2021复习有方法板块1命题区间教学课件11球与几何体的切接问题
高中数学立体几何专题·球的切接问题
二.温故知新
同学们，请看下面球与正方体的三种组合体，你能从中得到什 么结论呢？ D D
1 A1
A
B O
C
C1
B1 球外切正方体（切面） 球外切正方体（切棱）
球内接正方体
结论：
1.正方体的外接球的球心是体对角线的交点，半径是体对角线的一半 2.正方体的内切球的球心是体对角线的交点，半径是棱长的一半 3.与正方体的棱都相切的球的球心是体对角线的交点，半径是面对角线长的一半
球的“接”与“切”：
• 两个几何体相（内）切:一个几何体的各个面与另一 个几何体的各面相切 • 两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在另一个 几何体的表面上 • 解决“接切”问题的关键是画出正确的截面，把空 间“接切”转化为平面“接切”问题
球与正方体的“切”“接”问题
探究一： 若正方体的棱长为a，则 ⑴正方体的内切球直径＝ ⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
练习 1、求棱长为a的正四面体的外接球、 棱切球、内切球的体积之比。
2、正三棱锥的高为1，底面边长为2 6 ，
内有一个球与它的四个面都相切．求：
(1)外接球的表面积和体积； (2)内切球的表面积与体积．
解：(1)如图所示，底面正三角形的中心F到一边的距离为
1 3 FD＝ 2 6＝ 2， 2 2 则正三棱锥侧面的斜高PD＝ 1
球与正方体的“接切”问题
1.一个正方体的顶点都在球面上，它的 棱长是4cm，求这个球的体积. 2.长方体的共顶点的三个侧面面积分别 为 3，5， 乙球内切于该正方体的各条棱， 丙球外接于该正方体，则三球表 面面积之比为( ) A. 1:2:3 B.1: 2: 3 C. 1: 4: 9
1 3 2 径分别为: 2 a、2 a、2 a.
2021高考数学(理)统考版二轮复习课件 精讲12 与球有关的切、接、截问题
1 2 3 4 5 6 78
A [直三棱 ABC-A1B1C1 的各顶点都在同一 球面上，(如图)，
∵△ABC 中，∠BAC＝π2， ∴下底面△ABC 的外心 P 为 BC 的中点， 同理，可得上底面△A1B1C1 的外心 Q 为 B1C1 的中点， 连接 PQ，取 PQ 中点 O，易知 O 是三棱柱 ABC-A1B1C1 外接球 的球心．
圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于( )
8 A.3π
32 B. 3 π
C．16π
D．32π
B [设该圆锥的外接球的半径为 R，依题意得，R2＝(3－R)2＋( 3)2，
解得 R＝2，所以所求球的体积 V＝43πR3＝34π×23＝332π，故选 B.]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
上，且∠BAC＝34π，AA1＝BC＝2，则球 O 的体积为(
)
A．4 3π B．8π C．12π D．20π
1 2 3 4 5 6 78
A [在底面△ABC 中，由正弦定理得底面△ABC 所在的截面圆
的半径
r＝2sinB∠CBAC＝2sin2
3π＝ 4
2.
所以直三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球的半径
，
∴PA⊥PC，PC⊥PB.以 PA，PB，PC 为过同一顶点的
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥
P-ABC 的外接球．∵正方体的体对角线长为 32＋32＋32＝3 3，
∴其外接球半径
R＝3 2
3 .
因此三棱锥 P-ABC 的外接球的体积 V＝43π×3233＝272 3π，故 选 B.]
∴S1，S2 的比值为SS12＝44ππ··212322＝3， 可得 S1＝3S2.故选 B.]
