课件31二次函数与一元二次方程(1)
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二次函数与一元二次方程(第1课时)PPT课件
(1) h和t的关系式是什么？
解 :1 .h 5 t24t.0
(2) 小球经过多少秒后落地?你 有几种求解方法?与同伴进行交
流. ①图象法
②解方程 -5t2+40t=0
议一议 二次函数与一元二次方程
画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(1)2.个,1个,0个程
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(2) 一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验 证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在x
轴下方的条件是（ D ）
（A）a＜0 b2-4ac≤0（B）a＜0 b2-4ac＞0 （C）a＞0 b2-4ac＞0 (D）a＜0 b2-4ac＜0
小结 拓展 我思考，我进步
一个关系：二次函数图象与一元二次
我 方程根的关系:
们
函数
方程
的 收
y=ax2+bx+c(a≠0)
9
想一想 二次函数与一元二次方程
思考在本节一开始的小球上抛问题中,
何时小球离地面的高度是60m?你是如 何知道的? 能否达到80米？100米呢？
结论3 当y取定值时，二次函数可转
化为一元二次方程。
解 :1 .h 5 t24t.0
(2) 小球经过多少秒后落地?你 有几种求解方法?与同伴进行交
流. ①图象法
②解方程 -5t2+40t=0
议一议 二次函数与一元二次方程
画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(1)2.个,1个,0个程
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(2) 一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验 证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在x
轴下方的条件是（ D ）
（A）a＜0 b2-4ac≤0（B）a＜0 b2-4ac＞0 （C）a＞0 b2-4ac＞0 (D）a＜0 b2-4ac＜0
小结 拓展 我思考，我进步
一个关系：二次函数图象与一元二次
我 方程根的关系:
们
函数
方程
的 收
y=ax2+bx+c(a≠0)
9
想一想 二次函数与一元二次方程
思考在本节一开始的小球上抛问题中,
何时小球离地面的高度是60m?你是如 何知道的? 能否达到80米？100米呢？
结论3 当y取定值时，二次函数可转
化为一元二次方程。
二次函数与一元二次方程PPT精品课件
(3)你能从中得到什么启发?
从“形”的方面看，函数 yx2 x3 的图象与x轴交点的横坐标即
4
为方程
x2
x3 4
0的解；从“数”的方面看，当二次函数
yx2 x3 4
的函数值为0的解
；
-5-
二、信息交流，揭示规律
问题2：下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如
（1）1s和3s时 （3）达不到20.5m
（2）2s时 （4）4s时小球落回地面
-4-
二、信息交流，揭示规律
问题1：画出函数 yx2 x3 的图象，根据图 4
象回答下列问题.
(1)图象与x轴交点的坐标是什么？（-0.5，0） （1.5，0）
(2)当x取何值时，y＝0?这里x的取值与方程
x2 x30有什么关系? 当=-0.5或=1.5时，y＝0 4
22.2 二次函数与一元二次方程
宁江初中 ：马继科
2021年3月4日
-2-
一：设计问题，创设情境
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况
可由 _b_2_-4_a__c确定。
2、在式子h=50-20t2中，如果h=15，那么50-
20t2= _1_5__ ； 如果h=20，那么50-20t2= _2_0_ ；如果h=0，那 么50-20t2= _0__。
求证：该抛物线与x轴有两个不同的交点。 3、两人合作，一人画出二次函数的图象，
另一个同学说出相应一元二次方程的解；
-10-
四：变练演编，深化提高
4、在下列情形中，如果a>0，抛物线 y=ax2+bx+c的顶点在什么位置？ （1）方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根； （2）方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根； （3）方程ax2+bx+c=0无实数根。
二次函数与一元二次方程之间的关系PPT课件
人教版 九年级上
第22章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程之
间的关系
提示：点击 进入习题
1
ax2＋bx＋c＝0；y＝0； 横
6
B
2A
7C
3C
8C
4A
9C
5 没有；有一个；有两个 10 见习题
答案显示
11 见习题 12 见习题 13 见习题
答案显示
1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点横坐标， 就是求一元二次方程_a_x_2_＋__b_x_＋__c_＝__0___的两个根；一元
1．家庭电路是最常见、最基本的实用电路，它由两根 _进__户__线___、_电__能__表___、_总__开__关___、_保__险__装__置_、用电器 和导线等组成。家庭电路中的各用电器之间是 ___并___联的；控制用电器的开关与用电器____串____联 ，接在____火____线和用电器之间。
∴方程 2ax2＋3x＋1＝0 有实数解． ∴Δ＝9－8a≥0，解得 a≤98. 又∵a≠0，∴a≤98且 a≠0.
