空间几何体与球的切接问题
高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型
高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型本文介绍了空间几何体的外接球与内切球的经典类型，其中第一种类型为墙角模型，即三条棱两两垂直，不需要找球心的位置即可求出球半径。
具体方法是找到三条两两垂直的线段，然后使用公式2R=a+b+c或2R=a^2+b^2+c^2来求出R。
例如，在已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16的情况下，可以求出该球的表面积为32π。
第二种类型为对棱相等模型，补形为长方体。
在这种情况下，需要找到对棱相等的空间几何体，并补成长方体。
例如，如果三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积为36π。
除此之外，文章还给出了一些具体的例子，如正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为36π。
同时，文章还提到了一些需要注意的引理，如正三棱锥的对棱互相垂直等。
需要注意的是，文章中存在一些格式错误和明显有问题的段落，需要进行删除或修改。
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，AD=BC，AC=BD）首先，我们可以画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱，如图2-1所示。
设出长方体的长宽高分别为a,b,c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列方程组：a^2+b^2=x^2b+c=yc^2+a^2=z^2根据墙角模型，我们可以得到2R=a+b+c=2(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，化简得到R=sqrt(2)/2*(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，求出R即可。
例2（1）如下图所示三棱锥A-BCD，其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7，则该三棱锥外接球的表面积为。
2）在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为。
3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为。
(完整版)空间几何体与球的切接问题
空间几何体与球的切、接问题1.体积为 8 的正方体的极点都在同一球面上，则该球的表面积为（）B.323种类一：三条棱两两垂直可转变为长方体（正方体）2.在三棱锥P ABC中，PA平面ABC , AC BC , AC BC 1， PA3则三棱锥外接球的体积为3.已知球 O 上四点 A、B、C、D，DA平面ABC,AB BC, DA AB BC a ,则球 O 的体积等于圆柱的外接球ORBC2设柱体的高为l ,底面外接圆的半径为r,则有R r2l24.直三棱柱 ABC－ A1B1C1的 6 个极点都在球 O 的球面上”，若 AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝ 12，则球 O 的半径为种类二：有一条侧棱垂直于底面可转变为直棱柱5.已知三棱锥 P-ABC 中，三角形 ABC 为等边三角形，且 PA=8，PB=PC= 13 ,AB=3 ，则其外接球的体积为6.在三棱锥 P ABC 中, PA平面ABC , AC1， BC 2， PA 6，ACB 120 ，求三棱锥的外接球的表面积。
圆锥的外接球O O1A设椎体的高为 h, 底面外接圆的半径为 r, 则有R r 22 h R7.正四棱锥的极点都在同一球面上．若该棱锥的高为４，底面边长为２，则该球的表面积为（）A. 81D.27448.在三棱锥 A-BCD中 ACD 与 BCD 都是边长为 2 的正三角形，且平面 ACD 平面BCD,求三棱锥外接球的体积练习 1、在四周体P ABC 中，PC平面ABC，AB=AC=1，BC=2 ，PC= 3 .则该四周体外接球的表面积为.练习 2、正三角形 ABC的边长为 2，将它沿高 AD翻折，使点 B 与点 C 间的距离为2 ，此时四周体ABCD外接球表面积为____________练习 3．已知三棱锥 S-ABC的全部极点都在球 O 的球面上， SC是球 O 的直径。
若平面 SCA⊥平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 S-ABC的体积为 9，则球 O 的表面积为 ________。
球和几何体的切接问题
学习目的
1.认识球旳构造特征; 2.了解球旳表面积和体积旳计算公式； 3.掌握常见多面体旳外接球和内切球半径旳求法
考题重现
• 1 （23年广东）若棱长为3旳正方体旳顶点 都在同一球面上，则该球旳表面积为 .
• 2.（23年天津）一种长方体旳各顶点27均π 在同
一球面上，且一种顶点上旳三条棱长分别 为1,2,3，则此球旳表面积为 .
= 2
2
2
__________________.
__________________
V=S • R (a2 b2 c2) • R
3
3
例1.(1)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC =900
AB= 3 ,BC=1,CC1=2 3 , 则它旳外接球旳表面积为
____,体积为_____
8
.o
解题措施
课堂小结
解题思想
谢谢指导 间 直
接接
化
法法
归
构公 造式
思 想
法法
正方体旳内切、外接球
.r
a
正方体旳外接球
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
对角面 A
A1
C
O
C1
外接球旳直径等于正方体旳体对角线。
பைடு நூலகம்
B
C
A
直棱柱 2R=4
S=16π
B1
长方体 V=32π/3
C1
A1
例2.如图三棱锥P-ABC中，PA⊥底面
ABC,PA=1，AB= 2，AC=BC=1。
三棱锥
P
直棱柱
A
C
长方体
B
例2．如下图，棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC, PA=2，
空间几何体外接球问题精品课件(共27张ppt)全
合作探究一：
（3）已知正四面体A-BCD，所有棱长都相等，点 A，B，C ，D都在球O 的表面上，如何求这个球的半径？
合作探究一：
（4）已知三棱锥 A-BCD，AB=CD=a，AD=BC=b，AC=BD=c，则三棱锥 A-BCD 外接球的半径?
