2018_2019学年高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念课件新人教A版必修4
高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念课件新人教a版必修4 (3)
【解析】 A→B＝D→C，A、B、C、D 四点可能在同一条直线上， 故①不正确；在▱ABCD 中，|A→B|＝|D→C|，A→B与D→C平行且方向相同， 故A→B＝D→C，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且 a 与 b 方向相同；b＝ c，则|b|＝|c|，且 b 与 c 方向相同，则 a 与 c 长度相等且方向相同， 故 a＝c，故③正确；对于④，当 b＝0 时，a 与 c 不一定平行，故 ④不正确．
【课标要求】 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念. 2.理解零向量、单位向量、两个向量平行(共线)、两个向量相 等的含义. 3.理解向量的几何表示.
自主学习 基础认识 |新知预习| 1．向量的定义 既有大小，又有方向的量称为向量．
2．向量的表示方法
3．向量的长度(模) |A→B|(或|a|)表示向量A→B(或 a)的大小，即长度(也称模). 4．与向量有关的概念
【解析】 (1)如图所示． (2)由题意，易知A→B与C→D方向相反， 故A→B与C→D共线， 即 AB∥CD. 又|A→B|＝|C→D|， 所以四边形 ABCD 为平行四边形． 所以|A→D|＝|B→C|＝200(千米)．
方法归纳
用有向线段表示向量的步骤
跟踪训练 2 在如图的方格纸中，画出下列向量． (1)|O→A|＝3，点 A 在点 O 的正西方向； (2)|O→B|＝3 2，点 B 在点 O 北偏西 45°方向； (3)求出|A→B|的值．
解析：易知A→B＝D→C. 答案：B
3．如图，在⊙O 中，向量O→B，O→C，A→O是( ) A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等的向量
解析：由图可知O→B，O→C，A→O是模相等的向量，其模均等于圆 的半径，故选 C.
18学年高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念课件新人教A版必修4
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 下列命题正确的是( ) A.若a与b共线,b与c共线,则a与c也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的 四个顶点 C.若向量a与b不共线,则a与b都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行
题型一
题型二
题型三
题型四
解析:因为零向量与任一向量都共线,所以A不正确;因为数学中 研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线 上,而此时就不可能构成四边形,根本不可能是一个平行四边形的 四个顶点,所以B不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与 起点是否相同无关,所以D不正确;对于C,假设a与b不都是非零向量, 即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a 与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选C. 答案:C
①写出图中与������������ , ������������
长度相等的向量;
②分别写出图中与向量������������ , ������������
共线的向量.
题型一
题型二
题型三
题型四
(1)答案:D (2)解:①与������������ 长度相等的向量有������������ , ������������, ������������ , ������������ , ������������ . 与������������长度相等的向量有������������, ������������.
题型一
题型二
题型三
题型四
解 :(1)如图 . (2)由题意 ,易知 ������������ 与 ������������方向相反,故 ������������ 与 ������������共线. 又 |������������ | = |������������ |,
高中数学《第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念2.1.3...》99PPT课件 一等奖名师
练习3.下面几个命题：
（1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b |a|=|b|
（4）两个向量a、b相等的充要条件是 a ∥b
（5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是
四边形ABCD是平形四边形的充要条件。
其中正确的个数是(
)
A．0 B. 1
D
C
C. 2
D. 3
C
D
变：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c
当b ≠ 0时成立。
A
B
B
A
1.描述向量的两个指标：模和方向. 2.平行向量不是平面几何中的平行线段的 简单类比. 3.共线向量与平行向量关系、相等向量。
作业：课本77页
A组第3题，第4题
各向量的终点与直线l之间有什么关系？
1.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？ 2.若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗？
2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：a = b
D
C
规定：0 = 0
A
B
A
B
D
a b
.
o
相等向量一定是平行向量吗?
向量相等 平行向量一定是相等向量吗?
