几何体与球的切接问题专项练习
高考热点之球与几何体的切、接问题及近年常考题
球与几何体的切、接问题及近年常考题王宪良一、理清位置，学会画图1、正方体的内切球2、球与正方体的棱相切3. 正方体的外接球分别作图如下说明：1.正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。
设正方体的棱长为a ，球半径为R 。
如图，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2aR =； 2.与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 22=。
3.正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图，以对角面1AC 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231==。
二、解决球心位置和半径大小的常用方法1. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
解：因为有三条棱两两垂直，所以可补成球内接长方体。
因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为AE 的长，即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R所以球的表面积为ππ1642==R S2. 出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角形斜边中点。
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。
解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ，因为22210517=+ 所以知222PC PA AC +=，所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为：在ABC Rt ∆中斜边为AC ； 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心， 521==AC R 所以该外接球的体积为3500343ππ==R V3. 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解AC【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒∠该棱锥的外接球半径。
2025版高考数学复习第七单元专题集训五球与几何体的切接问题练习理新人教A版
专题集训五球与几何体的切接问题1.[2024·辽宁凌源模拟]过长方体的一个顶点的三条棱长分别为3,2,x,其顶点都在表面积为18π的球的球面上,则x=()A.√6B.√5C.2D.√32.[2024·山西康杰中学月考]将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则这个球的表面积为()A.2πB.4πC.8πD.16π3.[2024·福建泉州质检]如图Z5-1,在正方形网格纸上,实线画出的是某多面体的三视图.若该多面体的顶点在同一球面上,则该球的表面积等于 ()图Z5-1A.8πB.18πC.24πD.8√6π4.[2024·山东烟台一模]已知一个正方体的全部顶点都在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.5.[2024·浙江金华东阳中学月考]已知正三棱锥的高为1,底面边长为2√3,内有一个球与四个面都相切,则该球的半径为.6.[2024·安徽马鞍山一模]已知一个圆锥的侧面绽开图是半径为2的半圆,则该圆锥的外接球的表面积是()B.4πA.4π3C.16πD.16π37.[2024·黑龙江双鸭山模拟]如图Z5-2,已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球,则平面ACD1截球O的截面面积为()图Z5-2A .√66π B .π3 C .π6D .√33π8.[2024·云南玉溪一中月考] 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC 为鳖臑,PA ⊥平面ABC ,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积为 ( ) A .8π B .12π C .20π D .24π9.[2024·哈尔滨六中模拟] 已知四面体S-ABC 中,SA=SB=2,且SA ⊥SB ,BC=√5,AC=√3,则该四面体的外接球的表面积为 .10.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的顶点都在同一个球面上,且该正三棱柱的体积为√32,底面三角形ABC 的周长为3,则这个球的体积为 .11.[2024·山东青州三模] 在三棱锥A-BCD 中,底面BCD 为直角三角形,且BC ⊥CD ,斜边BD 上的高为1,三棱锥A-BCD 的外接球的直径是AB ,若该外接球的表面积为16π,则三棱锥A-BCD 的体积的最大值为 .12.[2024·河北衡水武邑中学月考] 一个倒放的圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在容器内注入水,并放入一个半径为r 的铁球,这时水面恰好和球面相切.问将球从圆锥内取出后,圆锥内水平面的高度是多少?13.[2024·成都树德中学月考] 如图Z5-3所示,在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切. (1)求两球半径之和;(2)球的半径为多少时,两球体积之和最小.图Z5-314.[2024·成都七中三诊] 四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形,若四棱锥S-ABCD 的体积的取值范围为4√33,83,则该四棱锥外接球表面积的取值范围是 .15.[2024·广东汕头潮南区模拟] 已知三棱锥A-BCD 中,AB=3,AD=1,BC=4,BD=2√2,当三棱锥A-BCD 的体积最大时,其外接球的体积为 .专题集训(五)1.B [解析] 由题意,设球的半径为R ,则4πR 2=18π,则4R 2=18,又长方体的体对角线长等于球的直径,所以(2R )2=9+4+x 2,即9+4+x 2=18,得x=√5,故选B .2.B [解析] 体积最大的球是正方体的内切球,即球的半径为1,所以球的表面积S=4π×12=4π.3.C [解析] 设球的半径为R.易知该多面体是两个正四棱锥的组合体(底面重合),两顶点之间的距离为2R ,底面是边长为√2R 的正方形,由R 2+√2R 22=32,得R 2=6,故该球的表面积S=4πR 2=24π.4.9π2[解析] 设正方体的棱长为a ,因为这个正方体的表面积为18,所以6a 2=18,解得a=√3,又该正方体全部的顶点都在一个球面上,所以该正方体的体对角线长等于球的直径.