合作探究二：
（5）已知正三棱锥 P-ABC，点 P，A，B，C 都在球 O 的表面上，顶点 P 到面 ABC 的距离为 h，底面△ABC 外接圆的半径为x，如何求这个球的半径？
O
O'
合作探究二：
（6）已知直三棱柱 ABC-A1B1C1，所有顶点都在球 O 的表面上，直三棱柱的高为 h，底面△ABC 外接圆的半径为x，如何求这个球的半径？
O
O'
O''
针对训练二： 1.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为（ ） A. B.16π C.9π D. 2. 正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AA1=AB=2，则该三棱柱的外接球半径为__________.
空间几何体外接球问题
几何体与球的组合问题，一种是内切球，一种是外接球。纵观高考题，这种位置关系在高考中既是考查的热点，也是考查的难点，这是因为与球有关的几何体能很好地考察学生的空间想象能力以及化归能力。下面就常见几何体的外接球问题进行分析，找出规律，以便同学们更好地迎接高考。
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为a、b、c且它的8个顶点都在球面上，求这个球的半径？
长方体外接球的直径等于长方体的体对角线。
复习回顾：
第08讲 拓展一：空间几何体内接球与外接球问题 (讲)(含答案解析)
第08讲拓展一：空间几何体内接球与外接球问题(讲）第08讲拓展一：空间几何体内接球与外接球问题(精讲）高频考点一：空间几何体的内切球问题建立模型球的内切问题（等体积法）例如：在四棱锥P ABCD -中，内切球为球O ，求球半径r ．方法如下：P ABCD O ABCD O PBC O PCD O PAD O PABV V V V V V ------=++++即：1111133333P ABCD ABCD PBC PCD PAD PAB V S r S r S r S r S r -=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅，可求出r ．典型例题例题（2022·江苏·苏州外国语学校高一期末）1．在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面,90ABC ABC ∠= ，且3,4,5SA AB AC ===，若球O 在三棱锥S ABC -的内部且与四个面都相切（称球O 为三棱锥S ABC -的内切球），则球O 的表面积为（）A ．169πB ．49πC ．3227πD ．1681π【答案】A解：因为SA ⊥平面,90ABC ABC ∠= ，AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以SA AB ⊥，SA AC ⊥，SA BC ⊥，又,BC AB SA AB A ⊥= ，所以BC ⊥平面SAB ，所以BC SB ⊥，所以,,SAB ABC SAC SBC ，均为直角三角形，设球O 的半径为r ，则()1+++3S ABC SAB CAB SAC SBC V S S S S r -=⋅ ，而11334632S ABC V -=⨯⨯⨯⨯=，11156,35222SAB CAB SAC SBC S S SA AB S S ==⋅===⨯⨯= ，所以115156+6++6322r ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得23r =，所以球O 的表面积为221644239r S πππ⎛==⨯=⎫ ⎪⎝⎭，故选：A ．例题（2022·全国·高一）2．某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的表面积为___________，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为___________．【答案】12π解：依题意如图过侧棱的中点作正三棱柱的截面，则球心为MNG 的中心，因为6MN =，所以MNG 内切圆的半径13r OH MH ====即内切球的半径R 2412S R ππ==，又正三棱柱的高12AA R ==所以23OM OH ==AO =所以A 到球面上的点的距离最小值为AO R -故答案为：12π例题（2022·全国·高一专题练习）3．如图，直三棱柱111ABC A B C -有外接圆柱1OO ，点O ，1O 分别在棱AB 和11A B 上，4AB =．（1）若AC BC =，且三棱柱111ABC A B C -有一个内切球，求三棱柱111ABC A B C -的体积；【答案】（1）)161-（1）O ，1O 是圆柱的上下底面圆心，而且点O ，1O 分别在棱AB 和11A B 上，由此可知ABC 是AB 为斜边的直角三角形．4,AB AC BC =∴==11422ABC S AC BC =⋅=⨯= 设ABC 的内切圆的半径为r ，则由等面积法，可知：()1122AB BC AC r AC BC ++⋅=⋅，)21r ∴=，故三棱柱111ABC A B C -的内切球的半径也是)21，故三棱柱的高)241h r ==，进而三棱柱111ABC A B C -的体积))441161ABC V S h =⋅=⨯-=- ．题型归类练（2022·全国·高一）1．已知点O 到直三棱柱111ABC A B C -各面的距离都相等，球O 是直三棱柱111ABC A B C -的内切球，若球O 的表面积为16π，ABC 的周长为4，则三棱锥1A ABC -的体积为（）A ．43B ．163C ．3D ．3（2022·湖南·高一期末）2锥的底面和侧面均相切）的表面积为______.（2022·全国·高三专题练习（文））3．若正四棱锥P ABCD -内接于球O ，且底面ABCD 过球心O ，则球O 的半径与正四棱锥P ABCD -内切球的半径之比为__________.