12.三角形中的动点问题
全等三角形中的动点问题
全等三角形中的动态问题解决动点问题的常见思路：1、注意分类讨论；2、仔细探究全等三角形对应边与对应角的变化；3、利用速度×时间表示处相应线段或边的长度，列出方程求解。
例1如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E离开点A后，运动多少秒时，△DEB与△BCA全等。
例2已知，如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6，延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P 从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC—CD—DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为何值时，△ABP与△DCE全等。
练习：1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=7厘米，BC=3厘米，CD为AB边上的高，点E从点B出发沿直线BC以2厘米/秒的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F。
（1）证明：∠A=∠BCD；（2）当点E运动多长时间时，CF=AB。
请说明理由。
2、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A（0，m），B（n，0），且｜m−n−3｜+2n−6=0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒。
（1）求OA、OB的长；（2）连接PB，设△POB的面积为S，用含t的式子表示S；（3）过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。
例3如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，∠ACE=90°，且AC=5cm，CE=6cm，点P以2cm/s的速度沿A—C—E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始在线段EC上往返运动，当点P到达终点时，P、Q同时停止运动。
2024年人教版八年级上册数学第十二章全等三角形专题四 全等三角形中的动点问题
第十二章 全等三角形
专题四 全等三角形中的动点问题
专题四
全等三角形中的动点问题
类型1 以 U 型框为背景的动点问题
1. [2024雅安月考]如图，做一个“U”字形框架
PABQ ，其中 AB ＝42 cm， AP ， BQ 足够长， PA ⊥
AB ， QB ⊥ AB ，点 M 从点 B 出发，向点 A 运动，
10厘米， BC ＝8厘米， CD ＝12厘米，∠ B ＝∠ C ，点 E
为 AB 的中点.如果点 P 在线段 BC 上以3厘米/秒的速度由
B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CD 上由 C 点向 D 点
运动.(1)ຫໍສະໝຸດ 点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过1秒
后，△ BPE 与△ CQP 是否全等？请说明理由.
∴ BE ＝5厘米，∴ BE ＝ PC ，
＝，
在△ BPE 和△ CQP 中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴△ BPE ≌△ CQP (SAS).
1
2
3
4
专题四
全等三角形中的动点问题
(2)当点 Q 的运动速度为多少时，能够使△ BPE 与△ CQP
全等？
【解】∵△ BPE 与△ CQP 全等，
∵∠ A ＝∠ B ＝90°，
∴使△ ACM 与△ BMN 全等，可分两种情况：
情况一：当 BM ＝ AC ， BN ＝ AM 时，
∵ BN ＝ AM ， AB ＝42 cm，
∴4 t ＋3 t ＝42，解得 t ＝6，
∴ AC ＝ BM ＝3×6＝18(cm)；
1
2
3
4
专题四
全等三角形中的动点问题
三角形全等动点问题解题规律
三角形全等动点问题解题规律三角形的全等动点问题是在平面几何中经常遇到的问题之一。
这类问题通常要求找到一个或多个点，使得这些点对应的三角形与给定三角形全等。
解题的关键是确定这些点的位置和坐标，以及使用适当的几何方法证明三角形全等。
在解决这类问题时，我们可以遵循以下一般的解题规律：1.分析已知条件：首先，我们要仔细阅读题目，理解已知条件和要求。
特别注意已知的角度、边长、垂直关系等信息。
2.找到对应点：根据题意，我们要找到一或多个对应的点，使其对应的三角形与给定三角形全等。
这些点可以是已知已知条件中的角的顶点、边的中点、高与底的交点等。
3.确定点的位置与坐标：根据对应点的定义，我们要确定这些点的位置和坐标。
在某些问题中，我们可以通过画图、构造辅助线、使用垂直关系等方法来确定点的位置和坐标。
4.利用几何方法证明全等：一旦确定了对应点的位置和坐标，我们要使用适当的几何方法证明三角形全等。
常用的方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HLL等。
我们应根据已知条件和问题要求选择合适的方法。
5.运用证明确定未知要求：在证明全等的过程中，通常会利用到已知条件和问题要求去确定未知的角、边长、面积等。
我们可以运用同位角、对顶角、周角和等于180°的性质，去求解未知要求。
6.检查结果：在解答完毕后，我们应检查结果是否与题目的要求相符。
我们可以重新计算角、边长、面积等，或者利用全等的性质进行检验。
接下来，我将通过一个具体的例子来说明如何应用解题规律解决全等动点问题。
例题：已知△ABC，点D为AC边的中点，E为BC边的中点。
证明△BDE ≌ △ABC。
解题步骤：1.分析已知条件：根据题目，已知点D为AC边的中点，点E为BC 边的中点。