——相等向量与共线向量
1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向） 2、如何表示向量？ 3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量 的什么？
4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么 向量？
5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相 等向量吗？
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什 么关系？
2.1平面向量的实际背景及基本概念
（2）直角坐标平面内的x轴，y轴是向量。 （3）如果两个向量所在的直线互相平行，那么这 两个向量是平行向量。
（4）平行向量所在的直线一定互相平行。 （5）单位向量都相等。
二、课堂互动讲练
（6）不相等的向量一定不平行。 （7）若 | a | > | b | 则 a > b 。
二、课堂互动讲练
（三）解决问题
3、掌握平行向量、相等向量、共线向量的概念。 重、难点 重点：理解并掌握向量、向量的模、零向量、单
位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念。 难点：向量的方向、相等向量、共线向量。
一、课前自主探究 1、什么是位移？ 2、什么是向量？你还能从物理学中举 出一些这样的量吗？
3、什么是数量？生活中哪些量是数量
？ 4、什么是有向线段？怎样表示？它的 长度怎样表示？它由哪几个要素组成？
5、向量的大小（或称模），怎样表示?
一、课前自主探究 6、对比线段的表示方法，向量怎样表 示？ 7、你知道两个特殊向量吗？它们是？ 8、什么是平行向量？ 9、什么是相等向量？ 10、什么是共线向量?
二、课堂互动讲练
（一）选择
1、下列物理量不是向量的是（ ① ⑥ ⑦
① 质量 ② 速度 ③ 位移 ④
）
力
⑤
加速度 ⑥
路程
⑦
密度
2、下列说法中错误的是（ A ） A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为零 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任 意的
二、课堂互动讲练
（二）辨析
（1）温度含零上和零下温度，所以温度是向量。
（1）与零向量相等的向量必定是什么向量？
零向量 （2）与任意向量都平行的向量是什么向量？ 零向量
（3）平行向量是否一定方向相同？ 不一定
平面向量的实际背景及基本概念
向量的减法
要点一
性质
向量减法满足反交换律，即 $\overset{\longrightarrow}{a} \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{a}$。同时，向量减法不满 足结合律。
• 意义：数乘向量在实际问题中具有重要意义，如表示平行四边形和梯形的性质、求解物理问题中等。
向量的点乘
• 定义：两个向量之间的点乘运算称为内积或标量积。点乘结 果是一个实数，记作$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b}$。
向量的加法
• 性质：向量加法满足交换律和结合律，即$\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{a}$，$(\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}) + \overset{\longrightarrow}{c} = \overset{\longrightarrow}{a} + (\overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{c})$。
向量的点乘
• 性质：点乘满足交换律和分配律，即$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} \cdot \overset{\longrightarrow}{a}$， $(\lambda\mu)\overset{\longrightarrow}{a} = \lambda(\mu\overset{\longrightarrow}{a})$。此外， 点乘还满足正交变换不变性和垂直性质。
高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及
2.1 平面向量的实际背景及基本概念课堂探究探究一 向量的表示1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．2．注意事项：书写有向线段时，要注意起点和终点的不同；在书写字母表示时不要忘了字母上的箭头．【典型例题1】 在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1) OA u u u r ，使|OA u u u r |＝，点A 在点O 北偏东45°方向；(2) AB u u u r ，使|AB u u u r |＝4，点B 在点A 正东方向；(3) BC uuu r ，使|BC uuu r |＝6，点C 在点B 北偏东30°方向．解：如图中的OA u u u r ，AB u u u r 和BC uuu r .探究二 相等向量与共线向量1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再找同向与反向的向量．注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．【典型例题2】 给出下列说法：①|AB u u u r |＝|BA u u u r |；②若a 与b 方向相反，则a ∥b ；③若AB u u u r ，CD uuu r 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线；④有向线段是向量，向量就是有向线段．其中所有正确的序号是________．思路分析：利用共线(平行)向量的概念判断．