高中数学解三角形习题
高中数学 第五节 解斜三角形习题
第五节解斜三角形【例1】根据下列条件，解三角形ABC （1）已知 30,8,4===B c b ，求C 、A 、a ； （2）已知2,2,30===c b B ，求A 、C 、a ； （3）已知 45,9,6===B c b ，求C 、a 、A【例2】解答下列各题：（1）已知在△ABC 中，)15(4,4,18+===b a A ，求另一边及另两个角。
（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且10=c ，又知34cos cos ==a b B A ，求a 、b 及△ABC 的内切圆的半径。
【例3】在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果)(22b a +·)sin(·)()sin(22B A b a B A +-=-，且B A ≠，求证：△ABC 是直角三角形。
【例4】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，证明：C B A cb a sin )sin(222-=-【例5】已知，钝角三角形ABC 中，4,1,52,90=+=-=>c x b x a B ，求x 的取值范围。
【例6】在△ABC ，如果baB A =--cos 1cos 1，试判定△ABC 的形状。
【例7】如图，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在河的这边测定,23km CD = 30,60,45ACB DCB ADC ADB ∠=∠=∠=∠=，求A 、B 两点的距离。
【例8】如图，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东45°，航行30海里后，C 处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？双基训练1、满足条件 45,23,4===A b a 的△ABC 的个数是（ ） A 、一个B 、两个C 、无数个D 、不存在2、在△ABC 中， 30,15,5===A b a ，则c 等于（ ） A 、52B 、5C 、52或5D 、以上都不对3、若B b A a cos cos =，则△ABC 一定是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等腰直角三角形 D 、等腰或直角三角形4、在△ABC 中，其周长为7.5cm ，且A sin ：B sin ：C sin =4：5：6，则下列成立的个数是（ ） ①a ：b ：4=c ：5：6②a ：b ：2=c ：5：6 ③cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④A ：B ：C = 4：5：6 A 、0B 、1C 、2D 、35、在△ABC 中，已知 45,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A 、222<<xB 、222≤<xC 、2>xD 、2<x6、在△ABC 中，已知 120,30,10===B A a ，则=∆S 。
(典型题)高中数学必修五第二章《解三角形》检测题(有答案解析)
一、选择题1．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，且24cos cos tan Sb C bc B C=+，2a b +=，c =S =（ ）A ．4B C ．16D ．122．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ABC 的面积S =根据此公式，若cos (2)cos 0a B b c A +-=，且2224b c a ，则ABC 的面积为（ ）AB ．CD ．3．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若3,60a b A ===︒，则边c =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．64．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222sin sin sin sin A C B A C +-=，1b =，则2a -的最小值为（ ）A ．4-B ．-C ．2-D ．5．已知锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()2c a a b =+，则2cos cos()AC A -的取值范围是（ ）A ．,12⎛⎫⎪⎪⎝⎭B ．12⎛⎝⎭ C ．,22⎛⎫⎪⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭6．在ABC 中，若2a =，b =30A =︒，则B 等于（ ） A ．30B ．30或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒7．已知点O 为ABC 的外心，且3A π=，CO AB BO CA ⋅=⋅，则ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形或等边三角形D ．钝角三角形 8．在ABC 中，tansin 2A BC +=，若2AB =，则ABC 周长的取值范围是( )A ．(2,B ．(4⎤⎦C ．(4,2+D ．(2⎤+⎦9．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35m ，则此电视塔的高度是（ ）A ．35mB ．10mC ．490013m D ．10．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知45A =︒，2a =，b =B 为（ ） A ．60︒B ．60︒或120︒C ．30D ．30或150︒11．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC 的面积为S ，且()22a b c =+-，则πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．2C D 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 成等差数列，且直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长，则△ABC 的面积的最大值为（ ）A ．BC ．32D 二、填空题13．已知在锐角ABC ，且212tan tan sin A B A +=，其内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，则边c 的 最小值为_____________.14．在ABC 中，2AB =，4AC =，则C ∠的取值范围为______.15．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别是a ，b ，c ．若()224c a b =-+，23C π=，则ABC 的面积是________． 16．设角,,A B C 是ABC ∆的三个内角，已知向量()sin sin ,sin sin m A C B A =+-，()sin sin ,sin n A C B =-，且m n ⊥.则角C 的大小为_____________.17．如图，A ，B 两点都在河的对岸（不可到达），在所在的河岸边选取相距30m 的C ，D 两点，测得75ACB ∠=︒，45BCD ∠=︒，30ADC ∠=︒，45ADB ∠=︒，其中A ，B ，C ，D 四点在同一平面内，则A ，B 两点之间的距离是_______m .18．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为40h =的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为60β=︒，30α=︒，若山坡高为32a =，则灯塔高度是________.19．在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝α（0＜α＜2π），已知AB 的取值范围是（1，2），则cos α的值为_____．20．在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，222a c b ac +-=，3b =2a c +的最大值为______．三、解答题21．在①222b c a bc +-=；②4AB AC ⋅=；③2sin 22cos 122A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求ABC 的面积.问题：已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin C B =，2b =， ？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >，5a =，6c =，3sin 5B =．（1）求b 和sin A 的值；（2）求三角形BC 边的中线AD 长； （3）求πsin(2)4A +的值． 23．已知在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶3＋1)，求角A 的大小.24．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin c bC -=tan cos A C -． （1）求角A 的大小；（2）若b =，2c =，点D 在边BC 上，且2CD DB =，求a 及AD ．25．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知1b =，面积28sin a S A=，再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长.（1）6B π=;（2）B C =.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.26．在ABC 中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C = ，求b【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】由24cos cos tan Sb C bc B C=+，利用面积公式和和差角公式求出角C ，用余弦定理求出ab ，求出面积. 【详解】因为24cos cos cos sin S Cb C bc B C⋅=+，所以22cos cos cos ab C b C bc B =+，所以2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+，所以1cos ,sin 22C C ==. 由22221()32cos 222a b c a b abC ab ab+-+--===，得13ab =，所以1sin 212S ab C ==故选：D 【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．2．C解析：C【分析】首先根据正弦定理化简已知，求得1cos 2A =，再根据余弦定理求bc ，最后代入面积公式求解. 【详解】由正弦定理边角互化可知cos (2)cos 0a B b c A +-=化简为()sin cos sin 2sin cos 0A B B C A +-=， sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=即()sin sin 2sin cos A B C C A +==sin 0C ≠，1cos 2A ∴=, 222141cos 2222b c a A bc bc +-==⇔=，解得：4bc =，根据面积公式可知S === 故选：C 【点睛】关键点点睛，本题考查数学文化，理解面积公式，对于面积公式可变形为S =3．C解析：C 【解析】试题分析：2222cos a c b cb A =+-213923cos60c c ⇒=+-⨯⨯︒，即2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍去）． 考点：余弦定理，正弦定理．4．A解析：A 【分析】由222sin sin sin sin A C B A C +-=，利用正弦定理和余弦定理，可得6B π=，再根据正弦定理、三角形内角和及两角和的余弦公式，得到2a -4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，借助角C 的范围，即可求得结果. 【详解】222sin sin sin sin A C B A C +-=，∴222a c b +-=，∴22222a cb ac +-=，∴cos 2B =，又0B π<<，∴6B π=，12sin sin sin sin 6b A C B a c π====， ∴2sin a A =，2sin c C =，∴24sin a A C -=-4sin()B C C =+-4sin()6C C π=+-14cos 22C C C ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭2cos C C =-14cos sin 22C C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为506C π<<，所以7336C πππ<+<， 所以当3C ππ+=时，2a -取得最小值，且最小值为4-.故选：A. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用、三角形内角和的应用、两角和的余弦公式及余弦型函数的最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，属于中档题.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，一 般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.5．C解析：C 【分析】由余弦定理和正弦定理进行边化角，结合诱导公式和两角和与差的正弦公式可得2C A =，由锐角三角形得出A 角范围，再代入化简求值式，利用余弦函数性质可得结论． 【详解】∵2()c a a b =+，∴22222cos c a ab a b ab C =+=+-，∴(12cos )b a C =+， 由正弦定理得sin sin (12cos )B A C =+，∴sin()sin (12cos )sin cos cos sin A C A C A C A C +=+=+，整理得sin sin cos cos sin sin()A C A C A C A =-=-，∵,A C 是三角形的内角，∴A C A =-，即2C A =，又三角形是锐角三角形，∴2222A A A πππ⎧<⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩，解得64A ππ<<，由2C A =得22cos cos cos cos()cos A A A C A A ==∈-⎝⎭． 故选：C ． 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的边角转换，考查两角与差的正弦公式，余弦函数的性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．6．D解析：D 【分析】由正弦定理，求得sin sin bB A a=，再由a b <，且0180B ︒<<︒，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，在ABC 中，由正弦定理可得sin sin a bA B=，即sin sin sin 3022b B A a ==︒=， 又由a b <，且0180B ︒<<︒， 所以60B =︒或120B =︒， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．B解析：B 【分析】取AB 、AC 的中点E 、F ，利用向量加法的平行四边形法则以及向量得减法的几何意义可得2222a b c =+，再利用余弦定理得2bc a =，由正弦定理得边角互化以及两角差得正弦公式求出3B π=，即证.【详解】取AB 、AC 的中点E 、F ，则()CO AB CE EO AB CE AB ⋅=+⋅=⋅()()()221122CB CA CB CA a b =+⋅-=-， 同理()2212BO CA c a ⋅=-，所以2222a b c =+， 又3A π=，由余弦定理，得222a b c bc =+-，即222b c a bc +=+，所以2bc a =，由正弦定理，得23sin sin sin 4B C A ==， 即23sin sin 34B B π⎛⎫-=⎪⎝⎭， 所以23131cos 23sin sin sin cos sin 2322444B B B B B B B π⎛⎫-⎛⎫-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 32cos 22B B -=，所以2sin 226B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，72,666B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以262B ππ-=，解得3B π=，所以3A B C π===， 所以ABC 是等边三角形. 故选：B 【点睛】本题考查了向量加法、减法的运算法则，正弦定理、余弦定理、三角恒等变换，综合性比较强，属于中档题.8．C解析：C 【解析】由题意可得：cos2tan tan 2sin cos 22222sin 2CA B C C C Cπ+⎛⎫=-== ⎪⎝⎭， 则：21sin22C =，即：1cos 1,cos 0,222C C C π-=∴==. 据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形，则：()()222224222a b a b a b ab a b +⎛⎫=+=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，据此有：a b +≤△ABC的周长：2a b c ++≤+ 三角形满足两边之和大于第三边，则：2,4a b a b c +>∴++>， 综上可得：ABC周长的取值范围是(4,2+. 本题选择C 选项.9．D解析：D 【分析】设塔底为O ，设塔高为h ，根据已知条件求得,OA OB 的长，求得AOB ∠的大小，利用余弦定理列方程，解方程求得h 的值. 【详解】设塔底为O ，设塔高为h，由已知可知,OA OB h ==，且150AOB ∠=，在三角形AOB中，由余弦定理得222352cos15033h h ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，解得h =.故选D.【点睛】本小题主要考查解三角形的实际应用，考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.10．C解析：C 【分析】根据正弦定理得到1sin 2B =，再根据a b >知A B >，得到答案. 【详解】根据正弦定理：sin sin a bA B =，即1sin 2B =，根据a b >知A B >，故30B =︒. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据正弦定理求角度，多解是容易发生的错误.11．D解析：D 【分析】根据()2243S a b c =+-3cos 1C C -=，结合三角函数的性质，求得C 的值，最后利用两角和的正弦函数，即可求解. 【详解】由()22a b c =+-，可得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，因为2222cos a b c ab C +-=，所以sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=，可得π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又因为0πC <<，则ππ5π666C -<-<，所以ππ66C -=，解得π3C =， 所以πππππππsin sin sin cos cos sin 4343434C ⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122224=+⨯=. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了两角和的正弦函数的化简、求值，以及余弦定理的应用，其中解答中根据题设条件和余弦定理，求得C 的值，结合三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．B解析：B 【分析】由三角形内角和公式以及等差数列的性质可得3B π=，根据直线过圆心可得2312a c +=，根据基本不等式可得6ac ≤，最后由三角形面积公式得结果.【详解】在△ABC 中，A +B +C ＝π，∵角A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A +C ， ∴2B ＝π﹣B ，∴B 3π=．∵直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长， ∴圆心（2，3）在直线ax +cy ＝12上，则2a +3c ＝12， ∵a＞0，c ＞0，∴12＝2a +3c ≥ac ≤6． 当且仅当2a ＝3c ，即a ＝3，c ＝2时取等号．∴11sin 622ABCSac B =≤⨯=∴△ABC 故选：B. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，基本不等式以及三角形面积公式的应用，属于中档题.二、填空题13．2【分析】先化切为弦结合正余弦定理将角化边再由面积公式求得构造函数再用导数求得最值【详解】由得即结合正弦定理得再由余弦定理可得整理又由余弦定理可得代入上式得又锐角的面积所以时所以设函数求导可得由得所解析：2 【分析】先化切为弦，结合正、余弦定理将角化边，再由面积公式求得)22cos 3sin A c A-=，构造函数()2cos 0sin 2x f x x x π-⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，再用导数求得最值.【详解】 由212tan tan sin A B A +=，得2cos sin cos sin 2sin sin sin A B B A A B A+=， 即2cos sin cos sin 2sin A B B A B +=，结合正弦定理得2cos cos 2b A a B b +=，再由余弦定理可得2222222222b c a a c b b a b bc ac+-+-⋅+⋅=，整理22234c b a bc +-=.又由余弦定理可得2222cos b a bc A c -=-，代入上式得()22cos c bc A =-，又锐角ABC 的面积1sin 2bc A =bc =)22cos 3sin A c A-=， 设函数()2cos 0sin 2x f x x x π-⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，求导可得()212cos sin xf x x-'=，由()212cos 0sin x f x x -'==，得3x π=，所以在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()3f x f π⎛⎫≥= ⎪⎝⎭于是24c =≥，即2c ≥，当且仅当3A π=时，等号成立. 故答案为：2 【点晴】结合正、余弦定理将角化边，构造函数求最值是本题解题的关键.14．