设球的半径为R ,则√3a=2R ,即2R=√3×√3,解得R=32,则球的体积V=43πR 3=43π×323=9π2.5.√2-1 [解析] 如图,在正三棱锥P-ABC 中,过点P 作PD ⊥平面ABC 于点D ,连接AD 并延长,交BC 于点E ,连接PE ,∵△ABC 是正三角形,∴AE 是BC 边上的高和中线,D 为△ABC 的中心.∵AB=2√3,∴R △RRR =3√3,DE=1,又PD=1,∴PE=√2,∴三棱锥P-ABC 的表面积S=3×12×2√3×√2+3√3=3√6+3√3.易知三棱锥的体积V=13×3√3×1=√3.设球的半径为r ,以球心O 为顶点,三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小三棱锥,由等体积法可得r=√33√6+3√3=√2-1.6.C [解析] 设圆锥的底面半径为r ,则2πr=2π,r=1,∴圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,∴圆锥的外接球球心是正三角形的中心,外接球半径等于正三角形外接圆的半径,为√33×2=2√33,∴外接球的表面积为4π×(2√33)2=16π3.故选C .7.C [解析] 平面ACD 1截球O 的截面为△ACD 1的内切圆.因为正方体的棱长为1,所以AC=CD 1=AD 1=√2,所以内切圆的半径r=√22×tan30°=√66,所以截面面积S=πr 2=π×16=16π.8.C [解析] 由题意可画出如图所示的空间几何体,则三棱锥P-ABC 的外接球半径即为长方体的外接球半径,因为PC=√22+42=2√5,所以外接球半径R=√5,所以外接球的表面积S=4πR 2=20π,故选C .9.8π[解析]∵SA=SB=2,且SA ⊥SB ,∴AB=√RR 2+RR 2=2√2,又∵BC=√5,AC=√3,∴AC 2+BC 2=AB 2,即AC ⊥BC.取AB 的中点O ,连接SO ,OC ,依据直角三角形的性质,可得OA=OB=OC=OS ,即O 为该四面体的外接球的球心,则该四面体的外接球的半径R=12AB=√2,故该四面体的外接球的表面积S=4πR 2=8π.10.32√3π27[解析] 设正三棱柱的高为h ,由题可知S △ABC =√34,R 三棱柱RRR -R 1R 1R 1=√34×h=√32,解得h=2.正三棱柱外接球的球心在上、下底面中心连线的中点处,则外接球的半径R=√12+(√12-(12)2×23) 2=√43,所以外接球的体积为43πR 3=43π×√433=32√3π27.11.43 [解析] 如图所示,由外接球的表面积为16π,可得外接球的半径为2,则AB=4.设AD=x (0<x<4),则BD=√16-R 2,S △ABD =12AD ·BD=12x ·√16-R 2=12√-R 4+16R 2,故当x 2=8时,S △ABD取得最大值,最大值为4.过C 作CH ⊥BD ,交BD 于点H ,则CH=1,易知当CH ⊥平面ABD ,且AD=BD=2√2时,三棱锥A-BCD 的体积最大,此时体积V=13×4=43.12.解:如图,作轴截面,设球未取出时,水面高PC=h ,球取出后,水面高PH=x.∵AC=√3r ,PC=3r ,∴以AB 为底面直径的圆锥的体积V 圆锥=13π·AC 2·PC=13π·(√3r )2·3r=3πr 3,铁球的体积V 球=43πr 3.球取出后,水面下降到EF ,水的体积V 水=13π·EH 2·PH=13π·(PH ·tan30°)2·PH=19πx 3.又V 水=V 圆锥-V 球,∴19πx 3=3πr 3-43πr 3,解得x=√153r.13.解:(1)如图,球心O 1和O 2在AC 上,过O 1,O 2分别作AD ,BC 的垂线,垂足分别为E ,F.设球O 1的半径为r ,球O 2的半径为R ,则由AB=1,AC=√3得AO 1=√3r ,CO 2=√3R ,∴r+R+√3(r+R )=√3,∴R+r=√3√3+1=3-√32.(2)设两球体积之和为V ,则V=43π(R 3+r 3)=43π(r+R )(R 2-Rr+r 2)=43π×3-√32[(R+r )2-3rR ]=43π×3-√323-√322-3R3-√32-R=43π×3-√323R 2-3(3-√3)2R+3-√322,当R=3-√34时,V 有最小值,∴当R=r=3-√34时,两球体积之和最小.14.28π3,20π [解析] 四棱锥S-ABCD 中,因为AD ⊥SA ,AD ⊥AB ,SA ∩AB=A ,所以AD ⊥平面SAB ,又AD ⊂平面ABCD ,所以平面SAB ⊥平面ABCD ,过S 作SO ⊥AB ,交BA 或BA 延长线于点O ,则SO ⊥平面ABCD.设∠SAB=θ,则V 四棱锥S-ABCD =13S 正方形ABCD ·SO=83sin θ,所以sin θ∈√32,1,所以θ∈π3,2π3,所以-12≤cos θ≤12.在△SAB 中,SA=AB=2,则有SB=2√2√1-cos R ,所以△SAB的外接圆半径r=RR 2sin R=√2·√1-cos Rsin R .将该四棱锥补成一个以△SAB 为一个底面的直三棱柱,得外接球的半径R=√R 2+1,所以外接球的表面积S=4πR 2=4π21+cos R+1,所以S ∈28π3,20π.15.1256π [解析]∵AB=3,AD=1,BC=4,DB=2√2,∴BD 2+AD 2=AB 2,∴△ABD 为直角三角形,∴当BC⊥平面ABD 时,三棱锥的体积最大时,此时三棱锥A-BCD 的外接球就是以AD ,BD ,BC 为棱的长方体的外接球,长方体的体对角线为外接球的直径.设外接球的半径为r ,则(2r )2=42+(2√2)2+12,得r=52,∴外接球的体积V=43πr 3=125π6.。
球与几何体的切接问题
r3＝392π3r3.故圆锥SD与其外接球的体积比为 3323ππrr33＝392.故选A. 93
题型二 几何体的内切球
例3 (1)半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面 都相切)的表面积为__6_π_R_2___，体积为__2_π_R_3___．
状元笔记
柱体的外接球问题，其解题关键在于确定球心在多面体中的 位置，找到球的半径或直径与多面体相关元素之间的关系，结合 原有多面体的特征求出球的半径，然后再利用球的表面积和体积 公式进行正确计算．常见的方法是将多面体还原到正方体或长方 体中再去求解．
思考题 1 (1)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱
(2)已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面 上，若 AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球 O 半径为( C )
3 17 A. 2
B．2 10
C.123
D．3 10
【解析】 由球心 O 作平面 ABC 的垂线，设垂足为 BC 的中点 M.