解析：①中AB u u u r 与BA u u u r 的起点终点相反，但长度相等，故①正确；②正确；③AB u u u r 与CDuuu r 共线时，有AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故③错误；④向量是一个量，有向线段是一种几何图形，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．答案：①②【典型例题3】 如图，O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中分别写出：(1)与DO u u u r ，CO uuu r 相等的向量．(2)与DO u u u r 共线的向量．解：(1) DO u u u r ＝CF uuu r ，CO uuu r ＝DE u u u r .(2)与DO u u u r 共线的向量为：CF uuu r ，BO uuu r ，AE u u u r . 规律小结 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．探究三 易错辨析易错点：混淆向量的有关概念而致错【典型例题4】 已知下列命题：①若|a |＝0，则a 为零向量；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④所有单位向量都是相等向量；⑤两个有共同起点，而且相等的向量，其终点必相同．其中正确的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 错解：C错因分析：①正确；②正确；③错误；没有正确理解单位向量和相等向量而判断④正确；⑤正确．正解：①正确；②由|a |＝|b |得a 与b 的模相等，但不确定方向，故②错误；③错误；④所有单位向量的模都相等，都为1，但方向不确定，故④不正确；⑤正确．答案：A方法技巧 明确向量及其相关概念的联系与区别：(1)区分向量与数量：向量既强调大小，又强调方向，而数量只与大小有关．(2)明确向量与有向线段的区别：有向线段有三要素：起点、方向、长度，只要起点不同，另外两个要素相同也不是同一条有向线段，但决定向量的要素只有两个：大小和方向，与表示向量的有向线段的起点无关．(3)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的．零向量的方向是任意的．(4)平行向量也叫共线向量，当两共线向量的方向相同且模相等时，两向量为相等向量．。
2.1平面向量的实际背景及基本概念
向量的几何表示 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
a
b
记作 a ∥ b ∥c
c
规定: 零向量与任一向量平行, 即对于任意向量a,都有0∥a
相等向量：长度相等且方向相同的向量。
a
b
记作: a = b
共线向量 任一组平行向量都可以移动到 同一直线上 a 平行向量也叫做共线向量。
b c
l
C
o B A
比较大小的，因此向量不能比较大小。
友情链接：物理中向量与数量分别叫做
矢量、标量
判断题
1.身高是一个向量（ ）
）
2.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（
3.坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是(
)
Hale Waihona Puke 2.1.2向量的几何表示 由于实数与数轴上的点一一对应,所以 数量常常用数轴上的一个点表示。 如：3,2,-1,…而且不同的点表示不同 的数量.
B
（知道了有向线段的起点、方向和长度， 它的终点就可以唯一确定.）
A
向量的几何表示：用有向线段表示。 向量AB的大小,也就是向量AB的长度（或 称模）,记作|AB|.
长度为0的向量叫做零向量（方向任意）。 记作0. |0|=0.
长度等于1个单位的向量，叫做单位向量. 向量的字母表示：（1）a、b、c.... （2）用表示向量的有向线段的起点和终 点字母表示，例如，AB，CD
思考：有向线段就是向量，向量就是有 向线段？ 有向线段只是一个几何图形，是 向量直观表示
例1 如图,试根据图中的比例尺以及三地 的位置,在图中分别用有向线段表示A地 至B、C两地的位移(精确到1km).
解:
AB表示A地至B地的位移,且
2018_2019学年高中数学第二章平面向量第1节平面向量的实际背景及基本概念教案(含解析)
2.1平面向量的实际背景及基本概念[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P74～P76的内容，回答下列问题．(1)我们在物理中学习了位移、速度、力等，这些量与我们日常生活中的年龄、身高、体重、面积、体积等有什么区别？提示：位移、速度、力是既有大小又有方向的量，而年龄、身高、体重、面积、体积等只有大小，没有方向．(2)对既有大小，又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？提示：用有向线段．(3)若向量a与向量b相等，则它们应具备什么条件？提示：长度相等且方向相同．2．归纳总结，核心必记(1)向量的概念数学中，我们把像力、位移等这种既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)有向线段带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度．(3)向量的表示方法①向量可以用有向线段表示．向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或称模)，记作| AB|.②用字母表示向量：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，在手写时用带箭头的小写字母a，b，c，…表示向量．也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，AB，CD.(4)几种特殊的向量①零向量：长度为0的向量，叫做零向量，记作0.②单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量．