高中数学课件第二章《第2节函数的定义域和值域》
高考数学一轮复习 第二章 第2课时 函数的定义域与值域课件 理
• 答案 D
• 解析 由表知函数值只有2,3,4,5四个数，故值域为 {2,3,4,5}．
3．若函数 y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数 g(x)＝xf－2x1的
定义域是( )
A．[0,1]
B．[0,1)
C．[0,1)∪(1,4] • 答案 B
D．(0,1)
解析 ∵y＝f(x)的定义域为[0,2]， ∴g(x)的定义域需满足0x－≤12≠x≤0.2， 解得 0≤x<1，故选 B.
________．
• 【解析】 当a>1时，由loga(x－1)>0，得x－1>1，∴x>2. • 当0<a<1时，由loga(x－1)>0，得0<x－1<1，∴1<x<2. • ∴函数的定义域：当a>1时为(2，＋∞)；当0<a<1时为
(1,2)．
• 【答案】 当a>1时为(2，＋∞)；当0<a<1时为(1,2)
解析 方法一：判别式法 由 y＝x2＋x＋x＋1 1，得 x2＋(1－y)x＋1－y＝0. ∵x∈R，x≠－1，∴Δ＝(1－y)2－4(1－y)≥0. 解得 y≤－3 或 y≥1. 当 y＝－3 时，x＝－2；当 y＝1 时，x＝0. 所以，函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
方法二：分离常数法 y＝x2＋x＋x＋1 1＝x＋12－x＋x1＋1＋1＝(x＋1)＋x＋1 1－1， 又(x＋1)＋x＋1 1≥2 或(x＋1)＋x＋1 1≤－2， ∴y≥1 或 y≤－3. ∴函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
授人以渔
题型一 函数的定义域
例 1 (1)函数 y＝ log0.15x－1的定义域为________． • 【解析】 由log0.5(x－1)>0，得0<x－1<1，∴1<x<2，∴
高考数学 第二章 第二节 函数的定义域和值域课件 文
[例 3] 解析：函数 f(x)的定义域为 R，所以 2x2＋2ax－a－ 1≥0 对 x∈R 恒成立，即 2x2＋2ax－a≥1，x2＋2ax－a≥0 恒成立， 因此有 Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0. [答案] [－1,0] [以题试法 3] 解析：由 0≤|x|＋4 2－1≤1，即 1≤|x|＋4 2≤2 得 0≤|x|≤2，满足整数数对的有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)， (0,2)，(－1,2)共 5 个． 答案：5
(3)∵x<0，∴x＋4x＝－－x－4x≤－4， 当且仅当 x＝－2 时等号成立． ∴y∈(－∞，－4]． ∴函数的值域为(－∞，－4]． (4)法一：(换元法)令 1－2x＝t，则 t≥0 且 x＝1－2 t2， 于是 y＝1－2 t2－t＝－12(t＋1)2＋1， 由于 t≥0，所以 y≤12，故函数的值域是－∞，12.
[小题能否全取] 1．A
2．选 D ∵x2＋2≥2，∴0<x2＋1 2≤12.∴0<y≤12.
3．选 B
x 满足xx＋＋11≠>01，， 4－x2≥0，
解得－1<x<0 或 0<x≤2.
即 xx>≠－0，1， －2≤x≤2.
4．解析：由x|x－|－45≥≠00，， 得 x≥4 且 x≠5. 答案：{x|x≥4，且 x≠5}
代
入
得
1＋m＋n＋mn－12＝0， 49－7m＋n＋mn－12＝0
，
解
得
m＝5， n＝1
或
m＝1， n＝5. 所以 m＋n＝6.
[针对训练 2] 解析：选 C 函数式可变形为(y－m)x2－4 3
x＋(y－n)＝0，x∈R，由已知得 y－m≠0，所以 Δ＝(－4 3)2 －4(y－m)·(y－n)≥0，即 y2－(m＋n)y＋(mn－12)≤0，① 由题意，知不等式①的解集为[－1,7]，则－1、7 是方程 y2
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第2章 函数的概念与性质 第2节 函数的单调性与最值 (2)
B.