又 AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，
【解析】 本题考查几何体的外接球的表面积．因为四个
面都是直角三角形，且AB⊥平面BCD，所以CD⊥BC或
CD⊥BD，不妨设CD⊥BC，由鳖臑ABCD的体积为
2 3
，得
1 3
S△
BCD·AB＝
1 3
×
1 2
×1×BC×2＝
2 3
，则BC＝2，BD＝
BC2＋CD2
＝ 5.
将鳖臑ABCD补成直三棱柱如图，取BD的中点
∵球心 O 到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球 的半径 R，
专题15 几何体与球切、接、截的问题(练)【解析版】
第一篇 热点、难点突破篇专题15几何体与球切、接、截的问题（练）【对点演练】一、单选题 1．（2022秋·湖南张家界·高三慈利县第一中学校考阶段练习）如下图是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个顶点都在球O 的球面上，则球O 与正八面体的体积之比是（ ）A ．πB ．4π3C ．3π2D ．2πAB a ，则R足球赛，比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行．已知某足球的表面上有四个点A 、B 、C 、P 满足P A ＝BC ＝5，PB AC ==PC AB ==则该足球的表面积为（ ） A ．12π B ．8πC ．24πD ．28π【答案】D【分析】把四面体外接球问题扩展到长方体中，求出长方体外接球半径为R ，进而求出结果． 【详解】因为P A ＝BC ，PB AC =，PC AB =，所以可以把A ，B ，C ，P 四点放到长方体的则该足球的表面积为四面体A -BCP 外接球的表面积，即为长方体外接球的表面积， 解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即如图，一个长方体1111ABCD A B C D -，沿对角面11ABC D 分开（图1），得到两个一模一样的堑堵（图2），将其中一个堑堵11ADD BCC -，沿平面1D BC 分开（图2），得到一个四棱锥1D ABCD -称为阳马（图3），和一个三棱锥11D BCC -称为鳖臑（图4）. 若鳖臑的体积为4，且4,3AB BC ==，则阳马1D ABCD -的外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．29πC ．31πD ．33π23BAC π∠=.若三棱锥-P ABC 的各顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．12πD ．20π【分析】利用正弦定理求出底面ABC 的外接圆半径，将三棱锥面外接圆中心作垂线，则垂线的中点即为外接球球心，进而即可求解【详解】在ABC 中，设其外接圆半径为由正弦定理可得2,sin 6AB r π=∠解得ABC 补成三棱柱，如图设三棱锥-P ABC 外接球半径为R ，5．（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）已知在Rt ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a =，6A π=.又点A ，B ，C 都在球O 的球面上，且点O 到平面ABC 的O 的体积为______. 【分析】首先求ABC 外接圆的半径，再求球【详解】ABC 中，根据正弦定理所以ABC 外接圆的半径为到平面ABC 的距离为)253=，4π，高为2，上、下底面的圆周在同一球面上，则该圆台外接球的表面积为__________．()2()2长为的正方形，其顶点P到底面ABCD的距离为4．该四棱锥的外接球O的半径为7，若球心O在四棱锥P－ABCD内，则顶点P的轨迹长度为_____________．8.（2022·上海长宁·统考一模）已知1AA 是圆柱的一条母线，AB 是圆柱下底面的直径，C 是圆柱下底面圆周上异于A ，B 的两点，若圆柱的侧面积为4π，则三棱锥1A —ABC 外接球体积的最小值为___________设底面圆半径为r ，圆柱高设为h ，则根据圆柱的侧面积为4π，可得2π4πrh =，解得2rh =.因为ABC 以及2222214ABh r A B ，则224h r ，所以外接球的半径2242hr R.三棱锥—ABC 外接球体积为32244π32hr ，所以要外接球体积最小，只需要224h r 最小即可，又不等式可知2242248r h r rh ，当且仅当12r h ，时成立.故三棱锥外接球体积的最小值为34882ππ323. 故答案为：82π3.．（2022秋·江苏南通已知圆台的内切球侧面相切的切点位于圆台高的34______.O 的表面积为______，体积为______．【冲刺提升】一、单选题 1．（2022秋·江苏淮安·高三校考阶段练习）如图，已知三棱柱111ABC A B C 的底面是等腰直角三角形，1AA ⊥底面ABC ，AC ＝BC ＝2，14AA =，点D 在上底面111A B C （包括边界）上运动，则三棱锥D -ABC 的外接球表面积的范围为（ ）A ．81π,24π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]9π,24πC ．243π,24π16⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．243π16⎡⎤⎢⎥⎣⎦因为ABC 为等腰直角三角形，所以ABC 的外接球的截面圆心为，且1AO =1//AA ，所以由球的截面性质可知，(0DE t t =≤OD R ==，所以2814t x =-因为2R =故选：A2．（2022秋·江苏南京·高三南京师大附中校联考阶段练习）四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是边长为PAD为正三角形，则其外接球体积最小值为（）A B．32 3πC．D．二、多选题3．（2022秋·安徽·高三石室中学校联考阶段练习）已知正四棱台上､下底面的面积分别为2和8，高为()0h h >，则下列结论正确的有（ ） A ．正四棱台外接球的表面积的最小值为16πB ．当(h ∈时，正四棱台外接球球心在正四棱台下底面下方C ．正四棱台外接球的半径随h 的增大而增大D ．当2h =时，正四棱台存在内切球 1EO B EFB Rt Rt ≌可知O ∠ 2，故可知π2BEC ∠=，，所以1r =，2h =.