我们要证明△BDE ≌ △ABC。
2.找到对应点：根据题目，我们可以找到对应点：AD为BC的中线，BE为AC的中线，DE为AB的中线。
因此，我们可以推断三角形△BDE与△ABC全等。
3.确定点的位置与坐标：我们可以通过画图来确定这些点的位置和坐标。
浅谈三角形中的动点问题
浅谈三角形中的动点问题动点问题是一类灵活、有难度的数学问题，也是近些年来各市中考中常出现的考点。
本文将以湘教版八年级全等三角形中一道习题为例，对变化出来的一系列动点问题从如下几个方面进行探讨和阐述。
一．本文选题背景1、知识背景：本题用到的知识点是：全等三角形；2、思维方法背景：转化思想；二．选择母题的目的：动点问题历来是中考的压轴考点；要让学生解决复杂的动点问题， 必须让学生在初二就形成动态问题的思考方式，遵循由易到难的原则，故选择这道题作为母题；三、原题已知：如图，△ABC 是等边三角形、点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为边作△ADE ，△ADE 是等边三角形，连接CE ；求证：BD=CE题目分析：从数量上来看，BE 与CE 是应该相等的；证明边相等，可以考虑全等三角形的判定定理来证明△BAD ≌△EAC ，然后利用全等三角形的性质来说明边相等.证明：∵ △ABC 、△ADE 是等边三角形 ∴ AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°；又∵∠DAC=∠DAC ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠EAC∴ △BAD ≌△EAC ∴ BD=CE四、拓展与变式变式1：“正三角形”改为等腰三角形，是否△BAD ≌△EAC 成立那么BD 与CE 的结论成立吗？探究BC=DC+CE 是否成立.题目：在△ABC 中，AB=AC,点D 是线段BC 上一点（不与B 、C 重合），AD 为一边作△ADE ，使AD=AE ，∠DAE=∠BAC ，连接CE.求证：BD=CE ，并直接判断结论BC=DC+CE 是否成立；证明： ∵∠DAE=∠BAC∴DAE-DAC BAC-DAC ∠∠=∠∠ 即EAC BAD ∠=∠又∵AB=AC ，AD=AE∴△BAD ≌△EAC∴CE=BD ∵BC=DC+BD ∴BC=DC+CEC AB F DC B F D变式2：将变式1的条件“点D 是线段BC 上一点（不与B 、C 重合）”修改为“点D 在边CB 的延长线上或者在边BC 的延长线上”，是否△BAD ≌△EAC 成立？并探究“BC 、DC 、CE ”的数量关系。
等边三角形中的动点问题
三角形中的动点问题1、已知，如图△ABC是边长3cm的等边三角形.动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动.设点P的运动时间为（s），当t为何值时，△PBC是直角三角形？2、已知，如图△ABC是边长3cm的等边三角形. 动点P从点A出发，沿AB向点B 运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发. 设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形?3、已知，如图△ABC是边长3cm的等边三角形. 动点P从点A出发，沿AB向点B 运动，动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动. 连接PQ交AC于D. 如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发.设运动时间为t（s），那么当t为何值时，△DCQ 是等腰三角形?4、已知，如图△ABC是边长3cm的等边三角形.动点P从点A出发，沿AB向点B 运动，动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动. 连接PQ交AC于D. 如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发. 设运动时间为t（s），连接PC. 请探究：在点P、Q的运动过程中△PCD和△QCD的面积是否相等？5、如图（1）△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P边BC上，若这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连接AP，BD交于点Q，两点运动过程中AP=BD成立吗？请证明你的结论；（2）如果把原题中“动点D在边CA上，动点P边BC上，”改为“动点D，P在射线CA和射线BC上运动”，其他条件不变，如图（2）所示，两点运动过程中∠BQP的大小保持不变．请你利用图（2）的情形，求证：∠BQP=60°；（3）如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连接PD交BC于E”，其他条件不变，如图（3），则动点D，P在运动过程中，DE始终等于PE吗？写出证明过程．6、如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？7、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF．（1）求证：△ADF≌△CEF（2）试证明△DFE是等腰直角三角形8、已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B 时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；9、如图，在等腰△ACB中，AC＝BC＝5，AB＝8，D为底边AB上一动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝．10、在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC 上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.初二下及初三：三角形中的动点问题1、如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，点P、Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP＝AQ．点D、E分别是点A、B以Q、P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H，当点E到达顶点A时，P、Q同时停止运动，设BP的长为x，△HDE的面积为y．（1）求证：△DHQ∽△ABC；（2）求y关于x的函数关系式并求y的最大值；（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？2、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD是BC边上的高，点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且∠EDF＝90°．（1）求DE∶DF的值；（2）联结EF，设点B与点E间的距离为x，△DEF的面积为y，求y关于x 的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）设直线DF与直线AB相交于点G，△EFG能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE的长；若不能，请说明理由．图1 备用图备用图3、如图1，在△ABC中，∠ACB＝，AC＝BC＝2，M是边AC的中点，CH⊥BM于H．（1）试求sin∠MCH的值；（2）求证：∠ABM＝∠CAH；（3）若D是边AB上的点，且使△AHD为等腰三角形，请直接写出AD的长为________．图14、如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？全等三角形中的动点问题1．如图，在等边的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A 向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问（1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？（2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中的大小条件不变，求证：（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE 交AC于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确？6. 如图，在等腰梯形中，∥，,AB=12 cm,CD=6cm , 点从开始沿边向以每秒3cm的速度移动，点从开始沿CD边向D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。
三角形中的动点问题
三角形中的动点问题在三角形中，我们考虑一个特殊的问题：如何确定一个动点在三角形内移动时与三角形的边界交点的轨迹？首先，我们需要了解一些三角形的基本知识。
三角形由三条边和三个顶点构成。
我们可以使用三边之间的关系来解决这个问题。
假设我们有一个三角形ABC，其中A、B、C分别为三个顶点，而a、b、c分别为对应的边长。
此外，我们有一个动点P在三角形内移动。
首先，让我们考虑动点P在边AB上移动时与三角形的边界交点的情况。
如果我们将边AB延长成为直线，那么动点P的轨迹将是这条直线上距离A点一定距离的所有点。
同样，如果动点P在边AC和BC上移动时，其轨迹也可以由类似的思路得到。
接下来，我们考虑动点P在三角形内部的情况。
假设我们将边AB、BC、CA延长成为直线，它们会相交于一个点，我们将其称为无穷远点O。
那么，动点P在三角形内部移动时，其轨迹可以被视为无穷远点O到动点P的连线所夹的角度组成的轨迹。
综上所述，当动点P在三角形内移动时，与三角形边界的交点的轨迹可以分为三条线段和一条角度。
这一结论在三角形的一般情况下成立。
通过解决三角形中的动点问题，我们可以深入了解三角形的性质和几何知识。
这个问题也可以拓展到更复杂的几何图形中，从而引发更多有趣的研究和探索。
总结起来，三角形中的动点问题是一个有趣且具有挑战性的几何问题。
通过分析三角形的边界和动点的位置关系，我们可以得出动点与三角形边界交点的轨迹，并进一步探索几何图形的性质。
这个问题不仅有助于加深我们对三角形的理解，还能培养我们的几何思维能力。
三角形中的动点问题
［ ２ ０ １ ６ ］ Ｇ Ｈ Ｂ ０ ６ ５ ３ ） 成果．
动点问题一直是 中考 热点题 型 ． 三 角形 中动 点 问题 是
常见类型 ， 这类 问题 首先从 三角形一 边上 的单 动点运 动 ， 引
图３
（ １ ） 当ｔ ＝ ２ ． ５秒时 ， 求ＡＣ Ｐ Ｑ的面积； （ ２ ） 求ｉ Ｘ Ｃ Ｐ Ｑ的面积 Ｓ （ 平 方 米） 关 于时 间 ｔ （ 秒） 的函
二
的周长最小 的点 Ｐ ．
’ 。 ．
． ‘ ． ．
１
ｓ ＝ ÷ × Ｑ ｃ× Ｐ Ｄ＝ ３ ． ７ ５ ．
ＡＣ上ＢＤ．
又‘ ． ’ ＡＢ ＝ＢＣ ＝Ｃ Ｄ ＝Ｄ Ａ ＝２，
’
． ．
Ｚ 『 ＰＣ＝９ ０。 ．
‘
‘
．
是Ｂ Ｃ的中点 ，
． ． ．
Ｂ Ｅ ： 如Ｃ ： １ ， Ｐ Ｅ ： ÷ 曰 Ｃ ： １ ，
＝ ，
．
’
．
‘Ｌ Ｄ Ａ Ｂ ＝６ ０ 。．
．
‘ ．
ＬＡＢ Ｃ ＝１ ２ ０。 。 ＡＰ Ｂ Ｅ ＝６ ０ 。 ，
Ｐ Ｂ ＝Ｂ Ｅ ＝Ｐ Ｅ ＝１ ．
・
． ． ’
． ．
．
ＰＢ＋Ｂ Ｅ ＋ＰＥ：３．
Ｑ Ｅ＝ ３
，
．
．
即△胎 目的周长的最小值为 ３ ．
・
二、 三角形动点问题 中的 函数解析式 、 面积等 例 ２ 如图 ３所 示， 在 △Ａ Ｂ Ｃ中， 曰＝９ ０ 。 ， Ａ Ｂ＝ ６米 ，