新高考数学二轮复习学案板块1命题区间精讲精讲11球与几何体的切接问题
球与几何体的切接问题命题点1外接球求解外接球问题的方法解决多面体外接球问题的关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面多边形外接圆的圆心，再过此圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点的情况确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可通过补成正方体或长方体的方法找到球心位置．[高考题型全通关]1．直三棱柱ABC-A′B′C′的所有棱长均为23，则此三棱柱的外接球的表面积为()A．12πB．16πC．28πD．36πC[由直三棱柱的底面是边长为23的正三角形，得底面所在平面截外接球所成的圆O的半径r＝2，又由直三棱柱的侧棱长为23，得外接球球心到圆O的距离d＝3，则外接球半径R满足R2＝r2＋d2＝7，∴外接球的表面积S＝4πR2＝28π.故选C．]2．(2020·石家庄模拟)已知正三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为23的正三角形，侧棱长为25，则球O的表面积为() A．25πB．20π C．16πD．30πA[如图，延长SO交球O于点D，设△ABC的外心为E，连接AE，AD，由正弦定理得2AE＝23＝4，∴AE＝2，sin 60°易知SE⊥平面ABC，由勾股定理可知，三棱锥S-ABC的高SE＝SA2－AE2＝(25)2－22＝4，由于点A是以SD为直径的球O上一点，∴∠SAD＝90°，由射影定理可知，球O 的直径2R ＝SD ＝SA 2SE ＝5， 因此，球O 的表面积为4πR 2＝π×(2R )2＝25π.] 3．(2020·武汉部分学校质量检测)已知三棱锥P -ABC 的四个顶点均在球O 的球面上，P A ＝PB ＝PC ＝2，且P A ，PB ，PC 两两互相垂直，则球O 的体积为 ( )A ．163πB ．83πC ．43πD ．23πC [因为P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝PB ＝PC ＝2，所以以P A ，PB ，PC 为交于一点的三条棱构造正方体，则球O 即此正方体的外接球，该正方体的体对角线长为球的直径，即球的直径为P A 2＋PB 2＋PC 2＝22＋22＋22＝23，所以球的半径R ＝3，所以球O 的体积V ＝43πR 3＝43π(3)3＝43π，选C ．] 4．如图，半径为R 的球的两个内接圆锥有公共的底面．若两个圆锥的体积之和为球的体积的38，则这两个圆锥的高之差的绝对值为( )A ．R 2B ．2R 3C ．4R 3D ．RD [设球的球心为O ，半径为R ，体积为V ，上面圆锥的高为h (h ＜R )，体积为V 1，下面圆锥的高为H (H ＞R )，体积为V 2，两个圆锥共用的底面的圆心为O 1，半径为r .由球和圆锥的对称性可知h ＋H ＝2R ，|OO 1|＝H －R .∵V 1＋V 2＝38V ，∴13πr 2h＋13πr 2H ＝38×43πR 3，∴r 2(h ＋H )＝32R 3.∵h ＋H ＝2R ，∴r ＝32R .∵OO 1垂直于圆锥的底面，∴OO 1垂直于底面的半径，由勾股定理可知R 2＝r 2＋|OO 1|2，∴R 2＝r 2＋(H －R )2，∴H ＝32R ，∴h ＝12R ，则这两个圆锥的高之差的绝对值为R ，故选D ．]命题点2 内切球求解内切球问题的关键点求解多面体的内切球问题的关键是求内切球的半径．求内切球半径的一般方1．已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球的表面积与圆锥的表面积的比值为 ( )A ．23B ．49C ．269D ．827B [设圆锥的底面半径为R ，球的半径为r ，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R 的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，所以r ＝33R ，S 球＝4πr 2＝4π·⎝ ⎛⎭⎪⎫33R 2＝4π3R 2，S 圆锥＝πR ·2R ＋πR 2＝3πR 2，所以球的表面积与圆锥的表面积的比值为4π3R 23πR 2＝49，故选B ．]2．在封闭的正三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ＝6，AA 1＝4，则V 的最大值是 ( )A ．16πB ．32π3C ．12πD ．43πD [由正三角形ABC 的边长为6，得其内切圆的半径为r ＝3<2，所以在封闭的正三棱柱ABC -A 1B 1C 1内的球的半径的最大值为3，所以V max ＝43πr 3＝43π，故选D ．]