③相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量．④平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，如果向量a和b平行，记作a ∥b；规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a.[问题思考](1)两个向量能比较大小吗？提示：不能．因为向量是具有方向的量．(2)向量就是有向线段，这种说法对吗？提示：不对，向量与有向线段是两个不同的概念，可以用有向线段表示向量．(3)“若a∥b，且b∥c，则a∥c”这个说法对吗？提示：不对，若b＝0，则a、c均可以是任意向量，所以a、c不一定平行．平面几何中平行的传递性：a∥b，且b∥c，则a∥c，在向量的平行中并不适用．解题时我们也要充分考虑0的特殊性．[课前反思](1)向量的概念：；(2)有向线段：；(3)向量的表示方法：；(4)零向量：；(5)单位向量：；(6)相等向量：；(7)平行向量(共线向量)： .讲一讲1．(1)下列说法中正确的是( )A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C．向量的大小与方向有关D．向量的模可以比较大小(2)下列说法中正确的有( )①单位向量的长度大于零向量的长度；②零向量与任一单位向量平行；③因为平行向量也叫作共线向量，所以平行向量所在的直线也一定共线；④因为相等向量的相等关系具有传递性，所以平行向量的平行关系也具有传递性；⑤因为相等向量一定是平行向量，所以平行向量也一定是相等向量．A．①②B．①②④ C．①③⑤ D．①②③[尝试解答] (1)不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确．(2)①正确，因为单位向量的长度为1，零向量的长度为0.②正确．③错误，平行向量所在的直线可能不共线．④错误，平行向量的平行关系不具有传递性．⑤错误，平行向量不一定是相等向量．答案：(1)D (2)A类题·通法解决与向量概念有关问题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．练一练1．下列说法错误的有________．(填上你认为所有符合的序号)(1)两个单位向量不可能平行；(2)两个非零向量平行，则它们所在直线平行；(3)当两个向量a，b共线且方向相同时，若|a|＞|b|，则a＞b.解析：(1)错误，单位向量也可以平行；(2)错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合；(3)错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小．答案：(1)(2)(3)讲一讲2．(1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；②AB，使| AB|＝4，点B在点A正东；③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.[尝试解答] (1)由向量的几何表示可知，可以写出12个向量，它们分别是AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC.(2)①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如图所示．②由于点B在点A正东方向处，且| AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如图所示．③由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC如图所示．答案：(1)12类题·通法用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．练一练2．一辆汽车从A出发向西行驶了100 km到达B点，然后改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．(1)作出向量AB、BC、CD；(2)求汽车从A点到D点的位移大小|AD|.解：(1)向量AB、BC、CD如图所示．(2)由题意，易知AB与CD方向相反，故AB与CD共线．又| AB|＝|CD|，所以在四边形ABCD中，AB綊CD，所以四边形ABCD为平行四边形，所以|AD|＝|BC|＝200 km.知识点3[思考1] 两个向量相等的条件是什么？提示：方向相同，模相等．[思考2] 两个向量共线的条件是什么？名师指津：两个非零向量的方向相同或相反，则这两个向量为平行向量，也叫做共线向量.0与任意向量共线．讲一讲3．如图所示，已知点O为正方形ABCD的对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．(1)与AO 相等的向量有________，与BO 相等的向量有________；(2)与AO 共线的向量有____________________；(3)与AO 的模相等的向量有____________________．[尝试解答] (1)根据相等向量定义可知 AO ＝BF ，BO ＝AE .(2)根据共线向量的定义可知，与AO 共线的向量为BF ， CO ， DE .(3)易知|AO |＝|CO |＝|DO |＝|BO |＝|BF |＝|CF |＝|AE |＝|DE |.答案：(1) BF AE (2) BF ，CO ，DE (3) CO ，DO ，BO ，BF ，CF ，AE ，DE类题·通法寻找共线向量或相等向量的方法(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是与已知向量方向相同的向量．练一练3．如图，△ABC 和△A ′B ′C ′是在各边的13处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC 的边长为a ，图中列出了长度均为a 3的若干个向量，则(1)与向量GH 相等的向量有________；(2)与向量GH 共线，且模相等的向量有________；(3)与向量EA 共线，且模相等的向量有________．