（ ０＜ｔ ＜５ ） ．
（ ３ ） 当 ｔ ＝ 秒 （ 此 时 Ｐ ｃ ＝ Ｑ Ｃ ） ， 等 秒 （ 此 时 Ｐ ｃ ＝ Ｑ Ｃ ） ，
专题 三角形中的动点问题(强化题型)(学生版)
专题12三角形中的动点问题1．（2022春•和平区校级月考）如图1，7AB cm =，AC BD ⊥，BD AB ⊥，垂足分别为A 、B ，5AC cm =，点P 在线段AB 上以2/cm s 的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在射线BD 上运动，它们运动的时间为t 秒．（当点P 运动结束时，点Q 运动随之结束）（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当1t =时，ACP ∆与BPQ ∆是否全等，并判断此时线段PC 和线段P Q 的位置关系，请分别说明理由；（2）如图2，若“AC AB ⊥，BD AB ⊥”改为“CAB DBA ∠=∠”，点Q 的运动速度为x /cm s ，其他条件不变，当点P 、Q 运动到何处时有ACP ∆与BPQ ∆全等，则x 的值为．（直接写出x 的值）2．（2022秋•潢川县校级期末）已知：如图，在梯形ABCD 中，12AB DC cm ==，15BC cm =，B C ∠=∠，点E 为边AB 上一点，且5AE cm =．点P 在线段BC 上以每秒3cm 的速度由点B 向点C 运动，同时点Q 在线段CD 上由点C 向点D 运动．设点P 运动时间为t 秒，请回答下列问题：（1）线段BP ，C P 的长可用含t 的式子分别表示为：B P =，CP =．（2）若某一时刻B P E ∆与CQP ∆全等，求此时t 的值和线段B P 的长3．（2022秋•洮北区校级月考）如图，已知正方形ABCD 中，边长为10cm ，点E 在AB 边上，6BE cm =．点P 在线段BC 上以4/cm 秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上以a 厘米/秒的速度由C 点向D 点运动，设运动的时间为t 秒．（1）B P =cm ，CP =cm ．（用含t 的代数式表示）（2）若以E 、B 、P 为顶点的三角形和以P 、C 、Q 为顶点的三角形全等，求a 的值．4．（2020秋•新市区校级期末）如图，已知ABC ∆中，12AB AC ==厘米．9BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在BC 边上以3厘米/秒的速度由B 向C 点运动，同时点Q 在C A 边上由C 点向A 点运动．①若点Q 与点P 的运动速度相等，1秒钟时，B P D ∆与CQP ∆是否全等？请说明理由；②若点Q 与点P 的运动速度不相等，要使B P D ∆与CQP ∆全等，点Q 的运动速度应为多少？并说明理由；（2）若点Q 以②的运动速度从点C 出发点，P 以原来运动速度从点B 同时出发，都沿ABC ∆的三边按逆时针方向运动，当点P 与点Q 第一次相遇时，求它们运动的时间，并说明此时点P 与点Q 在ABC ∆的哪条边上．5．（2022春•华容县期中）如图，已知正方形ABCD 的边长为10cm ，点E 在AB 边上，6BE cm =．（1）如果点P 在线段BC 上以4/cm s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，B P E ∆与CQP ∆是否全等．请说明理由．②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使B P E ∆与CQP ∆全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿正方形ABCD 四边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在正方形ABCD 边上的何处相遇？相遇点在何处？6．（2021秋•濮阳期中）如图，已知四边形ABCD 中，8AB BC cm ==，6CD cm =，B C ∠=∠，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速运动，点Q 运动的速度是每秒2cm ，点P 运动的速度是每秒a (2)cm a ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t 秒，（1）BQ =；B P =；（用含a 或t 的代数式表示）（2）运动过程中，连接P Q 、DQ ，BPQ ∆与CDQ ∆是否全等？若能，请求出相应的t 和a 的值；若不能，请说明理由．7．（2022秋•南召县期末）如图，在四边形ABCD 中，B C ∠=∠，20AB cm =，15BC cm =，E 为AB 的中点，若点P 在线段BC 上以5/cm s 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CD 上由点C 向点D 运动．（1）若点Q 运动的速度是5/cm s ，经过1秒后，B P E ∆与CQP ∆是否全等，请说明理由；（2）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当B P E ∆与CQP ∆全等时，求出点Q 的运动速度．8．（2022秋•蒸湘区校级期末）如图，在ABC ∆中，2AB AC ==，40B ∠=︒，点D 在线段BC 上运动(D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 与AC 交于E ．（1）当115BDA ∠=︒时，BAD ∠=︒，DEC ∠=︒；当点D 从B 向C 运动时，B D A ∠逐渐变（填”大”或”小”)；（2）当2DC AB ==时，A B D ∆与D CE ∆是否全等？请说明理由：（3）在点D 的运动过程中，A D E ∆的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出B D A ∠的度数；若不可以，请说明理由．