数个6．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为m =（ ） A ．1B ．2CD ．37．若x ，y 满足约束条件0,2,10,x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则4z x y =+的取值范围为（ ）A ．[]5,1--B ．[]5,5-C ．[]1,5-D ．[]7,3-8．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数； ②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏； ③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．已知13ω>，函数()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值，给出下列四个结论：①()f x 在(,2)ππ上单调递增； ②511,1224ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ③()f x 在[0,]π上没有零点； ④()f x 在[0,]π上只有一个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②④B ．①③C ．②③D ．①②④10．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B两点，若2AB =，则2ABF ∆的内切圆半径为（ ）A ．23 B ．33C ．323D ．23311．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）A ．物理化学等级都是B 的学生至多有12人B．物理化学等级都是B的学生至少有5人C．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至多有18人D．这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至少有1人12．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( )A．1 2B．35C．710D．45二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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上海市静安区2018届高三二模数学试卷2018.05一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知集合{1,3,5,7,9}A =，{0,1,2,3,4,5}B =，则图中阴影部 分集合用列举法表示的结果是2. 若复数z 满足(1)2z i i -=（i 是虚数单位），则||z =3. 函数lg 2y x =+（）的定义域为 4. 在从4个字母a 、b 、c 、d 中任意选出2个不同字母的试验中，其中含有字母d 事件 的概率是5. 下图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图，则h =6. 如上右图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线 为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1BD 的坐标为7. 方程3cos22x =-的解集为 8. 已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上 一点(,4)M a -(0)a >到焦点F 的距离为5，则该抛物线的标准方程为9. 秦九韶是我国南宋时期数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，右边的流程图是秦九韶算法的一个实例. 若输入n 、x的值分别为4、2，则输出q 的值为（在算法语言中用“*”表示乘法运算符号，例如5210*=）10. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S （n ∈*N ），且63198S S =-，42158a a =--，则3a 的值为11. 在直角三角形ABC 中，2A π∠=，3AB =，4AC =，E 为三角形ABC 内一点， 且22AE =，若AE AB AC λμ=+，则34λμ+的最大值等于 12. 已知集合2{(,)|()20}A x y x y x y =+++-≤，222{(,)|(2)(1)}2a B x y x a y a a =-+--≤-，若A B ≠∅，则实数a 取值范围为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 能反映一组数据的离散程度的是（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差14. 若实系数一元二次方程20z z m ++=有两虚数根α，β，且||3αβ-=，那么实数m 的值是（ ）A. 52B. 1C. 1-D. 52- 15. 函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的部分图像如图所示，则()3f π的值为（ ） A. 22 B. 32 C. 62D. 0 16. 已知函数3()10f x x x =++，实数1x 、2x 、3x 满足120x x +<，230x x +<，310x x +<，则123()()()f x f x f x ++的值（ ）A. 一定大于30B. 一定小于30C. 等于30D. 大于30、小于30都有可能三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 某峡谷中一种昆虫的密度是时间t 的连续函数（即函数图像不间断）. 昆虫密度C 是指每平方米的昆虫数量，已知函数21000(cos(4)2)990,816()2,081624t t C t m t t ππ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪≤<<≤⎩或， 这里的t 是从午夜开始的小时数，m 是实常数，(8)m C =.（1）求m 的值；（2）求出昆虫密度的最小值并指出出现最小值的时刻.18. 已知椭圆Γ的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，两焦点分别为1F 和2F ，椭圆Γ上一点到1F 和2F 的距离之和为12.圆22:24210()k A x y kx y k ++--=∈R 的圆心为k A .（1）求△12k A F F 的面积；（2）若椭圆上所有点都在一个圆内，则称圆包围这个椭圆.问：是否存在实数k 使得圆k A 包围椭圆Γ？请说明理由.19. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，2AC =，1BD =，2OP =.（1）求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值.20. 已知数列{}n a 中，1a a =1(,)2a R a ∈≠-，1112(1)n n a a n n n -=+++，2n ≥，*n ∈N . 