3．如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ＝4，AC ＝27，PB ＝BC ＝23，P A ⊥平面PBC ，则三棱锥P -ABC 的内切球的表面积为( )A ．32πB ．94πC ．43πD ．163πB [由P A ⊥平面PBC ，且P A ＝4，PB ＝23，AC ＝27，得AB ＝27，PC ＝23，所以△PBC 为等边三角形，△ABC 为等腰三角形，V 三棱锥P -ABC ＝V 三棱锥A -PBC＝13S △PBC ×P A ＝13×34×(23)2×4＝43，三棱锥P -ABC 的表面积为S ＝12×23×4×2＋34×(23)2＋12×23×5＝16 3.设内切球半径为r ，则V 三棱锥P -ABC ＝13×S ×r ，即43＝13×163×r ，所以r ＝34，所以三棱锥P -ABC 的内切球的表面积为4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝9π4.] 4．如图，圆柱O 1O 2的底面直径与高都等于球O 的直径，记圆柱O 1O 2的表面积为S 1，球O 的表面积为S 2，则S 1S 2＝________. 32 [设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R .所以球的表面积S 2＝4πR 2，圆柱的表面积S 1＝2πR ×2R ＋πR 2＋πR 2＝6πR 2，则S 1S 2＝6πR 24πR 2＝32.] 命题点3 与球有关的最值问题多面体与球有关的最值问题，主要有三种：一是多面体确定的情况下球的最值问题；二是球的半径确定的情况下与多面体有关的最值问题；三是多面体与球均确定的情况下，截面的最值问题．[高考题型全通关]1．(2020·成都模拟)若矩形ABCD 的对角线交点为O ′，周长为410，四个顶点都在球O 的表面上，且OO ′＝3，则球O 的表面积的最小值为( )A ．322π3B ．642π3C ．32πD ．48πC [由题意，知矩形ABCD 所在的圆面为球O 的一个截面．因为O ′为矩形ABCD 的对角线的交点，所以OO ′所在直线垂直于矩形ABCD 所在的圆面．因为矩形ABCD 的周长为410，所以BC ＋CD ＝210.设BC ＝x ，则CD ＝210－x ，所以BD 2＝BC 2＋CD 2＝x 2＋(210－x )2，即BD 2＝2(x －10)2＋20.设球O 的半径为R ，则R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BD 22＋O ′O 2＝12(x －10)2＋8，所以当x ＝10时，R 2取得最小值8，所以球O 的表面积的最小值S min ＝4π(R 2)min ＝32π，故选C ．]2．(2020·洛阳尖子生第一次联考)已知三棱锥P -ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC 满足BA ＝BC ＝6，∠ABC ＝π2，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为( )A ．8πB ．16πC ．163πD ．323πD [如图，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC 为截面圆的直径，外接球的球心O 在截面ABC 上的射影为AC 的中点D ，∴当P ，O ，D 共线且P ，O 位于截面ABC 同一侧时三棱锥的体积最大，高最大，此时三棱锥的高为PD ，由13×12×6×6×PD ＝3，解得PD ＝3，设外接球的半径为R ，则OD ＝3－R ，OC ＝R ，在△ODC中，CD ＝12AC ＝3，由勾股定理得(3－R )2＋(3)2＝R 2，解得R ＝2.∴三棱锥P -ABC的外接球的体积V ＝43π×23＝323π.故选D ．]3．(2020·惠州第一次调研)在三棱锥A -BCD 中，底面BCD 是直角三角形且BC ⊥CD ，斜边BD 上的高为1，三棱锥A -BCD 的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A -BCD 体积的最大值为________．43 [如图，过点C 作CH ⊥BD 于H .由外接球的表面积为16π，可得外接球的半径为2，则AB ＝4.因为AB 为外接球的直径，所以∠BDA ＝90°，∠BCA ＝90°，即BD ⊥AD ，BC ⊥CA ，又BC ⊥CD ，CA ∩CD ＝C ，所以BC ⊥平面ACD ，所以BC ⊥AD ，又BC ∩BD ＝B ，所以AD ⊥平面BCD ，所以平面ABD ⊥平面BCD ，又平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以CH ⊥平面AB D ．