(2)当a＝－1，二次函数y＝ax2＋2x－1的自变量x满足 m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为－4，求m的值；
解：根据题意可得抛物线C：y＝－x2＋2x－1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. ∵a＜0，∴抛物线开口向下． 当y＝－4时，有－x2＋2x－1＝－4，解得x＝－1或x＝3. ①在直线x＝1左侧，y随x的增大而增大， ∴x＝m＋2＝－1时，y有最大值－4，则m＝－3；
(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x___≥__－__1___时，y 的值随x值的增大而增大；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数 根，求k的取值范围．
第22章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程之
间的关系
提示：点击 进入习题
1
ax2＋bx＋c＝0；y＝0； 横
6
B
2A
7C
3C
8C
4A
9C
5 没有；有一个；有两个 10 见习题
答案显示
11 见习题 12 见习题 13 见习题
答案显示
1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点横坐标， 就是求一元二次方程_a_x_2_＋__b_x_＋__c_＝__0___的两个根；一元
1．家庭电路是最常见、最基本的实用电路，它由两根 _进__户__线___、_电__能__表___、_总__开__关___、_保__险__装__置_、用电器 和导线等组成。家庭电路中的各用电器之间是 ___并___联的；控制用电器的开关与用电器____串____联 ，接在____火____线和用电器之间。
∴方程 2ax2＋3x＋1＝0 有实数解． ∴Δ＝9－8a≥0，解得 a≤98. 又∵a≠0，∴a≤98且 a≠0.
(2)当a＝－1，二次函数y＝ax2＋2x－1的自变量x满足 m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为－4，求m的值；
解：根据题意可得抛物线C：y＝－x2＋2x－1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. ∵a＜0，∴抛物线开口向下． 当y＝－4时，有－x2＋2x－1＝－4，解得x＝－1或x＝3. ①在直线x＝1左侧，y随x的增大而增大， ∴x＝m＋2＝－1时，y有最大值－4，则m＝－3；
(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x___≥__－__1___时，y 的值随x值的增大而增大；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数 根，求k的取值范围．
人教版高中数学必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时)【课件】
B．{x|x≥－1} D．{x|x≤－1或x>0}
(2)若p：x2－－5x≥0，q：x2－7x＋10<0，则p是q的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件 【解析】 由x2－－5x≥0得xx－ －52≤0，
D．既不充分也不必要条件
∴2<x≤5，即p：2<x≤5.
又由x2－7x＋10<0得(x－5)(x－2)<0，
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时)
要点1 一元二次不等式 (1)一般地，我们把只含有___一_个____未知数，并且未知数的最高次数是 __2___的不等式，称为一元二次不等式． (2)一元二次不等式的一般形式是___a_x_2＋__bx_＋_c_>_0____或____a_x2_＋_b_x_＋_c_<_0_____， 其中a，b，c均为常数，a≠0. (3)一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的_实__数_x__ 叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
形如
f（x） g（x）
≥0(≤0)的不等式可等价转化为
f（x）·g（x）≥0（≤0）， g（x）≠0
来解
决．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分
母)，使之转化为不等号右边为零的不等式，然后再用上述方法求解．
思考题3 (1)不等式x－x 1≥2的解集为( A )
A．{x|－1≤x<0} C．{x|x≤－1}
∴x－1＝0或3xx－＋15<0，
∴x－1＝0或(3x＋5)(x－1)<0，
∴x＝1或－53<x<1，即－53<x≤1.