9．（2022秋•浠水县校级期中）如图（1），14AB cm =，10AC cm =，AC AB ⊥，BD AB ⊥垂足分别为A 、B ，点P 在线段AB 上以2/cm s 的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在射线BD 上运动．它们运动的时间为()t s （当点P 运动结束时，点Q 运动随之结束）．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当2t =时，ACP ∆与BPQ ∆是否全等，并判断此时线段PC 和线段P Q 的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC AB ⊥，BD AB ⊥”改为“CAB DBA ∠=∠”，点Q 的运动速度为x /cm s ，其它条件不变，当点P 、Q 运动到何处时有ACP ∆与BPQ ∆全等，求出相应的x 和t 的值．10．（2022秋•潍坊期中）如图，已知正方形ABCD 的边长为10cm ，点E 在AB 边上，6BE cm =．（1）如果点P 在线段BC 上以4/cm s 的速度由B 点向C 点运动，点Q 同时在线段CD 上由C 点向D 点运动，①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，B P E ∆与COP ∆是否全等？并说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，B P E ∆与CQP ∆全等？（2）若点？以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿正方形ABCD 四边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次相遇？相遇点在何处？11．（2022秋•慈溪市月考）如图①，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，9BC cm =，12AC cm =，15AB cm =，现有一动点P 从点A 出发，沿着三角形的边AB BC →运动，到点C 停止，速度为3/cm s ，设运动时间为t ．（1）如图①，当t =时，APC ∆的面积等于ABC ∆面积的一半；（2）如图②，在DE F ∆中，90E ∠=︒，4DE cm =，5DF cm =，D A ∠=∠．在ABC ∆的边上，若另外有一动点Q ，与点P 同时从点A 出发，沿着边AC 运动，到点C 停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好使APQ ∆与D E F ∆全等，求点Q 的运动速度．12．（2022秋•安化县期末）如图，已知12AB cm =，CA AB ⊥于点A ，D B AB ⊥于点B ，且4AC cm =，点P 从点B 向点A 运动，每秒钟走1cm ，点Q 从点B 向点D 运动，每秒钟走2cm ，两点同时出发，运动几秒钟后，CPA ∆与PQB ∆全等？13．（2022秋•江宁区校级月考）如图，已知ABC ∆中，6AB AC cm ==，B C ∠=∠，4BC cm =，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以/lcm s 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段C A 上由点C 向点A 运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，B P D ∆与CQP ∆是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使B P D ∆与CQP ∆全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC ∆三边运动，则经过多少时间后，点P 与点Q 第一次在ABC ∆的哪一边上相遇？14．（2022秋•日照期末）如图（1），4AB cm =，AC AB ⊥，BD AB ⊥，3AC BD cm ==．点P 在线段AB 上以1/cm s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为()t s ．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当1t =时，ACP ∆与BPQ ∆是否全等，并判断此时线段PC 和线段P Q 的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC AB ⊥，BD AB ⊥”改为“60CAB DBA ∠=∠=︒”，其他条件不变．设点Q 的运动速度为x /cm s ，是否存在实数x ，使得ACP ∆与BPQ ∆全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．1115．（2022秋•东西湖区校级期末）如图，已知ABC ∆中，20AC CB cm ==，16AB cm =，点D 为AC 的中点．（1）如果点P 在线段AB 以6/cm s 的速度由A 点向B 点运动，同时，点Q 在线段BC 上由点B 向C 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，A P D ∆与BQP ∆是否全等？说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使A P D ∆与BQP ∆全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点B 出发，点P 以原来的运动速度从点A 同时出发，都逆时针沿ABC ∆三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC ∆的哪条边上相遇？。