（2022·广西玉林·模拟预测（理））4．若正四棱锥P ABCD -内接于球O ，且底面ABCD 过球心O ，球的半径为4，则该四棱锥内切球的体积为_________．高频考点二：空间几何体的外接球问题模型1：长（正）方体模型——公式法建立模型正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点（1）设长方体一个顶点出发的三条边长分别为a ，b ，c ，则外接球半径2r =；（2）设正方体边长为a ，则外接球半径2r a =；典型例题例题（2022·贵州黔西·高二期末（理））1．若一个长方体的长、宽，高分别为4，2，3，则这个长方体外接球的表面积为______________．【答案】29π由题知，长方体的体对角线即为外接球的直径，所以2222(2)42329R =++=，所以2294R =所以外接球的表面积2429S R ππ==．故答案为：29π例题（2022·新疆·乌苏市第一中学高一期中）2．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则此正方体外接球的表面积是______．【答案】12π因为正方体的体对角线长度等于长方体外接球的直径，又正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以正方体外接球的直径为则该正方体外接球的表面积是2412ππ==S r ．故答案为：12π．题型归类练（2022·全国·高一期末）5．正方体的外接球与内切球的表面积之比是（）A ．13B ．3C ．D （2021·河北·深州长江中学高三期中）6．已知某正方体外接球的表面积为3π，则该正方体的棱长为______．（2021·福建·莆田锦江中学高一期中）7．已知正方体的棱长为2，则其外接球的表面积为______．模型2：墙角型，对棱相等型——补形法（补长方体或正方体）建立模型①墙角模型（三条线两个垂直）题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）②对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB CD =，AD BC =，AC BD =）典型例题例题（2022·全国·高一）1．若三棱锥-P ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA PB PC ===则其外接球的表面积为（）（）A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π【答案】A侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA PB PC ===PA ，PB ，PC 作为正方体的棱长，如图：设外接球的半径为R ，则正方体的对角线的长2R =所以R =，所以外接球的表面积为246S R ππ==．故选：A例题（2022·江苏·南京师大附中高一期末）2．在三棱锥-P ABC 中，5PA BC ==，PB AC ==PC AB ==锥外接球的表面积为_________；外接球体积为_________．【答案】26π由题意，该三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，如图所示：记该长方体的棱长为,,a b c ，则222222101725a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，即22226a b c ++=，所以r =，23442633S r V r πππ====，．故答案为：26π题型归类练（2022·辽宁·本溪高中高一阶段练习）8．已知正三棱锥S ABC -，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A ．πB ．3πC ．6πD ．9π（2022·安徽·高一阶段练习）9．鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥A BCD -是一鳖臑，其中AB BC ⊥，AB BD ⊥，BC CD ⊥，AC CD ⊥，且3BC DC ==，4AB =．则三棱锥A BCD -外接球的表面积是（）A．25πB ．34πC ．100πD ．3（2022·河北·沧县中学高一期中）10．三棱锥-P ABC 中，已知,,PA PB PC 两两垂直，且1,2PA PB PC ===，则三棱锥-PABC 的外接球的表面积为___________.（2022·贵州·清华中学高三阶段练习（理））11．四棱锥ABCD 中，2,======AB CD AD BC AC BD A ，B ，C ，D 的外接球的表面积是__________．模型3：单面定球心法（定+算）建立模型单面定球心法（定+算）步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥-P ABC 中，选中底面ABC ∆，确定其外接圆圆心1O （正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2sin ar A=）；②过外心1O 做（找）底面ABC ∆的垂线，如图中1PO ⊥面ABC ，则球心一定在直线（注意不一定在线段1PO 上）1PO 上；③计算求半径R ：在直线1PO 上任取一点O 如图：则OP OA R ==，利用公式22211OA O A OO =+可计算出球半径R ．典型例题例题（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）1．在四面体ABCD 中，,ABD BCD 都是边长为2的等边三角形，且平面ABD ⊥平面BCD ，则该四面体外接球的表面积为_________．