D.
3
,+∞
2
3
,4
2
)
答案:(1)B (2)D
解析:(1)f(x)=|x2-3x+2|=
2 -3 + 2, ≤ 1 或 ≥ 2,
-( 2 -3 + 2),1 < < 2.
如图所示,函数的单调递增区间是
3
1, 2
和[2,+∞).
(2)要使 f(x)=ln(4+3x-x2)有意义,需 4+3x-x2>0,解得 x∈(-1,4).
断)这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规则进
行判断
对点训练2(1)(2021广西贵港模拟)下列关于函数f(x)=|x-1|-1的结论,正确的
是(
)
A.f(x)在(0,+∞)上单调递增
B.f(x)在(0,+∞)上单调递减
C.f(x)在(-∞,0]上单调递增
D.f(x)在(-∞,0]上单调递减
1,为有理数,
例如:函数 f(x)=
它的定义域为 R,但不具有单调性.
0,为无理数,
2.函数的最值
前提
条件
结论
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
①对于任意x∈I,都有 f(x)≤M ; ③对于任意x∈I,都有 f(x)≥M ;
②存在x0∈I,使得 f(x0)=M
④存在x0∈I,使得 f(x0)=M
故函数f(x)的最大值为2.
突破技巧求函数最值的五种常用方法及其思路
单调性法
图象法
基本不等
式法
导数法
换元法
先确定函数的单调性,再由单调性求最值
高考数学第二章 第二节
第二节函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)增函数、减函数自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(2)具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性．( ) (3)若定义在R 上的函数f (x )有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( )(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)所有的单调函数都有最值．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× 2．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数． 3．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象(图略)可知函数的单调减区间是[1,2]．4．若函数y ＝x 2－2ax ＋1在(－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，＋∞) C ．[2，＋∞)D ．(－∞，2]解析：选C 函数y ＝x 2－2ax ＋1图象的对称轴方程为x ＝a ，要使该函数在(－∞，2]上是减函数，则需满足a ≥2.5．设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．解析：由图可知函数的增区间为[－1,1]和[5,7]． 答案：[－1,1]和[5,7]6．函数f (x )＝2x －1在[－2,0]上的最大值与最小值之差为________． 解析：易知f (x )在[－2,0]上是减函数，∴f (x )max －f (x )min ＝f (－2)－f (0)＝－23－(－2)＝43.答案：43考点一 确定函数的单调性(区间) (重点保分型考点——师生共研)1．试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 解：法一：设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1， 则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 法二：f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2. 当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 2．求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．解：易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．[解题师说]1．掌握确定函数单调性(区间)的3种常用方法(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行判断．(如典题领悟第1题)(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．(如典题领悟第2题)(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．(如典题领悟第1题) 2．熟记函数单调性的4个常用结论(1)若f (x )，g (x )均是区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数； (2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反； (4)函数y ＝f (x )(f (x )≥0)在公共定义域内与y ＝f (x )的单调性相同． 3．谨防3种失误(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应以“定义域优先”为原则．(如冲关演练第1题)(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示．(3)图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．[冲关演练]1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．2．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x －xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调，对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．3．已知函数y ＝1x －1，那么( ) A ．函数的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞) B ．函数的单调递减区间为(－∞，1)∪(1，＋∞) C ．函数的单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞) D ．函数的单调递增区间为(－∞，1)∪(1，＋∞) 解析：选A 函数y ＝1x －1可看作是由y ＝1x 向右平移1个单位长度得到的，∵y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，∴y ＝1x －1在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减，∴函数y ＝1x －1的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)，故选A. 4．判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性． 