凸函数
第三节 凸函数
d)f(x)=x12+4x1x2-x22
解 a)
∂f( x ) ∂x
2 1
= 10x 1+
2
x
2
- 5,
∂f( x ) ∂x
2
=
x
1
+ 2x 2+ 4
∂ f( x ) ∂x
2 2 1
= 10,
∂ f( x ) ∂x
2 1
= 1
x
2
∂ f( x ) ∂x
2
= 1,
∂ f( x ) ∂x 2
2
= 2
x
表明▽2f(x)负定，f(x)是严格凹函数。
c）
2 2 f (x) 0 0
0 12 x 2 0
0 0 0
▽2f(x)的一阶主子式分别为2,12x2,0均非 负（x2≥0）；二阶主子式分别为
2 0 0 12 x2 2 4 x 2≥ 0 ， 2 0 0 0 =0， 12 x 2 0 0 0 0
凸函数。
证明：设x，y∈R，且x≠y，λ∈（0 ，1）都有：
f[λx+(1-λ)y]-[λf(x)+(1-λ)f(y)]
=[λx+(1- λ)y-1]2 - λ(x-1)2 - (1- λ)(y-1)2
= -λ(1- λ)(x-y)2＜0
因此f(x)在（-∞，+∞）上是严格凸函数。
例2：试证线性函数是Rn上的凸函数。
f[λx1+(1-λ)x2]= ≤
fα i 1+(1-λ)x2) i (λx
i=1
k
αi [λfi(x1)+(1-λ)f(x2)]
i 1
k
凸函数
凸函数,是数学函数的一类特征。
凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。
凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量, f((x1+x2)/2)>=(f(x1)+f(x2))/2,则f(x)是定义在凸子集c中的凸函数（该定义与凸规划中凸函数的定义是一致的，下凸）。
常见的凸函数
1 指数函数eax
2 幂函数xa,x∈R+,1≤a或者a≤0
3 负对数函数- log x
4 负熵函数x log x
5 范数函数||x||p
如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调下跌的，f就是凹的；即一个凹函数拥有一个下跌的斜率（当中下跌只是代表非上升而不是严谨的下跌，也代表这容许零斜率的存在。
）
如果一个二次可微的函数f，它的二阶导数f'(x)是正值（或者说它有一个正值的加速度），那么它的图像是凹的；如果二阶导数f'(x)是负值，图像就会是凸的。
当中如果某点转变了图像的凹凸性，这就是一个拐点。
如果凹函数（也就是向上开口的）有一个“底”，在底的任意点就是它的极小值。
如果凸函数有一个“顶点”，那么那个顶点就是函数的极大值。
如果f(x)是二次可微的，那么f(x)就是凹的当且仅当f''(x)是非正值。
如果二阶导数是负值的话它就是严谨凹函数，但相反而言又不一定正确。
凸函数的几个性质
凸函数的几个性质
1. 凸函数的导数在定义域内单调递增或单调递减；
2. 凸函数的二阶导数在定义域内非负；
3. 凸函数的图像在定义域内是上凸的；
4. 凸函数的极值点只可能是极小值点或极大值点；
5. 凸函数的极值点只可能出现在函数的端点或极值点处；
6. 凸函数的极值点处的导数值为零；
7. 凸函数的极值点处的二阶导数值非负；
8. 凸函数的极值点处的二阶导数值为零时，极值点为拐点；
9. 凸函数的极值点处的二阶导数值为正时，极值点为极小值点；
10. 凸函数的极值点处的二阶导数值为负时，极值点为极大值点。
92. 什么是凸函数？如何判断？
92. 什么是凸函数？如何判断？92、什么是凸函数？如何判断？在数学的广袤世界里，凸函数是一个重要的概念，它在优化理论、经济学、物理学等众多领域都有着广泛的应用。
那么，究竟什么是凸函数呢？又该如何去判断一个函数是否为凸函数呢？简单来说，凸函数是一种具有特殊性质的函数。
想象一下，在函数的图像上，如果连接任意两点的线段都在这两点之间的函数曲线之上，那么这个函数就是凸函数。
更严谨地，对于定义在某个区间上的函数 f(x)，如果对于区间内任意的两个点 x₁和 x₂，以及介于 0 和 1 之间的任意实数λ ，都满足不等式f(λx₁＋（1 λ)x₂) ≤ λf(x₁) ＋（1 λ)f(x₂) ，那么这个函数就是凸函数。
为了更直观地理解凸函数，我们来看几个具体的例子。
比如，最简单的凸函数之一是二次函数 f(x) ＝ x²。
在其图像上，很容易发现任意两点之间的线段都在曲线之上。
再比如，函数 f(x) ＝｜x| 也是凸函数。
那如何判断一个给定的函数是否为凸函数呢？这有多种方法。
一种常见的方法是通过函数的二阶导数来判断。
如果函数 f(x) 的二阶导数 f'＇（x) ≥ 0 在其定义域内恒成立，那么这个函数就是凸函数。
以函数 f(x) ＝ x²为例，它的一阶导数为 f'（x) ＝ 2x ，二阶导数为f'＇（x) ＝ 2 ，因为 2 恒大于 0 ，所以 f(x) ＝ x²是凸函数。
另一种方法是利用定义来直接判断。
对于给定的函数，选取定义域内的任意两点，计算出λx₁＋（1 λ)x₂对应的函数值，并与λf(x₁) ＋（1 λ)f(x₂) 进行比较。
但这种方法在实际操作中往往比较繁琐，特别是对于复杂的函数。
还有一种方法是通过函数的性质来判断。
例如，如果一个函数是由多个凸函数相加组成的，那么这个函数也是凸函数。
凸函数在实际应用中有着重要的价值。
在优化问题中，凸函数的性质使得我们能够更容易地找到最优解。
凸函数的知识点总结