【答案】203π依题意作图，取BD 的中点P ，连接AP ，CP ，取ABD △的中心E ，BCD △的中心G ，分别作平面ABD 和平面BCD 的垂线，得交点H ，则H 点就是四面体ABCD 外接球的球心，CH 就是球的半径r ，AP CP HG PE CG =====，222253r CH CG GH ==+=，外接球的面积为22043S r ππ==；故答案为：203π．例题（2023·山西大同·高三阶段练习）2．球内接直三棱柱1111,1,120,2ABC A B C AB AC BAC AA -===︒∠=，则球表面积为___________．【答案】8π设三角形ABC 和三角形111A B C 的外心分别为D ，E ．可知其外接球的球心O 是线段DE 的中点，连结OC ，CD ，设外接球的半径为R ，三角形ABC 的外接圆的半径r ，1,120,AB AC BAC =∠=︒=可得BC =，由正弦定理得，21sin120r r ︒=∴=，而在三角形OCD 中，可知222||||||CO OD CD =+，即2212R r =+=，因此三棱柱外接球的表面积为248S R ππ==．故答案为：8π例题（2022·广西贺州·高一期末）3．已知ABC ∆的三个顶点都在球O 上，AC BC ⊥，2AC BC ==，且三棱锥3O ABC V -=，则球O 的体积为（）A ．π3B ．32π3C ．π3D ．36π【答案】D△ABC 中，AC BC ⊥，2AC BC ==，则AB =取AB 中点H ，连接OH ，则点H 为△ABC 所在小圆圆心，OH ⊥平面ABC则112232O ABC V OH -=⨯⨯⨯⋅，解之得OH则球O 的半径3OA 则球O 的体积为34π3=36π3⋅故选：D例题（2022·河南开封·高二期末（理））4．已知球O 为三棱锥D ABC -的外接球，球O 的体积为256π3，正三角形ABC 的外接圆半径为D ABC -的体积的最大值为______．【答案】设ABC 外接圆的圆心为1O ，因为正三角形ABC 的外接圆半径为23，即123O B =，由正弦定理243sin 60ACR ==︒，得6AC =，所以166sin 60932ABC S =⨯⨯⨯︒= ，要使三棱锥D ABC -的体积最大，则1O D ⊥平面ABC ，且球心O 在线段1O D 上，因为球O 的体积为34π256π33R =，所以球O 的半径为4R =．在1Rt OO B 中，由勾股定理得221116122OO R O B =-=-=，所以三棱锥D ABC -体积的最大值()()111932418333ABC V S OO R =⋅+=⨯⨯+=△．故答案为：183题型归类练（2022·河北·衡水市第十三中学高一阶段练习）12．在正四棱锥P ABCD -中，4AB =，6PA =，则平面PAB 截四棱锥P ABCD -外接球的截面面积是（）A ．655πB ．365πC ．12πD ．36π（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））13．已知三棱锥S ABC -中，平面SAC ⊥平面ABC ，且AB AC ⊥，30SCA ∠=︒，若4AB SA ==，则三棱锥S ABC -外接球的表面积为（）A ．64πB ．128πC ．40πD ．80π（2022·重庆市万州第二高级中学高一期中）14．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且3a =，π3A =．又点A ，B ，C 都在球O 的球面上，且点O 到平面ABC 5O 的体积为（）A ．642π3B 635π3C ．643π3D 636π3（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））15．已知点,,,A B C D在同一个球的球面上，1AB =，BC =，2AC =，若四面体ABCD）A ．14425πB ．24825πC ．57625πD ．67625π（2022·全国·高三专题练习）16．已知球O 是正三棱锥A BCD -的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是___________.模型4：双面定球心法（两次单面定球心）建立模型如图：在三棱锥-P ABC 中：①选定底面ABC ∆，定ABC ∆外接圆圆心1O ②选定面PAB ∆，定PAB ∆外接圆圆心2O ③分别过1O 做面ABC 的垂线，和2O 做面PAB 的垂线，两垂线交点即为外接球球心O ．典型例题例题（2022·全国·高三专题练习）1．已知点A ､B ､C ､D 都在球O 的球面上，AB AC =，BCD ∆是边长为1的等边三角形，AD 与平面BCD 所成角的正弦值为3，若2AD =，且点D 在平面BCD 上的投影与D 在BC 异侧，则球O 的表面积为（）A ．πB ．4πC ．8πD ．16π【答案】B由题设，若E 是BC 的中点，则O '是△BCD 的中心，连接DE ，如图示：由题设知：DE BC ⊥，AE BC ⊥，又AE DE E = ，则BC ⊥面AED ，而BC ⊂面BCD ，即面BCD ⊥面AED ，过A 作AF ⊥面BCD ，则F 必在直线DE 上，易知：ADF ∠为AD 与平面BCD 所成角的平面角，又AD 与平面BCD ，2AD =，可得DF =．过O '作OO DE '⊥交AD 于O ，易知：OD OB OC ==，而O D '=12O D DF '=，又//AF OO '，故O 为AD 的中点，OD OA =，∴OD OB OC OA ===，即O 是球心，故球O 的半径为1，∴球O 的表面积为4π．故选：B例题（2022·全国·高三专题练习（理））2．已知平面四边形ABCD 中，4AB AD BD =====，现沿BD 进行翻折，使得A 到达A '的位置，连接A C '，此时二面角A BD C '--为150°，则四面体A BCD '外接球的半径为（）A ．3B ．3C D ．