设AD ＝x (0＜x ＜4)，则BD ＝16－x 2.在△BCD 中，BD 边上的高CH ＝1，所以V 三棱锥A -BCD ＝V 三棱锥C -ABD ＝13×12×x ×16－x 2×1＝16－x 4＋16x 2，当x 2＝8时，V 三棱锥-BCD 有最大值，故三棱锥A-BCD体积的最大值为4 3.]4．已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点的母线互相垂直，把这个机械零件打磨成球形，该球的半径最大为1，设这两个圆锥的高分别为h1，h2，则h1＋h2的最小值为________．22[由题意可知，打磨后所得半径最大的球是由这两个圆锥构成的组合体的内切球，内切球的半径R＝1，如图为这个组合体的轴截面示意图，圆O为内切球的轴截面，E，F，G，H分别为切点，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH，由题意可知AB⊥BC，AD⊥DC，AC＝h1＋h2，R＝OE＝OF＝OG＝OH＝1，则S四边形ABCD＝S△AOB＋S△BOC＋S△COD＋S△AOD，即AB×BC＝12R×AB＋12R×BC＋12R×CD＋12R×AD＝12R(2AB＋2BC)＝R(AB＋BC)，所以AB×BC＝AB＋B C．由基本不等式可得AB×BC＝AB＋BC≥2AB×BC，则AB×BC≥4，当且仅当AB＝BC时等号成立．所以(h1＋h2)2＝AC2＝AB2＋BC2≥2AB×BC≥8，当且仅当AB＝BC时等号成立，故h1＋h2的最小值为2 2.]。
与球有关的接切问题ppt
详细描述
当一个球与多个旋转体接触时，每一个旋转 体的侧面都会与球形成一条圆弧的接切线， 而每一个旋转体的顶点都会与球形成圆的接 切点。这些圆的半径和圆弧的长度取决于旋 转体的大小以及球的大小。
04
球的切割问题
球被平面切割的截面图形
总结词
根据球心到切割平面的距离和球的半径，可 以确定球被平面切割的截面图形是圆、椭圆 、抛物线、双曲线或这些图形的组合。
详细描述
当球心到切割平面的距离等于球的半径时， 截面图形是圆；当球心到切割平面的距离小 于球的半径时，截面图形是椭圆；当球心到 切割平面的距离大于球的半径时，截面图形 是抛物线或双曲线，具体形状取决于切割平
面与球心的相对位置。
球的切割线长度问题
总结词
球的切割线长度等于球的半径乘以切割线对应的圆心角弧度数。
详细描述
根据平面几何中弧长公式，球的切割线长度等于球的半径乘以切割线对应的圆心角弧度 数。当切割线对应的圆心角为直角时，切割线长度最短；当切割线对应的圆心角为平角
时，切割线长度最长。
球的切割面面积问题
总结词
球的切割面面积等于球的表面积乘以切割面所占的圆 心角与360度的比值。
详细描述
根据球表面积公式和圆心角与面积的关系，球的切割 面面积等于球的表面积乘以切割面所占的圆心角与 360度的比值。当切割面为球的大圆时，切割面面积 最大；当切割面为小圆时，切割面面积最小。
当球与圆柱相切时，切点处球面与圆柱的侧面相切，形成 一条直线。此时，球心与切点的连线与圆柱的轴线垂直。 根据几何原理，切点处球面与圆柱的侧面相切，形成一条 直线。
总结词
当球与圆柱相切时，切点处球面与圆柱的底面相切，形成 圆形。
详细描述
当球与圆柱相切时，切点处球面与圆柱的底面相切，形成 圆形。此时，球心与切点的连线与圆柱的底面垂直。根据 几何原理，切点处球面与圆柱的底面相切，形成圆形。
与球有关的切、接问题教学课件(共19张PPT)——2022届高三数学一轮复习专题
2．与球的常见组合结论 1 正方体的内切球：R=___a____
（1）正方体与球：
②与正方体各棱相切的球：R＝
2
2a
2
③正方体的外接球：R＝
3a
2
(2)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：
补形为长方体（正方体），利用体对角线长=外接球直径
a2 b2 c2 2R,即R a2 b2 c2 2
： 补 形 正 方 体
3
3
4
A
目的：通过作截面，转化为平面几何求解
三【高考考向】 考点1：多面体外接球 例1（ 2019年全国1卷理12） 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC, ABC是边长为2的正三角形，E,F分别
是PA,AB的中点，CEF 90 ,如图所示，则球O 的体积为（D ）
C.20
补形为长方体，求外接球 P
D.24
直接找球心
P
P
O
2
2
B
A
4
C
2
2
A
2
4
2
B
jB
A
4
C
C