解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数． 考点二 求函数的值域(最值) (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]1．函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为________．解析：由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y1－y .由x 2≥0，知1＋y1－y ≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1)． 答案：[－1,1)2．若函数f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. 解析：∵f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.答案：152[方法点拨](1)先进行转化与分离，再利用函数的性质(如x 2≥0，e x >0等)求解即可．(2)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，那么f (x )在区间端点处取最值；如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减，那么y max ＝f (b )；如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增，那么y min ＝f (b )，从而得出值域．方法(二) 数形结合法求函数的值域(最值) 3．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________． 解析：函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． 答案：[3，＋∞)4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1)，函数g (x )是二次函数，若函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1.画出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化．而f (x )的值域为[－1，＋∞)，f (g (x ))的值域为[0，＋∞)，因为g (x )是二次函数， 所以g (x )的值域是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) [方法点拨]先作出函数的图象，再观察其最高点或最低点，求出值域或最值． 方法(三) 换元法求函数的值域(最值) 5．函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为________． 解析：由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1. 可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，θ∈[]0，π， 所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2. 答案：[2]6．已知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f (x )的值域为________． 解析：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f (x )≤12. 令t ＝1－2f (x )，则f (x )＝12(1－t 2)⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12， 令y ＝g (x )，则y ＝12(1－t 2)＋t ，即y ＝－12(t －1)2＋1⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12. ∴当t ＝13时，y 有最小值79；当t ＝12时，y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤79，78. 答案：⎣⎡⎦⎤79，78 [方法点拨]对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域或最值；换元法求值域时，一定要注意新元的范围对值域的影响．方法(四) 分离常数法求函数的值域(最值) 7．函数y ＝3x ＋1x －2的值域为________． 解析：y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3， 所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}． 答案：{y |y ∈R 且y ≠3}8．当－3≤x ≤－1时，函数y ＝5x －14x ＋2的最小值为________．解析：由y ＝5x －14x ＋2，可得y ＝54－74(2x ＋1).∵－3≤x ≤－1，∴720≤－74(2x ＋1)≤74，∴85≤y ≤3 ∴所求函数的最小值为85答案：85[方法点拨]通过配凑函数解析式的分子，把函数分离成常数和分式的形式，而此式的分式，只有分母中含有变量，进而可利用函数性质确定其值域．[怎样快解·准解]求函数值域（最值）的类型及其方法(1)若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域；当函数解析式中出现偶次方幂、绝对值等时，可利用函数的性质(如x 2≥0，|x |≥0，x ≥0，e x >0等)确定函数的值域或最值．(2)若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值．(3)形如求y ＝ax ＋b ＋(cx ＋d )(ac ≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．(4)形如求y ＝cx ＋dax ＋b(ac ≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解． 另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法，在后面章节中有重点讲述．考点三 函数单调性的应用 (题点多变型考点——追根溯源)角度(一) 比较函数值的大小1．(2018·哈尔滨联考)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．∵1<2<52<e ，∴f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)， ∴b >a >c .[题型技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．角度(二) 解函数不等式2．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则不等式f (log 19x )>0的解集为________．解析：∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增． ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上也是增函数， 又f ⎝⎛⎭⎫12＝0，知f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 故原不等式f (log 19x )>0可化为f (log 19x )>f ⎝⎛⎭⎫12或f ⎝⎛⎭⎫－12<f (log 19x )<f ()0， ∴log 19x >12或－12<log 19x <0，解得0<x <13或1<x <3.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <13或1<x <3. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <13或1<x <3[题型技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．角度(三) 利用单调性求参数的取值范围(或值)3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减， 故有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.[题型技法] 利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[题“根”探求]对于求解此类有关函数单调性应用的题目，其通用的方法是利用转化思想解题，其思维流程是：1．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)2．已知函数f (x )＝x |2x －a |(a >0)在区间[2,4]上单调递减，则实数a 的值是________．解析：f (x )＝x |2x －a |＝⎩⎨⎧x (2x －a )，x >a 2，－x (2x －a )，x ≤a2(a >0)，作出函数图象(图略)可得该函数的递减区间是⎣⎡⎦⎤a 4，a2，所以⎩⎨⎧a4≤2，a2≥4，解得a ＝8.答案：8(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A 函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞B.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎦⎤－14，0 解析：选D 当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ， 因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，0. 3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23.4．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( ) A ．(－∞，0)B.⎣⎡⎦⎤0，12C ．[0，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选B y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x ≥0，－x (1－x )，x <0， ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x <0， ＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，x ≥0，⎝⎛⎭⎫x －122－14，x <0.画出函数的大致图象如图所示． 由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0，12上单调递增． 5．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)＞f (－3)＞f (－2)B ．f (π)＞f (－2)＞f (－3)C ．f (π)＜f (－3)＜f (－2)D ．f (π)＜f (－2)＜f (－3)解析：选A 因为f (x )是偶函数， 所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 所以f (π)＞f (3)＞f (2)， 即f (π)＞f (－3)＞f (－2)． 6．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0.7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：28．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)9．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：410．给定函数：①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是________．解析：①y ＝x 12在(0,1)上递增；②因为t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0＜12＜1，故y ＝log 12(x＋1)在(0,1)上递减；③结合函数图象可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减；④因为u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2＞1，故y ＝2x＋1在(0,1)上递增，故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.答案：②③B 级——中档题目练通抓牢1．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－113，－3 B ．[－6，－4] C.[]－3，－22D.[]－4，－3解析：选B 由于f (x )为R 上的偶函数，因此只需考虑函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f (x )在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－a2∈[2,3]，即a∈[－6，－4]．2．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．3．(2018·河南平顶山一模)已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数．对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1－x 2>0，记a ＝f (30.2)30.2，b ＝f (0.32)0.32，c ＝f (log 25)log 25，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．c <b <a解析：选B 对任意两个不相等的正数x 1，x 2，不妨设x 1>x 2， ∵x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1－x 2>0，∴x 2f (x 1)－x 1f (x 2)>0， ∴x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 1x 2＝f (x 1)x 1－f (x 2)x 2>0，即f (x 1)x 1>f (x 2)x 2， ∴f (x )x是(0，＋∞)上的增函数． ∵1<30.2<30.5<2,0<0.32<1，log 25>2， ∴0.32<30.2<log 25， ∴b <a <c .4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1.