【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边求出的范围再结合余弦定理可以用表示求出的范围进而求得的取值范围【详解】解：在中内角的对边分别是由题意得即令所以所以根据导数与函数单调性的关系得：函数在上单调解析：π0,6⎛⎤⎥⎝⎦【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边求出a 的范围，再结合余弦定理可以用a 表示cos C ，求出cos C 的范围，进而求得C ∠的取值范围. 【详解】解：在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ， 由题意得2c =，4b =， b c a b c -<<+，即26a <<，2222123cos 2882a b c a a C ab a a+-+===+， 令()382x f x x =+，所以()2221312'828x f x x x-=-=， 所以根据导数与函数单调性的关系得：函数()f x 在(2,上单调递减，在()上单调递增，所以当26x <<时，()f x 的取值范围为2⎫⎪⎢⎪⎣⎭.所以cos C ⎫∈⎪⎪⎣⎭又因为0πc <<， 所以π0,6C ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故答案为：π0,6⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，三角形的性质，考查运算能力与化归转化思想，是中档题.15．【分析】利用余弦定理结合求出利用即可求出三角形的面积【详解】由可得：在中由余弦定理得：即所以即所以故答案为：【点睛】本题主要考查了余弦定理面积公式的应用属于中档题解析：3【分析】利用余弦定理，结合()224c a b =-+，23C π=求出43ab =，利用1sin 2ABCS ab C =，即可求出三角形的面积．【详解】由()224c a b =-+可得：22224c a b ab =+-+， 在ABC 中，由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-， 即222c a b ab =++， 所以24ab ab -+=， 即43ab =，所以114sin 223ABCSab C ==⨯=，【点睛】本题主要考查了余弦定理，面积公式的应用，属于中档题.16．【分析】先利用得到三角正弦之间的关系再根据正余弦定理求出即得角【详解】因为且所以即根据正弦定理得故根据余弦定理知又因为得故答案为：【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算和正余弦定理的应用是常考的综合题 解析：3π【分析】先利用0m n ⋅=得到三角正弦之间的关系，再根据正、余弦定理求出cos C ，即得角C . 【详解】因为()sin sin ,sin sin m A C B A =+-，()sin sin ,sin n A C B =-，且m n ⊥ 所以()()()sin sin sin sin sin sin sin 0m n A C A C B A B ⋅=+-+-= 即222sin sin sin sin sin A B C A B +-= 根据正弦定理得222a b c ab +-=故根据余弦定理知222cos 122a b c C ab +-==，又因为()0,C π∈得3C π=故答案为：3π. 【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算和正余弦定理的应用，是常考的综合题，属于中档题.17．【分析】本题先在中得出得的值然后在中由正弦定理得出的长最后在中由余弦定理算出即可得到AB 之间的距离【详解】解：如图所示∵∴∴在中∴∵在中∴由正弦定理得可得在中由余弦定理得∴（米）即AB 之间的距离为米解析：1015. 【分析】本题先在ACD △中，得出30CAD ADC ∠=∠=︒，得CD 的值，然后在BCD 中由正弦定理得出BC 的长，最后在ABC 中由余弦定理，算出21500AB =，即可得到A ，B 之间的距离. 【详解】解：如图所示，∵75ACB ∠=︒，45BCD ∠=︒，30ADC ∠=︒， ∴7545120ACD ACB BCD ︒︒∠=∠+∠=+=︒，∴在ACD △中，18030CAD ACD ADC ADC ∠=︒-∠-∠=︒=∠， ∴30AC CD ==.∵在BCD 中，60CBD ∠=︒， ∴由正弦定理，得30sin 75sin 60BC =︒︒，可得sin 7530203sin 75sin 60BC ︒=⋅=︒︒. 在ABC 中，由余弦定理，得()222222cos 30203sin 75230203sin 75cos 75AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=+︒-⨯⨯︒︒1500=，∴1015AB =（米），即A ，B 之间的距离为1015米. 故答案为：1015.【点睛】本题考查利用正余弦定理解决实际应用问题，是中档题.18．28【分析】作于延长线交地面于则由求得从而可得然后即得【详解】如图于延长线交地面于则而所以即所以故答案为：28【点睛】本题考查解三角形的应用掌握仰角概念是解题基础测量高度问题常常涉及到直角三角形因此解析：28 【分析】作BN DC ⊥于N ，DC 延长线交地面于M ，则AM BN =，AM DM ⊥，tan DM AM β=，tan DN BN α=，由40DM DN -=求得BN ，从而可得DM ，然后即得DC ． 【详解】如图，BN DC ⊥于N ，DC 延长线交地面于M ，则tan DN BN α=，tan DM AM β=，而BN AM =，所以tan tan BN BN h βα-=，即(tan 60tan 30)40BN ︒-︒=，40203tan 60tan 30BN ==︒-︒，所以tan 60tan 603220333228DC AM CM BN =︒-=︒-=⨯-=． 故答案为：28．【点睛】本题考查解三角形的应用，掌握仰角概念是解题基础．测量高度问题常常涉及到直角三角形，因此掌握直角三角形中的三角函数定义是解题关键，有时还需要用三角函数恒等变换公式．19．【分析】延长交与点过点C 作交与F 点可得由AB 的取值范围是可得设在与中分别运用正弦定理可得关于的方程联立可得答案【详解】解：如图延长交与点过点C 作交与F 点可得由AB 的取值范围是可得设在中由正弦定理可得 解析：24【分析】延长BA ,CD 交与E 点，过点C 作CFAD 交与F 点，可得BF AB BE ＜＜,由AB 的取值范围是(1,2)，可得1,2BF BE ==,设BC x =，在BCE ∆与BCF ∆中，分别运用正弦定理可得关于cos α的方程，联立可得答案. 【详解】解：如图，，延长BA ,CD 交与E 点，过点C 作CF AD 交与F 点，可得BF AB BE ＜＜,由AB 的取值范围是(1,2)，可得1,2BF BE ==, 设BC x =，在BCE ∆中，由正弦定理可得：sin sin BC BEE BCE=∠∠,即：2sin(2)sin x παα=-，可得22cos xα=， 同理，在BCF ∆中，由正弦定理可得：sin sin BC BFBFC BCF=∠∠,即：1sin sin(2)x απα=-，可得2cos 1x α=， 故可得：2124cos α=，可得21cos 8α=，又02＜＜πα，故2cos α=, 故答案为：24. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形，考查学生数学建模的能力与运算能力，属于中档题.20．【分析】由余弦定理可求出角再根据正弦定理即可表示出然后利用消元思想和辅助角公式即可求出的最大值【详解】因为所以而∴∵∴∴其中所以的最大值为当时取得故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中 解析：7【分析】由余弦定理可求出角B ，再根据正弦定理即可表示出2a c +，然后利用消元思想和辅助角公式，即可求出2a c +的最大值． 【详解】因为222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，而0B π<<，∴3B π=．∵2sin sin sin sin 3a b c A B C ====，∴2sin ,2sin a A c C ==．∴222sin 4sin 2sin 4sin 4sin 3a c A C A A A A π⎛⎫+=+=+-=+⎪⎝⎭()A ϕ=+，其中tan ϕ=． 所以2a c +的最大值为2A πϕ=-时取得．故答案为： 【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及利用三角函数求解三角形中的最值问题，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．三、解答题21．答案见解析 【分析】利用边角互化可得24c b ==，选①：利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解；选②：利用向量数量积的定义可得1cos 2A =，从而可得3A π=，再利用三角形的面积公式即可求解；选③：利用诱导公式以及二倍角的余弦公式可得1cos 2A =，从而可得3A π=，再利用三角形的面积公式即可求解.【详解】因为sin 2sin C B =，2b =，所以24c b ==，选①：因为222b c a bc +=+，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 又因为()0,A π∈，所以3A π=.所以ABC的面积11sin 24222S bc A ==⨯⨯⨯=. 选②：若4AB AC ⋅=，故cos 4AB AC A ⋅⋅=，则1cos 2A =，故3A π=， 所以ABC的面积11sin 24222S bc A ==⨯⨯⨯=. 选③：若2sin 22cos 122A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭，则cos2cos 0A A +=，故22cos cos 10A A +-=，解得1cos 2A =（cos 1A =-舍去），故3A π=. 所以ABC的面积11sin 24222S bc A ==⨯⨯⨯=. 22．（113；（2）2；（3）26. 【分析】（1）确定B 锐角，求得cos B ，由余弦定理求得b ，再由正弦定理得sin A ； （2）在ABD △中由余弦定理求得中线AD ，（3）确定A 是锐角，求得cos A ，由二倍角公式求得sin 2,cos 2A A ，然后由两角和的正弦公式求值． 【详解】（1）在ABC 中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得cos 45B =．由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b = 由正弦定理sin sin a b A B =,得sin sin a B A b ==. 所以，bsin A（2）设BC 边的中点为D ，在ABD △中，cos 45B = 由余弦定理得:2AD ===， （3）由（1）及a c <，得cos A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-．故πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 444A A A +=+=．【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，解题时根据已知条件选用正弦定理或余弦定理求解，注意在用平方关系求得角的余弦时，先确定角的范围，然后计算．23．45A =︒【分析】利用余弦定理可求A 的大小. 【详解】由题设可设)2,,1(0)a k b c k k ===>，由余弦定理得，222222644cos 2k k k b c aA bc+-+-===， 而A 为三角形内角，故45A =︒. 24．（1）π4A =；（2）a =AD = 【分析】（1()sin sin sin tan cos C BA C A C -=-，再化简计算即可求出cos A =（2）由余弦定理求得a =，求得cos B =3a BD ==，再由余弦定理即可求出AD . 【详解】解：（1()sin sin sin tan cos C BA C A C -=-， ()()sin sin sin tan cos C A CA C A C -+=-， ∴2sin sin cos cos sin sin sin cos cos AC A C A C C A C A--=-，∵sin 0C ≠，∴2sincos cos AA A+=∴cos 2A =0πA <<，∴π4A =．（2）由余弦定理可得：2222cos 1841210a b c bc A=+-=+-=， ∴a =∵点D 在边BC 上，且2CD DB =，∴33a BD ==， 又222cos 2a c b B ac +-==∴222582cos 9AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=，∴AD = 【点睛】 关键点睛：本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正弦定理化边为角处理条件，再结合三角恒等变换化简运算.25．2+【分析】 利用三角形的面积公式，结合已知面积变形可得1sin sin 4B C =，再利用所选条件结合正弦定理求出另外两边，可得三角形的周长.【详解】 由三角形的面积公式可知，1sin 2S ab C =， 21sin 28sin a ab C A∴=， 整理得4sin sin ,b A C a =由正弦定理得:4sin sin sin sin ,B A C A =因为sin 0A ≠，4sin sin 1,B C ∴=1sin sin 4B C ∴=， 若选择条件（1）由6B π=：得1sin 2B =，则1sin 2C =， 又,,A B C 为三角形的内角，6B C π∴==，2,3A π∴= 由正弦定理得sin sin sin a b c A B C==代入1,b c ==解得a =∴三角形的周长为2若选择条件（2）B C =，则由B C =，得sin sin ,B C = 又1sin sin 4B C =，1sin sin 2B C ∴== 又,,A B C 为三角形的内角，,6B C π∴==23A π∴=. 由正弦定理得:sin sin sin a b c A B C ==，代入1,b c ==解得a =∴三角形的周长为2【点睛】关键点点睛：利用三角形的面积公式和正弦定理求出三角形的另外两边是解题关键. 26．4【分析】根据题意，在ABC 中，因为sin cos 3cos sin A C A C =，由正弦定理及余弦定理可得:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅ 化简并整理得：2222()a c b -=，结合已知条件222a c b -=，联立即可得解.【详解】在ABC 中，因为sin cos 3cos sin A C A C =，由正弦定理及余弦定理可得:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅ 化简并整理得：2222()a c b -=，又由已知222a c b -=，所以24b b =，解得4b =或0b =，由0b ≠，所以4b =.。
数学-解三角形大题解析版
解三角形大题(1)证明：sinsin BD ABDC ACαβ⋅=⋅；(2)若D为靠近B的三等分点，在ABC 中，由余弦定理得：2222b a c =+-a b c h AE +=+≥ ，即(c h +41123h c ∴<+≤1413tan2C ∴<≤，3tan 42C ∴≤222sincos 2tan22sin sin cos 1tan 22C C C C C ==++设tan2C t =，3,14t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1t t +1252,12t t ⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦，即1tan tan 2C +24sin 125C ∴≤<9．在ABC 中，3,AB AC ==(1)若3BC =，求CD 与AD ；因为AD 平分BAC ∠，所以因此32BD CD =，又3BC =，所以在ABC 中，3,AB BC AC ==在ACD 中，由余弦定理可得（2）如下图所示：因为AD 平分BAC ∠，DAC ∠所以60,120B C θθ=︒-=︒-()()sin 120sin 60AB ACθθ=︒-︒-展开并整理得333cos sin 22θ-10．ABC 中，,D E 是边BC (1)若3BC =，求ABC 面积的最大值；则()()0,0,3,0B C ，设(),A x y ，则2222(3)3x y x y -+=⨯+，整理得到：即点A 的轨迹是以3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭圆心，故ABC 的BC 边上的高的最大值为在APC △中，由正弦定理可得故133cos 22α⎛- ⎝因为α为锐角，故故P 存在且sin ABP ∠法二：如图，设∠同理30PCA ∠=︒-而3sin sin CPAPC α=∠在PBC 中，由余弦定理可得：整理得到：4cos =所以24cos 4sin α+整理得到：38tan =但α为锐角，故tan 故P 存在且sin ABP ∠11．在ABC 中，内角（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得cos ∠【答案】（1）5sin 5C =；（2）tan DAC ∠【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得（2）[方法一]：两角和的正弦公式法由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠(sin ADC =∠在（1）的方法二中可得1,2,AE CE AC ==由4cos 5ADC ∠=-，可得4cos ,sin 5ADE ∠=∠在Rt ADE △中，5,sin 3AE AD DE ADE ===∠由（1）知5sin 5C =，所以在Rt CDG △中，11515AG AC CG =-=．［方法4］：坐标法以D 为坐标原点，DC 为设BDC α∠=，则(5cos B 从而2(05cos )AB α=-+cos sin 1cos ADB α∠==-（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理在BCD △，由（1）得，225(22)2522=+-⨯⨯［方法2］：【最优解】利用平面几何知识作BF DC ⊥，垂足为F ，易求，【整体点评】（1）方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角形，属于通性通法；方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法；方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算．方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现．（2）方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法．方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算．19．在锐角△ABC 中，角（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 【答案】（I ）3B π=；（II ）【分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角(1)求cos C及线段BC的长；(2)求ADEV的面积．【答案】(1)1cos4C=，BC(2)3158【分析】（1）利用二倍角正弦公式结合正弦定理推出（2）求出15sin4C=，即可求出【详解】（1）由题意在ABC【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法；方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用25．ABC中，sin2A－sin（1）求A；（2）若BC=3，求ABC【答案】（1）23π；（2）3【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出（2）方法一：利用余弦定理可得到而2b ac =，即sin sin ADB ∠=故有ADB ABC ∠=∠，从而∠由2b ac =，即b c a b =，即CA CB 故AD AB AB AC =，即23b c c b=，又2b ac =，所以23c a =，则2227cos c a b ABC +-==∠由2AD DC =，得,3c DE EC =在BED 中，2(3cos BED =∠在ABC 中2cos 2a BC c A +=∠因为cos cos ABC BED ∠=-∠所以22222()(332223a c a c b a ac ++-=-⋅由（1）知，3BD b AC ===设()(),33B x y x -<<，则2x 由2b ac =知，BA BC AC ⋅=即222(2)(1)x y x y ++⋅-+联立⑤⑥解得74x =-或72x =代入⑥式得36||,2a BC c ==由余弦定理得cos a ABC ∠=则11sin 122ADC S AD DC ADC =⋅∠=⨯ 在ABD △中，2π3ADB ∠=，由余弦定理得35．记ABC 的内角,,A B C (1)求bc ；(2)若cos cos 1cos cos a B b A b a B b A c--=+，求【答案】(1)1(2)34【分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出【详解】（1）因为22a b =+37．如图，在锐角ABC 中，角(1)求ABC 面积的最大值；(2)若AB 边上的点D 满足2AD DB =，求线段【答案】(1)934(2)3+1【分析】（1）利用余弦定理结合基本不等式求出（2）根据2AD DB =得到13CD CA = 求出222222442||1⎛⎫+ ⎪++⎝⎭==+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭b a b ab a CD a b ab b a 角形，得到311,32⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭b m t a ，从而利用基本不等式，求出线段【详解】（1）由余弦定理得：cos 60︒所以222212992+-⋅=⇒=+a b ab a b ∴9ab ≤，当且仅当3a b ==时取“=”∴1393sin 244==≤△ABC S ab C ab ，∴ABC 面积的最大值为934.（2）由2AD DB =，可得：23AD AB =(1)求角A ；(2)若D 为线段BC 延长线上一点，且∠【答案】(1)3A π=(2)963--【分析】(1)运用正弦定理以及诱导公式求解；(2)根据条件运用正弦定理求解.【详解】（1）由条件及正弦定理可得：()sin sin cos sin cos sin cos B C A A B A C +--即sin cos cos sin sin cos cos B A B A C A -+-故()()sin sin 0B A C A -+-=，则有sin 又()(),,,B A C A ππππ-∈--∈-，故有。
高中数学 三角函数——解直角三角形