考点2：旋转体内切球 已例知2圆（ 锥20的20底全面国半卷径III理为115，）母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为___32___
分析：易知半径最大球为圆锥的内切球，
A
找球与圆锥内切时的轴截面。
正方体）
3.加强空间想象力，作图是关键。
注意 分析 探索 图形 特征及 特征 量转 化。
作业： 《多面体与球专项训练》 （十八）
谢谢
性质三：球心到截面的距离 d
与球的半径R
截面的半径r,
P
有以下关系：
高三总复习数学课件 与球有关的切、托问题
[方法技巧] 由几何体外接球的定义可知，几何体的各顶点到球心的距离相等．常见的 两种情况是： (1)若四面体的两个面是公共斜边的直角三角形，则球心是斜边的中点； (2)直三棱柱的外接球的球心在该直三棱柱的上下底面三角形外心的连线的 中点处．
[针对训练]
1．(2022·宣城期末)在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC，AP＝2，AB＝2 2，
[针对训练]
1．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P-
ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P-ABC的四个
顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为
()
A．12π B．20π C．24π
D．32π
解析：将三棱锥P-ABC放入长方体中，如图，三棱锥P-ABC 的外接球就是长方体的外接球．因为PA＝AB＝2，AC＝4， △ABC为直角三角形，所以BC＝2 3 .设外接球的半径为R， 依题意可得(2R)2＝4＋4＋12＝20，故R2＝5，则球O的表面 积为S＝4πR2＝20π. 答案：B
球心O到底面△PAB的距离为d＝
1 2
AC＝1，由
正弦定理，可得△PAB的外接圆的半径为r＝12×sinPA60°＝ 23，所以球O的半径为
R＝ d2＋r2＝ 12＋ 2 2＝ 3
[答案]
77 (1) 6 π
28π (2) 3
73，所以球O的表面积为S＝4πR2＝4π×73＝283π.
[方法技巧] 补形求心的常用模型
＋OG2＝DO2，即 23a×232＋12a2＝1，得 a＝2 721，故正三棱
柱
的
体
积
为
1 2
a2×
3 2
×a
与球有关的切接问题课件-2025届高三数学一轮复习
&2
A． 12
&2
C． 4
&3
B． 12
&3
D． 4
答案：A
2．[2022·新高考Ⅱ卷]已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别
为3 3和4 3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A．100π B．128π C．144π D．192π
答案：A
解析：设三棱台上底面A1B1C1、下底面ABC的外接圆半径分别为r1，r2，外接圆
答案：A
(2) 如 图 ， 在 四 棱 锥 E-ABCD 中 ， 四 边 形 ABCD 为 矩 形 ， CE⊥ 平 面 ABCD ， AB ＝ 6 ， BC ＝ CE ＝ 4 ， 该 四 棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 为 ________．
答案：68π
题后师说 补形法的解题策略
巩固训练1
专题培优课 与球有关的切、接问题
【考情分析】 与球有关的切、接问题是高考命题的热点之一，经 常以客观题出现．一般围绕球与柱、锥、台体的内切、外接命题，考 查球的体积与表面积，其关键点是确定球心．
关键能力·题型剖析 题型一 几何体的外接球 角度一 补形法 例1 (1)[2024·山东济宁模拟]如图，在边长为4的正方形ABCD中，点 E，F分别为AB，BC的中点，将△ADE，△BEF，△CDF分别沿DE， EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A′，则三棱锥A′-DEF的外接 球体积为( ) A．8 6π B．6 6π C．4 6π D．2 6π
a2 + b2 = 3
设长方体中FA＝a，FB＝b，FC＝c，则 a2 + c2 = 4 ，
b2 + c2 = 5 三式相加得2(a2＋b2＋c2)＝12，故a2＋b2＋c2＝6，
立体几何中的与球有关的内切外接问题分解课件
设多边形的边数为$n$，则球的半径$r = frac{a}{2sinfrac{180^circ}{n}}$，其中$a$为多边形的外接圆半径。
球与圆柱体的内切总结词Fra bibliotek详细描述
当一个球完全内切于一个圆柱体时， 圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球 面相切，且圆柱的轴线通过球心。