作出函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)． 答案：[0,1) 5．若函数y ＝2x ＋kx －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是____________．解析：由于y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上为增函数，故函数y ＝2x ＋k x －2＝2(x －2)＋4＋kx －2＝2＋4＋k x －2在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k ＜0，得k ＜－4. 答案：(－∞，－4)6．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.7．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2. 任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0， 所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]． C 级——重难题目自主选做1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)解析：选D ∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.2．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( ) A ．[1，＋∞) B ．[0， 3 ] C ．[0,1]D ．[1， 3 ]解析：选D 因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x ＋32x －1，令g (x )＝12x ＋32x－1(x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0，得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x在区间[1， 3 ]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：选A 函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．3．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)＞f (－3)＞f (－2)B ．f (π)＞f (－2)＞f (－3)C ．f (π)＜f (－3)＜f (－2)D ．f (π)＜f (－2)＜f (－3)解析：选A 因为f (x )是偶函数， 所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 所以f (π)＞f (3)＞f (2)， 即f (π)＞f (－3)＞f (－2)．4.已知定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (x 2－2x ＋a )＜f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，134 B ．(－∞，－3)C ．(－3，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫134，＋∞ 解析：选D 依题意得f (x )在R 上是减函数，所以f (x 2－2x ＋a )＜f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于x 2－2x ＋a ＞x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于a ＞－x 2＋3x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立．设g (x )＝－x 2＋3x ＋1(－1≤x ≤2)，则g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋134(－1≤x ≤2)，当x ＝32时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝134，因此a ＞134，故选D. 5.定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2.因为f (x )＝x 3－2，f (x )＝x －2在定义域内都为增函数， 且f (1)＜f (2)，所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.6.(2018·安徽合肥模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析：由f (x )＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1令t ＝x －1，则t ∈[－2,2]，则y ＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，t ∈[－2,2]．记g (t )＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，则函数y ＝g (t )－2＝(t 2－1)sin t ＋t 是奇函数．由已知得y ＝g (t )－2的最大值为M －2，最小值为m －2，所以M －2＋(m －2)＝0，即M ＋m ＝4.答案：47.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－k ，x ≤0，(1－k )x ＋k ，x >0是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e 0－k ≤k ，1－k >0，解得12≤k <1.答案：⎣⎡⎭⎫12，1 8．若函数y ＝2x ＋kx －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是____________．解析：由于y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上为增函数，故函数y ＝2x ＋k x －2＝2(x －2)＋4＋kx －2＝2＋4＋k x －2在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k ＜0，得k ＜－4.答案：(－∞，－4)9．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2. 任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0， 所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]． B 级——拔高题目稳做准做1.