3【答案】C解：取BD 的中点E ，连接A E '，CE ，因为4AB AD BD =====即BC CD ==所以CE BD ⊥，A E BD '⊥，A EC '∠即为二面角A BD C '--的平面角，且90BCD ∠=︒，所以BCD △外接圆的圆心为E ，设A BD ' 外接圆的圆心为1O ，则1O E =过点1O ，E 分别作平面A BD '，平面BDC 的垂线，交于点O ，则O 即为四面体A BCD '外接球的球心．因为二面角A BD C '--的平面角为150︒，即150A EC '∠=︒，则160∠=︒OEO ．在1Rt OO E △中，3cos603OE ==︒，连接OB ，则OB 即为外接球的半径R ，则2222283R OB OE BE ==+=，即3R =，故选：C ．题型归类练（2022·湖南·邵阳市第二中学高一期末）17．一边长为4的正方形ABCD ，M 为AB 的中点，将AMD ，BMC △分别沿MD ，MC 折起，使MA ，MB 重合，得到一个四面体，则该四面体外接球的表面积为（）．A ．763πB ．48πC ．81πD ．9（2022·广东梅州·高一阶段练习）18．如图，在三棱锥-P ABC ，PAC △是以AC 为斜边的等腰直角三角形，且CB =AB AC ==，二面角P AC B --的大小为120︒，则三棱锥-P ABC 的外接球表面积为（）AB ．10πC ．9πD ．(4π+参考答案：1．B【分析】设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，内切球O 的半径为r ，通过内切球的半径可求出h ，再求得ABC S ，由体积公式即可求解三棱锥1A ABC -的体积．【详解】解：设直三棱柱111ABC A B C -的高为h ，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，内切球O 的半径为r ，则h ＝2r ，由题意可知球O 的表面积为2164r ππ=，解得r ＝2，∴h ＝4，又△ABC 的周长为4，即a ＋b ＋c ＝4，∴连接OA ，OB ，OC ，111,,OA OB OC 可将直三棱柱111ABC A B C -分成5个棱锥，即三个以原来三棱柱侧面为底面，内切球球心为顶点的四棱锥，两个以原来三棱柱底面为底面，内切球球心为顶点的的三棱锥，∴由体积相等可得直三棱柱111ABC A B C -的体积为ABC S h ＝13ahr ＋13bhr ＋13chr ＋2×13ABC S r ，即4ABC S ＝13（a ＋b ＋c ）hr ＋43ABC S ，∴ABC S ＝4，∴三棱锥1A ABC -的体积为13ABC S h ＝13×4×4＝163．故选：B ．2．4π【分析】根据已知先求母线长，再结合轴截面可得半径，然后可得.【详解】有题意可知，PA π⋅=，所以PA =所以，圆锥的轴截面是边长为23的正三角形，圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径，所以tan 3tan 301R OD AD OAD ==⋅∠=⨯︒=，所以该圆锥的内切球的表面积为4π.故答案为：4π331+##13+【分析】根据外接球的性质，结合正四棱锥的性质、内切球的性质进行求解即可.【详解】设外接球半径为R ，由题意可知，OA =OB =OC =OD =OP =R ，设四棱锥P -ABCD 的内切球半径为r ，设正方形ABCD 的边长为a ，因为底面ABCD 过球心O 2222a a R a R +=⇒=，2222116()2242R a R R R +=+⋅=，设该正四棱锥的表面积为S ，由等体积法可知：2211161(224)(2),(31)33223V Sr R R r R R R r ==+⋅⨯==+，314．6435)3π【分析】利用等体积法可求出四棱锥内切球的半径，从而可求出其体积【详解】因为正四棱锥P ABCD -内接于球O ，且底面ABCD 过球心O ，球的半径为4，所以4OA OB OC OD OP =====，所以42AB BC CD DA PA PB PC PD ========，所以正四棱锥P ABCD -的表面积为((22432S =+=，正四棱锥P ABCD -的体积为(21128433V =⨯⨯=设正四棱锥P ABCD -内切球的半径为r，则1112832)333V Sr r ==+=，解得1)r =，所以该四棱锥内切球的体积为334464(35)1)333r ππ⎡⎤=⨯=⎣⎦，故答案为：645)3π5．B【分析】设正方体的棱长为a ，求出其外接球的半径和内切球的半径，再根据表面积公式可得结果.【详解】设正方体的棱长为a，则其外接球的半径为2a ，内切球的半径为12a ，所以正方体的外接球与内切球的表面积之比是224142a ππ⎫⋅⎪⎝⎭⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭3=.故选：B 6．1【分析】根据球的表面积公式，求得球的半径，结合正方体的对角线长等于外接球的直径，列出方程，即可求解.【详解】设正方体的棱长为a ，外接球的半径为R ，2R =，由243R ππ=，可得R22=⨯，解得1a =．故答案为：1．7．12π【分析】由于正方体的外接球直径等于正方体的体对角线，所以求出正方体的体对角线的长，可求出球的半径，从而可求出外接球的表面积【详解】解：设正方体外接球的半径为R ，则由题意可得()2222222212R =++=，即2412R =，所以外接球的表面积为2412R ππ=，故答案为：12π8．C【分析】根据题意，把三棱锥S ABC -外接球的半径，进而求得外接球的表面积，即可求解.【详解】由题意，正三棱锥S ABC -此三棱锥S ABC -的正方体，三棱锥S ABC -设正方体的外接球的半径为R ，可得2R =，即R =，所以此三棱锥的外接球的表面积为224π4π6πS R ==⨯=⎝⎭.故选：C.9．B【分析】结合长方体外接球的性质可知三棱锥A BCD -外接球的直径为AD ，进而可得结果.