故D 正确故选:ABD .4．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体，如图所示，将棱长为3a 的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为a 的截角四面体，则下列说法正确的是（ ）A 3a B ．该截角四面体的体积为312C ．该截角四面体的外接球表面积为213π2a D ．AEF △外接圆的面积为25π4a【详解】取上下底面的中心为,O O ''',外接球的球心为O ，连接,,,,OC OH CO HO '''如图，．（秋山东高三校联考阶段练习）在棱长为的正方体1111中，点为线段1AD （包含端点）上一动点，则下列选项正确的是（ ）．A ．三棱锥1C BDQ -的体积为定值B ．在Q 点运动过程中，存在某个位置使得1AD ⊥平面BQCC ．截面三角形BQC 面积的最大值为D ．当三棱锥1B B CQ -为正三棱锥时，其内切球半径为66．（2022秋·河北邢台·高三河北南宫中学校考阶段练习）如图，在菱形ABCD 中，π2,,3AB ABC M =∠=为BC 的中点，将ABM 沿直线AM 翻折到1AB M 的位置，连接1B C 和1,B D N 为1B D 的中点，在翻折过程中，则下列结论中正确的是（ ）A ．面1AB M ⊥面1B MCB ．线段CN 长度的取值范围为⎡⎣C ．直线AM 和CN 所成的角始终为π6D ．当三棱锥1B AMD -的体积最大时，点C 在三棱锥1B AMD -外接球的外部B 选项：如图所示，取AD 中点E ，连接EN ，EC ，所以//EC AM ，且EC AM =，又因为，在CEN 中，由余弦，即CN =C 选项：由B 选项得//EN AB ，所以直线AM 和CN 所成角即为与CN 所成角NCE ∠，在AMD 的外接圆内，又AMD 的外接圆在三棱锥1AMD -外接球的内部，故D 选项错误；故选：AC 三、填空题7．（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知半径为O 的表面上有A ，B ，C ，D 四点，且满足AD ⊥平面ABC ,BC AB BC =⊥，则四面体D ABC -的体积最大值为_____________；若M 为AD 的中点，当D 到平面MBC 的距离最大时，MBO △的面积为_____________．8．（2022秋·江苏常州·高三统考阶段练习）在正四面体A BCD -中，E 为BC 边的中点，过点E 作该正四面体外接球的截面，记最大的截面面积S ，最小的截面面积为T ，则=T S__________；若记该正四面体内切球和外接球的体积分别为1V 和2V ，则21V V =__________．2面积是___________.【答案】20πAC PC C =,,120APC ∠=所以2O A O P O C '''===,60PO A PO C ''∠=∠=︒.角形的四面体称之为鳖臑.如图，在鳖臑-P ABC 中，PA ⊥平面ABC .已知6AB =，8CB =，10PA AC ==，请写出平面PBC 的直角：_____________；若P ，A ，B ，C 都在球O 的球面上，则球O 的表面积为____________.PAAB A =，，故BC PB ⊥放入长方体中，如图所示：长及对角线BD 的长度均为6，平面ABD ⊥平面CBD ，点M 在AC 上，且2AM MC =，那么ABCD 外接球的半径为______；过点M 作四边形ABCD 外接球的截面.则截面面积最大值与最小值之比为______.【答案】54##1.25 1AE OHCE四、解答题12．（2022秋·安徽·高三校联考阶段练习）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB AD AA P ===为棱1DD 的中点.(1)求直线AP 被长方体1111ABCD A B C D -的外接球截得的线段长度；(2)求直线1AC 与平面PAC 所成角的正弦值.()()()()()()10,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,2,0,1,2,0,0,1D A C D C P 设平面PAC 的一个法向量(),,n x y z =因为()()1,1,0,1,0,1AC AP =-=-，00n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得，可得()1,1,1n =，又()11,1,2AC =-，设直线1AC 与平面所以()1111,1,1,1,12sin cos ,36AC nAC n AC n θ-⋅====⋅所以直线AC 与平面PAC 所成角的正弦值为。
立体几何中球与几何体的切接问题
立体几何中球与几何体的切接问题（精讲+精练）一、外接球如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用．二、内切球球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径．【常用结论】①外接球模型一：墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2．)，秒杀公式：R2＝a2＋b2＋c24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：②外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型，一般用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝x2＋y2＋z28 (三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．A BCDA1B1C1D1类型ⅠA BCDA1B1C1D1类型ⅡA BCDA1B1C1D1类型ⅢA BCDA1B1C1D1例外型2R=③外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O 的位置是△ABC 的外心O 1与△A 1B 1C 1的外心O 2连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1＝r ，OO 1＝，．