解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等．向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．答案：(1) 'LB ，HC(2) 'EC ，LE ，'LB ，GB ，HC(3) EF ，FB ，'HA ，HK ，'KB[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是向量的概念、向量的表示方法及几种特殊的向量，难点是几种特殊向量的概念及应用．2．要重点掌握向量的三个问题(1)向量有关概念的辨析，见讲1；(2)向量的表示，见讲2；(3)相等向量与共线向量的应用，见讲3.3．本节课要注意两个区别(1)向量与数量①数量只有大小没有方向，向量既有大小又有方向．②数量可以比较大小，向量不能比较大小．(2)向量与有向线段①区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．②联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．课下能力提升(十三)[学业水平达标练]题组1 向量的有关概念1．汽车以120 km/h 的速度向西走了2 h ，摩托车以45 km/h 的速度向东北方向走了2 h ，则下列命题中正确的是( )A ．汽车的速度大于摩托车的速度B．汽车的位移大于摩托车的位移C．汽车走的路程大于摩托车走的路程D．以上都不对解析：选C 速度和位移是向量，由向量不能比较大小可知A，B错；汽车走的路程为240 km，摩托车走的路程为90 km，故C正确．2.如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是( )A．有相同起点的向量B．单位向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：选C 由题图可知三向量方向不同，但长度相等．3．下列命题：①若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反；②若向量AB是单位向量，则向量BA也是单位向量；③以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆．其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：选C 由单位向量的定义知，凡长度为1的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故①不正确．因为| AB|＝|BA|，所以当AB是单位向量时，BA也是单位向量，故②正确．因为向量AP是单位向量，故|AP|＝1，所以点P是以A为圆心的单位圆上的一点；反过来，若点P是以A为圆心的单位圆上的任意一点，则因为|AP|＝1，所以向量AP是单位向量，故③正确．题组2 向量的表示4．一个人先向东行进了5千米，而后又向西行进了3千米，那么这个人总共( ) A．向东行进了8千米 B．向东行进了2千米C．向东行进了5千米 D．向西行进了3千米解析：选B 记向东方向为正，则向东行进了5千米为＋5千米，向西行进了3千米为－3千米，则＋5＋(－3)＝＋2，表示向东行进了2千米．5．如图，在矩形ABCD中，可以用一条有向线段表示的向量是( )A．DA和BCB．DC和ABC．DC和BCD．DC和DA解析：选B DC和AB方向相同且大小相等，是相等向量，故可以用一条有向线段表示．6.在如图的方格纸中，画出下列向量．(1)| OA|＝3，点A在点O的正西方向；(2)| OB|＝32，点B在点O北偏西45°方向；(3)求出|AB|的值．解：取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，(1)(2)的向量如图所示．(3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，所以| AB|＝|OB―→|2－|OA―→|2＝3.题组3 相等向量与共线向量7．在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则如图所示的向量中，相等向量有( )A．一组 B．二组C．三组 D．四组解析：选A 由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即CE＝EA.8．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量OA共线的向量共有( )A．2个 B．3个 C．6个 D．9个解析：选D 与向量OA共线的向量有AO，OD，DO，BC，CB，EF，FE，AD，DA，共9个．9．如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，那么以图中各点为起点或终点的向量中：(1)与AB共线的向量有_____________________________________________；(2)与AB相等的向量有_____________________________________________；(3)与AB模相等的向量有___________________________________________．解析：(1)与已知向量在同一直线上或平行的向量都是它的共线向量，根据题意，与AB 共线的向量有BA，BE，EB，AE，EA，DC，CD.(2)与已知向量相等的向量与已知向量方向相同、长度相等，于是与AB相等的向量有BE，DC.(3)向量的模相等，只需长度相等，与方向无关，根据正方形和等腰直角三角形的性质，可知与AB模相等的向量有BA，BE，EB，DC，CD，AD，DA，BC，CB.答案：(1) BA，BE，EB，AE，EA，DC，CD(2) BE，DC(3) BA，BE，EB，DC，CD，AD，DA，BC，CB10．如图是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，与向量AB平行且模为2的向量共有几个？与向量AB方向相同且模为32的向量共有几个？解：(1)依题意，每个小方格的两条对角线中，有一条对角线对应的向量及其相反向量都和AB平行且模为 2.