凸函数的知识点总结一、凸函数的定义凸函数是一种具有很多重要性质的函数。
在数学上，凸函数的定义如下：设$f$是定义在实数集上的函数，如果对于任意的$x_1, x_2$和任意的$t \in [0,1]$，都有$f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$，则称$f$是凸函数。
凸函数的定义实际上描述了函数图像上两点之间的连线位于函数图像之上，即函数的下凹性。
二、凸函数的性质1. 一阶导数的非减性：凸函数在其定义域上是处处可导的，在其定义域上的各点处，函数的导数保持不减。
2. 二阶导数的非负性：凸函数在其定义域上是处处二阶可导的，并且在其定义域上的各点处，函数的二阶导数大于等于零。
3. 零阶条件：如果$f$是定义在实数集上的连续函数，那么$f$是凸函数当且仅当对于任意的$x_1, x_2 \in \mathbb{R}$，都有$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$。
三、常见的凸函数1. 线性函数：$f(x) = ax + b$，其中$a, b \in \mathbb{R}$，且$a \geq 0$。
2. 指数函数：$f(x) = e^{ax}$，其中$a \geq 0$。
3. 幂函数：$f(x) = x^a$，其中$a \geq 1$或$0 \leq a \leq 1$。
4. 对数函数：$f(x) = \log(x)$，其中$x > 0$。
四、凸函数的应用1. 在优化领域中，凸函数是一类非常重要的函数。
因为凸函数具有许多良好的性质，比如局部最小值也是全局最小值、一阶导数大于零等等。
所以在优化问题中，可以采用凸函数作为目标函数或约束条件，从而使得问题更容易求解。
2. 在经济学中，凸函数通常被用来描述一些经济变量之间的关系。
比如成本函数、效用函数等都可以用凸函数来描述。
3. 在凸优化问题中，凸函数也是一种标准形式的函数。
凸函数的极值
凸函数的极值凸函数是数学中非常重要的一个概念，其在优化、经济学、物理等领域都有广泛应用。
凸函数不仅具有很好的性质和特性，而且还有一个极值问题。
什么是凸函数？凸函数是一种定义在实数集上的函数。
如果函数的任意两点之间的线段在函数图像上的点的下方，那么这个函数就是凸函数。
具体来说，如果对于任意 $a < b$，都有 $f((1-t)a+tb)\leq (1-t)f(a)+tf(b)$，其中 $0\leq t\leq 1$，那么函数 $f$ 就是凸函数。
凸函数的优良性质凸函数具有很多好的性质，其中最突出的就是对于任意两点之间的线段，它的斜率都是不递减的。
这一性质也被称为弱凸性质，它表明了凸函数在图像上的曲率是向上的，因此可以说凸函数具有一定的“凸出”特性。
凸函数还有许多其他的性质，比如说：- 凸函数的导函数是单调递增的；- 凸函数的下凸包是一个闭合包；- 凸函数的两个相邻的切线之间的区域总是在函数图像上方；- 凸函数的全局极小值只有一个。
在实际应用中，这些性质为凸函数带来了许多优势，比如说可以更容易地找到函数的极值，更加准确地优化问题等等。
凸函数的极值问题对于一个凸函数 $f(x)$，求其在定义域上的最大值或最小值是非常常见的问题。
根据凸函数的性质，在其定义域的边界处或者导函数为零的点处必然存在极值，而且极值点一定是全局极值点。
具体来说，如果在定义域的边界上存在极值点，那么极值点为全局极值点。
如果没有，则需要进一步考虑导函数为零的点。
在导函数为零的点处，需要进一步判断这个点的二阶导数符号。
如果二阶导数大于零，那么此处是函数的局部极小值；如果二阶导数小于零，则为局部极大值。
需要注意的是，在有些情况下，凸函数的极值点可能会有多个。
这时一般需要通过计算二阶导数的符号来判断哪个是全局极小值或极大值。
举个例子，考虑函数 $f(x)=x^2-2x+2$。
通过求导可得其导函数$f'(x)=2x-2$。
导函数为零的点为 $x=1$，而且 $f''(x)=2>0$，因此$x=1$ 是函数的局部极小值点。
凸函数
凸函数一、【知识提纲】1、凸函数的定义一般的，设f(x)是定义在(a,b)内的函数如果对于定义域内的任意两数x 1，x 2都有()()222121x f x f x x f +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 则称f(x)是(a,b)内的下凸函数，一般说的凸函数，也就是下凸函数，例如y=x 2，从图像上即可看出是下凸函数，也不难证明其满足上述不等式。
如果对于某一函数上述不等式的等号总是不能成立，则称此函数为严格凸函数。
注：凸函数的定义为我们提供了极为方便地证明一个函数为凸函数的方法。
这个方法经常使用。
此外利用二阶求导也可以判断一个函数为凸函数，凸函数的二阶导数是非负数。
2、凸函数具有的常用性质 性质一：对于(a,b)内的凸函数f(x)，有()nx f n x f ni ini i∑∑==≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11注：此即常说的琴生不等式性质二：加权的琴生不等式对于(a,b)内的凸函数，若11=∑=ni ia，则()∑∑==≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i i n i i i x f a x a f 11 注：加权琴生不等式很重要，当na i 1=时，即为原始的琴生不等式。