④外接球模型四：垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O 的位置是△CBD的外心O 1△AB 2D 2的外心O 2连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1＝r ，OO 1＝，． ⑤外接球模型五：有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC ⊥平面BCD ，如类型Ⅰ，△ABC 与△BCD 都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC 是等边三角形，△BCD 是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC 与△BCD 都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC 与△BCD 的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O 即为球心．类型Ⅳ，△ABC 与△BCD 都一般三角形，解决方法是过△BCD 的外心O 1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A －BCD 的高为h ，外接球的半径为R ，球心为O ．△BCD 的外心为O 1，O 1到BD 的距离为d ，O 与O 1的距离为m ，则Error!解得R ．可用秒杀公式：R 2＝r 12＋r 22－l 24(其中r 1、r 2为两个面的外接圆的半径，l 为两个面的交线的长)AB C D A 1B 1C 1D 12h 2224h R r ∴=+O 1C 1AA 1B 1O B CRrh2hO 22h 2224h R r ∴=+r h C DB R A O 1O2h r hC D BR A O 1O2h O 2D 2B 2⑥外接球模型六：圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥．秒杀公式：R ＝h 2＋r 22h(其中h 为几何体的高，r 为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心)⑦内切球思路：以三棱锥P －ABC 为例，求其内切球的半径．方法：等体积法，三棱锥P－ABC 体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，球心为O ，建立等式：V P －ABC ＝V O －ABC ＋V O －PAB ＋V O －PAC ＋V O －PBC ⇒V P －ABC ＝13S △ABC ·r ＋13S △PAB ·r ＋13S △PAC ·r ＋13S △PBC ·r ＝13(S △ABC ＋S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC )·r ； 第三步：解出r ＝3V P －ABC SO －ABC ＋S O －PAB ＋S O －PAC ＋S O －PBC ＝3V S 表．【典例1】（2023·浙江·高三校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面体的棱长是 ．类型Ⅰ类型Ⅱ类型ⅢABCDO 1O R rm h －m R dd 类型Ⅳ因为正四面体内接于球，则相应的一个正方体内接球，设正方体为则正四面体为，设球的半径为R ，则， 解得，所以则正方体的棱长为，【典例2】（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD 中，，ABCD 外接球的体积为（）A ．B CD ．则故11A CB D -2436R ππ=3R =16AC =23AB CD ==AC BD ==AD BC ==45π22222220,29,41,a b b c a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩22a b R +=【典例3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直三棱柱的表面积是（ ） A ．B ．C ．D ．【典例4】（2023·安徽宣城·高三统考期末）在三棱锥中，△ABC 是边长为3的等边三角形，侧棱PA ⊥平面ABC ，且，则三棱锥的外接球表面积为 ．【答案】【解析】根据已知，底面是边长为3的等边三角形，平面， 可得此三棱锥外接球，即以为底面以为高的正三棱柱的外接球．111ABC A B C -40π1,120AB AC AA BAC ∠===16+8+8+16+-P ABC 4PA =-P ABC 28πABC PA ⊥ABC ABC PA的中点，的外接圆半径为所以球的半径为所以四面体外接球的表面积为故答案为：．【典例5】（2023·四川乐山·高三期末）已知正边长为1，将绕旋转至，使得平面平面，则三棱锥的外接球表面积为．取BC 中点G ，连接AG,DG ，则分别取与的外心的球心，由ABC r AN =R OA ==-P ABC 28πABC ABC BC DBC △ABC ⊥BCD D ABC -ABC DBC A BCD -AB AC DB DC BC =====2213122AG DG ⎛⎫∴==-=⎪⎝⎭【典例6】（2023·山东滨州·高三校考期中）已知正四棱锥的底面边长为侧棱长为6，则该四棱锥的外接球的体积为．，显然正四棱锥令，则在中，所以该四棱锥的外接球体积为【典例7】（2023·高三课时练习）边长为的正四面体内切球的体积为（）A B C．DP ABCD-221133PO PA AO=-=PO AO R==1|33OO=1Rt AO O△22R AOA O==1π6设正四面体的内切球半径为由等体积法可得因此，该正四面体的内切球的体积为【题型训练1-刷真题】一、单选题322144243A BCDB ACE V V --⎛⎫=-=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭ABCD (21123A BCD V r S -==2．（2022·全国·统考高考真题）已知球上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（A ．B ．