高中数学 三角函数——解直角三角形一、单选题1．在 ΔABC 中， ∠A =60∘,AB =2 且 ΔABC 的面积为 √32，则 AC 的长为（ ）A ．√32B ．1C ．√3D ．22．已知灯塔A 在海洋观察站C 的北偏东50°的方向上，灯塔B 在海洋观察站C 的南偏东70°的方向上，A ，C 两点间的距离为5海里，A ，B 两点间的距离为7海里，则B ，C 两点间的距离为（ ）海里． A ．3B ．4C ．6D ．83．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2−b 2=√3bc ，sinC =2√3sinB ，则A=（ ）. A ．30∘B ．60∘C ．120∘D ．150∘4．在 △ABC 中， a =3 ， b =2 ， A =60° ，那么 sinB 的值为（ ）A ．√33B ．−√23C ．√23D ．−√335．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于2km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东25°，灯塔B在观测站C 的南偏东35°，则灯塔A 与之间B 的距离为（ ） A ．2kmB ．2√2kmC ．2√3kmD ．4km6．在直四棱柱 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，底面 ABCD 是边长为1的正方形， AA 1=2 ， M 、 N分别是 A 1B 1 、 A 1D 1 中点，则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为（ ） A ．1517B ．1617C ．513D ．12137．在△ABC 中，若∠A =600，∠B =450，BC =3√2， ， 则AC= （ ）A ．4√3B ．2√3C ．√3D ．√328．在△ABC 中，△A=120°，AB →•AC →=﹣2，则|BC →|的最小值是 （ ）A ．2B ．4C ．2√3D ．129．△ ABC 中，“△ ABC 是钝角三角形”是“ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |<|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ | ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．如图， E 、 F 分别是三棱锥 P −ABC 的棱 AP 、 BC 的中点， PC =10 ， AB =6 ，EF =7 ，则异面直线 AB 与 PC 所成的角为（ ）A ．30°B ．60°C ．0°D ．120°11．在 △ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 (a 2−b 2+c 2)tanB =√3a ，则角 B 的值为（ ）A ．π6B ．π3C ．π6 或 5π6D ．π3 或 2π312．在 ΔABC 中， a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边，若 A =2π3,a =2√10 ，且 ΔABC 的面积 S =a 2+b 2−c 212，则 c = （ ） A ．2√3 B ．4√3C ．2√33D ．4√3313．ΔABC 中， ∠ABC =60∘ ， AB =4 ，若满足条件的 ΔABC 有两个，则边 AC 的取值范围为（ ） A ．[2√3,4)B ．[2,4)C ．(2√3,4)D ．(2,4)14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最大面的面积为（ ）A ．2√2B ．4√2C ．4D ．2√515．已知 F 1,F 2 是椭圆 C 1 和双曲线 C 2 的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且 ∠F 1PF 2=2π3，若椭圆 C 1 离心率记为 e 1 ，双曲线 C 2 离心率记为 e 2 ，则 27e 12+e 22的最小值为（ ） A ．25B ．100C ．9D ．3616．若 O 是 △ABC 垂心， ∠A =π6且 sinBcosCAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +sinCcosBAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2msinBsinCAO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 m = （ ）A ．12B ．√32C ．√33D ．√3617．在 △ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且 AD →=13AB →+12AC → ，则 S△BCD S △ACD = （ ）A ．16B ．12C ．13D ．23二、填空题18．在四边形 ABCD 中， AB =1 ， BC =√2 ， ∠ABC =3π4， ∠ADC =π4 ， AB ⊥AD ， CB ⊥CD ，则对角线 BD 的长为 ．19．已知 ΔABC 中， a ， b ， c 分别为角 A ， B ， C 的对边且 a =2 ， b =2√3 ， A =30ο ，则 B = .20．在 △ABC 中，若 C =60° ， AC =√6 ， AB =3 ，则角 A = .21．在 △ABC 中，三个内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ，若 a =2 ， b =3 ，c =4 ，则 cosA = .22．在△ABC 中，已知AC ＝2，BC ＝3，B ＝ π6，那么sinA ＝ ．23．一艘海轮从A 地出发，沿固定航道匀速行驶，先沿北偏东75°方向航行√6小时后到达海岛B ，然后从海岛B 出发沿北偏东15°方向航行一段时间到达海岛C ，之后从海岛C 出发沿南偏西60°方向航行回到A 地，则从海岛C 回到A 地所需时间是 小时．24．在 △ABC 中， sinA:sinB:sinC =2:5:6 ，则 cosC 的值为 .25．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sinC ＝2sinA ，b 2﹣a 2=12ac ，则sinB 等于 ．26．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A=75°，B=45°，c=3 √2 ，则b= ．27．在△ABC 中，已知a=3，b=4，sinB= 23 ，则sinA= ．28．四边形 ABCD 中， ∠A =5π6 ， ∠B =∠C =5π12， ∠D =π3 ， BC =2 ，则 AC 的最小值是 .29．在 ΔABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， ΔABC 的面积为 S ，若bcosA +acosB =2√3b ，且 a 2sinA =b 2sinA +2√3S ，则 A = ．30．在 △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足 a 2−(b −c)2=S ，b ＋c ＝2，则S 的最大值是31．在 ΔABC 中， A =3π4,AB =6,AC =3√2 ，点 D 在 BC 边上， AD =BD ，则 AD = ．32．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =π6，a=2，△O 为△ABC 的外接圆，OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =mOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +nOC ⃗⃗⃗⃗⃗ . （1）若m=n=1，则|OP⃗⃗⃗⃗⃗ |= . （2）若m ，n ∈[0，1]，则点P 的轨迹所对应图形的面积为 .33．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =2，6cosB =b(1−3cosA)，则△ABC 的面积的最大值为 .34．平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足|a |=|a −b ⃗ |=|c |=1，b 2⃗⃗⃗⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗ +√22|b ⃗ −c ⃗ |=b ⃗ ⋅(a ⃗ +c ⃗ )，a ⃗⃗ ⋅b ⃗⃗+|b ⃗⃗|b ⃗⃗ ⋅c⃗ =|a⃗ +1|b ⃗⃗ |b ⃗ |，则(b ⃗ −c ⃗ )2= ． 三、解答题35．平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 {x =√3+2cosαy =1+2sinα ( α 为参数），在以坐标原点 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点 P 在射线 l ：θ=π3 上，且点 P 到极点 O的距离为 4 .（1）求曲线 C 的普通方程与点 P 的直角坐标； （2）求 △OCP 的面积.36．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知c =2b ，a =3，D 是边BC 上一点.（1）求bcosC +2bcosB 的值；（2）若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ①求证：AD 平分∠BAC ；②求△ABC 面积的最大值及此时AD 的长.37．如图，在 △ABC 中， ∠ABC =π2 ， ∠ACB =π3， BC =2 ，P 是 △ABC 内一点，且∠BPC=π2.（1）若∠ABP=π6，求线段AP的长度；（2）若∠APB=2π3，设∠PBA=α，求sinα.38．如图，某游乐园的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，其两个出入口设置在点B及点C处，且园内有一条平行于AO的小路CD.已知某人从C沿CD走到D用了8分钟，从D沿DB走到B用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米.（1）求△CDB的面积；（2）求该扇形的半径OA的长.39．在△ABC中，AC>AB，cosA=3132，AB=8.（1）若S△ABC=15√74，求BC；（2）若 cos(B −C)=18 ，求 S ΔABC .40．在四边形 ABCD 中， ∠BAD =2π3，∠BCD =π3，cosD =−17，AD =DC =2 .（1）求 cos∠DAC 及 AC 的长； （2）求 BC 的长．41．已知 △ABC 三边 a ， b ， c ， c 2+b 2−a 2=√3bc ， acosB =bsinA .证明：三角形的三个角满足， A 3+B 3+C 3≥11π336.42．如图，银川市拟在长为 8km 的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数 y =Asinωx(A >0,ω>0)x ∈[0,4] 的图象，且图象的最高点为S(3,2√3) ；赛道的后一部分为折线段 MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定 ∠MNP =120° .（1）求 A 、ω 的值和 M 、P 两点间的距离； （2）应如何设计，才能使折线段赛道最长？43．已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且a△b△c ＝7△5△3.（1）求cos A 的值；（2）若△ABC 的面积为45 √3 ，求△ABC 外接圆半径R 的大小．44．如图，直三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 中， CC 1=4 ， AB =2 ， AC =2√2 ， ∠BAC =450 ，点M 是棱 AA 1 上不同于 A,A 1 的动点.（1）证明：BC⊥B1M；（2）若M是AA1的中点，求四面体MB1BC的体积.45．在锐角ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a=√7，b=3，√7sinB+ sinA=2√3．（1）求角A的大小；（2）求ΔABC的面积．46．在ΔABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cosA+2a=2cosB−cosCc.（△）求角A的大小；（△）若AD，AE分别为BC边上的高和中线，a=4√3，b+c=2√14，求|AD⇀||AE⇀|的值.47．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量π⃗=（a，√3b）与n⃗=（cosA，sinB）平行．（△）求A；（△）若a= √7，b=2，求△ABC的面积．48．在①a=5，②cosC=17这两个条件中任选一个，补充到下面的横线中，并求解．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且√3acosB=bsinA，b=7，若____．（注：只需选一个作答，如果选择两个条件分别解答，按第一个解答给分）求：（1）c的值；（2）△ABC的面积．49．如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，AB=AC=1，∠BAC=π2，高等于3，点M1，M2，N1，N2为所在线段的三等分点．（1）求此三棱柱的体积和三棱锥A1−AM1N2的体积；（2）求异面直线A1N2，AM1所成的角的大小．50．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=1.（1）求a的值；（2）若1≤c≤b≤√3，求A的最小值.答案解析部分1．【答案】B【知识点】三角形中的几何计算【解析】【解答】∵∠A=60∘,AB=2且ΔABC的面积为√32. ∴SΔABC=12AB·AC·sin∠A=12×2×AC×sin60∘=√32AC=√32.∴AC=1故答案为：B【分析】由三角形面积公式S=12bcsinA求解即可.2．【答案】D【知识点】余弦定理的应用【解析】【解答】由题意得∠ACB=180°−50°−70°=60°，AC=5，AB=7，由余弦定理得cos∠ACB=AC 2+BC2−AB2 2AC⋅BC，所以12=25+BC2−4910BC，解得BC=8或BC=−3（舍去）。
高中数学解三角形
高中数学解三角形一．选择题（共8小题） 1．在A B C ∆中，已知2A C=，4B C=，1c o s 4C=，则A B C ∆的面积为()A ．4B ．1CD ．2．A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22212a b c++=，23Aπ=，则A B C∆面积的最大值为( )A 5B 5C 5D 3．已知a ，b ，c 分别为A B C ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且c o s c o s a C b A b+=，则A B C∆是()A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形4．在A B C ∆中，已知60B=︒，A C=，1A B=，则(B C=)A ．1B C ．2D ．45．在A B C ∆中，2sin sin sin A B C=，若3Aπ∠=，则B ∠的大小是( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π6．在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2c o s 2o sa Cbc A+=，c=，则(A∠= )A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π7．在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3sin c a C=，4Bπ=，A B C∆外接圆的半径为6，则(c=)A ．6+B ．6+C ．8+D ．8+8．在A B C ∆中，2a=，3b=，c o s 4B=(A∠= )A ．6πB ．3πC ．56πD ．6π或56π二．解答题（共10小题）9．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222s in s in s in b c aB Ab cC+--=．（1）求角C 的值； （2）若边2c =，求A B C ∆面积的最大值．10．已知A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且s in ()33c A π=+．（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若4a c +=，求A B C ∆周长的取值范围．11．在锐角A B C∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且222c o s c o s sin sin C A A B B-=-．（1）求C 的大小； （2）若1c =，求22ba-的取值范围．12．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c o s 2a C b c=-．（1）求角A 的大小；（2）若A B C ∆45a=，求A B C ∆的周长．13．在A B C∆中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若222s i ns i n(s i n s i ns i n)2A B C A BC =+-． （1）求C ；（2）若c =，求A B C ∆周长的取值范围．14．已知A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A B C ∆4（1）求C ∠； （2）若2Aπ∠=，C ∠的角平分线C E 与边A B 相交于点E ，延长C E 至点D ，使得C ED E=，求c o s A D B ∠．15．已知A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别a ，b ，c ，且s in s in2B C a C +=．（1）求角A 的大小； （2）若点D 在边B C 上，且33C D B D ==，6B A Dπ∠=，求A B C ∆的面积．16．在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c s in c o s A a B a=+．（1）求角B 的值；（2）若8c =，A B C ∆的面积为2，求B C 边上中线A D 的长．17．在锐角A B C ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c o s ()32a cb C π+-=．（1）求角B 的大小；（2）若b =A B C ∆的周长的取值范围．18．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222s in 2abcAb c+-=．（1）求C ；（2）若sinA B=，2c=，求A B C ∆的面积．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题） 1．在A B C ∆中，已知2A C=，4B C=，1c o s 4C=，则A B C ∆的面积为()A 4B ．1CD ．【分析】先由同角三角函数的关系式求得s in C 的值，再利用1s in 2S A C B C C=⋅，得解．【解答】解：因为1c o s 4C =，(0,)Cπ∈，所以s in 4C==，所以A B C ∆的面积11s in 24224S A C B C C =⋅=⨯⨯⨯=故选：C ．【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦面积公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．2．A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22212a b c++=，23Aπ=，则A B C∆面积的最大值为( )A 5B 5C 5D 【分析】由已知利用余弦定理，基本不等式可求b c 的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：因为22212a b c++=，23Aπ=，所以由余弦定理可得222222co s a b c b c A b c b c=+-=++，所以222212b cb c b c --=++， 整理可得221222b cb cb c-+=…，可得125b c …，当且仅当bc=时等号成立，则A B C ∆面积1112s in 22525A B C S b c A ∆=⨯⨯=…当且仅当b c=时等号成立，即A B C ∆面5．故选：B ．【点评】本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．3．已知a ，b ，c 分别为A B C ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且c o s c o s a Cb A b+=，则A B C∆是()A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【分析】由已知结合正弦定理及和差角，诱导公式进行化简即可求解． 【解答】解：由c o s c o s a C b A b+=及正弦定理得，sin co s sin co s sin sin ()sin co s sin co s A C B A B A C A C C A+==+=+，所以s in c o s s in c o s B A C A =， 所以s in s in B C=或c o sA =，所以BC=或90A=︒，故A B C ∆是等腰三角形或直角三角形． 故选：D ．【点评】本题主要考查了正弦定理，和差角公式及诱导公式在三角形判断中的应用，属于基础题．4．在A B C ∆中，已知60B=︒，A C=，1A B=，则(B C=)A ．1B C ．2D ．4【分析】根据余弦定理和题设中的条件即可求解B C 的值．【解答】解：因为60B =︒，A C=，1A B=，所以由余弦定理2222co s A C A B B CA B B C B=+-⋅⋅，可得：22121c o s 60B CB C =+-⨯⨯⨯︒，整理可得220B C B C --=，解得2B C =或1-（舍去）．故选：C ．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用．属基础题． 5．在A B C ∆中，2sin sin sin A B C=，若3Aπ∠=，则B ∠的大小是( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π【分析】利用三角形的内角和定理及诱导公式得到co s co s()A B C =-+，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，把A的度数代入已知等式求出s in s in B C的值，代入计算求出c o s c o s B C的值，再利用两角和与差的余弦函数公式求出co s()B C -的值，进而得到B C∠=∠，即可求出B ∠的度数．【解答】解：在A B C ∆中，2s in s in s in 3A B C A π=∠=，231c o s c o s ()c o s c o s s in s in c o s c o s s in c o s c o s 42A B C B C B C B C A B C ∴=-+=-+=-+=-+=，1c o s c o s 4B C ∴=， 3s in s in 4B C =，co s()co s co s sin sin 1B C B C B C ∴-=+=，即0B C ∠-∠=，3B C π∴∠=∠=，故选：C ．