函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象如图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0＜a ＜1)的单调递减区间是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B ．[a ，1] C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．[a ，a ＋1 ]解析：选B 由图象知f (x )在(－∞，0]和⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递减，而在⎣⎡⎦⎤0，12上单调递增．又因为当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，所以要使g (x )＝f (log a x )单调递减，则需log a x ∈⎣⎡⎦⎤0，12，即0≤log a x ≤12， 解得x ∈[a ，1]．2．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( ) A ．[1，＋∞)B ．[0， 3 ]C ．[0,1]D ．[1， 3 ]解析：选D 因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x ＋32x －1，令g (x )＝12x ＋32x－1(x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x在区间[1， 3 ]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1.作出函数图象如图所示，则其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋5，x ≤2，log 12(x －1)＋1，x ＞2，若f (a 2－3a )＞f (2a －6)，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f 1(x )＝x 2－4x ＋5在(－∞，2]上为减函数，f 2(x )＝log 12(x －1)＋1在(2，＋∞)上为减函数． 又f 1(2)＝f 2(2)＝1，所以函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以f (a 2－3a )＞f (2a －6)，则a 2－3a ＜2a －6⇒a 2－5a ＋6＜0，解得2＜a ＜3.答案：(2,3)5.已知函数f (x )＝2x －a x 的定义域为(0,1](a 为实数)．(1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0,1]上的最大值及最小值，并求当函数f (x )取得最值时x 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1x ，任取0<x 2<x 1≤1，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2＋1x 1x 2.∵0<x 2<x 1≤1，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0.∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0,1]上单调递增，当x ＝1时取得最大值1，∴f (x )的值域为(－∞，1]．(2)当a ≥0时，y ＝f (x )在(0,1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ；当a ＜0时，f (x )＝2x ＋－a x ，当 －a 2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f (x )在(0,1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当 －a 2＜1，即a ∈(－2,0)时，y ＝f (x )在⎝⎛⎦⎤0， －a 2上单调递减，在⎣⎡⎦⎤ －a 2，1上单调递增，无最大值，当x ＝ －a 2时取得最小值2－2a . 6.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)证明：f (x )为单调递减函数．(2)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．解：(1)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2， 则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0， 因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(2)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.所以f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。
高中数学课件 第2章 第2节 《函数的定义域和值域》
因此， 因此，g(x)min＝g(2)＝1－2a， ＝ － ， 而g(3)－g(1)＝(2－3a)－(1－a)＝1－2a， － ＝ － － － ＝ － ， 故当0≤a≤ 故当 当 时，g(x)max＝g(3)＝2－3a，有h(a)＝1－a； ＝ － ， ＝ － ；
＜a≤1时，g(x)max＝g(1)＝1－a，有h(a)＝a， 时 ＝ － ， ＝ ，
3.不等式法：借助于基本不等式a＋b≥2 不等式法：借助于基本不等式 ＋ 不等式法
(a>0，b>0)求数 ， 求数
的值域.用不等式法求值域时， 的值域 用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用 用不等式法求值域时 条件“一正、二定、三相等”. 条件 一正、二定、三相等 一正 4.单调性法：首先确定函数的定义域， 4.单调性法：首先确定函数的定义域，然后再根据其单调 单调性法 性求函数的值域，常用到函数 ＝ ＋ 性求函数的值域，常用到函数y＝x＋ 增区间为(－ ，－ 增区间为 －∞，－ (0， ). ， ]和[ 和 (p>0)的单调性： 的单调性： 的单调性
＋∞)，减区间为 － ,0)和 ，减区间为(－ 和
[特别警示 (1)用换元法求值域时，需认真分析换元后变 特别警示] 用换元法求值域时， 特别警示 用换元法求值域时 量的范围变化；用判别式求函数值域时， 量的范围变化；用判别式求函数值域时，一定要注意自变 量x是否属于 是否属于R. 是否属于 (2)用不等式法求函数值域时，需认真分析其等号能否成立； 用不等式法求函数值域时，需认真分析其等号能否成立； 用不等式法求函数值域时 利用单调性求函数值域时，准确地找出其单调区间是关键 利用单调性求函数值域时，准确地找出其单调区间是关键. 分段函数的值域应分段分析，再取并集 分段函数的值域应分段分析，再取并集. (3)不论用哪种方法求函数的值域，都一定要先确定其定义 不论用哪种方法求函数的值域， 不论用哪种方法求函数的值域 域，这是求值域的重要环节. 这是求值域的重要环节
高中数学高考第2节 函数的单调性与最值 课件
限
时
课
即当a＞0时，f(x)在(－1,1)上为单调减函数，
集 训
堂
考 点
当a＜0时，f(x)在(－1,1)上为单调增函数．
探
究
返 首 页
32
考点2 函数的最值
课
前 自
求函数最值的五种常用方法及其思路
主
回 顾