【答案】C【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点1312，底面所在圆的半径为[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为，高为则，所以，所以正四棱锥的体积2a 2222l a h =+2232(3a =+26h l =2222a l h =-13V Sh =二、填空题【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；（2）若球面上四点P 、A 、B 、C 构成的三条线段PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解；（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．【题型训练2-刷模拟】一、单选题）故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱直三棱柱的外接球的体积为（ ）A ．B ． 【答案】C【分析】将直三棱柱放入长方体中，借助长方体的外接球求解8π316π34．（2023秋·四川眉山的球面上，则该圆柱的体积为（A ．【答案】C【分析】设圆柱的底面半径为 A ．B ．【答案】B π12π外接球球心位置，求出外接球半径，即可求得答案 因为由于平面平面故平面，又M 为的外心，⊥22AB BC AC ===ACD ⊥ABC BM ⊥ACD DM ADC △的外接球，结合直三棱柱的性质求外接圆半径接球， 设四面体的外接球的球心为，半径为，，则， 的外接球表面积为.AEF A BCD -O R 132AB ==22217R O O r =+=24π28πR =8．（2023·四川成都·校联考二模）在三棱锥平面，若三棱锥A ．【答案】B【分析】根据三棱锥中线面关系可先确定球心【详解】 的中点为，连接，因为，又因为平面平面，平面PAC ⊥ABC 231O 1PO AC ⊥112AO AC ==221(26)PA AO =-=PAC ⊥ABC是边长为 10．（2023春·四川绵阳底面是正方形，（ ）A ．【答案】CABCD 89π【详解】 的边长为，在等边三角形平面，∴平面是等边三角形，则，设四棱锥外接球的半径为，为正方形为四棱锥P －ABCD 外接球球心，则易知ABCD 2x PAB ⊥ABCD PE ⊥PAB 3PE x =()211233633ABCD S PE x x ⋅⋅=⨯⨯=R 1O故选：C12．（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知在三棱锥平面，则三棱锥A．B．⊂ABC-P ABC π4【点睛】求解几何体外接球有关的问题，关键点在于找到球心的位置，然后计算出外接球的半径接法和补形法，直接法是根据几何体的结构来找到球心；补形法是补形成直棱柱、长方体（正方体）等几何体，并根据这些几何体的结构找到球心并求得半径13．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）球，.若由，则，即又，故，仅当BCD BD CD ⊥BD =24π9πR =32R =1BD =22BD CD ++4CD AC ⋅≤AC所以，四面体外接球即为长方体外接球，则半径由题意，四面体的四个侧面均为全等三角形，形内角，的外接球的直径，要想体积最设，则，，所以当时，，则有三棱锥所以． 故选：A16．（2023·河南·统考三模）如图，该几何体为两个底面半径为的体积为V 1，它的内切球的体积为V A ． B ．AB x =PA x =6BC x =-PC 2x =min 26PC =3min 4π86π3V R ==2:3的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，求出半径，再根据球的体积公17．（2023·福建宁德·校考模拟预测）将一个半径为半径为（）A．C．313+ () 2313-【点睛】关键点点睛：此题考查圆锥的内切球问题，解题的关键是表示出圆锥的体积，化简后利用导数求出其最大值，从而可确定出圆的大小，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题18．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥A ． C ． 【答案】B所以故其内切圆表面积为故选：B ．19．（2023·全国·高三专题练习）若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为(823)π-(863)π-1133P ABCD ABCD V S PH S -=⋅=表面积24π(8r =-将直三棱柱补成如图所示的长方体，则外接球的直径即为该长方体的体对角线，故外接球的半径为故外接球的的表面积为. 故选：D.21．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知正三棱锥221232+29π故选：A.22．（2023·全国·高三专题练习）已知圆台则该圆台的体积为（ ）A ．B ．【答案】B72π3143设上底面半径易知，作，垂足为1O B r =1BC O B r ==AC 2BD O A ⊥故选：A【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.24．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将菱形体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（26323R +B ACD -因为，所以当平面平面时，平面平面，所以此时四面体的高最大为因为，所以BA BC =BO ⊥BAC ⊥DAC BO ⊂BAC BO B ACD -DA DC =二、填空题故答案为：26．（2023秋·四川眉山，则该三棱柱的外接球的表面积为【答案】又由三棱柱的高为，则球心因此球半径R 满足：所以外接球的表面积故答案为：4π2360π322R r d =+24πS R ==60π【点睛】求解正棱锥有关问题，要把握住正棱锥的性质，如底面是正多边形，定点在底面的射影是底面的中心等等.求解几何体外接球有关问题，目是求球的表面积还是求体积28．（2023·河南·统考模拟预测）在菱形ABC16【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则 由，以为坐标原点， 设内切圆半径，易知由等面积可得，解得设四面体外接球球心为所以易知在平面射影为4,3AB BC ==AB ⊥B ,BA BC ABC r 12S lr =PABC O 'ABC31．