【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．6．在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2c o s 2o sa Cbc A+=，c=，则(A∠= )A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π【分析】利用正弦定理边化角，结合和差公式与同角三角函数的基本关系式化简计算题中的等式，得到1s in 2A =±，由此能求出结果．【解答】解：3c a =，∴由正弦定理得sin CA=，22sin 3sinC A∴=，222co s 1sin 13sin CC A∴=-=-，由2c o s 2c o s a Cb c A+=，得2s inc o s s in 2s in c o s A C B C A+=，2s in A co s sin ()2sin co s C A C C A++=，3s in c o s s in c o s A C C A=，22229sin(13sin)3sin (1sin)A A A A -=-，由s inA ≠，得1s in 2A =±，0A π<<，6A π∴=．故选：A ．【点评】本题考查角的求法，考查正弦定理、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7．在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3sin c a C=，4Bπ=，A B C∆外接圆的半径为6，则(c=)A．6+B．6+C．8+D．8+【分析】直接利用正弦定理和三角函数的关系式的变换求出结果． 【解答】解：由于3s in ca C=，利用正弦定理：s in 3s in s in C A C=，故1s in3A =，由于，A B C ∆外接圆的半径为6， 所以2s in 4aR A ==，2sin b R B ==由于ba>，A 为锐角，所以c o s 3A =，144s in s in ()32326CA B +=+=⨯+=；故42s in 1286cR C +==⨯=+故选：D ．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 8．在A B C ∆中，2a=，3b=，c o s 4B=，则(A∠= )A ．6πB ．3πC ．56πD ．6π或56π【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求s in B的值，利用正弦定理可求s in A的值，结合大边对大角可求A 为锐角，进而可求A 的值． 【解答】解：因为2a =，3b=，c o s 4B=所以3s in4B ==，因为由正弦定理可得s in s in a b AB=，所以32s in 14s in 32a BA b⨯⋅===，又ba>，可得A 为锐角，所以6Aπ=．故选：A ．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，大边对大角在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 二．解答题（共10小题）9．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222s in s in s in bcaB Ab cC+--=．（1）求角C 的值； （2）若边2c=，求A B C ∆面积的最大值．【分析】（1）由已知结合余弦定理可求c o s C ，进而可求C ；（2）由余弦定理及基本不等式可求a b 的范围，然后结合三角形面积公式可求． 【解答】解：（1）由条件和正弦定理可得2222bcab ab +-=-，整理得222b aca b+-=从而由余弦定理得1c o s 2C =．又C 是三角形的内角，∴3C π=．（2）由余弦定理得222222co s c ab a b C ab a b=+-=+-，2c =，2242aba b a b a b a b∴=+--=…，当且仅当2ab ==时取等号，4a b ∴…，故1s in 24A B CS a b C b ∆==…【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式及基本不等式在求解三角形中的应用，属于中档题．10．已知A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且s in ()33c A π=+．（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若4ac +=，求A B C ∆周长的取值范围．【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理，结合三角函数恒等变换即可求解结论， （Ⅱ）结合余弦定理求得b 的范围，进而求解结论．【解答】解：（Ⅰ）A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，s in ()33c A π=+，由正弦定理可得：s in in s in ()33CB A π=+，1s in ()in (s in o s )322A B B A A ∴+=⨯+，可得：s in c o s c o s s in in s in s in c o s 3A B A B A B B A+=+，故有：s in c o s in s in 3A B A B=，有s in 0A >可得：ta nB =，故3Bπ=，（Ⅱ）2222222()2c o s ()3()3()424a c a c baca c B a c a c a c ++=+-=+-+-⨯==…，当且仅当2a c ==时等号成立， 可得2b …，A B C∴∆周长的取值范围是：(4，6]．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题． 11．在锐角A B C∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且222c o s c o s sin sin C A A B B-=-．（1）求C 的大小； （2）若1c=，求22ba-的取值范围．【分析】（1）由已知结合同角平方关系及正弦定理进行化简，然后结合余弦定理可求c o s C ，进而可求C ；（2）由正弦定理表示a ，b ，代入到所求式子后，结合和差角公式，二倍角公式及辅助角公式进行化简，再由正弦函数性质可求．【解答】解：（1）因为222c o s c o s sin sinC A A B B-=-，所以2221sin 1sinsin sinCA AB B--+=-，由正弦定理得，222a bcb+-=，故222c o s 22abcCa b+-==，由C 为三角形内角得6C π=；（2）由正弦定理得22s in cRC==，因为025062A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，所以32A ππ<<，所以572666A πππ<+<，所以11s in (2)262A π-<+<， 所以2s in a A=，2s in bB=，所以1c4(22BAba B A A B A A A A A ππ---=-=-=-=--=+=+∈-，1)．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式，二倍角公式，辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．12．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c o s 2a C b c=-．（1）求角A 的大小； （2）若A B C ∆45a=，求A B C ∆的周长．【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得c o sA的值，结合范围0A π<<，可求A 的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求25b c=，根据余弦定理可求bc+的值，即可得解A B C∆的周长．【解答】解：（1）因为2c o s 2a C b c=-，则由正弦定理得2sin co s 2sin ()sin A C A C C=+-，即2s in c o s s in 0CA C -=，因为s in 0C ≠， 所以1c o s 2A =， 因为0A π<<，则3Aπ=．（2）因为1s in 24A B C S b c A ∆==，所以25b c=，因为22222251c o s 22252bc a bcA b c+-+-===⨯，所以2250b c +=，所以222()2100bc b c b c +=++=，即10b c +=．所以A B C ∆的周长为15ab c ++=．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 13．在A B C∆中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若222s i ns i n(s i n s i ns i n)2A B C A BC =+-． （1）求C ；（2）若c=，求A B C ∆周长的取值范围．【分析】（1）由已知及正弦定理角化边，再利用余弦定求出ta n C ，结合已知条件求出角C 的范围，进而求出C ； （2）由c，C的值，利用余弦定理可，得2222232c o s ()3()3()2a baba b C a b a b a b +=+-=+-+-⨯…，ab +…，再结合三角形三边关系可求得三角形周长的取值范围．【解答】解：由222s i n s i n(s i n s i n s i n )2A B C A BC =+-及正弦定理，得222s in ()2a b C abc =+-，又2222c o s a b ca b C+-=，sin c o s a b C b C∴=，ta n C ∴=0C π<<，3C π∴=；（2）由余弦定理，可得22232c o s ()3ab a b C a b a b=+-=+-22()3()2a b a b ++-⨯…，当且仅当ab=时取等号，a b ∴+…ab c +>=a b c ∴++…A B C∴∆周长的取值范围(．【点评】本题考查正余弦定理，以及基本不等式的应用，考查了方程思想和转化思想，属中档题．14．已知A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A B C ∆4（1）求C ∠； （2）若2Aπ∠=，C ∠的角平分线C E 与边A B 相交于点E ，延长C E 至点D ，使得C ED E=，求c o s A D B ∠．【分析】（1）由已知结合余弦定理及三角形面积公式进行化简可求ta n C ，进而可求C ； （2）由已知结合直角三角形勾股定理及角平分线性质可表示三角形各边，然后结合余弦定理即可求解．【解答】解：（1）因为A B C ∆的面积为222)4ab c +-，所以1s in 2c o s 24a b C a b C=，故sin o s CC=，即ta n C=，由C 为三角形内角得，60C =︒；（2）设A Ca=，则2B Ca=，A B =，因为C E 为C ∠的角平分线， 由角平分线性质得，12A E A C E BB C==，所以3A E=，3B E=，3C E =，因为60A E C ∠=︒，A E D ∆中，120A E D∠=︒，3A E =，3D E =， 由余弦定理得，22222214172c o s 1202333323A DA ED EA E D E aaa=+-⋅︒=++⨯⋅⨯=，故3A Da=，B D E∆中，3E DB E ==，60B E D∠=︒，所以3B D =，又A B=，在A B D ∆中，由余弦定理可得，222222743c o s 21433aa a A DD BA BA D BA D D B+-+-∠===⋅．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，角平分线性质，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．15．已知A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别a ，b ，c，且s in s in2B C a C +=．（1）求角A 的大小； （2）若点D 在边B C 上，且33C DB D ==，6B A Dπ∠=，求A B C ∆的面积．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等方式可得s in22A =，结合2A 的范围可求2A 的值，进而可求得A 的值；（2）由题意可求2C AD π∠=，在A C D ∆中，可得3s in A DC=，在A B D ∆中，由正弦定理可得32bc=，进而在A B C ∆中，由余弦定理即可解得b ，c 的值，从而根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：（1）因为s in s in2B C a C +=， 所以由正弦定理可得sin in 3si n s i2B CA C C +=，即sin insi n s i n 3sinc o s22AAA C C C π-==，因为s in 0C ≠，所以s ino s2A A =，可得2s inc o so s222A A A =，因为(0,)A π∈，(0,)22A π∈，所以2s in 2A =s in22A =所以23A π=，可得23Aπ=；（2）因为点D在边B C上，且33C D B D ==，6B A D π∠=，可得2C AD π∠=，4B C B D C D =+=，所以在A C D ∆中，s in A D CC D=，可得3s in A DC=，在A B D ∆中，由正弦定理s in s in A D B DBB A D=∠，可得3s in 121s in 2C B==，由正弦定理可得32bc=，在A B C ∆中，由余弦定理2222co s a b c b c A=+-，可得2223314()2()222c cc c =+-⨯⨯⨯-，整理可得19c=，19b=，所以A B C ∆的面积11s in 221919219Sb c A ==⨯=．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 16．在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，cs in c o s A a B a=+．（1）求角B 的值； （2）若8c=，A B C ∆的面积为2，求B C 边上中线A D 的长．【分析】（1）由已知结合正弦定理及辅助角同时即可求解B ； （2）由三角形面积公式先求出a ，然后结合余弦定理可求． 【解答】解（1sin sin c o s sin B A A B A=+，(0,)A π∈，∴c o s 1B B =+，则1s in ()62B π-=，(0,)B π∈，∴3B π=，（2）1s in 22S a c B ==8c=，10a ∴=，由余弦定理2221()22a A D ca c=+-得249A D =，7A D ∴=．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，辅助角公式及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于基础题．17．在锐角A B C ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c o s ()32a cb C π+-=．（1）求角B 的大小；（2）若b=A B C ∆的周长的取值范围．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式，辅助角公式进行化简，可求；（2）由正弦定理先表示各边，然后结合和差角及辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质可求． 【解答】解：（1）c o s ()32a cb C π+-=，∴由正弦定理得：2s inc o s ()s in s in 3B C A Cπ-=+，又(0,)2Cπ∈，s in 0C ∴≠，∴12s in (c o s in )s in ()s in 22B C C B C C+=++，c o s 1B B -=，∴1s in ()62B π-=．A B C∆为锐角三角形，∴(,)663B πππ-∈-，∴66B ππ-=即3Bπ=．（2）3b B π==，由正弦定理有：4s in s in s in ac b ACB===，∴4sin ,4sin ,4sin 4sin a A c C a b c A C ==++=++．3B π=，∴23C Aπ=-，∴214s in 4s in ()4s in 4o s s in )6s in o s in ()3226a b c A A A A A A A A ππ++=+-++++++++A B C∆为锐角三角形，∴2(0,),(0,)232A C A πππ∈=-∈，∴(,)62A ππ∈，∴2(,),s in ()63362A A ππππ+∈+∈，∴in ()(66A π+++，即A B C ∆的周长的取值范围是(6+．【点评】本题主要考查了正弦定理，和差角公式，辅助角公式及正弦函数的性质在求解三角形中的应用，属于中档题．18．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222s in 2abcAb c+-=．（1）求C ；（2）若sinA B=，2c=，求A B C ∆的面积．【分析】（1）由三角形的余弦定理和正弦定理，结合同角的商数关系，可得所求值；（2）由三角形的正弦定理和余弦定理，推得2b c a==，可得A B C ∆为直角三角形，可得所求面积．【解答】解：（1）因为222s in 2abcAb c+-=，所以2c o s 2s in a b Cb c A=，所以c o s s in a Cc A=，由正弦定理得s in c o s s in s in A C C A=．因为0A π<<，所以s inA ≠，所以s in ta n 1c o s C CC==．因为0C π<<，所以4Cπ=．（2）因为sinA B=，所以由正弦定理得a=．由余弦定理知2222222c o s )2c o s4c aba b C bb bπ=+-=+-⨯⨯=，所以2bc ==，222b c a+=，所以A B C ∆为直角三角形，所以12222A B CS ∆=⨯⨯=．【点评】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。
数学-2023年解三角形高频题型精选
解三角形高频题型精选1．(2023·全国·高一专题练习)△ABC 的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，则下列说法不正确的是( )A ．若A >B ，则sin A >sin BB ．若A =30∘,b =4,a =3，则△ABC 有两解C ．若△ABC 为钝角三角形，则a 2+b 2>c 2D ．若三角形ABC 为斜三角形，则tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C2．(2019春·安徽芜湖·高一芜湖一中校考期中)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a =2,b =3,B =π3，那么A =( )A ．3π4B ．π4C ．3π4或π4D ．π33．(2020秋·陕西西安·高二西安建筑科技大学附属中学校联考期中)在△ABC 中，若∠A =60°，b =1，S △ABC =3，则a +b +c sin A +sin B +sin C的值为( )A ．2633B ．2393C ．393D ．13334．(2021春·河北·高三统考学业考试)在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若a =1，c =17，sin A =1717，则cos B =( )A ．178B ．14C ．34D ．17175．(2023·江西赣州·统考一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，C =2A +B ，则b a =( )A ．75B ．32C ．53D ．746．(2020秋·广东清远·高二校考期中)已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若3b cos C =c (1-3cos B )，则sin C ∶sin A =( )A ．3∶1B ．3∶2C ．1∶3D ．4∶37．(2023·河南郑州·统考一模)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知角C =π4，b sin π4+A -a sin π4+B =c ，则角B =( )A ．π8B ．π6C ．5π8D ．π38．(2023·河北·高三学业考试)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若a 2-b 2=3bc ，sin C =23sin B ，则A 等于( )A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．π69．(2023春·江西赣州·高三统考阶段练习)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a =1，且b cos A -cos B =1，则3sin B +2sin 2A 的取值范围是( )A ．0,3+1B ．2,3+1C ．1,3D ．2,3 10．(2022秋·江西吉安·高二江西省吉水县第二中学校考开学考试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c =2a cos B ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形11．(2023秋·浙江宁波·高三期末)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，已知b sin (B +C )=a sinA +C 2，且△ABC 的面积为23，则△ABC 周长的最小值为( )A ．22B ．23C ．62D ．6+2312．(2023·陕西榆林·统考一模)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若a sin A +b +λa sin B =c sin C ，则λ的取值范围为( )A ．-2,2B ．0,2C ．-2,2D ．0,213．(2022·北京·统考模拟预测)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且3a cos B =b sin A ，则B =( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π214．(2023秋·陕西西安·高二统考期末)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若a =4,b =43,A =30°，则B =( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°15．(2023·全国·高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ,△AOC ,△AOB 的面积分别为S A ,S B ,S C ，则有S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0 ．设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ,∠ABC ,∠ACB 分别是△ABC 的三个内角，以下命题不正确的有( )A ．若OA +OB +OC =0 ，则O 为△ABC 的重心B ．