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
课 后
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求
D
上是增函数；
课 后
限
课 fxx11－－xf2x2＜0⇔f(x)在 D 上是减函数．
时 集 训
堂
考 点 探
(2)对勾函数 y＝x＋ax(a＞0)的增区间为(－∞，－ a]和[ a，＋
究
∞)，减区间为[－ a，0)和(0， a]．
返
首
页
9
(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和
课
前 自
点
探
究
返 首 页
21
(2)令u＝x2＋x－6，
课 前
则y＝ x2＋x－6 可以看作是由y＝ u 与u＝x2＋x－6复合而成的
自
主 函数．
回
课
顾
令u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.
后 限
易知u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增
时 集
课
训
堂 考
函数，而y＝
u在[0，＋∞)上是增函数，
限 时 集
课
堂
即f(x2)＞f(x1)，
训
考
点 探
故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增．
2011年高考数学总复习精品课件(苏教版)：第二单元第二节 函数的定义域与值域
1 5 - 0 1 2 4
2
故函数有最大值1,无最小值,其值域为(-≦,1 ].
方法二:≧y=2x与 y - 1 - 2x 均为定义域上的增函数,
1 x | x 上的增函数, y 2 x 1 2 x 是定义域为 2 1 1 ≨ y max 2 - 1 - 2 1 ,无最小值. 2 2
8 ( x 2) 1
2
2
,
( x 2) 1 1, y 8, 显 然 y>0,
值 域 为 0， 8
令 （3） u x 2 x 1， 则 u 0, u ( x 1) 2
x 2x 0 9 x 0
2
故函数的定义域是(-3,0)∪(2,3). 学后反思 求函数的定义域,先列出不等式或不等式组,然后求 出它们的解集,其准则一般是: (1)分式中,分母不为零;
(2)偶次方根中,被开方数非负;
(3)对于y= x ,要求x≠0;
0
(4)对数式中,真数大于0,底数大于0且不等于1;
2
（2 )y=
8
x
2
4x 5
2
；
(3) y
lg 1 ( x 2 x 1)
2
(4) y 1 2 x x
解析 （1）y
x
2
x ( x
m ax
1 2
)
2
1 4
y
2,
m in
y
1 4
, 值域为
1 2, 4
(2) y
1- t 2
2
(2)方法一:令 1 - 2x t(t 0), 则 x
新教材高中数学第二章函数2函数 函数概念第1课时函数概念一课件北师大版必修第一册
域为N,对于下列四个图象,不可作为函数y＝f(x)的图象的是
()
C
[分析] (1)如何利用函数定义．对于集合A中的元素通过对应关系在 集合B中有唯一元素与之对应进行判断．
(2)当对应关系用图象表示时,怎样判断是否为函数关系．
[解析] (1)对于 A 项，x2＋y2＝1 可化为 y＝± 1－x2，显然对任 x∈A， y 值不唯一，故不符合．对于 B 项，符合函数的定义．对于 C 项，2∈A， 但在集合 B 中找不到与之相对应的数，故不符合．对于 D 项，－1∈A， 但在集合 B 中找不到与之相对应的数，故不符合．
(2)记法：y＝ f(x),x∈A．
(3)定义域：x的取值范围A；值域：与x的值对应的y值叫作函数值,即 集合_____{_f_(_x_)|_x∈__A__}．
思考1：(1)对于函数f：A→B,值域一定是集合B吗？为什么？ (2)对应关系f必须是一个解析式的形式吗？为什么？ (3)f(x)的含义是什么？ 提示：(1)不一定．值域是集合B的子集,即{f(x)|x∈A}⊆B． (2)不一定．可以是数表,也可以是图象． (3)集合A中的数x在对应关系f的作用下对应的数．
[解析] 要使函数 y＝ 7＋6x－x2有意义，应满足 7＋6x－x2≥0， ∴x2－6x－7≤0，∴(x－7)(x＋1)≤0， ∴－1≤x≤7， ∴函数 y＝ 7＋6x－x2的定义域是[－1，7]．
4．已知f(x)＝2－1 x，g(x)＝－x2＋2． (1)求 f(3)，g(3)的值； (2)求 f[g(2)]的值； (3)求 f[g(x)]的解析式． [解析] (1)f(3)＝2－1 3＝－1，g(3)＝－32＋2＝－7． (2)f[g(2)]＝2－1g(2)＝2－(－122＋2)＝41． (3)f[g(x)]＝2－1g(x)＝2＋x12－2＝x12．
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恒成立，其等价于Δ＝4a2＋4a≤0⇒－1≤a≤0.
答案：[－1,0]
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确定函数定义域的原则
1.当函数y＝f(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中
实数x的集合.
2.当函数y＝f(x)用图象法给出时，函数的定义域是指图象在
x轴上的投影所覆盖的实数的集合.
3.当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析
2.换元法：常用代数或三角代换法，把所给函数代换成值域
容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.形如y＝ax
＋b±
(a，b，c，d均为常数且ac≠0)的函数常用此
法求解.
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3.不等式法：借助于基本不等式a＋b≥2 (a>0，b>0)求数 的值域.用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用 条件“一正、二定、三相等”.
3.可借助函数图象确定函数的值域或最值.
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设函数f(x)＝
， g(x)＝f(x)－ax，
x∈[1,3]，其中a∈R，记函数g(x)的最大值与最小值的差
为h(a).
(1)求函数h(a)的解析式；
(2)画出函数y＝h(a)的图象并指出h(a)的最小值.
[思路点拨]
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[课堂笔记] (1)g(x)＝
ห้องสมุดไป่ตู้
，
①当a＜0时，函数g(x)是区间[1,3]上的增函数，
此时，g(x)max＝g(3)＝2－3a， g(x)min＝g(1)＝1－a，所以h(a)＝1－2a； ②当a＞1时，函数g(x)是区间[1,3]上的减函数，
此时，g(x)min＝g(3)＝2－3a， g(x)max＝g(1)＝1－a，所以h(a)＝2a－1； ③当0≤a≤1时，若x∈[1,2]，则g(x)＝1－ax，有g(2)≤g(x)≤g(1)；
∵二次函数的对称轴为t＝ ，
∴在[0，＋∞)上y＝－(t－ )2＋ 的最大值为 ，无
最小值，
其值域为(－∞， ].
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(3)∵函数y＝x＋ 是定义域为{x|x≠0}上的奇函数，故
其图象关于原点对称，故只讨论x＞0时，即可知x＜0时
的最值和值域.
∵当x＞0时，y＝x＋ ≥2
＝4.