（2023春·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）底面，，若【答案】32．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）在边长为段，的中点，连接ABCD AC BD O = 163π-AB BC DE【答案】【分析】由题意可知两两垂直，所以将三棱锥就是三棱锥的外接球的直径，求出体对角线的长，则可求出外接球的表面积【详解】由题意可知两两垂直，且 33．（2023秋·河南周口这个圆台的体积为 【答案】【分析】根据圆台与球的性质结合圆台的表面积、体积公式计算即可6π,,OD OE OF ,,OD OE OF OD =1423π故答案为： 34．（2023·全国·高三专题练习）【答案】【分析】作出内切球的轴截面，再根据几何关系求解即可 设该内切球的球心为所以，由已知得所以，在中，142π38πO OE OF OB ===2,BD DF ==AOF AO【答案】 【分析】根据题意利用余弦定理求得方体的六个面的对角线，利用等体积法求出内切球半径，运算求解即可 设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为则，解得又因为三棱锥是长方体切掉四个角的余下部分，23π222222749a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩a b c ⎧⎪⎨⎪⎩A BCD -'因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直中，面与面的面积是确定的，所以要使三棱锥表面积最大，则需要面最大即可，而且；，当时，取得最大值 因为，，所以由余弦定理知所以，易得. =ABC -ADC ABC DCB DAB S S = sin DCB DC BC ∠⋅⋅π2DCB ∠=DBC S △2DB =32EB ED ==22sin 3DED '∠=63DD '=设，高，则,在Rt 中，所以正四棱锥的体积，故当调递减，2AB a =PO h =2OD a =MOD 13V Sh =2282(4)V h h h h '=-+=--。
(完整版)空间几何体与球的切接问题
空间几何体与球的切、接问题1.体积为 8 的正方体的极点都在同一球面上，则该球的表面积为（）B.323种类一：三条棱两两垂直可转变为长方体（正方体）2.在三棱锥P ABC中，PA平面ABC , AC BC , AC BC 1， PA3则三棱锥外接球的体积为3.已知球 O 上四点 A、B、C、D，DA平面ABC,AB BC, DA AB BC a ,则球 O 的体积等于圆柱的外接球ORBC2设柱体的高为l ,底面外接圆的半径为r,则有R r2l24.直三棱柱 ABC－ A1B1C1的 6 个极点都在球 O 的球面上”，若 AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝ 12，则球 O 的半径为种类二：有一条侧棱垂直于底面可转变为直棱柱5.已知三棱锥 P-ABC 中，三角形 ABC 为等边三角形，且 PA=8，PB=PC= 13 ,AB=3 ，则其外接球的体积为6.在三棱锥 P ABC 中, PA平面ABC , AC1， BC 2， PA 6，ACB 120 ，求三棱锥的外接球的表面积。
圆锥的外接球O O1A设椎体的高为 h, 底面外接圆的半径为 r, 则有R r 22 h R7.正四棱锥的极点都在同一球面上．若该棱锥的高为４，底面边长为２，则该球的表面积为（）A. 81D.27448.在三棱锥 A-BCD中 ACD 与 BCD 都是边长为 2 的正三角形，且平面 ACD 平面BCD,求三棱锥外接球的体积练习 1、在四周体P ABC 中，PC平面ABC，AB=AC=1，BC=2 ，PC= 3 .则该四周体外接球的表面积为.练习 2、正三角形 ABC的边长为 2，将它沿高 AD翻折，使点 B 与点 C 间的距离为2 ，此时四周体ABCD外接球表面积为____________练习 3．已知三棱锥 S-ABC的全部极点都在球 O 的球面上， SC是球 O 的直径。
若平面 SCA⊥平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 S-ABC的体积为 9，则球 O 的表面积为 ________。
与球有关的内切、外接问题
(2)三棱锥A－BCD，侧棱长为2 5 ，底面是边长为2 3 的等边三角形， 125
则该三棱锥外接球的体积为___6__π__.
解析 如图所示，该三棱锥为正三棱锥，O为底面 BCD的中心且AO垂直于底面BCD，O′在线段AO上， O′为外接球球心， 令 O′A＝O′D＝R，OD＝23DE＝23×2 3× 23＝2， AD＝2 5，
(2) 三 棱 锥 A － BCD 的 四 个 面 都 是 直 角 三 角 形 ， 且 侧 棱 AB 垂 直 于 底 面
BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA－BCD＝
4 3
，则该三棱锥A－BCD外接
球的体积为__4___3_π__.
解析 因为AB⊥BC，BC⊥CD，构造如图所示的长方体， 则AD为三棱锥A－BCD的外接球的直径. 设外接球的半径为R. ∵VA－BCD＝13×12×BC×CD×AB＝16×2×CD×2＝43， ∴CD＝2，∴该长方体为正方体，∴AD＝2 3，∴R＝ 3， 外接球体积为 V＝43πR3＝4 3π.
B，C，D都在同一球面上，则此球的体积为___3__.
解析 如图，设正四棱锥的底面中心为O1， ∴SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心为O， ∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆， 外接圆的半径就是外接球的半径. 在△ASC 中，由 SA＝SC＝ 2，AC＝2，
得SA2＋SC2＝AC2. ∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形. ∴A2C＝1 是外接圆的半径，也是外接球的半径. 故 V 球＝43π.
∴AO＝ AD2－OD2＝4，∴OO′＝4－R，
又OO′2＋OD2＝O′D2， ∴(4－R)2＋4＝R2，解得 R＝52，∴V 球＝43πR3＝1625π.