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2. 在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点 G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的 直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直 角边恰好经过点B． （1）在图（1）中请你通过观察、测量BF与CG的长度， 猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想； （2）当三角尺沿AC方向平移到图（2）所示的位置时， 一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于 点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、 DF与CG的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足的数量 关系，然后证明你的猜想； （3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图 （3）所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时， （2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）
典型长3cm的等边三角形，动 点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀 速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、 Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），设四边 2 形APQC的面积为y（cm ），解答下列问题： （1）求y与t的关系式； (2)是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是 △ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的 t值； 不存在，说明理由. （3）当t为何值时，△PBQ是直角三角形? （4）设PQ的长为x（cm）， 试确定y与x之间的关系式．
二.解压轴题的几个关键点
1、养成良好的的读题习惯。 2、关注题目中的特殊图形。 (1) 特殊角（如60°的角）； (2)特殊三角形（如正三角形; 3：4：5的直角三 角形; 两直角边比1：2; 含30°的直角三角形） 3、找准“题眼” （1）“题眼”在于某一个特殊图形中。（如一对相 似三角形、某个直角三角形） （2）“题眼”在于某个思想方法中。（如分类讨论 问题中，如何进行分类讨论）
09年中考复习专题 ----中考压轴题(1)
12.三角形中的动点问题
一、关于中考压轴题
1、形式：往往由两到三小题组成，第一小题为 基础题，第 二小题为中上难度问题，第三小题为试卷中最难的问题； 本质特征：在初中主干知识的交汇处命题，涉及的知识点多， 覆盖面广；条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，方法灵活，渗透 了重要的思想方法，体现了较高的思维能力。 2、2008年浙江省各地中考卷 压轴题解析 1、所有压轴题都赋予运动的背景，具体可分为以下几种情况 （1）点的运动：涉及到一个点的运动和两个点的联动（衢州、 台州、嘉兴、07绍兴） （2） 图像的平移：有直线的平移和整支抛物线的平移。（丽 水、温州、义乌） （3） 旋转：三角形的旋转（金华、07绍兴） （4） 翻折：图形的折叠（宁波、衢州、台州、绍兴、湖州） 2、知识点几乎都涉及到函数 （1）函数依然是08中考的热门知识点 。 （2）相似三角形在解题中也很关键。
例2.已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3厘米，CB＝ 4厘米．两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿 △ABC的边运动．当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停 止．点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运 动时间为t（秒）． （1）当点P在AC上,点Q在BC上时,求CP,BQ的长; (2) 当t为何值时，求以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积 S与t的函数关系式,并指出相应的自变量t的取值范围; （3）点P、Q在运动的过程中，(2)中的S有可能等于2厘米2 吗？若有，请求出t值；若没有，请说明理由．
F A B C B G ED C G FA B E G A F C
D
C
Q P A B
练一练
1.已知：∠MAN＝60°，点B在射线AM上，AB=4 （如图）．P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三 角形BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），O是△BPQ 的外心． （1）当点P在射线AN上运动时，求证：点O在 ∠MAN的平分线上； （2）当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合） 时，AO与BP交于点C，设AP=x，AC· AO=y，求y关 于x的函数解析式，并写出函数的取值范围； （3）若点D在射线AN上，AD=2， 圆I为△ABD的内切圆．当△BPQ的 边BP或BQ与圆I相切时，请直接写 出点A与点O的距离．