又数列{}n b 满足：11n n b a n =++，*n ∈N . （1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）若数列{}n a 是单调递增数列，求实数a 的取值范围；（3）若数列{}n b 的各项皆为正数，12log n n c b =，设n T 是数列{}n c 的前n 和，问：是否存在整数a ，使得数列{}n T 是单调递减数列？若存在，求出整数a ；若不存在，请说明理由.21. 设函数()|27|1f x x ax =-++（a 为实数）.（1）若1a =-，解不等式()0f x ≥；（2）若当01x x>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围； （3）设21()1x g x a x +=--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围.参考答案一. 填空题1. {0,2,4}2.3. [1,)-+∞4. 125. 46. (4,3,2)--7. 5{|,}12x x k k ππ=±∈Z 8. 24x y =-9. 50 10.9411. 1 12. 19[14+-二. 选择题 13. D 14. A 15. C 16. B三. 解答题17. 解（1）2(8)=1000(cos0+2)9908010m C =-=； ……4分（2）当cos((8))12t π⋅-=-时，C 达到最小值，得(8)(2+1),2t k k Z ππ⋅-=∈，……8分又[8,16]t ∈，解得10t =或14.所以在10：00或者14：00时，昆虫密度达到最小值10. ……14分18. 解：（1）设椭圆方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，……1分 由已知有212,2a a b ==， ……2分 所以椭圆方程为：221369x y +=， …… 3分 圆心(,2)k A k - ……5分所以，△12k A F F 的面积121211222k K A F F A S F F y =⋅=⨯= ……6分 （2）当0k ≥时，将椭圆椭圆顶点（6，0）代入圆方程得：22601202115120k k ++--=+>，可知椭圆顶点（6，0）在圆外；……10分当0k <时，22(6)01202115120k k -+---=->，可知椭圆顶点（-6，0）在圆外； 所以，不论k 取何值，圆k A 都不可能包围椭圆Γ．……14分19. 解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点， 直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系． ……1分 则(1,0,0)A ,1(0,,0)2B ,(0,0,2)P ,(1,0,0)C -,1(,0,1)2M -． 所以(1,0,2)AP =-，11(,,1)22BM =--，52AP BM ⋅=，||5AP =，6||2BM =． ……3分 则530cos ,6||||56AP BM AP BM AP BM ⋅<>===⨯． 故异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为306……6分 （2）1(1,,0)2AB =-，11(,,1)22BM =--． 设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得10211022x y x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩，令2x =，得4y =，3z =． 得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =． ……9分又平面PAC 的一个法向量为1(0,,0)2OB =， ……10分所以n 2OB ⋅=，||29n =，1||2OB =．则44cos ,2929||||29n OB n OB n OB ⋅<>===. 故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为42929. ……14分 20. 解：（1）1111111111221(1)111n n n a a a n n n n n n n n n --+=+++=++-++++++ 112122()n n a a n n--=+=+ ……2分 即12n n b b -= ……3分 又111122b a a =+=+，由12a ≠-，则10b ≠ 所以{}n b 是以112b a =+为首项，2为公比的等比数列． ……4分 （2）11()22n n b a -=+⋅，所以111221n n a a n -⎛⎫=+⋅- ⎪+⎝⎭ ……6分 若{}n a 是单调递增数列，则对于*n N ∈，10n n a a +->恒成立 ……7分111111222221n n n n a a a a n n -+⎛⎫⎛⎫-=+⋅--+⋅+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 1111=2212n a n n -⎛⎫+⋅+- ⎪++⎝⎭111=22(1)(2)n a n n -⎛⎫+⋅+ ⎪++⎝⎭ ……8分 由111202(1)(2)n a n n -⎛⎫+⋅+> ⎪++⎝⎭，得11122(1)(2)n a n n -+>-++对于*n N ∈恒成立， ∵112(1)(2)n n n --++递增，且1102(1)(2)n n n --<++，11lim[]02(1)(2)n n n n -→∞-=++，所以102a +≥，又12a ≠-，则12a >-． ……10分 （3）因为数列{}nb 的各项皆为正数，所以102a +>， 则12a >-．112211log [()2]1log ()22n n c a n a -=+=-+-+， ……13分 若数列{}n T 是单调递减数列，则21T T >，即2221112log ()1log (),log ()1222a a a -+->-++<-，即1122a +<， 所以102a -<<．不存在整数a ，使得数列{}n T 是单调递减数列． ……16分 21. 解：（1）由()0f x ≥得271x x -≥-， ……1分 解不等式得8|63x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 ……4分 （利用图像求解也可）（2）由01x x>-解得01x <<．由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥， 当01x <<时，该不等式即为(2)70a x -+≥； ……5分 当=2a 时，符合题设条件； ……6分下面讨论2a ≠的情形，当2a >时，符合题设要求； ……7分当2a <时，72x a ≤-，由题意得712a≥-，解得25a >≥-； 综上讨论，得实数a 的取值范围为{}|5a a ≥- ……10分（3）由21()=21(1)1x g x x a x a x +=-++--， ……12分代入()()f x g x ≤得|27|2|1|1x x a ---+≤，令()|27|2|1|1h x x x =---+， 则6,17()410,1274,2x h x x x x ⎧⎪≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 74()()(1)62h h x h -=≤≤=， ∴min ()4h x =- ……15分若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，则min (),4h x a a ≤≥-即． ……18分。