反思 感悟
几何体与球的切、接问题练习题高一用
几何体与球的切、接问题一、直接法：依据几何体的特征找球心的位置，通过解三角形求出半径1、多面体与球（1）正方体棱长为，其外接球直径，内切球直径，棱切球直径（2）正四面体棱长为，高，三球球心为高的四分点。
外接球半径，内切球半径，棱切球半径a 2R =2R a=2R =a h=3R h 4==1R h 4==R =2、直棱柱外接球球心为上、下底面外接圆圆心连线的中点；3、正棱柱（或圆柱）外接球球心为上、下底面中心连线的中点；4、正棱台（或圆台）外接球球心在上、下底面中心连线上；5、正棱锥（或圆锥）外接球球心在几何体的高上，可由勾股定理求R ；6、三棱锥中有公共斜边的直角三角形，则外接球球心为斜边中点，该斜边为直径。
二、补正方体或长方体求外接球半径1、底面为直角三角形的直棱柱；2、同一顶点出发的三条棱两两垂直的三棱锥；3、三节棍体（三条棱两两垂直，且垂足不是同一点的四面体）；4、相对棱两两相等的四面体；5、一条侧棱垂直于底面，底面是矩形的四棱锥；6、一条侧棱垂直于底面的椎体补为直棱柱；三、几何的内切球，可通过体积法求半径：四、典型例题1、直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，，则此球的表面积为2、长方体顶点都在半径为9的球0的球面上，则长方体表面积的最大值是3、球0为正方体的内切球，，分别为棱的中点，则直线被球0截得的线段长为4、正三棱锥中，，为中点，且直线与地面所成角的正切值为外接球的表面积为5、矩形中，，沿将矩形折成一个四面体，则此四面体的外接球体积为，四面体体积最大值为1V S r 3=∙表111ABC A B C -0ABC 120∠=AB 2=1BC CC 1==1111ABCD A B C D -AB 2=E,F 1AD CC 、EF A BCD -BC 2=E BC AE BCD A BCD -ABCD AB 4,BC 3==AC ABCD D ABC -6、在正三棱锥中，是的中点，且，底面边长的外接球的体积为7、四面体满足，，则四面体的外接球表面积为8、已知球的直径，是该球面上的两点，，则三棱锥的体积是9、在封闭的直三棱柱内有一体积为的球，若，AB=6,bc=8,AA 1=3,则的最大值是10、四面体ABCD 中，已知AB=CD=5，，其外接球的表面积为S ABC -M SC AM SB ⊥AB =S ABC -ABCD AB CD ==AC AD BC BD 2====ABCD SC 4=A B 、AB =0ASC BSC 30∠=∠=S ABC -111ABC A B C -V AB BC ⊥V AC BD ==AD BC ==11、体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为 12、已知SC 为球0的直径，A,B 为球面上两点，AB=2,,若棱锥A-SBC，则球0的体积为 13、三棱锥A-BCD 内接于半径为2的球0，BC 过球心0，当三棱锥A-BCD 的体积最大时，三棱锥A-BCD 的表面积为总结：43πASC BSC 4π∠=∠=。
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A O'
O
B E D
C
A 空间几何体的三视图与球专项练习
专题一.空间几何体的三视图
1.某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则该几何体的体积是__________，表面积是__________
2.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
A.81
B.71
C.61
D.5
1
3.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
（A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10 4.一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，
侧视图
是等腰三角形. 则该几何体的表面积为（ ） A ．88 B ．98 C ．108 D ．158
专题二.几何体及它的外接球 1.柱体外接球 （1）长方体与外接球
2222(2R)a b c =++
练习：【2017课标II ，文15】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________ （2）三棱柱、圆柱与外接球
①正（直）三棱柱、圆柱外接球球心为两底外接圆圆心连线的中点
222OA OE AE =+,其中OA=R
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o
A
B
2233
3323AE AD AB AB ==⨯
=
求三角形ABC 外接圆半径R ：正弦定理
2sin sin sin a b c R A B C ===
求三角形ABC 内切圆半径r ：面积法1()2ABC S a b c r ∆=++⨯= 1
sin 2ab C
练习：1.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
（A ）2a π （B ）27
3
a π （C ）2113a π （D ）2
5a π
2.【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A ．π
B ．
3π4
C ．π2
D ．π4
②底面有一角为直角的直三棱柱外接球求法
方法一：由①可知球心在AB 的中点，半径算法同
①
方法二：如图所以，将三棱柱补成长方体，半径
算法与长方体半径算法相同
练习：已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，
2BC =O 的表面积等于（ ）
（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π 2.锥体外接球 (1)正棱锥与圆锥外接球
B
A
C
H
O
H
A
C
O
H
O
222222(PH R)OB OH BH R AH =+⇒=-+
练习：1.求棱长为a 的正四面体外接球的半径．（正四面体外接球半径是高的3
4
）
2.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面
积．
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思考：已知一个棱长为1的正方体，
（1）试探究如何切割可以得到一个棱长为2的正四面体
（2）求出这个正四面体的外接球的半径.
(2)底面为直角三角形，一侧棱与底面垂直的三棱锥：补成长方体
练习：1.已知三棱锥S-ABC，从S点出发的三条棱两两垂直且SA=1，SB=2，SC=3，则该
三棱锥的外接球的半径为（）
2.网格纸上的小正方形边长是1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外
接球的表面积为（）
ππππ
专题三.几何体及它的内切球
1.正三棱柱，直三棱柱，圆柱内切球
球的大圆与底面多边形的内切圆全等，且柱
体的高度与球的直接相等
2.棱锥的内切球：等体积法，
1
3
V S r
表面积
（r为内切球半径）
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练习：求棱长为a 的正四面体内切球的半径．（正四面体内切球半径是高的1
4
）
3.圆锥的内切球 求法：利用轴截面结合平面几何知识求解 sin r PH r θ=
-或1
2
PAB S r ∆=⨯周长
r 为内切球半径，周长为三角形PAB 周长
专题练习
练习：1.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）
()A 26 ()B 36 ()C 23 ()D 2
2
3.【2017江苏，6】 如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则
1
2
V V 的值是_______.
4.已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球
面得
到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于__________________.
5.某圆锥的截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的内切球的表面积为_______
6.（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知H 是球O 的直径AB 上一点,:1:2AH HB =,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为_______.
7.已知三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________．
8.直三棱柱
111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若
O O 1
O 2 ⋅
⋅ ⋅
A
H
M
O
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12
AB AC AA
===,120
BAC
∠=︒，则此球的表面积等于。