【详解】易得三棱锥A BCD -外接球的直径为AD ，则AD ，故三棱锥A BCD -外接球的半径R =所以24342S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎪ ⎭⎝，故选：B.10．9π【分析】将三棱锥-P ABC 放在长方体中，则长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，即可求解.【详解】以线段,,PA PB PC 为相邻的三条棱为长方体，连接AB ,BC ,AC ,即为三棱锥-P ABC ，∵如图所示，长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，∴则其外接球直径为长方体对角线的长，设外接球的半径为R ，则2222222(2)1229R PA PB PC =++=++=,解得32R =,则294π4π9π4S R ==⨯=.故答案为:9π.11．13π【分析】由题意将此四棱锥补成一个长方体，则经过A ，B ，C ，D 的外接球即为长方体的外接球，然后求出长方体的对角线的长即可得外接球的直径，从而可求出其表面积【详解】解：因为四棱锥ABCD 的对棱相等，所以将四棱锥ABCD 补成如图所示的长方体，则经过A ，B ，C ，D 的外接球即为长方体的外接球，所以球的直径为长方体的对角线的长，设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，因为2,======AB CD AD BC AC BD ，所以22222241012a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得13a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以球的半径r =所以球的表面积为2244132r πππ=⨯=⎝⎭，故答案为：13π12．B【分析】先作出辅助线，求出外接球半径，求出球心到截面的距离，从而得到截面圆的半径，求出截面的面积.【详解】如图，作PO '⊥平面ABCD ，垂足为O '，则O '是正方形ABCD 外接圆的圆心，从而正四棱锥P ABCD -外接球的球心O 在PO '上，取棱AB 的中点E ，连接,,,O D O E OD PE ''，作OH PE ⊥，垂足为H .由题中数据可得2,4O D O E PE O P '''====，设四棱锥P ABCD -外接球的半径为R ，则()22222R O D O O OP O P O O =+='-'=''，即()22284R O O O O =+='-'，解得3R =.由题意易证OPH EPO ' ∽，则PH OPO P PE='，故PH =故所求截面圆的面积是236ππ5PH ⋅=.故选：B 13．D【分析】三棱锥补成三棱柱，问题转化为三棱柱的外接圆，利用球心到底面圆的距离为12AB ，截面圆的半径为12sin 30SA ⋅︒，由222R d r =+求球半径即可.【详解】由题意得，BA ⊥平面SAC ，将三棱锥补成三棱柱11SAC S BC -，如图，则三棱柱11SAC S BC -的外接球即为所求.设外接球的球心为O ，则SAC 的外心为1O ，则1122OO AB ==，又1142sin SAO A SCA=⨯=∠，则外接球的半径R =表面积2480S R ππ==，故选：D 14．A【分析】依据截面圆半径和球心距即可求得球半径，进而求得球O 的体积.【详解】ABC的外接圆半径2sin 2ar A===则球O 的半径2R=则球O 的体积为(3344πR π33V ===3故选：A 15．D【分析】由已知得到ABC 为直角三角形，得到ABC 所以直角ABC 所在截面小圆的半径1r =，设点D 到平面ABC 的距离为h ，结合题意求得5h =，设四面体ABCD 的外接球半径为R ，球心O 到截面的距离为d ，当D 到底面ABC 距离最远时，即h R d =+时，求得135R =，进而求得球的表面积.【详解】由1,2AB BC AC ===，可得222AB BC AC +=，所以ABC 为直角三角形，其面积为112S ==，所以直角ABC 所在截面小圆的半径112r AC ==，设点D 到平面ABC 的距离为h ，因为四面体ABCD 体积取得最大值为6，所以113263D ABC ABC S h h V -=⨯==⨯ ，解得5h =，设四面体ABCD 的外接球半径为R ，球心O 到截面的距离为d ，当D 到底面ABC 距离最远时，即h R d =+时，四面体ABCD 的体积取得最大值，因为d ==5R +=，解得135R =，所以球的表面积为2136764525S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选：D.16．5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】设BDC 的中心为1O ，球O 的半径为R ，连接1O D ，OD ，1O E ，OE ，可得223(3)R R =+-，解得2R =，过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．【详解】解：如图，设BDC 的中心为1O ，球O 的半径为R ，连接1O D ，OD ，1O E ，OE ，则123sin 603O D =︒⨯=13AO =，在Rt 1OO D 中，223(3)R R =+-，解得2R =，6BD BE = ， 2.5DE ∴=，在1DEO 中，12O E ==，OE ∴===过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，，最小面积为54π，当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．∴所得截面圆面积的取值范围是5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．