若OA +2OB +3OC =0 ，则S A :S B :S C =1:2:3C ．若OA =OB =2,∠AOB =5π6，2OA +3OB +4OC =0 ，则S △ABC =92D ．若O 为△ABC 的垂心，则tan ∠BAC ⋅OA +tan ∠ABC ⋅OB +tan ∠ACB ⋅OC =016．(2023·全国·高一专题练习)不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a =5，b =4，A =120°；(2)a =9，b =10，A =60°；(3)b =72，c =50，C =135°．17．(山西省部分学校2023届高三下学期质量检测试题)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c 1+cos B =3b sin C ．(1)求角B 的大小；(2)若b =2，a +c =4，求△ABC 的面积．18．(河北省石家庄市2023届高三质量检测(一)数学试题)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边长分别为a ,b ,c ，设a +bc -b =sin C +sin B sin A (1)求C ；(2)若3+1 a +2b =6c ，求sin A ．19．(2023·湖南·模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b sin A =a cos B -π6 ．(1)求角B 的大小；(2)若b =13．且a +c =5，求△ABC 的面积．20．(2023·福建福州·统考二模)记ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b 2-a 2=2c 2．(1)求tan B tan A的值：(2)求C 的最大值．21．(2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且sin A =3a 2+c 2-b 2 2bc .(1)求B 的大小；(2)若△ABC 为钝角三角形，且b =3，求△ABC 的周长的取值范围.22．(2023·湖北·统考模拟预测)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b cos C =2a +c ．(1)求B ；(2)设b =9，若点M 是边AC 上一点，2AM =MC ，且∠MAB =∠MB A ，求△BMC 的面积．23．(2023春·四川资阳·高三四川省乐至中学校考开学考试)在△ABC 中，内角A 、B 、C 满足sin 2A =sin 2B +sin 2C -2sin B sin C .(1)求A ；(2)若AB 边上的高等于13AB ，求cos C .24．(2023春·浙江温州·高三统考开学考试)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C +3b sin C a +c=1．(1)求B ；(2)若a +c =43，△ABC 内切圆的面积为π，求△ABC 的面积．25．(2023·全国·高三专题练习)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =3，a <c ，且sin π3-Acos π6+A =14．(1)求A 的大小；(2)若a sin A +c sin C =43sin B ，求△ABC 的面积．26．(2023·山东临沂·统考一模)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知a cos B +b cos A =2c cos C ．(1)求C ；(2)若c =1，求△ABC 面积的取值范围．27．(2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin C -sin B =tan A cos B ．(1)求A ；(2)若a =2，求2c -b 的取值范围．28．(2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a sin C =ctan A ．(1)求角A 的大小；(2)若a =2，D 为BC 的中点，求线段AD 长度的最大值．29．(2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习)在锐角△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，满足c 2=b b +a .(1)求证：C =2B ；(2)求1tan B -1tan C+3sin C 的取值范围.30．(2021春·四川成都·高一四川省成都市盐道街中学校考阶段练习)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =2sin B ，tan A +tan C =2sin B cos A.(1)求角C 和边c 的大小.(2)求△ABC 周长的范围.31．(2023秋·浙江绍兴·高三期末)记锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 外接圆的半径为R ，已知a cos B -b cos A =R ．(1)若B =π4，求A 的值；(2)求R -c b 的取值范围．32．(2023春·湖北·高三统考阶段练习)已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且m =a ,2b -c ，n =cos A ,cos C ，且m ⎳n．(1)求角A 的大小;(2)求b c的取值范围．33．(2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习)已知△ABC 内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，面积为23，且3b 2+c 2-a 2 =2ac sin B ，求：(1)求角A 的大小；(2)求BC 边中线AD 长的最小值.34．(2020春·陕西西安·高二交大附中分校校考阶段练习)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且满足ctan C =3a cos B +b cos A .(1)求角C 的大小.(2)若c =43，求△ABC 面积的最大值.35．(2022秋·云南昆明·高二昆明市第三中学校考阶段练习)在△ABC中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c，且2c-a=2b cos A.(1)求角B的大小；(2)若b=2，求△ABC周长l的取值范围.36．(2023·全国·校联考一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c2+ ac=b2.(1)证明：B=2C；(2)求a+bc的取值范围.37．(2019春·安徽芜湖·高一芜湖一中校考期中)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b tan A，且B为钝角．(1)证明：B-A=π2；(2)求sin A+sin C的取值范围．38．(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=cos2(ωx)+3sin(ωx)cos(ωx)-12，其中ω>0，且函数f(x)的两个相邻零点间的距离为π2，(1)求ω的值及函数f(x)的对称轴方程；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f(A)=-1,a=3，求△ABC 周长的取值范围．39．(2023秋·陕西汉中·高二统考期末)在①a sin C-sin Asin C+sin B=c-b；②sin2A+sin2C-sin2B=sin A sin C；③2a-cb=cos Ccos B.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，__________.(1)求B；(2)若b=4，求△ABC的周长的取值范围.40．(2023·辽宁沈阳·统考一模)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知sin A+3cos A=0．(1)求角A的大小；(2)给出以下三个条件：①a=43，b=4；②b2-a2+c2+10b=0；③S△ABC= 153．若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：(i)求sin B的值；(ii)∠BAC的角平分线交BC于点D，求AD的长．参考答案：1．C【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角恒等变换的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A 选项，若A >B ，则a >b ，由正弦定理可得2R sin A >2R sin B ，所以，sin A >sin B ，故A 选项正确；对于B 选项，b sin A =4sin30∘=2，则b sin A <a <b ，如图：所以△ABC 有两解，B 选项正确；对于C 选项，若△ABC 为钝角三角形且C 为钝角，则cos C =a 2+b 2-c 22ab<0，可得a 2+b 2<c 2，C 选项错误；对于D ，因为tan (B +C )=tan B +tan C 1-tan B tan C，所以tan B +tan C =tan (B +C )(1-tan B tan C )因为tan B +C =tan π-A =-tan A ，所以tan B +tan C =tan (B +C )(1-tan B tan C )=tan A tan B tan C -tan A ，所以tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C ，所以D 正确.故选：C2．B【分析】利用正弦定理可求出sin A ，再结合大边对大角即可得解.【详解】因为a =2,b =3,B =π3，由正弦定理a sin A=b sin B ，可得sin A =a sin B b =2sin π33=22，又因为a <b ，所以A <B ，故0<A <π3，所以A =π4.故选：B .3．B 【分析】根据三角形面积公式可得c =4，再由余弦定理计算可得a =13，根据正弦定理可知a +b +c sin A +sin B +sin C =a sin A，代入计算即可得出结果.【详解】根据三角形面积公式可得S △ABC =12bc sin A =12×32c =3，即c =4；由余弦定理可知a 2=b 2+c 2-2bc cos A =1+16-2×1×4×12=13，可得a =13；由正弦定理可得a +b +c sin A +sin B +sin C =a sin A =1332=2393.答案第1页，共2页4．D【分析】利用正弦定理求得sin C ，再利用诱导公式求解即可.【详解】由正弦定理可得a sin A=csin C ，即11717=17sin C ，解得sin C =1，因为△ABC 中C ∈0,π ，所以C =π2，所以B =π2-A ，cos B =cos π2-A=sin A =1717，故选：D 5．C【分析】根据题意和等差数列等差中项的应用可得C =2π3、2b =a +c ，利用余弦定理化简计算即可求解.【详解】由C =2A +B ,A +B +C =π，得C =2π3，由a ,b ,c 成等差数列，得2b =a +c ，由余弦定理，得cos C =a 2+b 2-c 22ab，即-12=a 2+b 2-(2b -a )22ab ，整理，得5ab -3b 2=0，由b ≠0得5a -3b =0，由a ≠0得ba =53.故选：C .6．A【分析】利用正弦定理及三角恒等变换即可求解.【详解】由正弦定理得3sin B cos C =sin C (1-3cos B )，即3sin B cos C +3sin C cos B =sin C ，3sin B +C =sin C ，∵A +B +C =π,∴3sin π-A =sin C ，即3sin A =sin C ，sin Csin A=3，故选：A .7．C【分析】先由正弦定理把边转化为角，再展开化简求得B 与A 的关系，进一步计算得出结果.【详解】已知角C =π4，b sin π4+A -a sin π4+B =c ，由正弦定理可得sin B sin π4+A -sin A sin π4+B =sin C ，整理得22sin B cos A -sin A cos B =22，即sin B -A =1，因为A ,B ∈0,3π4 ，所以B -A ∈-3π4,3π4 ，所以B -A =π2.又B +A =3π4，所以B =5π8.8．D【分析】根据正弦定理把sin C=23sin B化为c=23b，再结合余弦定理求角即可【详解】∵sin C=23sin B，∴c=23b，结合a2-b2=3bc即可求得a=7b．由余弦定理可得cos A=b2+c2-a22bc=b2+12b2-7b22×b×23b=32.又∵A∈0,π，∴A=π6．故选：D 9．B【分析】由正弦定理边化角可得B=2A，由△ABC为锐角三角形可得π6<A<π4，运用降次公式及辅助角公式将问题转化为求三角函数y=2sin2A-π6+1在π6,π4上的值域.【详解】∵b cos A-cos B=1，即：b cos A=cos B+1，a=1，∴b cos A=(cos B+1)a，∴由正弦定理得：sin B cos A=(cos B+1)sin A，即：sin B cos A=sin A cos B+sin A，∴sin(B-A)=sin A，∴B-A=A或B-A+A=π，解得：B=2A或B=π(舍)，又∵△ABC为锐角三角形，则C=π-A-B=π-3A，∴0<A<π20<B<π20<C<π2⇒0<A<π20<2A<π20<π-3A<π2，解得：π6<A<π4，∴3sin B+2sin2A=3sin2A+1-cos2A=2sin2A-π6+1，又∵π6<A<π4，∴π6<2A-π6<π3，∴12<sin2A-π6<32，∴2<2sin2A-π6+1<3+1，即3sin B+2sin2A的取值范围(2,3+1).故选：B.10．A【分析】已知条件用正弦定理边化角，由sin C=sin A+B展开后化简得tan A=tan B，可得出等腰三角形的结论.【详解】c=2a cos B，由正弦定理，得sin C=sin A+B=2sin A cos B，即sin A cos B+cos A sin B=2sin A cos B,∴sin A cos B=cos A sin B，可得tan A=tan B，又0<A<π,0<B<π，∴A=B，则△ABC的形状为等腰三角形.故选：A.11．C【分析】首先利用正弦定理及诱导公式，二倍角公式对原式化简得sin B2=12，即求出B的大小，再利用三角形面积公式得ac=8，从而求出a+c的最小值，最后得到C△ABC=(a+c) +(a+c)2-24，利用函数单调性即可求出其最小值.【详解】因为b sin A=a sin π-B 2，根据正弦定理及诱导公式得sin B⋅sin A=sin A⋅cos B 2，∵A∈0,π，∴sin A≠0，∴sin B=cos B 2，即2sin B2cosB2=cosB2，∵B∈0,π，则B2∈0,π2，则cos B2≠0解得sin B2=12,所以B2=π6⇒B=π3，所以S=12ac sin B=3ac4=23，所以ac=8,a+c≥2ac=42，当且仅当a=c=22时等号成立，根据余弦定理得b=a2+c2-2ac cos B，即b=a2+c2-ac，设△ABC的周长为C，所以C△ABC=a+c+(a+c)2-3ac=(a+c)+(a+c)2-24，设a+c=t,t≥42，则f t =t+t2-24，根据复合函数单调性及增函数加增函数为增函数的结论得：f t 在42,+∞上为单调增函数，故f t min=f42=62，故C△ABCmin=62，当且仅当a=b=c=22时取等.故选：C.12．A【分析】根据正弦、余弦定理可得λ=-2cos C，结合C∈0,π即可求解.【详解】因为a sin A+b+λasin B=c sin C，由正弦定理得c2=a2+b2+λab.又c2= a2+b2-2ab cos C，所以λ=-2cos C.因为C∈0,π，所以cos C∈-1,1，故λ∈-2,2.故选：A.13．C【分析】由正弦定理化简得出tan B的值，结合角B的取值范围可求得角B的值.【详解】因为3a cos B=b sin A，由正弦定理可得3sin A cos B=sin B sin A，∵A、B∈0,π，则sin A>0，所以，3cos B=sin B>0，所以，tan B =3，故B =π3.故选：C .14．D【分析】根据a =4,b =43,A =30°，利用正弦定理求解.【详解】解：在△ABC 中，a =4,b =43,A =30°，由正弦定理得a sin A=bsin B ，所以sin B =b ⋅sin A a =43⋅sin30∘4=32，所以B =60°或120°，故选：D 15．C【分析】对于A ，假设D 为AB 的中点，连接OD ，由已知得O 在中线CD 上，同理可得O 在其它中线上，即可判断；对于选项B ，利用奔驰定理可直接得出B 正确；对于C ，根据奔驰定理可得S A :S B :S C =2:3:4，再利用三角形面积公式可求得S C =1，即可计算出S △ABC =94，可得C 错误；选项D ，由垂心的性质、向量数量积的运算律OB ∙AC =OB ∙OC -OB ∙OA=0，得到OA :OB :OC=cos ∠BAC :cos ∠ABC :cos ∠BCA ，结合三角形面积公式及角的互补关系得结论.【详解】对于A ：如下图所示，假设D 为AB 的中点，连接OD ，则OA +OB =2OD =CO，故C ,O ,D 共线，即O 在中线CD 上，同理可得O 在另外两边BC ,AC 的中线上，故O 为△ABC 的重心，即A 正确；对于B ：由奔驰定理O 是△ABC 内的一点，△BOC ,△AOC ,△AOB 的面积分别为S A ,S B ,S C ，则有S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC=0可知，若OA +2OB +3OC =0，可得S A :S B :S C =1:2:3，即B 正确；对于C ：由|OA |=|OB|=2,∠AOB =5π6可知，S C =12×2×2×sin 5π6=1，又2OA +3OB +4OC =0 ，所以S A :S B :S C =2:3:4由S C =1可得，S A =12,S B =34；所以S △ABC =S A +S B +S C =12+34+1=94，即C 错误；对于D ：由四边形内角和可知，∠BOC +∠BAC =π，则OB ∙OC=OB OCcos ∠BOC =-OB OC cos ∠BAC ，同理，OB ∙OA =OB OA cos ∠BOA =-OB OAcos ∠BCA ，因为O 为△ABC 的垂心，则OB ∙AC =OB ∙(OC -OA )=OB ∙OC -OB ∙OA=0，所以OC cos ∠BAC =OA cos ∠BCA ，同理得OC cos ∠ABC =OB cos ∠BCA ，OA cos ∠ABC =OB cos ∠BAC ，则OA :OB :OC=cos ∠BAC :cos ∠ABC :cos ∠BCA ，令OA =m cos ∠BAC ,OB =m cos ∠ABC ,OC=m cos ∠BCA ，由S A =12OB OCsin ∠BOC ，则S A =12OB OC sin ∠BAC =m 22cos ∠ABC cos ∠BCA sin ∠BAC ，同理：S B =12OAOC sin ∠ABC =m 22cos ∠BAC cos ∠BCA sin ∠ABC ，S C =12OA OB sin ∠BCA =m 22cos ∠BAC cos ∠ABC sin ∠BCA ，综上，S A :S B :S C =sin ∠BAC cos ∠BAC :sin ∠ABC cos ∠ABC :sin ∠BCAcos ∠BCA=tan ∠BAC :tan ∠ABC :tan ∠BCA ，根据奔驰定理得tan ∠BAC ⋅OA +tan ∠ABC ⋅OB +tan ∠ACB ⋅OC =0，即D 正确.故选：C【点睛】关键点点睛：利用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例，结合三角形面积公式和奔驰定理判断结论即可.16．(1)一解(2)两解(3)无解【分析】使用正弦定理、正弦函数的性质及三角形内角和、大边对大角等知识进行判断即可.【详解】(1)由正弦定理a sin A=bsin B ，∴sin B =b a sin A =45×32<32，∵A =120°，∴B =180°-A +C =60°-C <60°，∴B 只有一解，三角形解的个数为一解.(2)由正弦定理a sin A=bsin B ，∴sin B =b a sin A =109×32=539，∴32<sin B <1，∵A =60°，a <b ，∴60°<B <120°，∴B 有两解，三角形解的个数为两解.(3)∵b >c ，∴B >C =135°，∴B +C >270°，∴B 无解，三角形无解.17．(1)B =π3(2)3【分析】(1)利用正弦定理化边为角，再结合辅助角公式即可得解；(2)利用余弦定理求得ac ，再根据三角形的面积公式即可得解.【详解】(1)因为c 1+cos B =3b sin C ，所以sin C 1+cos B =3sin B sin C ，因为C ∈0,π ，所以sin C ≠0，所以1+cos B =3sin B ，得2sin B -π6 =1，即sin B -π6 =12，因为B ∈0,π ，所以B -π6∈-π6,5π6，所以B -π6=π6，所以B =π3；(2)由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =a +c 2-3ac =16-3ac ，即22=16-3ac ，解得ac =4，所以S △ABC =12ac sin B =12×4×32=3．18．(1)2π3(2)sin A =6-24【分析】(1)利用正弦定理边角互化结合余弦定理求解即可；(2)利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换求解即可.【详解】(1)根据题意，由正弦定理可得a +bc -b=c +b a ，即c 2=a 2+b 2+ab ，所以根据余弦定理cos C =a 2+b 2-c 22ab=-12及△ABC 中C ∈0,π 可得C =2π3.(2)根据题意，由正弦定理可得3+1 sin A +2sin B =6sin C ，所以3+1 sin A +2sin A +2π3 =3+1 sin A +2-12sin A +32cos A =3sin A +cos A =322，解得sin A +cos A =62①，因为sin 2A +cos 2A =1②，①②联立可解得sin A =6+24或6-24，又因为C =2π3，则A <π3，sin 2A <34，6+242=2+34>34(舍去)，所以sin A=6-2 4.19．(1)B=π3(2)S△ABC=3【分析】(1)由正弦定理和两角差的余弦公式，化简已知等式，求得tan B，可求角B的大小；(2)由已知条件利用余弦定理求得ac，根据三角形面积公式求△ABC的面积.【详解】(1)在△ABC中，由正弦定理asin A=bsin B，可得b sin A=a sin B，又由b sin A=a cos B-π6，得a sin B=a cos B-π6即sin B=cos B-π6，由sin B=cos B-π6=32cos B+12sin B，有32cos B=12sin B可得tan B=3,又因为B∈(0,π)，所以B=π3.(2)b=13．且a+c=5，B=π3，由余弦定理：b2=a2+c2-2ac cos B=a+c2-2ac-2ac cos B，有13=25-2ac-ac，解得ac=4，∴S△ABC=12ac sin B=12×4×32=3.20．(1)tan Btan A=-3(2)π6【分析】(1)通过余弦定理、正弦定理将条件中的边转化为角即可求出结果；(2)由余弦定理表示出cos C，借助条件消去边c，利用基本不等式求出cos C的范围，进而求出C的最大值．