当且仅当x＝2时，等号成立，
式有意义的实数的集合.
4.当函数y＝f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问
题的意义确定.
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求下列函数的定义域：
(1)y＝
＋
；
(2)已知函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域.
[思路点拨]
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14
[课堂笔记] (1)要使函数y＝ ＋
有意义，
应有
即
有
所以此函数的定义域是{x|－1≤x＜1或1＜x＜2}. (2)∵f(2x＋1)的定义域为(0,1)， ∴1＜2x＋1＜3， 即f(x)的定义域是(1,3).
()
A.[－2,2]
B.[－1,3]
C.[－1，＋∞)
D.[－
]
解析：∵f(x)的定义域为[－1,3] ∴－1≤x2－1≤3即0≤x2≤4∴－2≤x≤2.
答案：A
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8
3.函数f(x)＝ A.[0,1] C.(0,1]
(x∈R)的值域是
()
B.[0,1)
D.(0,1)
解析：∵1＋x2≥1∴0＜
∴当x＜0时，y≤－4.
综上，函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞).
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如何求y＝
＋
的值域？
解：
表示点（x，0）到点（0，-1）的距离；
点（2，2）的距离，
表示点（x，0）到
故
故值域为
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1.对既给出定义域又给出解析式的函数，可直接在定义域 上用相应方法求函数值域.
2.若函数解析式中含有参数，要注意参数对函数值域的影 响，即要考虑分类讨论.
≤1
答案：C
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4.若 为实数，则函数y＝x2＋3x－5的值域是
.
解析：∵ 为实数，∴x≥0， ∵y＝x2＋3x－5＝(x＋ )2－ ∴当x＝0时，ymin＝－5. 答案：[－5，＋∞)
－5，
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10
5.若函数f(x)＝
围为
.
的定义域为R，则a的取值范
解析：由题意知2
－1≥0恒成立，即x2＋2ax－a≥0
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5
2.确定函数定义域的依据
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6
1.函数y＝
＋ln(2－x)的定义域是
A.[1，＋∞)
B.(－∞，2)
C.(1,2)
D.[1,2)
()
解析：要使函数有意义，只须 ∴1≤x＜2.
，即
，
答案：D
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7
2.已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,3]，则函数y＝f(x2－1)
的定义域是
4.单调性法：首先确定函数的定义域，然后再根据其单调 性求函数的值域，常用到函数y＝x＋ (p>0)的单调性： 增区间为(－∞，－ ]和[ ＋∞)，减区间为(－ ,0)和 (0， ).
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[特别警示] (1)用换元法求值域时，需认真分析换元后变 量的范围变化；用判别式求函数值域时，一定要注意自变 量x是否属于R. (2)用不等式法求函数值域时，需认真分析其等号能否成立； 利用单调性求函数值域时，准确地找出其单调区间是关键. 分段函数的值域应分段分析，再取并集. (3)不论用哪种方法求函数的值域，都一定要先确定其定义 域，这是求值域的重要环节.
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1
会求一些简单函数的定义域和值域.
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2
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3
1.函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围 A 叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值， 函数值的集合 叫做函数的值域.
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4
[思考探究] 函数的值域由哪些因素决定？
提示：函数的值域由函数的定义域和对应关系确定.
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求下列函数的值域.
(1)y＝
；
(2)y＝2x＋
；
(3)y＝x＋ .
[思路点拨]
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[课堂笔记] (1)∵y＝
＝
又∵x2＋1 ≥1，∴0＜
≤1.
∴0≤1－
＜1，
即函数y＝
的值域为[0,1).
＝1－ ，
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(2)设t＝
，则x＝
.
∴y＝1－t2＋t＝－(t－ )2＋ .
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若本例(2)中交换f(2x＋1)与f(x)的位置，结论如何？
解：∵f(x)的定义域为(0,1)， ∴0＜2x＋1＜1， ∴－ ＜x＜0. 即f(2x＋1)的定义域为{x|－ ＜x＜0}.
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函数值域的求法
1.配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数的
值域，其关键在于正确化成完全平方式.