注：另外，对于上面有关凸函数和琴生不等式的部分，如果将不等号全部反向，则得到的便是凹函数，以及凹函数的琴生不等式。
二、应用例1、证明：对于(a,b)内的凸函数f(x)，有()nx f n x f ni ini i ∑∑==≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛11例2、证明：nx x x n x x x nn 2222122221.......+++≥+++例3、在ABC ∆中求证：（1）62sin12sin 12sin 1≥++C B A ；（2）332cot 2cot 2cot ≥⋅⋅CB A ；例3、（变量和为常量型）（1） 设a a n i a ni ii ==∈∑=1,,...,3,2,1),1,0(，求证：a n naa a a a a a nn -≥-++-+-1...112211；（2） 设*∈R c b a ,,,且1111=-+-+-c c b b a a ，求证：23≥++c b a（3） 若c b a ,,为三角形的三边，且s c b a 2=++，求证：12)32(--≥+++++n n n n n s b a c a c b c b a例4、条件为1=abc 的不等式证明问题（1） 若*∈R c b a ,,且1=abc ，求证：1222222≥+++++cc b b a a（2）若*∈R c b a ,,且1=abc ，证明：)(2111222c b a c b a ++≤+++++同步训练的最大值为中，上是凸函数，那么在在区间若函数成都模拟试题C B A ABC x y sin sin sin ),0(sin )02..(1++∆=πA21 B 23C 223D 232、设0>x ，0>y ，证明：()2ln ln ln yx y x y y x x ++≥+3、在ABC ∆中，求证：mm C m B m A 3tan3tan tan tanπ≥++，其中N m ∈且2≥m ．4、已知正实数i a （1=i ，2，…，n ）满足11=∑=ni ia．求证：nni i i n n a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∏=111．；于中至少有一个小于或等、、内任一点，求证为若︒∠∠∠∆30.6PCA PBC PAB ABC Pnn nn n n i n n x x x x x x n n i x )1()11()11()11(1,2),,2,1(,0.52121+≥++++++=+++≥=> 求证：，，已知答案2、设0>x ，0>y ，证明：()2lnln ln yx y x y y x x ++≥+ 证明：考查函数()x x x f ln =（0>x ），其二阶导数()01>=''xx f ，故其为凸函数．所以()()22y f x f y x f +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+， 即()y y x x y x y x ln ln 212ln 2+≤++． 4、已知正实数i a （1=i ，2，…，n ）满足11=∑=ni ia．求证：nni i i n n a a ⎪⎭⎫⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∏=111． 证明：考查函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x f 1ln ，()1,0∈x ．因()()()[]01252222>+--=''xx x x f ，故该函数为凸函数．而10<<i a （1=i ，2，…，n ），所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∑===n n a n n a a a n n i i ni in i i i 1ln ln 1ln 1111．（11=∑=ni i a ） 去掉对数符号立得．．在ABC ∆中求证： （1）62sin12sin 12sin 1≥++C B A ；（2）332cot 2cot 2cot ≥⋅⋅CB A ；证明：（1）考查函数x y sin 1=，其在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上为凸函数；（2）考查函数()2cot ln x x f =，在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上是凸函数．证明如下：即证()()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+2212121x x f x f x f ．()()2cot ln 2cotln 2121x x x f x f +=+2cot 2cot ln 21xx = ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--++=2cos 2cos 2cos 21ln 212121x x x x x x ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++≥2cos 12cos 21ln 2121x x x x 4cotln 221x x +=⎪⎭⎫⎝⎛+=2221x x f ．证毕．n nnn n n n n n n n nn n n i x x x x x x n n n x x x x x x n n i x )11()11()11(])11()11()11[(1)1()11()11()11(1,2),,2,1(,0.321212121+++≥+++++++≥++++++=+++≥=> 证：求证：，，已知nn x x x x x x x x x x x x x x x n n n nnn n n n 111)1(1)]11()11)(11[(212121121121=+++≤+=+≥+++∴ 又);)(1)]1()1)(1[((1221112211n nn n n n a b a b a b a b a b a b +≥+++利用结论：。