【详解】(1)由余弦定理可得b2=c2+a2-2ac cos B，代入b2-a2=2c2，得到c2+a2-2ac cos B-a2=2c2，化简得c2+2ac cos B=0，即c+2a cos B=0.由正弦定理可得sin C+2sin A cos B=0，即sin A+B+2sin A cos B=0，展开得sin A cos B+cos A sin B+2sin A cos B= 0，即3sin A cos B=-cos A sin B，所以tan Btan A=-3．(2)由b2-a2=2c2得c2=b2-a2 2，故cos C=a2+b2-c22ab=a2+b2-b2-a222ab=3a2+b24ab=3a4b+b4a≥2316=32，当且仅当b2=3a2，即b=3a时等号成立．因为C ∈0,π ，所以C ≤π6，所以C 的最大值为π6.21．(1)π3(2)23,3+3【分析】(1)根据正余弦定理，将条件变形，求角B 的大小；(2)根据正弦定理，将周长表示为三角函数，根据函数的定义域，求周长的取值范围.【详解】(1)根据余弦定理可知，a 2+c 2-b 22ac=cos B ，所以sin A =3⋅2ac cos B 2bc ，即sin A =3a cos Bb⇔sin A =3sin A cos Bsin B，则tan B =3,B ∈0,π ，所以B =π3；(2)设∠A ∈π2,2π3，根据正弦定理可知a sin A =c sin C =b sin B =3sinπ3=2，所以a =2sin A ,c =2sin C =2sin 2π3-A ，所以周长a +b +c =2sin A +2sin 2π3-A +3=2sin A +232cos A +12sin A+3=3sin A +3cos A +3=23sin A +π6 +3,因为A ∈π2,2π3 ,A +π6∈2π3,5π6 ，所以sin A +π6 ∈12,32 ，所以23<23sin A +π6 +3<3+3，所以△ABC 的周长为23,3+3 .22．(1)B =2π3(2)932【详解】(1)依题意，由2b cos C =2a +c 及正弦定理得2sin B cos C =2sin A +sin C ，即2sin B cos C =2sin B +C +sin C =2sin B cos C +2cos B sin C +sin C ，所以2cos B sin C =-sin C ．因为C ∈0,π ，所以sin C ≠0，所以cos B =-12，又B ∈0,π ，所以B =2π3．(2)如图所示：因为2AM =MC，所以AM =3，MC =6．又∠MAB =∠MB A ，所以BM =AM =3．在△ABC 中，由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，即a 2+c 2+ac =81．①又2AM =MC ，所以BM=23BA +13BC，两边平方得BM 2=49BA 2+19BC 2+49BA ⋅BC，即9=49c 2+19a 2+49ac cos B ，所以a 2+4c 2-2ac =81．②②-①得3c 2=3ac ，所以a =c ，代入①得a =c =33，在△BMC 中，BM 2+BC 2=32+33 2=36=MC 2，所以△BMC 是以∠MB C 为直角的三角形，所以△BMC 的面积为12×3×33=932．23．(1)A =π4(2)-1010【分析】(1)利用正弦定理及余弦定理可求得cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；(2)由三角形的面积公式可得出c 2=3ab sin C ，利用正弦定理以及两角和的正弦公式可得出sin C =-3cos C ，由同角三角函数的平方关系以及sin C >0可求得cos C 的值.【详解】(1)解：因为sin 2A =sin 2B +sin 2C -2sin B sin C ，令△ABC 的三内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，所以由正弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bc ，所以由余弦定理可得cos A =b 2+c 2-a 22bc =2bc 2bc=22，因为A ∈0,π ，所以A =π4.(2)由三角形的面积公式可得S △ABC =12ab sin C =12×13c 2，则c 2=3ab sin C ，由正弦定理可得sin 2C =3sin A sin B sin C ，因为C ∈0,π ，则sin C >0，所以，sin C =3sin A sin B ，即sin C =322sin B ，即sin C =322sin C +π4 =32sin C +32cos C ，整理可得sin C =-3cos C ，所以，sin C =-3cos Csin 2C +cos 2C =0sin C >0，解得cos C =-1010.24．(1)π3(2)33【分析】(1)利用正弦定理边化角结合三角恒等变换求解；(2)利用等面积法可得12ac sin B =12(a +b +c )r ，从而得32ac =43+b ，再根据余弦定理，联立方程组求出b =23，从而可求三角形的面积.【详解】(1)因为b cos C +3b sin Ca +c=1，所以b cos C +3b sin C -a -c =0，所以sin B cos C +3sin B sin C -sin A -sin C =0因为A +B +C =π，所以sin B cos C +3sin B sin C -sin (B +C )-sin C =0．所以3sin B sin C -cos B sin C -sin C =0，又因为C ∈0,π ,sin C >0，所以3sin B -cos B =1，所以sin B -π6 =12，因为B ∈0,π ，所以B -π6∈-π6,5π6 ，所以B -π6=π6，所以B =π3．(2)因为△ABC 内切圆的面积为π，所以内切圆半径r =1．由于S △ABC =12ac sin B =12(a +b +c )r ，所以32ac =43+b ，①由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B 得，b 2=a +c 2-3ac ，即b 2=48-3ac ，②联立①②可得b 2=48-38+233b，即b 2+23b -24=0，解得b =23或b =-43(舍去)，所以S △ABC =12(a +b +c )×r =33．25．(1)A =π6(2)334【分析】(1)已知等式利用诱导公式和倍角公式化简，可求A 的大小；(2)条件中的等式，利用正弦定理角化边，再用余弦定理求得c 边，用面积公式计算面积.【详解】(1)sin π3-Acos π6+A =cos π2-π3-A cos π6+A =cos 2π6+A =cos π3+2A +12=14，∴cos π3+2A =-12，因为0<A <π，得π3<π3+2A <7π3，所以π3+2A =2π3或π3+2A =4π3，解得A =π6或A =π2，因为a <c ，得A <π2，∴A =π6．(2)由(1)知，A =π6，a sin A +c sin C =43sin B ，由正弦定理，得a 2+c 2=43b =12，由余弦定理，得a 2=b 2+c 2-2bc ⋅cos A ，即12-c 2=3+c 2-23c ⋅32，整理，得2c 2-3c -9=0，由c >0得c =3，所以S △ABC =12bc sin A =12×3×3×12=334．26．(1)C =π3；(2)0,34.【分析】(1)利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简作答.(2)由(1)的结论，利用余弦定理结合均值不等式求出三角形面积范围作答.【详解】(1)在△ABC 中，由已知及正弦定理得：sin A cos B +sin B cos A =2sin C cos C ，即有sin A +B =2sin C cos C ，即sin C =2sin C cos C ，而0<C <π，sin C >0，则cos C =12，所以C =π3．(2)在△ABC 中，由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C 得：1=a 2+b 2-ab ，因此1≥2ab -ab ，即0<ab ≤1，当且仅当a =b 时取等号，又S △ABC =12ab sin C =12×32ab =34ab ∈0,34 ，所以△ABC 面积的取值范围是0,34．27．(1)A =π3(2)-2,4 【分析】(1)利用同角三角函数的商数关系及两角和的正弦公式的逆用，结合三角形的内角和定理及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可；(2)利用同角三角函数的商数关系及正弦定理的边化角，根据(1)的结论得出角B 的范围及余弦函数的性质即可求解.【详解】(1)由题意知，2sin C -sin B =sin A cos A×cos B ，所以2cos A sin C -cos A sin B =sin A cos B ，则2cos A sin C =sin A cos B +cos A sin B =sin A +B =sin C ，又C ∈0,π ，所以sin C ≠0，所以cos A =12，又A ∈0,π ，所以A =π3．(2)由(1)得2sin C -sin B =sin A cos A ×cos B ，由正弦定理得2c -b =a cos B cos A ，又a =2，A =π3，所以2c -b =4cos B ．因为B ∈0,2π3，所以cos B ∈-12,1 ，所以4cos B ∈-2,4 ，故2c -b ∈-2,4 ，即2c -b 的取值范围为-2,4 ．28．(1)A =π4(2)2+1【分析】(1)利用正弦定理求得正确答案.(2)利用圆的几何性质求得AD 的最大值.【详解】(1)依题意，2a sin C =ctan A ，由正弦定理得2sin A sin C =sin C ⋅sin A cos A，由于A ,C 是三角形的内角，所以sin A >0,sin C >0，所以cos A =22，则A 为锐角，所以A =π4.(2)设三角形ABC 外接圆的半径为r ，圆心为O ，则2r =2sin π4=22,r =2，由于A =π4，所以A 在三角形ABC 外接圆上运动，且只在优弧BC (不包括端点)上运动，如图所示，则∠BOC =π2，OD =2 2-12=1，当A ,O ,D 三点共线时，AD 最大，所以AD 长度的最大值是2+1.29．(1)证明见解析(2)1336,4【分析】(1)利用正余弦定理化简得sin A =sin B 2cos c +1 ，再利用两角和差的正弦公式及三角形的性质得sin C -B =sin B ，得证；(2)弦切互化转化为正弦复合函数，先求角C 的范围，然后换元，利用函数单调性求范围.【详解】(1)由c 2=b 2+ab 及余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C得a =b 2cos C +1 ，由正弦定理得：sin A =sin B 2cos C +1 ，又A +B +C =π，∴sin A =sin B +C =sin B cos C +cos B ⋅sin C =2sin B cos C +sin B ，∴cos B sin C -sin B cos C =sin B ，∴sin C -B =sin B ，∵A ,B ,C 都是锐角，∴C -B =B ，即C =2B .(2)令y =1tan B -1tan C +3sin C =cos B sin B -cos C sin C+3sin C =sin C cos B -cos C ⋅sin B sin B ⋅sin C +3sin C =sin C -B sin B ⋅sin C +3sin C ，由(1)C =2B 得y =1sin C +3sin C ，在锐角三角形ABC 中，0<A <π20<B <π20<C <π2 ，即0<π-B +C <π20<B =C 2<π20<C <π2，解得π3<C <π2，∴sin C ∈32,1，令t =sin C ∈32,1 ，∴y =f t =1t +3t ,t ∈32,1，又函数y =f t =1t +3t 在32,1上单调递增，∴y =f t ∈1336,4 ，故1tan B -1tan C+3sin C 的取值范围是1336,4 .30．(1)c =62，C =π3(2)6,362【分析】(1)由三角恒等变换化简等式tan A +tan C =2sin B cos A ，结合角的范围可得C ，再由正弦定理及b =2sin B 求得c ；(2)结合正弦定理有a +b +c =2sin A +sin B +62，结合角的关系及三角恒等变换化简求范围即可.【详解】(1)2sin B cos A=tan A +tan C =sin A cos A +sin C cos C =sin A cos C +cos A sin C cos A cos C =sin A +C cos A cos C =sin π-B cos A cos C =sin B cos A cos C ，∵A 、B 、C ∈0,π ，sin B cos A≠0，∴cos C =12，∴C =π3.由b =2sin B 及正弦定理得2=b sin B =c sin C ⇒c =2sin C =62；(2)由正弦定理得a sin A =b sin B =2⇒a =2sin A ，∴a +b =2sin A +sin B =2sin 2π3-B +sin B=232cos B +32sin B =612cos B +32sin B =6sin B +π6.∵B ∈0,2π3 ，∴B +π6∈π6,5π6 ，∴a +b =6sin B +π6∈62,6 .∴△ABC 周长a +b +c ∈6,362.31．(1)A =5π12(2)(-1,0)【分析】(1)已知等式由正弦定理边化角解得A -B =π6，又B =π4，可求A 的值；(2)锐角△ABC 且A -B =π6，可求角B 的范围，利用正弦定理边化角得R -c b =2sin B -π3 ，可求取值范围．【详解】(1)根据正弦定理a sin A=b sin B =c sin C =2R ，有a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ，由a cos B -b cos A =R ，有2R sin A cos B -2R sin B cos A =R ，得sin (A -B )=12，因为A ,B ∈0,π2 ，所以A -B ∈-π2,π2 ，所以A -B =π6，由B =π4，解得A =5π12．(2)因为A =π6+B ，所以C =π-(A +B )=5π6-2B ，因为0<A <π20<B <π20<C <π2 ，即0<π6+B <π20<B <π20<5π6-2B <π2 ，所以B ∈π6,π3 ，则R -c b=R -2R sin C 2R sin B =1-2sin C 2sin B =1-2sin 5π6-2B 2sin B =1-cos2B -3sin2B 2sin B=2sin 2B -23sin B cos B 2sin B =sin B -3cos B =2sin B -π3 ，B ∈π6,π3 ，有B -π3∈-π6,0 ，所以2sin B -π3 ∈(-1,0)，所以R -c b 的取值范围为(-1,0).32．(1)A =π3(2)12,2 【分析】(1)根据向量平行和正弦定理得cos A =12，则得到A 的大小；(2)首先根据锐角三角形求出C 的范围，再利用正弦定理进行边换角得b c =32tan C +12，根据tan C 的范围即可得到答案.【详解】(1)由m ⎳n得a cos C =2b -c cos A ，∴a cos C +c cos A =2b cos A ，根据正弦定理得sin A cos C +sin C cos A =2sin B cos A ，所以sin A +C =2sin B cos A ，又A +C =π-B ，所以sin B =2sin B cos A .又sin B ≠0，∴cos A =12，又A ∈0,π ，∴A =π3;(2)由(1)得A =π3，B +C =2π3，∵B ，C 为锐角，所以0<C <π20<2π3-C <π2，∴C ∈π6,π2 ，根据正弦定理得b c =sin B sin C =sin 2π3-C sin C =32cos C +12sin C sin C =32tan C +12，其中tan C ∈33,+∞ ，∴32tan C ∈0,32 ，即32tan C+12∈12,2 ，综上可知，b c 的取值范围是12,2 ．33．(1)π3(2)6【分析】(1)先使用余弦定理，再用正弦定理进行角变边即求得结果；(2)由平面向量可知AD =12AB +AC ，两边平方，用三角形的边及角表示并结合基本不等式得出结果.【详解】(1)∵3b 2+c 2-a 2 =2ac sin B ，由余弦定理可得23bc cos A =2ac sin B ，即3b cos A =a sin B ，由正弦定理可得3sin B cos A =sin A sin B ，∵B ∈0,π ，∴sin B ≠0.∴3cos A =sin A ，即tan A =3，又A ∈0,π ，所以A =π3.(2)由(1)知，A =π3，△ABC 的面积为23，所以12bc sin π3=23，解得bc =8.由平面向量可知AD =12AB +AC ，所以AD 2=14(AB +AC )2=14AB 2+AC 2+2AB ⋅AC=14b 2+c 2+2bc cos π3 =14b 2+c 2+bc ≥142bc +bc =34bc =6，当且仅当b =c =22时取等号，故BC 边中线AD 的最小值为6.34．(1)π3(2)123【分析】(1)根据正弦定理边角互化，结合两角和的正弦的公式求解即可；(2)利用余弦定理和基本不等式得到ab ≤48，再利用三角形的面积公式求解即可.【详解】(1)根据题意，由正弦定理，可得sin C tan C =3sin A cos B +sin B cos A =3sin A +B ，又因为△ABC 中A +B =π-C ，且C ∈0,π ，所以sin C tan C =3sin C ，即tan C =3，所以C =π3.(2)由余弦定理，可得c 2=a 2+b 2-2ab cos C ，即48=a 2+b 2-ab所以48+ab =a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立，所以ab ≤48，所以S △ABC =12ab sin C ≤12×48×32=123，所以△ABC 面积的最大值为123.35．(1)π3(2)4,6 【分析】(1)根据正弦定理边化角结合三角形内角和与诱导公式得出2sin A cos B =sin A ，根据三角形内角范围可知sin A ≠0，即可得出cos B =12，再根据角围得出答案；(2)根据已知结合余弦定理即可得出a 、c 关系，再根据基本不等式得出a +c 范围，即可得出答案.【详解】(1)由正弦定理，得2sin C -sin A =2sin B cos A ，因为A +B +C =π，所以sin C =sin A +B ，所以2sin (A +B )-sin A =2sin B cos A ，即2sin A cos B +2cos A sin B -sin A =2sin B cos A ，所以2sin A cos B =sin A ，因为0<A <π，所以sin A ≠0，所以cos B =12，又0<B <π，所以B =π3；(2)由(1)可得B =π3，若b =2，则由余弦定理，得4=a 2+c 2-ac =a +c 2-3ac ，所以3ac =a +c 2-4≤3×a +c 2 2，即14a +c 2≤4，所以a +c ≤4，当且仅当a =c 时等号成立，又a +c >b =2，所以2<a +c ≤4，即4<a +b +c ≤6，所以△ABC 周长的取值范围为4,6 .36．(1)证明见解析.(2)(1,5).【分析】(1)运用余弦定理得2c ⋅cos B =a -c ，再运用正弦定理边化角化简计算即可.(2)运用三角形内角范围求得角C 的范围，进而求得cos C 范围，运用边化角将问题转化为求关于cos C 的二次函数在区间上的值域.【详解】(1)∵c 2+ac =b 2，∴c 2-b 2=-ac ，∴由余弦定理得：cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2-ac 2ac =a -c 2c，即：2c ⋅cos B =a -c ，由正弦定理得：2sin C ⋅cos B =sin A -sin C ，∴2sin C ⋅cos B =sin (B +C )-sin C =sin B cos C +sin C cos B -sin C ，整理得：sin B cos C -sin C cos B -sin C =0，即：sin (B -C )=sin C ，又∵B 、C ∈(0,π)，∴B -C =C ，即：B =2C .(2)∵B =2C ，∴A =π-3C ，又∵sin2C =2sin C ⋅cos C ，sin3C =sin (C +2C )=sin C ⋅cos2C +cos C ⋅sin2C =sin C ⋅cos2C +2sin C ⋅cos 2C ，sin C ≠0，∴由正弦定理得：a +b c =sin A +sin B sin C =sin (π-3C )+sin2C sin C =sin3C +sin2C sin C=sin C⋅cos2C+2sin C⋅cos2C+2sin C⋅cos Csin C=cos2C+2cos2C+2cos C =2cos2C-1+2cos2C+2cos C=4cos2C+2cos C-1，又∵0<A<π0<B<π0<C<π⇒0<π-3C<π0<2C<π0<C<π⇒0<C<π3，∴12<cos C<1，令t=cos C，则a+bc=4t2+2t-1，12<t<1，∵y=4t2+2t-1对称轴为t=-1 4，∴y=4t2+2t-1在12,1上单调递增，当t=12时，y=4×14+2×12-1=1；当t=1时，y=4+2-1=5，∴1<a+bc<5，即：a+bc的范围为(1,5).37．(1)证明见解析(2)2 2,98【分析】(1)利用同角的商数关系与正弦定理的边角变换化简得到sin B=cos A，再由条件和诱导公式求得B=π2+A，由此得证；(2)先由(1)求出A的范围，再由诱导公式和二倍角的余弦公式变形化简得到sin A+sin C =-2sin2A+sin A+1，从而利用换元法和二次函数的性质即可求出式子的范围．【详解】(1)因为a=b tan A，所以ab=tan A=sin Acos A，由正弦定理可得sin Acos A=ab=sin Asin B，又0<A<π，所以sin A>0，故sin B=cos A，则sin B=sinπ2+A ，又B为钝角，则0<A<π2，因此B∈π2,π，π2+A∈π2,π，所以B=π2+A，即B-A=π2；(2)由(1)知，C=π-(A+B)=π-2A+π2=π2-2A>0，所以A<π4，又0<A<π2，所以0<A<π4，则0<sin A<22，所以sin A+sin C=sin A+sinπ2-2A=sin A+cos2A=-2sin2A+sin A+1=-2sin A-142+98，令t=sin A，则0<t<22，sin A+sin C=-2t-142+98，对于y=-2t-1 42+98=-2t2+t+1，其开口向下，对称轴为t=14，所以y=-2t-1 42+98在0,14上单调递增，在14,22上单调递减，故当t=14时，y=-2t-142+98取得最大值为98，又当t=0时，y=1，当t=22时，y=22，所以y=-2t-1 42+98的值域为22,98，故22<-2sin A-142+98≤98，即22<sin A+sin C≤98，所以sin A+sin C的取值范围是22,98 ．38．(1)ω=1，对称轴方程为：x=kπ2+π6k∈Z；(2)(23,2+3].【分析】(1)根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数的零点性质、周期公式、对称轴方程进行求解即可；(2)根据正弦定理、辅助角公式、正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】(1)f(x)=cos2(ωx)+3sin(ωx)cos(ωx)-12=1+cos(2ωx)2+3sin(2ωx)2-1 2，f x =sin2ωx+π6，因为函数f(x)的两个相邻零点间的距离为π2，所以函数f(x)的最小正周期为2×π2=π，因为ω>0，所以2π2ω=π⇒ω=1，即f x =sin2x+π6，令2x+π6=kπ+π2k∈Z⇒x=kπ2+π6k∈Z，所以对称轴为x=kπ2+π6k∈Z；(2)由f(A)=-1⇒sin2A+π6=-1，因为A∈(0,π)，所以2A+π6∈π6,13π6⇒2A+π6=3π2⇒A=2π3，因为a=3，所以由正弦定理可知：asin A=bsin B=csin C=332=2⇒b=2sin B,c=2sin C，所以三角形的周长为3+2sin B+2sin C=3+2sin B+2sinπ3-B ，=3+2sin B +232cos B -12sin B=3cos B +sin B +3=2sin B +π3 +3，因为B ∈0,π3 ，所以B +π3∈π3,2π3 ，因此sin B +π3∈32,1 ⇒2sin B +π3 +3∈(23,2+3]，所以△ABC 周长的取值范围为(23,2+3].39．(1)π3(2)8,12 【分析】(1)选①或②：由正弦定理得到a 2+c 2-b 2=ac ，再由余弦定理得到cos B =12，结合B ∈0,π ，求出B =π3；选③：由正弦定理化简得到2sin A cos B -sin C cos B =sin B cos C ，进而得到2sin A cos B =sin A ，cos B =12，求出B =π3；(2)由余弦定理结合基本不等式可得出a +c ≤8，从而可求得△ABC 的周长的取值范围.【详解】(1)选①，∵a sin C -sin A sin C +sin B=c -b ，∴sin A sin C -sin A sin C +sin B=sin C -sin B ∴sin A sin C -sin 2A =sin 2C -sin 2B∴sin A sin C =sin 2A +sin 2C -sin 2B∴ac =a 2+c 2-b 2，又∵a 2+c 2-b 2=2ac cos B∴cos B =12，又∵0<B <π，∴B =π3.选②，∵sin 2A +sin 2C -sin 2B =sin A sin C ∴a 2+c 2-b 2=ac ，又∵a 2+c 2-b 2=2ac cos B∴cos B =12，又∵0<B <π，∴B =π3.选③，∵2a -c b=cos C cos B ，∴2sin A -sin C sin B =cos C cos B ∴2sin A cos B -sin C cos B =sin B cos C∴2sin A cos B =sin C cos B +sin B cos C =sin (B +C )=sin A∵sin A ≠0,∴cos B =12，又∵0<B <π，∴B =π3.(2)由余弦定理得：b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，∴16=a 2+c 2-ac =(a +c )2-3ac ≥a +c 2-3a +c 24=a +c 24，当且仅当a =c =4时，取等号.∴a +c 2≤64,∴a +c ≤8，又∵a +c >4，∴4<a +c ≤8,∴8<a +c +b ≤12。