因为共有12个小方格，所以满足条件的向量共有24个．(2)易知与向量AB方向相同且模为32的向量共有2个．[能力提升综合练]1．如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量PQ相等的向量是( )A ．PR 与QRB ．AR 与RCC ．RA 与CRD ．RA 与QR解析：选B 向量相等要求模相等，方向相同，因此AR 与RC 都是和PQ 相等的向量．2．已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，则|BD |＝( )A ．1 B. 3 C ．2 D ．2 3解析：选D 易知AC ⊥BD ，且∠ABD ＝30°，设AC 与BD 交于点O ，则AO ＝12AB ＝1.在Rt △ABO 中，易得|BO |＝3，则|BD |＝2|BO |＝2 3.故选D.3．下列说法中正确的是( )A ．| AB |与线段BA 的长度不相等B ．对任一向量a ，|a |>0总是成立的C ．| AB |＝|BA |D ．若a ∥b ，且|a |＝1 005，|b |＝1 013，则|a ＋b |＝2 018解析：选C | AB |，|BA |分别与线段AB ，BA 的长度相等，所以A 不正确，C 正确；|0|＝0，对任一向量a ，|a |≥0总成立，所以B 不正确；对于D ，当a 与b 方向相反时，|a ＋b |＝8，故D 不正确．4．给出下列命题：①若|a |＝0，则 a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a∥b ，则|a|＝|b |.其中，正确的命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选A ①忽略了0与0的区别，a ＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等．5．设a 0，b 0分别是a ，b 的单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)． ①a 0＝b 0；②a 0＝－b 0；③|a 0|＋|b 0|＝2；④a 0∥b 0.解析：因为a 0，b 0是单位向量，|a 0|＝1，|b 0|＝1，所以|a 0|＋|b 0|＝2.答案：③6.如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．(1)与向量ED 相等的向量有________；(2)若| AB|＝3，则|EC|＝________.解析：(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，可知与向量ED相等的向量有AB，DC.(2)因为| AB|＝3，|EC|＝2| AB|，所以|EC|＝6.答案：(1) AB，DC(2)67．有下列说法：①若a≠b，则a一定不与b共线；②若AB＝DC，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；③在▱ABCD中，一定有AD＝BC；④若a＝b，b＝c，则a＝c；⑤共线向量是在一条直线上的向量．其中，正确的说法是________．解析：对于①，两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a与b 有共线的可能，故①不正确；对于②，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；对于③，在▱ABCD中，|AD|＝|BC|，AD与BC平行且方向相同，所以AD＝BC，故③正确；对于④，a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故④正确；对于⑤，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故⑤不正确．答案：③④8．如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方络纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且|AC|＝ 5.(1)画出所有的向量AC；(2)求|BC|的最大值与最小值．解：(1)画出所有的向量AC，如图所示．(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，|BC|取得最小值12＋22＝5；②当点C位于点C5或C6时，|BC|取得最大值42＋52＝41，∴|BC|的最大值为41，最小值为 5.。
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(1)向量的长度(模):向量������������的大小,也就是向量������������的长度(或模), 记作|������������|.
(2)两个特殊向量: ①零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作0,零向量的方向是任 意的. ②单位向量:长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.
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2.填空:向量的表示法 (1)几何表示:用有向线段表示,此时有向线段的方向就是向量的 方向,向量的大小就是向量的长度(或称模),如向量������������的长度记作 |������������|. (2)字母表示:通常在印刷时,用黑体小写字母 a,b,c,…表示向量. 书写时,写成带箭头的小写字母������, ������, ������,….还可以用表示向量的有向 线段的起点和终点的字母表示,如以 A 为起点,以 B 为终点的向量记 为������������.
(2)有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的 起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了.