《二次函数与一元二次方程》精品教学课件
再见
（1）yx2x2
2，1
（2）yx26x9
3
（3）yx2x1
没有实数根
y＝x2－x+1 y 4
y＝x2＋x－2
3 2 1
y＝x2－6x＋9
–3 –2 –1 O –1 –2 –3
1234 x
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例：利用函数图象求方程x22x2＝0的实数根（结果保留小数点后一位）．
yax²bxc(a0)
ax²bxcm(a0)
形
yax²bxc(a0) 与x轴的位置关系 没有公共点 有一个公共点 有两个公共点
数
ax²bxc0 (a≠0) 根的情况
没有实数根 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
教科书第47页 习题22.2 第1、2、3、5题
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
回顾与思考
一次函数 ykxb 的图象如图所示，则关于x的 一元一次方程 kxb0 的解为 x3 ．
关于x的一元一次方程 kxb0 的解
y
4 3 2 1
–4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4
1 2 3 4x
函数解析式
数
数形结合
函数图象 形
解：画出函数y＝x22x2的图象， 如图所示，它与x轴的公共点的横坐标 大约是0.7，2.7．
所以方程x22x2＝0的实数根为 x1≈0.7，x2≈2.7．
图片是【数学探究】《探究二次函数与x轴 交点》的动画缩略图，可以通过改变参数值， 改变函数图象位置,观察图象与x轴的交点情况.
人教版高中数学必修1《二次函数与一元二次方程、不等式》第1课时课件
题型三 “三个二次”之间对应关系的应用 【学透用活】
“三个二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一 元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系， 通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)mx2＋5x＋3＜0是一元二次不等式．
()
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}(x1＜x2)，则必有a＞0. ( )
(3)函数y＝ax2＋bx＋c的零点就是函数图象与x轴的交点．
()
(4)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜x1或x＞x2}(x1＜x2)，则方程ax2＋bx
[典例3] 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的 不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
[解] 法一：由不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|2<x<3}可知 a<0，且 2 和 3 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根，由根与系数的关系可知ba＝－5，ac＝6.
故不等式的解集为x12≤x≤2 .
(2)x2－a＋1ax＋1≤0⇔x－1a(x－a)≤0，
①当 0<a<1 时，a<1a，不等式的解集为xa≤x≤1a
；
②当 a＝1 时，a＝1a＝1，不等式的解集为{1}； ③当 a>1 时，a>1a，不等式的解集为x1a≤x≤a . 综上，当 0<a<1 时，不等式的解集为xa≤x≤1a ； 当 a＝1 时，不等式的解集为{1}； 当 a>1 时，不等式的解集为x1a≤x≤a .
二次函数与一元二次方程(1)演示稿
【例】 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式 h=－4.9t2＋19.6t 来表示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间． （1）t=1时，足球的高度是多少？（2）t为何值时，h最大？（3）球经过 多长时间球落地？（4）方程－4.9t2＋19.6t =0的根的实际意义是什么？你 能在图上表示吗?（5）方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是什么？ 你能在图上表示吗?
归纳小结、说一说
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二 次方程ax2+bx+c=0的根关系表
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴的交点
有两个交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根
一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0
归纳整理: 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: 1、 有两个交点, 2、 有一个交点, 3、 没有交点. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的 横坐标就是当y=0时自变量x的值, 即一元二次方程 ax2+bx+c=0的根.
归纳整理、理清关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二 次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
新华中学九年级数学备课组
问题： 如何求一次函数y=kx+b (k ≠0)的图像与 x轴交点的坐标？
学习目标
• 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的
归纳小结、说一说
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二 次方程ax2+bx+c=0的根关系表
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴的交点
有两个交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根
一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0
归纳整理: 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: 1、 有两个交点, 2、 有一个交点, 3、 没有交点. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的 横坐标就是当y=0时自变量x的值, 即一元二次方程 ax2+bx+c=0的根.
归纳整理、理清关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二 次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
新华中学九年级数学备课组
问题： 如何求一次函数y=kx+b (k ≠0)的图像与 x轴交点的坐标？
学习目标
• 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的
二次函数与一元二次方程不等式(第一课时课件)高一数学《知识素养思维》精讲课件(人教A版2019)
02 能力作业：
.