高中数学解三角形-练习及详细答案
解三角形练习题一：在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝(). A．43B．2 3C. 3D.3 2题二：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝23，c＝22，1＋tan Atan B＝2cb，则C ＝().A．30°B．45°C．45°或135°D．60°题三：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2a sin B，则角A的大小为________．题四：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cos A－a cos C＝0.求角A的大小.题五：在△ABC中，内角A，B，C依次成等差数列，AB＝8，BC＝5，则△ABC外接圆的面积为________．题六：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan A＋tan C)＝tan A tan C. 求证：a，b，c成等比数列.题七：某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．题八：如图，在△ABC中，已知B＝π3，AC＝43，D为BC边上一点．若AB＝AD，则△ADC的周长的最大值为________．题九：如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD＝33，sin∠BAD＝513，cos∠ADC＝35.(1)求sin∠ABD的值；(2)求BD的长．题十：如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)().A．2.7 m B．17.3 mC．37.3 m D．373 m题十一：在△ABC中，若sin2A＋sin2B < sin2C，则△ABC的形状是().A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定题十二：在△ABC中，a＝2b cos C，则这个三角形一定是().A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解三角形参考答案题一： B.详解：由正弦定理得：BC sin A ＝ AC sin B ，即32sin 60° ＝ AC sin 45° ，所以AC ＝ 3232×22 ＝2 3. 题二： B.详解：由1＋tan A tan B ＝2c b和正弦定理， 得cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ，即sin C ＝2sin C cos A ，所以cos A ＝12，则A ＝60°. 由正弦定理得23sin A ＝ 22sin C ， 则sin C ＝ 22， 又c < a ，则C < 60°，故C ＝ 45°.题三： 30°或150°详解：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，因为sin B ≠ 0，所以sin A ＝ 12，所以A ＝30°或A ＝150°. 题四： A ＝π3. 详解：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及正弦定理，得(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0，所以2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0，即sin B (2cos A －1)＝0.因为0 < B < π，所以sin B ≠ 0，所以cos A ＝ 12. 因为0 < A < π，所以A ＝ π3. 题五： 49π3. 详解：记△ABC 的外接圆半径为R .依题意得2B ＝A ＋C ，又A ＋C ＋B ＝π，因此有B ＝ π3，所以AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝7.又2R ＝AC sin B ＝ 7sin 60°，即R ＝ 73，故△ABC 的外接圆的面积是πR 2＝ 49π3. 题六： 见详解.详解：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，所以sin B ()sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin C cos C， 因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ，所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C .又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ，因此sin 2B ＝sin A sin C .由正弦定理得b 2＝ac ，即a ，b ，c 成等比数列．题七： (1) 303；(2) 小艇航行速度的最小值为1013 海里/小时． 详解：(1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里， 则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°)＝900t 2－600t ＋400 ＝ 900()t －132＋300， 故当t ＝ 13时，S min ＝103，v ＝ 10313＝303， 即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B 处相遇，如图所示．由题意可得：(vt )2＝202＋(30t )2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，化简得： v 2＝400t 2－600t ＋900＝400()1t －342＋675. 由于0 < t ≤ 12，即1t ≥ 2，所以当 1t＝2时，v 取得最小值1013， 即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时．题八： 8＋4 3.详解：因为AB ＝AD ，B ＝ π3，所以△ABD 为正三角形， 在△ADC 中，根据正弦定理，可得AD sin C ＝ 43sin 2π3 ＝ DC sin ()π3－C ， 所以AD ＝8sin C ，DC ＝8sin ()π3－C ，所以△ADC 的周长为AD ＋DC ＋AC＝8sin C ＋8sin ()π3－C ＋4 3＝8⎝⎛⎭⎫sin C ＋32cos C －12sin C ＋4 3 ＝8⎝⎛⎭⎫12sin C ＋32cos C ＋4 3 ＝8sin ()C ＋π3＋43，因为∠ADC ＝ 2π3，所以0 < C < π3，所以π3 < C ＋π3 < 2π3，所以当C ＋π3 ＝ π2，即C ＝ π6时，△ADC 的周长的最大值为8＋4 3. 题九： (1) 3365.(2) 25. 详解：(1)因为cos ∠ADC ＝ 35， 所以sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝ 45. 又sin ∠BAD ＝ 513， 所以cos ∠BAD ＝1－sin 2∠BAD ＝1213. 因为∠ABD ＝∠ADC －∠BAD ，所以sin ∠ABD ＝sin(∠ADC －∠BAD )＝sin ∠ADC cos ∠BAD －cos ∠ADC sin ∠BAD＝ 45 × 1213 － 35 × 513 ＝ 3365. (2)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠BAD ＝ AD sin ∠ABD， 所以BD ＝ AD ×sin ∠BAD sin ∠ABD＝ 33×5133365＝25. 题十： C.详解：在△ACE 中，tan 30°＝CE AE ＝ CM －10AE . 所以AE ＝ CM －10tan 30°. 在△AED 中，tan 45°＝DE AE ＝ CM ＋10AE ， 所以AE ＝CM ＋10tan 45°， 所以CM －10tan 30° ＝ CM ＋10tan 45°， 所以CM ＝ 10(3＋1)3－1＝10(2＋3)≈37.3(m)． 题十一： C.详解：由正弦定理得a 2＋b 2 < c 2，所以cos C ＝ a 2＋b 2－c 22ab < 0，所以C 是钝角，故△ABC 是钝角三角形． 题十二： A.详解：由余弦定理知cos C ＝ a 2＋b 2－c 22ab， 所以a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝ a 2＋b 2－c 2a， 所以a 2＝a 2＋b 2－c 2，所以b 2＝c 2，所以b ＝c .。
(常考题)北师大版高中数学必修五第二章《解三角形》测试题(包含答案解析)(3)
一、选择题1．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()sin sin sin c C a A b a B =+-，角C 的角平分线交AB 于点D ，且CD =，3a b =，则c 的值为（ ）A ．72B ．3C ．3D ．2．在ABC 中，内角,A ,B C 的对边分别为,a ,b c ，已知b =22cos c a b A -=，则a c +的最大值为（ ）A B ．C ．D3．在△ABC 中，若222a c b -+=，则C ＝( )． A ．45° B ．30°C ．60°D ．120°4．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．2,4,120a b A ===︒B ．3,2,45a b A ===︒C ． 6,60b c C ===︒D ．4,3,30b c C ===︒5．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222sin sin sin sin A C B A C +-=，1b =，则2a -的最小值为（ ）A ．4-B ．-C ．2-D ．6．在ABC 中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，若cos cos a A b B =，则ABC 一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．在ABC 中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若sin cos 0b A B =，且2b ac =，则a cb+ 的值为（ ）A BC ．2D ．48．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（ ）A B C D ．109．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1a =，cos si 3n 3b c C B -=，则B 的值是（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 10．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若3a =，2b =，45B =︒，则A =（ ）A ．30B ．30或150︒C ．60︒或120︒D ．60︒11．构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2BD AD =，则DEF 与ABC 的面积之比为（ ）A ．12B ．13C ．15D ．1712．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin B A C =，13a cc a+=+，则B = （ ） A ．56π B ．6π C ．3π D ．2π 二、填空题13．已知ABC 的面积为4，2tan 3B =，AB AC >，设M 是边BC 的中点，若5AM =，则BC =___________.14．在ABC 中，点M 是边BC 的中点，3AM =2BC =，则2AC AB +的最大值为___________.15．某小区拟将如图的一直角三角形ABC 区域进行改建：在三边上各选一点连成等边三角形DEF ，在其内建造文化景观.已知207m AB =，107m AC =，则DEF 区域面积（单位：2m ）的最小值大约为______2m .7 2.65≈；3 1.73≈）16．如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75︒，距灯塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N 处，则该船航行的速度为__________海里/小时.17．在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，222a c b ac +-=，3b =2a c +的最大值为______．18．在ABC 中，若3b =3c =，30B ︒=，则a 等于________.19．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin 22sin sin b C c B a B C +=，2226b c a +-=，则ABC 的面积为_______． 20．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且cos cos sin b C c B a A +=，则A =________. 三、解答题21．在ABC 中，已知边长是5,7,8BC AC AB ===. （1）求角B ；（2）求ABC 的面积； （3）求ABC 外接圆面积.22．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且()()()sin sin sin 3a b A B C c b -+=.（1）求角A ；（2）若ABC 的面积23ABC S =△a 的取值范围.23．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程22320x x -+=的两根，()2cos 1A B +=.（1）求角C 的度数； （2）求AB 的长.24．ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且AD =3CD ，BD 7，求AD 的值和sin ∠ABD 的值25．在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，a 、b 是方程22320x x -+=的两个根，且120A B +=︒，求ABC 的面积及AB 的长.26．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知2b ac =，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及sin b Bc的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角C 的值，由ABC ACD BCD S S S =+△△△可得出ab a b =+，结合3a b =可求得a 、b 的值，再利用余弦定理可求得c 的值. 【详解】()sin sin sin c C a A b a B =+-，由正弦定理可得()22c a b a b =+-，可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得：2221cos 22a b c C ab +-==，0C π<<，所以3C π=，由ABC ACD BCD S S S =+△△△，有111sin sin sin 232626ab a CD b CD πππ=⋅+⋅，得ab a b =+，所以234b b =，0b >，43b ∴=，34a b ==， 由余弦定理可得221616471692cos 3c a b ab C =+--==+. 故选：B. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.2．B解析：B 【分析】由正弦定理化边角，利用诱导公式两角和的正弦公式化简可得B 角，然后用余弦定理得2()33a c ac +-=，再利用基本不等式变形后解不等式得a c +的最大值．【详解】因为22cos c a b A -=，所以由正弦定理得，2sin sin 2sin cos C A B A -=，因为A B C π+=-，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A B A B A B A +-=，化简得(2cos 1)sin 0B A -=，因为sin 0A ≠，所以2cos 10B -=，解得1cos 2B =，因为(0,)B π∈，所以3B π=，因为b =222232cos a c ac B a c ac =+-=+-，所以2()33a c ac +-=，所以222313()()()44a c a c a c ≥+-+=+，当且仅当a c =时取等号，所以a c +≤a c +的最大值为故选：B ． 【点睛】方法点睛：本题考查主要正弦定理、余弦定理，在三角形问题中出现边角关系时可用正弦定理化边为角，然后由利用三角函数恒等变换公式如诱导公式，两角和与差的正弦公式等化简变形得出所要结论．3．B解析：B 【分析】根据余弦定理，可以求出C 角的余弦值，进而根据C 为三角形内角，解三角方程可以求出C 角．【详解】∵222a c b -+=，∴22222a b c cosC ab +-==. 又∵C 为三角形内角∴30C =︒. 故选B ． 【点睛】本题考查余弦定理的应用，属基础题．4．D解析：D 【分析】运用正弦定理公式，可以求出另一边的对角正弦值，最后还要根据三角形的特点：“大角对大边”进行合理排除. 【详解】A. 2,4,120a b A ===︒,由,a b <A B ⇒<所以不存在这样的三角形.B. 3,2,45a b A ===︒,由sin sin sin a b B A B =⇒=,a b >所以只有一个角BC. 6,60b c C ===︒中，同理也只有一个三角形.D. 4,3,30b c C ===︒中2sin sin sin 3c b B C B =⇒=此时b c >，所以出现两个角符合题意，即存在两个三角形. 所以选择D 【点睛】在直接用正弦定理求另外一角中，求出 sin θ后，记得一定要去判断是否会出现两个角.5．A解析：A 【分析】由222sin sin sin sin A C B A C +-=，利用正弦定理和余弦定理，可得6B π=，再根据正弦定理、三角形内角和及两角和的余弦公式，得到2a -4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，借助角C 的范围，即可求得结果. 【详解】222sin sin sin sin A C B A C +-=，∴222a c b +-=，∴2222a c b ac +-=，∴cos 2B =，又0B π<<，∴6B π=，12sin sin sin sin 6b A C B ac π====，∴2sin a A =，2sin c C =，∴24sin a A C -=-4sin()B C C =+-4sin()6C C π=+-14cos 22C C C ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭2cos C C =-14cos sin 22C C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为506C π<<，所以7336C πππ<+<，所以当3C ππ+=时，2a -取得最小值，且最小值为4-.故选：A. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用、三角形内角和的应用、两角和的余弦公式及余弦型函数的最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，属于中档题.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，一 般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.6．D解析：D 【分析】根据cos cos a A b B =，利用正弦定理将边转化为角得到sin cos sin cos A A B B =，然后再利用二倍角的正弦公式化简求解. 