17．A【分析】先判断出MA ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形.利用球内截面的性质，过△ACD 的中心O1作平面ACD 的垂线l1，过线段MC 的中点O2作平面MAC 的垂线l2，记12l l O =∩，则O 即为三棱锥M 一ACD 外接球的球心.利用勾股定理求出半径R ，即可求出外接球的表面积.【详解】如图所示，由图可知在四面体A -CDM 中，由正方形,ABCD M 为AB 的中点，可得MA ⊥AD ，MA ⊥AC ，AC ∩AD =A ，故MA ⊥平面ACD .将图形旋转得到如图所示的三棱锥M -ACD ，其中△ACD 为等边三角形，过△ACD 的中心O1作平面ACD 的垂线l1，过线段MC 的中点O2作平面MAC 的垂线l2，由球内截面的性质可得直线l1与l2相交，记12l l O =∩，则O 即为三棱锥M 一ACD 外接球的球心.设外接球的半径为R ，连接OC ，O1C ，可得111O C ==.在Rt △OO1C 中，222211193OC OO O C R =+==，故该外接球的表面积219764433S R πππ==⨯=.故选：A.18．B【分析】由题作出图形，易得PAC △外接圆圆心在AC 中点，结合正弦定理可求ABC 外接圆半径，结合图形知，()()222222R AO AO OO ==+，再结合二面角大小求出2OO ，进而得解.【详解】根据题意，作出图形，如图所示，因为PAC △是以AC 为斜边的等腰直角三角形，所以PAC △的外心在AC 中点，设为2O ，设ABC 的外心为1O ，BC 中点为E ，11AO r =，因为AB AC ==，所以1O 必在AE 连线上，则123sin AB ABr AEC AC===，即132r =，因为两平面交线为AC ，1O 为平面ABC 所在圆面中心，所以12O O AC ⊥，()221212O O r AO =-又因为二面角P AC B --的大小为120︒，2PO AC ⊥，所以2121120,30PO O OO O ∠=︒∠=︒，所以2121OO O O =⨯，锥体-P ABC 外接球半径()()2222222512R AO AO OO ==+=+=⎝⎭，则三棱锥-P ABC 的外接球表面积为2410S R ππ==，故选：B。
球的内切外切解题技巧
球的“内切”、“外切”的解题技巧【方法技巧】类型一 球的内切问题 使用情景：有关球的内切问题解题模板：第一步 首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面； 第二步 然后寻找几何体与几何体之间元素的关系 第三步 得出结论. 类型二 球的外切问题 使用情景：有关球的外切问题解题模板：第一步 首先画出球及它的外切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面； 第二步 然后寻找几何体与几何体之间元素的关系 第三步 得出结论.【应用举例】【例题1】在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内有一个高为3的圆柱． （1）求：圆柱表面积的最大值；（2）在（1）的条件下，求该圆柱外接球的表面积和体积．【答案】（1）π）（312+；（2）π7=S ，677π=V ．【解析】 试题分析：（1）我们可计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积公式，即可得到答案；（2）求出圆柱的外接球半径，即可求该圆柱外接球的表面积和体积．试题解析：（1）当圆柱内接与圆锥时，圆柱的表面积最大．设此时，圆柱的底面R 半径为r ，高为h′．圆锥的高h 2242-3312h ．∴2r 23323，∴r ＝1．∴S 表面积＝2S底＋S 侧＝2πr 23＝2（13）π．（2）设圆柱的外接球半径为R ，72R =，7S π=， 76V π=考点：1、球内接多面体；2、球的表面积和体积．【难度】较易【例题2】求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．【答案】964∶∶∶∶锥柱球=V V V ． 【解析】试题分析：设球的半径为R ，则外切圆柱的半径为R ，高为2R ；外切等边圆锥底面半径为R 3,高为3R ， 所以334R V π=球 ,32R v π=柱, 33R V π=锥 9:6:4=∴锥柱球：：V V V考点：本题考查空间几何体的体积。
点评：本题的关键是由球的半径求出外切圆柱、外切等边圆锥的半径和高。
考查了空间想象力。
首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系． 【难度】一般【例题3】把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离． 【答案】3622+． 【解析】由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高362)332(222=⋅-=h ．而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为3622+． 【点评】关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2． 考点：空间几何体的球体积和表面积. 【较易】【例题4】正三棱锥ABC P -的侧棱长为l ，两侧棱的夹角为α2，求它的外接球的体积．【答案】322334sin 2(34sin )l παα--．【解析】解：如图，作PD 底面ABC 于D ，则D 为正△ABC 的中心。
空间圆柱体的外接球和内切球问题
空间圆柱体的外接球和内切球问题简介在三维几何中，圆柱体（cylinder）是一个具有圆底和圆顶的几何体。
本文讨论了圆柱体的外接球和内切球问题。
外接球圆柱体的外接球是一个能够完全包围圆柱体的球体。