03
拓展延伸：（选做）
（本页可以删了！）
总 结
式为一元二次不等式时还需分类比较相应方程的两根大小.
课堂小结
一、本节课学习的新知识
一元二次不等式的概念 三个二次之间的关系
一元二次不等式的解法
课堂小结
二、本节课提升的核心素养
数据分析
逻辑推理
数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
函数结合
方程思想
转化与化归
分类讨论
01 基础作业：
.
程 思
根，…
想
3)当△<0，即-2<a<2时，方程x2-ax+1=0无实根，…
方 法
系数含参数导致判别式正负不定时，要分类讨论，结
总 结
合函数图像作出判断.
问 题
3.
解关于x的不等式:ax2-(a-1)x-1<0 (a∈R)
数 学 思 想
之 答
分 类 讨 论
案
方 程 思 想
+
方 法
先进行因式分解，考虑是否为一元二次不等式，当此不等
第二章 一元二次函数、方程、不等式
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
高中数学/人教A版/必修一
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
思维篇 素养篇
知识篇
现实中的一元二次问题
园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉． 若栅栏的总长是24m，围成的矩形区域的面积要 大于20m２，则这个矩形的长和宽各为多少米？
问 题 核 心 素 养 之解
数 学 运答 算
+
逻
辑
推
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练一练
2、观察二次函数y＝x2－2x－3、y＝x2－6x＋9和 y＝x2－2x＋3的图像，分别说出一元二次方程 x2－2x－3=0、x2－6x＋9=0和方程x2－2x＋3=0 的根的情况．
y y＝x2－2x－3
y
Hale Waihona Puke y＝x2－6x＋9y y＝x2－2x＋3
O
x
O
x
O
x
练一练
3、若方程组
y
x2 2x 3
初中数学 九年级(下册)
5.3 二次函数与一元二次方程（1）
问题引入
1、一次函数y＝2x+1与x轴、y轴的交点坐 标分别是什么？
2、一次函数y＝kx+b与x轴、y轴的交点坐 标分别是什么？
问题类比
已知：二次函数y＝x2－2x－3，
（1）求当x＝－2，0，2时的函数值，它 的几何意义是什么？ （2）求当y＝5，0时的自变量x的值，它 的几何意义是什么？
一元二次方程与二次函数的关系
1、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0其实是二次函数 y＝ax2＋bx＋c函数值为0的特殊情形．
2、在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，当y=0时，就 得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，所以一元二 次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是二次函数y＝ax2＋ bx＋c的图像与x轴交点的横坐标．
一元二次方程与二次函数的关系
5、方程组
y
ax2
bx
c
的解，其实就是抛物
ym
线y＝ax2＋bx＋c与直线y=m的交点坐标，其横
坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c=m的解．
练一练
1、不画图像，判断下列函数的图像与x轴是否有 公共点，如果有，求出与x轴公共点的坐标． （1）y＝2x2－x－6； （2）y＝－x2＋x－ ； （3）y＝3x2＋6x＋11．
有两个、一个、没有
ym
实数解，那么m的取值或范围分别是什么？
y y＝x2－2x－3
O
x
【变一变】若一元二次方程x2－2x－3－
m=0有两个、一个、没有实数根，那么m
的取值或范围分别是什么？
练一练
4、已知二次函数y＝x2＋kx＋k－1， （1）说明：对于任意实数k，该二次函数图像与 x轴必有交点； （2）若函数图像经过点（1，－8），与x轴交于 A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，顶 点为D． 求：①AB长；②△ABC的面积； ③△ABC的周长；④四边形ABDC的面积．
一元二次方程与二次函数的关系
3、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的个数可以通 过转化为抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数 来判定；反过来，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的 交点坐标可以通过转化为解一元二次方程ax2＋ bx＋c＝0得到．
一元二次方程与二次函数的关系
4、判别式b2－4ac的取值范围与抛物线与x轴交 点的个数的关系： ①当b2－4ac 0时 抛物线与x轴有两个公共点； ②当b2－4ac 0时 抛物线与x轴有一个公共点； ③当b2－4ac 0时 抛物线与x轴没有公共点； ④当b2－4ac 0时 抛物线与x轴有公共点．