【详解】因为cos cos a A b B =，由正弦定理得：sin cos sin cos A A B B =， 所以sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-， 即A B =或2A B π+=所以ABC 一定是等腰三角形或直角三角形， 故选：D 【点睛】本题主要正弦定理，二倍角公式的应用，属于中档题.7．C解析：C 【分析】利用正弦定理边化角，结合辅助角公式可求得sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而确定3B π=；利用余弦定理构造方程可求得()24+=a c ac ，代入所求式子即可化简得到结果. 【详解】sin cos 0b A B =，()sin sin cos sin sin 2sin sin 03B A A B A B B A B π⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭，()0,A π∈，sin 0A ∴≠，sin 03B π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，又()0,B π∈，3B π∴=.()22222231cos 2222a c ac a cb ac ac B ac ac ac +-+-+-∴====，整理可得：()24+=a c ac ，2a cb+∴====. 故选：C . 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角、余弦定理的应用等知识；解决此类问题的关键是能够通过正弦定理，将边的齐次式转化为角的关系，属于常考题型.8．C解析：C 【分析】设1BC CD ==，计算出ACD ∆的三条边长，然后利用余弦定理计算出cos DAC ∠． 【详解】如下图所示，不妨设1BC CD ==，则2AB =，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点D ， 易知四边形BCDE 是正方形，则1BE CD ==，1AE AB BE ∴=-=，在Rt ADE ∆中，AD ==AC在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos2AC AD CD DAC AC AD +-∠===⋅， 故选C ．【点睛】本题考查余弦定理求角，在利用余弦定理求角时，首先应将三角形的边长求出来，结合余弦定理来求角，考查计算能力，属于中等题．9．C解析：C 【分析】cos sin sin 33B C C B A =-，再由三角恒等变换化简可得sin 3=-B B ，进而可得tan 3B =.【详解】 因为1a =cos si 3n 3b c C B -=3cos sin 3b C c B a -=，cos sin sin 33B C C B A =-， 又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，33in n co c s s os in s 3s n n i i B C B C C B B C =-， 化简得sin sin 3sin C B B C =-， 因为()0,C π∈，()0,B π∈，所以sin 0C ≠， 所以sin 3=B B 即tan 3B = 所以23B π=. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角恒等变换及正弦定理的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.10．C解析：C 【解析】 ∵3,2,45a b B ===︒∴根据正弦定理sin sin a b A B=，即sin sin a B A b ===∵a b =>=∴()45,135A ∈︒︒ ∴60A =︒或120︒ 故选C11．D解析：D 【分析】由题意得出点D 为AF的中点，由余弦定理得出AB =，结合三角形面积公式得出正确答案. 【详解】2,BD AD AF BD ==，2AF AD ∴=，即点D 为AF 的中点由余弦定理得：2222cos120AB AD BD AD BD ︒⋅-=+解得：AB =)22ABC1()sin 601217sin 602DEFAD S S ︒︒∴== 故选：D 【点睛】本题主要考查了余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题.12．B解析：B 【分析】根据正弦定理，边角互化可得2b ac =，再根据2221a c a c b c a ac+-+-=，利用余弦定理求角.【详解】∵2sin sin sin B A C =，∴21b ac=，∴2221a c a c b c a ac+-+-== ∴cos 2B =，又()0,πB ∈∴6B π=．故选:B ．【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解不等式，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型.二、填空题13．4【分析】首先利用余弦定理和三角形面积公式建立关于的方程再分别求根据余弦定理求结合条件求得的值【详解】得：解得：①中利用余弦定理②由①②可得解得：或即当时得此时不成立当时得此时成立故故答案为：4【点 解析：4【分析】首先利用余弦定理和三角形面积公式，建立关于,a c 的方程，再分别求,a c ，根据余弦定理求b ，结合条件AB AC >，求得BC 的值.【详解】2tan 3B =，得：sin 13B =，cos 13B =11sin 422ABC S ac B ac ===，解得：ac =① ABM中，利用余弦定理222252cos 5424a a a c c B c =+-⋅⋅=+= ② 由①②可得22174ac a c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得：2a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩4a c =⎧⎪⎨=⎪⎩， AB AC >，即c b >当2a c ==时，2222cos 32b a c ac B =+-=，得b =c b <，不成立，当4,a c == 2222cos 5b a c ac B =+-=，得b =c b >，成立，故4BC a ==.故答案为：4【点睛】易错点点睛：本题的易错点是求得,a c 后，还需满足条件AB AC >这个条件，否则会增根. 14．【分析】用余弦定理表示出求出后利用余弦函数性质可得最大值【详解】记则在中同理在中可得∴设则其中是锐角显然存在使得∴的最大值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理考查换元法求最值解题方法是用解析：【分析】用余弦定理表示出,AC AB ，求出2AC AB +后利用余弦函数性质可得最大值．【详解】记AMC α∠=，则AMB πα∠=-，在AMC中，2222cos 314AC AM MC AM MC ααα=+-⋅=+-=-， 同理在AMB中可得24AB α=+，∴228AB AC +=，设AB x =，AC x =，(0,)2x π∈．则12cos )cos )2AC AB x x x x x x +=+=+=+)x θ=+，其中cos θθ==θ是锐角， 显然存在0(0,)22x ππθ=-∈，使得0sin()1x θ+=， ∴2AC AB +的最大值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理，考查换元法求最值．解题方法是用余弦定理表示出,AB AC ，得出228AB AC +=，利用三角换元法AB x =，AC x =，(0,)2x π∈．这里注意标明x 的取值范围．在下面求最值时需确认最值能取到，然后结合三角函数的性质求最值．15．【分析】设那么在中利用正弦定理求出关于的函数并求出其最大值即可求解【详解】在中可得所以设那么在中由正弦定理可得其中所以当时取到最小值最小值为故面积的最小值故答案为：【点睛】本题考解三角形的实际应用考 解析：130【分析】设CED θ∠=，m DE x =，那么6BFE πθ∠=+，cos CE x θ=，在BEF 中，利用正弦定理，求出x 关于θ的函数，并求出其最大值，即可求解.【详解】在Rt ABC △中，AB =，AC =，可得CB =. 所以6ABC π∠=设CED θ∠=，m DE x =，那么6BFE πθ∠=+，cos CE x θ=.在BFE △中，由正弦定理，可得sin sin 66xπθ=+ ⎪⎝⎭，132(cos sin )cos 1021,(3sin 2cos )102122x x xθθθθθ++=+=， 2121101010sin()3sin 2cos 7s 3in()x θαθθθα===+++，其中23tan α=， 所以当sin()1θα+=时，x 取到最小值，最小值为103， 故DEF 面积的最小值21sin 75375 1.73129.7513023S x π=⨯=≈⨯=≈. 故答案为：130【点睛】本题考解三角形的实际应用，考查正弦定理，三角恒等变换，以及三角函数的性质，属于中档题.本题解题的关键在于设CED θ∠=，m DE x =，进而在BFE △中，得1021cos sin sin 66xx θππθ-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而将问题转化为求边x 的最小值问题. 16．【解析】如图在△MNO 中由正弦定理可得则这艘船的航行速度(海里/小时)点睛：(1)测量两个不可到达的点之间的距离问题一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题然后把求未知的另外边长问题解析：176 【解析】如图,在△MNO 中，由正弦定理可得，68sin120686346sin 45MN === 则这艘船的航行速度6642v ==(海里/小时). 点睛：(1)测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题．然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决．(2)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理解决．17．【分析】由余弦定理可求出角再根据正弦定理即可表示出然后利用消元思想和辅助角公式即可求出的最大值【详解】因为所以而∴∵∴∴其中所以的最大值为当时取得故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中解析：【分析】由余弦定理可求出角B ，再根据正弦定理即可表示出2a c +，然后利用消元思想和辅助角公式，即可求出2a c +的最大值．【详解】因为222a cb ac +-=，所以2221cos 222a c b ac B ac ac +-===，而0B π<<，∴3B π=．∵2sin sin sin sin 3a b c A B C π====，∴2sin ,2sin a A c C ==．∴222sin 4sin 2sin 4sin 4sin 3a c A C A A A A π⎛⎫+=+=+-=+ ⎪⎝⎭()A ϕ=+，其中tan 2ϕ=． 所以2a c +的最大值为2A πϕ=-时取得．故答案为：【点睛】 本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及利用三角函数求解三角形中的最值问题，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．18．或【分析】由正弦定理求得得到或分类讨论即可求得的值【详解】由正弦定理可得所以因为所以或当时可得；当时此时综上可得或故答案为：或【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用其中解答中利用正弦定理求得的值得出的解析：【分析】由正弦定理，求得sin C =，得到60C ︒=或120C ︒=，分类讨论，即可求得a 的值. 【详解】 由正弦定理，可得sin sin b c B C =，所以sin 3sin c B C b ⋅===， 因为(0,180)C ∈，所以60C ︒=或120C ︒=，当60C ︒=时，90A ︒=，可得a =；当120C ︒=时，30A ︒=，此时a b ==综上可得a =a =故答案为：.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中利用正弦定理求得sin C 的值，得出C 的大小是解答的关键，着重考查分类讨论，以及运算与求解能力. 19．【分析】由正弦定理得由平方关系和余弦定理可得再利用面积公式即可得解【详解】由已知条件及正弦定理可得易知所以又所以所以所以即所以的面积故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用 解析：32【分析】由正弦定理得sin A =32bc =，再利用面积公式1sin 2S bc A =即可得解. 【详解】由已知条件及正弦定理可得2sin sin sin sin B C A B C =，易知sin sin 0B C ≠，所以sin 2A =， 又2226b c a +-=，所以2223cos 2b c a A bc bc+-==，所以cos 0A >，所以cos A =32bc =，bc =，所以ABC 的面积113sin 2222S bc A ==⨯=． 故答案为：32. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题. 20．【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦利用两角和公式化简求得的值进而求得【详解】由于为三角形内角可得故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理的应用解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为 解析：2π 【分析】 根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sin A 的值进【详解】cos cos sin b C c B a A +=，2sin cos sin cos sin()sin sin B C C B B C A A ∴+=+==，sin 0A ≠，sin 1A ∴=，∴由于A 为三角形内角，可得2A π=． 故答案为：2π． 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦． 三、解答题21．（1）3π；（2）3）493π. 【分析】（1）由余弦定理，求得1cos 2B =，即可求得角B 的大小； （2）由三角形的面积公式，即可求得ABC S的面积； （3）由正弦定理，求得2sin AC R B ==. 【详解】 （1）由题意，在ABC 中，5BC =，7AC =，8AB =， 由余弦定理有2222225871cos 22582BC AB AC B BC AB +-+-===⋅⨯⨯， 因为(0,)B π∈，所以3B π=.（2）由三角形的面积公式，可得ABC S=11sin 8522AB BC B ⋅=⨯⨯= （3）由正弦定理，可得72sin sin 3AC R B π===，所以外接圆面积为2493ππ⨯=. 22．（1）30；（2）2a ≥【分析】（1）由正弦定理化角为边可得222b c a +-=，再利用余弦定理即可求出； （2）由面积公式可得8bc =+.（1）由已知结合正弦定理可得()()()3a b a b c c b -+=-，即2223b c a bc +-=， 则由余弦定理可得22233cos 2b c bc A bc a +===-， ()0,180A ∈，30A ∴=；（2）11sin 2324ABC S bc A bc ===+△，则843bc =+， 由2223234a b c bc bc bc =+-≥-=，当且仅当b c =时等号成立，2a ∴≥.23．（1）23C π=；（2）10AB . 【分析】（1）利用诱导公式可得角C 的余弦值，从而可求C 的大小.（2）利用余弦定理和韦达定理可求AB 的长.【详解】（1）由题设可得()1cos 2C π-=即1cos 2C =-， 而C 为三角形内角，故23C π=. （2）由韦达定理可得23,2a b ab +==， 由余弦定理可得()2222222cos 10AB a b ab C a b ab a b ab =+-=++=+-=，故10AB. 24．6；32114． 【分析】在BCD 中，根据AD =3CD ，BD =27，利用余弦定理求解CD ，在A BD 中,利用正弦定理求解.【详解】如图所示：在等边ABC 中，AD =3CD ，所以AC =2CD ．又BD 7所以BD 2=BC 2+CD 2-2BC ⋅CD ⋅cos ∠BCD ，即)2=(2CD )2+CD 2-2⋅2CD ⋅CD ⋅cos120°，解得CD =2，可得AD=6,由sin 60AD ABD =∠, 得6sin 60ABD =∠， 解得sin ∠ABD25．S AB == 【分析】 利用韦达定理求出,a b ab +,再利用余弦定理,得到关于c 的方程，解之可得AB 的长；再结合面积公式可得.【详解】,a b 是方程220x-+=的两个根, 2a b ab ∴+==,又因为120A B +=︒则60C =︒,所以由余弦定理得：()(22222222221cos 22222c a b ab c a b c C ab ab -⨯-+--+-====⨯，解得c= 所以AB =ABC的面积11sin 222S ab C ==⨯= 26．3A π=，sin b B c 2= 【分析】 由已知条件变形，结合余弦定理可求得A ，由2b ac =得=b a c b，结合正弦定理可求得sin b B c. 【详解】由2b ac =，且a 2－c 2=ac －bc ，得222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，因为0A π<<，所以3A π=. 因为2b ac =，所以=b ac b ，所以sin sin sin 2b B a B A c b === 故3A π=，sinb Bc =【点睛】关键点点睛：利用正弦定理和余弦定理求解是解题关键.。
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xxxXXXXX学校XXXX年学年度第二学期第二次月考
XXX年级xx班级
姓名：_______________班级：_______________考号：_______________
题号一、简答
题
二、选择
题
三、填空
题
总分
得分
一、简答题
（每空？分，共？分）
1、在中，内角所对的分别是，已知；
（I）求和的值；（II）求的值.
2、在中，角A,B,C的对边分别为,b,c,且满足，．
（Ⅰ）求的面积；
（Ⅱ）若，求边与的值．
3、在中，角所对的边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．
4、已知、、为的三内角，且其对边分别为、、，若．
评卷人得分
（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面积．
5、在△中，角，，的对边分别为，，分，且满足．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求△面积的最大值．
二、选择题
评卷人得分
（每空？分，共？分）
6、在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是
A ． = 14，b = 16，A = 45°
B ．= 60，c = 48，B = 100°
C ．= 7，b = 5，A = 80° D．b = 10，A = 45°，B = 70°
7、在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C 的对边，若，C=75°，则b=
A ．
B ．
C ． D．2
8、在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C 的对边，若，C=75°，则b=
A ．
B ．
C ． D．2
9、在中，若，则的形状是
A.正三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角形
10、已知角的顶点在原点, 始边与轴非负半轴重合, 终边过, 则（）
A. B. C.
D.
11、△ABC中，已知，则A的度数等于（）
A． B． C． D．12、△ABC中，若，则△ABC的形状为（）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形
13、的内角的对边分别为，若，,则等于（）
A.5
B.25
C.
D.5
14、海事救护船在基地的北偏东，与基地相距海里，渔船被困海面，已知距离基地海里，而且在救护船正西方，则渔船与救护船的距离是( )
(A)海里 (B)海里 (C)海里或海里(D)海里
15、已知的三边分别为，满足，则此三角形的形状是
（）
A．等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰或直角三角形
D. 等腰直角三角形
16、已知的三边分别为，满足，则此三角形的形状是
（）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰或直角三角形
D. 等腰直角三角形
17、已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为 ( )
A．9
B．18
C．9 D．18
18、△ABC中，∠A、∠B的对边分别为a、b，a=7,b=14，且∠A=30°，那么满足条件的△ABC（）A．有一个解 B．有两个解 C．无解 D．不能确定
19、已知外接圆的半经为，则等于（）
A ．
B ．
C ． D．不确定
20、若中，三边，则.....................................（）
A．一定是锐角三角形. B．一定是直角三角形.
C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
三、填空题
评卷人得分
（每空？分，共？分）
21、设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA=，cosB=，b=3则c= 。
22、中，角的对边分别是，若，，则的面积是▲．
23、如图，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求建筑物AE的高度。
24、已知a，b， c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC=
25、在△ABC中，若则△ABC的形状是_______ __三角形。
26、若△ABC的边满足且C=60°，则的值为 .
参考答案
一、简答题
1、
2、，……2分
，，，……6分
由得，的面积为．……8分
（Ⅱ）因，故，……10分
由余弦定理得…
3、解：（1）由正弦定理得
因为所以
又故
（2）由（1）知于是
取最大值2．
故的最大值为2，此时
4、
5、解：（Ⅰ）因为，
所以
由正弦定理，得．
整理得．
所以．
在△中，．
所以，．
（Ⅱ）由余弦定理，．
所以
所以，当且仅当时取“=”．
所以三角形的面积．
所以三角形面积的最大值为．
二、选择题
6、A
7、B
8、B
9、B
10、B
11、A
12、B
13、A
14、c
15、【答案】C
【解析】因为，所以由正弦定理得：
，即，因此选C。
16、【答案】C
【解析】因为，所以由正弦定理得：
，即，因此选C。
17、C
18、A
19、C
20、B
三、填空题
21、【答案】
【解析】因为cosA=，cosB=，所以，由正弦定理得：
，由余弦定理得：，解得.
22、【答案】1.
【命题意图】本题考查正弦定理、三角形面积公式．简单题．
23、 15m
24、【答案】1
【解析】因为A+C=2B，所以B=，所以由正弦定理得：，所以，所以
，所以。
25、
26、【答案】4
由余弦定理得，即，解得。