具体来说，外接球的球心与圆柱体的底面圆心以及顶面圆心都在同一直线上，并且外接球的半径等于这个直线与圆柱体底面、顶面中任意一个圆的半径之和。
对于一个给定的圆柱体，外接球的半径可以通过以下公式计算：$$R = \sqrt{h^2 + r^2}$$其中，$R$ 是外接球的半径，$h$ 是圆柱体的高度，$r$ 是圆柱体底面圆的半径。
内切球圆柱体的内切球是一个与圆柱体的底面和顶面相切的球体。
具体来说，内切球的球心与圆柱体的底面圆心以及顶面圆心都在同一直线上，并且内切球的半径等于这个直线与圆柱体底面、顶面中任意一个圆的半径之差。
对于一个给定的圆柱体，内切球的半径可以通过以下公式计算：$$r_{\text{in}} = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}$$其中，$r_{\text{in}}$ 是内切球的半径，$h$ 是圆柱体的高度，$R$ 是外接球的半径，$r$ 是圆柱体底面圆的半径。
结论本文讨论了圆柱体的外接球和内切球问题。
外接球是一个能够完全包围圆柱体的球体，其半径可以通过一个简单的公式计算得到。
内切球是一个与圆柱体的底面和顶面相切的球体，其半径也可以通过一个公式计算得到。
这些问题在几何学和工程学中具有重要的应用价值。
> 注意：以上内容为解答圆柱体的外接球和内切球问题的基本原理和公式，具体计算应考虑实际情况和应用环境。
高中数学教师备课必备(空间几何体)：专题八 球的切接问题 含解析
例1。
若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，求该球的表面积和体积。
分析：①334R V π=球（R 为球半径） ②24R S π=球 （R 为球半径) 需要求出半径。
正方体的棱长为a ，则:正方体的内切球、棱切球、外接球半径分别为:a 21，a 22，a 23。
变式：一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则此球的表面积为。
【解析】关键是求出球的半径,因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。
长方体体对角线长为14,故球的表面积为14π。
变式：（已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为( ）.A 。
16π B 。
20π C 。
24π D 。
32π解题关键：通过多面体的一条侧棱和球心，或接点作出截面图。
棱锥与球例题：求棱长为1的正四面体ABCD 的外接球体积. 分析:作出合适的球的轴截面图，找准球心位置，构造三角形求解半径。
常用结论：正四面体外接球的球心在高线上，半径是正四面体高的43解法一、 解法二、如何求正四面体的外接球半径法1.补成正方体法2.勾股定理法例题：求棱长为a 的正四面体的内切球半径。
分析：并非所有多面体都有内切球，正多面体存在内切球，且正多面体的中心为内切球球心。
常用结论：正多面体内切球半径是高的41；31⋅⋅=内切表多R S V 1、正三棱锥的高为1，底面边长为62，内有一个球与它的四个面都相切．求：（1）外接球的表面积和体积;(2）内切球的表面积与体积．设正四面体的棱长为a ，则：正四面体的内切球、棱切球、外接球半径分别为: a 126、a 42、a 46. 构造长方体变式 P 、A 、B 、C 是球O 面上的四个点,PA 、PB 、PC 两两垂直，PA=PB=PC=a,求这个球的体积。
例 已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上,B BCD A ⊥平面,BC DC ⊥,若6,AC=213,AD=8AB =，则B 、C 两点间的球面距离是____。
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空间几何体与球的切、接问题
1.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
π12.A B.3
32π C.8π D.π4 类型一：三条棱两两垂直可转化为长方体（正方体）
2.在三棱锥 ABC P - 中，31,,===⊥⊥PA BC AC BC AC ABC PA ，平面 则三棱锥外接球的体积为
3.已知球O 上四点A 、B 、C 、D ，ABC DA 平面⊥,a BC AB DA BC AB ===⊥,,则球O 的体积等于
圆柱的外接球
4.直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为
类型二：有一条侧棱垂直于底面可转化为直棱柱
5.已知三棱锥P-ABC 中，三角形ABC 为等边三角形，且PA=8，PB=PC=13,AB=3，则其外接球的体积为
6.在三棱锥ABC P -中, 120621,=∠===⊥ACB PA BC AC ABC PA ，，，平面， 求三棱锥的外接球的表面积。
圆锥的外接球
7.正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为４，底面边长为２，则该球的表面积为（ ）
A.481π
B.16π
C.9π
D.427π
8.在三棱锥A-BCD 中ACD ∆与∆BCD 都是边长为2的正三角形，且平面ACD ⊥平面BCD,求三棱锥外接球的体积
练习1、在四面体中，平面，AB=AC=1，BC=2，PC=3.则该四面体外接球的表面积为.
练习2、正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为2，此时四面体ABCD 外接球表面积为____________
练习3．已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。
若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。
P ABC -⊥PC ABC。