设圆柱体的底面圆心为$O_1$，顶面 圆心为$O_2$，球心为$O$。由于球 内切于圆柱体，所以$OO_1 = OO_2 = r$，其中$r$为球的半径。同时， 圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球 面相切，所以底面圆心到球心的距离 等于底面圆的半径，顶面圆心到球心 的距离等于顶面圆的半径。
公式
设圆柱体的底面半径为$R_1$，顶面 半径为$R_2$，高为$h$，则球的半 径$r = frac{R_1 + R_2 + h}{2}$。
球与圆锥体的内切
总结词
当一个球完全内切于一个圆锥体时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，且圆锥的轴 线通过球心。
详细描述
设圆锥体的底面圆心为$O_1$，球心为$O$。由于球内切于圆锥体，所以$OO_1 = r$， 其中$r$为球的半径。同时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，所以底面圆心到球 心的距离等于底面圆的半径。
04
球的内切外接问题应用
球在几何题中的应用
球与多面体的内切和外接
在几何题目中，经常涉及到球与多面体的内切和外接问题，需要利用球心到多面 体的顶点的距离等于半径的原理来解决。
球的切线和割线定理
切线和割线定理是球在几何题中的重要应用，通过这些定理可以推导出球与其他 几何形状的位置关系。
球在物理题中的应用
02
球的内切问题
球与多边形的内切
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03 命题点3 与球有关的最值问
易知SE⊥平面ABC，由勾股定理可知，三棱锥S-ABC的高SE＝ SA2－AE2＝ 2 52－22＝4，
由于点A是以SD为直径的球O上一点，∴∠SAD＝90°，由射影 定理可知，球O的直径2R＝SD＝SSAE2＝5，
因此，球O的表面积为4πR2＝π×(2R)2＝25π.]
3．(2020·武汉部分学校质量检测)已知三棱锥P-ABC的四个顶点 均在球O的球面上，PA＝PB＝PC＝2，且PA，PB，PC两两互相垂 直，则球O的体积为 ( )
＋H)＝32R3.∵h＋H＝2R，∴r＝
3 2 R.
∵OO1垂直于圆锥的底面，∴OO1垂直于底面的半径，由勾股定 理可知R2＝r2＋|OO1|2，∴R2＝r2＋(H－R)2，∴H＝32R，∴h＝12R，则 这两个圆锥的高之差的绝对值为R，故选D．]
02 命题点2 内切球
求解内切球问题的关键点 求解多面体的内切球问题的关键是求内切球的半径．求内切球半 径的一般方法为：将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底 面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的 半径．
4．如图，半径为R的球的两个内接圆锥有公共的底面．若两个圆锥 的体积之和为球的体积的83，则这两个圆锥的高之差的绝对值为( )
A．R2 B．23R C．43R D．R
D [设球的球心为O，半径为R，体积为V，上面圆锥的高为h(h
＜R)，体积为V1，下面圆锥的高为H(H＞R)，体积为V2，两个圆锥共 用的底面的圆心为O1，半径为r.由球和圆锥的对称性可知h＋H＝ 2R，|OO1|＝H－R.∵V1＋V2＝38V，∴13πr2h＋13πr2H＝38×43πR3，∴r2(h
[高考题型全通关]
1．已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有 母线和底面都相切，则球的表面积与圆锥的表面积的比值为 ( )
A．32 B．94
C．2 9 6
D．287ຫໍສະໝຸດ B [设圆锥的底面半径为 R，球的半径为 r，
由题意知，圆锥的轴截面是边长为 2R 的等边三角
形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，所以 r＝
A．16 3π B．8 3π C．4 3π D．2 3π
C [因为PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝2，所 以以PA，PB，PC为交于一点的三条棱构造正方体，则球O即此正方 体的外接球，该正方体的体对角线长为球的直径，即球的直径为
PA2＋PB2＋PC2＝ 22＋22＋22＝2 3，所以球的半径R＝ 3，所以 球O的体积V＝43πR3＝43π( 3)3＝4 3π，选C．]
4．如图，圆柱 O1O2 的底面直径与高都等于球
O 的直径，记圆柱 O1O2 的表面积为 S1，球 O 的表
面积为 S2，则SS12＝________.