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5.做一做:下列说法正确的是( ) A.身高是一个向量 B.温度有零上温度和零下温度之分,故温度是向量 C.有向线段由方向和长度两个要素确定
D.有向线段������������和有向线段������������的长度相等
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5.做一做:已知向量a如图所示,下列说法不正确的是( A.也可以用 ������������ 表示 B.方向是由M指向N C.起点是M D.终点是M 解析由向量的表示知,A,B,C正确,D不正确. 答案D
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三、向量的模及两个特殊向量 问题思考 1.向量的模可以为0吗?可以为1吗?可以为负数吗? 提示向量的模可以为0,可以为1,但不可以为负数. 2.填空:向量的模及两个特殊向量
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一、向量的概念
问题思考 1.在物理中,位移与距离是同一个概念吗?现实世界中有各种各样 的量,如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等,怎 样正确区分这些量呢? 提示位移与距离不是同一个概念;这些量中有些只有大小,没有 方向,但有些既有大小又有方向,因此应该从大小和方向两个方面 对这些量进行区分. 2.填空:(1)向量:数学中,我们把既有大小,又有方向的量叫做向量. (2)数量:把那些只有大小,没有方向的量,称为数量. 3.我们曾经用单位圆中的有向线段定义了三角函数线,那么线段 与有向线段相同吗?有向线段有哪几个要素? 提示线段与有向线段是不同的,有向线段有长度、方向、端点等 要素.
3.向量就是有向线段吗? 提示不是,二者不是同一概念,它们只是一种对应关系.
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思维辨析
4.向量与有向线段的区别与联系 (1)区别:数学中的向量是自由向量,只有大小与方向两个要素.与 起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就相同;有向线段则 有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小与方向相同,也 是不同的有向线段. (2)联系:向量可以用有向线段来表示.
3.做一做:下列说法正确的是( ) A.向量的模是一个正实数 B.零向量没有方向 C.单位向量的模等于1个长度单位 D.零向量就是实数0 解析向量的模是一个非负实数,它的方向是任意的,但它不是实 数0,故A,B,D均错,只有C正确. 答案C
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四、向量的关系 问题思考 1.向量由其模和方向所确定.对于两个向量a,b,就其模等与不等, 方向同与不同而言,有哪几种可能情形? 提示有四种情形:模相等,方向相同;模相等,方向不相同;模不相等, 方向相同;模不相等,方向不相同. 2.填空: 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,向量a与b 相等,记作a=b.任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段 来表示,并且与有向线段的起点无关.因为向量完全是由它的方向 和模确定. 3.如果两个向量所在的直线互相平行,那么这两个向量的方向有 什么关系? 提示方向相同或相反.
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4.填空:(1)有向线段:带有方向的线段叫做有向线段,其方向是由 起点指向终点.以 A 为起点、 B 为终点的有向线段记作������������(如图所示), 线段 AB 的长度也叫做有向线段������������的长度,记作|������������|.书写有向线段 时,起点写在终点的前面,上面标上箭头.
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4.填空:平行向量 (1)定义:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量a与b平 行,通常记作a∥b. (2)规定:零向量与任一向量平行,即对于任意的向量a,都有0∥a. (3)共线向量:任意一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此 平行向量也叫做共线向量. 5.做一做:下列说法正确的是( ) A.向量������������与向量������������是相等向量 B.与实数类似,对于两个向量a,b有a=b,a>b,a<b三种关系 C.两个向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线一定平行 D.若两个向量是共线向量,则向量所在的直线可以平行,也可以重 合 解析由相等向量和平行向量的定义知,D正确,A,B,C不正确. 答案D
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
课 标 阐 释 思 维 脉 络 1.了解向量的实际背景, 理解向量的概念.培养数 平面向量基本概念 学抽象素养. 向量的概念 2.掌握向量的表示方法, 理解向量的模的概念.培 向量的表示 几何法——向量的模 养数学抽象素养. 字母法 3.理解零向量、单位向 零向量、单位向量 有关概念 量、相等向量、平行向 相等向量、共线向量 量等概念.培养数学抽象 及逻辑推理素养.
解析有向线段������������和有向线段������������的起点与终点互换,其方向相 反,长度相等,故 D 项正确.
答案、向量的表示
问题思考 1.对于一个实数,可以用数轴上的点表示;对于一个角的正弦、余 弦和正切,可以用三角函数线表示;对于一个二次函数,可以用一条 抛物线表示…….数学中有许多量都可以用几何方式表示,你认为 如何用几何方式表示向量最合适? 提示由于向量既有大小又有方向,因此可用有向线段来表示.