凸函数
凸函数是数学函数的一种特征。
凸函数是定义在某个向量空间的凸子集C(区间)上的实值函数。
凸函数是一个实值函数f C(区间)上定义一个凸子集向量空间中,任意两个向量的和一个凸子集C、f ((x1 + x2) / 2) > = ((x1) + f (x2)) / 2,那么f (x)是一个凸函数定义在一个凸子集C(这个定义是一致凸函数在凸规划的定义,凸)。
这个定义从几何上看就是：在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。
同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。
直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。
比如凹函数就是图像向下凹进去的，比如常见的。
如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0;f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)>=0; 一般来说，可按如下方法准确说明：1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ，即V型，为“凸向原点”，或“下凸”（也可说上凹），（有的简称凸有的简称凹）2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ，即A型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸）常见的凸函数1 指数函数eax2 幂函数xa,x∈R+,1≤a或者a≤03 负对数函数- log x4 负熵函数x log x5 范数函数||x||p如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调下跌的，f就是凹的；即一个凹函数拥有一个下跌的斜率（当中下跌只是代表非上升而不是严谨的下跌，也代表这容许零斜率的存在。
）如果一个二次可微的函数f，它的二阶导数f'(x)是正值（或者说它有一个正值的加速度），那么它的图像是凹的；如果二阶导数f'(x)是负值，图像就会是凸的。
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凸函数是定义在向量空间的凸子集C (interval)上的实值函数f，对于任意两个向量x1, X2, f ((x1 + X2) / 2)≤(f (x1) + f (X2)) / 2。
因此，很容易得到，对于(0,1)中的任意有理数P, f (PX1 + (1- P) x2)≤PF (x1) + (1- P) f (x2)。
如果f是连续的，那么p可以变成(0,1)中的任意实数。
如果凸集C是某个区间I，则为:设f是定义在区间I上的函数。
如果对于任意两点x1, X2和任意在I上的实数映射∈(0,1)，总存在
f(λx1 +(1 -λ)x2)≤λf (x1) +(1 -λ)f (x2),
那么f被称为I上的凸函数。
可以用定义方法、已知结论和函数的二阶导数来判断
对于实数集合上的凸函数，一般的判别准则是求其二阶导数。
如果二阶导数在区间内非负，则称为凸函数。
(凸向下)
如果二阶导数在区间内总是大于0，则称为严格凸函数。
折叠编辑此部分的函数属性
折叠的财产
定义在开区间C上的凸函数f在C上连续，在除可数点外的所有点上均可微。
如果C是一个闭区间，那么f在C的末端可能是不连续的。
单变量可微函数在一定区间内是凸函数，当且仅当其导数在该区间内是单调的。
一个变量的一个连续可微函数是凸间隔当且仅当函数是最重要的是它的切线:所有x和Y间隔,有(Y)≥f (x) + f”(x) x (Y−)。
特别是,如果
f (c) = 0,那么c f (x)的最小值。
当且仅当它的二阶导数非负时，它可以用来判断一个函数是否为凸函数。
如果它的二阶导数是正的，那么函数是严格凸的，但反过来就不成立。
例如，F (x) = X4的二阶导数为F "(x) = 12 X2，当x = 0时，F "(x) = 0，但X4是严格凸的。
更一般地说，一个多元二次可微连续函数在凸集上是凸的，当且仅当它的黑塞矩阵在凸集内是正定的。
凸函数的任何最小值也是最小值。
严格凸函数最多有一个最小值。
对于凸函数f，水平子集{x | f (x) <a}和{x | f (x)≤a} (a∈R)为凸集。
但是，层次子集为凸的函数不一定是凸函数;这种函数称为拟iconvex 函数。
Jensen不等式对每个凸函数F都成立，如果x是一个值在F定义域内的随机变量，则(这里e是数学期望)。