3 2
[设球的半径为 R，则圆柱的底面半径为 R，高为 2R.所以球
的表面积 S2＝4πR2，圆柱的表面积 S1＝2πR×2R＋πR2＋πR2＝6πR2， 则SS12＝64ππRR22＝32.]
[高考题型全通关]
1．直三棱柱ABC-A′B′C′的所有棱长均为2 3 ，则此三棱柱的外
接球的表面积为( )
A．12π
B．16π
C．28π
D． 36π
C [由直三棱柱的底面是边长为2 3 的正三角形，得底面所在 平面截外接球所成的圆O的半径r＝2，又由直三棱柱的侧棱长为 2 3，得外接球球心到圆O的距离d＝ 3，则外接球半径R满足R2＝r2 ＋d2＝7，∴外接球的表面积S＝4πR2＝28π.故选C．]
复习有方法
板块一 高考专题突破——选择 题＋填空题
命题区间精讲 精讲11 球与几何体的切接
问题
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01 命题点1 外接球
求解外接球问题的方法 解决多面体外接球问题的关键是确定球心的位置，方法是先选择 多面体中的一面，确定此面多边形外接圆的圆心，再过此圆心作垂直 此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点的情况确定 球心的准确位置．对于特殊的多面体还可通过补成正方体或长方体的 方法找到球心位置．
2．(2020·石家庄模拟)已知正三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O 的球面上，棱锥的底面是边长为2 3的正三角形，侧棱长为2 5，则 球O的表面积为( )
A．25π B．20π C．16π D．30π
A [如图，延长SO交球O于点D，设△ABC 的外心为E，连接AE，AD，
由正弦定理得2AE＝si2n 630°＝4，∴AE＝2，
33R，S
球＝4πr2＝4π·
33R2＝43πR2，S
圆锥＝πR·2R
＋πR2＝3πR2，所以球的表面积与圆锥的表面积的
比值为433ππRR22＝49，故选 B．]
2．在封闭的正三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个体积为 V 的球．若 AB＝6，AA1＝4，则 V 的最大值是 ( )
A．16π B．323π C．12π D．4 3π D [由正三角形 ABC 的边长为 6，得其内切圆的半径为 r＝ 3 <2，所以在封闭的正三棱柱 ABC-A1B1C1 内的球的半径的最大值为 3， 所以 Vmax＝43πr3＝4 3π，故选 D．]
3．如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA＝4，AC＝2 7，PB＝BC＝2 3， PA⊥平面 PBC，则三棱锥 P-ABC 的内切球的表面积为( )
A．32π B．94π C．4 3π D．16 3π
B [由 PA⊥平面 PBC，且 PA＝4，PB＝2 3，AC＝2 7，得 AB ＝2 7，PC＝2 3，所以△PBC 为等边三角形，△ABC 为等腰三角形， V 三棱锥 P-ABC＝V 三棱锥 A-PBC＝13S△PBC×PA＝13× 43×(2 3)2×4＝4 3，三棱 锥 P-ABC 的表面积为 S＝12×2 3×4×2＋ 43×(2 3)2＋12×2 3×5＝ 16 3.设内切球半径为 r，则 V 三棱锥 P-ABC＝13×S×r，即 4 3＝13×16 3 ×r，所以 r＝34，所以三棱锥 P-ABC 的内切球的表面积为 4π×342＝94π.]